大学物理 高斯定理

一、电通量 1、电场线 ( Electric Field Line ) （电场的几何描述） 规定： 1）曲线上每一点的切线方向表示该点场强的方向； 2）通过垂直于电场方向单位面积的电场线条数等 于该点电场强度的大小。 E dN / dS
dS ⊥ dS
E
E
电场线稀疏的地方场强小，电场线密集的地方场强大。
通过两个闭合曲面的电场线的数目是相等的，所以
通过
S ' 的电通量：
q Φ'e E dS Φe S' ε0
即：通过任一个包围点 电荷的闭合曲面的电通 量与曲面无关，结果都 等于 q
R
q
S'
S
ε0
3）点电荷在闭合曲面之外
dΦ1 E1 dS1 0
dΦ2 E2 dS2 0
S
E
Φe E dS
S
为通过 S 面的电通量。
dS 有两个法线方向，dφ 可正可负。
为封闭曲面 规定：闭合面上各面元的 外法线方向为正向。
S
E
2
dΦe E dS Eds cosθ
dS1 1 E2 E1
通过闭合曲面的电通量为： Φe E dS E cos dS dS 2
S S
之差，也就是净穿出闭合曲面的电场线的总条数。
π θ1 , dΦe1 0 电场线穿出闭合面为正通量， 2 π θ2 , dΦe2 0 电场线穿入闭合面为负通量。 2 Φe 表示穿出与穿入闭合曲面的电场线的条数
例：一个三棱柱体处在电场强度 E 200i N C1 的
1）高斯面必须是闭合曲面；
q
i (内)
2）高斯面必须通过所求的场点； 3）高斯面的形状必须简单规则，以便于计算穿 过该面的电通量。
4）使高斯面上各点的场强大小相等，方向与高 斯面法线方向一致。 或高斯面上某一部分各点的场强方向与高斯面法 线方向垂直，该部分的通量为零。而另一部分各点的 场强大小相等，方向与高斯面法线方向一致。
q E 2 4πε0 r
E
q
dS
q E dS dS 2 S S 4πε0 r q q 2 4πr 2 4πε0 r ε0
+
r
S
结果与球面半径无关，即以点电荷q 为中心的任一球 面，不论半径大小如何，通过球面的电通量都相等。
2）点电荷在任意闭合曲面
S'
内
S ' 和 S 包围同一个点电荷。由于电场线的连续性，
EdScos E 4πr qi内 / ε0
S
2
1 球对称时的高斯定理可写为： E 4πr εo
q
i内
1 E 4πr εo
2
q
i内
（1）
0r R
r
s2
Q 2 4π 0R
E dS 0
S1
E 0
长，一直到逝世。1838年因提出地球表面任一点
磁势均可以表示为一个无穷级数，并进行了计算 ，从而获得英国皇家学会颁发的科普利奖章。 1855年2月23日在格丁根逝世。
高斯长期从事于数学并将数学应用于物理学、 天文学和大地测量学等领域的研究，主要成就：
(1) 物理学和地磁学：关于静电学、温差电和摩擦 电的研究、利用绝对单位（长度、质量和时间）法则量 度非力学量以及地磁分布的理论研究。 (2) 光学 ：利用几何学知识研究光学系统近轴光线 行为和成像，建立高斯光学。 (3) 天文学和大地测量学中：如小行星轨道的计算， 地球大小和形状的理论研究等。 (4) 试验数据处理：结合试验数据的测算，发展了 概率统计理论和误差理论，发明了最小二乘法，引入高 斯误差曲线。 (5) 高斯还创立了电磁量的绝对单位制。

1 2、高斯定理的应用 Φe E dS S ε0
q
i (内)
高斯定理的一个重要应用是： 计算带电体周围电场的电场强度。 只有在场强分布具有一定的对称性时，才能比 较方便应用高斯定理求出场强。 求解的关键是选取适当的高斯面。 常见的具有对称性分布的源电荷有： 球对称：如均匀带电的球体、球面、球壳。 轴对称：如均匀带电的长直柱体、柱面。 平面对称：如均匀带电的无限大平面、平板。
正电荷是发出电场线的源头，负电荷是吸收电场线的闾尾。
1 问题： E dS
S
o ( s内)
q
i
1）如果高斯面上 E 处处为零，则该面内必无电荷。 如果高斯面上 E 处处为零，则该面内必无净电荷。 2）如果高斯面内无电荷，则高斯面上 E 处处为零。 如果高斯面内无电荷，则高斯面上 E 不一定为零。 3）如果高斯面上 E 处处不为零，则该面内必有电荷。 如果高斯面上 E 处处不为零，则该面内不一定有电荷。 4）高斯面内的电荷代数和为零时，则高斯面上各点的 场强一定为零。 高斯面内的电荷代数和为零时，则高斯面上各点的 场强不一定处处为零。
电场线的特性
1） 电场线起始于正电荷(或无穷远处)， 终止于负电荷，不会在没有电荷处中断； 2） 电场线不相交。 3） 静电场电场线不闭合。 电场线的这些性质是由静电场的基本性质 和场的单值性决定的。可用静电场的基本性质 方程加以证明。
点电荷的电场线
正点电荷
负点电荷
+
一对等量异号点电荷的电场线
Φe3
q
0
0
q
S1 S2
q
S3
例：一点电荷位于边长为 a 的立方体的顶角上， 求：通过该立方体表面总的电通量。
解： 顶角所在的三个面上的通量为零。
其余三个面上直接计算困难
考虑用 8 个这样的立方体 将点电荷拥在中心。
其外表面上的电通量为：
q Φ'e E dS S ε0 3 q 由对称性： e 24 0
(2) 场强叠加原理
E E1 E2 En
电 荷 分 布
dq ρdV (体分布 )
dq σdS (面分布 )
dq λdl (线分布 )
7.3 高斯定理
高斯（Carl Friedrich Gauss，1777～1855） 德国数学家、天文学 家、物理学家 高斯在数学上的建树颇 丰，有 “数学王子” 美称。 1777年4月30日生于布伦 瑞克。童年时就聪颖非凡， 10岁发现等差数列公式而 令教师惊叹。
S
0
q
i 1
i内
请思考：1）高斯面上的 E 与那些电荷有关 ？ 2）哪些电荷对闭合曲面 s 的 Φ 有贡献 e
高斯定理可用库仑定律和场强叠加原理导出。
（与面外电荷无关，闭合曲面称为高斯面）
？
高斯定理的导出 1）点电荷位于球面
S
S 中心
S
Φ e E dS EdS cos 0
Байду номын сангаас
E
S
均匀电场 ， 与平面夹角 E
Φe ES ES cos θ E S， S = S n
θ
n
S

E
非均匀电场，S 为任意曲面（不闭合的）
dS dS n dΦe E dS
为面元矢量
E
n
dS

Φe dΦe E cos dS
例：均匀带电球面的电场强度 一半径为 R , 均匀带电 Q 的 薄球壳（面）。求：球面内外任 意点的电场强度。
解：均匀带电球面的电场分布具 有球对称性。 取半径 r 的同心球面为高斯面，
r
s2
2
+ + +
+ + 1+
S
O
+
R
+
r
+
+ + +
高斯面上场强大小相等，方向与面元外法向一致。 由高斯定理：
i (内)
qk 1
q1
dS
E
qi
q2
是指面内电荷代数和。
qn
1 Φe E dS
S
0
q
i 1
n
高斯定理 说明：
i内
静电场是有源场。
q
i
0 Φe 0
表明：电力线从正电荷发出，穿出闭合曲面， 所以正电荷是静电场的源头。
q
i
0 Φe 0
讨论
点
将 q2 从 A 移到
P 电场强度是否变化？ 穿过高斯面 的 Φ 有否变化？ e
B q A 2 P*
q2 B
s
s
q1
在点电荷 q 和 q 的静电场中，做如下的三 个闭合面 S1 , S 2 , S3 , 求通过各闭合面的电通量。
q Φe1 E dS
S1
Φe 2 0
+
一对等量正点电荷的电场线
+
+
一对不等量异号点电荷的电场线
2q
q
带电平行板电容器的电场线
+ + + + + + + + + + + +
2、电场强度通量（Electric Flux） 定义：通过电场中某一 曲面的电场线数，叫做 通过这个面的电通量。
均匀电场 ，E 垂直平面 S
Φe ES
E2
q
dS 2
dS1
E1
dΦ1 dΦ2 0
Φe E dS 0
S"
4）在点电荷系的电场中，通过任意闭合曲面的电通量
E Ei E1 Ek Ek 1 En