一致连续与柯西收敛准则
柯西准则——精选推荐
柯西准则1第⼀节、数列的柯西收敛准则与函数的⼀致连续性⼀、数列极限柯西准则⼆、函数极限柯西准则三、函数的⼀致连续性四、⼩结五、作业当n > N 时, 总有lim n nx a→∞= .定义只能⽤来验证在不知道a的情况下，如何判断数列极限是否存在呢？1、夹逼准则若数列x y 及z 第⼀节、数列的柯西准则与函数的⼀致连续性, n n n 满⾜下列条件:(1) ( 1,2,3 ) n n n y ≤ x ≤ z n = ..则数列n x 的极限存在, lim . n nx a→∞=(2) lim , lim , n n n ny a z a→∞ →∞= =且单调有界数列必有极限.2、单调有界准则回顾:lim n nx a→∞=..ε > 0, .N ∈ N+ , 当n > N时，总有. n x . a <ε1. 柯西(Cauchy)列：如果数列{ } 具有以下特性： n a⼀、数列的柯西收敛准则第⼀节、数列的柯西准则与函数的⼀致连续性3则称数列是⼀个基本数列或柯西( Cauchy)列.ε 0, N N , n,m N, . > . ∈ + . > , n m 有a .a <ε{ } n a2. Cauchy收敛准则：定理数列收敛的充要条件是：是⼀个柯西数列.数列收敛{ } n a{ } n a{ } n a ε 0, N N , . . > . ∈ + .m, n>N,. m n 有a .a <ε第⼀节、数列的柯西准则与函数的⼀致连续性4定理1（柯西收敛准则）数列{ } n a 收敛的充分必要条件是对.ε >0,.N, 当n,m>N时, 有. n m a .a <ε证明必要性若{ } n a 收敛于a, 设lim . n n a a →∞=则对.ε >0, .N ∈N+, 当n>N, 时，有, n a a ε2. , m a a ε2. m>N第⼀节、数列的柯西准则与函数的⼀致连续性52< 2<n m a .a2 2<ε +ε =ε .故n m = a .a n m .a +a ≤ a .a + a .a充分性的证明从略..定理的⼏何解释柯西准则说明:x1 x2x5 x4 x3越到后⾯越是挤在⼀起.于预先给定的任意⼩正数, 或形象地说, 收敛数列的各项越是接近,收敛数列各项的值越到后边, 彼此以⾄项数充分⼤的任何两项之差的绝对值可⼩第⼀节、数列的柯西准则与函数的⼀致连续性6柯西收敛准则表明，数列收敛等价于数列中项数充分⼤(即n充分⼤)的任意两项的距离能够任意⼩. 柯西收敛准则的优点在于只须根据数列⾃⾝各项之间的相互关系就能判别该数列的敛散性. 它不需要借助数列以外的任何数，2柯西列：对于数列使当n，m > N 时, 总有如果对于任意给定的总存在正整数则称为柯西列。
谈谈数学分析中的几类柯西准则
谈谈数学分析中的几类柯西准则【摘要】本文主要论述了数列的柯西收敛准则，函数极限存在的柯西准则，级数收敛的柯西准则，函数列一致收敛的柯西准则，函数项级数一致收敛的柯西准则，平面点列的柯西准则，含参量反常积分一致收敛的柯西准则的应用并进行了总结和证明，并通过大量的例题体现了它们的地位和作用.柯西收敛准则是证明收敛与发散的基本方法，并且通过此种方法还推出了很多简单的方法，由此可见柯西准则的重要地位，此种方法的优越性也是显而易见的，就是通过本身的特征来判断是否收敛，这就给证明带来了方便，本文将这几种准则作了以下总结，并且探讨了它们之间的一些关系.【关键词】柯西准则，一致收敛，级数Some Canchy criteria in the Mathematical Analysis【Abstract】This passeage discusses the sequence of cauchy criterion function limit, the convergence of cauchy criterion, the convergence of the series, the function of cauchy criterion listed uniform convergence of cauchy criterion function series, uniform convergence of cauchy criterion, plane of cauchy criterion, some abnormal integral parameter uniform convergence of cauchy criterion and summarized and proof, and through a lot of sample reflected their status and role. Cauchy convergence criteria is proved the convergence and spread the basic method and through this method also launched many simple method, thus the important position of cauchy criterion, this kind of method is obvious superiority of the characteristics of itself, through to judge whether to prove the convergence, and this will bring convenience to the standards for the following summary, and probes into some of the relationship between them.【Key words】cauchy criterion, uniform convergence, series目录1 引言 (1)2数列的柯西收敛准则 (1)3函数极限存在的柯西准则 (2)4级数收敛的柯西准则 (3)4.1 级数的定义 (3)4.2 级数收敛的柯西准则及其应用 (3)5函数列一致收敛的柯西准则 (5)5.1 函数列的定义 (5)5.2 函数列的一致收敛及其应用 (5)6函数项级数一致收敛的柯西准则 (7)6.1 函数项级数定义 (7)6.2 函数项级数的一致收敛 (7)7含参量反常积分的一致收敛的柯西准则 (8)7.1 含参量反常积分的定义 (8)7.2 含参量无穷积分的一致收敛概念及柯西准则 (8)8 柯西准则在数学分析中的作用 (11)9参考文献 (13)1 引言柯西准则是数学分析的基础理论，贯穿于整个数学分析内容之中.在数学分析中，凡涉及到“收敛”与“一致收敛”概念的，都有与内容相应的柯西收敛（或一致收敛）准则，其最大优点是不需要借助于数列（或函数）以外的任何信息，只依据各项的特点，它具有整齐完美的形式，在分析中有很重要的理论价值．由于柯西准则的内容多，又分布在教材的不同地方，在学习时感到空洞，抓不住实质，更不能很好地应用它们，下面根据自己的学习经验，谈点体会．2 数列的柯西准则定理2.1 (柯西收敛准则) 数列{}n a 收敛的充要条件是：对任给的0ε>，存在正整数N ，使得当,n m N >时有 n m a a ε-<. 例1 证明：任一无限十进小数120.na bb b =的n 位不足近似(1,2,)n =所组成的数列1121222,,,,101010101010nn b b b b b b ++++ (1) 满足柯西条件(从而必收敛)，其中k b 为0,1,2,,9中的一个数，k=1,2，.证 记122101010nn n b b b a =+++.不妨设n m >,则有 1212101010m m nn m m m nb b b a a ++++-=+++ 11911(1)101010m n m +--≤+++1111(1)101010m n m mm -=-<<. 对任给的0ε>，取1N ε=，则对一切n m N >>有n m a a ε-<. 这就证明了数列(1)满足柯西条件. 例2 已知1sin 2nn k k kx ==∑，求证lim n n x →∞存在. 证明：设n m >，11sin 122nnn m k k k m k m k x x =+=+-=≤∑∑11111(1)222m n m +--=+++1111112212m m m +≤⋅=<-.所以10,{}N εε∀>∃=，当n m N >>时，1n m x x mε-<<，由柯西收敛准则，所以lim n n x →∞存在.3 函数极限存在的柯西准则定理 3.1(柯西准则) 设函数f 在00(;')U x δ内有定义.0lim ()x x f x →存在的充要条件是：任给0ε>，存在正数(')δδ<，使得对任何00',"(;)x x U x δ∈有(')(")f x f x ε-<.证 必要性 设0lim ()x x f x A →=，则对任给的0ε>，存在正数(')δδ<，使得对任何00(;)x U x δ∈有()2f x A ε-<.于是对任何00',"(;)x x U x δ∈有(')(")(')(")22f x f x f x A f x A εεε-≤-+-<+=.充分性 设数列00{}(;)n x U x δ⊂且0lim n n x x →∞=.按假设，对任给的0ε>，存在正数(')δδ<，使得对任何00',"(;)x x U x δ∈，有(')(")f x f x ε-<.对上述的0δ>，存在0N >，使得当,n m N >时有00,(;)n m x x U x δ∈，从而有 ()()n m f x f x ε-<.于是，按数列的柯西准则，数列{()}n f x 的极限存在，记为A ，即lim ()n n f x A →∞=.按照函数极限的柯西准则，我们能写出极限0lim ()x x f x →不存在的充要条件：存在00ε>，对任何0δ>(无论δ多么小)，总可以找到00',"(;)x x U x δ∈，使得0(')(")f x f x ε-≥.例3 证明极限01lim sin x x→不存在.证 取01ε=，对任何0δ>，设正整数1n δ>，令11',"2x x n n πππ==+ 则有00',"(;)x x U x δ∈，而011sin sin 1'"x x ε-==.于是按柯西准则，极限01lim sin x x →不存在.4 级数收敛的柯西准则4.1 级数的定义给定一个数列{n u }，对它的各项依次用“+”号连接起来的表达式 12n u u u ++++(2)称为数项级数或无穷级数(也常称级数)，其中n u 称为数项级数(2)的通项 4.2 级数收敛的柯西准则及其应用定理4.2 级数收敛的充要条件是：任给正数ε，总存在正整数N ，使得当m>N 以及对任意的正整数p ，都有 12m m m p u u u ++++++<ε根据定理4.2，我们立刻可写出级数发散的充要条件：存在某正数0ε，对任何正整数N ，总存在正整数0m (>N)和0p ，有 0000120m m m p u u u ε++++++≥ (3)由定理4.2立即可得如下推论，它是级数收敛的一个必要条件.推论 若级数(2)收敛，则l i mn n u →∞=0. 例4讨论调和级数1+11123n++++的敛散性解 这里调和级数显然满足推论的结论，即1l i m l i m 0n n n u n→∞→∞==. 但令p=m 时，有 122111122m m m u u u m m m+++++=+++++ ≥111222m mm+++=12.因此，取0ε=12，对任何正整数N ，只要m>N 和p=m 就有(5)式成立.所以调和级数是发散的.例5 应用级数收敛的柯西准则证明级数21n∑收敛.证 由于12m m m p u u u ++++++=222111(1)(2)()m m m p ++++++ <111(1)(1)(2)(1)()m m m m m p m p +++++++-+=11m m p -+ <1m. 因此，对任给正数ε，取N=1ε⎡⎤⎢⎥⎣⎦，使当m>N 及对任意正整数p ，由上式就有12m m m p u u u ++++++<1m<ε. 依定理4.2推得级数21n∑是收敛的. 例6 设11111!2!!n x n =++++，证明{}n x 收敛.证明 ,n p N ∀∈，111111(1)!(2)!()!(1)(1)(2)(1)()n p n x x n n n p n n n n n p n p +-=+++<++++++++++-+ 1111111111121n n n n n p n p n np n=-+-++-=-<++++-++. 0ε∀>，11,n n εε<>，取1[]N ε=，于是0ε∀>，1[]N ε∃=，,n N p N ∀>∀∈，有n p n x x ε+-<，故{}n x 收敛.5函数列一致收敛的柯西准则5.1 函数列收敛的定义设函数列{}n f 与函数f 定义在同一数集D 上，若对任给的正数ε，总存在某一正整数N ，使得当n>N 时，对一切x D ∈，都有 ()()n f x f x ε-<， 则称函数列{}n f 在D 上一致收敛于f ，记作()()n f x f x ⇒ ()n →∞，x D ∈.由定义看到，如果函数列{}n f 在D 上一致收敛，那么对于所给的ε，不管D 上哪一点x ，总存在公共的()N ε(即N 的选取仅与ε有关，与x 的取值无关)，只要n>N ，都有|()()n f x f x ε-<.由此看到函数列{}n f 在D 上一致收敛，必在D 上每一点都收敛.反之，在D 上每一点都收敛的数列{}n f ，在D 上不一定收敛. 5.2 函数列的一致收敛及其应用定理5.2 (函数列一致收敛的柯西准则) 函数列{n f }在数集D 上一致收敛的充要条件是：对任给正数ε，总存在正数N ，使得当n ，m>N 时，对一切x D ∈，都有()()n m f x f x ε-<. (4)证 [必要性] 设()()n f x f x ⇒ (n →∞)，x D ∈，即对任给0ε>，存在正数N ，使得当n>N 时，对一切x D ∈，都有()()2n f x f x ε-<. (5)于是当n ，m>N ，由(5)就有()()()()()()n m n m f x f x f x f x f x f x -≤-+-<22εε+=ε.[充分性] 若条件(4)成立，由数列收敛的柯西准则，{}n f 在D 上任一点都收敛，记其极限函数为()f x ，x D ∈.现固定式中的n ，让m →∞，于是当n>N 时，对一切x D ∈都有()()n f x f x ε-≤. 由定义可得，()()n f x f x ⇒ ()n →∞，x D ∈. 根据一致收敛定义可推出下述定理：函数列{}n f 在区间D 上一致收敛于f 的充要条件是：l i m s u p ()()0n n x Df x f x →∞∈-=. (6) 证 [必要性] 若()()n f x f x ⇒ ()n →∞，x D ∈.则对任给的正数ε，存在不依赖于x 的正整数N ，当n>N 时，有 ()()n f x f x ε-<，x D ∈. 由上确界的定义，亦有sup ()()n x Df x f x ε∈-≤.这就证得(6)式成立.[充分性] 由假设，对任给的0ε>，存在正整数N ，使得当n>N 时，有s u p ()()n x Df x f x ε∈-<. (7)因为对一切x D ∈，总有 ()()s u p ()()n n x Df x f x f x f x ∈-≤-. 故由(7)式得()()n f x f x ε-<.于是{}n f 在D 上一致收敛于f .在判断函数列是否一致收敛上定理 5.2更为方便一些(其缺点是必须事先知道它的极限函数)，由, 所以在(,)-∞+∞上，sin 0nxn ⇒()n →∞. 例7 证明：若对,0,n n N a x I ∀∈∃>∀∈，有1()()n n n f x f x a +-≤，且1n n a ∞=∑收敛，则函数列{()}n f x 在区间I 上一致收敛. 证明： ,,n p N x I ∀∈∀∈，111()()()()()()n p n n p n p n n n p n f x f x f x f x f x f x a a +++-++--≤-++-≤++(,)sin 1lim sup 0lim 0n n x nx nn →∞→∞∈-∞+∞-==因为1n n a ∞=∑收敛，故0,,n N p N ε∀>∃∈∀∈，有1n p n a a ε+-++<.于是，0,,,n N p N x I ε∀>∃∈∀∈∀∈，有 11()()n p n n p n n p n f x f x a a a a ε++-+--≤++=++<.所以{()}n f x 在区间I 上一致收敛.6 函数项级数一致收敛的柯西准则6.1 函数项级数定义定义1 设{()}n u x 是定义在数集E 上的一个函数列，表达式 12()()()n u x u x u x ++++，x E ∈ (8)称为定义在E 上的函数项级数，简记为1()nn k u x =∑或()n u x ∑.称1()()nn k k S x u x ==∑， x E ∈，n=1，2，(9)为函数项级数(10)的部分和函数列定义2 设{()}n S x 是函数项级数()n u x ∑的部分和函数列.若{()}n S x 在数集D 上一致收敛于函数()S x ，则称函数项级数()n u x ∑在D 上一致收敛于函数()S x ，或称()n u x ∑在D 上一致收敛. 6.2 函数项级数的一致收敛定理6.2（一致收敛的柯西准则） 函数项级数()n u x ∑在数集D 上一致收敛的充要条件为：对任给的正数ε，总存在某正整数N ，使得当n>N 时，对一切x D ∈和一切正整数p ，都有()()n p n S x S x ε+-<,或 12()()()n n n p u x u x u x ε++++++<.此定理中当p=1时，得到函数项级数一致收敛的一个必要条件.推论 函数项级数()n u x ∑在数集D 上一致收敛的必要条件是函数列{()}n u x 在D 上一致收敛于零.设函数项级数()n u x ∑在D 上的和函数为()S x ，称()()()n n R x S x S x =- 为函数项级数()n u x ∑的余项.7 含参量反常积分的一致收敛的柯西准则7.1 含参量反常积分的定义设函数(,)f x y 定义在无界区域{(,),}R x y a x b c y =≤≤≤<+∞上，若对每一个固定的[,]x a b ∈，无穷积分(,)cf x y dy +∞⎰(10)都收敛，则它的值是x 在[,]a b 上取值的函数，当记这个函数为()I x 时，则有 ()(,)cI x f x y d y +∞=⎰，[,]x a b ∈， (11)称(10)式为定义在[,]a b 上的含参量x 的无穷限无穷积分，或简称含参量无穷积分. 如同无穷积分与数项级数的关系那样，含参量无穷积分与函数项级数在所研究的问题与论证方法上也极为相似.7.2 含参量无穷积分的一致收敛概念及柯西准则定义 若含参量无穷积分(10)与函数()I x 对任给的正数ε，总存在某一实数N>c ，使得当M>N 时，对一切[,]x a b ∈，都有(,)()Mcf x y d yI x ε-<⎰，即(,)Mf x y d y ε+∞<⎰，则称含参量无穷积分(10)在[,]a b 上一致收敛于()I x ，或简单地说含参量无穷积分(10)在[,]a b 上一致收敛.定理7.3 (一致收敛的柯西准则) 含参量无穷积分(10)在[,]a b 上一致收敛的充要条件是：对任给的正数ε，总存在某一实数M c >，使得当12,A A M >时，对一切[,]x a b ∈，都有21(,)A A f x y d y ε<⎰. (12)例8 证明含参量无穷积分s i n xydy y+∞⎰(13) 在[,)δ+∞上一致收敛(其中0δ>)，但在(0,)+∞内不一致收敛. 证 作变量代换u xy =，得s i n s i n AA x x y u d y d u yu +∞+∞=⎰⎰， (14)其中A>0.由于0sin udu u+∞⎰收敛，故对任给正数ε，总存在正数M ，当'A M >时，就有's i n A udu uε+∞<⎰. 取A M δ>，则当MA δ>时，对一切0x δ≥>，由(14)式有s i n Axydy yε+∞<⎰， 所以(13)在0x δ≥>上一致收敛.现在证明(13)在(0,)+∞内不一致收敛.由一致收敛定义，只要证明：存在某一正数0ε，使对任何实数M(>c)，总相应地存在某个A M >及某个[,]x a b ∈，使得0(,)Af x y d y ε+∞≥⎰.由于非正常积分0sin udu u+∞⎰收敛，故对任何正数0ε与M ，总存在某个(0)x >，使得00s i n s i n Mxu u du du u uε+∞+∞-<⎰⎰，即0000sin sin sin Mx uu u du du du u u uεε+∞+∞+∞-<<+⎰⎰⎰. (15) 现令001sin 2udu uε+∞=⎰，由(14)及不等式(15)的左端就有000s i n s i n 2MM x x y u d y d u yu εεε+∞+∞=>-=⎰⎰. 所以(13)在(0,)+∞内不一致收敛.关于含参量无穷积分一致收敛性与函数项级数一致收敛之间的联系有下述定理.定理 含参量无穷积分(10)在[,]a b 上一致收敛的充要条件是：对任一趋于+∞的递增数列{}n A (其中1A c =)，函数项级数111(,)()n nA n A n n f x y dy u x +∞∞===∑∑⎰(16)在[,]a b 上一致收敛.证 [必要性]由(10)在[,]a b 上一致收敛，故对任给的0ε>，必存在M c >，使当m n A A M >>时，对一切[,]x a b ∈，总有"'(,)A A f x y d y ε<⎰. (17)又由()n A n →+∞→∞，所以对正数M ，存在正整数N ，只要当m n M >>时，就有m n A A M >>.由(17)对一切[,]x a b ∈，就有 11()()(,)(,)m n mnA A n m A A u x u x f x y dy f x y dy ++++=++⎰⎰=1(,)m nA A f x y dy ε+<⎰.这就证明了级数(16)在[,]a b 上一致收敛.[充分性] 用反证法.假如(10)在[,]a b 上不一致收敛，则存在某个正数0ε，使得对于任何实数M c >，存在相应的"'A A M >>和'[,]x a b ∈，使得"0'(',)A A f x y d y ε≥⎰.现取1max{1,}M c =，则存在211A A M >>及1[,]x a b ∈，使得2110(,)A A f x y dy ε≥⎰.一般地，取2(1)max{,}(2)n n M n A n -=≥，则有221n n n A A M ->>及[,]n x a b ∈，使得2210(,)n n A n A f x y dy ε-≥⎰. (18)由上述所得到的数列{}n A 是递增数列，且lim n n A →∞=+∞.现考察级数111()(,)n nA n A n n u x f x y dy +∞∞===∑∑⎰.由(18)式知存在正数0ε，对任何正整数N ，只要n M >，就有某个[,]n x a b ∈，使得21220()(,)n nA n n n A u x f x y dy ε+=≥⎰.这与级数(16)在[,]a b 上一致收敛的假设矛盾.故含参量无穷积分(10)在[,]a b 上一致收敛.例9 若无穷积分()af x dx ∞⎰收敛，函数()f x 在[,)a +∞单调，则lim ()0x xf x →+∞=.证 不妨设函数()f x 在[,)a +∞上单调递减，已知无穷积分()af x dx ∞⎰收敛，我们有()0f x ≥，[,)x a ∈+∞.由已知条件无穷积分()a f x dx ∞⎰收敛，根据柯西收敛准则0,ε∀>..1p A ∀>和2p A >，有12()p p f x dx ε<⎰.于是122,,2xx A p p x ∀>==取，因为()f x 单调递减，得到2122()()()()02p xxx x p xf x dx f t dt f x dt f x ε>=≥=≥⎰⎰⎰. 即lim ()0x xf x →+∞=.8 柯西准则在数学分析中的作用8.1 柯西准则在实数完备性理论中的作用实数完备性是数学分析的基础，其六大定理即确界原理、单调有界定理、区间套定理、有限覆盖定理、聚点定理、柯西准则，建立了实数完备性理论的骨架.作为六大定理之一的柯西准则，起着至关重要的作用，由该准则人手，可依次推出其它五个定理.由广义积分收敛的柯西准则易推出广义积分的绝对收敛判别法及比较判别法. 8.2 用柯西准则判断敛散性的优越性作为判别敛散性的工具，柯西准则较其它判别法具有更多的优点.其一，条件的充分必要性决定其适用范围更广，更普遍；其二，柯西准则只利用题目本身的条件，不必借助极限结果，以下举两个例子说明之.例10 若数列{}n a 收敛，则数列{}n a 必收敛. 证 0ε∀>{}n a 收敛，由柯西准则',,N N m n N ∴∃∈∀>，有m n a a ε-< 从而m n m n a a a a ε-<-<，由柯西准则数列{}n a 收敛.例11 设函数列{()}n f x 在D 上一致收敛，则函数级数11(()())n n n f x f x ∞+=-∑在D 上一致收敛.证 设1()()()n n n u x f x f x +=- 0ε∀>因为 {()}n f x 在D 上一致收敛，由函数列一致收敛的柯西准则： 所以 'N N ∃∈，当n N >时，',p N x D ∀∈∀∈，有()()n p n f x f x ε+-< 从而 11()()()()()n n n p n p n u x u x u x f x f x ε++-++++=-<.由函数级数的柯西一致收敛准则得：11(()())n n n f x f x ∞+=-∑在D 上一致收敛 。
柯西收敛原理
柯西收敛原理
柯西收敛原理是数学分析中一个重要的收敛准则。
它描述了一个数列收敛的条件，即当数列中的每一项都趋近于无穷小的时候，这个数列就收敛。
具体地说，对于一个实数数列{an}，如果对于任意一个正实数ε，存在一个正整数N，当n>N时，有|an - a| < ε，其中a是柯
西收敛的极限值，那么这个数列就是柯西收敛的。
柯西收敛原理假设一个数列中的每一项都趋近于极限值，从而推出整个数列的收敛性。
它进一步扩展了数列收敛的判断条件，使得我们能够更加准确地判断一个数列的收敛性。
柯西收敛原理具有很高的实用性和广泛的应用领域。
在实际问题中，我们常常需要判断一个数列是否收敛，从而确定其极限值。
柯西收敛原理提供了一种可行的方法，通过数列中每一项的趋近性来判断其收敛性，并计算其极限值。
总之，柯西收敛原理是数学分析中的一个重要原理，它描述了数列收敛的条件，并提供了判断数列收敛性和计算极限值的方法。
通过该原理，我们能够更加准确地确定一个数列的收敛性，并推导出其极限值。
一致连续性的判定及运用
一致连续性的判定及运用本文摘要：本文讨论函数一致连续性的几种常用的判定方法及其运用。
主要讨论用定义判定、用康托定理判定、用导函数有界来判定、用一致连续的一些性质判定等等。
关键词：函数 连续 一致连续 判定1 引言我们知道，函数的一致连续性是数学分析课程中的一个重要内容。
它是一个极限概念，是从连续的概念派生出来的函数()f x 在某区间内连续，是指函数()f x 在该区间内每一点都连续，它反映函数()f x 在该区间上一点附近的局部性质，但函数的一致连续性则反映的是函数()f x 在给定区间上的整体性质，它有助于研究函数()f x 的变化趋势及性质。
因此，本文对函数一致连续性的概念、判定条件进行了深入的分析和总结，目的是帮助大家掌握运用不同的方法证明函数一致连续，使大家对函数一致连续性的内涵有更全面的理解和认识。
一致连续是数学分析中较难的一个概念，因为它只有εσ-语言定义，所以要判定一个函数的一致连续性相对来说不容易。
所以讨论一致连续函数的判定及运用有运用有一定的应用价值。
2 一致连续性判定2.1 利用定义定义：设函数()f x 在区间I 上有定义，若对0ε∀>，()0δδε∃=>，,x x I'''∀∈，只要x x δ'''-<，就有()()f x f x ε'''-<则称函数()f x 在区间I 上一致连续。
直观地说，f 在I 上一致连续意味着：无论x '与x ''二点与在I 处于什么位置，只要他们的距离小于δ，就可使()()f x f x ε'''-<这样就可以证明一致连续性。
例1 证明()(0)f x ax b a =+≠在(,)-∞+∞上一致连续。
证明：任给0ε>，由于()()f x f x a x x ''''''-=-故可选取aεδ=，则对任何x '，x ''∈(,)-∞+∞，只要x x '''-<δ,就有()()f x f x '''-<ε这就证得()(0)f x ax b a =+≠在(,)-∞+∞上一致连续。
(仅供参考)柯西收敛准则
例3 设数列满足条件 : an1 an r n , n 1, 2,,
其中 r (0,1). 求证 {an}收敛.
证 an p an an1 an an2 an1 an p an p1
r n r n1
由于
lim
n
rn 1r
rn 0, 于是
p1
r n (1 r p ) 1r
定理1 对于级数 un, 将它的所有正项保留而
n1
将负项换为0, 组成一个级数记为 vn 将它
n1
的所以负项变号(乘上因子-1)而将正项换为0, 也组
成一个正项级数记 wn
n1
vn
un
un 2
un , un 0, un
0 0
wn
un
un 2
un , un 0 0, un 0
(1)若级数 un 绝对收敛, 则级数 vn wn 都收敛;
(
1
1 2
1
,
{ xn} 收敛 .
2
2016/6/14
二 函数极限的柯西收敛准则
lim
n
xn
a
xn f (n)
lim f (n) a
n
lim f ( x) A
x
当 n，m > N 时, 总有
当 n , m > N 时, 总有
当x1, x2 X时，
总有
lim f ( x) A
x x0
当0 x1 x0 ,
0 x2 x0 时，总有
lim f ( x) A
x x0
当0 x1 x0 ,
0 x2 x0 时，总有
lim f ( x)不存在
x x0
尽管
0 0
复变函数论中的一致收敛问题
复变函数论中的一致收敛问题复变函数论是数学分析中的一个重要分支，研究的是在复平面上定义的复数函数。
其中一致收敛是复变函数论中的一个关键概念，也是许多定理的基础。
本文将探讨复变函数论中的一致收敛问题，并对其进行深入分析。
在复变函数论中，一致收敛是指对于一个函数序列，如果它在定义域上的每一个点处收敛到同一个极限，则称该函数序列在该定义域上一致收敛。
一致收敛对于理解函数的收敛性质具有重要意义，它能够保证函数序列与其极限函数之间的关系更为紧密。
在证明一致收敛性的问题时，我们通常会使用柯西收敛准则。
柯西收敛准则是指对于一个函数序列，如果对于任意给定的正数ε，存在正整数N，当n,m>N时，函数序列的前n项和前m项的差的绝对值小于ε，即|S_n(x)-S_m(x)|<ε，其中S_n(x)表示函数序列的第n项和函数。
那么函数序列在定义域上一致收敛。
接下来我们以一致收敛问题为例，讨论复变函数论中的一致收敛性质。
例1：证明函数序列f_n(z)=nz^n在单位圆盘上一致收敛到零函数。
解：首先我们需要计算函数序列的第n项和函数S_n(z)。
对于给定的正整数n，我们有S_n(z)=f_1(z)+f_2(z)+...+f_n(z)=z+2z^2+...+nz^n。
然后我们来估计S_n(z)与零函数之间的关系。
对于|z|<1，有|z^n|<1，那么对于任意正整数n和z，我们有|nz^n|<n。
因此，我们有|S_n(z)|=|z+2z^2+...+nz^n|<|z|+2|z|^2+...+n|z|^n。
接下来，我们希望通过估计S_n(z)来找到满足柯西收敛准则的N。
对于给定的正数ε>0，我们可以令N=1/ε，那么当n>N时，我们有|S_n(z)|<|z|+2|z|^2+...+n|z|^n<ε+2ε^2+...+nε^n。
因此，当n>N时，函数序列S_n(z)在单位圆盘上一致收敛到零函数。
数列的柯西收敛准则
数列的柯西收敛准则
若数列 $\{a_n\}$ 和 $\{b_n\}$ 都是柯西数列且
$\lim\limits_{n\to\infty}(a_n-b_n)=0$，则称数列 $\{a_n\}$ 和$\{b_n\}$ 满足柯西收敛准则。
或者可以简单地表述为：如果一个数列满足任意两项之间的差的绝对值无限接近零，那么这个数列就是柯西数列，收敛于某个实数。
数列的柯西收敛准则是判断数列是否收敛的一种常用方法。
它利用数列的柯西性质，通过比较两个数列来判断它们的收敛性。
如果两个柯西数列之间的差的极限为零，则它们之间的距离逐渐缩小，因此它们都收敛于同一个极限。
数列柯西收敛准则
柯西极限存在准则又叫柯西收敛原理，给出了收敛的充分必要条件。
柯西极限存在准则，又称柯西收敛准则，是用来判断某个式子是否收敛的充要条件（不限于数列），主要应用在以下方面：数列、数项级数、函数、反常积分、函数列和函数项级数每个方面都对应一个柯西准则，因此下文将按照不同的方面对准则进行说明。
充分性
由于数列的柯西收敛准则是实数连续性的体现之一，所以用实数公理——戴德金定理证明{xn}收敛。
首先证明柯西序列是有界的。
根据柯西序列的定义，对任意ε>0，存在正整数N，当m,n>N时，有|xn-xm|<ε。
于是取m=N+1，则当n>N时，|xn-xN+1|<ε。
解得xN+1-ε<xn<xN+1+ε，即当n>N时，{xn}既有上界又有下界，所以是有界的。
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f (x1) f (x2) f (x1) b b f (x2) f (x1) b f (x2) b
.
22
(3) x1 [a, X ], x2 [X ,),对上述的与， 当 x1 x2 时，必有x1 X 与 x2 X ,
故由（1）与（2）得 f (x1) f (x2) f (x1) f (X ) f (x2) f (X )
例2. 写出极限 lim f (x)存在的柯西收敛准则及其否定描述。 x
解： 极限 lim f (x)存在的柯西收敛准则： x lim f (x)存在的充分必要条件为 x 0, X 0,当x, x X时，有 f (x) f (x) .
极限 lim f (x)不存在的柯西收敛准则： x
lim f (x)不存在的充分必要条件为
1
2n
,
x2
1
2n
, (0,1),
2
x1 x2 , (n充分大时总可成立）
而
f
(x1)
f
(x2 )
e x1
1 cos
x1
ex2
1 cos
x2
1
e 2n
1 0.
f (x) ex cos 1 在区间(0,1)上非一致连续。 x
例11. 证明 : 若函数f (x) sin x2在区间(,)上非一致连续。
且sn c1 c2 cn ,而数列sn收敛，则数列 xn也收敛。 证明： sn收敛， 由柯西收敛准则知，
0, 正整数N，当n, m N时，恒有 sn sm .
不妨设n m,则 xn xm xn xn1 xn1 xn2 xm1 xm xn xn1 xn1 xn2 xm1 xm
例4. 利用柯西收敛准则，证明极限 lim sin x不存在。 x
证明：
给定 0
1，对任意的X 2
0,
总有点x1
2n
,
x2
2n
2
,
x1, x2 X ,
(取n充分大）
使得 sin x1 sin x2 1 0,
由柯西收敛准则知，极限 lim sin x不存在。 x
例5. 利用柯西收敛准则证明: 若n N,有 xn1 xn cn,
令x minx, x, 则 f (x) f (x) 2 ,
于是，对
0,
欲使
f
(x)
f
(x)
x ,只要
2
,
x
或只要x 2 , 故取X 2 ,则当x, x X时，恒有
f (x) f (x) cos x cos x ,
x x
由柯西收敛准则知，极限 lim cosx 存在。 x x
f
( x1 )
g(x1)
f
(x2 )
g ( x2
)
2
2
,
故函数f (x) g(x)在区间I上一致连续。
例9. 证明: 若函数f (x)[a,)上连续, 且 lim f (x) b,则函数 x f (x)在[a,)上一致连续。
证明： lim f (x) b,
x
0, X
0,当x
X时，f (x) b
0, 0,x1, x2 I , x1 x2 , f (x1) f (x2 )
例7. 用定义证明函数 f (x) x sin x在(,)上一致连续。
证明： f (x1) f (x2) x1 x2 (sin x1 sin x2)
x1 x2
sin x1 sin x2
例8. 证明:函数f (x), g(x)在区间I上一致连续 ,则函数f (x) g(x)
在区间I上一致连续。
证明： 函数f (x), g(x)在区间I上一致连续 ,
0, 0, 对任意的x1, x2 I,当x1 x2 时，
f (x1) f (x2 ) 2 , g(x1) g(x2 ) 2 ,
x
0 0, 对X 0, 总有x1, x2 X ,使得 f (x1) f (x2) 0.
例3. 利用柯西收敛准则，证明极限 lim cosx 存在。 x x
证明： 令f (x) cosx , x
则 f (x) f (x) cosx cosx 1 1 , x x x x
x , 不妨设x, x 0,
x1 x2 2(
,
2n 2n )
(只要n充分大）2Fra bibliotek而 sin x12 sin x22
2
2 2
2 2
1 0.
函数f (x) sin x2在区间(,)上非一致连续。
追求人生的美好!
我们的共同目标!
x1 x2
2 cos x1 x2 sin 2
x1 x2 2
x1 x2
2 sin x1 x2 2
x1 x2
2 x1 x2 2
2 x1 x2
0,
2
0, 对任意的x1, x2
(,),
当 x1 x2 时，恒有 f (x1) f (x2 ) ,
函数f (x) x sin x在(,)上一致连续。
xn xm am1qm1 am2qm2 anqn
Mq m1 1 qm M qm , 1q 1q
0, 欲使 xn
xm
, 只要 M qm
1 q
,
或只要
m
ln
1 q M
,
ln q
故取正整数N
ln
1 q M
,
ln q
则当n, m N时，恒有
xn xm ,
所以，由柯西收敛准则 知，数列xn收敛。
.
将区间[a,)分为区间[a, X ]与[X ,), 2
(1) 在闭区间[a, X ]上，因为f (x)连续，所以一致连续。
故对上述的 ，存在 0, 对任意的x1, x2 [a, X ]，
当 x1 x2
时，f (x1)
f (x2 )
;
4
(2) x1, x2 [X ,),对上述的与，当x1 x2 时，
证明：
sin
x12
sin
x22
2 cos
x12
2
x22
sin
x12
2
x22
,
取正数x1, x2 , 满足
x12
x22 2
2n
,
4
x12
x22 2
,
4
则
x12 2n ,
x22
2n
2
,
即
x1
2n ,
x2
2n ,
2
给定正数
，对任意的正数
0
，总有 x1
2n , x2
2n ,
2
使得
.
22 综上讨论，对任意的x1, x2 [a,),当x1 x2 时，
f (x1) f (x2) .
f (x)在区间[a,)上一致连续。
例10. 证明: 若函数f (x) ex cos 1 在区间(0,1)上非一致连续。 x
证明： 给定正数 （0 1）, 对任意的正数 ，总有
x1
1. 柯西极限存在准则(柯西审敛原理) (P71)
数列 极限存在的充要条件是:
0, 存在正整数 N , 使当 m N , n N 时,
有
xn xm
例1. 应用柯西收敛准则证明下列数列收敛
xn a0 a1q a2q2 anqn ,
其中 0 q 1, ai M（常数）. 证明： n m时，
cn1 cn2 cm1 cn cn1 cn2 cm1
sn sm sn sm ,
由柯西收敛准则知，数 列xn收敛。
例6.
设xn
1
1 2
1 n
, 利用柯西收敛准则证明数列xn 发散。
证明：
给定正数 0
1 , 对任何正整数N,总有n 3
N , 使得
x2n xn
1 1 1 n
2n 2n 1
n 1 2n
1 2
0,
故由柯西收敛准则知， 数列xn发散。
2. 一致连续性
设函数f (x)在区间I上有定义，如果对于任意给定的
正数，总存在着正数，使得对于区间I上的任意两点x1、 x2，当x1 x2 时，就有
f (x1) f (x2 ) ,
那么称函数f (x)在区间I上是一致连续的。