函数极限柯西收敛准则
函数极限的柯西收敛准则
写完之后我想看看其他人是怎么证明的搜索了一下拉格朗日中值定理的辅助函数的构造结果发现自己写的这篇博客居然排名第一
函数极限的柯西收敛准则
以下内容来自中科大数学分析教程P73,定理2.4.7 函数在x_{0}点的极限的定义 若存在l，\forall \epsilon>0，\exists\delta>0，使得当|x-x_{0}|<\delta 则有|f(x)-l|<\epsilon,即称l为f(x)当x趋近于x_{0}的极限 定理：函数f(x)在x_{0}处有极限的充要条件是\forall \epsilon>0,\exists\delta>0, \quad\quad 使得任意x_{1},x_{2}\in U(x_{0},\delta)时，有 \quad\quad |f(x_{1})-f(x_{2})|<\epsilon 证明： 1.必要性 若f(x)在x_{0}点的极限为l，即\forall \frac{\epsilon}{2}>0,\exists\delta,当x_{1},x_{2}\in U(x_{0},\delta) 有|f(x_{1})-l|<\frac{\epsilon}{2},|f(x_{2})-l|<\frac{\epsilon}{2} 则：|f(x_{1})-f(x_{2})|=|f(x_{1})+l-l-f(x_{2})| \quad\quad \leqslant |f(x_{1})-l|+|f(x_{2})-l| \ห้องสมุดไป่ตู้uad\quad\leqslant\frac{\epsilon}{2}+\frac{\epsilon}{2}=\epsilon
柯西准则——精选推荐
柯西准则1第⼀节、数列的柯西收敛准则与函数的⼀致连续性⼀、数列极限柯西准则⼆、函数极限柯西准则三、函数的⼀致连续性四、⼩结五、作业当n > N 时, 总有lim n nx a→∞= .定义只能⽤来验证在不知道a的情况下，如何判断数列极限是否存在呢？1、夹逼准则若数列x y 及z 第⼀节、数列的柯西准则与函数的⼀致连续性, n n n 满⾜下列条件:(1) ( 1,2,3 ) n n n y ≤ x ≤ z n = ..则数列n x 的极限存在, lim . n nx a→∞=(2) lim , lim , n n n ny a z a→∞ →∞= =且单调有界数列必有极限.2、单调有界准则回顾:lim n nx a→∞=..ε > 0, .N ∈ N+ , 当n > N时，总有. n x . a <ε1. 柯西(Cauchy)列：如果数列{ } 具有以下特性： n a⼀、数列的柯西收敛准则第⼀节、数列的柯西准则与函数的⼀致连续性3则称数列是⼀个基本数列或柯西( Cauchy)列.ε 0, N N , n,m N, . > . ∈ + . > , n m 有a .a <ε{ } n a2. Cauchy收敛准则：定理数列收敛的充要条件是：是⼀个柯西数列.数列收敛{ } n a{ } n a{ } n a ε 0, N N , . . > . ∈ + .m, n>N,. m n 有a .a <ε第⼀节、数列的柯西准则与函数的⼀致连续性4定理1（柯西收敛准则）数列{ } n a 收敛的充分必要条件是对.ε >0,.N, 当n,m>N时, 有. n m a .a <ε证明必要性若{ } n a 收敛于a, 设lim . n n a a →∞=则对.ε >0, .N ∈N+, 当n>N, 时，有, n a a ε2. , m a a ε2. m>N第⼀节、数列的柯西准则与函数的⼀致连续性52< 2<n m a .a2 2<ε +ε =ε .故n m = a .a n m .a +a ≤ a .a + a .a充分性的证明从略..定理的⼏何解释柯西准则说明:x1 x2x5 x4 x3越到后⾯越是挤在⼀起.于预先给定的任意⼩正数, 或形象地说, 收敛数列的各项越是接近,收敛数列各项的值越到后边, 彼此以⾄项数充分⼤的任何两项之差的绝对值可⼩第⼀节、数列的柯西准则与函数的⼀致连续性6柯西收敛准则表明，数列收敛等价于数列中项数充分⼤(即n充分⼤)的任意两项的距离能够任意⼩. 柯西收敛准则的优点在于只须根据数列⾃⾝各项之间的相互关系就能判别该数列的敛散性. 它不需要借助数列以外的任何数，2柯西列：对于数列使当n，m > N 时, 总有如果对于任意给定的总存在正整数则称为柯西列。
三大收敛定理
三大收敛定理引言在数学领域，收敛是一个重要的概念。
当一个数列或函数的值越来越接近一个确定的极限值时，我们称之为收敛。
收敛定理是指一系列定理，用于判断数列或函数是否收敛以及极限的性质。
本文将介绍三大收敛定理，分别是柯西收敛准则、夹逼定理和单调有界数列定理。
这些定理是数学分析中最重要的基本定理之一。
一、柯西收敛准则柯西收敛准则是判断数列是否收敛的一种重要方法。
柯西收敛准则的基本思想是：如果对于任意给定的正数ε，存在一个自然数N，使得当n和m大于等于N时，数列的前n个元素和前m个元素之差的绝对值小于ε，则该数列是收敛的。
表达式表示如下：对于任意给定的ε>0，存在自然数N，对于任意n,m>N，有|an - am| < ε。
二、夹逼定理夹逼定理是用来判断函数极限的一种重要方法。
夹逼定理的基本思想是：如果一个函数在某个区间上的两个函数夹住，且两个函数的极限相等，则这个函数的极限也相等。
具体的说：假设函数f(x)、g(x)和h(x)在区间[a, b]内定义，并且当x在这个区间上时，有g(x) ≤ f(x) ≤ h(x)。
如果当x趋于某个值c时，有lim(g(x)) = lim(h(x)) = L，则lim(f(x))也等于L。
三、单调有界数列定理单调有界数列定理是判断数列是否收敛的一种常用方法。
该定理分为两部分：单调有上界的数列必有极限，以及单调有下界的数列必有极限。
单调有上界的数列必有极限可以表述为：如果一个实数数列递增且有上界，那么这个数列是收敛的。
同理，单调有下界的数列必有极限可以表述为：如果一个实数数列递减且有下界，那么这个数列也是收敛的。
实例应用下面我们通过一个实例来应用上述三大收敛定理。
例：判断数列{(-1)^n/n}是否收敛。
首先，我们可以通过柯西收敛准则来判断数列是否收敛。
对于任意给定的ε>0，我们有：|an - am| = |(-1)^n/n - (-1)^m/m| ≤ 2/n ≤ ε。
函数极限柯西收敛准则
函数极限柯西收敛准则
一、教学目标
1、了解极限柯西收敛准则的内涵；
2、掌握极限柯西收敛准则的主要思想和推导过程；
3、能够中用费米和投影法解决极限柯西收敛准则的问题。
二、教学要求
1、熟练掌握极限柯西收敛准则的概念；
2、能熟练应用极限柯西收敛准则解决实际问题；
3、总结准则中关于极限的思想，形成自己的见解和理解；
4、明确极限柯西收敛准则的定义，掌握推导原理与推导步骤；
5、能够利用费米和投影法解决极限柯西收敛准则中的问题。
三、教学重点
1、重点理解极限柯西收敛准则的逻辑关系；
2、熟练掌握极限柯西收敛准则的求解步骤；
3、灵活运用极限柯西收敛准法解决实际问题。
四、教学准备
1、教学手段：PPT，电子教学课件，课堂实例；
2、教学用具：黑板，白板，投影仪，磁带；
3、教学例题：推导极限柯西收敛准则的实例，以及可被费米和投影法求解的问题。
五、教学内容
1、概念定义
极限柯西收敛准则是指：当一系列函数{f_n(x)},n=1,2,3,…中，每一个函数f_n(x)从上界的一个范围内的x到下界的一些范围内的y时，函数系列{f_n(x)}当n趋近无穷大时。
一元函数的极限存在准则与极限运算法则
一元函数的极限存在准则与极限运算法则在数学中，一元函数的极限存在准则和极限运算法则是研究函数极限的重要内容。
理解和运用这两个准则和法则，可以帮助我们更好地理解一元函数的极限，解决相关问题。
本文将详细介绍一元函数的极限存在准则和极限运算法则，并通过例子加以说明。
一、极限存在准则极限存在准则是指在某个区间上的函数，如果满足柯西收敛准则或者Bolzano-Weierstrass定理，那么该函数就存在极限。
1. 柯西收敛准则柯西收敛准则是指函数收敛的严格条件，即对于任意正数ε，存在正数δ，使得当x满足0<|x-a|<δ时，有|f(x)-L|<ε。
其中，a为某个实数，L为极限值。
这一准则要求函数在无穷接近于极限时的差值趋近于零，函数值和极限值的差值趋近于零。
换言之，当自变量x无限接近于a时，函数值f(x)也无限接近于L。
2. Bolzano-Weierstrass定理Bolzano-Weierstrass定理是指有界实数集合必有收敛子列。
对于函数而言，如果一个函数在某个区间上有界，并且该区间上有无穷个变量值，那么该函数必定存在极限。
Bolzano-Weierstrass定理可以简单解释为：如果一个函数在某个区间上无限变化，并没有趋于无穷大或无穷小，那么该函数在该区间上一定存在极限。
通过柯西收敛准则和Bolzano-Weierstrass定理，我们可以判断一元函数在某个区间上是否存在极限，进而帮助我们求解一元函数的极限值。
二、极限运算法则极限运算法则是指一元函数的极限运算中满足的一些基本规则，可以帮助我们更好地计算和理解极限。
1. 四则运算法则根据四则运算法则，给定两个函数f(x)和g(x)，当它们的分母项在某点a处的极限存在且不为零时，有以下几个结论：- 两个函数的和的极限等于各自函数的极限之和：lim[x→a](f(x)+g(x)) = lim[x→a]f(x) + lim[x→a]g(x)- 两个函数的差的极限等于各自函数的极限之差：lim[x→a](f(x)-g(x)) = lim[x→a]f(x) - lim[x→a]g(x)- 两个函数的乘积的极限等于各自函数的极限之积：lim[x→a](f(x)·g(x)) = lim[x→a]f(x) · lim[x→a]g(x)- 两个函数的商的极限等于各自函数的极限之商，若lim[x→a]g(x) ≠ 0：lim[x→a](f(x)/g(x)) = lim[x→a]f(x) / lim[x→a]g(x)这些四则运算法则为我们计算一元函数的极限提供了方便和便捷的方法。
函数极限的柯西收敛准则
函数极限的柯西收敛准则柯西收敛准则是指数列收敛的一种判据，它是由法国数学家柯西（Augustin Cauchy）在19世纪初提出的。
柯西收敛准则主要应用于函数极限的研究中，通过判断数列的柯西条件是否满足来确定数列是否收敛。
柯西收敛准则的数学表述如下：对于任意给定的正数ε，存在正整数 N，对任意的m,n≥ N，都有，an - am，< ε 成立。
直观来解释柯西收敛准则就是当数列中的一段数列的值无限接近时，整个数列也会收敛。
柯西收敛准则可以用来证明一个数列收敛，但是对于具体的极限值并没有给出明确的方法。
对于函数极限来说，柯西收敛准则可以用来证明一个函数在特定点处的极限存在。
具体来说，对于函数f(x)，如果对任意给定的正数ε，存在正实数δ，使得对于所有的x1，x2∈（c-δ，c+δ），都有，f(x1)-f(x2)，<ε成立，则f(x)在点c处的极限存在。
柯西收敛准则的证明通常通过数列的收敛性和函数的连续性来进行。
对于函数极限的柯西收敛准则，可以通过数列的柯西性和函数的其中一种性质（例如连续、有界等）来进行证明。
以函数极限的柯西收敛准则的证明为例，我们先假设函数f(x)在点c 处具有极限L，然后构造一个数列{x_n}，使得{f(x_n)}满足柯西收敛准则。
首先，对于给定的正数ε，由于f(x)在点c处极限存在，存在正实数δ1，使得当，x-c，<δ1时，，f(x)-L，<ε/2成立。
然后，我们选取一个数列{x_n}，使得对于任意的正整数n，，x_n-c，<δ1/n成立。
显然，当n较大时，x_n-c，较小，这意味着{x_n}收敛于c。
接下来，我们考虑数列{f(x_n)}。
由于f(x)在点c处连续，根据ε-δ定义，存在正整数N，使得对于任意的m,n≥N，都有，x_n-x_m，<δ1，从而有，f(x_n)-f(x_m)，<ε/2成立。
综上所述，数列{f(x_n)}满足柯西收敛准则，从而根据柯西收敛定理，数列{f(x_n)}收敛于一些极限值，假设为L'。
柯西收敛准则与绝对收敛的判定
柯西收敛准则与绝对收敛的判定在数学分析中，收敛是一个十分重要的概念。
在讨论数列（或者函数）的极限值时，我们经常需要考虑该数列是否收敛，以及如何判断其收敛性。
在这个过程中，柯西收敛准则和绝对收敛是两个关键的概念。
一、柯西收敛准则柯西收敛准则是收敛性的一个基本准则。
它告诉我们，如果一个数列满足满足“任意小的正数都存在一个正整数N，使得当n,m>N时有|an-am|<ε”，那么这个数列就收敛。
这个定义可能有些抽象，我们可以通过一个例子来解释。
假设有一个数列an=1/1+1/2+…+1/n，我们要证明该数列收敛。
我们任取一个小数ε，不妨设ε=0.001。
现在我们要证明存在一个正整数N，当n,m>N时，有|an-am|<0.001。
具体地，我们可以这样做：首先，由于an是一个递增数列，所以我们取n>m，不妨设n=m+k（其中k是一个正整数）。
于是我们有：|an-am|=|(1/1+1/2+…+1/n)-(1/1+1/2+…+1/m)|=|1/(m+1)+1/(m+2)+…+1/n|<=1/(m+1)+1/(m+2)+…+1/(m+k)下面我们用一个定理来证明这个式子小于0.001。
定理：对于任意一个正整数m，有1/2+1/3+…+1/m<=lnm证明：我们考虑一个递增的几何级数：1/2, 1/2^2, 1/2^3,…。
显然，该级数的和是1，即：1/2+1/2^2+1/2^3+…=1我们将每一项分别乘以2，得到：1+1/2+1/2^2+1/2^3+…=2令x=1/2，则上式为：1+x+x^2+x^3+…=2由于x<1，所以该级数在一般意义下收敛。
因此，我们可以对上式两边取极限，得到：1/(1-x)=2即：x=1/2因此，我们可以得到：1/2+1/2^2+1/2^3+…=11/3+1/4+1/5+…<=1/2+1/2^2+1/2^3+…=11/4+1/5+1/6+…<=1/3+1/4+1/5+…<=1/2……1/m+1/m+1/m+…<=ln(m-1)于是我们有：1/2+1/3+…+1/m<=lnm由此可得：1/(m+1)+1/(m+2)+…+1/(m+k)<=1/(m+1)+1/(m+2)+…+1/(m+k)<= 1/(m+1)+1/(m+2)+…+1/m-1/(m+k)<=ln(m)-ln(m-k)接下来，我们再来证明一个常用的不等式：lnn>=1-(1/2)+(1/3)-(1/4)+…+((-1)^(n-1))*(1/n)证明：由于lnx=∑((-1)^(k-1))*(x-1)^k/k因此，ln(1+x)=x-1/2*x^2+1/3*x^3-1/4*x^4+…取x=1/2，得到：ln(3/2)=1/2-1/8+1/24-1/64+…因此，ln3>=2*(ln(3/2)+1/8+1/24+1/64+…)这是一个调和级数，可以证明级数收敛，因此这个式子有一个上界。
谈谈数学分析中的几类柯西准则
谈谈数学分析中的几类柯西准则【摘要】本文主要论述了数列的柯西收敛准则，函数极限存在的柯西准则，级数收敛的柯西准则，函数列一致收敛的柯西准则，函数项级数一致收敛的柯西准则，平面点列的柯西准则，含参量反常积分一致收敛的柯西准则的应用并进行了总结和证明，并通过大量的例题体现了它们的地位和作用.柯西收敛准则是证明收敛与发散的基本方法，并且通过此种方法还推出了很多简单的方法，由此可见柯西准则的重要地位，此种方法的优越性也是显而易见的，就是通过本身的特征来判断是否收敛，这就给证明带来了方便，本文将这几种准则作了以下总结，并且探讨了它们之间的一些关系.【关键词】柯西准则，一致收敛，级数Some Canchy criteria in the Mathematical Analysis【Abstract】This passeage discusses the sequence of cauchy criterion function limit, the convergence of cauchy criterion, the convergence of the series, the function of cauchy criterion listed uniform convergence of cauchy criterion function series, uniform convergence of cauchy criterion, plane of cauchy criterion, some abnormal integral parameter uniform convergence of cauchy criterion and summarized and proof, and through a lot of sample reflected their status and role. Cauchy convergence criteria is proved the convergence and spread the basic method and through this method also launched many simple method, thus the important position of cauchy criterion, this kind of method is obvious superiority of the characteristics of itself, through to judge whether to prove the convergence, and this will bring convenience to the standards for the following summary, and probes into some of the relationship between them.【Key words】cauchy criterion, uniform convergence, series目录1 引言 (1)2数列的柯西收敛准则 (1)3函数极限存在的柯西准则 (2)4级数收敛的柯西准则 (3)4.1 级数的定义 (3)4.2 级数收敛的柯西准则及其应用 (3)5函数列一致收敛的柯西准则 (5)5.1 函数列的定义 (5)5.2 函数列的一致收敛及其应用 (5)6函数项级数一致收敛的柯西准则 (7)6.1 函数项级数定义 (7)6.2 函数项级数的一致收敛 (7)7含参量反常积分的一致收敛的柯西准则 (8)7.1 含参量反常积分的定义 (8)7.2 含参量无穷积分的一致收敛概念及柯西准则 (8)8 柯西准则在数学分析中的作用 (11)9参考文献 (13)1 引言柯西准则是数学分析的基础理论，贯穿于整个数学分析内容之中.在数学分析中，凡涉及到“收敛”与“一致收敛”概念的，都有与内容相应的柯西收敛（或一致收敛）准则，其最大优点是不需要借助于数列（或函数）以外的任何信息，只依据各项的特点，它具有整齐完美的形式，在分析中有很重要的理论价值．由于柯西准则的内容多，又分布在教材的不同地方，在学习时感到空洞，抓不住实质，更不能很好地应用它们，下面根据自己的学习经验，谈点体会．2 数列的柯西准则定理2.1 (柯西收敛准则) 数列{}n a 收敛的充要条件是：对任给的0ε>，存在正整数N ，使得当,n m N >时有 n m a a ε-<. 例1 证明：任一无限十进小数120.na bb b =的n 位不足近似(1,2,)n =所组成的数列1121222,,,,101010101010nn b b b b b b ++++ (1) 满足柯西条件(从而必收敛)，其中k b 为0,1,2,,9中的一个数，k=1,2，.证 记122101010nn n b b b a =+++.不妨设n m >,则有 1212101010m m nn m m m nb b b a a ++++-=+++ 11911(1)101010m n m +--≤+++1111(1)101010m n m mm -=-<<. 对任给的0ε>，取1N ε=，则对一切n m N >>有n m a a ε-<. 这就证明了数列(1)满足柯西条件. 例2 已知1sin 2nn k k kx ==∑，求证lim n n x →∞存在. 证明：设n m >，11sin 122nnn m k k k m k m k x x =+=+-=≤∑∑11111(1)222m n m +--=+++1111112212m m m +≤⋅=<-.所以10,{}N εε∀>∃=，当n m N >>时，1n m x x mε-<<，由柯西收敛准则，所以lim n n x →∞存在.3 函数极限存在的柯西准则定理 3.1(柯西准则) 设函数f 在00(;')U x δ内有定义.0lim ()x x f x →存在的充要条件是：任给0ε>，存在正数(')δδ<，使得对任何00',"(;)x x U x δ∈有(')(")f x f x ε-<.证 必要性 设0lim ()x x f x A →=，则对任给的0ε>，存在正数(')δδ<，使得对任何00(;)x U x δ∈有()2f x A ε-<.于是对任何00',"(;)x x U x δ∈有(')(")(')(")22f x f x f x A f x A εεε-≤-+-<+=.充分性 设数列00{}(;)n x U x δ⊂且0lim n n x x →∞=.按假设，对任给的0ε>，存在正数(')δδ<，使得对任何00',"(;)x x U x δ∈，有(')(")f x f x ε-<.对上述的0δ>，存在0N >，使得当,n m N >时有00,(;)n m x x U x δ∈，从而有 ()()n m f x f x ε-<.于是，按数列的柯西准则，数列{()}n f x 的极限存在，记为A ，即lim ()n n f x A →∞=.按照函数极限的柯西准则，我们能写出极限0lim ()x x f x →不存在的充要条件：存在00ε>，对任何0δ>(无论δ多么小)，总可以找到00',"(;)x x U x δ∈，使得0(')(")f x f x ε-≥.例3 证明极限01lim sin x x→不存在.证 取01ε=，对任何0δ>，设正整数1n δ>，令11',"2x x n n πππ==+ 则有00',"(;)x x U x δ∈，而011sin sin 1'"x x ε-==.于是按柯西准则，极限01lim sin x x →不存在.4 级数收敛的柯西准则4.1 级数的定义给定一个数列{n u }，对它的各项依次用“+”号连接起来的表达式 12n u u u ++++(2)称为数项级数或无穷级数(也常称级数)，其中n u 称为数项级数(2)的通项 4.2 级数收敛的柯西准则及其应用定理4.2 级数收敛的充要条件是：任给正数ε，总存在正整数N ，使得当m>N 以及对任意的正整数p ，都有 12m m m p u u u ++++++<ε根据定理4.2，我们立刻可写出级数发散的充要条件：存在某正数0ε，对任何正整数N ，总存在正整数0m (>N)和0p ，有 0000120m m m p u u u ε++++++≥ (3)由定理4.2立即可得如下推论，它是级数收敛的一个必要条件.推论 若级数(2)收敛，则l i mn n u →∞=0. 例4讨论调和级数1+11123n++++的敛散性解 这里调和级数显然满足推论的结论，即1l i m l i m 0n n n u n→∞→∞==. 但令p=m 时，有 122111122m m m u u u m m m+++++=+++++ ≥111222m mm+++=12.因此，取0ε=12，对任何正整数N ，只要m>N 和p=m 就有(5)式成立.所以调和级数是发散的.例5 应用级数收敛的柯西准则证明级数21n∑收敛.证 由于12m m m p u u u ++++++=222111(1)(2)()m m m p ++++++ <111(1)(1)(2)(1)()m m m m m p m p +++++++-+=11m m p -+ <1m. 因此，对任给正数ε，取N=1ε⎡⎤⎢⎥⎣⎦，使当m>N 及对任意正整数p ，由上式就有12m m m p u u u ++++++<1m<ε. 依定理4.2推得级数21n∑是收敛的. 例6 设11111!2!!n x n =++++，证明{}n x 收敛.证明 ,n p N ∀∈，111111(1)!(2)!()!(1)(1)(2)(1)()n p n x x n n n p n n n n n p n p +-=+++<++++++++++-+ 1111111111121n n n n n p n p n np n=-+-++-=-<++++-++. 0ε∀>，11,n n εε<>，取1[]N ε=，于是0ε∀>，1[]N ε∃=，,n N p N ∀>∀∈，有n p n x x ε+-<，故{}n x 收敛.5函数列一致收敛的柯西准则5.1 函数列收敛的定义设函数列{}n f 与函数f 定义在同一数集D 上，若对任给的正数ε，总存在某一正整数N ，使得当n>N 时，对一切x D ∈，都有 ()()n f x f x ε-<， 则称函数列{}n f 在D 上一致收敛于f ，记作()()n f x f x ⇒ ()n →∞，x D ∈.由定义看到，如果函数列{}n f 在D 上一致收敛，那么对于所给的ε，不管D 上哪一点x ，总存在公共的()N ε(即N 的选取仅与ε有关，与x 的取值无关)，只要n>N ，都有|()()n f x f x ε-<.由此看到函数列{}n f 在D 上一致收敛，必在D 上每一点都收敛.反之，在D 上每一点都收敛的数列{}n f ，在D 上不一定收敛. 5.2 函数列的一致收敛及其应用定理5.2 (函数列一致收敛的柯西准则) 函数列{n f }在数集D 上一致收敛的充要条件是：对任给正数ε，总存在正数N ，使得当n ，m>N 时，对一切x D ∈，都有()()n m f x f x ε-<. (4)证 [必要性] 设()()n f x f x ⇒ (n →∞)，x D ∈，即对任给0ε>，存在正数N ，使得当n>N 时，对一切x D ∈，都有()()2n f x f x ε-<. (5)于是当n ，m>N ，由(5)就有()()()()()()n m n m f x f x f x f x f x f x -≤-+-<22εε+=ε.[充分性] 若条件(4)成立，由数列收敛的柯西准则，{}n f 在D 上任一点都收敛，记其极限函数为()f x ，x D ∈.现固定式中的n ，让m →∞，于是当n>N 时，对一切x D ∈都有()()n f x f x ε-≤. 由定义可得，()()n f x f x ⇒ ()n →∞，x D ∈. 根据一致收敛定义可推出下述定理：函数列{}n f 在区间D 上一致收敛于f 的充要条件是：l i m s u p ()()0n n x Df x f x →∞∈-=. (6) 证 [必要性] 若()()n f x f x ⇒ ()n →∞，x D ∈.则对任给的正数ε，存在不依赖于x 的正整数N ，当n>N 时，有 ()()n f x f x ε-<，x D ∈. 由上确界的定义，亦有sup ()()n x Df x f x ε∈-≤.这就证得(6)式成立.[充分性] 由假设，对任给的0ε>，存在正整数N ，使得当n>N 时，有s u p ()()n x Df x f x ε∈-<. (7)因为对一切x D ∈，总有 ()()s u p ()()n n x Df x f x f x f x ∈-≤-. 故由(7)式得()()n f x f x ε-<.于是{}n f 在D 上一致收敛于f .在判断函数列是否一致收敛上定理 5.2更为方便一些(其缺点是必须事先知道它的极限函数)，由, 所以在(,)-∞+∞上，sin 0nxn ⇒()n →∞. 例7 证明：若对,0,n n N a x I ∀∈∃>∀∈，有1()()n n n f x f x a +-≤，且1n n a ∞=∑收敛，则函数列{()}n f x 在区间I 上一致收敛. 证明： ,,n p N x I ∀∈∀∈，111()()()()()()n p n n p n p n n n p n f x f x f x f x f x f x a a +++-++--≤-++-≤++(,)sin 1lim sup 0lim 0n n x nx nn →∞→∞∈-∞+∞-==因为1n n a ∞=∑收敛，故0,,n N p N ε∀>∃∈∀∈，有1n p n a a ε+-++<.于是，0,,,n N p N x I ε∀>∃∈∀∈∀∈，有 11()()n p n n p n n p n f x f x a a a a ε++-+--≤++=++<.所以{()}n f x 在区间I 上一致收敛.6 函数项级数一致收敛的柯西准则6.1 函数项级数定义定义1 设{()}n u x 是定义在数集E 上的一个函数列，表达式 12()()()n u x u x u x ++++，x E ∈ (8)称为定义在E 上的函数项级数，简记为1()nn k u x =∑或()n u x ∑.称1()()nn k k S x u x ==∑， x E ∈，n=1，2，(9)为函数项级数(10)的部分和函数列定义2 设{()}n S x 是函数项级数()n u x ∑的部分和函数列.若{()}n S x 在数集D 上一致收敛于函数()S x ，则称函数项级数()n u x ∑在D 上一致收敛于函数()S x ，或称()n u x ∑在D 上一致收敛. 6.2 函数项级数的一致收敛定理6.2（一致收敛的柯西准则） 函数项级数()n u x ∑在数集D 上一致收敛的充要条件为：对任给的正数ε，总存在某正整数N ，使得当n>N 时，对一切x D ∈和一切正整数p ，都有()()n p n S x S x ε+-<,或 12()()()n n n p u x u x u x ε++++++<.此定理中当p=1时，得到函数项级数一致收敛的一个必要条件.推论 函数项级数()n u x ∑在数集D 上一致收敛的必要条件是函数列{()}n u x 在D 上一致收敛于零.设函数项级数()n u x ∑在D 上的和函数为()S x ，称()()()n n R x S x S x =- 为函数项级数()n u x ∑的余项.7 含参量反常积分的一致收敛的柯西准则7.1 含参量反常积分的定义设函数(,)f x y 定义在无界区域{(,),}R x y a x b c y =≤≤≤<+∞上，若对每一个固定的[,]x a b ∈，无穷积分(,)cf x y dy +∞⎰(10)都收敛，则它的值是x 在[,]a b 上取值的函数，当记这个函数为()I x 时，则有 ()(,)cI x f x y d y +∞=⎰，[,]x a b ∈， (11)称(10)式为定义在[,]a b 上的含参量x 的无穷限无穷积分，或简称含参量无穷积分. 如同无穷积分与数项级数的关系那样，含参量无穷积分与函数项级数在所研究的问题与论证方法上也极为相似.7.2 含参量无穷积分的一致收敛概念及柯西准则定义 若含参量无穷积分(10)与函数()I x 对任给的正数ε，总存在某一实数N>c ，使得当M>N 时，对一切[,]x a b ∈，都有(,)()Mcf x y d yI x ε-<⎰，即(,)Mf x y d y ε+∞<⎰，则称含参量无穷积分(10)在[,]a b 上一致收敛于()I x ，或简单地说含参量无穷积分(10)在[,]a b 上一致收敛.定理7.3 (一致收敛的柯西准则) 含参量无穷积分(10)在[,]a b 上一致收敛的充要条件是：对任给的正数ε，总存在某一实数M c >，使得当12,A A M >时，对一切[,]x a b ∈，都有21(,)A A f x y d y ε<⎰. (12)例8 证明含参量无穷积分s i n xydy y+∞⎰(13) 在[,)δ+∞上一致收敛(其中0δ>)，但在(0,)+∞内不一致收敛. 证 作变量代换u xy =，得s i n s i n AA x x y u d y d u yu +∞+∞=⎰⎰， (14)其中A>0.由于0sin udu u+∞⎰收敛，故对任给正数ε，总存在正数M ，当'A M >时，就有's i n A udu uε+∞<⎰. 取A M δ>，则当MA δ>时，对一切0x δ≥>，由(14)式有s i n Axydy yε+∞<⎰， 所以(13)在0x δ≥>上一致收敛.现在证明(13)在(0,)+∞内不一致收敛.由一致收敛定义，只要证明：存在某一正数0ε，使对任何实数M(>c)，总相应地存在某个A M >及某个[,]x a b ∈，使得0(,)Af x y d y ε+∞≥⎰.由于非正常积分0sin udu u+∞⎰收敛，故对任何正数0ε与M ，总存在某个(0)x >，使得00s i n s i n Mxu u du du u uε+∞+∞-<⎰⎰，即0000sin sin sin Mx uu u du du du u u uεε+∞+∞+∞-<<+⎰⎰⎰. (15) 现令001sin 2udu uε+∞=⎰，由(14)及不等式(15)的左端就有000s i n s i n 2MM x x y u d y d u yu εεε+∞+∞=>-=⎰⎰. 所以(13)在(0,)+∞内不一致收敛.关于含参量无穷积分一致收敛性与函数项级数一致收敛之间的联系有下述定理.定理 含参量无穷积分(10)在[,]a b 上一致收敛的充要条件是：对任一趋于+∞的递增数列{}n A (其中1A c =)，函数项级数111(,)()n nA n A n n f x y dy u x +∞∞===∑∑⎰(16)在[,]a b 上一致收敛.证 [必要性]由(10)在[,]a b 上一致收敛，故对任给的0ε>，必存在M c >，使当m n A A M >>时，对一切[,]x a b ∈，总有"'(,)A A f x y d y ε<⎰. (17)又由()n A n →+∞→∞，所以对正数M ，存在正整数N ，只要当m n M >>时，就有m n A A M >>.由(17)对一切[,]x a b ∈，就有 11()()(,)(,)m n mnA A n m A A u x u x f x y dy f x y dy ++++=++⎰⎰=1(,)m nA A f x y dy ε+<⎰.这就证明了级数(16)在[,]a b 上一致收敛.[充分性] 用反证法.假如(10)在[,]a b 上不一致收敛，则存在某个正数0ε，使得对于任何实数M c >，存在相应的"'A A M >>和'[,]x a b ∈，使得"0'(',)A A f x y d y ε≥⎰.现取1max{1,}M c =，则存在211A A M >>及1[,]x a b ∈，使得2110(,)A A f x y dy ε≥⎰.一般地，取2(1)max{,}(2)n n M n A n -=≥，则有221n n n A A M ->>及[,]n x a b ∈，使得2210(,)n n A n A f x y dy ε-≥⎰. (18)由上述所得到的数列{}n A 是递增数列，且lim n n A →∞=+∞.现考察级数111()(,)n nA n A n n u x f x y dy +∞∞===∑∑⎰.由(18)式知存在正数0ε，对任何正整数N ，只要n M >，就有某个[,]n x a b ∈，使得21220()(,)n nA n n n A u x f x y dy ε+=≥⎰.这与级数(16)在[,]a b 上一致收敛的假设矛盾.故含参量无穷积分(10)在[,]a b 上一致收敛.例9 若无穷积分()af x dx ∞⎰收敛，函数()f x 在[,)a +∞单调，则lim ()0x xf x →+∞=.证 不妨设函数()f x 在[,)a +∞上单调递减，已知无穷积分()af x dx ∞⎰收敛，我们有()0f x ≥，[,)x a ∈+∞.由已知条件无穷积分()a f x dx ∞⎰收敛，根据柯西收敛准则0,ε∀>..1p A ∀>和2p A >，有12()p p f x dx ε<⎰.于是122,,2xx A p p x ∀>==取，因为()f x 单调递减，得到2122()()()()02p xxx x p xf x dx f t dt f x dt f x ε>=≥=≥⎰⎰⎰. 即lim ()0x xf x →+∞=.8 柯西准则在数学分析中的作用8.1 柯西准则在实数完备性理论中的作用实数完备性是数学分析的基础，其六大定理即确界原理、单调有界定理、区间套定理、有限覆盖定理、聚点定理、柯西准则，建立了实数完备性理论的骨架.作为六大定理之一的柯西准则，起着至关重要的作用，由该准则人手，可依次推出其它五个定理.由广义积分收敛的柯西准则易推出广义积分的绝对收敛判别法及比较判别法. 8.2 用柯西准则判断敛散性的优越性作为判别敛散性的工具，柯西准则较其它判别法具有更多的优点.其一，条件的充分必要性决定其适用范围更广，更普遍；其二，柯西准则只利用题目本身的条件，不必借助极限结果，以下举两个例子说明之.例10 若数列{}n a 收敛，则数列{}n a 必收敛. 证 0ε∀>{}n a 收敛，由柯西准则',,N N m n N ∴∃∈∀>，有m n a a ε-< 从而m n m n a a a a ε-<-<，由柯西准则数列{}n a 收敛.例11 设函数列{()}n f x 在D 上一致收敛，则函数级数11(()())n n n f x f x ∞+=-∑在D 上一致收敛.证 设1()()()n n n u x f x f x +=- 0ε∀>因为 {()}n f x 在D 上一致收敛，由函数列一致收敛的柯西准则： 所以 'N N ∃∈，当n N >时，',p N x D ∀∈∀∈，有()()n p n f x f x ε+-< 从而 11()()()()()n n n p n p n u x u x u x f x f x ε++-++++=-<.由函数级数的柯西一致收敛准则得：11(()())n n n f x f x ∞+=-∑在D 上一致收敛 。
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函数极限柯西收敛准则
柯西收敛准则是数列收敛性的一个重要判别准则，具体描述为：一个
数列{a_n}收敛的充分必要条件是对于任意给定的ε>0，存在正整数N，
使得当m,n>N时，有，a_n-a_m，<ε。
换句话说，柯西收敛准则要求当数列索引足够大时，数列中的元素之
差可以任意小，即数列中的数逐渐趋向于一个固定的极限。
这个极限值被
称为该数列的极限。
柯西收敛准则的一个重要应用是证明数列的收敛性。
我们可以通过柯
西收敛准则证明一个数列收敛的方法如下：
步骤一：假设数列{a_n}是一个满足柯西收敛准则的数列。
步骤二：根据柯西收敛准则的定义，对于任意给定的ε>0，存在正
整数N，使得当m,n>N时，有，a_n-a_m，<ε。
步骤三：根据步骤二中得到的N，选择n=N+1，则有，a_n-a_N，<ε。
步骤四：根据步骤三中所得到的不等式，我们可以推断出子数列
{a_n}（n > N）是一个 Cauchy 数列，因为对于任意给定的ε > 0，存
在正整数 N，使得当 n > N 时，有，a_n - a_N，< ε。
步骤五：由步骤四可知，子数列 {a_n}（n > N）是一个有界数列，
即存在常数 M，使得，a_n，≤ M。
这是因为对于任意给定的ε > 0，
存在正整数 N，使得当 n > N 时，有，a_n - a_N，< ε，因此取 M = max{，a_1，, ，a_2，, ..., ，a_N，+ ε}。
步骤六：根据步骤五可知，在数列{a_n}中，从第N+1项开始的所有
项都在一个有界的区间内。
步骤七：由于步骤六中提到的有界性质，我们可以找到一个闭区间[a,b]，使得数列{a_n}（n>N）中所有的项都在该区间内。
步骤八：由于闭区间[a,b]是一个有界的闭区间，根据闭区间套定理，可以证明在该有界闭区间内存在一个数c，使得数列{a_n}（n>N）的极限
等于c。
步骤九：根据步骤八中的结论，我们可以得出数列{a_n}的极限为c。
通过以上步骤，我们可以利用柯西收敛准则证明数列的收敛性。
当数
列满足柯西收敛准则时，即数列中的元素之差可以任意小，我们可以推断
该数列是一个收敛数列，并且其极限可以通过构造子数列的方式得到。
柯西收敛准则作为一个重要的数学工具，在实际应用中经常用于证明
数列、函数的收敛性，进而推导出一些重要的数学结论和定理。
它在数学
分析、数论等领域中得到了广泛的应用。