1.坐标变换及矢量表示
机器人技术基础(课后习题答案)
0.1 简述工业机器人的定义，说明机器人的主要特征。
答：机器人是一种用于移动各种材料、零件、工具、或专用装置，通过可编程动作来执行种种任务并具有编程能力的多功能机械手。
1.机器人的动作结构具有类似于人或其他生物体某些器官（肢体、感官等）的功能。
2.机器人具有通用性，工作种类多样，动作程序灵活易变。
3.机器人具有不同程度的智能性，如记忆、感知、推理、决策、学习等。
4.机器人具有独立性，完整的机器人系统在工作中可以不依赖于人的干预。
0.2工业机器人与数控机床有什么区别？答：1.机器人的运动为开式运动链而数控机床为闭式运动链；2.工业机器人一般具有多关节，数控机床一般无关节且均为直角坐标系统；3.工业机器人是用于工业中各种作业的自动化机器而数控机床应用于冷加工。
4.机器人灵活性好，数控机床灵活性差。
0.5简述下面几个术语的含义：自有度、重复定位精度、工作范围、工作速度、承载能力。
答：自由度是机器人所具有的独立坐标运动的数目，不包括手爪（末端执行器）的开合自由度。
重复定位精度是关于精度的统计数据，指机器人重复到达某一确定位置准确的概率，是重复同一位置的范围，可以用各次不同位置平均值的偏差来表示。
工作范围是指机器人手臂末端或手腕中心所能到达的所有点的集合，也叫工作区域。
工作速度一般指最大工作速度，可以是指自由度上最大的稳定速度，也可以定义为手臂末端最大的合成速度（通常在技术参数中加以说明）。
承载能力是指机器人在工作范围内的任何位姿上所能承受的最大质量。
0.6什么叫冗余自由度机器人？答：从运动学的观点看，完成某一特定作业时具有多余自由度的机器人称为冗余自由度机器人。
0.7题0.7图所示为二自由度平面关节型机器人机械手，图中L1=2L2，关节的转角范围是0゜≤θ1≤180゜,-90゜≤θ2≤180゜,画出该机械手的工作范围（画图时可以设L2=3cm）。
1.1 点矢量v 为]00.3000.2000.10[T ，相对参考系作如下齐次坐标变换：A=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--10000.9000.1000.0000.00.3000.0866.0500.00.11000.0500.0866.0 写出变换后点矢量v 的表达式，并说明是什么性质的变换，写出旋转算子Rot 及平移算子Trans 。
常用坐标系及其间的转换
将式（1.4）中之φ0、 α0 分别用 B0、 A0 代替。即可得到。
3. 发射坐标系与箭体坐标系间的欧拉角及方向余弦阵 这两个坐标系的关系用以反映箭体相对于发射坐标系的姿态角。为使一般一状态下
这两坐标系转至相应轴平行，现采用下列转动顺序：先绕 oz 轴正向转动ϕ 角，然后绕
新的 y′ 轴正向转动ψ 角，最后绕新的 x1 轴正向转γ 角。两坐标系的欧拉角关系如图 1.4
用该坐标系与其它坐标系的关系反映出火箭的飞行速度矢量状态。
1.1.2 坐标系间转换
1. 地心惯性坐标系与地心坐标之间的方向余弦阵
由定义可知这两坐标系的 oE ZI ， oE ZE 是重合的，而 oE X I 指向平春分点 oE X E 指
向所讨论的时刻格林威治天文台所在子午线一赤道的交点， oE X I 与 oE X E 的夹角要通
cosα0 cosλ0 + sinα0 sinφ0 sin λ0
cosα0 cosφ0 ⎤
sinφ0
⎥ ⎥
−sinα0 cosφ0 ⎦⎥
（1.4）
若将地球考虑为总地球椭球体，则发射点在椭球体上的位置可用经度 λ0 ，地理纬
度 B0 确定， ox 轴的方向则以射击方位角 A0 表示。这样两坐标系间的方向余弦阵只需
过天文年历年表查算得到，记该角为 ΩG ，显然，这两个坐标系之间仅存在一个欧拉角
ΩG ，因此不难写出两个坐标系的转换矩阵关系。
⎡XE⎤
⎡XI ⎤
⎢ ⎢
YE
⎥ ⎥
= EI
⎢ ⎢
YI
⎥ ⎥
(1.1)
⎢⎣ ZE ⎥⎦
⎢⎣ ZI ⎥⎦
其中
பைடு நூலகம்
⎡ cos ΩG sin ΩG 0⎤
球坐标柱坐标
【七】 ( A B ) B A A B 【八】 (fA ) f A f A 【九】 ( A B ) ( B ) A B ( A ) ( A ) B A ( B ) 【一0】 ( A B ) ( B ) A ( A ) B B ( A ) A ( B )
三、二重算子
f x22(eˆxeˆx)f y22(eˆyeˆy)f z22(eˆzeˆz)f 2f 2f 2f 2f x2 y2 z2
【例题一.三.四】 证明一个标量场的梯度必无旋!!一个矢量场 的旋度必无散？？ F lr r ＝ e ˆx y z z y e ˆy z x x z e ˆx x y y x ＝ 0
F (r ) r 1 2 r(r 2 F r) rs i 1 n (s inF ) rs i 1 n F
eˆr reˆ rsineˆ
1 A
r2 sin r Ar rA rsin A
【例题一.三.一】
求矢量场
A (r ) x 2 e ˆx y 2 e ˆy z 2 e ˆz 沿xy平
面内一闭合回路C的线积分!!此闭合回路
由【0!!0】和【 】之间2, 的2 一段抛物线
和两段平行y2于 坐x 标轴的直线段组成？？ 再计算 的旋度？？A
【例题一.三.二】
求二维标量场 u(x,y)的梯y2度x!!并取一闭合 回路C!!证明
udl 0
C
【例题一.三.三】
若 Rrr' R R
证明： ( 1) '( 1)
e ˆ e ˆ zz
➢球面坐标系与直角坐标系间单位矢量变换关系
eˆ eˆ sincoseˆ sinsineˆ cos
r
x
y
z
eˆ
eˆ x
电磁场与电磁波坐标系变换矢量积分y
R
o y
φ
x
0 R
R, ,
0 0 2
球坐标变量 R, , 和直角坐标
变量 x, y, z 的关系：
x Rsin cos
y R sin sin
z Rcos
和
R x2 y2 z2
arctan x2 y2
z arctan y
x 6
=0
R= R0 x
z
0
aˆR
P0 R0
op x1aˆx y1aˆy z1aˆz
A B Ax Bx A y By Az Bz A A A Ax2 Ay2 Ay2
叉积:
A B aˆx AyBz AzBy aˆy AzBx AxBz aˆz AxBy AyBx
微分线元 : 微分体元 :
aˆx aˆy aˆz = Ax Ay Az
aˆ
O
aˆ
0
=0
y
7
8
正交曲面坐标系
1. 坐标变换 2. 矢量函数的积分
9
1. 坐标变换
A B AB cos AB
两个矢量的点积：
(1) 小于或等于二者模的乘积;
(2) 可为正或负值，这决定于两个矢量之间的夹角是小于或者大于/2；
(3) 等于一个矢量的模和另一个矢量在该矢量上的投影的乘积；
(4) 当两个矢量相互垂直时为零。
A
o
r
y
x
0 r 0 2
z
柱坐标变量 r, , z 和直角坐标变量
x, y, z 的关系：
x r cos y r sin zz
和 r x2 y2
arctan y
x
zz
4
z
r = r0 x
chap1.1 矢量分析基础
eρ=ex cosφ+ey sinφ eφ=ex(-sinφ)+ey cosφ
（1-2-8）
e
e
e
e
矢量分析基础
图1 - 6 圆柱坐标系单位矢量的变换
矢量分析基础
所以， 直角坐标系中的单位矢量变换到圆柱坐标 系中的单位矢量的表达式写成矩阵形式为
e cos
0
0 e 0 e （1-2-10） 1 ez
矢量分析基础
式（1-2-9）和（1-2-10）表明： 如果矢量A是在圆柱坐 标系给定的， 根据式（1-2-10）可以得到直角坐标系 的表达式； 反之， 若矢量A是在直角坐标系给定的， 则根据式（1-2-9）可以得到圆柱坐标系的表达式。
矢量分析基础
图1 - 4 圆柱坐标系一点的投影
矢量分析基础
x=ρcosφ y=ρsinφ z=z
（1-2-1）
如同直角坐标系一样， 圆柱坐标系也具有三个相互垂直 的坐标面， 如图1-5所示。
矢量分析基础
图 1 - 5 圆柱坐标系三个互相垂直的坐标
矢量分析基础
坐标面
x2 y2 常数
的六面体的面积元是：
dSr=err2 sinθ dθdφ dSθ=eθr sinθ drdφ dSφ=eφr dr dθ
（1-2-27） （1-2-28） （1-2-29）
这个六面体的体积元为：
d dlr dl dl r 2 sindrdd （1-2-30）
矢量分析基础
d
矢量分析基础
由图1-7可以看出， 球坐标与直角坐标之间的关系为
x=r sinθ cosφ
y=r sinθ sinφ
第1章 - 1 矢量坐标系梯度
12
第一章 矢 量 分 析
1 .2 .1 正交坐标系
任意矢量A：
A A
Au21 Au22 Au23
任意矢量B：
（1-22） （1-23） （1-24）
（1-25） （1-26）
13
第一章 矢 量 分 析
e e e u1
u2
u3
A B Au1 Au2 Au3
B B B u1
u2
u3
（1-27）
d , d, dz
拉梅系数：
r
h1 1, h2 , h3 1 （1-58）
位置矢量为： r = e + ez z
线元微分元为： dr = d (e + ez z)
e d de ezdz zdez e d e de ezdz
（1-59） （1-60）
26
第一章 矢 量 分 析
第一章 矢 量 分 析
1 .2 .3 圆柱坐标系
ez
e
e
(u1，u2，u3 ) (,, z)
（1-48）
ez P(ρ0 ,φ0 , z0 )
e e
0 0 2
z
e e ez
e ez e
（1-49）
图 1 -6 柱坐标系
ez e e
21
第一章 矢 量 分 析
ez ez
ex e cos e sin ， ey e sin e cos ， ez ez
（1-51-2）
22
第一章 矢 量 分 析
园柱坐标系中矢量：
A e A e A ez Az
直角坐标系中：
A ex Ax ey Ay ez Az
坐标变换矩阵为：
Ax cos
群论讲义1
n
2
+ ⋯ + a bn ≡ a bi
n i
即在同一项中，凡是碰到一对用同一符号表示 的上标和下标，总代表从1到n的求和
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第一章 张量代数
内容： §1 张量的概念 §2 张量的代数运算 §3 内积空间上的张量 §4 若干物理应用 习题
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D = εE ②介质各向异性， E 与 D 一般不同向，但仍有线性对应的函数
关系（E 不太强时），即 此时要保留介电系数的概念，则 ε 应理解为从 E 到 D 的线性 变换
λ E ← λ D , E1 + E2 ← D1 + D2 → →
D =ε E
( )
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→ a ( x1 ,⋯ , xr ) = a x1i1 ei1 ,⋯ , xr ir eir = a ei1 ,⋯ , eir x1i1 ⋯ xr ir = ai1⋯ir x1i1 ⋯ xr ir
xk = xk ik eik
(
)
(
( ik = 1,⋯ , n )
)
( i1 ,⋯ , ir = 1,⋯ , n ) 构成一个nr数阵， 系数 ai1⋯ir = a ei1 ,⋯ , eir 称为r重线性函数a(x1, …, xr)在基{ei}下的坐标或分量
a (λ x ) = λa ( x) 则称a = a(x) 是V上的一个线性函数
a ( x + y) = a ( x) + a ( y)
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01 第一章 矢量分析
⑴极限：设 F (t ) 在点 t 0 的某个邻域内有定义（但在 t 0 点
则称，当 t t0
⑵连续：若矢性函数 F (t )在点 t 0 的某个邻域内有定义，且 lim F t F t0 t t0 则称F (t ) 在 t t0 处连续。
(x)
ui
2
(
2 y 2 ) ( z ) ui ui
4、拉梅系数的几何意义
u i 线上的弧微分
x 2 y 2 z 2 dli ( ) ( ) ( ) dui hi dui ui ui ui
dli hi dui
表明：拉梅系数hi是M点处曲线坐标ui的微分dui与该坐标线ui 上弧微分的比例系数。
r(M )
hi
根据全微分运算法则
r r r dl d r du1 du 2 du3 u1 u2 u3
y 矢量线元
引入拉梅系数,矢量线元表示为
图1－7
dl h1du1e1 h2 du2 e2 h3 du3e3 dl1e1 dl2 e2 dl3 e3
2、拉梅系数
空间任意一点 M (u1 , u 2 , u 3 ) ，矢径
若M点在 u1 线上，则矢径 于是，单位矢量表示为
r e1 u1 r u1
r r (u1 , u 2 , u3 )
r (u1 , u 2 c2 , u3 c3 )
M
F (t )
说明：矢径函数对其矢端曲线弧长的导数为曲线上的单位矢量。
3、积分
⑴不定积分：若 A(t ) F (t ) ，则称 A(t )为 F (t )的一个原函数， F (t ) 的原函数的集合叫做的F (t ) 不定积分，记作 )d t A(t ) C F (t ⑵定积分：若矢性函数 F (t ) 在区间 [T1 , T2 ]上的极限
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为确保整个项目旋转坐标的统一性,先
统一各坐标的方向和位置
定义1：abc 坐标轴，以a 轴位起始，逆时针旋转，
120°为b 轴，240°为c 轴。
αβ坐标轴，α轴与a 轴重合，α轴逆时针旋转
90°为β轴。
QD 坐标轴，Q 轴与a 轴形成θ角，a 轴静止，
而Q 轴旋转，θ随Q 轴的旋转位置而变，D 轴为Q 轴
顺时针旋转90°所在位置。
定义1只是数学层面上的坐标设定还未牵涉到各物
理量！！
对于三相平衡的电压，其就是一个旋转矢量，假设其与Q 轴重合，而将三相电流投影到以电压矢量为Q 轴的旋转矢量上。
通过已知的 、 、 可以通过变换，将其转换为 、 。
如果电压矢量的角度 已知，则可以将
、 转
换到以电压矢量为Q 轴的QD 坐标轴上，如右图。
由图中可以看到：
定义2：投影在电压矢量上的电流分量 为有功
电流，垂直于电压矢量的电流分量 为无功分量。
通过如上定义，可以将三相电压或者电流分
量，在各坐标轴之间转换。
因此有：
23 1 12 120
√3 √3 cos sin sin
cos 23 1 1 10
√32 √32 cos sin sin cos。