大学物理第二章功 动能定理
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大学物理-第二章2-3 动量和动量定理
t
0
P F d t d p p p0
P0
3
力 F 对时间的积累，称为力 F 的冲量(implus)，即 t I F dt
所以 I p p mv mv 0 0
t0
此式表示，在运动过程中，作用于质点的合力 在一段时间内的冲量等于质点动量的增量。这个结 论称为动量定理。 F为恒力时 I = F (t - t 0 ) F 为变力，且作用时间很短时，可用平均值来代替 t t0 F d t F I = F (t - t 0 ) t t0 4
16
三、 动量守恒定律
如果
Fi 0
n i 1
即
n
则
mi vi 恒矢量
i 1
n d ( mi vi ) 0 d t i 1
在外力的矢量和为零的情况下，质点系的总动量
不随时间变化——动量守恒定律。
m v
i 1 n i
n
ix
恒量
恒量
(当 Fix 0 时) (当 Fiy 0 时) (当 Fiz 0 时)
A 跳水运动中游泳池的设计深度
24
F b S v k b S
dv 2 m = kv dt
v
2
F k v
2
m d v= kv d x
m v0 x ln k v
1 1
dv x k = d x v0 v 0 m
3
k 0.251.010 0.08kg m 20kg m
t
此式表明，合外力在某一方向的冲量等于在该方
向上质点系动量的增量。
12
大学物理：2-2 动量守恒定律
y P
rP
F
O
地球
r
C
Q
rQ x
7
3、保守力 (conservation force)
物体在某种力的作用下， 沿任意闭合路径绕行一周所 作的功恒等于零，即
Q
CD
E
F
P
F dl 0
具有这种特性的力，称为保守力；不具有这种特 性的力称为非保守力。
8
四、 机械能守恒定律
1、功能原理 由 n 个相互作用着的质点所组成的质点系。系统中
Q
A
Q Q
AaPdFv,d
r
P
dr
ma d r
vdt
F
Q
m
d
vdtv
d
t
P dt
Q P
mv
d
v
1 2
mvQ2
1 2
P
mvP2
vdPr
质点的动能(kinetic energy)定义：质点的质量与
其运动速率平方的乘积的一半。
用Ek表示，即
Ek
1 2
mv2
5
所以有 A Ek Q Ek P 动能定理：作用于质点的合力所作的功，等于质点
0
mivi 恒矢量
i 1
在外力的矢量和为零的情况下，质点系的总动量
不随时间变化——动量守恒定律。
其分量式
n
mi vix 恒量
i 1 n
mi viy 恒量
i 1 n
mi viz 恒量
i 1
n
(当 Fix 0 时)
i 1
n
(当 Fiy 0 时)
i 1
n
(当 Fiz 0 时)
i 1
功能原理(大学物理)
程中获得了多少能量？
va a
4R E
RE
2R E
∵G
m Em R2
E
＝m
g
设：卫星在a 点的速率为va
所受的向心力是由万有引力
提供，由牛顿第二定律可得：
b vb
F向心力＝ m a ＝m
v2 R
G （m2RE mE）2 ＝m
v2 a
2R E
∴
Gm R2
E
E
＝g
代入上式得：
∴ va＝
gR E 2
va a
≥
5 2
R
C
(2)小球在 A 点受重力mg 及
A
轨道对小球的正压力N 作用。
H
B
·R
N0
(3)如果小球由H =2R 的高处滑下
mg 小球将不能到达A点就掉下来了。
本题结束
例题： 如图所示，子弹水平地射入一端固定在弹簧上
的木块内，已知：子弹质量是0.02kg ，木块质量是 8.98kg。弹簧的劲度系数是100N/m，子弹射人木块 后，弹簧被压缩10cm。设木块与平面间的滑动摩擦系 数为0.2，求:子弹的速度。
和轨道对小 球的正压力
N
+mg
=
m
v2 A
R
(1 )
不脱轨的条件为： N = mRvA2－m g ≥ 0
m
v2 A
R
≥
mg
(2)
N
+mg
=
m
v2 A
R
(1)
m
v2 A
R
≥
mg
(2)
0＋mg( H
-
2R
)=
1 2
m
v
va a
4R E
RE
2R E
∵G
m Em R2
E
＝m
g
设：卫星在a 点的速率为va
所受的向心力是由万有引力
提供，由牛顿第二定律可得：
b vb
F向心力＝ m a ＝m
v2 R
G （m2RE mE）2 ＝m
v2 a
2R E
∴
Gm R2
E
E
＝g
代入上式得：
∴ va＝
gR E 2
va a
≥
5 2
R
C
(2)小球在 A 点受重力mg 及
A
轨道对小球的正压力N 作用。
H
B
·R
N0
(3)如果小球由H =2R 的高处滑下
mg 小球将不能到达A点就掉下来了。
本题结束
例题： 如图所示，子弹水平地射入一端固定在弹簧上
的木块内，已知：子弹质量是0.02kg ，木块质量是 8.98kg。弹簧的劲度系数是100N/m，子弹射人木块 后，弹簧被压缩10cm。设木块与平面间的滑动摩擦系 数为0.2，求:子弹的速度。
和轨道对小 球的正压力
N
+mg
=
m
v2 A
R
(1 )
不脱轨的条件为： N = mRvA2－m g ≥ 0
m
v2 A
R
≥
mg
(2)
N
+mg
=
m
v2 A
R
(1)
m
v2 A
R
≥
mg
(2)
0＋mg( H
-
2R
)=
1 2
m
v
大学物理第2章质点动力学3
——质点的动能定理
2020/1/15
质点动力学
说明 (1) 动能是标量, 是状态量 v 的单值函数, 也是状态量； (2) 功与动能的本质区别: 它们的单位和量纲相同, 但
功是过程量, 动能是状态量.功是能量变化的量度； (3) 动能定理由牛顿第二定律导出, 只适用于惯性参考
系, 动能也与参考系有关.
中国古代火箭
质点动力学
原
虎
一
始 火 箭
头 木 牌
窝 蜂
震天雷神
2020/1/15
神火飞鸦
火龙出水
质点动力学
齐奥尔科夫斯基公式
20世纪初, 在俄国靠近莫斯科的一个小城卡卢加,作为中 学教师的齐奥尔科夫斯基说：
“地球是人类的摇篮, 但人不可能一辈子呆在摇篮里. 为 了不懈地争取自己的生存空间, 在最初怯生生地超越大气层之 后, 人类必将控制整个太阳系.”
c
sin
h
s
质点动力学
2.3.3 质点系动能定理 设一系统有n个质点，由质点的
动能定理，对第i个质点有：
Wi Eki Eki0
n
n
n
Wi Eki Eki0
i 1
i 1
i 1
1
2
3 …
4
i
作用于质点系的力所做的功，等于该质点系的动能
增量.
——质点系的动能定理
4t 2
vy
dy dt
16
dx 4t2dt
y 16t
y 16时 t 1 y 32时 t 2
Fx
m dv x dt
80t
Fy
m dv y dt
13 大学物理动能定理
单位：焦耳（Ｊ）；
1J 1N 1m
2
, W 0;
2
, W 0;
2
, W 0.
力的功是代数量。
2
( F Fx i Fy j Fz k , dr dxi dyj dzk )
二．变力的功 元功： W F cos ds W Ft ds, W F dr ,
α1
mg D FD F'Ax A F
α2
B vB
mg E
(b)
Cv ωBD
α2
ωAB
D v D F' D
25
FAy
(a)
F'Ay
例题
动能定理
例 题 3
ωAB = ωBD
但两者的转向相反。另外，当2=20 º 时，有 DCv = 2l sin 20 º 由余弦定理可求得Cv E ，从而得杆BD质心C的速度
Fx 0, Fy 0, Fz mg
W12 mgdz mg ( z1 z 2 )
z1
z2
质点系： W12
W m g(z
i i
i1
zi 2 ) Mg( zC1 zC 2 )
质点系重力的功，等于质点系的重量与其在始末位置重
心的高度差的乘积，而与各质点的路径无关。 W12=Mgh 重心下降，W120 重心上升，W120
0 0
F
力F 所作的功为
x 1 W Fx M C Fx 2r 2
O x
15
力F 所作的功是否还有其它方法可算？
§13 -2
动能
物体的动能是由于物体运动而具有的能量，是机械运动强弱 的又一种度量。
1J 1N 1m
2
, W 0;
2
, W 0;
2
, W 0.
力的功是代数量。
2
( F Fx i Fy j Fz k , dr dxi dyj dzk )
二．变力的功 元功： W F cos ds W Ft ds, W F dr ,
α1
mg D FD F'Ax A F
α2
B vB
mg E
(b)
Cv ωBD
α2
ωAB
D v D F' D
25
FAy
(a)
F'Ay
例题
动能定理
例 题 3
ωAB = ωBD
但两者的转向相反。另外，当2=20 º 时，有 DCv = 2l sin 20 º 由余弦定理可求得Cv E ，从而得杆BD质心C的速度
Fx 0, Fy 0, Fz mg
W12 mgdz mg ( z1 z 2 )
z1
z2
质点系： W12
W m g(z
i i
i1
zi 2 ) Mg( zC1 zC 2 )
质点系重力的功，等于质点系的重量与其在始末位置重
心的高度差的乘积，而与各质点的路径无关。 W12=Mgh 重心下降，W120 重心上升，W120
0 0
F
力F 所作的功为
x 1 W Fx M C Fx 2r 2
O x
15
力F 所作的功是否还有其它方法可算？
§13 -2
动能
物体的动能是由于物体运动而具有的能量，是机械运动强弱 的又一种度量。
大学物理,力学中的守恒定律 1
Ep 在 l 方向 空间变化率
保守力在 l 方向投影
v F保 = − gradEp = −∇Ep
=−
(
∂Ep ∂x
v ∂Ep v ∂Ep v i + ∂y j + ∂z k
)
第19页 共32页 页 页
大学物理
的质点在外力F的作用下沿 轴运动。 练习3 练习3 质量为 m的质点在外力 的作用下沿 轴运动。 的质点在外力 的作用下沿x轴运动 已知t 时质点位于原点， 已知 = 0时质点位于原点，初速度为零。力F随距离线 时质点位于原点 初速度为零。 随距离线 性减小， 性减小，x = 0处，F=F0; x=L处，F = 0。试求质点在 处 处 。 x=L处的速率。 处的速率。 处的速率
v s
s
b
(1) 变力的功 v v d 元功： 元功： A = F ⋅ d r v = F ⋅ d r ⋅ cos θ 直角坐标系： 直角坐标系：
= F d s cos θ
ds v r θd
b
v v v v v r F = Fx i + Fy j + Fz k r a r r r dr = dxi + dyj + dzk v v dA = F ⋅ dr = Fx dx + Fy dy + Fz dz
P
C
y
R
r F
m
解： v
.
o
v v F = F0 x i + F0 y j
v r
x
0
v v v d r = dx i + dyj
2R
v v v r = xi + yj
v v 2 A= ∫ F ⋅ dr = ∫ F xd x + ∫ F yd y = 2F R 0 0 0
保守力在 l 方向投影
v F保 = − gradEp = −∇Ep
=−
(
∂Ep ∂x
v ∂Ep v ∂Ep v i + ∂y j + ∂z k
)
第19页 共32页 页 页
大学物理
的质点在外力F的作用下沿 轴运动。 练习3 练习3 质量为 m的质点在外力 的作用下沿 轴运动。 的质点在外力 的作用下沿x轴运动 已知t 时质点位于原点， 已知 = 0时质点位于原点，初速度为零。力F随距离线 时质点位于原点 初速度为零。 随距离线 性减小， 性减小，x = 0处，F=F0; x=L处，F = 0。试求质点在 处 处 。 x=L处的速率。 处的速率。 处的速率
v s
s
b
(1) 变力的功 v v d 元功： 元功： A = F ⋅ d r v = F ⋅ d r ⋅ cos θ 直角坐标系： 直角坐标系：
= F d s cos θ
ds v r θd
b
v v v v v r F = Fx i + Fy j + Fz k r a r r r dr = dxi + dyj + dzk v v dA = F ⋅ dr = Fx dx + Fy dy + Fz dz
P
C
y
R
r F
m
解： v
.
o
v v F = F0 x i + F0 y j
v r
x
0
v v v d r = dx i + dyj
2R
v v v r = xi + yj
v v 2 A= ∫ F ⋅ dr = ∫ F xd x + ∫ F yd y = 2F R 0 0 0
大学物理-功能原理 机械能守恒定律
1
二 质点系的功能原理
W ex W in Ek Ek0
W in Wiin Wcin Wnicn
i
非保守力 的功
Wcin ( Epi Epi0 ) (Ep Ep0 )
i
i
W ex
W in nc
(
Ek
Ep
) ( Ek0
Ep0
பைடு நூலகம்
)
2
W ex
W in nc
(Ek
Ep ) (Ek0
1 R
） h
GMmh R（R h）
17
（2）取陨石为研究对象，由动能定理
R（GMRm hh）
1 2
mv2
得
v
2GM
h R（R
h）
18
例：求质量 M长 的l均匀细棒与质点
（1）质点 在细棒延m长线上； （2）质点 在m细棒中垂线上；
间的引m力势能。
解（1）质点 m在细棒延长线上，如图在细棒上任取一微
y
Oy 轴。
设链条下落长度 y =b0 时，处于临界状态
b0 g 0(l b0 )g 0
b0
0 1 0
l
当 y >b0 ，拉力大于最大静摩擦力时，链
条将开始滑动。 10
(2) 以整个链条为研究对象，链条在运动过程中 各部分之间相互作用的内力的功之和为零，
重力的功
W
l
b
ygdy
1 g(l2
2
b2 )
摩擦力的功
W
'
l
b
(l
y)gdy
1
2
g(l
b)2
11
根据动能定理有
1 g(l 2 b2 ) 1 g(l b)2 1 lv 2 0
大学物理_第2章_质点动力学_习题答案
第二章 质点动力学2－1一物体从一倾角为30︒的斜面底部以初速v 0=10m·s -1向斜面上方冲去，到最高点后又沿斜面滑下，当滑到底部时速率v =7m·s -1,求该物体与斜面间的摩擦系数。
解：物体与斜面间的摩擦力f ＝uN ＝umgcos30︒物体向斜面上方冲去又回到斜面底部的过程由动能定理得220112(1)22mv mv f s -=-⋅物体向斜面上方冲到最高点的过程由动能定理得2010sin 302mv f s mgh f s mgs -=-⋅-=-⋅-2(2)s ∴=把式（2）代入式（1）得，220.198u =2－2如本题图，一质量为m 的小球最初位于光滑圆形凹槽的A 点，然后沿圆弧ADCB 下滑，试求小球在C 点时的角速度和对圆弧表面的作用力，圆弧半径为r 。
解：小球在运动的过程中受到重力G 和轨道对它的支持力T.取如图所示的自然坐标系，由牛顿定律得22sin (1)cos (2)t n dv F mg mdtv F T mg m Rαα=-==-=由,,1ds rd rd v dt dt dt vαα===得代入式（）， A 并根据小球从点运动到点C 始末条件进行积分有，902n (sin )m cos 3cos '3cos ,e v vdv rg d v vrv mg mg rmg αααωααα=-===+==-=-⎰⎰得则小球在点C 的角速度为＝由式（2）得 T 由此可得小球对园轨道得作用力为T T 方向与反向2－3如本题图，一倾角为θ 的斜面置于光滑桌面上，斜面上放一质量为m 的木块，两习题2－2图者间摩擦系数为μ，为使木块相对斜面静止，求斜面的加速度a 应满足的条件。
解：如图所示()1212min max sin ,cos cos sin (1)sin cos 2(1)(2)(sin cos )(cos sin )(sin cos )()(cos sin )1(2)(1)(sin cos )(cos sin )(sin cos a a a a N mg ma ma mg uN m a ma u g u a u g u g tg u a u utg u g u a u g u a θθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθ==∴-==±==⨯+-=+--∴==++-⨯+=-+∴=得，得，)()(cos sin )1()()11g tg u u utg g tg u g tg u a utg utg θθθθθθθθθ+=---+∴≤≤+- 2－4如本题图，A 、B 两物体质量均为m ，用质量不计的滑轮和细绳连接，并不计摩擦，则A 和B 的加速度大小各为多少 。
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f m (L y)g
L
G m yg L
链条由y处再下滑长度dy , 摩擦力f
和重力G的元功分别为:
dW f
m (L y)gdy
L
dWG
Байду номын сангаас
m L
ygdy
o ay
dy
y
《大学物理简明教程》
第2章 质点动力学
功 动能定理
链条全部滑离桌边过程中, 摩擦力和重力的总功分别为
Wf
dW f
L m (L y)gdy m g(L a)2
(4) 功率 (power)
第2章 质点动力学
功 动能定理
(表征做功快慢程度的物理量)
平均功率：
P W 单位： W = J/s t
lim 瞬时功率： P
W dW
t0 t dt
P dW F dr F v dt dt
瞬时功率等于力和速度的点积。
《大学物理简明教程》
第2章 质点动力学
2.3.2 动能 动能定理 ◎ 质点的动能
aL
2L
WG WG
L m ygdy mg (L2 a2 )
aL
2L
(2) 链条离开桌边时的速率由动能定理求得
o ay
dy
WG
Wf
1 mv2 0 2
y
mg 2L
( L2
a2)
m
2L
g(L a)2
1 2
mv 2
解得:
v g [(L2 a 2 ) (L a)2 ]
L
《大学物理简明教程》
0≤F≤m1g μs(m1+m2)/m2
《大学物理简明教程》
P 44-45:
第2章 质点动力学
功 动能定理
《大学物理简明教程》
第2章 质点动力学
功 动能定理
§2-3 功 动能定理 (书 P24～27)
§2-4 势能 机械能守恒定律 (书 P27～32)
重点： 1. 动能定理的内容和物理意义； 2. 功能定理及机械能守恒的条件
《大学物理简明教程》
第2章 质点动力学
§2.3 功 动能定理
功 动能定理
2.3.1 功 功是能量转换的度量；是力在空间上的积累
（1）恒力的功 大小方向都不变的力叫恒力.
W F cos r F r
功是标量，但有正负。
F
r
0 900, W 0 , 力做正功
900 1800, W 0 , 力做负功 900, W 0 , 力不做功
相对滑动, 则F应满足( )
功 动能定理
m1 m2
解：假设共同运动的最大加速度为a, 根据牛顿第二定律:
对A、B整体：F= (m1+m2)a ① 对B：A对B的最大静摩擦力就是它所受的合外力
m1g μs =m2a
②
联立①②解得：F=m1g μs(m1+m2)/m2
2.要使AB不发生相对滑动，则F的范围是:
例2.一条长度为L，总质量为m的柔软链条，放在桌面上靠边处，
其 数中为一 端。下设垂开，始长时度链为条a静(止a 。<求L:)(1,)链链条条与离桌开面桌的边滑过动程摩中擦系，
摩擦力以及重力所做的功；(2) 链条离开桌边时速率。
解: (1) 建立坐标系如图. 当链条下
滑的长度为 y 时, 链条受到的摩 擦力f 和重力G分别为:
dr
Lb
F
x
L (Fxi Fy j Fzk ) (dxi dyj dzk )
L Fxdx Fydy Fzdz
上述积分是线积分，一般与路径有关。所以
功是一个过程量
《大学物理简明教程》
第2章 质点动力学
功 动能定理
例1. 一质点做圆周运动，有一力 F F0 xi yj 作用于 P43 2-9
质点，在质点由原点至P(0，2R)点过程中，力 F 做的功 W = ？
解：OP上任取位移元 dr ，dr 上
作用于质点的力为
F F0 xi F0 yj
P35例2-5
y P
dr dxi dyj
R
元功： F d r F0xdx F0 ydy
总功： W F d r
0
2R
r dr
O
x
F0x d x F0 y d y 2F0R2
F 的总功
y
dr
a
O z
F cos
a
Lb
F
x
b
b
W dW a F dr
dWi
功的几何意义 力曲线下的面积
o ra dri rb
r
《大学物理简明教程》
第2章 质点动力学
在直角坐标系中 ，因为
y
F
Fxi
Fy
j
Fz
k
dr dxi dy j dzk
a
所以
W L F dr
O z
功 动能定理
第2章 质点动力学
功 动能定理
P 21:
+
《大学物理简明教程》
第2章 质点动力学
功 动能定理
P 21:
《大学物理简明教程》
第2章 质点动力学
P 42 选2:
质量分别为m1和m2的滑块A和B, 叠放在光滑水平面上, 如图所示，AB间静摩擦系数为μs, 动摩擦系数为μ, 系统 处于静止, 今有一水平力F作用于A上, 要使A、B不发生
第2章 质点动力学
功 动能定理
W
b
F dr
a
1 2
mvb2
1 2
mva2
Ekb
Eka
—— 质点动能定理
功是过程量，而动能是状态量。
注意 ● 动能定理左边的功指合外力的功；
● 动能定理由牛顿第二定律导出，只适用于惯性参 考系，动能也与参考系有关。
《大学物理简明教程》
第2章 质点动力学
功 动能定理
Ek
1 2
mv2
单位：J
a
下面研究力对质点做功后的效果
功 动能定理
b vb
dr
F
va
◎ 质点动能定理
推导中用了牛顿第二定律
W
b
F dr
b
m
dv
dr
vb m dr dv
a
a dt
va dt
vb mv
va
dv
1 2
mvb2
1 2
mva2
即：合外力对质点所做的功等于质点动能的增量
《大学物理简明教程》
0
0
《大学物理简明教程》
（3）合力的功
第2章 质点动力学
物体受几个力作用时，合力的功
功 动能定理
W
F dr L L F1 dr
L L
F1 F2
F2
dr
Fn dr
L Fn dr
W W1 W2 Wn
即：合力的功等于各分力的功的代数和。
《大学物理简明教程》
功的单位： N.m 即 J
《大学物理简明教程》
第2章 质点动力学
功 动能定理
（2）变力的功 质运在用a点动于、在到质b上变点b，任力的计取力F算 位为作力移用FF元下所 ，沿d做Fr曲，的在线d功drLr 上从。上作a的
元功
dW F dr F cos dr
若F 在a、b上连续，则从a到b，变力