用柯西收敛准则证明确界原理
用确界原理证明柯西收敛准则
用确界原理证明柯西收敛准则柯西收敛准则是数列收敛的一个重要准则，它是由法国数学家柯西所提出的。
它的表述是：如果数列 ${a_n}$ 满足对于任意$varepsilon>0$，存在正整数 $N$，当 $n,m>N$ 时，有 $|a_n-a_m|<varepsilon$，则称数列 ${a_n}$ 是柯西收敛的，或者称其为基本收敛的。
柯西收敛准则是收敛概念的一种等价表述，其证明可以通过极限的定义或确界原理等多种方式进行。
本文将以确界原理为基础，详细阐述柯西收敛准则的证明过程。
二、确界原理在证明柯西收敛准则之前，我们先来介绍一下确界原理。
确界原理是数学分析中的一个基本原理，它是指：非空有上界的实数集合必有上确界，非空有下界的实数集合必有下确界。
具体来说，如果实数集合 $S$ 非空且有上界，则存在一个实数$M$，使得对于所有 $xin S$，都有 $xleq M$；这个实数 $M$ 被称为 $S$ 的上确界。
类似地，如果实数集合 $S$ 非空且有下界，则存在一个实数 $m$，使得对于所有 $xin S$，都有 $xgeq m$；这个实数 $m$ 被称为 $S$ 的下确界。
在数学证明中，确界原理常常被用来证明一些重要定理，例如最大值定理、中值定理等。
三、柯西收敛准则的证明在进行柯西收敛准则的证明之前，我们先来说明一个引理：引理1：若数列 ${a_n}$ 满足对于任意 $nin mathbb{N}$，都有 $a_nleq a_{n+1}$，则 ${a_n}$ 收敛当且仅当 ${a_n}$ 有上界。
证明：设 ${a_n}$ 收敛于 $a$，则对于任意$varepsilon>0$，存在正整数 $N$，当 $n>N$ 时，有 $|a_n-a|<varepsilon$。
因为 $a_nleq a_{n+1}$，所以 $a_Nleqa_{N+1}leq cdots leq a_nleq a$。
数分知识总结及例题
数分近一周知识点总结本周学习了第二章数列极限。
由于在数学分析中，变量的取值围是限制在实数集合，我们本章学习的重点便是实数系的基本性质和定理。
首先，经过严格的证明，引出了具有连续性的实数系，而确界存在定理就是R 连续性的表述之一——非空有上界的数集必有上确界，非空有下界的数集必有下确界，即非空有界数集的上（下）确界是唯一的。
接着，高中学习过的数列在数分课上也被进一步深化——无穷大量、无穷小量、极限等概念的引入，让我们知道数列是发散或收敛的。
数列极限有唯一性，且收敛数列必有界，而有界数列未必收敛。
由此展开的系列推论与性质，如夹逼性、保序性和四则运算定理也为我们数列运算和学习收敛准则（单调有界数列必收敛）提供了思路和工具。
数学是良好的工具。
应用极限，我们研究了兔群增长率变化情况，π、e、Euler 常数的起源，感受了极限的魅力。
接下来学习的闭区间套定理也解决了我们上一章遇到的问题——实数集是否可列。
Bolzano-Weierstrass定理是将收敛准则条件改动而得到的“稍弱的结论”，更重要的是它为我们最终证明Cauchy收敛原理提供了强有力的支持。
而Cauchy原理也说明了实数系的另一个性质——完备性。
回顾本章，我们会发现实数系的完备性等价于实数系的连续性，本章学习的5个实数基本定理也是相互等价的。
下面我们以5定理互证为例题补充：聚点有界数列的一个收敛子列的极限称为该数列的聚点，又称称极限点，因此Bolzano-Weierstrass 定理又称聚点定理。
下面我们用聚点定理代替B-W,是等效的例题：实数系完备性基本定理的循环证明摘 要:循环论证了实数系的5个基本定理,并最终形成所有完美的论证环,体现了数学论证之美.(单调有界定理) 任何单调有界数列必定收敛． (闭区间套定理） 设{[,]}n n a b 为一闭区间套： 1.11[,][,],1,2,,n n n n a b a b n ++⊃=L 2.lim()0n n n b a →∞-=则存在唯一一点[,],1,2,.n n a b n ξ∈=L(聚点定理)又称Bolzano-WEierstrass 定理 直线上的任一有界无限点集S 至少有一个聚点ξ，即在ξ的任意小邻域都含有S 中无限多个点（ξ本身可以属于S ，也可以不属于S ）．或表述为：有界数列有至少一个收敛子列。
实数连续性等价命题的证明与应用
实数连续性等价命题的证明与应用摘要实数连续性理论是高等数学中的主要内容,实数连续性的叙述是多种多样的,它们分别不同的侧面刻划了实数的连续性,但这些命题是彼此等价的.本文主要研究实数连续性等价命题的证明问题,对于实数连续性的7个等价性命题:确界定理、单调有界定理、区间套定理、有限覆盖定理、聚点定理、致密性定理、柯西收敛准则,采用循环论证的方法,先证明确界定理成立，再从确界定理出发,依次证明下一命题,直至致密性定理证明柯西收敛准则,最后由柯西收敛准则证明确界定理,从而组成一个环路,证明了它们的等价性.在实数连续性等价命题的证明过程的同时,本文还给出了实数连续性的应用.关键词: 实数的连续性;等价证明;应用The proof and application for equivalent propositions of the real continuityABSTRACTThe paper discusses demonstration and application of the equal propositions on real number continuity. Equivalence of these seven theorems can be demonstrated by a circular. From the case 1 on, this paper demonstrate the next one in turn down, at the last, the proposition that extends from 7 to 1 to form a road that their equivalence.Keywords：The continuity of real number; equivalence demonstration; application目录一、实数连续性 1二、确界定理 1三、单调有界定理 3四、区间套定理 4五、有限覆盖定理 6六、聚点定理 7七、致密性定理 8八、柯西收敛定理 8参考文献 11一、实数的连续性实数连续性反映了实数集的一种特性，也称作实数的完备性. 实数连续性理论在高等数学中占有重要地位，广泛应用于极限理论方面,连续函数理论方面乃至整个数学分析,因此,实数连续性等价命题的内容,证明方法及应用是大学生应该掌握的重要学习内容. 实数连续性的叙述是多种多样的,它们分别不同的侧面刻划了实数的连续性,但这些命题是彼此等价的.实数连续性的基本定理有七个,这七个定理在实数理论的研究乃至整个数学分析的学习中都至关重要，它们是:确界定理,数列的单调有界定理,区间套定理,有限覆盖定理,聚点定理,致密性定理,柯西收敛定理.在下面的几节中，采用循环论证的方法,先证明确界定理成立,再从确界定理出发,利用确界定理证明数列的单调有界定理成立,再利用单调有界定理证明区间套定理成立,接下来利用区间套定理证明有限覆盖定理成立,再接下来利用有限覆盖定理证明聚点定理成立,然后利用聚点定理证明致密性定理成立,再然后利用致密性定理证明柯西收敛准则成立,最后由柯西收敛准则证明确界定理成立,从而组成一个环路,证明了它们的等价性.二、确界定理定义2.1.1 设是非空数集.若满足则称是数集的上确界，记作定义2.1.2 设是非空数集.若满足则称是数集的上（下）确界，记作定理2.1(确界定理) 若非空数集有上界（下界）,则数集一定存在唯一的上确界（下确界）;若非空数集有下界,则数集一定存在唯一的下确界.证明只证明关于上确界的结论，下确界的结论可以类似地证明.不妨设含有非负数.由于有上界,故可找到非负整数,使得对于任何;存在,使.对半开区间作10等分,分点为则存在中的一个数,使得对于任何有;对于.在随半开区间作10等分,则存在中的一个,使得对于任何有;对于.继续不断地10等分在前一个步骤中所得到的半开区间,可知对任何存在中的一个数,使得对于任何有;对于.将上述步骤无限地进行下去,得到实数.以下证明.为此只需证明:对一切;对任何.倘若结论不成立,即存在,则可找到的位近似不足,使,从而得,但这与不等式相矛盾.于是得证.现设则存在使的位近似不足,即.根据数的构造,存在使从而有,即得到.这说明成立.说明（1）:数集的上（下）界可能属于,也可能不属于,例如,则,而.说明（2）:数集的上（下）界可能不存在.例如:,则,而下确界不存在.例2.1 设、为非空数集,满足:对一切和有.证明:数集有上确界，数集有下确界,且.证明由假设,数集中任一数都是数集的上界,中任一数都是的下界,故由确界原理推知数集有上确界,有下确界.对任意,是数集的一个上界,而由上确界的定义知,是数集的最小上界,故有.而此式又表明数是数集的一个下界,故由下确界定义证得.三、单调有界定理定义3.1.1 若数列的各项满足关系式,则称为递增数列.定义3.1.2 若数列的各项满足关系式,则称为递减数列.定理3.1(单调有界定理) 若数列递增（递减）有上界（下界）,则数列收敛,即单调有界函数必有极限.证明利用确界定理（定理2.1）证明,不妨设为有上界的递增数列.有确界原理,数列有上确界,记.下面证明就是的极限.事实上,任给,按上确界的定义,存在数列中某一项,使得.又由的递增性,当时有.另一方面,由于是的一个上界,故对一切都有.所以当时有,这就证得.同理可证有下界的递减数列必有极限,且其极限即为它的下确界.例3.1 设，, 其中实数.证明数列收敛.证明显然是递增的,下证有上界.事实上,于是由单调有界定理,收敛.四、区间套定理定义4.1 设闭区间套具有如下性质:,,则称为闭区间套,或简称区间套.定理4.1（区间套定理）若是一个区间套,则在实数系中存在唯一的一点,使得,,即,证明利用单调有界定理(定理3.1)证明,由闭区间套满足条件：各闭区间的端点满足如下不等式：.则为递增有界数列,依单调有界定理,有极限,且有,.同理,递减有界数列也有极限,并由区间套的条件得,且.综合即得最后证上式中的是唯一的.设数则由有由区间套条件得故有,即是唯一的.说明(1):若将闭区间列换成开区间列,区间套定理不一定成立.如:开区间列满足区间套定理,但不存在数属于所有的开区间.说明(2):若将闭区间列换为严格的开区间列,即存在数列与,使得,则定理仍成立.说明(3):若将数轴上的原点0去掉,则区间套定理不一定成立,例如闭区间列满足区间套定理,但不存在属于所有的.例4.1 设是一个严格开区间套,即满足,且.证明:存在唯一的一点,使得.证明因为满足闭区间套,所以存在唯一的点,使得因为,所以即.又由于具有唯一性,于是得证.五、有限覆盖定理设是一区间（或开或闭）,并有开区间集（的元素都是开区间）.定义5.1 若有,则称开区间集覆盖区间，若中区间个数是有（无）限的,则称为的一个有（无）限覆盖,若中的区间都是开区间,则称为的一个开覆盖.定理5.1（有限覆盖定理）若开区间覆盖闭区间,则从中可选出有限个开区间来覆盖.证明利用闭区间套定理(定理4.1)证明,假设定理5.1结论不成立,即不能用中有限个开区间来覆盖.将等分为两个子区间,则其中至少有一个子区间不能用中有限个开区间来覆盖.记这个子区间为,则,且.再将等分为两个子区间,同样,其中至少有一个子区间不能用中有限个开区间来覆盖.记这个子区间为,则,且.重复上述步骤并不断地进行下去，则得到一个闭区间列,它满足,即是区间套,且其中每一个闭区间都不能用中有限个开区间来覆盖.由区间套定理,存在唯一的一点,.由于是上的一个开覆盖,故存在开区间H,使.这表明只须用中的一个开区间就能覆盖,与挑选时的假设“不能用有限个开区间来覆盖”相矛盾.从而证得必存在属于H的有限个开区间能覆盖.说明:有限覆盖定理与闭区间套定理,确界定理等不同,它是着眼于一点的局部,而有限覆盖定理则是着眼于区间的整体.它的作用是从覆盖闭区间的无限个开区间中选出有限个开区间也覆盖闭区间.正是通过这种方法,可以将闭区间上每点具有的局部性质转化为整个区间上的整体性质.其基本步骤是:首先根据要证明的整体性质,在闭区间上每一点找性质,然后构造开区间集使.且在每一个开区间上性质成立.则由有限覆盖定理,存在有限个开区间,使,在证明在上性质成立.例5.1为闭区间上的连续函数列,在上收敛于函数,如果对,为单调递减数列,则在上一致收敛.解由已知,有,由及的连续性,有,所以对上述使当时,有,因单调递减,所以当时,有,在上成立.又,由有限覆盖定理得,设,则时,对,有,所以在上一致收敛于.六、聚点定理定义6.1 设为数轴上的点集,为定点（它可以属于,也可以不属于）.若的任何邻域内都含有中无穷多个点,则称为点集的一个聚点.定义6.2 对于点集,若点的任何邻域内都含有中异于的点,即,则称为为点集的一个聚点.定义6.3 如存在各项各异的收敛数列,则其极限称为的一个聚点.定理6.1（聚点定理）实轴上的任一有界无限点集至少有一个聚点.证明利用有限覆盖定理(定理5.1)证明，对直线上的有界无限点集,存在,使得.假设中不含的聚点.则对,则存在相应的,使得内之多包含的有限多个点,令=则是的一个开覆盖,从而中存在有限个,覆盖了,从而也覆盖了.因为每个邻域中至多含的有限个点,故这个邻域的并集也至多含有的有限个点,于是为有限点集,这与题设矛盾.因此在中至少有一点是的聚点.说明:并不是所有的点集都有聚点,如自然数集N.例6.1 设为单调数列.证明:若存在聚点,则必是唯一的.证明设递增,假设都是的聚点,且,则取,由于是的聚点,故必存在.又因递增,故时恒有于是,在中至多含有的有限多项,这与是的聚点相矛盾.七、致密性定理定理7.1（致密性定理）有界数列必含有收敛子列.证明利用聚点定理（定理6.1）证明,设为有界数列.若中有无限多个相等的项,则由这些项组成的子列是一个常数列,而常数列总是收敛的.若数列不含有无限多个相等的项,则在数轴上对应的点集必为有界无限点集,故由聚点定理,点集至少有一个聚点,记为.由聚点定义（若存在各项各异的收敛子列,则其极限）,存在的一个收敛子列（以为极限）.八、柯西收敛准则定理8.1（柯西收敛准则）实数列有极限的充要条件是：对任意给定的，有一正整数，当时，有成立.证明利用致密性定理（定理7.1）证明，设数列满足柯西条件.先证明是有界的.为此,取,则存在正整数N,当及时有.由此得.令,则对一切正整数均有.于是由致密性定理,有界数列必有收敛子列,设.对任给的,存在,当时,同时有（由柯西条件）,(由).因而当取时,得到.这就证明了.例8.1 证明任一无限十进小数的位不足近似所组成的数列满足柯西条件（即收敛），其中为中的一个数,.证明记.不妨设,则有对任给的,取,则对一切有.这就证明了所给数列满足柯西条件.利用柯西收敛准则（定理8.1）也可以证明确界定理（定理2.1）,下面给出证明.证明设是非空有上界的数集,由实数的阿基米德性,对任意的,存在整数,使得为的上界,而不是的上界,即存在,使得.分别取,,则对每一个正整数,存在相应的,使得为的上界,而存在不是的上界,故存在,使得.又对正整数,是的上界,故有,结合得;同理有,从而得.于是对任意的,存在,使得时有.由柯西收敛准则，数列收敛.记.现在证明是的上确界.首先,对任意和正整数,有,由式得,即是的一个上界.其次对任意的,由及式,对充分大的同时有,.又因不是的上界，故存在，使得,结合上式得.这说明是的上确界.同理可证若为非空有下界数列，则必存在下确界.在上面八节中,我们首先证明了确界定理（定理2.1）,由它证明单调有界定理（定理3.1）,接着用单调有界定理证明区间套定理（定理4.1）,接着用区间套定理证明有限覆盖定理（定理5.1）,然后用有限覆盖定理证明聚点定理（定理6.1），然后又用聚点定理证明致密性定理（定理7.1）,然后用致密性定理证明柯西收敛准则（定理8.1）,最后用柯西收敛准则证明了最前面的确界定理（定理2.1）.则这样构成了一个循环,证明了在实数系中,这7个命题是等价的,即由任意一个命题都可推出其余的命题.对此我们可用下面顺序表示:2.13.14.15.16.17.18.12.1.在上面的八节中,我们也给出了若干代表性的例题,目的是对实数连续性定理进行应用.通过这篇论文,我们可以更好得掌握实数连续性等价命题的证明与应用.参考文献[1]华东师范大学数学系.数学分析[M].北京:高等教育出版社,2007:7-38.[2]华东师范大学数学系.数学分析[M].北京:高等教育出版社,2007: 161-168.[3]同济大学应用数学系,华东师范大学数学系.数学分析同步辅导[M].北京:航空工业出版社,2005:182-194.[4]张筑生.数学分析新讲[M].北京:北京大学出版社,1990.76-84.[5]欧阳光中.简明数学分析[M].上海:复旦大学出版社,1988.4-16.[6]田菊蓉，智功献，晁翠华.实数性完备定理的等价性[J].西安联合大学学报,1999(2):49-53.[7]李莲洁.实数连续性等价命题的证明与应用[J].淮北煤师院学报,2002(6):73-78。
学年论文-数学分析七大定理的相互证明
云南大学课题名称：数学分析七大定理的相互证明学院：数学与统计专业：信息与计算科学指导教师：何清海学生姓名：段飞龙学生学号：20101910050目录摘要………………………………………………………………………………………关键词……………………………………………………………………………………前言………………………………………………………………………………………结论………………………………………………………………………………………参考文献…………………………………………………………………………………摘要：数学分析中的单调有界性定理、闭区间套定理、确界存在性定理、有限覆盖定理、Weierstrass聚点定理、致密性定理以及柯西收敛准则，虽然他们的数学形式不同，但他们都描述了实数集的连续性，在数学分析中有着举足轻重的作用。
关键词：单调有界性定理闭区间套定理确界存在性定理有限覆盖定理Weierstrass聚点定理致密性定理柯西收敛准则前言：一、七大定理定理 1 单调有界性定理（1）、上确界上确界的定义“上确界”的概念是数学分析中最基本的概念。
考虑一个实数集合M. 如果有一个实数S ，使得M 中任何数都不超过S,那么就称S 是M 的一个上界。
在所有那些上界中如果有一个最小的上界，就称为M 的上确界。
一个有界数集有无数个上界和下界，但是上确界却只有一个。
上确界的数学定义有界集合S ，如果β满足以下条件①对一切S x ∈，有β≤X ，即β是S 的上界；②对任意βα<，存在S x ∈，使得α>x ，即β又是S 的最小上界， 则称β为集合S 的上确界，记作S sup =β（同理可知下确界的定义）在实数理论中最基本的一条公理就是所谓的确界原理：“任何有上界(下界）的非空数集必存在上确界（下确界）”。
上确界的证明(1)每一个 X x ∈满足不等式m x ≤ ;(2) 对于任何的 0>ε, 存在有X x ∈', 使ε->M x ' 则数{}x M sup = 称为集合X 的上确界。
由柯西收敛原理证确界存在定理
有限覆盖定理→紧致性定理证明：设数列}{n x 满足 b x a n ≤≤。
先证0x ∃∈[b a ，]， 在0x 的任一邻域 (ε-0x ,ε+0x )中必含有n x 的无限项。
如果不然。
x ∀∈[b a ，]，x δ∃0φ，使(x x δ-,x x δ+)只含}{n x 的有限项。
记E={(x x δ-,x x δ+)|x ∈[b a ，]，x δ由上产生}，是[b a ，]的一个覆盖。
由有限覆盖定理，知∃E 中有限个开区间（11δ-x ,11δ+x ）(22δ-x ,22δ+x )…… (k k x δ-,k k x δ+)覆盖],[b a 。
则一方面：由覆盖的定义，}{n x 中的所有项包含于这有限个开区间内，另一方面，因为{i i x δ-,i i x δ+}（),...2,1k i =均只含}{n x 的有限项，故这有限个开区间只包含}{n x 中的有限项，这将互相矛盾。
故0x ∃∈[b a ，]， 在0x 的任一邻域 (ε-0x ,ε+0x )中必含有n x 的无限项。
特别地，取1=ε，则∃)1,1(001+-∈x x x k ，取2/1=ε，则∃)(),2/1,2/1(12002k k x x x k >+-∈， ……取n /1=ε，则∃)(),/1,/1(100->+-∈n n k k k n x n x x n……则}{n k x 为}{n x 的子数列,满足0<n x x n k /10<-)(,0∞→→n故}{nk x 收敛于0x 。
定理证完柯西收敛定理→确界存在定理以非空有上界数集必有上确界为例来证明证明：设数集A 非空有上界， 设1b 是A 的上界因为A 非空，设A x ∈0，则存在1a <0x ，1a 就不是A 的上界。
π1a 1b ，用1a ，1b 的中点211b a +二等分[1a ，1b ]，如果211b a +是A 的上界，则取[2a ，2b ]=[1a ，211b a +]；如果211b a +不是A 的上界，则取[2a ，2b ]=[211b a +，1b ]；用2a ，2b 的中点222b a +二等分[2a ，2b ]……如此继续下去，得一闭区间列{],[n n b a }，对n ∀，⊃],[n n b a ],[11++n n b a ，∞→n lim （n n a b -）=0数列{ n a }，{n b }满足n ∀， n a 不是A 的上界，n b 是A 的上界。
柯西收敛准则的证明与推广
学年论文（本科）学 院 数学与信息科学学院 专 业 数学与应用数学专业 年 级 姓 名论文题目 柯西收敛准则的证明与推广 指导教师 职称 教授成 绩2010年 06月04日学号：目录摘要 (1)关键词 (1)Abstract (1)Keywords (1)前言 (1)1柯西收敛准则 (1)1.1柯西收敛准则的证明 (1)1.2柯西收敛准则的应用 (3)2柯西收敛准则的推广 (5)2.1判断数列﹑函数﹑正项级数发散 (5)2.2用柯西收敛准则可简单解决一些复杂问题 (5)2.3柯西收敛准则与实数完备性中的基本定理密切相关 (6)参考文献 (8)柯西收敛准则的证明与推广摘 要：本文给出了柯西收敛准则的定义，并通过例题对其进行了证明与推广. 关键词：柯西收敛准则;数列;函数;正项级数.Prove and Generalize Cauchy ’s T est for ConvergenceAbstract : This article gave the definition of Cauchy’s test for convergence, how to use Cauchy ’s test for convergence to prove and generalize by examples.Key words : Cauchy ’s test for convergence; array; function; positive term series.前言“柯西收敛准则”是数学分析中的一个重要定理之一,这一定理的提出为研究数列极限﹑函数极限﹑正项级数收敛提供了新的思路和方法.在有了极限的定义之后,为了判断具体某一数列或函数是否有极限,人们必须不断地对极限存在的充分条件和必要条件进行探讨.在经过了许多数学家的不断努力之后，终于由法国数学家柯西（Cauchy ）获得了完善的结果,总结成了“柯西收敛准则”.下面我们将以定理的形式来叙述并证明﹑应用它.1柯西收敛准则1.1柯西收敛准则的证明定理 1 数列的柯西收敛准则: 数列{an}收敛的充要条件是:对任给的ε>0,存在正整数N,使得当,m n >N,时有||n m a a -<ε.证 (必要性)设lim n x a A →∞=由数列极限的定义,对任给的ε>0,存在N>0,当,m n N >时有||2m a A ε-<, ||2n a A ε-<因而||||||22m n m n a a a A a A εεε-≤-+-<+=.(充分性)按假设,对任给的0ε>,存在0N >,使得对一切n N >有||n N a a ε-≤,即在区间[],N N a a εε-+内含有中几乎所有的项（这里及以下为叙述简单起见,我们用“{}n a 中几乎所有的项”表示“{}n a 中除有限项外的所有项”）. 据此,令12ε=,则存在1N ,在区间11,22N N a a ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦内含有中几乎所有的项.记这个区间为1,1αβ⎡⎤⎣⎦.再令212ε=.则存在2N ,在区间2211,22N N a a ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦内含有中几乎所有的项.记2,2αβ⎡⎤⎣⎦=2,22211,22N N a a αβ⎡⎤⎡⎤-+⋂⎣⎦⎢⎥⎣⎦，它也含有 {}n a 中几乎所有的项,且满足1,12,2αβαβ⎡⎤⎡⎤⊃⎣⎦⎣⎦及2212βα-≤. 继续依次令ε=312，…, 12n ,…,照以上方法得一闭区间{,n n αβ⎡⎤⎣⎦},其中每个区间都含有{}n a 中几乎所有的项,且满足,1,1n n n n αβαβ++⎡⎤⎡⎤⊃⎣⎦⎣⎦()110,2n n n n βα--≤→→∞ 即 []{,}n n αβ是区间套.由区间套定理，存在唯一的一个数 ,n n ξαβ⎡⎤∈⎣⎦ （n=1,2,…）. 现在证明ξ就是数列{}n a 的极限,事实上,又区间套定理的推论,对任给的ε>0,存在N>0,使得当n>N 时有,n n αβ⎡⎤⎣⎦();U ξε⊂,因此在();U ξε内含有{}n a 中除有限项外的所有项,这就证明了lim n x a ξ→∞=.定理2 函数的柯西收敛准则: 设函数f 在()0'0;U x δ内有定义,()0lim x x f x →存在的充要条件是:任给ε>0,存在正数'()δδ<,使得对任何()'"00,;x x U x δ∈有()()'"||f x f x ε-<证 (必要性) 设()0lim x x f x →=A,则对任给的ε>0,存在正数'()δδ<,使得对任()00;x U x δ∈有()||2f x A ε-<.于是对任何()0"''0,;x x x Uδ∈有()()()()'"'"||||||22f x f x f x A f x A εε-≤-+-<+=ε .(充分性) 设数列()00{};n x U x δ⊂,按假设,对任给0ε>,存在正数'()δδ<,使得对任何"',x x ∈()00;U x δ,有()()'"||f x f x -<ε,由于()0n x x n →→∞,对上述的δ>0,存在N ，使得当,n m N >时有()00,;m n x x U x δ∈从而有|()()|n m f x f x ε-<.于是,按数列的柯西收敛准则,数列(){}n f x 的极限存在,记为A,即()lim n x f x A →∞=.定理3 正项级数的柯西收敛准则:给定正项级数n U ∑，其收敛的充要条件是任给ε>0,总存在自然数N,使得当正整数m>n 和任意自然数p 都有|12...|m m m p U U ε++++++<U .证 (充分性)给定一正项级数n U ∑,设其部分和数列为{}n s ，对任意0ε>,总存在正整数N,使得当m>N 时都有则设n=m p +>m,则12||...|n m m m m p s s U U ε+++-=+++<|U .则 lim n n s →∞存在,从而n U ∑收敛.(必要性)由n U ∑收敛,则lim n n s →∞存在,由{}n s 数列极限存在得则对任意正整数N,存在吗n>m>N,使得||n m s s ε-<,设0p n m =->,则12||...|n m m m m p s s U U ε+++-=+++<|U ,故正项级数得柯西收敛准则得证.1.2柯西收敛准则的应用用数列的柯西收敛准则证明数列收敛.例 1 证明任一无限十进小数120.......n bb b α=的n 位不足近似（n=1,2,…）所组成的数列1121222.,,...,..., (101010101010)n n b b b b b b+++ 满足柯西条件（从而收敛）,其中k b 为0，1，2，…，9中的一个数，k=1，2,…. 证 记an=122 (101010)n n b b b ++.不妨设n>m,则有 121211911||...1...10101010101011111101010m m n n m m m n m n m m n m m b b b a a m+++++---⎛⎫-=+++≤+++ ⎪⎝⎭⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭任给的ε>0,取N=1ε,则对一切n>m>N 有||n m a a -<ε.这就证明了数列（2）满足柯西条件.用柯西收敛准则求函数极限.例2 设数列()00{};n x U x δ⊂,数列(){}n f x 的极限存在,记为A,设另一数列()0'0{};n y U x δ⊂且0lim n x y x →∞= 且()lim n x f y →∞存在,记为B,现证B=A.证 设数列()00{};n x U x δ⊂,按假设,对任给0ε>,存在正数'()δδ<,使得对任何"',x x ∈()00;U x δ,有()()'"||f x f x -<ε,由于()0n x x n →→∞,对上述的δ>0,存在N ，使得当,n m N >时有()00,;m n x x U x δ∈从而有|()()|n m f x f x ε-<.于是,按数列的柯西收敛准则,数列(){}n f x 的极限存在,记为A,即()lim n x f x A →∞=.考虑数列{1122}:,,,,...,,,...n n n z x y x y x y 易见()0'0{};n z U x δ⊂且0lim n n z x →∞=.故如上所证(){}n f z 也收敛.于是,作为(){}n f z 的两个子列,(){}n f x 与(){}n f y 必有相同的极限,所以有归结原则推得 ()0lim x x f x A →=.用正项级数的柯西收敛准则证明正项级数收敛.例 3[1] 证明级数n U ∑收敛的充要条件是:任给正数ε,存在某正整数N,对一切n>N,总有1|...|N N n U U U ++++< ε.证 必要性 当n U ∑收敛,则由柯西收敛准则可知 对任意ε>0,存在1N N +∈,使得n>m>1N 时有12...|m m n U U ε+++++<|U ,取1N N >+,则任意n>N,有1|...|N N n U U U ++++<ε.充分性 若任意ε>0,存在N N +∈,对任意n>N,总有1|...|2N N n U U U ε++++<则对任意m>N,及p N +∈有1211...||...||...|22m m m p N N N p N N n U U U U U U U U εεε+++++++++≤+++++++<+=|U ,则由柯西准则知n U ∑收敛.2 柯西收敛准则的推广2.1 判断数列﹑函数﹑正项级数发散数列的发散:数列{}n a 发散的充要条件:对存在0ε>0，对任意正整数N 总有当,m n >N 时有0||n m a a ε-≥.函数的发散:极限()0lim x x f x →不存在的充要条件是:存在0ε>0,对任意δ>0（无论δ多么小）,总可找到()'"00,;x x U x δ⊂,使得()()'"0||f x f x ε-≥.正项级数的发散:n U ∑发散的充要条件是：存在0ε>0,对任意自然数N,有正整数m>N 和自然数p,使得120...|m m m p U U ε++++++≥|U .2.2 用柯西收敛准则可简单解决一些复杂问题数学中有一些数列极限题我们可以根据其定义或数列有界判断其敛散性，但有时用定义或数列有界难以解决,这时用柯西准则就容易解决问题.例 4 证明()111111 (234)n na n+-=-+-++有极限.证 对于任意的数,m n 属于正整数.m n >.()()2111|||...|1n m n ma a n m++---=+++,当m-n 为奇数时()()2111|||...|1n m n ma a n m++---=+++()()()1111|...|||011n n n m m n m<++=-→→∞+-.由柯西收敛原理得{}n a 收敛. 当m-n 为偶数时()()()()()()211111111|||...||...|||011121n m n ma a n n mn n m m n m m++---=++<++=--→→∞++---.由柯西收敛原理得{}n a 收敛. 综上得{}n a 收敛，即{}n a 存在极限.2.3 柯西收敛准则与实数完备性中的基本定理密切相关 例5[2] 聚点定理证明柯西收敛准则.证 令{}n a 为收敛准则,则其必有极限,令{}n a 的极限为A,故存在正整数N,当,m n N >是有||/2n a A H -<,||/2m a A H -<（H 为大于0的任意正数）所以||||||||/2/2n m n m n m a a a A A a a A a A H H H -<-+-<-+-<+=.若{}n a 中至多含有有限个不同的点,则以某项起{}n a 含有无限多个相同的点,即{}n a 为常数列,否则{}n a 不满足柯西条件.若{}n a 含有无限多个不相同的点,则根据聚点定理{}n a 至少含有一个聚点.假设含有两个聚点12,d d 且12d d <，令21d d ε=-，所以在1(;/3),U d ε2(;/3)U d ε内都含有{}n a 中无限多个点,这与存在N 当,m n N >时||n m a a H -<矛盾,故只含有一个聚点,令其为1d ,所以当,m n N >,||/2n m a a H -<（H 为大于0的任意正数）时存在na属于1(;/3)U d ε且11||||||/2/2n n m m a d a a a d H H H -<-+-<+=. 故{}n a 收敛于1d .例 6[3] 用数列的柯西收敛准则证明确界原理.证 设S 为非空有上界数集.有实数的阿基米德性,对任何正数α,存在正数k α,使得αλ=k α为S 的上界,而(1)k ααλαα-=-不是S 的上界,即存在'S α∈,使得()'1k ααα>-.分别取1,1,2,...,n nα==则对每一个整数n,存在相应的n λ,使得n λ为S 的上界，而1n n λ-不是S 的上界,故存在'S α∈,使得'1n a nλ>- （6）又对正整数m,m λ是S 的上界,故有'm λα≥,结合（6）式得1n m nλλ-<;同理有1m n mλλ-<.从而得11||max(,).m n m nλλ-<于是,对任给的0ε>,存在N>0,使得当,m n N >时有||n m λλε-<.有柯西收敛准则,数列{}n λ收敛.记lim n n λλ→∞= . （7）现在证明λ就是S 的一个上确界.首先，对任何a S ∈和正整数n 有n a λ≤，由（7）式得a λ≤,即λ是S 的一个上界.其次,对任何0δ>，由()10n n→→∞及（7）式，对充分大的n 同时有12n δ<，n λ>2δλ-. 又因1n n λ-不是S 的上界,故存在'S α∈,使得'1n a nλ>-.结合上式得'22a δδλλδ>--=-.这说明λ为S 的上确界.同理可证:若S为非空有下界数集,则必存在下确界.柯西收敛准则在数学分析中应用范围广泛,应用前景广阔.单调有界数列极限与柯西收敛准则等价,且柯西收敛准则与函数列一致连续性、聚点定理、有限覆盖定理、海涅定理、广义积分等领域都有联系.其在数学分析中扮演非比寻常的角色.参考文献:[1]何国良.正项级数敛散性的判别法[J].青海师专学报,2005,（04）.[2]陈祥平.柯西收敛准则与实数完备性[J].济宁师范专科学校学报,2005,(05).[3]数学分析上册.华东师范大学第三版[M].北京,北京出版社,2001.学年论文成绩评定表10。
实数完备性的六大基本定理的相互证明
1 确界原理非空有上(下)界数集，必有上(下)确界。
2 单调有界原理 任何单调有界数列必有极限。
3 区间套定理 若]},{[n n b a 是一个区间套, 则存在唯一一点ξ，使得 ,2,1],,[=∈n b a n n ξ。
4 Heine-Borel 有限覆盖定理 设],[b a 是一个闭区间，H 为],[b a 上的一个开覆盖，则在H 中存在有限个开区间，它构成],[b a 上的一个覆盖。
5 Weierstrass 聚点定理（Bolzano 致密性定理有界无穷数列必有收敛子列。
） 直线上的有解无限点集至少有一个聚点。
6 Cauchy 收敛准则数列}{n a 收敛⇔对任给的正数ε，总存在某一个自然数N ，使得N n m >∀,时，都有ε<-||n m a a 。
一.确界原理1.确界原理证明单调有界定理证 不妨设{ a n }为有上界的递增数列.由确界原理,数列{ a n }有上确界,记a = sup{ a n }.下面证明a 就是{ a n } 的极限. 事实上,任给ε> 0, 按上确界的定 义,存在数列{ a n }中某一项a N ,使得a - ε> a N .又由{ a n }的递增性,当n ≥ N时有a - ε < a N ≤ a n .另一方面,由于a 是{ a n }的一个上界,故对一切a n 都有a n ≤ a < a + ε.所以当 n ≥ N 时有a - ε < a n < a + ε,这就证得a n = a.同理可证有下界的递减数列必有极限,且其极限即为它的下确界.2.确界原理证明区间套定理 证明：１设 ［ａｎ，ｂｎ］ 是一个闭区间套，即满足： １）∀ｎ，［ａｎ＋１，ｂｎ＋１］⊂［ａｎ，ｂｎ］；２）ｂｎ－ａｎ ＝我们证明，存在唯一的实数ξ，使得ξ∈［ａｎ，ｂｎ］，（ｎ ＝１，２，⋯）存在性：令Ｓ＝｛ａｎ｝，显然，Ｓ非空且有上界（任一ｂｎ都是其上界）.据确界原理，Ｓ有上确界，设sup Ｓ ＝ξ．现在，我们证明ζ属于每个闭区间［ａｎ，ｂｎ］，（ｎ＝１，２，⋯）显然ａｎ ≤ξ，（ｎ ＝１，２，⋯）所以，我们只需证明对一切自然数ｎ，都有ξ≤ｂｎ． 事实上，因为对一切自然数ｎ，ｂｎ都是Ｓ 的上界，而上确界是上界中最小者，因此必有 ξ≤ｂｎ，故我们证明了存在一实数ξ，使得ξ∈［ａｎ，ｂｎ］，（ｎ ＝１，２，⋯）唯一性: 假设还有另外一点R ∈'ξ且],[n n b a ∈'ξ，则||||n n b a -≤'-ξξ,0→ 即ξξ'=。
关于实数完备性的研究
关于实数完备性的研究一、实数完备性理论的介绍什么是实数完备性？实数完备性就是是数学分析的基础，它是指六大定理的等价。
下面我们介绍一下六大定理。
1.1 确界原理1.1.1确界原理的定义x∈，都有定义1设S为R中的一个数集．若存在数M(L)，使得对一切Sx≤M(x≥L)，则称S为有上界(下界)的数集，数M(L)称为S的一个上界(下界)．若数集S既有上界又有下界，则称S为有界集．若S不是有界集，则称S为无界集．定义2设S是R中的一个数集．若数η满足：（i）对一切Sx∈，有ηx，即η是S的上界；≤（ii）对任何ηα<存在S>x即η又是S的最小上界x o∈，使得αoη则称数η为数集S的上确界，记作S=sup定义3 设S是R中的一个数集．若数ξ满足：（i）对一切Sx∈，有ξ≥x，即ξ是S的下界（ii）对任何ξβ>，存在Sx即ξ又是S的最大下界，则称x o∈，使得,β<o数ξ为数集S的下确界，记作Sξ=i n f上确界与下确界统称为确界．1.1.2确界原理及其证明确界原理设S为非空数集．若S有上界，则S必有上确界；若S有下界，则S必有下确界．12 证 我们只证明关于上确界的结论，后一结论可类似地证明．为叙述的方便起见，不妨设S 含有非负数．由于S 有上界，故可找到非负整 数n ，使得)1对于任何S x ∈有1+<n x ; )2存在S a ∈0,使n a ≥0.对半开区间[)1,+n n 作10等分,分点为9.,,2.,1.n n n ,则存在,2,1,09, 中的 一个数1n ,使得)1对于任何S x ∈有101.1+<n n x ； )2存在S a ∈1，使11.n n a ≥． 再对半开区间)101.,.[11+n n n n 作10等分，则存在9,2,1,0 中的一个数2n 使得 )1对于任何S x ∈有<x 221101.+n n n)2存在S a ∈2，使..212n n n a ≥继续不断地10等分在前一步骤中所得到的半开区间，可知对任何存在9,2,1,0 中的—个数k n ，使得)1对于任何S x ∈有kk n n n n x 101.21+< )2存在S a k ∈，使 ..21k k n n n n a ≥将上述步骤无限地进行下去，得到实数..21 k n n n n =η．以下证明=ηS sup ．为此只需证明：（i ） 对一切S x ∈有η≤x ；（ii ）对任何ηα<，存在S ∈'α使'a <α．倘若结论（i ）不成立，即存在S x ∈使η>x ，则可找到x 的k 位不足近似k x ， 使=>k k x η+k n n n n 21.k101， 从而得kk n n n n x 101.21+> ，3但这与不等式)1(相矛盾．于是（i ）得证．现设ηα<，则存在k 使η的k 位不足近似k k αη>，即k k n n n n α> 21.，根据数η的构造，存在S a ∈'使k a η≥'，从而有 k a η≥'αα≥>k ， 即得到'a <α，．这说明（ii ）成立．1.2单调有界原理1.2.1 极限以及数列定义定义4 若函数f 的定义域为全体正整数集合+N ，则称R f →N +: 或 ()+N ∈n n f , 为数列定义5 设{}n a 为数列，a 为定数.若对任给的正数ε（不论它多么小）， 总存在正整数N ，使得当N n >时有 ε<-a a n ，则称数列{}n a 收敛于a ，定 数a 称为数列{}n a 的极限，并记作 a a n =lim 或 ()∞→→n a a n . 定义6 若数列{}n a 的各项满足关系式()11++≥≤n n n n a a a a ，则称{}n a 为 递增（递减）数列. 递增数列和递减数列通称为单调数列.1.2.2 单调有界定理及其证明单调有界定理 在实数系中，有界的单调数列必有极限. ]2[证 不妨设{}n a 为有上界的递增数列. 由确界原理，数列{}n a 有上确界，记为{}n a a sup =. 下面证明a 就是{}n a 的极限.. 事实上，任给0>ε，按上确界的定义，存在数列{}n a 中的某一项N a 使得N a a <-ε.又由{}n a 的递增性，当N n ≥时有 n N a a a ≤<-ε.另一方面，由于a 是数列{}n a 的一个上界，故对一切n a 都有ε+<≤a a a n . 所以当N n ≥时 εε+<<-a a a n ，这就证得a a n n =∞→lim .4 同理可证有下界的递减数列必有极限，且其极限即为它的下确界.1.3 区间套定理1.3.1区间套定义定义7 设闭区间列[]{}n n b a ,具有如下性质：（i ）[][],...2,1,,,11=⊃++n b a b a n n n n ； （ii ）()0lim =-∞→n n n a b ，则称[]{}n n b a ,为闭区间套，或简称区间套.1. 3. 2区间套定理及其证明区间套定理 若[]{}n n b a ,是一个区间套，则在实数系中存在唯一的一点ξ，使得[],...2,1,,=∈n b a n n ξ, 即,...2,1,=≤≤n b a n n ξ.]2[证 由定义7 的条件（i ）可知, 数列{}n a 为递增有界数列, 依单调有界定 理，{}n a 有极限ξ，且有 ,...2,1,=≤n a n ξ.同理，递减有界数列{}n b 也有极限，并按区间套的条件（ii ）有ξ==∞→∞→n n n n a b lim lim ，且,...2,1,=≥n b n ξ.综上，可得 ,...2,1,=≤≤n b a n n ξ.下面证明满足 ,...2,1,=≤≤n b a n n ξ 的ξ是唯一的. 设数'ξ也满足 ,...2,1,'=≤≤n b a n n ξ，则由 ,...2,1,=≤≤n b a n n ξ有 (),...2,1,'=-≤-n a b n n ξξ.由区间套的条件（ii ）得 ()0lim '=-≤-∞→n n n a b ξξ，故有 ξξ='.注 区间套定理中的闭区间若改为开区间, 那么结论不一定成立. 例如对于开区间列 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛n 1,0 , 显然ξ是不存在的.推论 若[](),...2,1,=∈n b a n n ξ是一个区间套[]{}n n b a ,所确定的点，则对任给的0>ε，存在0>N ，使得当N n >时有[]()εξ;,U b a n n ⊂. 证 由区间套定理的证明可得：ξ==∞→∞→n n n n a b lim lim .5由极限的保号性, 对于任意正数 ε , 存在 正整数N , 当N n ≥时， 有 n a <-εξ ，εξ+<n b ，即 εξεξ+<≤<-n n b a ， 这就是说 []()εξ;,U b a n n ⊂.1.4.1聚点定理1.4.1聚点定义定义8 设S 为数轴上的非空点集, ξ为直线上的一个定点(当然可以属于S , 也可以不属S ). 若对于任意正数ε ,在()εξ;U 中含有S 的无限个点, 则 称ξ为的S 一个聚点.定义8' 设S 为实数集R 上的非空点集, R ∈ξ.若对于任意正数ε，()φεξο≠S U ; ，则称ξ为的S 一个聚点.定义8″ 若存在各项互异的收敛数列{}S x n ⊂，则其极限ξ=∞→n n x lim 称为S的一个聚点.下面简单叙述一下这三个定义的等价性. 定义8 → 定义8' 由定义直接得到定义8' → 定义8″ 对任给的0>ε，由()φεξο≠S U ;， 那么取11=ε，()S U x 1;1ξο∈∃；取⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=ξε12,21min x ，()S U x 22;εξο∈∃；..........取⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=-ξε1,1min n n x n ，()S U x n n εξο;∈∃；..........这样就得到一列{}S x n ⊂.由n ε的取法，{}n x 两两互异，并且 nx n n 10≤<-<εξ 由此 ξ=∞→n n x lim6 定义8″ → 定义8 由极限的定义可知这是显然的.1. 4. 2聚点定理及其证明聚点定理 实数轴上的任意有界无限点集必有聚点. ]2[证 因为S 为有界点集, 所以存在正数M , 使[]M M S ,-⊂ , 且记[][]M M b a ,,11-= .现将 []11,b a 等分为两个子区间. 因S 为无限点集，故两个子区间中至少有一个含有S 中无穷多个点，记此子区间为[]22,b a ，则[][]2211,,b a b a ⊃且 M a b a b =-=-)(211122. 再将[]22,b a 等分为两个子区间，则其中至少有一个含有S 中无穷多个点，取 出这样一个子区间，记为[]33,b a ，则[][]3322,,b a b a ⊃， 且 2)(212233Ma b a b =-=- . 将此等分子区间的手续无限地进行下去，得到一个区间列[]{}n n b a ,，它满足[][],...2,1,,,11=⊃++n b a b a n n n n ， )(021∞→→=--n Ma b n n n ， 即[]{}n n b a ,是区间套，且其中每一个闭区间都含有S 中无穷多个点.由区间套定理，存在唯一的一点[],...2,1,,=∈n b a n n ξ. 由区间套定理的推论，对任给的0>ε，存在0>N ,当N n >时[]()εξ;,U b a a n n n ⊂∈.从而()εξ;U 内含有S 中无穷多个点，按定义8ξ为S 的一个聚点.推论（致密性定理） 有界数列必有收敛子列. ]2[证 设{}n x 为有界数列.若{}n x 中有无限多个相等的项，则由这些项组成的 子列是一个常数列，而常数列总是收敛的 .若数列{}n x 不含有无限多个相等的项，则{}n x 在数轴上对应的点集必为有界 无限点集，故由聚点定理，点集{}n x 至少有一个聚点，记为ξ. 于是按定义8″，存在{}n x 的一个收敛子列（以ξ为其极限）.71.5 开覆盖定理1.5.1开覆盖定义定义9 设S 为数轴上的点集，H 为开区间的集合（即H 的每一个元素都是形如),(βα的开区间）.若S 中任何一点都含在中至少一个开区间内，则称H 为S 的一个开覆盖，或称H 覆盖S .若H 中开区间的个数无限（有限）的，则称H 为S 的一个无限开覆盖（有限开覆盖）.1.5.2有限覆盖定理及其证明有限覆盖定理 设H 为闭区间[]b a ,的一个（无限）开覆盖，则从H 中可选出有限个开区间来覆盖[]b a ,.]2[证 （论反证）假设定理的结不成立，则不能用H 中有限个开区间来覆盖[]b a ,.现将 []b a , 等分为两个子区间，则两个子区间中至少有一个子区间不能用H 中有限个开区间来覆盖. 记此子区间为[]11,b a ，则[][]b a b a ,,11⊂ 且 )(2111a b a b -=-. 再将[]11,b a 等分为两个子区间，同样，其中至少有一个子区间不能用H 中有 限个开区间来覆盖. 取出这样一个子区间，记为[]22,b a ，则[][]1122,,b a b a ⊂， 且 )(21222a b a b -=- . 将此等分子区间的手续无限地进行下去，得到一个区间列[]{}n n b a ,，它满足[][],...2,1,,,11=⊃++n b a b a n n n n ， )(0)(21∞→→-=-n a b a b nn n ， 即[]{}n n b a ,是区间套，且其中每一个闭区间都不能用H 中有限个开区间来覆盖. 由区间套定理，存在唯一的一点[],...2,1,,=∈n b a n n ξ.由于H 是[]b a ,的一个开覆盖，故存在开区间H ∈),(βα，使),(βαξ∈. 于是，由区间套定理的推论，当n 充分大时有 []),(,βα⊂n n b a .8 这表明[]n n b a ,只须用H 中的一个开区间),(βα就能覆盖，与挑选[]n n b a ,时的假设“不能用H 中有限个开区间来覆盖”相矛盾.从而证得必存在属于H 的有限个开区间能覆盖[]b a ,注 定理的的结论只对闭区间[]b a ,成立，而对开区间则不一定成立.1.6柯西收敛准则及其证明1.6.1柯西收敛准则及其证明柯西收敛准则 数列{}n a 收敛的充要条件是：对任给的0>ε，存在正整数N 使得当N m n >,时有 ε<-m n a a .]2[证 (必要性)设 A a n n =∞→lim ，由数列极限的定义，对任给的0>ε，存在正整 数N ，使得当N m n >,时有 2ε<-A a n , 2ε<-A a m因而有 ε<-+-<-A a A a a a m n m n .(充分性)由题设，对任给的0>ε，存在正整数N ，当N n ≥时，ε<-N n a a . 即当N n ≥时，有 ()εε+-∈N N n a a a ,.令21=ε，存在正整数1N ，当1N n ≥时，⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-∈21,2111N N n a a a ，取 []⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=21,21,1111N N a a βα.令221=ε,存在正整数12N N ≥，当2N n ≥时，⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-∈2221,2122N N n a a a ,取 [][]⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=22112221,21,,22N N a a βαβα.显然有 [][]2211,,βαβα⊃ ，2122≤-αβ，并且当2N n ≥时，[]22,βα∈n a .........令k 21=ε，存在1-≥k k N N ，当k N n ≥时，⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-∈k N k N n k k a a a 21,21, 取[][]⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=--221121,21,,k k N N k k k k a a βαβα.........Na ε-N a ε+N a x9这样就得到一列闭区间[]{}k k b a ,，满足 （i ）[][],...2,1,,,11=⊃++k b a b a k k k k ； （ii ）∞→→≤--k a b k k k ,0211；（iii ）对+N ∈∀k ，当k N n ≥时，[]k k n a βα,∈. 由区间套定理，存在惟一的 []k k βαξ,∈.由区间套定理的推论，对任给的0>ε，存在0>N ,当N n >时[]()εξ;,U b a a n n n ⊂∈，所以εξ<-n a .这就证明了 ξ=∞→n n a lim . 故数列{}n a 收敛.二、引出问题----六大定理如何等价有限覆盖定理→聚点定理→柯西收敛准则→确界原理→单调有界定理→区间套定理→有限覆盖定理2.1用有限覆盖定理证明聚点定理证 设S 为直线上的有界无限点集. 于是存在b a ,使[]b a S ,⊂. 假定[]b a ,在任何点都不是S 的聚点，则对每一点[]b a x ,∈都存在相应的0>x δ，使得()x x U δ;内至多包含S 的有限多个点.令()()b a x x U H x ,;∈=δ，则H 是[]b a ,的一个开覆盖.，据有限覆盖定理，H 中存在有限个邻域()1;1x x U δ，....，()n x n x U δ;，使得覆盖了H ，从而也覆盖了S .由于每个邻域中至多含有S 的有限个点，故这n 个邻域的并集也至多只含有S 的有限个点，于是S 为有限点集，这与题设S 为无限点集矛盾. 因此，在[]b a ,中至少有一点是S 的聚点.2.2 用聚点定理证明柯西收敛准则证 设数列{}n a 为有界数列.若{}n a 中有无限多个相等的项，则由这些10 项组成的子列是一个常数列，而常数列总是收敛的 .若数列{}n a 不含有无限多个相等的项，则{}n a 在数轴上对应的点集必为有界 无限点集，故由聚点定理，点集{}n a 至少有一个聚点，记为ξ.于是按定义8″，存在{}n a 的一个收敛子列（以ξ为其极限）.设数列{}n a 满足柯西条件. 先证明{}n a 是有界的.为此，取1=ε，则存在正 整数N ，当1+=N m 及N n >时，有 11<-+N n a a .由此得 111111+<+-≤+-=+++++N N N n N N n n a a a a a a a a . 令}1,,...,,max {121+=+N N a a a a M ，则对一切正整数n 均有M a n ≤. 于是，由致密性定理，有界数列{}n a 必有收敛子列{}k n a ，设A a k n k =∞→lim .对认给的0>ε，存在0>K ，当K k m n >,,时，同时有2ε<-m n a a （柯西条件） 2ε<-A a K n （A a k n k =∞→lim ）因此当取()K k n m k >≥=时，得到εεε=+<-+-≤-22A a a a A a k k n n n n这就证明了A a n n =∞→lim .2. 3 用柯西收敛准则证明确界原理证 设S 为非空有上界数集.由实数的阿基米德性，对任何正数α，存在整数αk ，使得αλααk =为S 的上界，而ααλαα)1(-=-k 不是S 的上界，即存在S ∈'α，使得ααα)1(->'k分别取n 1=α，,....2,1=n ，则对每一个正整数n ，存在相应的n λ，使得n λ为 S 的上界,而nn 1-λ不是S 的上界，故存在S ∈'α，使得nn 1->'λα . (6)又对正整数m ，m λ是S 的上界，故有αλ'≥m . 结合(6)式得nm n 1<-λλ ；同理有 mn m 1<-λλ . 从而得 ⎪⎭⎫⎝⎛<-n m n m 1,1m a x λλ .于是，对任给的0>ε，存在0>N ，使得当N m n >,时有ελλ<-n m .由柯西收敛准则，数列{}n λ收敛. 记λλ=∞→n n lim . (7)现在证明λ就是S 的上确界. 首先，对任何S a ∈和正整数n 有n a λ≤，由(7)式得λ≤a ，即λ是S 的一个上界.其次，对任何0>δ，由)(01∞→→n n 及(7)式，对充分大的n 同时有21δ<n ， 2δλλ->n . 又因nn 1-λ不是S 的上界，故存在S ∈'α，使得n n 1->'λα .结合上式得δλδδλα-=-->'22 .这说明λ为S 的上确界.同理可证：若S 为非空有下界数集，则必存在下确界 .2 .4 用确界原理证明单调有界定理证 不妨设{}n a 为有上界的递增数列. 由确界原理，数列{}n a 有上确界， 记为{}n a a sup =. 下面证明a 就是{}n a 的极限.. 事实上，任给0>ε，按上确界的定义，存在数列{}n a 中的某一项N a 使得N a a <-ε.又由{}n a 的递增性，当N n ≥时有 n N a a a ≤<-ε.另一方面，由于a 是数列{}n a 的一个上界，故对一切n a 都有ε+<≤a a a n . 所以当N n ≥时 εε+<<-a a a n ，这就证得a a n n =∞→lim .同理可证有下界的递减数列必有极限，且其极限即为它的下确界.2 .5用单调有界定理证明区间套定理证 由定义7 的条件（i ）可知, 数列{}n a 为递增有界数列, 依单调有界定 理，{}n a 有极限ξ，且有 ,...2,1,=≤n a n ξ.同理，递减有界数列{}n b 也有极限，并按区间套的条件（ii ）有ξ==∞→∞→n n n n a b lim lim ，且,...2,1,=≥n b n ξ.综上，可得 ,...2,1,=≤≤n b a n n ξ.下面证明满足 ,...2,1,=≤≤n b a n n ξ 的ξ是唯一的. 设数'ξ也满足 ,...2,1,'=≤≤n b a n n ξ，则由 ,...2,1,=≤≤n b a n n ξ有 (),...2,1,'=-≤-n a b n n ξξ.由区间套的条件（ii ）得 ()0lim '=-≤-∞→n n n a b ξξ，故有 ξξ='.2. 6用区间套定理证明有限覆盖定理证 假设定理的结不成立，则不能用H 中有限个开区间来覆盖[]b a ,.现将 []b a , 等分为两个子区间，则两个子区间中至少有一个子区间不能用H中有限个开区间来覆盖. 记此子区间为[]11,b a ，则[][]b a b a ,,11⊂ 且 )(2111a b a b -=-. 再将[]11,b a 等分为两个子区间，同样，其中至少有一个子区间不能用H 中有 限个开区间来覆盖. 取出这样一个子区间，记为[]22,b a ，则[][]1122,,b a b a ⊂， 且 )(21222a b a b -=- . 将此等分子区间的手续无限地进行下去，得到一个区间列[]{}n n b a ,，它满足[][],...2,1,,,11=⊃++n b a b a n n n n )(0)(21∞→→-=-n a b a b n n n ， 即[]{}n n b a ,是区间套，且其中每一个闭区间都不能用H 中有限个开区间来覆盖. 由区间套定理，存在唯一的一点[],...2,1,,=∈n b a n n ξ.由于H 是[]b a ,的一个开覆盖，故存在开区间H ∈),(βα，使),(βαξ∈.于是，由区间套定理的推论，当n 充分大时有 []),(,βα⊂n n b a .这表明[]n n b a ,只须用H 中的一个开区间),(βα就能覆盖，与挑选[]n n b a ,时的假设“不能用H 中有限个开区间来覆盖”相矛盾.从而证得必存在属于H 的有限个开区间能覆盖[]b a ,.三 、实数完备性的理论基础实数完备性理论是在实数的基本性质的基础上衍生出来的，如不足近似、过剩近似，四则运算的封闭性，绝对值与不等式等等。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
用柯西收敛准则证明确界原理
确界原理（Bolzano–Weierstrass theorem）是实数完备性的一个重
要结果之一，它表明，一个有界数列必然有收敛的子数列。
在证明确界原
理时，通常会使用柯西收敛准则（Cauchy convergence criterion）。
柯西收敛准则也被称为柯西准则，是一种用来判断数列是否收敛的方法。
准则的表述如下：对于任意给定的正数ε，存在一个正整数N，对于
所有的正整数m、n>N，当满足，m-n，<N时，必有，am-an，<ε。
现在，我们来证明确界原理。
假设我们有一个有界数列{an}，它的上界为M，下界为m。
根据确界的定义，我们可以找到一个M的上界m'，使得m' > m。
我
们可以将这个上界作为第一个数列中的一些项，将其他的项作为第二个数列。
前一个数列的上界是m'，下界是m，后一个数列的上界和下界与原有
数列的上界和下界相同。
所以，我们可以将问题简化为证明下列命题：如
果存在一个有界数列，其上界为M，且存在一个正整数N，使得当n>N时，有，a_N-an，<ε，则可以找到一个收敛的子数列，其极限为a_N。
根据柯西收敛准则，我们可以找到一个正整数N，满足当n,m>N时，有，an-am，<ε/2、（注意：这里的n和m是任意的正整数）注意到数列{an}是有界的，所以它至少有一个收敛子数列，我们将其
表示为{an_k}，极限为a。
由于{an_k}是一个收敛数列，根据收敛数列的
定义，对于给定的ε/2，我们可以找到一个正整数K，当k>K时，有，
an_k-a，<ε/2
现在我们来证明{an_k}的极限也是{an}的极限。
对于给定的ε，选
择N=max(N,K)，则当n>N时，有：
an-a，≤ ，an - an_k， + ，an_k - a，< ε/2 + ε/2 = ε
这证明了{an_k}的极限也是{an}的极限。
至此，我们证明了给定一个有界数列必然存在一个收敛的子数列，从
而证明了确界原理。
确界原理在实数完备性的证明中起着重要的作用，它表明在实数系统中，有界数列必然收敛。
这一结果对于分析学的发展具有重要意义，它确
保了实数系统的完备性，使我们能够进行收敛性的讨论和推导。
总结起来，通过使用柯西收敛准则，我们可以证明确界原理。
确界原
理是实数完备性的一个重要结果，它表明一个有界数列必然有收敛的子数列。
这一结果对于分析学的发展具有重要意义，确保了实数系统的完备性。