Lebesgue积分在高等数学中的几个应用实例
勒贝格测度举例
勒贝格测度举例勒贝格测度（LebegueMeasure）是一种快速、精确的测量单位，它是由法国数学家凯斯勒贝格（Henri Lebegue）首创的，并于1909年发表。
它的计算方式是在数理逻辑的基础上，通过给定的几何体的多维量度，来进行定量的、准确的测量。
勒贝格测度的基本原理勒贝格测度的基本原理是将一个几何体分割成若干小块，并通过对每一个小块的计算来获得这个体积或面积的总量。
在实际应用中，勒贝格测度可分为两个主要部分：（1）测量无限维几何体在测量无限维几何体时，勒贝格测度可将这个无限几何体分割到无限多次方的多维空间中，每一次分割后可以获得一个定义的体积或面积，最终可以将这些体积或面积的总数量计算出来。
（2）测量有限维几何体在测量有限维几何体时，勒贝格测度可将这个有限几何体分割到有限多次方的多维空间中，每一次分割后可以获得一个定义的体积或面积，最终可以将这些体积或面积的总数量计算出来。
勒贝格测度的应用勒贝格测度的应用广泛，可以用来测量概率、统计、地理学等领域中的几何体，也可以用来测量数学空间的大小。
（1）概率领域勒贝格测度已经在概率领域中广泛应用，在它的范围内，概率可以被定义为勒贝格测度的面积或体积。
它可以通过对几何体进行精密分析，计算出概率分布的准确性。
（2）统计领域勒贝格测度也在统计领域中得到了广泛的应用。
它可以用来准确测量不同集合的体积和面积，从而确定准确的条件概率分布，并可以更精确地估计统计抽样的量级和样本数量。
（3）地理学领域勒贝格测度也可以用来测量地球表面上不同地区的体积和面积，从而可以在决策过程中更加准确地准确表示地理空间中的空间分布关系。
（4）数学空间领域最后，勒贝格测度还可以用来测量数学空间中特定类型几何体的大小，比如多维球体、圆锥体等等，从而可以更准确地测量出这些几何体的体积或面积，提供更加准确的数学解答。
结论勒贝格测度是一种快速且精确的测量工具，它不仅可以用来测量无限维、有限维几何体的体积和面积，还可以用于概率、统计、地理学和数学空间等领域中的定量分析。
第八讲 勒贝格积分的极限定理及应用
第8讲勒贝格控制收敛定理及应用一、勒贝格控制收敛定理问题 ()d ()d (lim l d im ).b b bk k a a a k k f x x f x x f x x →∞→∞==⎰⎰⎰ lim ()(),k k f x f x →∞=若能否推出极限运算与积分运算只有在很强的条件下(一致 收敛)才能交换二者次序——黎曼积分的局限性定理 (勒贝格控制收敛定理)1){(},n k k f x E ∞=⊆是上的可测函数列设若注 定理中控制函数的可积性是必不可少的.(2) ,, ()(),() a.e. ,()k k f x F x x E F x E ∈≤∈存在使得对任意的(),()(),k f x f x E ∈则且(1) lim ()(),a.e. .k k f x f x x E →∞=∈lim ()d ()d .k E E k f x x f x x →∞=⎰⎰[0,),E =+∞设考虑反例 函数序列[0,]1, [0,]()(),1,2,0, k k x k f x x k x kχ∈⎧===⎨>⎩{}()(),()1,a.e. ,k f x F x F x E ≥控制的函数必须{}()()1,k f x E f x ≡显然在上处处收敛于()F x E L 则在上不是可积的.()f x E L 在上也不可积的.k y x O推论1 (勒贝格有界收敛定理)注 推论1中的条件(3)不能缺少.0,(),a.e. ,(2) k M f x M x E >≤∈存在常数 控制函数的可积性 (3) ().m E <+∞ 1){(},n k k f x E ∞=⊆是上的可测函数列设若(1) lim ()(),a.e. .k k f x f x x E →∞=∈(),()(),k f x f x E ∈则且lim ()d ()d .k E E k f x x f x x →∞=⎰⎰推论2 (逐项积分)1()()(1,2,), ()d ,i i E i u x E i u x x ∞=∈=<+∞∑⎰ 且设有则1(1)();i i u x E ∞=∑ 在上几乎处 处收敛 (2)()(),f x E ∈其和函数且1()d .i i E u x x ∞==∑⎰1()()d d E E i i x u x f x x ∞=⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰⎰∑例1 分析 [0,1],lim ()0,n n x f x →∞∈=则对有[]0,1,x ∈当时由于[]0,111sup |()0|sin12n n n x f x f n β∈⎛⎫=-≥= ⎪⎝⎭0,→二、应用举例1220lim()sin d .1n nx R nx x n x →∞+⎰求极限先积分后求极限实难进行, 故需交换次序.解 22()sin ,[0,1]1n nx f x nx x n x=∈+令 ()0,[0,1].n f x x →∈即[]{()}0,1.n f x ⇒在上不一致收敛00.10.20.30.40.50.60.70.80.91-0.2-0.100.10.20.30.40.5x (10 x/(1+100 x 2)) sin(10 x)22()sin ,[0,1]1n nx f x nx x n x =∈+1n =2n =3n =非一致收敛的几何直观验证勒贝格控制收敛定理221()(),[0,1].122n nx nx f x F x x n x nx ∆≤≤==∈+注意到 由R 积分和L 积分的关系, 以及勒贝格控制收敛定理有22[0,1]lim ()sin d 1n nx L nx x n x →∞=+⎰22[0,1]()sin d 1lim n nx L nx x n x →∞⎛⎫= ⎪+⎝⎭⎰[0,1]()0d 0.L x ==⎰1220lim()sin d 1n nx R nx x n x →∞+⎰求函数列积分的极限问题1) 若利用R 积分理论来求, 则需验证函数列在积分区间[a , b ]上的一致收敛性.则利用R 积分与L 积分的关系, 以及勒贝格控制收敛定理.[,]()([,]),()([,]),()()d ()()d .b a b a f x a b f x a b L f x x R f x x ∈∈=⎰⎰若则且 2) 若函数列在区间上不一致收敛, R 积分理论失效亦是如此，直接利用逐项积分性质毋庸置疑。
第7章Lebesgue积分与数学期望
高等学校研究生教材测度论基础与高等概率论Foundations of Measure Theory and Advanced Probability Theory上册袁德美王学军编著科学出版社2023年5月内容简介第1—12章是《测度论基础与高等概率论》上册，其中第1，2章是预备知识，第3—12章是测度论基础．本书强调背景知识的深刻描述、基本概念的自然引入、科学素养的悄然渗透，从谋篇布局到板块转换，直至例题编制都精雕细琢，从章节引言到问题切入，直至定义、引理、命题、定理前的导语都字斟句酌．为避免初学者从初等概率论到高等概率论因跃迁幅度过大而产生困惑，在理论阐述方面力求小坡度爬行、稳扎稳打、拾级而上．尽量在本书范围内自成体系，扫除读者手中缺少相关资料带来的苦恼．另外，注重各板块知识的内在联系，留意高等概率论发展史上有深刻影响人物的介绍和历史线索的呈现．本书可作为概率论与数理统计、统计学、金融数学（工程）、基础数学、计算数学、运筹学、计量经济学等专业研究生学习“测度论”和“高等概率论”等课程时的备选教材，也可作为相关领域科研工作者的参考书．前言初等概率论通常指本科阶段所学的概率论，之所以被冠以“初等”，是因为开设这门课程的时候读者仅学过微积分之类的近代课程，知识储备的欠缺致使概率论中许多基本概念根本无法严格定义，更不用说许多基本理论的严格证明了．例如，初入研究生阶段的你能说出事件、概率、随机变量、数学期望这些基本概念的数学定义吗？能在一般框架下推导出随机变量函数的期望公式、重期望公式、卷积公式、切比雪夫不等式这些耳熟能详的基本公式吗？从理论的严谨性来审视，初等概率论是不够严格的；从体系的完整性来检视，初等概率论是残缺不全的；从认知的全面性来探视，初等概率论大多数时候仅停留在直觉层面．要想接近概率论领域的前沿阵地，就不得不翻越横亘在必经之路上的一座大山——高等概率论．高等概率论不仅决定了随机过程、随机分析、时间序列分析等后续概率论课程的学习深度，而且也深刻地影响着你能够在高等数理统计、多元统计分析、统计计算等数理统计课程中崛起的高度．不管你将来从事概率论研究，还是数理统计研究，抑或是将随机金融规划为你的奋斗目标，高等概率论都是你驾长车踏破贺兰山阙的支点．高等概率论以测度论为基础，测度论是概率论的现代语言，犹如微积分之于初等概率论一样，无论怎样强调测度论之于高等概率论的基础地位都不为过．本质上讲，高等概率论是基于测度论的现代概率论，而初等概率论是未涉及测度论的古典概率论．测度论不仅是概率论的基础，而且是许多其他数学分支的工具，其重要性可以从“天道几何，万品流形先自守；变分无限，孤心测度有同伦”①中窥斑见豹．测度论的诞生源于弥补Riemann积分局限性的探索过程．Riemann积分虽然在微积分领域发挥了无可替代的作用，但存在较大的局限性：一是积分对象必须是连续的或“基本连续”的，这导致了像Dirichlet函数那样如此简单的函数都被排除在外，而物理学和概率论又不得不考虑这种“病态”函数的积分；二是存在这样的可微函数，其导函数非Riemann可积，从而作为微积分核心内容的微积分基本定理在使用上受到了限制；三是积分与极限交换顺序的条件过于苛刻，这导致Riemann积分向深层次拓展时遭遇了天花板．①这是北京国际数学研究中心全斋门前一副关于如何做人及治学的楹联，于2012年分别由在文学、书法领域颇有建树的数学家罗懋康撰文、刘建亚题写，其中“几何”“流形”“自守”“变分”“无限”“测度”“同伦”都是重要的数学术语．积分革命首先从长度概念的扩充入手．Borel在19世纪末就发出疑问：区间有长度，其他点集是否也有长度呢？1902年，Lebesgue在其博士论文《积分、长度、面积》及随后出版的论著《积分与原函数分析的讲义》中，首次把长度和面积推广到一般Borel 集的Lebesgue测度．众所周知，Riemann积分从分割积分区间为有限个子区间开始，然后将子区间的长度乘以该子区间内任意一点的函数值，进而作Riemann和，当分点加密、子区间长度一致趋于零时，Riemann和的极限就是Riemann积分．与Riemann积分不同的是，Lebesgue 积分采用的技术路线是分割值域并积分定义域上的可测集，这在简单可测函数情形显得非常自然，而一般可测函数的Lebesgue积分是在简单可测函数的基础上使用逼近思想来定义的．这种使人耳目一新的积分让一大堆在Riemann意义下“病态”的函数都在Lebesgue积分意义下“正常”了，它是积分理论发展史上的巨大突破，并成为日后研究概率论的犀利工具．Lebesgue用累次积分计算重积分的结果在1907年被完善为一般的Fubini定理．抽象可测空间上的测度和符号测度概念最先于1915年由Fréchet提出，Radon-Nikodým于1930年给出了符号测度为一不定积分的充分必要条件—Radon-Nikodým定理，这标志着测度论的发展趋于成熟，同时为概率论的严格表述提供了关键性工具．经过近100年的发展，高等概率论俨然成为数学百花园中的满天星，密集的花蕾如覆霜盖雪，给人以独特的恬静和温馨，同时装扮着数理统计、金融数学等数学分支的灵秀空间．尽管高等概率论花团锦簇，但归根结底各大板块基本上都是测度论的各种演化，为强调测度论之于高等概率论的基础地位，本书取名为《测度论基础与高等概率论》．“测度论”“高等概率论”“概率论极限理论”都是概率论与数理统计、统计学、金融数学（工程）、基础数学、计算数学、运筹学、计量经济学等专业的研究生必修的专业基础课或学位基础课，初学者普遍反映这几门课程难学，而且难度不小．本书是在总结长期教学经验和科研心得的基础上，边撰写、边试边完善，发挥集体智慧历经五年才得以完成的．全书共25章，第1，2章是预备知识，第3—12章是测度论基础，第13—25章是高等概率论的基本理论，其中第19—25章又归属于概率论极限理论．本书包含以下几方面的特色：（1）强调背景知识的深刻描述、基本概念的自然引入、科学素养的悄然渗透；（2）尽量在本书范围内自成体系，扫除读者因手中缺少相关资料带来的苦恼；（3）为避免初学者从初等概率论到高等概率论因跃迁幅度过大而产生困惑，在理论阐述方面力求小坡度爬行、稳扎稳打、拾级而上；（4）除“测度论”“高等概率论”“概率论极限理论”基本知识的系统阐述外，还有若干直达前沿门槛的现代专题，便于不同高校、不同专业、不同教师弹性选择教学内容，同时保持体系的完整性和先进性；（5）许多定理、性质、命题和习题都前后照顾、相互补充、有序推进，同时穿插重要知识点或概念的历史演进脉络的交待，尽量在有限空间中给读者呈现立体画面以激发科研兴趣．有几件事情需要向读者解释或与任课教师沟通．第一，除沿用本科专业课教材[1]中的术语和符号外，尽量采用国际通用术语和符号，这对立志在科学道路上深入前行的读者是大有裨益的．第二，各章中的定义、引理、性质、命题、定理、注记和例题等都连续编号，便于交叉引用，如定义3.9后面紧接着的编号是定理3.10，注记21.6后面紧接着的编号是例21.7．第三，为增强针对性，习题编配落实到节，编排的顺序大致对应于正文中知识点出现的顺序，在习题设置方面有四种考虑：一是为减少正文篇幅，给正文中相关推导提供现成结论；二是为后续内容埋下伏笔、奠定基础；三是为正文中涉及的假命题提供反例；四是巩固正文中主要结果和基本方法的常规练习．第四，除个别计算题外，绝大多数习题都属于证明题，这类题目通常只陈述条件和结论，省略了“证明”二字．第五，扫描边栏上的“重要人物简介”和“想一想”对应的二维码即可阅读相关内容；脚注“①，②，③，…”是相应内容的解释、提示或引申，起穿针引线的作用．希望这些安排有助于理解测度论或高等概率论发展的历史线索，加强本书各部分之间的内在联系，加大与更为高等的理论接轨的空间，它们是全书有机整体中不可分割的部分．第六，为了让读者进一步阅读专业文献时少一些障碍，顺便给出了专业术语对应的英文单词或词组．第七，◎是示范性列举标志，●是说明或总结标志，□是结束标志，:A B =表示B 是A 的定义，:A B =表示把A 简记为B ．第八，学好上述课程的先决条件是做一定数量的习题，尤其是足量做有一定难度的习题，考虑到上述课程都起点高和入门难的特点，我们一同编写了本教材的配套辅助用书—《测度论基础与高等概率论学习指导》，除章节知识的简要提炼外，主要部分是本书所有习题的完整解答及个别习题解答后的评注，希望能被读者一同接受．全书由袁德美执笔，王学军对各章节的框架结构提出了许多建设性意见、仔细校对了全书并负责PPT课件的制作．全书编写过程中，参阅了大量国内外同类优秀教材及专著，启发颇多，受益匪浅，在此向有关作者表示诚挚谢意．浙江大学数学科学学院张立新教授和中国科学技术大学管理学院胡太忠教授仔细审阅了初稿，提出了许多宝贵的修改意见，在此谨表感谢．同时还要感谢西南财经大学朱元正博士和重庆工商大学杨灵兵博士对部分章节的核对工作以及科学出版社编辑们为本书顺利出版付出的辛勤劳动．尽管作者一直秉承尽善尽美的初衷，以宽视野高标准谋篇布局并精雕细琢于每一个细节，但限于水平和能力，书中难免会有疏漏和不妥之处，恳请同行专家和广大读者批评指正．不管是意见还是建议，烦请发送电子邮件至*****************，以便作者及时改进和完善．另外，需索取本书PPT课件的读者，也请使用上述邮箱告知．作者2021年6月22日目录第1章集合论初步 (1)1.1集合运算 (1)1.1.1集合概念 (1)1.1.2基本运算 (2)1.1.3上极限与下极限 (3)1.1.4集类概念 (5)1.2映射、笛卡尔积与逆像 (7)1.2.1映射 (7)1.2.2示性函数 (9)1.2.3笛卡尔积 (11)1.2.4逆像 (14)1.2.5向量值函数的导数 (16)1.3集合的势 (19)1.3.1Bernstein定理 (19)1.3.2可数集与不可数集 (21)第2章点集拓扑学初步 (26)2.1度量空间 (26)2.1.1度量空间的定义 (26)2.1.2度量空间中的开集和邻域 (27)2.1.3完备度量空间 (28)2.1.4Banach空间 (28)2.1.5乘积度量空间 (29)2.2拓扑空间 (31)2.2.1拓扑空间的定义 (31)2.2.2邻域 (32)2.2.3基 (33)2.2.5制作新拓扑空间的方法 (35)2.2.6闭包、内部和边界 (37)2.2.7拓扑空间中序列的收敛性 (38)2.3连续映射 (40)2.3.1度量空间上的连续映射 (40)2.3.2拓扑空间上的连续映射 (42)2.4可数性和可分性 (45)2.4.1第一可数空间 (45)2.4.2第二可数空间 (47)2.4.3可分空间 (49)2.5分离性 (50)2.5.11T空间 (50)2.5.2Hausdorff空间 (50)2.5.3正规空间 (51)2.6紧性 (54)2.6.1紧空间 (54)2.6.2弱于紧性的几种空间 (56)2.7度量空间中的紧性特征 (60)2.7.1Lebesgue数 (60)2.7.2完全有界集 (61)2.7.3一般度量空间中的紧性特征 (63)2.7.4欧氏空间中的紧性特征 (64)第3章集类 (66)3.1几种常见的集类 (66)3.1.1几个术语 (66)3.1.2半环 (66)3.1.4σ代数 (68)3.1.5单调类 (69)3.1.6λ类 (69)3.2单调类定理和π-λ定理 (71)3.2.1生成元 (71)3.2.2单调类定理 (72)3.2.3π-λ定理 (73)3.2.4关于集合的典型方法 (74)3.3生成σ代数的几种常见方法 (75)3.3.1由一族σ代数生成σ代数 (75)3.3.2逆像σ代数 (75)3.3.3迹σ代数 (76)3.3.4可测空间与可测拓扑空间 (77)3.4与R相关的Borelσ代数的结构 (79)3.4.1d R上的Borelσ代数的结构 (79)3.4.2C上的Borelσ代数的结构 (80)3.4.3R上的Borelσ代数的结构 (81)第4章测度与概率测度 (86)4.1测度的定义及基本性质 (86)4.1.1测度的定义 (86)4.1.2半环上的有限可加测度 (87)4.1.3半环上的测度 (89)4.1.4有限可加测度成为测度的条件 (91)4.1.5σ-有限测度 (92)4.1.6测度空间 (92)4.2测度从半环到σ代数的扩张 (95)4.2.2由外测度诱导的测度 (96)4.2.3由半环上的测度诱导的外测度 (98)4.2.4测度扩张定理 (100)4.3测度空间的完备化 (102)4.3.1完备测度空间 (103)4.3.2测度空间的最小完备化 (104)4.3.3完备化的其它常见操作方法及等价性 (105)4.3.4与外测度有关的完备化 (107)4.4d维欧氏空间中的L-S测度 (109)4.4.1从L-S函数到L-S测度 (110)4.4.2从L-S测度到L-S函数 (114)4.4.3有限测度与准分布函数的一一对应关系 (115)4.4.4连续点与连续集 (116)4.5d维欧氏空间中的L测度 (119)4.5.1L函数与L测度 (119)4.5.2L测度的平移不变性 (120)4.5.3L测度的反射不变性 (120)4.5.4d R中的非L可测集 (121)4.5.5三分Cantor集及其L测度 (123)第5章可测映射与随机变量 (125)5.1可测映射 (125)5.1.1可测映射的定义 (125)5.1.2由映射生成σ代数 (126)5.2可测函数 (127)5.2.1可测函数的定义 (127)5.2.2Baireσ代数 (128)5.2.4可测函数的基本性质 (130)5.2.5可测函数的极限性质 (132)5.2.6向量值函数的可测性 (133)5.2.7复值函数的可测性 (134)5.3简单可测函数和可测函数的结构性质 (136)5.3.1简单可测函数 (136)5.3.2可测函数的结构性质 (137)5.3.3关于可测函数的典型方法 (140)5.4像测度和概率分布 (142)5.4.1像测度 (142)5.4.2从随机变量到分布函数 (144)5.4.3从分布函数到随机变量 (146)5.4.4复值随机变量 (147)第6章几乎处处收敛和依测度收敛 (149)6.1几乎处处收敛及其基本列 (149)6.1.1几乎处处成立 (149)6.1.2几乎处处收敛 (150)6.1.3几乎处处收敛的基本列 (151)6.2几乎一致收敛 (155)6.3依测度收敛及其基本列 (157)6.3.1依测度收敛 (157)6.3.2依测度收敛的基本列 (159)6.3.3依概率收敛 (161)6.3.4子序列原理 (164)第7章Lebesgue积分与数学期望 (167)7.1Lebesgue积分的定义 (167)7.1.2非负可测函数的L积分 (169)7.1.3一般可测函数的L积分 (170)7.1.4复值可测函数的L积分 (171)7.1.5数学期望和方差 (171)7.2Lebesgue积分的性质 (172)7.2.1基本性质 (172)7.2.2可积性准则 (176)7.3三大积分收敛定理 (178)7.3.1单调收敛定理和典型方法 (178)7.3.2Fatou引理 (183)7.3.3控制收敛定理 (183)7.4Stieltjes积分 (189)7.4.1L-S积分 (189)7.4.2R-S积分 (190)7.4.3反常R-S积分 (196)第8章不定积分和符号测度 (200)8.1符号测度的Hahn-Jordan分解 (200)8.1.1不定积分 (200)8.1.2符号测度的定义 (201)8.1.3Hahn-Jordan分解 (203)8.1.4符号测度的积分 (207)8.2绝对连续与Radon-Nikodým定理 (209)8.2.1绝对连续 (209)8.2.2Radon-Nikodým定理 (211)8.3相互奇异与Lebesgue分解定理 (220)8.3.1相互奇异 (220)8.3.2Lebesgue分解定理 (220)8.4分布函数的类型及分解 (222)R上有限Borel测度的类型及分解 (222)8.4.1d8.4.2分布函数的类型 (224)8.4.3分布函数的分解 (228)8.5左连续逆和均匀分布的构造 (229)8.5.1左连续逆 (229)8.5.2均匀分布的构造 (231)第9章Lebesgue空间与一致可积性 (234)9.1几个重要的积分不等式 (234)9.1.1Lebesgue空间的定义 (234)9.1.2积分形式的r c不等式 (235)9.1.3Jensen不等式 (236)9.1.4Kimball不等式 (238)9.1.5Hölder不等式 (239)9.1.6Minkowski不等式 (241)9.2三类Lebesgue空间 (243)9.2.1函数空间p L (243)9.2.2函数空间L (246)9.2.3符号测度空间 (247)9.3一致可积族 (251)9.3.1一致可积的定义 (251)9.3.2一致可积性准则 (251)9.3.3p L收敛准则 (253)第10章乘积可测空间上的测度与积分 (257)10.1乘积可测空间 (257)10.1.1有限乘积可测空间 (257)10.1.2任意乘积可测空间 (257)10.1.3与R有关的几个乘积 代数 (259)10.2有限个测度空间的乘积 (262)10.2.1截口 (262)10.2.2乘积测度 (265)10.3Tonelli定理和Fubini定理 (269)10.3.1Tonelli定理 (270)10.3.2Fubini定理 (271)10.4无穷乘积可测空间上的概率测度 (274)10.4.1可数个概率空间的乘积 (274)10.4.2Kolmogorov相容性定理 (277)10.4.3任意多个概率空间的乘积 (281)第11章局部紧Hausdorff空间上的测度 (283)11.1局部紧Hausdorff空间上的连续函数 (283)11.1.1认识局部紧Hausdorff空间 (283)11.1.2局部紧Hausdorff空间上的连续函数 (285)11.2局部紧Hausdorff空间上的测度与Riesz表现定理 (286)11.2.1正则测度 (287)11.2.2Radon测度 (289)11.2.3Riesz表现定理 (290)11.3用连续函数逼近可测函数 (295)11.3.1引理9.20的深化 (296)11.3.2Luzin定理 (297)11.4Radon乘积测度 (298)11.4.2关于Radon乘积测度积分的Fubini定理 (303)第12章弱收敛 (308)12.1度量空间上有限测度的基本性质 (308)12.1.1基本性质 (308)12.1.2单个有限测度的胎紧性 (310)12.2度量空间上有限测度的弱收敛 (311)12.2.1弱收敛的定义 (311)12.2.2Portemanteau定理 (311)12.2.3连续映射定理 (313)12.3R上有界L-S函数的弱收敛 (315)12.3.1L-S函数弱收敛的定义 (315)12.3.2Helly弱紧准则 (316)12.3.3Helly-Bray定理 (318)12.4与R相关的度量空间上概率测度的弱收敛 (323)12.4.1弱收敛的充分条件 (323)12.4.2()d R B上概率测度的弱收敛 (325)12.4.3()∞R B上概率测度的弱收敛 (326)12.5随机向量的依分布收敛 (329)12.5.1依分布收敛的定义 (329)12.5.2Slutzky定理 (331)12.5.3依分布收敛与依概率收敛的关系 (332)12.6左连续逆的收敛性和Skorohod表示定理 (334)12.6.1左连续逆的收敛性 (334)12.6.2Skorohod表示定理 (335)12.7相对紧、胎紧和Prokhorov定理 (337)12.7.2概率测度族的胎紧性 (338)12.7.3Prokhorov定理 (339)参考文献 (345)索引 (345)第7章Lebesgue 积分与数学期望Riemann 积分，简称R 积分，分割定义域并积分值域上的区间产生；Lebesgue 积分，简称L 积分，分割值域并积分定义域上的可测集产生．相较于R 积分的自然引入，L 积分显示了构造上的美感．L 积分的发现是分析史上的重大突破，L 积分是经典分析与现代分析的分水岭和20世纪结构数学的重要组成部分．7.1Lebesgue 积分的定义本节恒设(),,μΩF 为给定的测度空间，除非特别声明，所有函数都是定义在Ω上的（广义实值）函数．为了使读者全面清晰地认识L 积分的定义，我们分三个步骤层层推进：先定义非负简单可测函数的积分，然后过渡到非负可测函数的积分，最后给出一般可测函数积分的定义．7.1.1非负简单可测函数的L 积分在5.3节已作过约定，(),+ΩSF 表示非负简单可测函数全体．定义7.1设()1,i n i A i f a I +==∈Ω∑S F ，称广义实数()1n i i i a A μ=∑①为f 关于μ的L 积分，记作d f μ⎰，即()1d n i i i f a A μμ==∑⎰．为简便起见，有时用()f μ代替d f μ⎰．□注记7.2()f μ与f 具体表示式的选择无关．事实上，设f 另有表示式1j mj B j f b I ==∑，显然当i j A B ≠∅ 时，i j a b =，故()i i j a A B μ =j b ()i j A B μ ，进而由12,,B B ,m B 及12,,,n A A A 的两两不交性得()()()11111n n m n m i i i i j j i j i i j i j a A a A B b A B μμμ=======∑∑∑∑∑ ()()111m n m j i j j j j i j b A B b B μμ=====∑∑∑ ．□①可能出现某些()i A μ=∞，若此时又有0i a =，规定00⋅∞=．想一想7.1查阅L 积分的相关资料，除d f μ⎰，()f μ外，还有哪些表示法？引理7.3设f ，(),g +∈ΩS F ，则（ⅰ）d d f f λμλμ=⎰⎰，其中0λ≥；（ⅱ）()d d d f g f g μμμ+=+⎰⎰⎰．特别地，当d g μ<∞⎰时有()d d d f g g f μμμ+-=⎰⎰⎰．（ⅲ）f g ≤⇒d d f g μμ≤⎰⎰．证明由注记7.2，不妨假设1i ni A i f a I ==∑，1i n i A i g b I ==∑．（7.1）（ⅰ）因为()()1,i n i A i f a I λλ+==∈Ω∑S F ，所以()()()11d d n ni i i i i i f a A a A f λμλμλμλμ=====∑∑⎰⎰．（ⅱ）由（7.1）式得()1i ni i A i f g a b I =+=+∑，故()()()()()111d n n ni i i i i i i i i i f g a b A a A b A μμμμ===+=+=+∑∑∑⎰d d f g μμ=+⎰⎰．（ⅲ）由f g ≤得知i i a b ≤，1,2,,i n = ，于是()()11d d n ni i i i i i f a A b A g μμμμ===≤=∑∑⎰⎰．□为了接下来的需要，我们利用引理7.3建立下述引理．引理7.4设{}(),,,1,n n f f g n +≥⊂ΩS F ，则（ⅰ）n f ↑，且lim n n f f →∞≥⇒lim d d n n f f μμ→∞≥⎰⎰；（ⅱ）n f ↑，n g ↑，且lim lim n n n n f g →∞→∞=⇒lim d lim d n n n n f g μμ→∞→∞=⎰⎰．证明（ⅰ）不妨假设0f ≡，令{}00f Ω=>，()0max M f ωω∈Ω=，()0min m f ωω∈Ω=，注意到f 是简单可测函数，显然有0m M <≤<∞．()0,m ε∀∈，构造集合()(){}0:n n A f f ωωωε=∈Ω>-，1n ≥，易知0n A ↑Ω．（a ）当()0μΩ=∞时，由引理7.3之（ⅲ）得()()()d d d n n n n A A n f f I f I m A μμεμεμ≥≥-≥-⎰⎰⎰，注意到()()0n A μμ↑Ω=∞，我们有lim d n n f μ→∞=∞⎰，于是lim d n n f μ→∞⎰d f μ≥⎰．（b ）当()0μΩ<∞时，令0\n n B A =Ω，1n ≥，易见n B ↓∅．由引理7.3之（ⅱ）得()()d d d n n n A A n f f I fI A μεμμεμ≥-=-⎰⎰⎰()()()000d d d n B n n fI fI A fI M B μμεμμμεμΩΩ=--≥--Ω⎰⎰⎰，注意到()0n B μ↓，我们有()00lim d d n n f fI μμεμΩ→∞≥-Ω⎰⎰，由ε的任意性得0lim d d d n n f fI f μμμΩ→∞≥=⎰⎰⎰．（ⅱ）任意固定1m ≥，我们有lim n m n f g →∞≥，lim n m n g f →∞≥，由（ⅰ）得lim d d n m n f g μμ→∞≥⎰⎰，lim d d n m n g f μμ→∞≥⎰⎰，令m →∞即得欲证．□7.1.2非负可测函数的L 积分定理5.20之（ⅰ）告诉我们，非负可测函数可由非负简单可测函数列单调上升逼近，这奠定了非负可测函数积分定义的理论基础．定义7.5设(),f +∈ΩL F ，对任意满足n f f ↑的{}(),1,n f n +≥⊂ΩS F ，令d :lim d n n f f μμ→∞=⎰⎰，则由引理7.3之（ⅲ）知上述右端极限存在（可能是∞），且由引理7.4之（ⅱ）知这个极限不依赖于{}n f 的选择，称为f 关于μ的L 积分．□下面将引理7.3推广到非负可测函数的情形．引理7.6设(),,f g +∈ΩL F ，则（ⅰ）d d f f λμλμ=⎰⎰，其中0λ≥；（ⅱ）()d d d f g f g μμμ+=+⎰⎰⎰；（ⅲ）f g ≤⇒d d f g μμ≤⎰⎰．证明选取{},1n f n ≥，{}(),1,n g n +≥⊂ΩS F ，使n f f ↑，n g g ↑．（ⅰ）注意到n f f λλ↑，由定义7.5及引理7.3之（ⅰ）得d lim d n n f f λμλμ→∞==⎰⎰lim d d n n f f λμλμ→∞=⎰⎰．（ⅱ）由命题5.19知{}(),1,n n f g n ++≥⊂ΩSF ，且n n f g f g +↑+．由定义7.5及引理7.3之（ⅱ），我们有()()()d lim d lim d d n n n n n n f g f g f g μμμμ→∞→∞+=+=+⎰⎰⎰⎰lim d lim d d d n n n n f g f g μμμμ→∞→∞=+=+⎰⎰⎰⎰．（ⅲ）注意到f g ≤，不妨假设n n f g ≤（否则分别以n n f g ∧和n n f g ∨代替n f 和n g ），∀1n ≥．由引理7.3之（ⅲ）知d d n n f g μμ≤⎰⎰，令n →∞得到d d f g μμ≤⎰⎰．□命题7.7设(),f +∈ΩL F ，令{}t A ft =≥，则()11d d t t A A fI f t tμμμ≤≤⎰⎰，0t >．证明由0t t A A tI fI f ≤≤≤及引理7.6之（ⅲ）得()d d d t t t A A t A tI fI f μμμμ=≤≤⎰⎰⎰，由此即得欲证．□7.1.3一般可测函数的L 积分对一般可测函数f ，基于分解式f f f +-=-，我们可以定义它的L 积分．定义7.8设(),f ∈ΩL F ，若f +和f -中至少有一个的积分不是∞，则称f 关于μ的积分存在（integral exists ），并规定f的积分为d :d d f f f μμμ+-=-⎰⎰⎰．特别地，当d f μ⎰为实数时，称f 可积（integrable ）．□●对于L 积分，当f 可测时，易知“f 可积⇔f 可积”．对于R 积分，熟知“f 可积⇒f 可积”，但f 可积⇒f 可积”．可见，L 积分与R 积分有本质的不同．7.1.4复值可测函数的L 积分设f 是复值可测函数，则由命题5.17知，Re f 和Im f 都是实值可测函数．进一步，若Re f 和Im f 都可积，则称复值可测函数f 可积，并规定f 的积分为d :Re d i Im d μμμ=+⎰⎰⎰f f f ．●f 可积⇔Re f 和Im f 都可积⇔f 可积．7.1.5数学期望和方差设X 是概率空间(),,P ΩF 上的r .v .，若X 关于P 可积，则称X 的数学期望存在，且称E d X X P Ω=⎰为X 的数学期望，简称期望．显然，E X 存在的充分必要条件是E X <∞．若0p >，pX 关于P 可积，则称E d ppXX P Ω=⎰为X 的p 阶矩．特别地，当2E X <∞时，称()2Var :E E X X X =-为X 的方差．习题7.17.1（定义7.5的另一种版本）设(),f +∈ΩLF ，则{}d sup d :0,f g g f g μμ=≤≤⎰⎰为简单可测函数．7.2若简单可测函数1i ni A i f a I ==∑的积分存在，则()1d ni i i f a A μμ==∑⎰．7.3设1i ni A i f a I ==∑，12,,,n a a a ∈R L ，{}12,,,n A A A ⊂F L 是Ω的有限划分．若f 的积分存在，则()1d ni i i f a A μμ==∑⎰．7.4如果实值函数f 能够表示成1nn A n f a I ∞==∑的形式，其中12,,a a ∈R L ，{},1n A n ≥⊂F 是Ω的可数划分，那么称f 为初等函数（elementary function ）．试证：（1）f 是可测函数；（2）若f 的积分存在，则()1d n n n f a A μμ∞==∑⎰；（3）f 可积当且仅当()1n n n a A μ∞=<∞∑．7.5设Ω是可数集合，μ是Ω上的计数测度，则对任何函数:f Ω→R ，当f 的积分存在时，有()d f f ωμω∈Ω=∑⎰．7.6若f 是积分存在（相应地，可积）的广义实值函数，则∀A ∈F ，A fI 的积分也存在（相应地，可积）．7.7举一个:f Ω→R 本身不可积但f 可积的例子．7.2Lebesgue 积分的性质7.2.1基本性质命题7.9设f ，g (),∈ΩL F ．（ⅰ）f 的积分存在⇒d d f f μμ≤⎰⎰；（ⅱ）若f 与g 是等价的（即f g = a.e.），f 与g 中有一个的积分存在，则另一个的积分也存在，且d d f g μμ=⎰⎰．证明（ⅰ）因为f 的积分存在，所以d d d d d d f f f f f f μμμμμμ+-+-=-≤+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰．（ⅱ）当f ，g (),+∈ΩL F 时，由习题7.8得到结论．对于一般情形，由fg ++=a.e.，fg --= a.e.（习题6.3之（1））及已证的结论知d d f g μμ++=⎰⎰，d d f g μμ--=⎰⎰．不妨假设f 的积分存在，即d f μ+<∞⎰或者d f μ-<∞⎰，那么d g μ+<∞⎰或者d g μ-<∞⎰，从而g 的积分也存在，且d d d d d d f f f g g g μμμμμμ+-+-=-=-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰．□●当仅涉及积分问题时，a.e.相等的函数可以不加区别，从而被积函数可以是a.e.可测的广义实值函数．定义7.10设f 是a .e .可测的广义实值函数，A ∈F ，若A fI 的积分存在（相应地，可积），则称f 在A 上的积分存在（相应地，可积）①，且规定f 在A 上的积分为d :d A A f fI μμ=⎰⎰．□命题7.11设f (),∈ΩL F ，A 为零测集，则d 0A f μ=⎰．证明由习题6.1知0A fI = a.e.，而恒等于零的函数是可测的，且其积分为零，由命题7.9之（ⅱ）知命题成立．□注记7.12在处理涉及积分的问题时，广义实值函数之间a.e.成立的等式或不等式，可以取消其中的“a.e.”，比如，◎若f a.e.有限，则因为{}d d f f f μμ<∞=⎰⎰，所以把“f a.e.有限”等同地看成“f 有限”对积分没有本质的影响；◎若f g ≤ a.e.，则c c A A fI gI ≤，且c d A fI μ⎰d f μ=⎰，c d d A gI g μμ=⎰⎰，其中A{}f g =>，这就是说，把“f g ≤ a.e.”等同地看成“f g ≤”对积分没有本质的影响；◎若{},1n f n ≥ a.e.单调上升，则{}c ,1n A f I n ≥单调上升，且cd d n n A f I f μμ=⎰⎰，其中1n n A A ∞== ，{}1n n n A f f +=>，这就是说，把“{},1n f n ≥ a.e.单调上升”等同地看成“{},1n f n ≥单调上升”对积分没有本质的影响．□定理7.13设(),f ∈ΩL F 的积分存在，则①若f 的积分存在（相应地，可积），则由习题7.6知f 在A 上的积分存在（相应地，可积）．（ⅰ）f 可积⇒f <∞ a.e.；（ⅱ）d 0f μ=⎰⇒0f = a.e.；（ⅲ）d 0A f μ≥⎰，∀A ∈F ⇒0f ≥ a.e..证明（ⅰ）对任意的1n ≥，由命题7.7，{}{}1d f f n f nμμμ=∞≤≥≤⎰，而d f μ<∞⎰，所以{}0fμ=∞=，即f <∞ a.e..（ⅱ）由{}110n f f n ∞=⎧⎫≠=≥⎨⎬⎩⎭及测度的可列次可加性，我们有{}110n f f n μμ∞=⎧⎫≠≤≥∑⎨⎬⎩⎭，而命题7.7及题设保证了1d 0f n f n μμ⎧⎫≥≤=⎰⎨⎬⎩⎭，1n ∀≥，故{}00f μ≠=，即0f = a.e..（ⅲ）令{}0A f =<，则题设保证了d 0A fI μ≥⎰，即d 0A fI μ≤⎰，故A fI ⎰d μ0=．于是，由已证的（ⅱ）知0A fI =a .e .，即0A fI = a.e.这表明()0A μ=，故0f ≥ a.e..□下面将引理7.6推广到一般可测函数的情形．定理7.14设f ，g (),∈ΩL F 的积分都存在，则（ⅰ）（齐性，homogeneity ）cf 的积分存在，且d d cf c f μμ=⎰⎰，其中c ∈R ；（ⅱ）（可加性，additivity ）d d f g μμ+⎰⎰有意义⇒f g + a.e.有定义，f g +的积分存在，且()f g +⎰d μd f μ=⎰d g μ+⎰；（ⅲ）（单调性，monotonicity ）f g ≤ a.e.⇒d d f g μμ≤⎰⎰．证明（ⅰ）当0c =时，结论自动成立．下面就0c >和0c <两种情形分别证明．由f 的积分存在知，d f μ+<∞⎰和d f μ-<∞⎰中至少有一个成立，为确定起见，不妨假设d f μ+<∞⎰．当0c >时，()cfcf ++=，()cf cf --=，由引理7.6之（ⅰ）知()d d cf c f μμ++=<∞⎰⎰，因而cf 的积分存在，并且()()d d d cf cfcf μμμ+-=-⎰⎰⎰d d d c f c f c f μμμ+-=-=⎰⎰⎰．当0c <时，()cf cf +-=-，()cf cf -+=-，适当修改上述证明过程可得相同的结论．（ⅱ）由()()d d d d d d f g f f g g μμμμμμ+-+-+=-+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰有意义推知，d d f g μμ+++⎰⎰和d d f g μμ--+⎰⎰中至少有一个有限，为确定起见，不妨假设d d f g μμ--+<∞⎰⎰．由d f μ-<∞⎰及定理7.13之（ⅰ）知f -<∞a .e .，同理g -<∞ a.e..综合起来，f g +a.e.有定义．注意到()f g f g---+≤+（习题5.17之（1）），故由引理7.6之（ⅲ）知()d f g μ-+<∞⎰，从而f g +的积分存在．最后，由()()fg f g f g f g +---+++++=+++及引理7.6之（ⅱ）得()()d d d d d d f g f g f g f g μμμμμμ+---+++++=+++⎰⎰⎰⎰⎰⎰，移项即得欲证．（ⅲ）由注记7.12，不妨假设f g ≤，于是fg ++≤，f g --≥，从而d d f g μμ++≤⎰⎰，d d f g μμ--≥⎰⎰．又因f 和g 的积分都存在，故d d d d d d f f f g g g μμμμμμ+-+-=-≤-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰．□由定理7.14之（ⅰ）和（ⅱ）立得下面结论．推论7.15（线性性，linearity ）设,a b ∈R ，f ，g (),∈ΩL F 的积分都存在，若d d a f b g μμ+⎰⎰有意义，则af bg + a.e.有定义，af bg +的积分存在，且()af bg +⎰d μ=a d f μ⎰b +d g μ⎰．□7.2.2可积性准则这里仅给出一个基于正项级数收敛性的可积性准则（进一步的可积性准则见习题10.28和习题10.29），其中涉及的测度为有限测度，不过，对于概率论来讲这已经够用了．定理7.16设f 是a.e.有限的广义实值可测函数，且μ为有限测度，则下列三条等价：（ⅰ）f 可积；（ⅱ）{}11n n n f n μ∞=≤<+<∞∑；（ⅲ）{}1n fn μ∞=≥<∞∑．证明由注记7.12，可设f 是实值可测函数．令{}01A f =<，{}1n A n f n =≤<+，1n ≥，再令0n A n g nI ∞==∑．“（ⅰ）⇔（ⅱ）”．因为1g f g ≤≤+，注意到μ为有限测度，所以f 可积等价于g 可积．而由习题7.4，g 可积等价于()0nn n A μ∞=<∞∑，即{}11n n n f n μ∞=≤<+∑<∞．“（ⅱ）⇔（ⅲ）”．因为{}k k nf n A ∞=≥=â，所以{}()k k nfn A μμ∞=≥=∑，于是{}()()()11111kk k k n n k nk n k fn A A k A μμμμ∞∞∞∞∞======≥===∑∑∑∑∑∑．□习题7.27.8（命题7.9之（ⅱ）的特别情形）设f ，g (),+∈ΩL F ，若f g = a.e.，则d f μ⎰d g μ=⎰．7.9（关于积分区域的有限可加性①）若(),f ∈ΩL F 的积分存在，12,A A ∈F 且12A A =∅ ，则1212d d d A A A A f f f μμμ=+⎰⎰⎰â．7.10设(),,f g ∈ΩL F 满足f g ≤ a.e.（1）若f 可积，则g 的积分存在，且()d d d g f g f μμμ=+-⎰⎰⎰；（2）若g 可积，则f 的积分存在，且()d d d f g f g μμμ=+-⎰⎰⎰．7.11（可积性的夹逼准则）设f ，g ，h (),∈ΩL F 满足g f h ≤≤ a.e.，若g ，h 都可积，则f 也可积．7.12设,f g 都可积，则f g +，f g -，f g ∨，f g ∧都可积．7.13设(),f ∈ΩL F ，则f 可积⇔存在实值可积函数0f ，使得0f f = a.e.7.14（命题7.9之（ⅰ）的推广）复值函数f 可积⇒d d μμ≤⎰⎰f f ．7.15设f (),∈ΩL F 关于μ可积．（1）若在D ∈F 上，恒有()0f ω≥或()0f ω≤，则d d D D f f μμ=⎰⎰；（2）若d 0f μ=⎰，则1sup d d 2F F f f μμ∈=⎰⎰F．7.16（定理7.14之（ⅲ）的部分逆）设f ，g (),∈ΩL F 关于μ的积分都存在，且对一切A ∈F 都有d d A A f g μμ≤⎰⎰．（1）若,f g 都可积，则f g ≤ a.e.；（2）若μ为σ-有限测度，则f g ≤ a.e.7.17举例说明习题7.16之（2）中的条件“μ为σ-有限测度”不能去掉．7.18若a X b ≤≤，则2Var 2b a X -⎛⎫≤ ⎪⎝⎭．①关于积分区域的可列可加性见习题7.22．。
4.1：非负简单可测函数的Lebesgue积分
4.1：非负简单可测函数的Lebesgue积分实变函数第四章 Lebesgue积分4.1:非负简单可测函数的Lebesgue积分首先我们说一点，如果你粗略的看就会发现，我这80%就是抄书，emm怎么说呢，这是事实，其实你从课堂上也可以看出，由于实变的课时不多，所以我们上课过程很紧凑，基本就是定义-定理-证明-例子。
所以你的笔记从某种程度上就是抄书，但是为什么我还要花功夫用Latex打出来呢？其实主要还是对我自己有帮助，因为在整理的过程中，我不知不觉就会把自己带入老师的角色，想要把一个定理讲清楚，讲明白为什么要这么做（虽然大多数时候是讲不清楚的），所以其实是对在重构和加固我的知识框架，因此你就要怀着辩证的眼光来看我的这份笔记了!参考资料：1.实变函数-周性伟2.实变函数论-周民强3.实变函数解题指南-周民强4.上课笔记Remark：由简单可测函数定义我们知道这里的一定是有限的.且当我们称，函数是Lebesgue可积的，在不做特别声明时，我们所说的可积均为Lebesgue可积.现在我们通过一个例子可以直接看出Lebesgue积分和Riemann 积分的区别：证明：首先我们针对，我们对有两个划分：，有如下断言：在上，如果那么：,于是有：该证明方法对非负简单可测函数具有一般性，下边我们再用到这种方法时就直接略去不证了！证明：(1)的证明完全可以搬抄定理3的证明，我们略去不证(只需将等于号换为小于号即可.)(2)的证明则根据定义直接可以得到；(3)的证明直接套用定义即可得到；(4):我们仅对(4)给出详细的证明：此时由定义,case 1:当时，定义.故有：.根据：Egroff定理可知：存在，使,使在上一致收敛于,且我们知道这种收敛是单增收敛的；那么对任意的,存在,使：故有：且因为是简单可测函数，所以一定是有界的，故：综上所述：由的任意性，再对取极限即得所证 .case 2:考虑测度为无穷时：.这时我们令：,那么有：同时我们有：故：.由case 2的证明过程中我们可以得到这样一个推论：当然我们知道，我们想要的当然不仅仅是非负简单可测函数的Lebesgue 积分，我们更想要的是非负可测函数的积分，甚至是一般可测函数的积分，有了之前的简单函数逼近定理，我们自然会想到可以用逼近的简单函数的lebesgue积分来定义非负可测函数的lebesgue积分.这样的想法是很好的，问题就来了，我选择不同的简单函数来单增逼近一个非负可测函数，他们的lebesgue积分值会不会不同，如果积分值是不同说明我们的定义不是一个合理定义，下边一个定理就是来说明逼近函数的选取不影响最终的积分值，由此打开非负可测函数的lebesgue积分的大门！Music time：好听ying !。
勒贝格积分的性质与应用
勒贝格积分的性质与应用摘要：在函数勒贝格积分存在的条件下，对勒贝格积分的性质进行思考和证明，将勒贝格积分性质进行扩展和进一步的研究。
同时，对勒贝格积分性质的应用进行整理，突出勒贝格积分的优点，从而对勒贝格积分性质和应用形成更加清晰的认识，促进与积分性质相关问题的解决，提高应用实变函数理论分析问题与解决实际问题的能力。
关键词：勒贝格积分性质应用0.引言黎曼积分的出现，使得一大类在牛顿积分意义下或柯西积分意义下不可积的函数进行积分变成了可能,从而使得常见的积分问题基本上都能得到完满的解决,但黎曼可积的函数主要的还是连续函数,或者说不连续点不太多的函数[1]。
针对Riemann积分中存在的缺陷,法国数学家勒贝格成功的引入了一种新的积分,即Lebesgue积分。
勒贝格积分是实变函数论的中心内容，积分理论建立在勒贝格测度论的基础上，是黎曼积分理论的升华，它不仅包含了黎曼积分理论的成果，而且很大程度上摆脱了黎曼积分的困境。
勒贝格意义上的积分，使得可积函数类大大增加，而且具有良好的性质，积分与极限交换顺序的条件也大大减弱，使积分运算更加便捷，更适合数学各分支及很多实际问题的需要[2][3]。
1.勒贝格积分的双向性[4]在黎曼积分中，函数黎曼可积与函数具有黎曼积分值是等价的。
但在勒贝格积分中，函数勒贝格可积与函数具有勒贝格积分值并不等价。
勒贝格可积与勒贝格积分的定义区别：勒贝格积分存在:设f(x)是E上的可测函数，若非负可测函数f+(x)，f−(x)在E上的积分不同时为+∞，则称f(x)在E上有积分，并定义f(x)在E上的积分为∫f(x) E dx=∫f+(x)Edx−∫f−(x)Edx。
积分值为有限数或±∞。
勒贝格可积：设f(x)是E上的可测函数，若非负可测函数f+(x)，f−(x)在E上的积分都为有限数时，即当f+(x)与f−(x)均在E上可积时，称f(x)在E上可积，其积分值为有限数。
2.勒贝格积分的性质目前关于勒贝格积分的诸多性质，大多都是在函数勒贝格可积的条件下给出的，然而有很多实际问题当中出现的函数虽然具有勒贝格积分，但不是勒贝格可积的，这类积分就不能用勒贝格可积条件下的诸多性质。
勒贝格积分定义探究及其应用
D0l:10.16767/ki.10-1213/tu.2019.07.195勒贝格积分定义探究及其应用张文筱山东省实验中学西校摘要：勒贝格积分是数学发展过程中的里程碑，经典与现代分析的分水岭,20世纪结构数学的重要组成部分。
这一理论提出最早归功于法国数学家勒贝格，且他先后给出了积分的数种不同定义。
本文对勒贝格积分的定义和其数学应用进行一定的梳理分析。
关键词:勒贝格积分;定义;应用Abstract:Lebesgue integral is very important in the development of mathematics,which was first put forward and given several different definitions by Lebesgue.In this theory,we will analyze the definition and mathematical application of Lebesgue integral.KeyWords:Lebesgue integral;definition;application.1引言勒贝格积分是现代数学中的一个积分概念,它将积分运算扩展到任何测度空间中。
在最简单的情况下，非负函数的积分可以看作是函数图形与坐标轴之间的面积。
勒贝格积分将积分运算扩展到其它函数，也扩展了可积分函数的范围。
积分运算最早的定义是，对于非负且足够光滑的函数，积分等价于通过取极限来计算多边形的面积。
但是，随着对更多不规则函数积分的需要不断出现(例如，为了讨论数学分析中的极限过程，或者出于概率论的需要)，很快就需要为更广义的极限均值定义相应的积分运算。
2勒贝格积分定义的提出积分是数学概念之一，可以在典型例子的基础上对各种不同的观点进行讨论。
积分理论的目的是给出一个准确的方法，使其适用于更广泛的可能的函数类，也最密切最常见的积分方法操作，使定理和性质的理论适用于尽可能多的不同类型的函数。
Lesbesgue积分的定义及性质[行业严选]
![Lesbesgue积分的定义及性质[行业严选]](https://img.taocdn.com/s3/m/3370f73b25c52cc58bd6be65.png)
为f(x)在E上的Lebesgue积分
若f(x)是E上的可测函数,则f(x)总可表示成一列
简单函数 {n (x)} 的极限 可办到 | 1(x) || 2 (x) |
f
(
x)
limnn( Nhomakorabeax，) 而且还
一类特制
9
显然0 E f (x)dx ,若E f (x)dx ,称f (x)
第五章 积分理论
第二节 Lesbesgue积分的定义及性质
一类特制
1
1.积分的定义
⑴非负简单函数的积分
设 是 n
( x) ci Ei ( x)
i 1
E
n
i 1
Ei
(
Ei可测且两两不交）
上非负简单函数，定义
(L)E ( x)dx
n
ci mEi
i 1
为 (x) 在E上的Lebesgue积分
在E上勒贝格可积
设E A ,则f (x)在A上的勒贝格积分定义为f (x)在A的
限制f A 在A的勒贝格积分,则
f (x)dx A
E f (x) X A (x)dx
一类特制
10
⒉积分的性质 ⑴零集上的任何函数的积分为0
(2)若E f (x)dx 0,则f (x) 0a.e.于E;
(3)若E f (x)dx ,则0 f (x) a.e.于E;
由n的任意性，则mE 0,因而
0 f (x) a.e.于E
一类特制
13
（4） 设(x)是A U B上任一满足条件x A U B时 0 (x) f (x)的简单函数
则
(x)dx (x)dx (x)dx
AUB
Lebesgue控制收敛定理在数学分析中的应用
Lebesgue 控制收敛定理在数学分析中的应用卢江龙 指导教师：王汝军（河西学院数学与应用数学专业085班13号，甘肃张掖734000）摘要：本文利用Lebesgue 控制收敛定理和概率统计的有关知识以及由Lebesgue 控制收敛定理得到的新的逐项积分定理，解决了数学分析中的一些难以解决的问题。
众所周知，Riemann 积分（下面称为（R ）积分，并记为()()baR f x dx ⎰）中函数项级数的逐项积分定理需要很强的级数一致收敛的条件，且级数的每一项都要连续（见注解［5］引文，定理13.12）。
使用起来非常不便，且应用面较窄，本文借助于Lebesgue 积分（下面称为（L ）积分，记为()()baL f x dx ⎰）得到了新的在（R ）积分中能接受的，应用面更广泛的逐项积分定理，从而解决了数学分析中的一些问题。
关键词 ： Lebesgue 控制收敛定理；Riemann 积分；极限；大数定律：Lebesgue 积分Lebesgue dominated convergence theorem in mathematical analysisLuJianglong Supervisor: Wang Rujun(Hexi University, of Mathematics and Applied Mathematics 085 class on the 13th, Gansu Zhangye 734000)Abstract: using the Lebesgue convergence theorem and the knowledge about the probability and statistics and the convergence theorem of Lebesgue integral theorem, a new item to solve some of the mathematical analysis to solve the problem. As is known to all, Riemann integral (below (R) called for the integration, and remember) function series of core-staff integral theorem is unanimous convergent series, and the conditions of each to continuous (see comments [5] 13.12), theorem. Use up very inconvenient, and application of narrow Lebesgue integral, the paper by the called (L) points, a new record for) in (R) can accept, more extensive application of the item, which solved the integral theorem and some problems of mathematical analysis.Keywords: Lebesgue dominated convergence theorem; Riemann integral; limit; Law of Large Numbers: Lebesgue integral1．引言众所周知，Riemann 积分（下面称为（R ）积分，并记为()()baR f x dx ⎰）中函数项级数的逐项积分定理需要很强的级数一致收敛的条件，且级数的每一项都要连续（见注解［5］引文，定理13.12）。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
Lebesgue积分在高等数学中的几个应用实例
作者：孙家永
作者单位：西北工业大学,西安,710072
刊名：
高等数学研究
英文刊名：STUDIES IN COLLEGE MATHEMATICS
年，卷(期)：2008，11(4)
被引用次数：0次
1.孙家永从求limn-+∞lnn√n!/n说起[期刊论文]-高等数学研究 2001(04)
1.期刊论文宋占奎Lebesgue积分的一个附注-西安科技学院学报2001,21(3)
首先阐释了Lebesgue积分的优越性,然后通过由Fatou定理对Lebesgue控制收敛定理的证明,表明了Lebesgue积分的三大著名定理Levi定理、Fatou定理和Lebesgue控制收敛定理均是彼此等价的.它们相互之间是可以构成一个循环证明的.
2.期刊论文王军涛.宋林森Riemann积分与Lebesgue积分的比较-河南科技学院学报（自然科学版）2008,36(4)
从Riemann积分与Lebesgue积分的定义、性质、积分与极限交换次序及微积分基本定理等方面进行比较,并给出Lebesgue积分下的积分中值定理及证明,讨论了Lebesgue积分和Riemann积分二者之间的关系.最后,通过二者在广义积分方面的比较,说明Lebesgue积分在广义积分方面并不是Riemann积分的推广.
3.期刊论文张永锋连续参数的L积分极限定理-咸阳师范学院学报2004,19(4)
将Lebesgue积分的三大极限定理从函数列情形推广到连续参数情形,并由此证明了含参量Lebesgue积分的连续性与可微性.
4.期刊论文林秋红Riemann积分和Lebesgue积分性质的比较-湖北广播电视大学学报2010,30(3)
本文主要对Riemann积分和Lebesgue积分进行归纳总结,着重比较了这两种积分性质上的异同,及它们在极限、微分等方面的应用.
5.期刊论文赵石正.ZHAO Shi-zhen单调可测函数序列的Lebesgue积分-青海师专学报（自然科学）2001,21(6)
考察单调可测函数序列上积分与极限的交换问题,综述和改进了教科书[1]的有关结果.
6.期刊论文李久平.LI Jiu-ping待定无穷小方法在积分型极限中的应用-数学的实践与认识2005,35(5)
提出了一种利用待定无穷小求lim n→∞∫x/20 sinnxdx形式的极限的简单方法,该方法既不需要利用Lebesgue积分的性质,又避免了使用数列极限的ε-N定义,并给出了若干例子.
7.期刊论文刘晓辉.康叔卫Lebesgue控制收敛定理及应用-和田师范专科学校学报2006,26(6)
讨论并证明了Lebesgue控制收敛定理,该定理体现了在Lebesgue积分意义下积分与极限交换顺序的条件比Riemann积分弱,给解决一些难题带来了便利.
8.期刊论文张永锋绝对连续的一些性质-咸阳师范学院学报2003,18(6)
以绝对连续函数的意义为基础,研究了绝对连续函数的性质,绝对连续函数的四则运算、复合运算以及极限函数的绝对连续性等,并由此导出了绝对连续函数Lebesgue积分的分部积分与换元积分公式.
9.期刊论文程锡友.CHENG Xi-you H(o)lder不等式的一个新证法-西北师范大学学报（自然科学版）2007,43(4) 基于Lebesgue积分极限定理、有理数的稠密性以及反向数学归纳法原理,给出了H(o)lder不等式的一种新证法.
10.学位论文王晓硕积分概念的近代发展2002
积分概念是现代分析数学乃至整个数学领域中最重要的概念之一.在微积分的初创时期,Newton通过微分法的逆运算,即"反流数术"来解决求积问题
,而Leibniz则采用"微元法".把定积分定义为"和的极限"始于Cauchy1823年的工作,他对连续函数给出了定积分的构造性定义.从此以后,随着理论和应用的需要,积分概念的发展变得更为迅速和迫切.Riemann在19世纪中期引入了Riemann积分,比较完整、深刻地揭示出定积分概念的实质.可积性理论的一个实质性改进是由Darboux于19世纪末完成的.稍后,Stieltjes为了表示一个解析函数序列的极限引入了一种新的积分—Stieltjes积分,成为研究一般测度上积分的开端.20世纪初,集合论的观点引起积分学的变革,Lebesgue以集合测度概念为基础,对Riemann积分的定义加以改造,建立Lebesgue积分的概念.本文作者以积分思想的发展为线索,着重分析了近代积分概念在不同时期是如何根据理论与应用的需要而演变和分化的.
本文链接：/Periodical_gdsxyj200804035.aspx
授权使用：四川大学(scdx)，授权号：bb2d8f5c-481b-4c5e-b2bf-9e9d00043c8f
下载时间：2011年3月5日。