大学物理-高斯定理
大学物理 高斯定理
正点电荷与负点电荷的电场线
+
-
第1章 静止电荷的电场 章
10
大学 物理学
1.6 高斯定理
一对等量正点电荷的电场线
+
+
第1章 静止电荷的电场 章
11
大学 物理学1.6 高斯定理源自一对等量异号点电荷的电场线
-
+
第1章 静止电荷的电场 章
12
大学 物理学
1.6 高斯定理
一对不等量异号点电荷的电场线
2q
3.高斯定理源于库仑定律 3.高斯定理源于库仑定律 高于库仑定律 高斯 定理
(2)高斯定理高于库仑定律 (以下将要证明) (2)高斯定理高于库仑定律 以下将要证明) A.
库仑 定律
第1章 静止电荷的电场 章 4.静电场性质的基本方程 4.静电场性质的基本方程
7
大学 物理学
1.6 高斯定理
r r 1 ∫ E ⋅ dS =
q2
q3 q6
∫
S
r r r r r r r r r E ⋅ dS = ？ E = E1 + E 2 + E 3 + E 4 + E 5 + E 6
∫
S
r r E ⋅ dS =
∫
S
r r E1 ⋅ d S +
∫
S
r r E 2 ⋅ dS +
∫
S
r r E3 ⋅ dS
+
=
∫
S
r r r r r r E 4 ⋅ dS + ∫ E5 ⋅ dS + ∫ E6 ⋅ dS
2
=∫
q
dS = 2
q
2.大学物理-高斯定理
关于高斯定理的讨论：
es
1 E dS q内
s
0
3. 利用高斯定理可方便求解具有某些对称分布的静电场 成立条件：静电场
求解条件：电场分布具有某些对称性
才能找到恰当的高斯面，使 s E cos dS 中的 E和 cos 能够提到积分号外，从而简便地求出 E 分布
能否用高斯定理求电场分布？
如果不能，是否意味着高斯定理失效？
q内 ( r ) dV
R ,r
dV L 2rdr
[例三] 无限大均匀带电平面的电场（电荷面密度 ）
对称性分析： 视为无限长均匀带电直线的集合
dE
x
dE
P
' dE
dE
E方向 垂直于带电平面，
E cos0 dS E cos0 dS E cos dS 2 E 2S
左 右 侧
0
0
2 0
E
o
x
2 0
E 2 0
其指向由 号决定
的符
讨论： 1.电荷均匀分布无限大平板（厚度 h 0 ）的电场。
2.电荷分层均匀分布分层均匀无限大平板（厚度
讨论：
1. 无限长均匀带电柱面的电场分布
对称性分析：视 为无限长均匀带 电直线的集合； 选高斯面；同轴 圆柱面
R
o o
r
r
P
E o R r
' dE
P
dE
' dE dE
由高斯定理计算
r R: E0 r R:
E 2 0 r
2. 计算均匀带电圆柱层（ R1 , R2 , ）的电场分布
大学物理 高斯定理
第8章 静电场和稳恒电场
17
8-2 电通量 高斯定理
例8.6 均匀带电球面的电场强度 一半径为 R , 均匀带电 q 的球 求球面内外任意点的电场强度. 面 . 求球面内外任意点的电场强度
r
+ + 1+ + + +
S
O
v v ∫ E ⋅ dS = 0
S1
解（1） 0 < r < R ）
r
R
+ + +
1 q d Φ e = E cos 0d S = dS 2 4π ε 0 r
qd S Φe = dΦe = ∫S ∫ S 4πε 0 r 2
=
=
r
+
v dS
q
4 πε 0r q
2
∫
S
dS
ε0
Φ e 与r无关
第8章 静电场和稳恒电场
12
8-2 电通量 高斯定理
点电荷在任意闭合曲面内 点电荷在任意闭合曲面内
+ q 发出的 q / ε 0
条电力线不会中断， 条电力线不会中断，仍全 部穿出封闭曲面 S ，即：
+
Φe =
q
ε0
点电荷位于球面中心
Φe =
q
ε0
第8章 静电场和稳恒电场
13
8-2 电通量 高斯定理
点电荷在闭合曲面之外 点电荷在闭合曲面之外
r v d Φ1 = E 1 ⋅ d S 1 > 0 v v d Φ2 = E 2 ⋅ d S 2 < 0
6
8-2 电通量 高斯定理
带电平行板电容器的电力线 + + + + + + + + + + + +
大学物理 高斯定理
引言概述：在大学物理中，高斯定理是一项重要的物理原理，它描述了电场和磁场的性质。
高斯定理由德国物理学家卡尔·弗里德里希·高斯于18世纪中叶提出，是电磁学的基础之一。
本文将介绍高斯定理的概念、原理及其在电场和磁场中的应用。
正文内容：1. 高斯定理的概念1.1 定义高斯定理是描述电场和磁场分布的一种数学工具，它通过计算电场或磁场通过一个闭合曲面（高斯面）的总通量来研究场的分布。
1.2 数学表达高斯定理可以用数学表达式表示为：∮E·dA = q/ε0，其中∮E·dA表示场在闭合曲面上的总通量，q表示闭合曲面内的电荷量，ε0为真空介电常数。
2. 高斯定理的原理2.1 高斯面的选择高斯定理中的高斯面是根据具体问题选择的，一般情况下我们选择对称性较高的闭合曲面，以简化计算。
2.2 电场线的特性高斯定理的基础是电场线的性质，电场线从正电荷流向负电荷，且与介质边界垂直，通过一个封闭曲面的电场线数目与该封闭曲面内的电荷量有关。
2.3 通量与电场强度高斯定理中的总通量与电场强度呈正相关关系，通过计算总通量可以得到闭合曲面内的电场强度大小。
3. 高斯定理在电场中的应用3.1 点电荷的场分布高斯定理可以用来研究点电荷周围的电场分布，通过选择以点电荷为中心的球面作为高斯面，可以计算出球面内外的电场强度大小。
3.2 均匀带电球壳的场分布对于均匀带电球壳，可以通过选择以球壳为中心的闭合曲面来计算球壳内外的电场分布，根据高斯定理可以得到球壳内外的电场强度大小。
4. 高斯定理在磁场中的应用4.1 磁场的总通量类似于电场，磁场也可以使用高斯定理来描述，通过计算磁场通过闭合曲面的总通量可以了解磁场的分布情况。
4.2 磁场的磁感应强度高斯定理在磁场中的应用可以得到磁场的磁感应强度大小，通过选择合适的闭合曲面，可以计算出曲面内外的磁感应强度。
5. 高斯定理的实际应用5.1 高斯定理在电容器中的应用电容器是电子器件中常见的元件，根据高斯定理，可以计算电容器两极板之间的电场强度，进而了解电容器的性能。
大学物理：高斯定理
在时在该点产生的场强的矢量和。
（3）电荷连续分布的带电体的场强
带电体看成许多电荷元 dq组成
任一电荷元 dq在P 点的场强
整个带电体在 P 点的场强
1 dq
dE
1
4 0
dq r3
r
实际中是建立坐标，把dE
E dE
40
r3 r
分解为坐标分量，然后 计算标量积分。
§13.4 高斯定理（Gauss Theorem）
（2）任意电场通过任意曲面的电通量
在曲面上任取面积元ds ds ds n
ds E
通过ds的电通量
de E cos ds E ds
通过整个曲面的电通量
e
E cos dS
S
E dS
S
(3) 通过任意闭合曲面的电通量
由
e
E cos dS E dS
S
S
可正可负，正负决定
点电荷的电场线
+
–
+
+
+
–
平行板电容器 中的电场线
(忽略边缘效应,两板 之间为均匀电场)
+++++++++
----------
2、电场强度通量 e
垂直通过电场中某一面积的电场线条数。
（1）均匀电场中通过一平面 S 的电通量
S E 时：
S与E成角时 n平面法矢
E
S
E
e ES
e ESn ES cos
dS E
即：电场中某点电场强度的大小等于该点处的电场线数密度。
电场线只是形象描述场强分布的一种手段,电场线实际是 不存在的,但可以借助实验手段将其模拟出来.
大学物理_高斯定理
②穿过该高斯面的电通量容易计算。
一般地，高斯面各面元的法线矢量n与E平行或垂直， n与E平行时，E的大小要求处处相等，使得E能提到 积分号外面；
3.计算电通量和高斯面内所包围的电荷的代数和， 最后由高斯定理求出场强。
高斯定理的应用
高斯定理的应用举例
条件： 电荷分布具有较高的空间对称性 1. 均匀带电球面的电场 2. 均匀带电球体的电场 3. 均匀带电无限大平面的电场 4.均匀带电无限长直线的电场 5. 均匀带电无限长圆柱面的电场 6. 均匀带电球体空腔部分的电场
轴对称分布：包 括无限长均匀带 电的直线，圆柱 面，圆柱壳等；
无限大平面电荷： 包括无限大的均 匀带电平面，平 板等。
步骤：
1.进行对称性分析，即由电荷分布的对称性，分 析场强分布的对称性，判断能否用高斯定理来求 电场强度的分布（常见的对称性有球对称性、轴 对称性、面对称性等）； 2.根据场强分布的特点，作适当的高斯面，要求：
•当闭合曲面上各点 E =时0，通过闭合曲面的电通量 反之e , 0
不一定成立. •高斯定理中所说的闭合曲面，通常称为高斯面。
电通量计算
四、高斯定律应用举例
当场强分布具有某种特殊的对称性时，应用高斯定 理能比较方便求出场强。求解的关键是选取适当的 高斯面。常见的具有对称性分布的源电荷有：
球对称分布：包括 均匀带电的球面， 球体和多层同心球 壳等
强分布
S
解：以带电直导线为轴，作一个通过P
点，高为h的圆筒形封闭面为高斯面 S。
eSEdS
h
O
E
rp
侧 面 E d S 上 E d S 下 E d S
其中上、下底面的电场强度方向与面平行，
大学物理高斯定理公式
大学物理高斯定理公式大学物理中的高斯定理公式是一种关于电场和电流分布的基本定律。
高斯定理可以用于描述物体电场和电流分布，同时可以用于计算一般电场和电流分布情况下的电容量和电侵蚀率。
这里介绍几种常用的高斯定理公式。
一、单点电荷的高斯定理公式通常情况，单一的常规的静电场的电荷分布是具有点特征的，此时只需要考虑一个点电荷的作用，可以根据高斯定理，给出点电荷产生的电场的表达式：$$E(r)=\frac{q}{4\pi \epsilon_0 r^2}$$其中，$E$ 是点电荷$q$所产生的电场，$\epsilon_0$是空气介电常数，$r$是测量点相较于点电荷的距离。
二、多点电荷组合的高斯定理公式当考虑多点电荷时，就没有简单地表达式了，首先根据高斯定理，给出多点电荷产生的电场的概念的表达式：$$E(r, t)=\sum\limits_{i=1}^n \frac{q_i}{4\pi \epsilon_0 r_i^2}$$其中，$E(r,t)$是测量点相较于多点电荷源的电场强度，$q_i$表示第i个点电荷，$\epsilon_0$是空气介电常数，$r_i$是测量点和第i个点电荷的距离，n表示点电荷的数量。
有时，我们可以使用梯度运算来分析多点电荷组合作用下的电场，即：$$\nabla E(r, t)=\sum\limits_{i=1}^n \frac{q_i \cdot \nabla r_i}{4\pi\epsilon_0 r_i^3}$$三、静电场介电体上的高斯定理公式静电场介电体的电场分布可以根据高斯定理给出：$$E(r, t)=\sum\limits_{i=1}^n \frac{q_i \cdot \nabla r_i}{4\pi \epsilon(r)r_i^2}$$其中，$E(r,t)$是测量点相较于多点电荷源的介电体静电场强度，$q_i$表示第i个点电荷，$\epsilon(r)$是介电体在多点电荷源处的介电常数，$r_i$是测量点和第i个点电荷的距离，n表示点电荷的数量。
大学物理高斯定理
第11章 静电场
11-4 高斯定理
2 点电荷在任意形状的高斯面内 通过球面 S 的电场线也必通 过任意曲面S‘ ，即它们的电 通量相等。 为 q / o
S'
S +
q E Φ E d dS e e SS o
第11章 静电场
11-4 高斯定理
3 电荷q在闭合曲面以外
0
dV E d S 若电荷连续分布，则为 e: E d S s V
0
第11章 静电场
11-4 高斯定理
讨论
1 闭合面内、外电荷 对
S
E 都有贡献
对电通量 E dS 的贡献有差别
只有闭合面内的电量对电通量有贡献 2 静电场性质的基本方程
非匀强电场
E
dS
en
Φ dΦ S E dS
第11章 静电场
11-4 高斯定理
讨论
1
dΦ E dS 的正、负取决于面元的法线方向与
电场强度方向的关系
如图所示： 若面元法向相反：
E dS 0
E dS ' 0
E
dS
dS '
第11章 静电场
11-4 高斯定理
11-4 高斯定理
描述电场的两种方法：电力线和电通量。 11.4.1 电场线 1 曲线上各点的切线方向都与该点处的场强方向一致 2 电场线密度
EP
dN E dS
第11章 静电场
EQ
Q
P
dN
dS
11-4 高斯定理
电场线的性质： 电场线起自于正电荷或无穷远，止于负电荷或无穷 远 ，没有电荷处不中断。 对于静电场不可能出现单一绕向的闭合电力线。 两条电场线不会相交，不能相切。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
正点电荷与负点电荷的电场线
+
-
3
一对等量正点电荷的电场线
+
+
4
一对等量异号点电荷的电场线
-
+
5
一对不等量异号点电荷的电场线
2q
-q
6
带电平行板电容器的电场线 +++++++++++++
-------------
7
2.电力线的性质 1)电力线起始于正电荷(或无穷远处)， 终止于负电荷，不会在没有电荷处中断； 2)两条电场线不会相交； 3)电力线不会形成闭合曲线。
方向，求通过此三棱柱体的电场强度y 通量。
n
解：三棱柱体的表面为一
闭合曲面，由S1、S2、S3、 S4、S5 构成，其电场强度
通量为：
s3s5 θ
s1
s2 s4
E
x
z
e 1 2 3 4 5
1 ES1 cosπ ES1 ; 2 3 4 0
5 E cosS5 ES1 即：通过闭合曲面的 e ES1 ES1 0 电场强度通量为零。
S
选取合适的高斯面(闭合面)
取过场点P的以球心 o 为心的球面
第2步：从高斯定理等式的左方入手
计算高斯面的电通量
E dS EdS E dS E4πr2
面对称 无限大 平板 平面
21
举例目的： 1)清晰用高斯定理解题的步骤 2)通过解题明确用高斯定理解题的条件 3)简单的解作为基本结论记住
并且能熟练使用。 理论是建立在理想模型之上的
22
例1 求电量为Q 半径为R 的均匀带电球面的
电场强度分布 解:
第1步：根据电荷分布的对称性
Q
Ro
r
P E
dS
dS
q
4πe0r 2
dS q
S
e0
此结果与球面的半径无关。即通过各球面的电力 线总条数相等。从 q 发出的电场线连续的延伸到无 穷远。
2.证明包围点电荷q 任意闭合曲面S 的电通量
穿过球面S1和S2的电场线，必定也穿 S2 S 过闭合曲面S。所以穿过任意闭合曲
E
面S的电通量必然为q
E dS
S
S
通过闭合曲面S 的电通量：
e sE dS
11
通过闭合面的电通量
SE dS
规定：面元方向 ----由闭合面内指向面外
简称外法线方向
E
ds
<0
电力线穿入
E
E
ds
>0
电力线穿出
dS
S
dS
几何含义：通过闭合曲面的电力线的净条数 12
例1：一个三棱柱放在均匀电场中，E=200 N/C ,沿x
这时可以把带电体划分成很多很小的体元d，
体元所带的电荷dq = d可看作点电荷，与上面
第3条的结果一致，这时S的电通量可表示为
s E
dS
1
e0
V
dV
ห้องสมุดไป่ตู้
根据矢量分析，可以将式高斯定理写成下面
的微分形式
E =
1
e0
19
讨论
1)闭合 面内、外电荷的贡献 对 E 都有贡 献
对电通量 E dS 的贡献有差别
由静电场的基本性质和场的单值性决定的。 可用静电场的基本性质方程加以证明。
8
二、电通量 通过任意面积的电力线条数叫通过该面的电通量
由电力线的定量规定 有
匀强电场
如果在电场强度为E的匀强电场中，平面
S与电场强度E 相垂直，则 e = E S .
dS
dS
9
如果在场强为E的匀强电场中，平面S与 s n
数学表达式
1
E dS
S
e0
qi
inside,i
1. 包围点电荷q 的同心球面S 的电通量
球面上各点的场强方向与其径向相同。
球d面e上各E点 d的S场强Ed大S小由4π库1e仑0 r定q2 律dS给出。qr
E S
15
d e
E dS
EdS
1
4πe 0
q r2
dS
e
S de
S
q
4πe0r 2
场强E不垂直，其法线n与场强E成 角。
e ES cos 或 e E S
n
如果在非匀强电场中有一任意
θ E
E
P
曲面S，可以把曲面S分成许多
S
小面元dS，dS可近似地看为平 面，在dS范围内场强E 可认为 处处相同。这样，穿过面元dS 的电场线条数可以表示为
E
n
de E dS
dS
dS
10
通过任一曲面S 的电通量： e de E dS
S
只有闭合面内的电量对电通量有贡献
2)静电场性质的基本方程 有源场
3)源于库仑定律 高于库仑定律
4)微分形式
1
E
e0
20
四、高斯定理在解场方面的应用
对电量的分布具有某种对称性的情况下
利用高斯定理解
E
较为方便
常见的电量分布的对称性：
球对称
均
匀 带
球体
电 球面
的 (点电荷)
柱对称 无限长 柱体 柱面 带电线
dS
'
曲面S的电通量必定等于零。
q
dS '' E
5. 多个点电荷q1,q2,…,qn，其中k个被任意闭合曲
面S所包围，另外nk个处于S面之外：
根据上一条的证明，闭合曲面S外的nk个电荷
对S面的电通量无贡献，S面的电通量只决定于其
内部的k个电荷，并应表示为
E dS
1
s
e0
k
qi
i 1
18
6. 任意闭合曲面S包围了一个任意的带电体
/e
0 ，即
q
s
e0
q S1
16
3. 任意闭合曲面S包围多个点电荷q1,q2,…,qn 根据电通量的定义和电场强度的叠加原理，其电通
量可以表示为
e E dS (E1 E2 E3 )dS
q2
q1
qi
S
S
S E1 dS S E2 dS S En dS
这表示，闭合曲面S 的电通量，等于各个点电荷
§3 高斯定理 一、电力线 二、电通量 三、静电场的高斯定理 四、 高斯定理在解场方面的应用 附录：静电场高斯定理的证明
1
一、电力线 用一族空间曲线形象描述场强分布 电场线(electric field line)或电力线 1.规定 方向：力线上每一点的切线方向；
大小： 定性 疏密 定量 垂直面积 规定条数
13
高斯 (C.F.Gauss 17771855）
高 德国数学家、天文学
家和物理学家，有“数 学王子”美称，他与韦
斯 伯制成了第一台有线电
报机和建立了地磁观测 台，高斯还创立了电磁 量的绝对单位制.
14
三、 高斯定理（Gauss theorem）
静电场中任何意闭合曲面S 的电通量，等于该曲
面所包围的电量除以e 0 而与S以外的电荷无关。
对曲面S 的电通量的代数和。可见电通量也满足叠
加原理。根据以上结论，通过闭合曲面S的电通量应
为
Φe
E dS
S
Φe1
Φe2
Φen
1
e0
qi
inside,i
17
4. 任意闭合曲面S不包围电荷，点
电荷q 处于 S之外：如图所示，由
于从q 发出的电场线，凡是穿入S
面的，必定又从S面穿出，所以穿 过S 面的电场线净条数必定等于零，