大学物理高斯定理
大学物理 高斯定理
正点电荷与负点电荷的电场线
+
-
第1章 静止电荷的电场 章
10
大学 物理学
1.6 高斯定理
一对等量正点电荷的电场线
+
+
第1章 静止电荷的电场 章
11
大学 物理学1.6 高斯定理源自一对等量异号点电荷的电场线
-
+
第1章 静止电荷的电场 章
12
大学 物理学
1.6 高斯定理
一对不等量异号点电荷的电场线
2q
3.高斯定理源于库仑定律 3.高斯定理源于库仑定律 高于库仑定律 高斯 定理
(2)高斯定理高于库仑定律 (以下将要证明) (2)高斯定理高于库仑定律 以下将要证明) A.
库仑 定律
第1章 静止电荷的电场 章 4.静电场性质的基本方程 4.静电场性质的基本方程
7
大学 物理学
1.6 高斯定理
r r 1 ∫ E ⋅ dS =
q2
q3 q6
∫
S
r r r r r r r r r E ⋅ dS = ？ E = E1 + E 2 + E 3 + E 4 + E 5 + E 6
∫
S
r r E ⋅ dS =
∫
S
r r E1 ⋅ d S +
∫
S
r r E 2 ⋅ dS +
∫
S
r r E3 ⋅ dS
+
=
∫
S
r r r r r r E 4 ⋅ dS + ∫ E5 ⋅ dS + ∫ E6 ⋅ dS
2
=∫
q
dS = 2
q
大学物理-7-3 磁通量 磁场的高斯定理
B
磁通量：通过某一曲面 的磁感线数为通过此曲面 的磁通量.
Φ BS cosBS
Φ B S B enS dΦ B dS
B dΦ BdS cos
s
Φ s BdS
单位 1Wb 1T 1m2
B dS1
1 B1
S
B2
2
dS2
dΦ1 B1 dS1 0 dΦ2 B2 dS2 0
SB cosdS 0
S B d S 0
3a
2a 5a
l
Φ s BdS = 0
I
磁场高斯定理
S B d S 0
物理意义：通过任意闭合曲面的磁通量必等于零。
（故磁场是无源的.）
求磁通量(1)用磁通量的定义求(2)用高斯定理求
例1 如图载流长直导线的电流为
积的磁通量.
解 先求
,试I 求 通过矩形面 ，B对变磁场给出
B
后积B 分dΦ求0I
2π x
Φ
B // S
I
l
d1 d2
dΦ BdS 0I ldx
Φ
S
B
dS
2π x
0Il
2π
d2
d1
dx x
o
x Φ 0Il ln d2
2π d1
例2 一半径为a的无限长直载流导线，沿轴向均
匀地流有电流I，若作一个半径为 R= 5a，高为l
的柱形曲面，已知此柱形曲面的轴与载流导线的 轴平行且相距3a（如图），则在圆柱侧面S上的 磁通量=？
第三节 磁场的高斯定理
一 磁感线
规定：曲线上每一点的切线方向就是该点的磁感
强度 B 的方向，曲线的疏密程度表示该点的磁感强 度 B 的大小.
I
2.大学物理-高斯定理
关于高斯定理的讨论：
es
1 E dS q内
s
0
3. 利用高斯定理可方便求解具有某些对称分布的静电场 成立条件：静电场
求解条件：电场分布具有某些对称性
才能找到恰当的高斯面，使 s E cos dS 中的 E和 cos 能够提到积分号外，从而简便地求出 E 分布
能否用高斯定理求电场分布？
如果不能，是否意味着高斯定理失效？
q内 ( r ) dV
R ,r
dV L 2rdr
[例三] 无限大均匀带电平面的电场（电荷面密度 ）
对称性分析： 视为无限长均匀带电直线的集合
dE
x
dE
P
' dE
dE
E方向 垂直于带电平面，
E cos0 dS E cos0 dS E cos dS 2 E 2S
左 右 侧
0
0
2 0
E
o
x
2 0
E 2 0
其指向由 号决定
的符
讨论： 1.电荷均匀分布无限大平板（厚度 h 0 ）的电场。
2.电荷分层均匀分布分层均匀无限大平板（厚度
讨论：
1. 无限长均匀带电柱面的电场分布
对称性分析：视 为无限长均匀带 电直线的集合； 选高斯面；同轴 圆柱面
R
o o
r
r
P
E o R r
' dE
P
dE
' dE dE
由高斯定理计算
r R: E0 r R:
E 2 0 r
2. 计算均匀带电圆柱层（ R1 , R2 , ）的电场分布
大学物理 高斯定理
第8章 静电场和稳恒电场
17
8-2 电通量 高斯定理
例8.6 均匀带电球面的电场强度 一半径为 R , 均匀带电 q 的球 求球面内外任意点的电场强度. 面 . 求球面内外任意点的电场强度
r
+ + 1+ + + +
S
O
v v ∫ E ⋅ dS = 0
S1
解（1） 0 < r < R ）
r
R
+ + +
1 q d Φ e = E cos 0d S = dS 2 4π ε 0 r
qd S Φe = dΦe = ∫S ∫ S 4πε 0 r 2
=
=
r
+
v dS
q
4 πε 0r q
2
∫
S
dS
ε0
Φ e 与r无关
第8章 静电场和稳恒电场
12
8-2 电通量 高斯定理
点电荷在任意闭合曲面内 点电荷在任意闭合曲面内
+ q 发出的 q / ε 0
条电力线不会中断， 条电力线不会中断，仍全 部穿出封闭曲面 S ，即：
+
Φe =
q
ε0
点电荷位于球面中心
Φe =
q
ε0
第8章 静电场和稳恒电场
13
8-2 电通量 高斯定理
点电荷在闭合曲面之外 点电荷在闭合曲面之外
r v d Φ1 = E 1 ⋅ d S 1 > 0 v v d Φ2 = E 2 ⋅ d S 2 < 0
6
8-2 电通量 高斯定理
带电平行板电容器的电力线 + + + + + + + + + + + +
大学物理 高斯定理
引言概述：在大学物理中，高斯定理是一项重要的物理原理，它描述了电场和磁场的性质。
高斯定理由德国物理学家卡尔·弗里德里希·高斯于18世纪中叶提出，是电磁学的基础之一。
本文将介绍高斯定理的概念、原理及其在电场和磁场中的应用。
正文内容：1. 高斯定理的概念1.1 定义高斯定理是描述电场和磁场分布的一种数学工具，它通过计算电场或磁场通过一个闭合曲面（高斯面）的总通量来研究场的分布。
1.2 数学表达高斯定理可以用数学表达式表示为：∮E·dA = q/ε0，其中∮E·dA表示场在闭合曲面上的总通量，q表示闭合曲面内的电荷量，ε0为真空介电常数。
2. 高斯定理的原理2.1 高斯面的选择高斯定理中的高斯面是根据具体问题选择的，一般情况下我们选择对称性较高的闭合曲面，以简化计算。
2.2 电场线的特性高斯定理的基础是电场线的性质，电场线从正电荷流向负电荷，且与介质边界垂直，通过一个封闭曲面的电场线数目与该封闭曲面内的电荷量有关。
2.3 通量与电场强度高斯定理中的总通量与电场强度呈正相关关系，通过计算总通量可以得到闭合曲面内的电场强度大小。
3. 高斯定理在电场中的应用3.1 点电荷的场分布高斯定理可以用来研究点电荷周围的电场分布，通过选择以点电荷为中心的球面作为高斯面，可以计算出球面内外的电场强度大小。
3.2 均匀带电球壳的场分布对于均匀带电球壳，可以通过选择以球壳为中心的闭合曲面来计算球壳内外的电场分布，根据高斯定理可以得到球壳内外的电场强度大小。
4. 高斯定理在磁场中的应用4.1 磁场的总通量类似于电场，磁场也可以使用高斯定理来描述，通过计算磁场通过闭合曲面的总通量可以了解磁场的分布情况。
4.2 磁场的磁感应强度高斯定理在磁场中的应用可以得到磁场的磁感应强度大小，通过选择合适的闭合曲面，可以计算出曲面内外的磁感应强度。
5. 高斯定理的实际应用5.1 高斯定理在电容器中的应用电容器是电子器件中常见的元件，根据高斯定理，可以计算电容器两极板之间的电场强度，进而了解电容器的性能。
大学物理_高斯定理
②穿过该高斯面的电通量容易计算。
一般地，高斯面各面元的法线矢量n与E平行或垂直， n与E平行时，E的大小要求处处相等，使得E能提到 积分号外面；
3.计算电通量和高斯面内所包围的电荷的代数和， 最后由高斯定理求出场强。
高斯定理的应用
高斯定理的应用举例
条件： 电荷分布具有较高的空间对称性 1. 均匀带电球面的电场 2. 均匀带电球体的电场 3. 均匀带电无限大平面的电场 4.均匀带电无限长直线的电场 5. 均匀带电无限长圆柱面的电场 6. 均匀带电球体空腔部分的电场
轴对称分布：包 括无限长均匀带 电的直线，圆柱 面，圆柱壳等；
无限大平面电荷： 包括无限大的均 匀带电平面，平 板等。
步骤：
1.进行对称性分析，即由电荷分布的对称性，分 析场强分布的对称性，判断能否用高斯定理来求 电场强度的分布（常见的对称性有球对称性、轴 对称性、面对称性等）； 2.根据场强分布的特点，作适当的高斯面，要求：
•当闭合曲面上各点 E =时0，通过闭合曲面的电通量 反之e , 0
不一定成立. •高斯定理中所说的闭合曲面，通常称为高斯面。
电通量计算
四、高斯定律应用举例
当场强分布具有某种特殊的对称性时，应用高斯定 理能比较方便求出场强。求解的关键是选取适当的 高斯面。常见的具有对称性分布的源电荷有：
球对称分布：包括 均匀带电的球面， 球体和多层同心球 壳等
强分布
S
解：以带电直导线为轴，作一个通过P
点，高为h的圆筒形封闭面为高斯面 S。
eSEdS
h
O
E
rp
侧 面 E d S 上 E d S 下 E d S
其中上、下底面的电场强度方向与面平行，
大学物理高斯定理公式
大学物理高斯定理公式大学物理中的高斯定理公式是一种关于电场和电流分布的基本定律。
高斯定理可以用于描述物体电场和电流分布，同时可以用于计算一般电场和电流分布情况下的电容量和电侵蚀率。
这里介绍几种常用的高斯定理公式。
一、单点电荷的高斯定理公式通常情况，单一的常规的静电场的电荷分布是具有点特征的，此时只需要考虑一个点电荷的作用，可以根据高斯定理，给出点电荷产生的电场的表达式：$$E(r)=\frac{q}{4\pi \epsilon_0 r^2}$$其中，$E$ 是点电荷$q$所产生的电场，$\epsilon_0$是空气介电常数，$r$是测量点相较于点电荷的距离。
二、多点电荷组合的高斯定理公式当考虑多点电荷时，就没有简单地表达式了，首先根据高斯定理，给出多点电荷产生的电场的概念的表达式：$$E(r, t)=\sum\limits_{i=1}^n \frac{q_i}{4\pi \epsilon_0 r_i^2}$$其中，$E(r,t)$是测量点相较于多点电荷源的电场强度，$q_i$表示第i个点电荷，$\epsilon_0$是空气介电常数，$r_i$是测量点和第i个点电荷的距离，n表示点电荷的数量。
有时，我们可以使用梯度运算来分析多点电荷组合作用下的电场，即：$$\nabla E(r, t)=\sum\limits_{i=1}^n \frac{q_i \cdot \nabla r_i}{4\pi\epsilon_0 r_i^3}$$三、静电场介电体上的高斯定理公式静电场介电体的电场分布可以根据高斯定理给出：$$E(r, t)=\sum\limits_{i=1}^n \frac{q_i \cdot \nabla r_i}{4\pi \epsilon(r)r_i^2}$$其中，$E(r,t)$是测量点相较于多点电荷源的介电体静电场强度，$q_i$表示第i个点电荷，$\epsilon(r)$是介电体在多点电荷源处的介电常数，$r_i$是测量点和第i个点电荷的距离，n表示点电荷的数量。
大学物理高斯定理
第11章 静电场
11-4 高斯定理
2 点电荷在任意形状的高斯面内 通过球面 S 的电场线也必通 过任意曲面S‘ ，即它们的电 通量相等。 为 q / o
S'
S +
q E Φ E d dS e e SS o
第11章 静电场
11-4 高斯定理
3 电荷q在闭合曲面以外
0
dV E d S 若电荷连续分布，则为 e: E d S s V
0
第11章 静电场
11-4 高斯定理
讨论
1 闭合面内、外电荷 对
S
E 都有贡献
对电通量 E dS 的贡献有差别
只有闭合面内的电量对电通量有贡献 2 静电场性质的基本方程
非匀强电场
E
dS
en
Φ dΦ S E dS
第11章 静电场
11-4 高斯定理
讨论
1
dΦ E dS 的正、负取决于面元的法线方向与
电场强度方向的关系
如图所示： 若面元法向相反：
E dS 0
E dS ' 0
E
dS
dS '
第11章 静电场
11-4 高斯定理
11-4 高斯定理
描述电场的两种方法：电力线和电通量。 11.4.1 电场线 1 曲线上各点的切线方向都与该点处的场强方向一致 2 电场线密度
EP
dN E dS
第11章 静电场
EQ
Q
P
dN
dS
11-4 高斯定理
电场线的性质： 电场线起自于正电荷或无穷远，止于负电荷或无穷 远 ，没有电荷处不中断。 对于静电场不可能出现单一绕向的闭合电力线。 两条电场线不会相交，不能相切。
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为dN，则电场线密度
dN E＝ dS
可见,电场线密集处电场强度大,电场线稀疏处电
场强度小
2、几种典型的电场线分布 负点电荷
正点电荷
+
+
等量异号点电荷
+ 2q
q
++ ++ + + + + +
不等量异号点电荷的电场线
带电平行板电容器的电场
3、电场线的性质 •电场线总是起始于正电荷（或来自于无穷远）， 终止于负电荷（或终止于无穷远）； •任何两条电场线都不能相交； •非闭合曲线。 4、关于电场线的几点说明 •电场线是人为画出的，在实际电场中并不存在； •电场线可以形象地、直观地表现电场的总体情况; •电场线图形可以用实验演示出来。
q2 qk
qn
q1
E = Ei
i 1
n
通过闭合曲面S的电通量为
e = E dS Ei dS
S i 1 S n
根据③，不包围在闭合曲面内的点电荷对闭合曲 面的电通量恒为0，所以
e Ei dS
i 1 S i 1
k
k
0
qi
当把上述点电荷换成连续带电体时
二、电场强度通量
1、定义 在电场中穿过任意曲面的电场线的总条数称为穿过 该面的电通量，用 e 表示。 (1)匀强电场中的电通量 E与平面S垂直时
e＝ES
E n
S
E与平面S 有夹角θ时
引入面积矢量 S Sn
e＝ES cos
Φe＝E S
S
(2)非均匀电场的电通量 面元dS
de E dSE
e E dS
S
将曲面分割为无限多个面元 dS ,由于面元很小， 所以每一个面元上场强可以认为是均匀电场 ,
2、电通量的正负 •非闭合曲面: 电通量的结果可正可负，完全取决 于面元 dS 与 E 间的夹角 : 时, e 0 时, e 0 2 2 •闭合曲面:规定取外法线方向 (自内向外) 为正。因此有:
e
dq E dS
0
3、关于Gauss定理的说明
•高斯定理是反映静电场性质（有源性）的一条基本定理； •高斯定理是在库仑定律的基础上得出的，但它的应用范围比 库仑定律更为广泛； •通过任意闭合曲面的总通量只取决于面内电荷的代数和，而 与面外电荷无关，也与电荷如何分布无关.但电荷的空间分布 会影响闭合面上各点处的场强大小和方向； •高斯定理中的电场强度是封闭曲面内和曲面外的电荷共同产 生的，并非只有曲面内的电荷确定； •当闭合曲面上各点 E = 0 时，通过闭合曲面的电通量 0 e 反之,不一定成立. •高斯定理中所说的闭合曲面，通常称为高斯面。
q E 2 4 0 r
0
3
E＝
qr 4 0 R3
b.rR时，
q q
E＝
q 4 0 r
2
r0
高斯定理的应用
均匀带电球体的电场分布
E
R 3 0
E＝
E＝
qr
q
4 0 R
4 0 r
3
rR
R
2
rR
E
Er 关系曲线
r
O R
2
r
例3 求无限大均匀带电平面的电场分布,已知电荷 面密度为 解： 电场分布也应有面对称性,方向沿法向。
解： 电场分布也应有柱对称性，方向沿径向。
作与带电圆柱同轴的圆柱形高斯面, 高为l,半径为r
20lr （1）当r<R 时， q 0
E dS E dS E 2 rl q 由高斯定理知 E
S 侧面
r
l
E 0
高斯定理的应用
（2）当r>R 时，
q l
E
E
σ
高斯定理的应用
作轴线与平面垂直的圆柱形高斯面，底面积为 ΔS，两底面到带电平面距离相同。
E dS 2 E dS 2 ES
圆柱形高斯面内电荷 由高斯定理得
S 底
q S
E
ΔS
E
2 ES S / 0
E n 2 0
σ
0 电场强度方向离开平面
q
E ＝0
+ +
rR时，高斯面包围电荷q，
高斯定理的应用
E＝
q 4 0 r
2
r
结果表明：均匀带电 球面外的电场分布象 球面上的电荷都集中
+ R + + + + +
q 40 R 2
+
+ +
+
q
+ + E
+ + + +
r
r
2
在球心时所形成的点
电荷在该区的电场分
布一样。
0
Er 关系曲线
R
C
B
A
EC E E 2 2 0 0
例4、求电荷线密度为λ的无限长均匀带电直线的 场强分布 解：以带电直导线为轴，作一个通过P 点，高为h的圆筒形封闭面为高斯面 S。 h e E dS
S
S
O
r
E
p
侧面
E dS E dS E dS
四、Gauss定律应用举例
当场强分布具有某种特殊的对称性时，应用高斯定 理能比较方便求出场强。求解的关键是选取适当的 高斯面。常见的具有对称性分布的源电荷有：
球对称分布：包括 均匀带电的球面， 球体和多层同心球 壳等
轴对称分布：包 括无限长均匀带 电的直线，圆柱 面，圆柱壳等；
无限大平面电荷： 包括无限大的均 匀带电平面，平 板等。
小
• 电场线 • 电场强度通量 • 高斯定律
结
• 电场强度通量 高斯定理
-- ----揭示静电场为有源场 • 高斯定律的应用 适用条件:具有高度对称性的电场 解题关键: 选取合适的高斯面
作业
高斯定理 习题册:12-23
步骤：
1.进行对称性分析，即由电荷分布的对称性，分 析场强分布的对称性，判断能否用高斯定理来求 电场强度的分布（常见的对称性有球对称性、轴 对称性、面对称性等）； 2.根据场强分布的特点，作适当的高斯面，要求： ①待求场强的场点应在此高斯面上， ②穿过该高斯面的电通量容易计算。 一般地，高斯面各面元的法线矢量n与E平行或垂直， n与E平行时，E的大小要求处处相等，使得E能提 到积分号外面；
(1)物理学和地磁学：关于静电学、温差电和摩擦 电的研究、利用绝对单位（长度、质量和时间） 法则量度非力学量以及地磁分布的理论研究。 (2)光学 ：利用几何学知识研究光学系统近轴光 线行为和成像，建立高斯光学。 (3)天文学和大地测量学中：如小行星轨道的计算， 地球大小和形状的理论研究等。 (4)试验数据处理：结合试验数据的测算，发展了 概率统计理论和误差理论，发明了最小二乘法， 引入高斯误差曲线。 (5)高斯还创立了电磁量的绝对单位制。
电场线由内向外穿出: e 0, 为正 电场线由外向内穿入: e 0, 为负 整个闭合曲面的电通量为
n
n
n
E
e = E d S
S
三、高斯定理（Gauss 定理）
高斯简介
1、内容 静电场中通过一个任意闭合曲面的电通量值等于该 曲面所包围的所有电荷电量的代数和 qi 除以 ε0 ， 与闭曲面外的电荷无关． 数学表达式: e
高斯定理的应用
例1. 求球面半径为R,带电为q的均匀带电球面的电场的 空间分布。 解： 电场分布也应有球对称性，方向沿径向。
作同心且半径为r的高斯面.
E dS E 4 r q E
S
2
q
0
40 r
2
rR时，高斯面无电荷，
+ + + +
+
+ +
R
+
r
+
+
+ + + +
上 下
其中上、下底面的电场强度方向与面平行， 电通量为零。所以式中后两项为零。
e
侧面
E dS E 2 rh
此闭合面包含的电荷总量
E r0 2 0 r
q
i
h
其方向沿求场点到直导线的 垂线方向。正负由电荷的符 号决定。
高斯定理的应用
例5.无限长均匀带电圆柱面的电场。圆柱半径为R，沿 轴线方向单位长度带电量为。
S
E dS
1
0（S内）
q
i
2、静电场高斯定理的验证
①包围点电荷的同心球面S的电通量都等于 q ε0
②包围点电荷的任意闭合曲面S的电通量都等于q ε0
对于包围点电荷q的任意封闭曲面 可在外或内作一以点电荷为中 心的同心球面 S ,使 S 内只有点 电荷，如图所示。 由电场线的连续性可知，穿 过 S的电场线都穿过同心球 面 S ，故两者的电通量相等， 均为 q ε0 。 结论说明，单个点电荷包围 在任意闭合曲面内时，穿过 该闭曲面的电通量与该点电 荷在闭曲面内的位置无关。
E r 2 0 r
均匀带电圆柱面的电场分布
r l
20 R
E
Er 关系曲线
r
R
1
0
r
高斯简介 高斯（Carl Friedrich Gauss 1777~1855）
高斯长期从事于数学并将数学应用于物理学、天 文学和大地测量学等领域的研究，主要成就：