大学物理13-02介质中的高斯定理
大学物理介质中的高斯定理
r1
r2
18
例:球形电容器由半径为R1的球体和内半径为R3的导 体球壳构成，带电 q，其间有两层均匀电介质，
分界面的半径为R2，相对介电常数分别为r1和r2 。 求：E, D 和C。
解：
D
dS
4
r
2
D
q
S
R2
R1 r2
D1
q 4r 2
D2
q 4r 2
R3
r1
在界面上电位移线会发生折射
tan1 1
tan2
2
2 1
若 2 > 1 2 > 1 ，电位移线将折离法线
*
上海交通大学 董占海
28
证明：
E1t E2t D1n D2n
E1sin1 E2sin2
D1 cos 1 D2 cos 2
D1 1E1 D2 2 E2
39
思考：带电金属球 (R、Q)，半个球处在电介质εr 中，则球正下方r > R 处的 E、D。
r
同上
上海交通大学 董占海
40
例5：一点电荷Q放在半无限大电介质为εr和真空的 界面处，求E、D。
解：空间的场强 = 两个点
电荷Q和q′产生的
故空间各点的E、为
r
点电荷的场，具有球
对称性
xd 2
2 DS 0 0 S0d
D
i
0
d
2
上海交通大学 董占海
d
r
0
Ox
23
xd 2
E
D
0r
0 x
第四节电介质中的高斯定理
S
由 : q' = − ∫ P ⋅ d S
S
∫ (ε
S
0
E + P ) ⋅ d S = q0
高斯定理可以重新写为：
令 : D = ε0 E + P
则有 : ∫ D ⋅ d S = q0
S
《大学物理》
教师：
胡炳全
2、电位移
D = ε0 E + P
叫电位移。它是一个矢量。它没 有直接的物理意义。
若电介质是线性极化的，则有：
+
-+ E0 -+ D
+
-
+
-
-+
P
+
E’
+
-σ0
+
-
-
-+
《大学物理》
教师：
胡炳全
5、电介质中高斯定理的应用 应用电介质中的高斯定理可以很方便地求解电荷和电 介质都对称分布时的电场的场强。 例题1、如图所示，一个均匀带电球体外有一个电介质球 壳。试求场强分布。 解：如图取高斯面，则有：
∫ D ⋅ d S = ∫ D ⋅ d S cosθ = ∫ D ⋅ dS = D ∫ dS
S S S S
R2 ε Q r R1
= D 4πr = q0
2
Q r3 q0 = Q 3 R1
r > R1 r < R1
Q 4πr 2 D = Qr 4πR13
r > R1 r < R1
《大学物理》 根据
教师：
胡炳全
D =εE
ε 0 , r < R1 ε = ε , R1 < r < R2 ε , r>R 2 0 Qr 4πε R 3 , r < R1 0 Q , R1 < r < R2 E= 2 4πεr Q , r > R2 2 4πε 0 r
大学物理 高斯定理
引言概述：在大学物理中，高斯定理是一项重要的物理原理，它描述了电场和磁场的性质。
高斯定理由德国物理学家卡尔·弗里德里希·高斯于18世纪中叶提出，是电磁学的基础之一。
本文将介绍高斯定理的概念、原理及其在电场和磁场中的应用。
正文内容：1. 高斯定理的概念1.1 定义高斯定理是描述电场和磁场分布的一种数学工具，它通过计算电场或磁场通过一个闭合曲面（高斯面）的总通量来研究场的分布。
1.2 数学表达高斯定理可以用数学表达式表示为：∮E·dA = q/ε0，其中∮E·dA表示场在闭合曲面上的总通量，q表示闭合曲面内的电荷量，ε0为真空介电常数。
2. 高斯定理的原理2.1 高斯面的选择高斯定理中的高斯面是根据具体问题选择的，一般情况下我们选择对称性较高的闭合曲面，以简化计算。
2.2 电场线的特性高斯定理的基础是电场线的性质，电场线从正电荷流向负电荷，且与介质边界垂直，通过一个封闭曲面的电场线数目与该封闭曲面内的电荷量有关。
2.3 通量与电场强度高斯定理中的总通量与电场强度呈正相关关系，通过计算总通量可以得到闭合曲面内的电场强度大小。
3. 高斯定理在电场中的应用3.1 点电荷的场分布高斯定理可以用来研究点电荷周围的电场分布，通过选择以点电荷为中心的球面作为高斯面，可以计算出球面内外的电场强度大小。
3.2 均匀带电球壳的场分布对于均匀带电球壳，可以通过选择以球壳为中心的闭合曲面来计算球壳内外的电场分布，根据高斯定理可以得到球壳内外的电场强度大小。
4. 高斯定理在磁场中的应用4.1 磁场的总通量类似于电场，磁场也可以使用高斯定理来描述，通过计算磁场通过闭合曲面的总通量可以了解磁场的分布情况。
4.2 磁场的磁感应强度高斯定理在磁场中的应用可以得到磁场的磁感应强度大小，通过选择合适的闭合曲面，可以计算出曲面内外的磁感应强度。
5. 高斯定理的实际应用5.1 高斯定理在电容器中的应用电容器是电子器件中常见的元件，根据高斯定理，可以计算电容器两极板之间的电场强度，进而了解电容器的性能。
大学物理电通量高斯定理
高斯定理的应用范围
在静电场中，高斯定理广泛应用 于电荷分布和电场关系的分析。
在恒定磁场中，高斯定理可以用 来分析磁通量与电流之间的关系
。
高斯定理是解决物理问题的重要 工具之一，尤其在计算电场分布 、求解电势、分析带电体的相互
作用等方面具有广泛应用。
02
电通量和高斯定理的关系来自 电通量的定义和性质总结词
大学物理电通量高斯定理
汇报人： 202X-01-04
contents
目录
• 高斯定理的概述 • 电通量和高斯定理的关系 • 高斯定理的证明 • 高斯定理的应用实例
01
高斯定理的概述
高斯定理的内容
总结了电荷分布与电场之间的关系， 指出在空间中任一封闭曲面内的电荷 量与该封闭曲面上的电场通量之间存 在正比关系。
利用电场线证明高斯定理
总结词：直观明了
详细描述：通过电场线的闭合曲线围成的面积的电通量与该闭合曲线所包围的电荷量的关系，证明高 斯定理。
利用高斯公式证明高斯定理
总结词：数学严谨
详细描述：利用高斯公式，将空间分成无数小的体积元，再通过求和得到整个空间的电场分布，从而证明高斯定理。
利用微积分证明高斯定理
详细描述
高斯定理是描述电通量与电荷分布关系的定理，它指出在任意闭合曲面内的电荷量等于该闭合曲面所包围的体积 内电场线的总条数。这个定理表明，电荷分布与电场线数之间存在一定的关系，即电荷分布影响电场线的分布。
电通量和高斯定理的推导过程
总结词
通过数学推导，我们可以证明高斯定理的正确性。首先，我们定义电场线密度为电场强 度与垂直于曲面的面积之比，然后利用微积分原理和格林公式，推导出高斯定理的表达
公式表达为：∮E·dS = 4πkQ，其中 ∮E·dS表示封闭曲面上的电场通量，Q 表示曲面内的电荷量。
大物高斯定理
大物高斯定理大物高斯定理是电磁学中的基本定理之一，它描述了电场与闭合曲面的关系。
高斯定理是由德国物理学家卡尔·弗里德里希·高斯于1835年提出的，对于理解电场与物质之间的相互作用至关重要。
根据大物高斯定理，任意一个闭合曲面中通过的电场总流量，与该闭合曲面内的电荷量成正比。
具体来说，如果一闭合曲面内没有电荷，那么通过该闭合曲面的电场总流量必定为零；而如果闭合曲面内存在电荷，那么通过该闭合曲面的电场总流量就与这个闭合曲面内的电荷量成比例。
高斯定理可用公式表示为：∮E·dA = Q/ε0，其中，∮E·dA表示电场在闭合曲面上的通量，也可以理解为电场通过单位面积的流量；Q表示闭合曲面内的电荷量，ε0表示真空中的介电常数。
这个公式可以帮助我们计算电场与闭合曲面之间的关系，并且在许多电场问题的求解中非常有用。
了解大物高斯定理对于电磁学的学习至关重要。
它帮助我们了解电场与电荷之间的相互作用，并且揭示了电场在不同介质中传播的规律。
对于理解静电场分布、电荷产生的电场以及电场与电势之间的关系等问题具有重要意义。
在实际应用中，大物高斯定理被广泛运用于电场问题的求解。
通过选取合适的闭合曲面，我们可以简化复杂的电场问题，将问题转化为计算曲面上的电场通量与电荷之间的比例关系。
这种方法不仅计算简单，而且能更好地揭示电场分布的特点。
除了电场问题，大物高斯定理还能应用于研究电场与电荷产生的电势之间的关系。
电势是描述电场能量分布的物理量，通过将高斯定理与电势的定义相结合，我们可以更深入地分析电场的特性，以及电势在空间中的分布情况。
在工程领域中，大物高斯定理可以用于计算比如电容器、导体等电场系统的电场分布，对于设计和优化电路具有重要意义。
在真空电子学领域中，高斯定理也被用于分析电子束在加速电场中的传输特性，以及射频腔中的电场分布等问题。
总而言之，大物高斯定理是电磁学中的基本定理之一，它描述了电场与闭合曲面的关系。
大学物理课件-4静电场中的电介质电介质中的电场高斯定理电位移
谢谢观看
2021/3/18
26
4πe r
Q R12
2
4πR1
er
1 Q
er
在外表面上的正极化电荷的总量为
q外
外 S外
er 1 4πe r
Q R22
4πR22
er 1Q er
2021/3/18
21
例2：平行板电容器充满两层厚度 +
为 d1 和 d2 的电介质(d=d1+d2 )，
相对电容率分别为e r1 和e r2 。
S1
求：1.电介质中的电场 ；2.电容量。
2021/3/18
12
在保持电容器极板所带电量不变的情况下， 电容与电势差成反比，所以
C C0
U012 U12
er
即
C = e r C0
式中C0是电介质不存在时电容器的电容。
可见，由于电容器内充满了相对电容率为e r的 电介质， 其电容增大为原来的e r倍。
2021/3/18
13
四、电介质存在时的高斯定理
但随着外电场的增强，排列整齐的程度要增大。
无论排列整齐的程度如何，在垂直外电场的两个端面上 都产生了束缚电荷。
结论：有极分子的电极化是由于分子偶极子在外电场的作用 下发生转向的结果，故这种电极化称为转向电极化。
说明：在静电场中，两种电介质电极化的微观机
理显然不同，但是宏观结果即在电介质中出现束缚
电荷的效果时确是一样的，故在宏观讨论中不必区
在宏观上测量到的是大量分子电偶极矩的统计
平均值，为了描述电介质在外场中的行为引入电极化
强度矢量。
2021/3/18
6
为表征电介质的极化状态，定义极化强度矢量：
大学物理高斯定理课件
复分析
在复分析中，高斯定理可以用于研究复函数的积分和全纯函数的空间性质。
THANKS
感谢观看
微分情势和积分公式
高斯定理的推导过程中需要用到微分 情势和积分公式，这些是微分几何的 重要概念和工具。
03
高斯定理的证明
证明的思路
01
引入高斯定理的背 景和意义
阐述高斯定理在电场和磁场中的 重要性，说明证明高斯定理的必 要性。
02
确定证明方法
03
构建证明框架
介绍使用微积分和向量场的方法 来证明高斯定理，说明其公道性 和可行性。
01
多重积分情势
高斯定理可以通过多重积分的情势进行 推广，以处理更复杂的几何形状和场散 布。
02
03
广义高斯定理
广义高斯定理将高斯定理的应用范围 扩大到非保守场，例如电磁场和引力 场。
高斯定理在其他物理领域的应用
01
02
03
电动力学
高斯定理在电动力学中用 于计算电场和电荷散布的 关系，以及电磁波的传播 。
相对论物理
在相对论物理中，高斯定 理可以应用于计算引力场 的能量密度和压力。
粒子物理学
在粒子物理学中，高斯定 理可以用于计算粒子在强 磁场中的运动轨迹和能量 。
高斯定理在其他数学领域的应用
微积分学
高斯定理是微积分学中的重要概念，可以用于 解决一系列积分问题。
实分析
实分析中，高斯定理可用于研究函数的积分性 质和可积性。
04
高斯定理的应用实例
电场中的应用
计算电场散布
高斯定理可以用来计算给定电荷散布 的电场散布，特别是在处理点电荷、 均匀带电球体等简单电荷散布时，高 斯定理提供了简洁的解决方案。
大学物理高斯定理
大学物理高斯定理简介大学物理中，高斯定理（也称为电通量定理）是电学领域中的一个重要定理，它描述了电场通过一个封闭曲面的总电通量与该曲面内的电荷量之间的关系。
高斯定理的数学表达式是一个面积分，通过对电场和曲面的特性进行积分计算，我们可以计算得到相应的电通量。
定理表述高斯定理可以用数学公式表述如下：其中， - 表示对封闭曲面 S 的面积分； - 表示电场的向量；- 表示面元矢量； - 是真空中的介电常数（气体中也可近似使用该值）； - 表示电荷密度在封闭曲面内的体积分。
解读根据高斯定理，电通量与环绕其的电荷量成正比。
如果电场线密集，表示电通量会相应增大，而如果电场线稀疏，表示电通量相应减少。
因此，高斯定理为我们提供了一种计算电场分布和电荷分布之间关系的方法。
高斯定理的背后思想是通过找到一个适当的曲面，使得计算曲面上的电场更加容易，从而求得电场的总电通量。
这个曲面可以是球面、柱面、立方体等等，具体选择曲面要与问题的几何特征和对称性相匹配。
应用举例例子1：均匀带电球考虑一个均匀带电球体，电荷密度为，半径为。
我们想通过高斯定理计算球内外的电场。
在这种情况下，由于球具有球对称性，我们选择一个以球心为中心的球面作为高斯曲面。
根据球对称性，球的电场在球面上处处相等，并且与球面的法线垂直。
因此，和在点积后等于，其中是球面上的电场强度。
曲面的面积元等于球的表面积元。
因此，高斯定理可简化为：等式的右边是整个球的表面积，用！表示。
由于电场是球对称的，且垂直于球面，所以电场与面积元相乘的结果在整个球面上是相等的。
由于曲面上的电场都是相等的，整个球面的面积元乘以电场强度后等于电场强度乘以整个球面的面积，所以可以简化为：解得：其中，为球内的总电荷量。
例子2：无限长均匀带电线考虑一个无限长均匀带电线，线密度为。
我们想通过高斯定理计算线外的电场。
在这种情况下，由于线具有柱对称性，我们选择一个以线为轴的柱面作为高斯曲面。
我们将柱面的两个底面分别设为 A 和 B，其中 A 的面积为，B 的面积为。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
0
i
i
i
q i P d S
S
0 E dS P dS qi0
S S i
S
o E P d S q i
4
上海交通大学 董占海
定义矢量 D 0E P 得介质中的高斯定理
*
上海交通大学 董占海 28
证明：
E1t E 2 t
E1sin1 E 2sin 2
D1 cos 1 D2 cos 2
D1n D2 n
D1 1 E1 D2 2 E 2
tan 1 1 tan 2 2
上海交通大学 董占海
29
D1n D2 n
S
D dS q0i
i
在任何静电场中，通过任意闭合曲面的D通量 等于该曲面所包围的自由电荷的代数和。 等于该曲面所包围的自由电荷的代数和
上海交通大学 董占海
5
3. 电位移矢量
D 0E P
1） 在真空中： 单位 C/m
2
P0 D o E P o E
E2
D2
2
5 . 95 10 7 V /m 12 6 . 5 8 . 85 10
1 . 03 10 4 V / m
电场小于击穿场强，所以陶瓷不会被击穿。 （2）极化电荷的面密度为
－e2 0 E2 cos 2 － 0 r 2 1E2 cos 75.10 2 8.85 1012 6.5 1 1.03 104 0.258C / m2 1.27 10 C / m
插入后A、B点电位移矢量有关系 (A) DA> DB (B) DA= DB (C) DA< DB
上海交通大学 董占海
37
例4: 如图示系统（Q、-Q、a、 2a andεgiven)，求（1）电 场分布，（2）电容器电容。 解： 定性分析 （1）电场强度垂直导体表面 & 电场在介质平面两侧的切向分 量相等—— 可得
*
上海交通大学 董占海
8
（2) D 线起始于正自由电荷，终止于负自由电荷在没 有自由电荷处不中断。
*
上海交通大学 董占海 9
例1：
上海交通大学 董占海
10
例2：平行板电容器（S, d），介质厚(, r ),极板带电Q, 求E， D，P，，C Q 解：
Q
上海交通大学 董占海
11
上海交通大学 董占海
D E
Pn
q P dS
上海交通大学 董占海
S
17
例: 一平行板电容器，中间有两层厚度分别为d1和d2 的电介质，它们的相对介电常数为r1和r2，极 板面积为S。求电容。 D o 解： r1 d1
o d1 d 2 U E1d1 E2 d1 o r1 r 2
D1=1E1
解 （1 ）如图中所 示，设陶瓷内电位 移 的方向与法线成
空气1 陶瓷2
n
1 2
D2=2E2
θ2角
上海交通大学 董占海
31
6 .5 r2 tan 30 0 tan 2 tan 1 1 r1 6 . 5 0 . 5774 3 . 753
2 75 . 1 0
第 13 章 电介质
§ § § 13. 1 13. 2 13. 3 电介质及其极化 极化强度 介质中的高斯定理
介质中的静电场 电位移矢量 介质中的高斯定理 高斯定理应用
1. 2. 3. 4.
§ 13. 4 介质边界两侧的静电场 § 13. 5 静电场的能量
上海交通大学 董占海 1
例：平行板电容器 自由电荷面密度为σ0，充满均匀 各向同性线性电介质，如何求板内的场。
还可看作两个电容的连接：
1 d 1 1 C S 0 S 0 r C 1 C 2
电容变大：电介质有使空间比起实际尺寸变得更小 （大）的属性
上海交通大学 董占海 14
（3) D 的具体空间分布由自由、束缚电荷共同决定。 例3：D线 + + + + + +
－ － － － － － －
r
解:
E E0 E
E 0
0 E0 0
Pn
E E0
0
Pn ~ E
上海交通大学 董占海
0
2
1. 介质中的静电场
在电介质存在空间的电场由自 由电荷和束缚电荷共同产生
E E0 E
+ + + + + +
－ － + － + +
7 2
上海交通大学 董占海
34
例2：证明图中第层介质中的电场为：
Ei
ri
E0
E0为无介质时的场强， Ei 为第i种介质中同一点的场强
+ ε1 ε2 ε3
ε1 ε2 ε3
上海交通大学 董占海
35
Q： 电介质按电力线管填充(如图) 仍有如上关系吗？
+
上海交通大学 董占海
36
例3：平行板电容器断开电源后插入一块电介质。插入 前后A点的电场强度分别为E0和E，则 (A) E0>E (B) E0=E (C) E0<E εr · B ·A
介质中的高斯定理过渡为真空中的高斯定理
上海交通大学 董占海 6
2）各向同性线性介质： P 与E 成正比 (实验) P χ e εo E e —电极化率
r e 1
o r
相对介电常数
电介质介电常数
D 0 r E E
3）一般介质：P 与E 关系复杂
E1t E 2 t
电场强度切向分量连续
上海交通大学 董占海
26
2. 界面两侧的电位移关系
设界面无自由电荷，取一 非常扁的柱形高斯面：
1
1
D2
D dS 0
S
D1
2
2
D1 cos 1 D2 cos 2
D1n D2 n
界面无自由电荷时电位移矢量法向分量连续
d
0
r
O x
22
S
D dS q0i
i
d x 2
2 DS 0 0 2 x S 0
D 0 xi
2 DS 0 0 S 0 d
0 D i d 2
上海交通大学 董占海
d
d x 2
0
r
O x
23
d x 2
D 0 x E i 0 r 0 r
上海交通大学 董占海 21
例：一无限大各向同性均匀介质平板厚度为d相对介 电常数为εr，内部均匀分布体电荷密度为ρ0的 自由电荷，求介质板内外的D, E, P 解： 对称分析 D、E、P 取坐标系如图 x0 处 E0 以x =0 处的面为对称面 过场点作正柱形高斯面S 底面积设S0
上海交通大学 董占海
E1n E2 n
两侧电力线密度不同。
1
2
D线
2
1
E线
*
上海交通大学 董占海 30
例1 一高压电器设备中用一块均匀的陶瓷片 （ εr=6.5 ）作为绝缘，其击穿场强为107V/m，已 知高压电在陶瓷片外空气中激发均匀电场，其场强 E1与陶瓷面法线成θ1=300角，大小为E1=2.0× 104V/m 。求（1）陶瓷中的电位移 D2 和场强E2 的 大小和方向，（2）陶瓷表面上极化电荷的面密度。
C
o E1 o r1 o E2 o r 2
oS
U
d2
r2
oS
r1
d1
上海交通大学 董占海
r2
d2
18
例:球形电容器由半径为R1的球体和内半径为R3的导 体球壳构成，带电 q，其间有两层均匀电介质， 分界面的半径为R2，相对介电常数分别为r1和r2 。 求：E, D 和C。
－ － － － － － －
环路定律、高斯定理仍成立
1 E dS
S
0
(q
i0
qi)
E dl 0
c
qi0、 qi’自由、束缚电荷
上海交通大学 董占海
3
2. 介质中的高斯定理
1 E d S qi qi 0
解： D dS 4 r 2 D q
S
R2
R1
q D1 4 r 2 q E1 2 4or1r
q D2 2 4r
E2 q 4or2r
2
r2
R3
r1
能画出大致的E分布？ D分布？ 上海交通大学 董占海
19
上海交通大学 董占海
20
U
0 x P r 1 i r
d x 2
0d D E i 均匀场 0 20 P 0 r 1E 0
上海交通大学 董占海
24
第 13 章 电介质
§ § § § 13. 1 13. 2 13. 3 13. 4 电介质及其极化 极化强度 介质中的高斯定理 介质边界两侧的静电场
上海交通大学 董占海 7
4）对D 进一步认识 （1）辅助量D的由来 Electric displacement field Maxwell , On Physical Lines of Force ,1861： “在一个受到感应的电介质中，我们可以想象每个分 子中的电都发生这样的位移，使得一端为正，另一 端为负，但是依然和分子束缚在一起，并没有从一 个分子到另一个分子上去。这种作用对整个电介质 的影响是在一定方向上引起的总的位移。”