27.1.2 圆的对称性1
《圆的对称性》圆圆的对称性
艺术家们也经常利用圆形的对称性来创作美丽的艺术作品，例如旋转对称的图案、镜像对称的图案等。
艺术创作
02
CHAPTER
圆的轴对称性
轴对称性是一种几何属性，指的是一个图形关于某一直线（称为“对称轴”）对称，即图形上的任意点到对称轴的距离相等，且在对称轴的两侧有相对应的点。
对称轴是一条直线，它把图形划分成两个部分，其中一个部分相对于对称轴折叠后能够与另一个部分重合。
感谢您的观看。
04
CHAPTER
圆的旋转对称性
旋转对称性是指一个图形在旋转一定角度后，仍然保持不变的形状和大小。
旋转对称轴是一条通过图形中心的直线，将图形旋转特定角度后，图形上的点与旋转前的点重合。
圆在绕其中心旋转任意角度时，其形状和大小均保持不变。
圆上任意一点在绕圆心旋转一定角度后，都会与原来的点重合。
雕塑中的应用
许多生物形状都表现出圆的对称性，如人的身体、树叶等。这种对称性有助于保持生物体的平衡，使其在运动时更加流畅、自然。
在天体运动中，圆的对称性也非常重要。例如，地球的自转和公转都是以圆形轨道进行的，这种圆形运动方式使得天体能够更加稳定地运动，避免了不必要的震动和变化。
生物形状
天体运动
THANKS
圆是一个具有轴对称性的图形，它的对称轴是经过圆心的任意一条直线。
圆上的任意一点到对称轴的距离相等，且在对称轴的两侧有相对应的点。
圆沿着对称轴折叠后，两侧的点能够完全重合。
通过圆的轴对称性，我们可以很容易地找到圆上任意一点的对称点，以及通过旋转和翻转等变换得到新的图形。
圆的轴对称性也是证明一些几何定理的重要工具，例如，利用圆的轴对称性可以证明圆中的垂径定理和切线长定理等。
27.1.2圆的对称性⑴
想一想？
一.圆的对称性.
.
1.轴的对称性.圆是轴对称图形，过圆心的每一条直线 （直径所在的直线）都是圆的对称轴，无数条。
2、中心对称性.圆是中心对称图形,对称中心 是圆心. 3.旋转不变性(独有). 圆是旋转对称图形,旋转中心是圆心. 即圆绕圆心旋转任意一个角度α，都能与原来的图形重合。
o
C
N
D
下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧 、弦心距有什么 关系？ A M 如图： B AOB= COD
o
C
N
D
下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧 、弦心距有什 么关系？ A M 如图： B AOB= COD
o
C
N
D
下面我们一起来观察一下圆心角与它所对的弦、弧 、弦心距有什么 关系？ A M 如图： B AOB= COD
A E B
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
⌒
O
·
F
D
四一三定理的应用： ⌒ ⌒ ⌒ 例1.如图，AB是⊙O 的直径， BC=CD=DE, ∠COD=35°，求∠AOE 的度数． ⌒ ⌒ ⌒ 解： Q BC=CD=DE
E D 35° 35° 35° O C
BOC=COD=DOE=35
B
A
·
AOE 180 3 35 75
圆心角, 弧,弦,弦心距之间的关系定理
D
A
●
D
A
●
B
O
B
O
●
O′
┏ A′ D′ B′
题设
（ 条 件 ）
结论
┏ A′ D′ B′
在 同 前 圆 提 或 等 圆 中 ( )
2.2圆的对称性(1).2 圆的对称性(1)课件
2.2
圆的对称性（一）
复习回忆
1、什么是中心对称图形？举例说明
把一个图形绕着某一个点旋转180∘，如果旋 转后的图形能够和原来的图形互相重合，那 么这个图形叫做中心对称图形。
平行四边形、矩形、菱形、正方形
2、圆是中心对称图形，圆心是它的 对称中心。
尝 试
1.在两张透明纸片上，分别作半径相等的 O和 O’
AB = A’B’ AOB= A’O’B’
3.
AB=A’B’
1的圆心角
C D
1的弧
O
n的圆心角
B A
n的弧
n的圆心角对着 n的弧， n的弧对着 n的圆心角。
圆心角的度数与它所对的弧的度数相等。
典型例题
例 1：如图在 ABC 中， C=90， B=28，以 C为圆心， 以 CA为半径的圆交 AB于点 D，交 BC于点 E ， 求 AD， DE的度数。
B
D
E
A
C
例 2：如图 ,AB,AC,BC 都是 O的弦， AOC= BOC， ABC与 BAC相等吗？为什么？
解： ABC= BAC
∵ AOC= BOC
O
AC=BC
ABC= BAC
A C B
巩固练习
1.如图，在 O中，AC =BD ， AOB=50，求 COD的度数。 A
C D O B A
O B C
2.如图，在 O中，AB =AC， A=40，求 ABC的度数。
3.如图，在同圆中，若 AOB=2 COD，则AB与 2CD的大小关系是（ （ A）AB ＞ 2CD (B) AB ＜ 2CD (C) AB＝ 2CD (D) 不能确定
初中数学 教案：27.1.2 圆的对称性
27.1.2圆的对称性教学目标：使学生知道圆是中心对称图形和轴对称图形,并能运用其特有的性质推出在同一个圆中,圆心角、弧、弦之间的关系，能运用这些关系解决问题，培养学生善于从实验中获取知识的科学的方法．重点难点： 1.重点：由实验得到同一个圆中，圆心角、弧、弦三者之间的关系．2.难点：运用同一个圆中，圆心角、弧、弦三者之间的关系解决问题．教学过程：一、由问题引入新课：要同学们画两个等圆，并把其中一个圆剪下，让两个圆的圆心重合，使得其中一个圆绕着圆心旋转，可以发现，两个圆都是互相重合的．如果沿着任意一条直径所在的直线折叠，圆在这条直线两旁的部分会完全重合．由以上实验，同学们发现圆是中心对称图形吗？对称中心是哪一点？圆不仅是中心对称圆形，而且还是轴对称图形，过圆心的每一条直线都是圆的对称轴．二、新课1.同一个圆中，相等的圆心角所对的弧相等、所对的弦相等．垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．实验1.将图形28.1.3中的扇形AOB 绕点O 逆时针旋转某个角度，得到图28.1.4中的图形，同学们可以通过比较前后两个图形，发现AOB AOB ∠=∠，AB AB =，．AB=AB实质上，AOB ∠确定了扇形AOB 的大小，所以，在同一个圆中，如果圆心角相等，那么它所对的弧相等，所对的弦相等．图23.1.3图23.1.4问题：在同一个圆中，如果弧相等，那么所对的圆心角，所对的弦是否相等呢？ 在同一个圆中，如果弦相等，那么所对的圆心角，所对的弧是否相等呢？实验2、如图28.1.7，如果在图形纸片上任意画一条垂直于直径CD 的弦AB ，垂足为P ，再将纸片沿着直径CD 对折，比较AP 与PB 、AC ︵与CB ︵，你能发现什么结论？ 显然，如果CD 是直径，AB 是⊙O 中垂直于直径的弦，那么AP BP =，AC=BC ，AD=BD ．请同学们用一句话加以概括． （ 垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧） 2.同一个圆中，圆心角、弧、弦之间的关系的应用．（1）思考：如图，在一个半径为6米的圆形花坛里，准备种植六种不同颜色的花卉，要求每种花卉的种植面积相等，请你帮助设计图28.1.5，在⊙O 中，AC BC =，145∠=︒，求2∠种植方案．（2）如的度数．3、课堂练习：P38练习1、2、3 三、课堂小结本节课我们通过实验得到了圆不仅是中心对称图形，而且还是轴对称图形，而由圆的对称性又得出许多圆的许多性质，即（1）同一个圆中，相等的圆心角所对弧相等，所对的弦相等．（2）在同一个圆中，如果弧相等，那么所对的圆心角，所对的弦相等．（3）在同一个圆中，如果弦相等，那么所对的圆心角，所对的弧相等．（4）垂直于弦的直径平分弦，并图23.1.7图 23.1.5且平分弦所对的两条弧．四、作业Ｐ42 习题28.1 1、2、3、4、5。
圆的对称性
37mC
B
r
r-7
O
Байду номын сангаас
圆 你能破镜重 吗？
n
m C
A
B
·O
本课小 结
本节课大家学习了圆的重要定理：垂径定理 垂径定理的实质是在①过圆心②垂直于弦③平 分弦④平分劣弧⑤平分优弧五个条件中只要知 道两个条件就能得出其余三个结论。
在解决有关弦的问题时，经常过圆心作弦的垂线， 连接相应半径，构造直角三角形。
新知探究
如图，在⊙O中，直径CD交弦AB于E，AE=BE,
你能发现什么结论？
C
CD⊥AB
A
(( ((
●O
AD=BD
C
O
D
E
A
∟
B AC=BC
B
D
推论1:平分弦（不是直径）的直径垂直于弦， 并且平分弦所对的两条弧。
新知探究
( (
如图，在⊙O中的弦，直径CD交弦AB于E，且 AD=BD
你能发现什么结论？
C
CD⊥AB
AE=BE
●O
E
A
B
D
推论2:平分弧的直径垂直平分这条弧所对的 弦，并且平分弦所对的另一条弧。
( (
( (
如图,在下列五个条件中: ①CD是直径, ②CD⊥AB, ③AE=BE, ④AD=BD ⑤AC=BC
只要具备其C 中两个条件,就可推出其余“三知个二结推三论”.
●O
E
A
∟
B
D
小试牛刀
课 后作业 课本40页1、2题
半弦
如图，已知在⊙O中，弦AB 的长为8厘米，圆心O到AB的 A 距离为3厘米，求⊙O的半径。半径
C
27.1.2-圆的对称性1
M
O
C
A
探索三：
N
①直线MN过圆心O ⑤弧AN=弧BN
第34页，共52页。
B
② MN⊥AB ③
AC=BC ④弧 AM=弧BM
推论1:
(3)平分弦所对的一 条弧的直径,垂直平分 弦,并且平分弦所对的 另一条弧。
第35页，共52页。
推论1:
简称：知二推三
(1)平分弦（不是直径）的直径垂直于弦， 并且平分弦所对的两条弧；
第17页，共52页。
在⊙O中，若
则AB与CD的关系是（ ）
A． AB＝2CD
B． AB＜2CD
C． AB＞2CD D． CD＜AB＜2CD
第18页，共52页。
探索2：再做一做,想一想:
如图23.1.7，如果在图形纸片上任意画一条 垂直于直径CD的弦AB，垂足为P，再将纸片沿着 直径CD对折，比较AP与PB、弧AC与弧CB，
D
点E就是所求弧AB的中点。
第40页，共52页。
变式一： 求弧AB的四等分点。
C
m
n
F
E
G
A
B
D
第41页，共52页。
错在哪里？
●作AB的垂直平分线CD。 E
C
G
●作AT．BT的垂直
平分线EF．GH
N
M
P
A
T
B
等分弧时一定
要作弧所夹弦的
垂直平分线。
F
H D
第42页，共52页。
m
A
C E
变式二：你能确定 弧AB的圆心吗？
已知
结论
｝ （1）过圆心
（2）垂直于弦
｛（3）平分弦 （4）平分弦所对的优弧 （5）平分弦所对的劣弧
初中数学课件-圆的对称性课件北师大版2
（1）此图是轴对称图形，对称轴是 直径CD所在的直线
（2）AP=BP， A⌒C=B⌒C，A⌒D=B⌒D
初中数学课件-圆的对称性课件北师大 版2（ 精品课 件）
D
O
P
A
B
C
初中数学课件-圆的对称性课件北师大 版2（ 精品课 件）
已知：在☉O中，CD是直径，AB是弦，AB⊥CD，
垂足为P. 求证：AP=BP， A⌒C =B⌒C，A⌒D =B⌒D.
初中数学课件-圆的对称性课件北师大 版2（ 精品课 件）
初中数学课件-圆的对称性课件北师大 版2（ 精品课 件）
在等圆中探究
如图，在等圆中，如果∠AOB＝∠CO ′ D，你发现
的等量关系是否依然成立？为什么？
FB
C
ED
O· A
·O'
初中数学课件-圆的对称性课件北师大 版2（ 精品课 件）
通过平移和旋转将两个等圆变成同圆
初中数学课件-圆的对称性课件北师大 版2（ 精品课 件）
初中数学课件-圆的对称性课件北师大 版2COD，那么，A⌒B与C⌒D，
弦AB与弦CD有怎样的数量关系？
由圆的旋转不变性，我们发现： D
在⊙O中，如果∠AOB= ∠COD，
C B
· OA
那么，A⌒B=C⌒D，弦AB=弦CD
课堂小结
圆心角
概念：顶点在圆心的角
弦、弧、圆心 角的关系定理
应用提醒
在同圆或等圆中 圆心角 相等
初中数学课件-圆的对称性课件北师大 版2（ 精品课 件）
①要注意前提条件； ②要灵活转化.
弧 相等
弦 相等
初中数学课件-圆的对称性课件北师大 版2（ 精品课 件）
27.1.2 圆的对称性 第2课时 垂径定理
圆的对称性1
第三章圆2．圆的对称性（一）一、学生知识状况分析学生的知识技能基础：学生在七、八年级已经学习过轴对称图形以及中心对称图形的有关概念及性质，以及本节定理的证明要用到三角形全等的知识等。
学生的活动经验基础：在平时的学习中，学生逐步适应应用多种手段和方法探究图形的性质。
同时，在平时的教学中，我们都鼓励学生独立探索和四人小组互相合作交流，使学生形成一些数学活动的经验基础，具备一定探求新知的能力。
二、教学任务分析圆是一种特殊图形，它既是轴对称图形，又是中心对称图形。
该节内容分为2课时。
本节课是第1课时，学生通过前面的学习，能用折叠的方法得到圆是一个轴对称图形。
其对称轴是任一条过圆心的直线。
具体地说，本节课的教学目标是：知识与技能：1．理解圆的轴对称性及其相关性质；2．利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理．过程与方法：1．经历探索圆的对称性及相关性质的过程，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法。
情感态度与价值观：1．培养学生独立探索，相互合作交流的精神。
2．通过学习垂径定理及其逆定理的证明，使学生领会数学的严谨性和探索精神，培养学生学习实事求是的科学态度和积极参与的主动精神。
教学重点：利用圆的轴对称性研究垂径定理及其逆定理．教学难点：和圆有关的相关概念的辨析理解。
三、教学过程分析本节课设计了六个教学环节：课前准备（制作实验器材、完成预习提纲）、创设问题情境引入新课、讲授新课、课堂小结、创新探究、课后作业。
第一环节课前准备活动内容：（提前一天布置）1.每人制作两张圆纸片（最好用16K打印纸）2.预习课本P88~P92内容活动目的：通过第1个活动，希望学生能利用身边的工具去画图，并制作图纸片，培养学生的动手能力；在第2个活动中，主要指导学生开展自学，培养良好的学习习惯。
实际教学效果：1.学生在制作图纸片时，有时可能没有将圆心标出来，老师要对其进行启发引导，找出圆心。
2.预习提纲，要简明扼要，学生基本上能通过阅读教材就能较好完成。
圆的对称性—知识讲解(基础)
圆的对称性—知识讲解（基础）【学习目标】1.理解圆的对称性；并能运用其特有的性质推出在同一个圆中,圆心角、弧、弦之间的关系，能运用这些关系解决问题，培养学生善于从实验中获取知识的科学的方法；理解弦、弧、半圆、优弧、劣弧、等弧等与圆有关的概念，理解概念之间的区别和联系；2.通过探索、观察、归纳、类比，总结出垂径定理等概念，在类比中理解深刻认识圆中的圆心角、弧、弦三者之间的关系；3. 掌握在同圆或等圆中，三组量：两个圆心角、两条弦、两条弧，只要有一组量相等，就可以推出其它两组量对应相等，及其它们在解题中的应用.【要点梳理】要点一、圆的对称性圆是轴对称图形，过圆心的直线是它的对称轴，有无数条对称轴．圆是中心对称图形，对称中心为圆心．要点诠释：圆具有旋转不变的特性．即一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合．要点二、与圆有关的概念1.弦弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦.直径：经过圆心的弦叫做直径.弦心距：圆心到弦的距离叫做弦心距.要点诠释：直径是圆中通过圆心的特殊弦，也是圆中最长的弦，即直径是弦，但弦不一定是直径.为什么直径是圆中最长的弦？如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O中任意一条弦，求证：AB≥CD.证明：连结OC、OD∵AB=AO+OB=CO+OD≥CD(当且仅当CD过圆心O时，取“=”号)∴直径AB是⊙O中最长的弦.2.弧弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧.以A、B为端点的弧记作，读作“圆弧AB”或“弧AB”.半圆：圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆；优弧：大于半圆的弧叫做优弧；劣弧：小于半圆的弧叫做劣弧.要点诠释：①半圆是弧，而弧不一定是半圆；②无特殊说明时，弧指的是劣弧.3.等弧在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫做等弧.要点诠释：①等弧成立的前提条件是在同圆或等圆中，不能忽视；②圆中两平行弦所夹的弧相等.要点三、垂径定理1.垂径定理垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.2.推论平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.要点诠释：(1)垂径定理是由两个条件推出两个结论，即(2)这里的直径也可以是半径，也可以是过圆心的直线或线段.要点四、垂径定理的拓展根据圆的对称性及垂径定理还有如下结论：（1）平分弦（该弦不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；（2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧.要点诠释：在垂径定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径）要点五、弧、弦、圆心角的关系1.圆心角与弧的关系：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．2. 圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．要点诠释：(1)一个角要是圆心角，必须具备顶点在圆心这一特征；(2)注意关系中不能忽视“同圆或等圆”这一前提.3. 圆心角的度数与它所对的弧的度数相等.【典型例题】类型一、应用垂径定理进行计算与证明1．（2015•巴中模拟）如图，AB为半圆直径，O为圆心，C为半圆上一点，E是弧AC的中点，OE交弦AC于点D，若AC=8cm，DE=2cm，求OD的长．【答案与解析】解：∵E为弧AC的中点，∴OE⊥AC，∴AD=AC=4cm，∵OD=OE﹣DE=（OE﹣2）cm，OA=OE，∴在Rt△OAD中，OA2=OD2+AD2即OA2=（OE﹣2）2+42，又知0A=OE，解得：OE=5，∴OD=OE﹣DE=3cm．【总结升华】主要是解由半径、弦的一半和弦心距（圆心到弦的垂线段的长度）构成的直角三角形.举一反三：【变式】如图，⊙O中，弦AB⊥弦CD于E，且AE=3cm，BE=5cm，求圆心O到弦CD 距离。
圆的对称性教学设计
第27章圆27.1.2．圆旳对称性一、学情分析学生旳知识技能基本：学生在七、八年级已经学习过轴对称图形以及中心对称图形旳有关概念及性质，以及本节定理旳证明要用到三角形全等旳知识等。
在上节课中，学生学习了圆旳轴对称性，并运用轴对称性研究了垂径定理及其逆定理。
学生具有一定旳研究图形旳措施，基本掌握探究问题旳途径，具有合情推理旳能力，并逐渐发展了逻辑推理能力。
学生旳活动经验基本：在平时旳学习中，学生逐渐适应应用多种手段和措施探究图形旳性质。
同步，在平时旳教学中，比较注重学生独立摸索和四人小组互相合伙交流，使学生形成某些数学活动旳经验基本，具有一定探求新知旳能力。
二、教学任务分析知识与技能：1．理解圆旳旋转不变性；2．运用圆旳旋转不变性研究圆心角、弧、弦之间相等关系旳定理．过程与措施：1．经历摸索圆旳对称性及有关性质旳过程，进一步体会和理解研究几何图形旳多种措施。
2．通过观测、比较、操作、推理、归纳等活动，发展学生推理观念，推理能力以及概括问题旳能力。
情感态度与价值观：培养学生积极摸索数学问题旳态度与措施。
教学重点：运用圆旳旋转不变性研究圆心角、弧、弦之间相等关系旳定理．教学难点：理解有关定理中“同圆”或“等圆”旳前提条件．三、教学过程分析本节课设计了六个教学环节：课前准备，创设问题情境引入新课，讲授新课，课堂小结，创新探究，课后作业。
第一环节 课前准备活动内容：（提前一天布置）1、每人用透明旳胶片制作两个等圆。
2、预习课本P37--39内容。
第二环节 创设情境，引入新课活动内容：问题提出：我们研究过轴对称图形和中心对称图形，我们是用什么措施来研究它旳，它们旳定义是什么？活动目旳：为了引出圆旳轴对称和旋转不变性。
第三环节 合伙探究 感受新知活动内容：（一）通过教师演示实验，探究圆旳旋转不变性；请同窗们观测屏幕上两个半径相等旳圆。
请回答：它们重叠吗？如果重叠，将它们旳圆心固定。
将上面旳圆旋转任意一种角度，两个圆还重叠吗 ?归纳：圆具有旋转不变性。