安徽省池州市2019-2020学年高二下学期期末联考理科数学试题
的
人数，则
（）
A．
B．
C．
D．
12. 已知不等式 A．
对任意
恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
B．
C．
D．
二、填空题
13.
，且
，复数
在复平面上对应的点
，复平面上的动点 的集合所对应区域的面积为______.
14. 某次数学竞赛，全体参赛学生的成绩 服从正态分布
15. 设
，其中e为自然对数的底数，若
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，若
，则
________.
，则 ________.
16. 已知定义在 的解集为________.
上的函数
的导函数为
，若对于任意
都有
，且
，则不等式
三、解答题
17. 某县教研室联合本县 ， 两所招生生源大体相当的学校举行一次高一数学联考，满分150分，规定120分及其以上为优秀，教研室为了研究 数学成绩与学校是否有关，用简单随机抽样的方法调查了100名联考学生的成绩，得到下面 列联表：
，且 ，且 ，且 ，且
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，设
，则下列判断正确的是（ ）
10. 一条线段的中点叫做线段的重心；在三角形中，各边中线的交点叫做三角形的重心．由此类比给出四面体的重心：在四面体中连接四面体各
顶点与对面三角形重心的线段的交点叫做四面体的重心．则在四面体中，四面体的重心到顶点的距离与到对面三角形重心的距离之比为（ ）
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一、单选题
1. 已知 为虚数单位，且复数 满足
，则 的共轭复数（ ）
A．
B．
C．
D．
2. 某超市统计了最近5年的商品销售额与利润率数据，经计算相关系数 A．商品销售额与利润率正相关，且具有较弱的相关关系 B．商品销售额与利润率正相关，且具有较强的相关关系 C．商品销售额与利润率负相关，且具有较弱的相关关系 D．商品销售额与利润率负相关，且具有较强的相关关系
优秀
非优秀
合计
学校
48
12
60
学校
16
24
40
合计
64
36
100
（1）估计 校学生数学成绩为优秀的概率；
（2）能否有
的把握认为这次考试数学成绩优秀与学校有关？
附
0.050 3.841
0.025 5.024
0.010 6.635
0.001 10.828
18. 已知函数
（1）当
时，求函数
（2）若函数
在
第x（天）
4
9
16
25
y（人）
40
80
120
140
160
经研究发现，可以用
作为y关于x的回归方程类型.
（1）根据表中的数据，建立y关于x的回归方程；
（2）请预测第36天跑步队的人数.
参考数据：
108
11
1920
7680
979
55
其中
，
，
，
参考公式：对于一组数据
，
.
. ，其回归直线
的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：
，其中a为常数. 的单调区间； 上单调递增，求实数a的取值范围.
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19. 某湿地公园占地约44万 ，风景优美，吸引了大批市民前来游玩、健身.当地政府为了开展全民健身活动，组织了跑步队，并给每位队员发 放统一服装，吸引了越来越多的市民加入跑步队.组织者统计了跑步队成立一个月内每一天队员的人数，用x表示跑步队成立的天数，y表示当天 跑步队的人数，给出部分数据如下表所示：
关注《民法典》
不关注《民法典》
男
45
10
女
30
15
附：
0.10 2.706
0.050 3.814
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0.010
0.001
6.635
10.828
A．有 的把握认为网民关注《民法典》与性别无关 B．有 的把握认为网民关注《民法典》与性别有关 C．在犯错误不超过 的前提下，认为网民关注《民法典》与性别无关 D．在犯错误超过 的前提下，认为网民关注《民法典》与性别无关
A．
B．
C．
D．
11. 2020年6月5日，世界环境日，今年的主题是“关爱自然，刻不容缓”，某地区环保部门100名党员参加“关爱自然，刻不容缓”的主题学习活动，
他们的年龄在30岁至80岁之间，将年龄按
、
、
、
、
分组，得到的频率分布直方图如图所示.现从年龄
在
、
的人员中按分层抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机抽取4人进行座谈，用X表示参与座谈的居民的年龄在
（1）当
时，求函数
（2）若对任意 ，
，其中
.
的极小值；
恒成立，求m的最大值.
22. 某种体育比赛采用“五局三胜制”，具体规则为比赛最多进行五场，当参赛的两方有一方先羸得三场比赛，就由该方获胜而比赛结束，每场比
赛都需分出胜负.现A，B双方参加比赛，A方在每一场获胜的概率为
，假设每场比赛的结果相互独立.
，则下列判断正确的是（ ）
3. 2020年5月28日，《中华人民共和国民法典》（以下简称《民法典》）获十三届全国人大三次会议高票通过，其被誉为“社会生活的百科全
书”，具有重要意义．某网站就“是否关注《民法典》”向网民展开问卷调查，回收100份有效问卷，得到如下 列联表，经计算
，
则下列结论正确的是（ ）
则该同学不同的游玩线路总数为（ ）
A．10
B．16
C．24
D．32
6. 一副扑克牌去掉大小王还有52张，充分洗牌后随机不放回的依次摸出2张牌，在第1次摸出黑桃的条件下，第2次也摸出黑桃的概率是（ ）
A．
B．
C．
D．
7. 凸多边形中，四边形有2条对角线，五边形有5条对角线，则凸十二边形的对角线条数为（ ）
20. 某企业生产的某种产品尺寸在
（单位：厘米）内的产品为正品，其余的均为次品，每生产一件该产品，若是正品，则获利200
元，若是次品，则亏本80元，现随机抽取这种产品100件，测量其尺寸（单位：厘米），得到如下频数分布表：
分组
频数 2
9
22
33
24
8
2
安徽省池州市2019-2020学年高二下学期期末联考理科数学试题
4.
的展开式中二项式系数最大的项是（ ）
A．
B．
C．
D．
5. 安徽马鞍山市山水秀美，历史文化灿烂，素有“一半山水，一半诗歌”的美誉，被称为山水诗都.某同学暑假对马鞍山市的“褒禅山”、“镇淮楼古
街”、“采石矶景区”、“大青山李白文化旅游区”的四个景区进行游玩，若不能先去“镇淮楼古街”，也不能最后去“褒禅山”和“采石矶景区”游玩，
（1）当
时，求A方恰在比赛四场后赢得比赛的概率；
（2）若B方在每一场获胜的概率为q，设比赛场数为 .
（i）试求 的分布列及数学期望
；（用P，q表示）
（ⅱ）求
的最大值，并给出能够减少比赛场数的建议.
A．44
B．54
C．65
D．77
8. 同宿舍六位同学在食堂排队取餐，其中A，B，C三人两两不相邻，A和D是双胞胎，必须相邻，则符合排队要求的方法数为（ ）
A．288
B．144
C．96
D．72
9. 已知函数
A．曲线在 B．曲线在 C．曲线在 D．曲线在
，其中e为自然对数的底数，导函数
处的切线方程为 处的切线方程为 处的切线方程为 处的切线方程为
（1）已算出这100件产品的尺寸的平均数为
，求这100件产品的尺寸的方差 ；
（2）若该产品的尺寸服从正态分布
，其中 近似为样本平均数 ， 近似为样本方差 .
①试估计每生产一件该产品，该产品是正品的概率；
②设该企业每生产一件该产品的利润为X，求X的分布列.
参考数据：
，若随机变量
，则
，
，
.
21. 已知函数
安徽省池州市2019-2020学年数学高二第二学期期末综合测试试题含解析
安徽省池州市2019-2020学年数学高二第二学期期末综合测试试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意） 1．五一放假，甲、乙、丙去厦门旅游的概率分别是13、14、15，假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去厦门旅游的概率为（ ） A ．5960B ．35C ．12D ．1602．若函数()()()1cos23sin cos 412f x x a x x a x =+-+-在,02π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，则实数a 的取值范围为（ ） A ．1,17⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．11,7⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．][1,1,7⎛⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎝⎭D ．[)1,+∞ 3．设函数()()ln 21f x x x =--的极小值为a ，则下列判断正确的是 A ．1a = B ．0ln 2a << C ．ln 2a = D ．ln 21a <<4．当函数取极小值时，的值为（ ）A ．B ．C ．D ．5．若x ，y 满足约束条件22201y xx y y ≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥-⎩，则z x y =-的最大值为（ ）A ．35B ．12C ．5D ．66．设x 0是函数f （x ）＝lnx+x ﹣4的零点，则x 0所在的区间为（ ） A ．（0，1）B ．（1，2）C ．（2，3）D ．（3，4）7．已知函数2()(0)f x ax bx c a =++≠，满足(1)2f =，且函数()()g x f x x =-无零点，则（ ） A ．方程(())0g f x =有解 B ．方程(())f f x x =有解 C ．不等式(())f f x x >有解 D ．不等式(())0g f x <有解8．函数lg ||x y x=的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．9．如图，在△ABC 中, 13AN NC =,P 是BN 上的一点,若29AP m AB AC −−→−−→−−→=+,则实数m 的值为( )A ．B ．C ．19D ．10．已知向量a 与b 的夹角为3π，(2,0)a =，||1b =，则2a b -=（ ） A 3B ．3C ．2D ．411．在下列命题中，①从分别标有1,2,……,9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张，则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是518； ②341()2x x+的展开式中的常数项为2；③设随机变量~(0,1)N ξ，若(1)P p ξ≥=，则1(10)2P p ξ-<<=-. 其中所有正确命题的序号是（ ） A ．② B ．①③ C ．②③D ．①②③12．若空间中n 个不同的点两两距离都相等，则正整数n 的取值（ ）． A ．至多等于4B ．至多等于5C ．至多等于6D ．至多等于8二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）13．对于自然数方幂和()12k k kk S n n =++⋅⋅⋅+**(,)n N k N ∈∈，1(1)()2n n S n +=，2222()12S n n =++⋅⋅⋅+，求和方法如下：3321331-=++，3323232321-=⨯+⨯+，…332(1)331n n n n +-=++，将上面各式左右两边分别相加，就会有3321(1)13()3()n S n S n n +-=++，解得21()(1)(21)6S n n n n =++，类比以上过程可以求得54324()S n An Bn Cn Dn En F =+++++，,,,,,A B C D E F R ∈且与n 无关，则A F +的值为__________．14．已知函数2yx 与函数()0y kx k =>的图象所围成的面积为323，则实数k 的值为______． 15．不同的五种商品在货架上排成一排，其中甲、乙两种必须排在一起，丙、丁两种不能排在一起，则不同的排法种数共有 ；（用数字作答）16．已知函数()sin(2)f x x ϕ=+，其中φ为实数，若()()6f x f π≤对x ∈R 恒成立，且()f ()2f ππ>，则()f x 的单调递增区间是______.三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17．设椭圆2222:1(0)y x M a b a b +=>>经过点P ，其离心率2e =.（1）求椭圆M 的方程；（2）直线1:()l y m m =+∈R 与椭圆M 交于A 、B 两点，且PAB △，求m 的值. 18．选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为{cos x y ϕϕ==（ϕ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线2C sin 14πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭. （1）求曲线1C 的普通方程与曲线2C 的直角坐标方程；（2）曲线1C 与2C 相交于P Q 、两点，求过P Q 、两点且面积最小的圆的标准方程.19．（6分）在极坐标系中，O 为极点，点000(,)(0)M ρθρ>在曲线:4sin C ρθ=上，直线l 过点(4,0)A 且与OM 垂直，垂足为P . （1）当0=3θπ时，求0ρ及l 的极坐标方程； （2）当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程.20．（6分）已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为22，且经过点(2,2)Q .（1）求椭圆C 的方程；（2）直线l ：2(0,4)y kx m k m =+>≠与椭圆C 相交于A ，B 两点，若AB 4=，试用m 表示k .21．（6分）某商家对他所经销的一种商品的日销售量（单位：吨）进行统计，最近50天的统计结果 如下表： 日销售量 1 1.5 2 天数 10 2515频率0.2若以上表中频率作为概率，且每天的销售量相互独立． （1）求5天中该种商品恰好有两天的销售量为1.5吨的概率；（2）已知每吨该商品的销售利润为2千元，表示该种商品某两天销售利润的和（单位：千元），求的分布列和数学期望．22．（8分）某工厂拟生产并销售某电子产品m 万件（生产量与销售量相等），为扩大影响进行销售，促销费用x （万元）满足24x m +=（其中0x a <≤，a 为正常数）．已知生产该产品还需投入成本1612m m ⎛⎫⎪+⎪ ⎪-⎝⎭万元（不含促销费用），产品的销售价格定为304m ⎛⎫+⎪⎝⎭元/件． （1）将该产品的利润y 万元表示为促销费用x 万元的函数； （2）促销费用投入多少万元时，此工厂所获利润最大？参考答案一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）1．B 【解析】 【分析】计算出事件“至少有1人去厦门旅游”的对立事件“三人都不去厦门旅游”的概率，然后利用对立事件的概率可计算出事件“至少有1人去厦门旅游”的概率. 【详解】记事件:A 至少有1人去厦门旅游，其对立事件为:A 三人都不去厦门旅游， 由独立事件的概率公式可得()11121113455P A ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---= ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 由对立事件的概率公式可得()()231155P A P A =-=-=，故选B. 【点睛】本题考查独立事件的概率公式的应用，同时也考查了对立事件概率的应用，在求解事件的概率问题时，若事件中涉及“至少”时，采用对立事件去求解，可简化分类讨论，考查分析问题的能力和计算能力，属于中等题. 2．D 【解析】因为/()sin 23(cos sin )41f x x a x x a =-+++-，由题设可得sin 23(cos sin )410x a x x a -+++-≥在[,0]2π-上恒成立，令cos sin t x x =+，则2sin 21x t =-，又cos sin )4t x x x π=+=+，且444x πππ-≤+≤，故sin()[1,1]4x t π≤+≤⇒∈-，所以问题转化为不等式2340t at a -++≥在[1,1]-上恒成立，即不等式2340t at a --≤在[1,1]-上恒成立．令函数2()34,[1,1]h t t at a t =--∈-，则1(1)0{{17(1)01h a a h a -≤≥⇒⇒≥≤≥，应选答案D ． 点睛：本题的求解过程自始至终贯穿着转化与化归的数学思想，求函数的导数是第一个转化过程，换元是第二个转化过程；构造二次函数是第三个转化过程，也就是说为达到求出参数a 的取值范围，求解过程中大手笔地进行三次等价的转化与化归，从而使得问题的求解化难为易、化陌生为熟悉、化繁为简，彰显了数学思想的威力． 3．D 【解析】 【分析】对函数()f x 求导，利用()0f x '=求得极值点，再检验是否为极小值点，从而求得极小值a 的范围.【详解】 令()223102121x f x x x -'=-==--，得32x =，检验：当13,22x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ 时，()'0f x < ，当3,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()'0fx >，所以()f x 的极小值点为32x =，所以()f x 的极小值为 ()33ln 21122a f f ⎛⎫==-<= ⎪⎝⎭，又323e ln 2ln 4ln 24a -=-=．∵33e 2.716>>，∴ln 2ln10a ->=，∴ln 21a <<．选D. 【点睛】本题考查利用导数判断单调性和极值的关系，属于中档题. 4．B 【解析】分析：对函数求导，由 ，即可得出结论．详解即故选B ．点睛：本题考查利用导数研究函数的极值问题，属于基础题 5．C 【解析】 【分析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的最优解求解即可 【详解】解：变量x ，y 满足约束条件的可行域如图所示： 目标函数z x y =-是斜率等于1、纵截距为z -的直线， 当直线经过可行域的A 点时，纵截距z -取得最小值， 则此时目标函数z 取得最大值， 由1220y x y =-⎧⎨+-=⎩可得(4,1)A -，目标函数z x y =-的最大值为：5 故选C ．【点睛】本题考查线性规划的简单应用，考查计算能力以及数形结合思想的应用． 6．C 【解析】 【分析】由函数的解析式可得()()20,30f f <>，再根据函数的零点的判定定理，求得函数的零点所在的区间，得到答案． 【详解】因为0x 是函数()ln 4f x x x =+-的零点，由()()2ln 220,3ln310f f =-<=->， 所以函数()f x 的零点0x 所在的区间为()2,3， 故选C ． 【点睛】本题主要考查了函数的零点的判定定理的应用，其中解答中熟记零点的存在定理，以及对数的运算性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 7．C 【解析】 【分析】首先判断开口方向向上，得到()()0g x f x x =->恒成立，依次判断每个选项得到答案. 【详解】函数()()g x f x x =-无零点，()12f =，()()11110g f =-=>()()0g x f x x =->即()f x x >恒成立A. 方程()()0g f x =有解.设()()0f x t g t =⇒=这与()g x 无零点矛盾，错误 B. 方程()()f f x x =有解.()f x x >恒成立⇒ ()()()ff x f x x >>，错误C. 不等式()()ff x x >有解.()f x x >恒成立⇒ ()()()f f x f x x >>，正确 D. 不等式()()0g f x <有解.即()()()0f f x f x -<，由题意：()f x x >恒成立⇒ ()()()f f x f x >，错误 答案选C 【点睛】本题考查了函数恒成立问题，零点问题，函数与方程关系，综合性强，技巧高深，意在考查学生解决问题的能力. 8．D 【解析】 【分析】先分析函数奇偶性,再分析函数是否有零点即可. 【详解】因为lg ||lg ||x x y x x-==--,故lg ||x y x =为奇函数,排除A,B.又当lg ||0x y x==时1x =,故lg ||x y x =有零点,排除C.故选D 【点睛】本题主要考查函数图像的判定方法,一般考虑奇偶性与函数的零点或者函数的正负等,属于基础题型. 9．C 【解析】 【分析】先根据共线关系用基底AB AC→→，表示AP→，再根据平面向量基本定理得方程组解得实数m 的值.【详解】如下图，∵,,B P N 三点共线，∴，∴，即,∴①,又∵13AN NC =，∴，∴28=99AP m AB AC m AB AC →→→→→=++②，对比①，②，由平面向量基本定理可得：．【点睛】本题考查向量表示以及平面向量基本定理，考查基本分析求解能力. 10．C 【解析】 【分析】 利用()2|2|2a b a b -=-即可解决．【详解】由题意得()222|2|244a b a ba ab b -=-=-⋅+，因为向量a 与b 的夹角为3π，(2,0)a =，1b ||=，所以222a ==，2222442421cos4143a ab b π-⋅+=-⨯⨯⨯+⨯=，所以|2|42a b -==，所以选择C 【点睛】本题主要考查了向量模的计算，在解决向量模的问题时通常先计算出平方的值，再开根号即可，属于基础题． 11．C 【解析】 【分析】根据二项式定理，古典概型，以及正态分布的概率计算，对选项进行逐一判断，即可判断. 【详解】对①：从9张卡片中不放回地随机抽取2次，共有9872⨯=种可能； 满足2张卡片上的数奇偶性不同，共有54240⨯⨯=种可能； 根据古典概型的概率计算公式可得，其概率为405729P ==，故①错误； 对②：对341()2x x +写出通项公式可得434124144122rrr r r rr x T C C xx ---+⎛⎫⎛⎫==⋅⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 令1240r -=，解得3r =，即可得常数项为31422C -⋅=，故②正确；对③：由正态分布的特点可知11(10)(1)22P P p ξξ-<<=-≥=-，故③正确.综上所述，正确的有②③. 故选：C . 【点睛】本题考查古典概型的概率计算，二项式定理求常数项，以及正态分布的概率计算，属综合性基础题. 12．A 【解析】 【分析】 当3,4,5n =时，一一讨论，由此判断出正确选项.【详解】当3n =时，空间三个点构成等边三角形时，可使两两距离相等. 当4n =时，空间四个点构成正四面体时，可使两两距离相等. 不存在n 为4以上的情况满足条件，故n 至多等于4. 故选：A. 【点睛】本小题主要考查正多边形、正多面体的几何性质，属于基础题. 二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分） 13．15. 【解析】分析：利用类比法先求出()3S n ，再求()4S n ，从而得到答案. 详解：利用类比法：4432214161411-=⨯+⨯+⨯+， 4432324262421-=⨯+⨯+⨯+， 4432434363431-=⨯+⨯+⨯+，…()443214641n n n n n +-=⨯+⨯+⨯+，将上面各式左右两边分别相加，就会有()()()()432111464n S n S n S n n +-=+++，解得()()2312n n S n ⎛⎫+= ⎪⎝⎭；继续使用类比法：554322151101101511-=⨯+⨯+⨯+⨯+，554323252102102521-=⨯+⨯+⨯+⨯+， 554324353103103531-=⨯+⨯+⨯+⨯+，…()5543215101051n n n n n n +-=⨯+⨯+⨯+⨯+，将上面各式左右两边分别相加，就会有()()()()()5432111510105n S n S n S n S n n +-=++++，解得()5434111152330S n n n n n =++-，1,05A F ∴==15A F ∴+=.故答案为：15.点睛：类比推理应用的类型及相应方法类比推理的应用一般为类比定义、类比性质和类比方法．(1)类比定义：在求解由某种熟悉的定义产生的类比推理型试题时，可以借助原定义来求解；(2)类比性质：从一个特殊式子的性质、一个特殊图形的性质入手，提出类比推理型问题，求解时要认真分析两者之间的联系与区别，深入思考两者的转化过程是求解的关键；(3)类比方法：有一些处理问题的方法具有类比性，可以把这种方法类比应用到其他问题的求解中，注意知识的迁移． 14．4 【解析】 【分析】求出两函数的交点坐标，可得知当0x k <<时，2kx x >，由此得出两函数图象所围成区域的面积为()20323kkx x dx -=⎰，可解出实数k 的值. 【详解】联立2y kx y x =⎧⎨=⎩，得00x y =⎧⎨=⎩或2x k y k=⎧⎨=⎩，当0x k <<时，由不等式的性质得2x kx <.所以，函数2yx 与函数()0y kx k =>的图象所围成的面积为()20323kkx x dx -=⎰， 即233011322363kk x x k ⎛⎫-==⎪⎝⎭，解得4k =，故答案为：4. 【点睛】本题考查利用定积分计算曲边三角形的面积，解题时要结合题意确定被积区间与被积函数，并利用定积分公式进行计算，考查运算求解能力，属于中等题.15．24 【解析】甲、乙排在一起，用捆绑法，先排甲、乙、戊，有222A 种排法，丙、丁不排在一起，用插空法，有23A 种排法，所以共有222A 23·24A =种． 考点：排列组合公式. 16．2,()63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦【解析】 【分析】根据题设条件得出()6f π是函数的最大值或最小值，从而得到6,k k Z πϕπ=+∈，结合()2f f ππ⎛⎫> ⎪⎝⎭，最后得到56π=-ϕ，再根据正弦函数的单调性得到所求函数的单调增区间. 【详解】解:若()()6f x f π≤对x ∈R 恒成立,则()6f π等于函数的最大值或最小值,即2,62k k Z ππϕπ⨯+=+∈,则6,k k Z πϕπ=+∈ ,又()2f f ππ⎛⎫>⎪⎝⎭,即 sin 0ϕ< 令 1k =-,此时56π=-ϕ ,满足条件 令522,2,622x k k k Z πππππ⎡⎤-∈-+∈⎢⎥⎣⎦, 解得2,()63x k k k Z ππππ⎡⎤∈++∈⎢⎥⎣⎦. 则()f x 的单调递增区间是2,()63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦. 故答案为:2,()63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦. 【点睛】本题考查的重点是三角函数的单调区间以及形式变换,需要重点掌握. 三、解答题（本题包括6个小题，共70分）17． (1)22142y x +=;(2)2m =±.【解析】分析：（1）由经过点P，得22211a b +=，由离心率为2得c a=2，再根据a 2=b 2+c 2联立解方程组即可；（2）联立直线方程与椭圆方程消y，得22440x m ++-=，易知判别式△＞1，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），弦长公式及点到直线的距离公式可表示出△PAB，即可解出m 值，验证是否满足△＞1．详解：（1）解：由已知222222112a b c a a b c ⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩解得24a =，22b =，∴椭圆M 的方程为22142y x +=. （2）解：由22142y m y x ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩得：22440x m ++-=由()()221640m ∆=-->得：m -<<设()12,A x y ，()22,B x y，则122x x +=-，21244m x x -=∴12AB x =-== 又P 到AB的距离为d =∴12ABCSAB d ====即428160m m -+=，解得：2m =±. 符合m -<<2m =±.点睛：本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．18．（1）曲线1C 的普通方程为2213x y +=，2C 的直角坐标方程为1y x =+；（2）22319448x y ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 【解析】试题分析：（1）利用消参和极坐标公式，化参数方程和极坐标方程为普通方程；（2）直线和椭圆相交，联立求中点即为圆心，弦长即为直径，124r PQ ===所以过P Q 、两点且面积最小的圆的标准方程为22319448x y ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．试题解析：（1）由{x y cos ϕϕ==消去参数ϕ，得2213x y +=，即曲线1C 的普通方程为2213x y+=，sin 14πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，得sin cos 1ρθρθ-=，即1y x -=，即1y x =+． 即曲线2C 的直角坐标方程为1y x =+；（2）过P Q 、两点且面积最小的圆是以线段PQ 为直径的圆，令()()1122,,,P x y Q x y ．由221{31x y y x +==+，得2230x x +=，所以12121231,222x x y y x x +=-+=++=，所以圆心坐标为31,44⎛⎫- ⎪⎝⎭，又因为半径12r PQ ===， 所以过P Q 、两点且面积最小的圆的标准方程为22319448x y ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．19．（1）0ρ=l 的极坐标方程为sin()26πρθ+=；（2）4cos ()42ππρθθ=≤≤【解析】 【分析】（1）先由题意，将0=3θπ代入4sin ρθ=即可求出0ρ；根据题意求出直线l 的直角坐标方程，再化为极坐标方程即可；（2）先由题意得到P 点轨迹的直角坐标方程，再化为极坐标方程即可，要注意变量的取值范围. 【详解】（1）因为点000(,)(0)M ρθρ>在曲线:4sin C ρθ=上，所以004sin 4sin3πρθ===即)3M π，所以tan3OM k π==因为直线l 过点(4,0)A 且与OM 垂直， 所以直线l的直角坐标方程为(4)3y x =--，即40x +-=；因此，其极坐标方程为cos sin 4ρθθ=，即l 的极坐标方程为sin()26πρθ+=；（2）设(,)P x y ，则OP y k x =， 4AP y k x =-， 由题意，OP AP ⊥，所以1OP APk k =-，故2214y x x=--，整理得2240x y x +-=，因为P 在线段OM 上，M 在C 上运动，所以02,02x y ≤≤≤≤，所以，P 点轨迹的极坐标方程为24cos 0ρρθ-=，即4cos ()42ππρθθ=≤≤.【点睛】本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，熟记公式即可，属于常考题型.20． (1) 22184x y +=(2) 24)k m =≤< 【解析】 【分析】（1）由题意列方程组22222421,,c a a ba b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩，求解方程组即可得解；（2）由直线和椭圆联立，利用弦长公式结合韦达定理求表示即可. 【详解】（1）由题意22222421,,c aa b a b c ⎧=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩解得228,4.a b ⎧=⎨=⎩故椭圆C 的方程为22184x y +=．（2）设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，由22184y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得(2k 2+1)x 2+4kmx+2m 2-8＝0，所以122421km x x k +=-+，21222821m x x k -=+．因为|AB|＝4|，所以()2221212121144k x x k x x x x +-=++-=，所以()222222216281442121k m m kk k -+-⨯=++， 整理得k 2(4-m 2)＝m 2-2，显然m 2≠4，又k ＞0，所以222204m k m-=>-． 故2222(24)4m k m m-=<<-． 【点睛】本题主要考查了直线与椭圆相交的弦长问题，属于基础题. 21．（1）5.3155；（5）6.5. 【解析】试题分析：第一问根据频率公式求得，第二问在做题的过程中，利用题的条件确定销售量为1．5吨的频率为，可以判断出销售量为1．5吨的天数服从于二项分布，利用公式求得结果，第二小问首先确定出两天的销售量以及与之对应的概率，再根据销售量与利润的关系，求得的分布列和，利用离散型随机变量的分布列以及期望公式求得结果． 试题解析：（1）由题意知：a=5．5，b=5．3．①依题意，随机选取一天，销售量为1．5吨的概率p=5．5， 设5天中该种商品有X 天的销售量为1．5吨， 则X ～B （5，5．5），．②两天的销售量可能为5,5．5,3,3．5,5．所以的可能取值为5，5，6，7，8， 则：，，，，，的分布列为：ξ 5 5 6 7 8 P5．555．55．375．35．59．考点：独立重复实验，离散型随机变量的分布列与期望． 22．（1）31629(0)2y x x a x ⎛⎫=-+<≤ ⎪⎝⎭（2）当4a ≥时，利润最大值为17万元，当4a <时，最大利润316292a a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭万元【解析】 【分析】（1）利润为单价乘以产品件数减去促销费用再减去投入成本； （2）可有对勾函数的的单调性求得最大值． 【详解】（1）3014612y m x m m m ⎛⎫⎪⎛⎫=+--+ ⎪ ⎪⎝⎭ ⎪-⎝⎭， 将24x m +=代入2123064x y x x x +⎛⎫=++--- ⎪⎝⎭1432642x x ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭324292x x=--31629(0)2x x a x ⎛⎫=-+<≤ ⎪⎝⎭（2）令16()g x x x=+，()g x 在(0,4)单减，(4,)+∞单增 min ()(4)8g x g ∴==∴当4a ≥时，利润最大值为17万元 当4a <时，最大利润316292a a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭万元【点睛】本题考查函数的应用，解题关键是确定关系式求得函数解析式，然后通过函数解析式求得最值等．。
2019-2020年高二期末考试数学(理科)
2019-2020年高二期末考试数学（理科）注意事项：1．本试卷分为必答部分与选答部分．考试时间120分钟．2．必答部分分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题），共4页，满分120分．3．请将必答部分中的第Ⅰ卷的答案填涂在答题卡上，第Ⅱ卷的解答写在答题卷上．在本试卷上答题无效．4．选答部分在四个模块中选两个模块作答．共2页，满分40分．必答部分 第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1． 复数的共轭复数是 A ． B ． C ． D ．2． 下面是一个算法的伪代码．如果输入的x 的值是20，则输出的y 的值是A ．200B ．150C ．20D ．15 3． 已知向量a = (2，-1，3)，b = (-4，2，x )，且，则实数x 的值为A ．-2B ．2C ．D ． 4． 已知m ，n ∈R ，则“”是“方程表示双曲线”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件 5． 用0，1，2，3，4五个数字，可组成无重复数字的三位偶数的个数是A ．48B ． 30C ．18D ．12 6． 已知，，若向区域内随机投一点， 则点落入区域的概率为A ．B ．C ．D ． 7． 设 则等于A ．B ．C ．D ．8． 如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，P 是侧面BB 1C 1C 内一动点，若1A A点P到直线BC的距离等于点P到直线C1D1的距离，则动点P的轨迹是A．线段B．圆的一部分C．双曲线的一部分D．抛物线的一部分第Ⅱ卷（非选择题，共80分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答卷相应位置上．9．命题“R，”的否定是▲．10．在的展开式中，项的系数是▲．（用数字作答）11．观察下列等式：1 = 12，2 +3 +4 = 32，3 +4 +5 +6 +7 = 52，4 +5 +6 +7 +8 +9 + 10 = 72，……由此归纳，可得到一般性的结论是▲．12．在如下程序框图中，输入，则输出的是▲．三、解答题：本大题共4小题，共60分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．13．（本小题满分15分，第一小问满分7分，第二小问满分4分，第三小问满分4分）从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量表示所选3人中女生的人数．（Ⅰ）求的分布列；（Ⅱ）求的数学期望；（Ⅲ）求“所选3人中女生人数”的概率．14．（本小题满分15分，第一小问满分6分，第二小问满分9分）如图，在三棱锥中，侧面底面，且，，．（Ⅰ）求证SA⊥SC；（Ⅱ）在平面几何中，推导三角形内切圆的半径公式（其中l是三角形的周长，S是三角形的面积），常用如下方法（如右图）：①以内切圆的圆心O为顶点，将三角形ABC分割成三个小三角形：△OAB，△OAC，△OBC．②设△ABC三边长分别为a，b，c．由，得，则．类比上述方法，请给出四面体内切球半径的计算公式（不要求说明类比过程），并利用该公式求出三棱锥内切球的半径．C BASOC BA15．（本小题满分15分，第一小问满分6分，第二小问满分9分）设椭圆C：的左焦点为F1（-2，0），左准线l1与x轴交于N（-3，0），过点N 作倾斜角为30°的直线l 交椭圆于两个不同的点A，B．（Ⅰ）求直线l 及椭圆C的方程；（Ⅱ）求证：点F1在以线段AB为直径的圆上．16．（本小题满分15分，第一小问满分7分，第二小问满分8分）已知函数，．（Ⅰ）若，求证：；（Ⅱ）求实数k的取值范围，使得方程有四个不同的的实数根．选答部分（共40分）从下面4组问题中任意选择2组作答，3组或4组都答的只计算前2组的得分．每小题5分．请在答题卷上答题．在本试卷上答题无效．1． 如图，在△ABC 中，D 是AC 的中点，E 是BD 的中点， AE 交BC 于F ，则的值等于 A ． B ． C ． D ．2． 等边△DEF 内接于△ABC ，且DE ∥BC ，已知AH ⊥BC 于点H ，BC = 4，AH =，则△DEF 的边长为 A ．2 B ． C ． D ．3． 如图，P 是⊙O 的直径AB 延长线上一点，PC 与⊙O 相切于点C ，∠APC 的角平分线交AC 于点Q ，则∠AQP 的大小为___▲___． 4． 如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 外一点，且AC ＝AB ，BC 交⊙O 于点D ．已知BC ＝4，AD ＝6，则四边形ABDE 的周长为___▲___．5． 矩阵A ＝的逆矩阵为 A ． B ． C ． D ．6． 圆在矩阵A =对应的变换下，得到的曲线的方程是 A ． B ． C ． D ．7． 已知矩阵M 有特征值及对应的一个特征向量e 1＝，并有特征值及对应的一个特征向量e 2＝，则矩阵M ＝ ▲ ．8． 设a ，b ∈R ，若M ＝所定义的线性变换把直线l ：2x ＋y －7＝0变换成另一直线l ′：x ＋y－3＝0，则a ＋b ＝ ▲ ．9． 参数方程（θ为参数）表示的曲线为 A ．圆的一部分 B ．椭圆的一部分 C ．双曲线的一部分 D ．抛物线的一部分10．在x 轴正向到y 轴正向的角为60°的斜坐标系中，点A ，B 的坐标分别为A ，B ，则线段AB的长度为 A ． B ． C ．6 D ． 311．若直线 x + y = m 与圆 (φ为参数，m >0)相切，则m 为 ▲ ． 12．在极坐标系中，已知曲线C 的方程是，过极点作直线l 与极轴成60°角，设直线l 交曲线C于P ，Q 两点，则线段PQ 的长等于 ▲ ．FEDC B AH F ED CB A O QPC B AEO DC B A13．利用数学归纳法证明不等式（n>1，n N*）的过程中，用n = k+1时左边的代数式减去n = k时左边的代数式的结果为A．B．C．D．14．已知，设，，，则下列不等式正确的是A．B．C．D．15．已知x，y均为正实数，且，则的最小值等于▲．16．已知(其中k > 0)且的最大值是7，则k = ▲．苏州市xx －xx 学年度第二学期高二期末考试（理科）参考答案一、选择题二、填空题9．,10．2111．2(1)(2)(32)(21)n n n n n ++++++-=-12．． 三、解答题：本大题共4小题，共60分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 13．（本小题满分15分，第一小问满分7分，第二小问满分4分，第三小问满分4分） 解：（Ⅰ）可能取的值为0，1，2．由题意：， ．所以，的分布列为：（Ⅱ）解：由（Ⅰ），的数学期望为． （Ⅲ）解：由（Ⅰ），“所选3人中女生人数”的概率为134(1)(0)(1)555P PP ξξξ==+==+=≤．14．（本小题满分15分，第一小问满分6分，第二小问满分9分） （Ⅰ）过S 作SO ⊥AB ，垂足为O ， ∵侧面底面，∴底面． ∵SA = SB ，∴O 为AB 中点． 以O 为坐标原点，OA 为x 轴，OS 为z 轴，建立空间直角坐标系如图所示． ∵，，， ∴，，∴A ，C ，S ． ∴，． 则．∴SA ⊥SC ．（Ⅱ）三棱锥内切球的半径公式为（其中V 为三棱锥的体积，S 为三棱锥的表面积）． 在Rt △SAB 中，SA = SB = 2，∴． 在Rt △ABC 中，AB = 2，AC =，∴BC = 2．∴．在Rt △SAC 中，SA = 2，AC =，∴SC =．∴． ，，，C∴，则BC ⊥SB ．在Rt △SBC 中，SB = 2，BC = 2．∴．又． ∴．15．（本小题满分15分，第一小问满分6分，第二小问满分9分）（Ⅰ）由题意，22222,3,,c ac a b c =⎧⎪⎪=⎨⎪⎪=+⎩∴则椭圆C 的方程为．直线l 的方程为．（Ⅱ）椭圆C 的方程即为， 由得． 设A ，B ， 则 ∵，， ∴=． ∵，， ∴= ==．∴．∴点F 1在以线段AB 为直径的圆上．16．（本小题满分15分，第一小问满分7分，第二小问满分8分） （Ⅰ）令=， ． 当时，> 0 恒成立，∴在（1，+∞）上是增函数． ∵在x = 1 处连续，∴>． ∵= 0，∴当x ∈（1，+∞）时，> 0 恒成立． ∴． （Ⅱ）原方程化为, 令，则． ∵，∴是偶函数． 当x ≥0时，（x ≥0）， 则． ∵x ≥0，∴令，得． 当x ∈[0，1)，，G (x )单调递减； 当x ∈(1，+∞)，，G (x )单调递增． ∴x ≥0时，在x = 1处G (x )取得极小值为G (1) =． 又G (0) = 0，∴当k ∈(,0)时函数（x ≥0）与y = k 有两个不同的交点． ∵是偶函数， ∴=k 在k ∈(,0)时有四个不同的实数根． 选答部分从下面4组问题中任意选择2组作答，3组或4组都答的只计算前2组的得分．每小题5分．2．C3．135°4．6．C．7．8．9．D10．C11．2 12．13．C14．D．15．3 16．9。
2019-2020学年安徽省池州市高二下学期期末数学试卷(理科) (解析版)
2019-2020学年安徽省池州市高二第二学期期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．已知i为虚数单位，且复数z满足i•z＝1﹣3i，则z的共轭复数是（）A．﹣3+i B．﹣3﹣i C．3+i D．3﹣i2．某超市统计了最近5年的商品销售额与利润率数据，经计算相关系数r＝0.862，则下列判断正确的是（）A．商品销售额与利润率正相关，且具有较弱的相关关系B．商品销售额与利润率正相关，且具有较强的相关关系C．商品销售额与利润率负相关，且具有较弱的相关关系D．商品销售额与利润率负相关，且具有较强的相关关系3．2020年5月28日，《中华人民共和国民法典》（以下简称《民法典》）获十三届全国人大三次会议高票通过，其被誉为“社会生活的百科全书”，具有重要意义．某网站就“是否关注《民法典》”向网民展开问卷调查，回收100份有效问卷，得到如下2×2列联表，经计算K2≈3.030，则下列结论正确的是（）关注《民法典》不关注《民法典》男4510女3015附：P（K2≥k）0.100.0500.0100.001 k 2.706 3.841 6.63510.828 A．有90%的把握认为网民关注《民法典》与性别无关B．有90%的把握认为网民关注《民法典》与性别有关C．在犯错误不超过1%的前提下，认为网民关注《民法典》与性别无关D．在犯错误超过1%的前提下，认为网民关注《民法典》与性别无关4．（+2x）8的展开式中二项式系数最大的项是（）A．35x2B．20x2C．70x4D．35x45．安徽马鞍山市山水秀美，历史文化灿烂，素有“一半山水，一半诗歌”的美誉，被称为山水诗都．某同学暑假对马鞍山市的“褒禅山”、“镇淮楼古街“、“采石矶景区”、“大青山李白文化旅游区”的四个景区进行游玩，若不能先去“镇淮楼古街”，也不能最后去“褒禅山”和“采石矶景区”游玩，则该同学不同的游玩线路总数为（）A．10B．16C．24D．326．一副扑克牌去掉大小王还有52张，充分洗牌后随机不放回的依次摸出2张牌，在第1次摸出黑桃的条件下，第2次也摸出黑桃的概率是（）A．B．C．D．7．凸多边形中，四边形有2条对角线，五边形有5条对角线，则凸十二边形的对角线条数为（）A．44B．54C．65D．778．同宿舍六位同学在食堂排队取餐，其中A，B，C三人两两不相邻，A和D是双胞胎，必须相邻，则符合排队要求的方法数为（）A．288B．144C．96D．729．已知函数f（x）＝e x，其中e为自然对数的底数，其导函数为f'（x），设＝m，则下列判断正确的是（）A．曲线在x＝0处的切线方程为y＝x+1，且m＜f'（2）＜f'（e）B．曲线在x＝0处的切线方程为y＝x+1，且f'（2）＜m＜f'（e）C．曲线在x＝0处的切线方程为y＝x﹣1，且f'（e）＜f'（2）＜mD．曲线在x＝0处的切线方程为y＝x﹣1，且f'（2）＜f'（e）＜m10．一条线段的中点叫做线段的重心；在三角形中，各边中线的交点叫做三角形的重心．由此类比给出四面体的重心；在四面体中连接四面体各顶点与对面三角形重心的线段的交点叫做四面体的重心．则在四面体中，四面体的重心到顶点的距离与到对面三角形重心的距离之比为（）A．1：1B．2：1C．3：1D．4：111．2020年6月5日，世界环境日，今年的主题是“关爱自然，刻不容缓”，某地区环保部门100名党员参加“关爱自然，刻不容缓”的主题学习活动，他们的年龄在30岁至80岁之间，将年龄按[30，40）、[40，50）、[50，60）、[60，70）、[70，80]分组，得到的频率分布直方图如图所示．现从年龄在[50，60）、[60，70）的人员中按分层抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机抽取4人进行座谈，用X表示参与座谈的居民的年龄在[50，60）的人数，则P（X＝3）＝（）A．B．C．D．12．已知不等式ax2e3x﹣2lnx﹣3x≥1对任意x＞0恒成立，则实数a的取值范围是（）A．[1，+∞）B．[e，+∞）C．（0，1]D．（0，e]二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．a∈R，且0＜a＜1，复数z＝+i在复平面上对应的点P（x，y），复平面上的动点P的集合所对应区域的面积为．14．某次数学竞赛，全体参赛学生的成绩ξ服从正态分布N（60，σ2）（σ＞0），若P（ξ＞80）＝0.2，则P（60≤ξ≤80）＝．15．设m＝dx，其中e为自然对数的底数，若（m﹣2x）5＝a0+a1x+a2x2+…+a5x5，则a4＝．16．已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）的导函数为f'（x），若对于任意x＞0都有f'（x）＜f（x），且f（4）＝4，则不等式f（x）﹣x3＜0的解集为．三、解答题：本题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．某县教研室联合本县A，B两所招生生源大体相当的学校举行一次高一数学联考，满分150分，规定120分及其以上为优秀，教研室为了研究数学成绩与学校是否有关，用简单随机抽样的方法调查了100名联考学生的成绩，得到下面2×2列联表：优秀非优秀合计A学校481260B学校162440合计6436100（1）估计A校学生数学成绩为优秀的概率；（2）能否有99.9%的把握认为这次考试数学成绩优秀与学校有关？附：K2＝．P（K2≥k）0.0500.0250.0100.001 k 3.841 5.024 6.63510.828 18．已知函数f（x）＝x3﹣x2﹣ax+5，其中a为常数．（1）当a＝5时，求函数f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围．19．某湿地公园占地约44万m2，风景优美，吸引了大批市民前来游玩、健身．当地政府为了开展全民健身活动，组织了跑步队，并给每位队员发放统一服装，吸引了越来越多的市民加入跑步队．组织者统计了跑步队成立一个月内每一天队员的人数，用x表示跑步队成立的天数，y表示当天跑步队的人数，给出部分数据如表所示：第x（天）1491625y（人）4080120140160经研究发现，可以用y＝c+d作为y关于x的回归方程类型．（1）根据表中的数据，建立y关于x的回归方程；（2）请预测第36天跑步队的人数．参考数据：t i y i x i y i x t 108111920768097955其中＝x i，＝y i，t i＝，＝t i．参考公式：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），…，（u n，v n），其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，．20．某企业生产的某种产品尺寸在[72.8，97.2）（单位：厘米）内的产品为正品，其余的均为次品，每生产件该产品，若是正品，则获利200元，若是次品，则亏本80元．现随机抽取这种产品100件，测量其尺寸（单位：厘米），得到如下频数分布表：分[67.5，[72.5，[77.5，[82.5，[87.5，[92.5，[97.5，组72.5）77.5）82.5）87.5）92.5）97.5）102.5）频2922332482数（1）已算出这100件产品的尺寸的平均数为＝85，求这100件产品的尺寸的方差s2；（2）若该产品的尺寸服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2．①试估计每生产一件该产品，该产品是正品的概率；②设该企业每生产一件该产品的利润为X，求X的分布列．参考数据：≈6.1，若随机变量Z～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜Z≤μ+σ）＝0.6827，P（μ﹣2σ＜Z≤μ+2σ）＝0.9545，P（μ﹣3σ＜Z≤μ+3σ）＝0.9973．21．已知函数f（x）＝xlnx+（1﹣m）x+m，其中m∈Z．（1）当m＝1时，求函数f（x）的极小值；（2）若对任意x＞1，f（x）＞0恒成立，求m的最大值．22．某种体育比赛采用“五局三胜制”，具体规则为比赛最多进行五场，当参赛的两方有一方先赢得三场比赛，就由该方获胜而比赛结束，每场比赛都需分出胜负．现A，B双方参加比赛，A方在每一场获胜的概率为p（0＜p＜1），假设每场比赛的结果相互独立．（1）当p ＝时，求A方恰在比赛四场后赢得比赛的概率；（2）若B方在每一场获胜的概率为q，设比赛场数为ξ．（i）试求ξ的分布列及数学期望E（ξ）；（用p，q表示）（i）求E（ξ）的最大值，并给出能够减少比赛场数的建议．参考答案一、选择题（共12小题）.1．已知i为虚数单位，且复数z满足i•z＝1﹣3i，则z的共轭复数是（）A．﹣3+i B．﹣3﹣i C．3+i D．3﹣i解：由i•z＝1﹣3i，所以z＝＝﹣（1﹣3i）i＝﹣3﹣i，则z的共轭复数是＝﹣3+i．故选：A．2．某超市统计了最近5年的商品销售额与利润率数据，经计算相关系数r＝0.862，则下列判断正确的是（）A．商品销售额与利润率正相关，且具有较弱的相关关系B．商品销售额与利润率正相关，且具有较强的相关关系C．商品销售额与利润率负相关，且具有较弱的相关关系D．商品销售额与利润率负相关，且具有较强的相关关系解：根据相关系数r＝0.862＞0，判断该商品销售额与利润率正相关，又r＝0.862＞0.75，所以其具有较强的相关关系．故选：B．3．2020年5月28日，《中华人民共和国民法典》（以下简称《民法典》）获十三届全国人大三次会议高票通过，其被誉为“社会生活的百科全书”，具有重要意义．某网站就“是否关注《民法典》”向网民展开问卷调查，回收100份有效问卷，得到如下2×2列联表，经计算K2≈3.030，则下列结论正确的是（）关注《民法典》不关注《民法典》男4510女3015附：P（K2≥k）0.100.0500.0100.001k 2.706 3.841 6.63510.828 A．有90%的把握认为网民关注《民法典》与性别无关B．有90%的把握认为网民关注《民法典》与性别有关C．在犯错误不超过1%的前提下，认为网民关注《民法典》与性别无关D．在犯错误超过1%的前提下，认为网民关注《民法典》与性别无关解：由题意知，K2≈3.030＞2.706，所以有90%的把握认为网民关注《民法典》与性别有关．故选：B．4．（+2x）8的展开式中二项式系数最大的项是（）A．35x2B．20x2C．70x4D．35x4解：由已知得：．∵展开式中的中间项，即第5项的二项式系数最大，故所求项为：．故选：C．5．安徽马鞍山市山水秀美，历史文化灿烂，素有“一半山水，一半诗歌”的美誉，被称为山水诗都．某同学暑假对马鞍山市的“褒禅山”、“镇淮楼古街“、“采石矶景区”、“大青山李白文化旅游区”的四个景区进行游玩，若不能先去“镇淮楼古街”，也不能最后去“褒禅山”和“采石矶景区”游玩，则该同学不同的游玩线路总数为（）A．10B．16C．24D．32解：根据题意，分2种情况讨论：①最后游玩“镇淮楼古街”，剩下3个个景区全排列，安排在前三次旅游，有A33＝6种游玩线路，②不在最后游玩“镇淮楼古街”，则“镇淮楼古街”有C21种情况，“大青山李白文化旅游区”只能安排在最后，将剩下的2个安排在其余的2个位置，有A22种情况，则此时有C21A22＝4种游玩线路，则有6+4＝10种不同的游玩线路；故选：A．6．一副扑克牌去掉大小王还有52张，充分洗牌后随机不放回的依次摸出2张牌，在第1次摸出黑桃的条件下，第2次也摸出黑桃的概率是（）A．B．C．D．解：在不放回地抽取且第一次抽到黑桃的情况下，还剩下51张扑克牌，其中黑桃还剩下12张，∴在第1次摸出黑桃的条件下，第2次也摸出黑桃的概率是：P＝．故选：C．7．凸多边形中，四边形有2条对角线，五边形有5条对角线，则凸十二边形的对角线条数为（）A．44B．54C．65D．77解：根据题意，凸多边形中，四边形有2条对角线，即＝2，五边形有5条对角线，即＝5，类推可得：六边形有9条对角线，即＝9，……则n边形的对角线的数目为，则凸十二边形的对角线有＝54条；故选：B．8．同宿舍六位同学在食堂排队取餐，其中A，B，C三人两两不相邻，A和D是双胞胎，必须相邻，则符合排队要求的方法数为（）A．288B．144C．96D．72解：根据题意，分3步进行分析：①将除A、B、C之外的三人全排列，有A33＝6种情况，②由于AD必须相邻，则A必须安排在D相邻的两个空位中，有2种情况，③将B、C安排在剩下的3个空位中，有A32＝6种情况，则有6×2×6＝72种不同的安排方法；故选：D．9．已知函数f（x）＝e x，其中e为自然对数的底数，其导函数为f'（x），设＝m，则下列判断正确的是（）A．曲线在x＝0处的切线方程为y＝x+1，且m＜f'（2）＜f'（e）B．曲线在x＝0处的切线方程为y＝x+1，且f'（2）＜m＜f'（e）C．曲线在x＝0处的切线方程为y＝x﹣1，且f'（e）＜f'（2）＜mD．曲线在x＝0处的切线方程为y＝x﹣1，且f'（2）＜f'（e）＜m解：∵指数函数f（x）＝e x的增长速度是爆炸式增长，∴曲线切线的斜率越来越大，＝m表示两点（2，f（2）），（e，f（e））连线所在直线的斜率，易知其在点（2，f（2））处的切线斜率与点（e，f（e））处的切线斜率之间，∴曲线在x＝0处的切线斜率k＝f'（0）＝1，∴切线方程为y＝x+1，且f'（2）＜m＜f'（e）．故选：B．10．一条线段的中点叫做线段的重心；在三角形中，各边中线的交点叫做三角形的重心．由此类比给出四面体的重心；在四面体中连接四面体各顶点与对面三角形重心的线段的交点叫做四面体的重心．则在四面体中，四面体的重心到顶点的距离与到对面三角形重心的距离之比为（）A．1：1B．2：1C．3：1D．4：1解：线段的重心分线段的比为1：1，三角形的重心到顶点的距离与到对边的距离之比为2：1，所以可类比得到四面体的重心到顶点的距离与到对面三角形重心的距离之比为3：1．故选：C．11．2020年6月5日，世界环境日，今年的主题是“关爱自然，刻不容缓”，某地区环保部门100名党员参加“关爱自然，刻不容缓”的主题学习活动，他们的年龄在30岁至80岁之间，将年龄按[30，40）、[40，50）、[50，60）、[60，70）、[70，80]分组，得到的频率分布直方图如图所示．现从年龄在[50，60）、[60，70）的人员中按分层抽样的方法抽取10人，再从这10人中随机抽取4人进行座谈，用X表示参与座谈的居民的年龄在[50，60）的人数，则P（X＝3）＝（）A．B．C．D．解：由频率分布直方图得：（0.005+0.010+a+0.030+0.035）×10＝1，解得a＝0.020，年龄在[50，60）的人数为0.030×10×100＝30，年龄在[60，70）的人数为0.02×10×100＝20，根据分层抽样可知年龄在[50，60）中抽取10×＝6人，年龄在[60，70）中抽取10×＝4人．再从这10人中随机抽取4人进行座谈，基本事件总数n＝＝210，用X表示参与座谈的居民的年龄在[50，60）的人数，则X＝3包含的基本事件个数m＝＝80，∴P（X＝3）＝＝．故选：D．12．已知不等式ax2e3x﹣2lnx﹣3x≥1对任意x＞0恒成立，则实数a的取值范围是（）A．[1，+∞）B．[e，+∞）C．（0，1]D．（0，e]解：由ax2e3x﹣2lnx﹣3x≥1，可得a≥＝，令t＝2lnx+3x，则t∈R，于是原不等式等价转化为a≥恒成立，设f（t）＝，可得f′（t）＝﹣，所以当t＜0时，f′（t）＞0，f（t）递增；当t＞0时，f′（t）＜0，f（t）递减，所以f（t）max＝f（0）＝1，所以a≥1，即a的取值范围为[1，+∞）．故选：A．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．a∈R，且0＜a＜1，复数z＝+i在复平面上对应的点P（x，y），复平面上的动点P的集合所对应区域的面积为．解：复数z＝+i在复平面上对应的点P（x，y），∴x＝，y＝，∴x2+y2＝1，（x＞0，y＞0）．复平面上的动点P的集合所对应区域的面积＝×π×12＝．14．某次数学竞赛，全体参赛学生的成绩ξ服从正态分布N（60，σ2）（σ＞0），若P（ξ＞80）＝0.2，则P（60≤ξ≤80）＝0.3．解：由ξ服从正态分布N（60，σ2）（σ＞0），得正态分布曲线的对称轴为x＝μ＝60，又P（ξ＞80）＝0.2，∴P（60≤ξ≤80）＝．故答案为：0.3．15．设m＝dx，其中e为自然对数的底数，若（m﹣2x）5＝a0+a1x+a2x2+…+a5x5，则a4＝80．解：因为m＝dx＝＝1，所以（m﹣2x）5＝（1﹣2x）5＝a0+a1x+a2x2+…+a5x5，由二项式定理知，a4＝＝80．故答案为：80．16．已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）的导函数为f'（x），若对于任意x＞0都有f'（x）＜f（x），且f（4）＝4，则不等式f（x）﹣x3＜0的解集为（4，+∞）．解：f'（x）＜f（x）即为xf′（x）﹣3f（x）＜0，设g（x）＝，则g′（x）＝＜0，故g（x）在（0，+∞）递减，又∵f（4）＝4，∴g（4）＝＝，不等式f（x）﹣x3＜0可化为＜，即g（x）＜g（4），故x＞4，故不等式的解集是（4，+∞）．故答案为：（4，+∞）．三、解答题：本题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．某县教研室联合本县A，B两所招生生源大体相当的学校举行一次高一数学联考，满分150分，规定120分及其以上为优秀，教研室为了研究数学成绩与学校是否有关，用简单随机抽样的方法调查了100名联考学生的成绩，得到下面2×2列联表：优秀非优秀合计A学校481260B学校162440合计6436100（1）估计A校学生数学成绩为优秀的概率；（2）能否有99.9%的把握认为这次考试数学成绩优秀与学校有关？附：K2＝．P（K2≥k）0.0500.0250.0100.001 k 3.841 5.024 6.63510.828解：（1）由抽取数据，A校数学成绩优秀学生的人数为48，所以估计A校学生数学成绩为优秀的概率估计值为：＝，（2）由公式＝≈16.667．由于16.667＞10.828故有99.9%的把握认为这次考试数学成绩优秀与学校有关，18．已知函数f（x）＝x3﹣x2﹣ax+5，其中a为常数．（1）当a＝5时，求函数f（x）的单调区间；（2）若函数f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围．解：（1）a＝5时，f（x）＝x3﹣x2﹣5x+5，f′（x）＝3x2﹣2x﹣5＝（3x﹣5）（x+1），令f′（x）＞0，解得：x＜﹣1或x＞，令f′（x）＜0，解得：﹣1＜x＜，故f（x）在（﹣∞，﹣1）递增，在（﹣1，）递减，在（，+∞）递增；（2）∵f（x）＝x3﹣x2﹣ax+5，∴f′（x）＝3x2﹣2x﹣a，∵函数f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增，∴3x2﹣2x﹣a≥0在R恒成立，∴△＝4+12a≤0，解得：a≤﹣，故实数a的范围是（﹣∞，﹣]．19．某湿地公园占地约44万m2，风景优美，吸引了大批市民前来游玩、健身．当地政府为了开展全民健身活动，组织了跑步队，并给每位队员发放统一服装，吸引了越来越多的市民加入跑步队．组织者统计了跑步队成立一个月内每一天队员的人数，用x表示跑步队成立的天数，y表示当天跑步队的人数，给出部分数据如表所示：第x（天）1491625y（人）4080120140160经研究发现，可以用y＝c+d作为y关于x的回归方程类型．（1）根据表中的数据，建立y关于x的回归方程；（2）请预测第36天跑步队的人数．参考数据：t i y i x i y i x t 108111920768097955其中＝x i，＝y i，t i＝，＝t i．参考公式：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），…，（u n，v n），其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，．解：（1）根据题意知，y＝c+d，令t ＝，所以y＝c+dt；计算＝×（1+2+3+4+5）＝3，＝108，且t i y i＝1920，＝55，所以＝＝＝30，＝﹣＝108﹣30×3＝18，所以＝18+30t，则y关于x 的回归方程为＝18+30；（2）若x＝36，则＝18+30×＝198，所以预测第36天跑步队的人数为198人．20．某企业生产的某种产品尺寸在[72.8，97.2）（单位：厘米）内的产品为正品，其余的均为次品，每生产件该产品，若是正品，则获利200元，若是次品，则亏本80元．现随机抽取这种产品100件，测量其尺寸（单位：厘米），得到如下频数分布表：分组[67.5，72.5）[72.5，77.5）[77.5，82.5）[82.5，87.5）[87.5，92.5）[92.5，97.5）[97.5，102.5）频数2922332482（1）已算出这100件产品的尺寸的平均数为＝85，求这100件产品的尺寸的方差s2；（2）若该产品的尺寸服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数，σ2近似为样本方差s2．①试估计每生产一件该产品，该产品是正品的概率；②设该企业每生产一件该产品的利润为X，求X的分布列．参考数据：≈6.1，若随机变量Z～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜Z≤μ+σ）＝0.6827，P（μ﹣2σ＜Z≤μ+2σ）＝0.9545，P（μ﹣3σ＜Z≤μ+3σ）＝0.9973．解：（1）这100件产品的尺寸方差：s2＝225×0.02+100×0.09+25×0.22+0×0.33+25×0.24+100×0.08+225×0.02＝37.5；（2）①∵该产品的尺寸服从正态分布N（μ，σ2），μ＝，σ＝≈6.1，∴μ﹣2σ＝85﹣2×6.1＝72.8，μ+2σ＝85+2×6.1＝97.2，由正态分布可知，每生产一件该产品，尺寸在[72.8，97.2）内的概率为P≈0.9545，即每生产一件该产品，该产品是正品的概率为0.9545．②设该企业每生产一件该产品的利润为X，则X＝200，﹣80．又知P（X＝100）＝0.9545，P（X＝﹣80）＝0.0455．故X的分布列为：X200﹣80P0.95450.045521．已知函数f（x）＝xlnx+（1﹣m）x+m，其中m∈Z．（1）当m＝1时，求函数f（x）的极小值；（2）若对任意x＞1，f（x）＞0恒成立，求m的最大值．解：（1）函数的定义域为（0，+∞），当m＝1时，f（x）＝xlnx+1，f′（x）＝lnx+1．∴当0＜x＜时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x＞时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．故f（x）在x＝时取得极小值，极小值为f（）＝1﹣；（2）由f（x）＝xlnx+（1﹣m）x+m（x＞1），得f′（x）＝lnx+1+（1﹣m）＝lnx+2﹣m．当m≤2时，可知f′（x）＞0在（1，+∞）上恒成立，故f（x）在区间（1，+∞）上单调递增．故f（x）＞f（1）＝1＞0，符合题意；当m＞2时，令f′（x）＝0，得x＝e m﹣2．∴当x∈（1，e m﹣2）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈（e m﹣2，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．∴f（x）的最小值为m﹣e m﹣2＞0．设g（m）＝m﹣e m﹣2（m＞2），则g′（m）＝1﹣e m﹣2＜0．故g（m）在（2，+∞）上单调递减，而g（3）＝3﹣e＞0，g（4）＝4﹣e2＜0．∴不等式m﹣e m﹣2＞0的解集为{m|2＜m＜m0}，其中m0∈（3，4）．∴m的最大值为3．22．某种体育比赛采用“五局三胜制”，具体规则为比赛最多进行五场，当参赛的两方有一方先赢得三场比赛，就由该方获胜而比赛结束，每场比赛都需分出胜负．现A，B双方参加比赛，A方在每一场获胜的概率为p（0＜p＜1），假设每场比赛的结果相互独立．（1）当p＝时，求A方恰在比赛四场后赢得比赛的概率；（2）若B方在每一场获胜的概率为q，设比赛场数为ξ．（i）试求ξ的分布列及数学期望E（ξ）；（用p，q表示）（i）求E（ξ）的最大值，并给出能够减少比赛场数的建议．解：（1）A方恰在比赛四场后赢得比赛，则A方在前三场中有两场获胜，且第四场获胜，∴A方恰在比赛四场后赢得比赛的概率为：P＝＝．（2）（i）由题意知p+q＝1，ξ的取值为3，4，5，P（ξ＝3）＝p3+q3．P（ξ＝4）＝＝3p3q+3pq3，P（ξ＝5）＝＝3p3q+3pq3，∴ξ的概率分布列为：ξ345P p3+q33p3q+3pq36p3q2+6p2q3ξ的数学期望为：E（ξ）＝3（p3+q3）+4（3p3q+3pq3）+5（6p3q2+6p2q3）＝6p2q2+3pq+3．（ii）E（ξ）＝6p2q2+3pq+3＝6（pq+）2+，∵p+q＝1，0＜P＜1，∴0＜pq≤，∴E（ξ）在pq＝，p＝q＝时，取得最大值，最大值为：6（）2+＝，由数学期望的表达式可知当pq∈（0，]时，E（ξ）单调递增，∴pq接近0时，即当p，q相差较大时，也就是p→0，q→1，或者p→1，q→0时，比赛场数的数学期望相对较小，故建议A，B双方扩大与对方每一场获胜的概率，可减少比赛场数．。
安徽省池州市2019-2020学年数学高二下期末综合测试试题含解析
安徽省池州市2019-2020学年数学高二下期末综合测试试题一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合{}2|,{0,1,2}A x ax x B ===，若A B ⊆，则实数a 的值为（ ）A ．1或2B ．0或1C ．0或2D ．0或1或2【答案】D 【解析】 【分析】就0a =和0a ≠分类讨论即可. 【详解】因为当0a =时，{}2|0{0}A x x===，满足A B ⊆；当0a ≠时，{0,}A a =，若A B ⊆，所以1a =或2.综上，a 的值为0或1或2.故选D. 【点睛】本题考查集合的包含关系，属于基础题，解题时注意利用集合中元素的性质（如互异性、确定性、无序性）合理分类讨论.2．运行如图所示的程序框图，输出的S 值为（ ）A ．0B ．12C ．-1D ．32-【答案】B 【解析】由题设中提供的算法流程图可知22017coscoscos 333S πππ=++⋅⋅⋅+，由于()cos 3f x x π=的周期是263T ππ==，而201763361=⨯+，所以220171coscoscos cos 33332S ππππ=++⋅⋅⋅+==，应选答案B ．3．已知随机变量~,B n p （）ξ,且12, 2.4E D ξξ==,则n 与p 的值分别为A ．16与0.8B ．20与0.4C ．12与0.6D ．15与0.8【答案】D 【解析】 因为随机变量(),B n p ξ，且12, 2.4,12E D np ξξ==∴=，且()1 2.4np p -=，解得15,0.8n p ==，故选D.4．甲、乙两人进行象棋比赛，已知甲胜乙的概率为0.5，乙胜甲的概率为0.3，甲乙两人平局的概率为0.1．若甲乙两人比赛两局，且两局比赛的结果互不影响，则乙至少赢甲一局的概率为（ ） A ．0. 36 B ．0. 49C ．0. 51D ．0. 75【答案】C 【解析】 【分析】乙至少赢甲一局的对立事件为甲两局不输，由此能求出乙至少赢甲一局的概率． 【详解】乙至少赢甲—局的概率为10.70.70.51P =-⨯=. 故选C 【点睛】本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 5．平面上有n 个圆，其中每两个都相交于两点，每三个都无公共点，它们将平面分成()f n 块区域，有(1)2f =，(2)4f =，(3)8f =，则() f n =（ ）．A ．2nB ．22n n -+C ．2(1)(2)(3)n n n n ----D ．325104n n n -+-【答案】B 【解析】 【分析】分析可得平面内有n 个圆时, 它们将平面分成()f n 块,再添加第1n +个圆时,因为每两个都相交于两点,每三个都无公共点,故会增加2n 个圆.再求和即可. 【详解】由题, 添加第1n +个圆时,因为每两个都相交于两点,每三个都无公共点,故会增加2n 个圆. 又(1)2f =,故()()12f n f n n +-=.即()()()()()()212,32 4...122f f f f f n f n n -=-=--=-.累加可得()()()21222224 (2222)2n n n n f n n -+-=++++-=-++=.故选：B 【点睛】本题主要考查了根据数列的递推关系求解通项公式的方法,需要画图分析进行理解.或直接计算(4),(5) f f 等利用排除法判断.属于中档题.6．设02πα<<，若11sin ,(sin )(1,2,3,)n x n x x n αα+===，则数列{}n x 是（ ）A ．递增数列B ．递减数列C ．奇数项递增，偶数项递减的数列D ．偶数项递增，奇数项递减的数列【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，由三角函数的性质分析可得0sin 1a <<，进而可得函数(sin )xy a =为减函数，结合函数与数列的关系分析可得答案。
安徽省名校2019-2020学年高二下学期期末联考数学(理)试题 Word版含答案
2019-2020学年安徽名校第二学期期末联考高二理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．复数z 满足210z +=，则3z 等于（ ）A ．1B ．1±C ．iD ．i ±2．已知集合{}2,A x x x =<∈Z ，{}220B x x x =--<，则A B ⋂=（ ）A ．{}0,1B ．()0,1C ．{}1,0,1-D ．()1,2-3．世界著名的数学杂志（美国数学月刊于1989年管刊登过一个红极-时的棋盘问题题中的正六边形棋盘，用三种全等（仅朝向和颜色不同）的菱形图案全部填满（如下图），若在棋盘内随机取点，则此点取自黑色区域的概率为（ ）A ．16B ．14C ．13D ．5164．设a ，b 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．则//αβ的一个充分条件是（ ） A ．存在一条直线a ，//a α，//a β B ．存在一条直线a ，a α⊂，//a βC ．存在两条平行直线a ，b ，a α⊂，b β⊂，//a β，//b αD ．存在两条异面直线a ，b ，a α⊂，b β⊂，//a β，//b α5．已知双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的两条渐近线互相垂直，则离心率e =（ ）A BC ．2D 6．20世纪产生了著名的“31x +”猜想：任给一个正整数x ，如果x 是偶数，就将它减半；如果x 是奇数，则将它乘3加1，不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1．如图是验证“31x +”猜想的一个程序框图，若输入正整数m 的值为20，则输出的n 的值是（ ）A ．8B ．9C ．10D ．117．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，523S =，360n S =，5183n S -=，则n =（ ）A ．16B ．17C ．18D ．198．已知2log a =，122b =，3c =，则（ ）A ．a c b >>B ．a b c >>C ．c a b >>D ．c b a >>9．函数sin y x x =-在[]2,2ππ-上的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．10．已知A ，B ，C 是球心为O 的球面上三点，060A B ∠=︒，120AOC ∠=︒，若三棱锥O ABC -体积的最大值为1，则球O 的表面积为（ ）A ．12πB ．16πC ．24πD ．36π11．若函数()()sin xf x ex a =+在区间,22ππ⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）A ．)+∞B ．()+∞C ．()1,+∞D ．[)1,+∞12．已知ABC △中，9AB =．点O 为其外接圆的圆心且12AO CB ⋅=．则当B ∠取最大值时，ABC △的面积为（ ）A ．BC ．D ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13．若角α的终边经过点(),6P m -，且4cos 5α=，则tan α=________． 14．()()6122x x --的展开式中5x 的系数为________．15．直线l 经过抛物线C ：212y x =的焦点F ，且与抛物线C 交于A ，B 两点，弦AB 的长为16，则直线l 的倾斜角等于________． 16．若函数()3213x x f x =-在区间(),4a a +内存在最大值，则实数a 的取值范围是________． 三．解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）已知ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且()sin sin sin b B c b C a A +-=． （1）求A 的大小；（2）若ABC △的面积等于5b =，求sin sin B C 的值． 18．（12分）设数列{}n a 的前n 项和为()n S n *∈N ．且满足21n n a S n +=+． （1）证明{}2n a -是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式； （2）若()2n n b n a =-，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 19．（12分）等边三角形ABC 的边长为3，点D 、E 分别是边AB 、AC 上的点，且满足1AD CE ==（如图1）．将ADE △沿DE 折起到1A DE △的位置，使二面角1A DE B --成直二面角，连结1A B 、1A C （如图2）． （1）求证：1A D ⊥平面BCED ；（2）在线段BC 上是否存在点P ，使直线1PA 与平面1A BD 所成的角为60︒？若存在，求出PB 的长，若不存在，请说明理由．20．（12分）已知椭圆C：(22213x y a a +=>的右焦点为F ，右顶点为A ，设离心率为e ，且满足113eOF OA AF+=，其中O 为坐标原点 （1）求椭圆C 的方程：（2）过点()0,1的直线l 与椭圆C 交于M ，N 两点，求OMN △面积的最大值． 21．（12分）某省从2021年开始将全面推行新高考制度新高考“312++”中的“2”要求考生从政治、化学、生物、地理四门中选两科，按照等级赋分计入高考成绩，等级赋分规则如下：从2021年夏季高考开始，高考政治、化学、生物、地理四门等级考试科目的考生原始成绩从高到低划分为A ，B ，C ，D ，E 五个等级，确定各等级人数所占比例分别为15%，35%，35%，13%，2%，等级考试科目成绩计入考生总成绩时，将A 至E 等级内的考生原始成绩依照等比例转换法分别转换到[]86,100、[]71,85、[]56,70、[]41,55、[]30,40五个分数区间，得到考生的等级分，等级转换分满分为100分具体转换分数区间如下表：而等比例转换法是通过公式计算：2211Y Y T TY Y T T --=--．其中1Y 、2Y 分别表示原始分区间的最低分和最高分，1T 、2T 分别表示等级分区间的最低分和最高分，Y 表示原始分，T 表示转换分，当原始分为1Y 、2Y 时，等级分分别为1T 、2T ，假设李明的生物考试成绩信息如下表：设李明转换后的等级成绩为T ，根据公式得：847585756971TT --=--，所以76.677T =≈（四舍五人取整），李明最终生物成绩为77分．已知某年级学生有100人选了生物，以学期考试成绩为原始成绩转换本年级的生物等级成绩，其中生物成绩获得A 等级的学生原始成绩统计如下表：（1）从生物成绩获得A 等级的学生中任取2名，求恰好有1名同学的等级成绩不小于96分的概率； （2）从生物成绩获得A 等级的学生中任取5名，设5名学生中等级成绩不小于96分人数为ξ．求ξ的分布列和期望．22．（12分）已知函数()()2xf x e axa =-∈R 在()0,+∞上有2个零点1x ，()212x x x <．（1）求实数a 的取值范围； （2）证明：124x x +>．2020年高二期末联考理数参考答案1．【解析】z i =±，所以()33z i i =±=±．2．【解析】集合{}1,0,1A =-，()1,2B =-，所以{}0,1A B ⋂=． 3．【解析】一共48个菱形，黑白灰各16个． 4．【解析】选项ABC 都是必要非充分条件．5．【解析】由题设1b ba a-⨯=-，所以a b =，e = 6．【解析】按程序框图，m 的值依次为20，10，5，16，8，4．2，1，输出n 的值是9． 7．【解析】()()()()1545523360183200n n n n a a a a S S S --+++=+-=+-=，所以140n a a +=，1220360nn S n n a a +=⨯==，因此18n =． 8．【解析】化简得5log 3a =，5log 2b =，7log 3c =，且52log 41b =<，72log 91c =>，所以a c b >>．9．【解析】函数非奇非偶，()0,2x π∈时，1cos 0y x '=->单调递增，x π=附近导数不为0． 10．【解析】设球O 半径为R ，当平面AOB ⊥平面AOC 时，三棱锥O ABC -体积的最大．注意AOB △是正三角形，AOC △是顶角等于120︒的等腰三角形，所以23111sin120123228V R R R R ⎛⎫=︒⨯==⇒= ⎪⎝⎭，所以16S π=．11．【解析】由题意得：()()sin cos 4x x x f x e x a e x e x a π⎫⎛⎫'=++=++ ⎪⎪⎝⎭⎭() f x 在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，()0f x ∴'≥在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上恒成立，又0xe >，04x a π⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上恒成立， 当,22x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，3,444x πππ⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭，sin 42x π⎛⎤⎛⎫∴+∈- ⎥ ⎪ ⎝⎭⎝⎦，(14x a a a π⎛⎫⎤++∈-+ ⎪⎦⎝⎭， 10a ∴-+≥，解得：[)1,a ∈+∞，选D ．12．【解析】因为O 为ABC △外接圆的圆心，所以()22111222AO CB AO CA AB AO CA AO AB CA CB ⋅=⋅+=⋅+⋅=-+=，所以2812457CA =-=，22228157cos 229BC AB AC BC B BC AC BC +-+-==⋅⨯12411818BC BC ⎛⎫=⨯+≥⨯= ⎪⎝⎭ 所以当且仅当224BC=时cos B 最小，此时角B 最大，且此时222AB CA BC =+，ABC △是以角C 为直角的直角三角形，所以1122ABC S AC BC =⋅===△， 故选C ．13．【答案】34【解析】角α的终边一定在第一象限，所以3sin 5α=，3tan 4α= 14．【答案】132-【解析】当第一个因式取1时，第二个因式应取含5x 的项，则对应系数为：()55612112C ⨯⨯⨯-=-；当第一个因式取2x -时，第二个因式应取含4x 的项，则对应系数为：()()42622120C -⨯⨯=-；故()()6121x x -+的展开式中2x 的系数为12120132--=-．15．【答案】3π或23π【解析】由己知6p =，6cos AF AF θ=+所以61cos AF θ=-，同理61cos BF θ=+．所以211126161cos 1cos sin AB θθθ⎛⎫=-==⎪+-⎝⎭，得sin θ=3πθ=或23π． 16．【答案】(]4,1--【解析】令()220f x x x '=-=，得10x =，22x =，在开区间(),4a a +内的最大值一定是()00f =，又()()300f f ==，所以0443a a a <<++≤⎧⎨⎩，得实数a 的取值范围是(]4,1--．17．【解析】（1）()sin sin sin b B c b C a A +-=，由sin sin sin a b cA B C==得222b c bc a +-=， 由余弦定理得2221cos 22b c a A bc +-==， 0A π<<，3A π∴=．（2）1sin 24S bc A bc === 所以20bc =，又5b =故4c =于是2222cos 21a b c bc A =+-=，2sin sin 3a R A === 所以()25sin sin 72bcB C R ==． 18．【解析】（1）∵21n n a S n +=+，令1n =，得123a =，132a =． ∵21n n a S n +=+，()11211n n a S n ++∴+=-+，（2n ≥，n *∈N ） 两式相减，得122n n a a --=，整理1112n n a a -=+， 所以()11222n n a a --=-，()2n ≥ ∴数列{}2n a -是首项为1122a -=-，公比为12的等比数列．∴122nn a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，∴122n n a =-．（2）()22n n n n b n a =-=，所以231232222n nnT =++++， 两边乘以12得2341112322222n n nT +=++++，将两式相减得23111111111211222222222n n n n n n n n n T ++++=++++-=--=-， 所以222n n nT +=-，即数列{}n b 的前n 项和n T 等于222n n+-．19．【解析】证明：（1）因为1AD =，312AE =-=，60A ∠=︒．由余弦定理得DE = 因为222AD DE AE +=，所以AB DE ⊥．折叠后有1A D DE ⊥． 因为二面角1A DE B --是直二面角， 所以平面1A DE ⊥平面BCED ．又平面1A DE ⋂平面BCED DE =，1A D ⊂平面1A DE ，1A D DE ⊥， 所以1A D ⊥平面BCED ． （2）假设在线段BC 上存在点P ，使直线1PA 与平面1A BD 所成的角为60︒． 如图，作PH BD ⊥于点H ，连结1A H 、1A P ． 由（1）有1A D ⊥平面BCED ，而PH ⊂平面BCED ， 所以1A D PH ⊥．又1A D BD D ⋂=，所以PH ⊥平面1A BD ． 所以1PA H ∠是直线1PA 与平面1A BD 所成的角．设()03PB x x =≤≤，则2xBH =，2PH x =． 在1Rt PA H △中，160P AH =∠︒， 所以112A H x =． 在1Rt A DH △中，11A D =，122DH x =-． 由22211A D DH A H +=，得222111222x x ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．解得52x =，满足03x ≤≤，符合题意． 所以在线段BC 上存在点P ，使直线1PA 与平面1A BD 所成的角为60︒， 此时52PB =．20．【解析】（1）设椭圆的焦半距为c ，则OF c =，OA a =，AF a c =-．所以113e c a a c +=-，其中ce a=， 又2223b a c ==-，联立解得2a =，1c =．所以椭圆C 的方程是22143x y +=． （2）由题意直线不能与x 轴垂直，否则将无法构成三角形．当直线l 与x 轴不垂直时，设其斜率为k ，那么l 的方程为1y kx =+． 联立l 与椭圆C 的方程，消去y ， 得()2243880k x kx ++-=．()()2283243k k ∆=++，显然大于0．设点()11,M x y ，()22,N x y ． 则122843k x x k +=-+，122843x x k =-+．所以12MN x =-=，又O 到l的距离d =所以OMN △的面积21243S d MN k ===+令2433t k =+≥，那么221112623233t S t t t -==-+≤，当且仅当3t =时取等． 所以OMN △面积的最大值是26． 21．【解析】（1）设生物成绩获得A 等级的学生原始成绩为x ，等级成绩为y ，由转换公式得：951008586x y x y --=--， 即：()148514330861010x x y --=+=， 143309692.110x x -∴≥⇒≥． 根据成绩统计表显示满足92.1x ≥的同学只有3人，获得A 等级的考生有15人故恰好有1名同学的等级成绩不小于96的概率为113122151235C C P C ==． （2）由题意等级成绩不小于96分人数为3人，获得A 等级的考生有15人，则()0531251524091C C P C ξ===， ()1431251545191C C P C ξ===， ()2331251520291C C P C ξ===， ()323125152391C C P C ξ===， ∴分布列为ξ 0 1 2 3P 2491 4591 2091 291则期望为：2231919191E ξ=+⋅+⋅=． 22．【解析】（1）()20x f x e ax =-=，等价于2xe a x=，设()2xe g x x=，则()()32x e x g x x -'=， 令()0g x '=得2x =，在()0,2上()0g x '<，()g x 单调递减； 在()2,+∞上()0g x '>，()g x 单调递增．2x =时()g x 取极小值也是最小值()224e g =． 而且0x →时()g x →+∞，x →+∞时()g x →+∞，所以实数a 的取值范围是2,4e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭．（2）解法1：由（1）知()f x 有2个零点时，一定有1202x x <<<，且122212x x e e a x x ==， 两边取对数得11222ln 2ln x x x x -=-， 所以12122ln ln x x x x -=-． 要证明的不等式等价于()12121212022ln ln x x x x x x x x +-><<<-． 等价于121212ln ln 2x x x x x x --<⨯+， 等价于证明1121221ln 21x x x x x x -<⨯+， 令()120,1x t x =∈，等价于证明()21ln 01t t t--<+，()01t <<， 设函数()()()21ln 011t h t t t t-=-<<+， 则()()()()222114011t h t t t t t -'=-=>++，故函数()f t 在()0,1上是增函数，所以()()10h t h <=， 即()21ln 01t t t--<+成立，所以原不等式成立． 解法2：由（1）知()f x 有2个零点时，一定有1202x x <<<，且122212x x e e a x x ==， 可得21221x x x e x -⎛⎫= ⎪⎝⎭，令211x t x =>， 则212x x t e -=即212ln x x t -=，所以()112ln 12ln 1t t x t x t -=⇒=-，22ln 1t t x t =-， 122ln 2ln 11t t t x x t t +=+--， 要证明124x x +>，即证明2ln 2ln 411t t t t t +>--等价于ln ln 22t t t t +>-， 令()ln ln 22h t t t t t -=++，则()1ln 1h t t t'=+-， 令()1ln 1s t t t =+-，则()()2211101t s t t t t t -'=-=>>， 所以()s t 在()1,+∞单调递增，()()10s t s >=， 即()0h t '>，所以()h t 在()1,+∞单调递增．所以()()10h t h >=，即ln ln 22t t t t +>-， 因此124x x +>得证．。
2019-2020安徽名校第二学期期末考试高二数学(理)试题答案
21
bc 5
2 7 ，所以 sin B sin C
。 ……10 分
sin A
sin
(2R)2 7
3
3 18.【解析】（1）∵ an Sn 2n 1 ，令 n 1 ，得 2a1 3 ， a1 ．
2
∵ an Sn 2n 1 ，∴ an1 Sn1 2(n 1) 1， (n 2, n N * )
Tn
等于
2
2 2n
n
.
…………………………………………12 分
19. 【解析】证明：（1）因为 AD 1, AE 3 1 2, A 60 ．
由余弦定理得 DE 12 22 21 2 cos 60 3 ．
2 8.【解析】化简得 a log5 3，b log5 2，c log7 3 ，且 2b log5 4 1, 2c log7 9 1 ，所以 a c b 。
9.【解析】函数非奇非偶， x （0, 2 ) 时， y' 1 cos x 0 单调递增， x 附近导数不为 0.
10.【解析】设球 O 半径为 R ,当 平面AOB 平面AOC 时，三棱锥 O ABC 体积的最大。注意 AOB 是正三
n
12 3
n
（2） bn
n(2 an )
2n
，所以 Tn
2 22
23
2n
，
第2页共5页
11 123
n
两边乘以
2
得
Tn 2
22
23
24
2n 1
，将两式相减得
1 11 1
1n
1n
2n
Tn 2
2
22
23
2n
2n1
=1
2019-2020学年池州市高二下学期期末数学试卷(理科)
2019-2020学年池州市高二下学期期末数学试卷(理科)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知i是虚数单位，m和n都是实数，且m(1+i)=5+ni，则m+nim−ni=()A. iB. −iC. 1D. −12.下列说法正确的是()A. 在统计学中，回归分析是检验两个分类变量是否有关系的一种统计方法B. 线性回归方程对应的直线ŷ=b̂x+â至少经过其样本数据点(x1,y1)，(x2,y2)，(x3,y3)，(x n,y n)中的一个点C. 在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高D. 在回归分析中，相关指数R2为0.98的模型比相关指数R2为0.80的模型拟合的效果差3.对于分类变量A与B的随机变量k2，下列说法正确的是()A. k2越大，说明“A与B有关系”的可信度越大B. k2越大，说明“A与B无关”的程度越大C. k2越小，说明“A与B有关系”的可信度越大D. k2越接近于0，说明“A与B无关”的程度越小4.(√x+a3x)5展开式的常数项为80，则a的值为()A. 1B. 2C. √2D. 45.从6名志愿者中选出4人，分别从事搜救、医疗、心理辅导、后勤四种不同工作，若其中甲、乙两名志愿者都不能从事心理辅导工作，则不同的选派方案共有()A. 96种B. 180种C. 240种D. 280种6.一个盒中装有编号分别为1，2，3，4的四个形状大小质地完全相同的小球．从盒中任取两球，求取出的球的编号连续的概率为()A. 12B. 13C. 14D. 167.惰性气体分子为单原子分子，在自由原子情形下，其电子电荷分布是球对称的．负电荷中心与原子核重合，但如两个原子接近，则彼此能因静电作用产生极化(正负电荷中心不重合)，从而导致有相互作用力，这称为范德瓦尔斯相互作用．今有两个相同的惰性气体原子，它们的原子核固定，原子核正电荷的电荷量为q，这两个相距为R的惰性气体原子组成体系的能量中有静电相互作用能U=k c q2(1R+1R+x1−x2−1R+x1−1R−x2)，其中k c为静电常量，x1，x2分别表示两个原子负电中心相对各自原子核的位移，且|x1|和|x2|都远小于R，当|x|远小于1时，(1+x)−1≈1−x+x2，则U的近似值为()A. 2k c q2x1x2R3B. −2k c q2x1x2R3C. k c q2x1x2R3D. −k c q2x1x2R38.如果一个n位十进制数a1a2a3…a n的数位上的数字满足“小大小大…小大”的顺序，即满足：a1<a2>a3<a4>a5<a6…，我们称这种数为“波浪数”；从1，2，3，4，5组成的数字不重复的五位数中任取一个五位数abcde，这个数为“波浪数”的个数是()A. 16B. 18C. 10D. 89.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈(−∞,0]时，f(x)=x2+2ax，若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线过点(2,0)，则a=()A. −34B. 1 C. 2 D. 3410.三角形的面积为为三角形的边长，r为三角形内切圆的半径，利用类比推理，可得出四面体的体积为()A.B.C.D. (分别为四面体的四个面的面积，r为四面体内切球的半径)11.先后掷两次正方体骰子(骰子的六个面分别标有点数1、2、3、4、5、6)，骰子朝上的面的点数分别为m，n，则mn是奇数的概率是()A. 12B. 13C. 14D. 1612.若函数f(x)=2x+1−x2−2x−2，对于任意x∈Z且x∈(−∞,a)，f(x)≤0恒成立，则实数a的取值范围是()A. (−∞,−1]B. (−∞,0]C. (−∞,3]D. (−∞,4]二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.复数z满足(−1+i)z=(1+i)2，其中i为虚数单位，则在复平面上复数z的共轭复数z对应的点位于第______ 象限．14.设随机变量～N(1,1)，，则的值是________．15.已知a=∫0πsinxdx，则函数f(x)=x3−(a+1)x的极小值等于______．,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，且函数f(x)的16.已知函数f(x)=x3+ax2−2x+5在(−23导数记为f′(x)，则下列结论正确的是______ .(填序号)①−2是方程f′(x)=0的根；3②1是方程f′(x)=0的根；③有极小值f(1)；)；④有极大值f(−23⑤a=−1．2三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.数学是研究数量、结构、变化、空间以及信息等概念的一门科学.在人类历史发展和社会生活中，数学发挥着不可替代的作用，也是学习和研究现代科学技术必不可少的基本工具．(1)为调查大学生喜欢数学命题是否与性别有关，随机选取50名大学生进行问卷调查，当被调查者问卷评分不低于80分则认为其喜欢数学命题，当评分低于80分则认为其不喜欢数学命题，问卷评分的茎叶图如下：依据上述数据制成如下列联表：请问是否有90%的把握认为大学生是否喜欢数学命题与性别有关？,n=a+b+c+d．参考公式及数据：K2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P(K 2≥k 0)0.100 0.050 0.010 0.001 k 02.7063.8416.63510.828(2)在某次命题大赛中，A 同学要进行3轮命题，其在每轮命题成功的概率均为p(0<p <1)，各轮命题相互独立，若该同学在3轮命题中恰有2次成功的概率为49，记该同学在3轮命题中的成功次数为X ，求E(X)．18. 给定可导函数，如果存在，使得成立，则称为函数在区间上的“平均值点”．(1)函数在区间上的平均值点为；(2)如果函数在区间上有两个“平均值点”，则实数的取值范围是．19. 现从某班的一次期末考试中，随机的抽取了七位同学的数学(满分150分)、物理(满分110分)成绩如表所示，数学、物理成绩分别用特征量t ，y 表示， 特征量 1 2 3 4 5 6 7 t 101 124 119 106 122 118 115 y74838775858783(1)求y 关于t 的回归方程；(2)利用(1)中的回归方程，分析数学成绩的变化对物理成绩的影响，并估计该班某学生数学成绩130分时，他的物理成绩(精确到个位)．附：回归方程y ^=b ^t +a ^中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b ∧=ni=1i −t)(y i −y)∑(n i=1t −t)2，a ∧=y −b ∧t ．∑(7i=1t i −t)2=432．20. 某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采用分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查．(1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目；(2)若从抽取的6所学校中任取3所学校做进一步数据分析，①求取出的3所学校中没有小学的概率；②设取出的小学个数为随机变量X，求X的分布列和数学期望．21. 已知函数f(x)=x3+|3x−a|(a∈R)．(1)当a=3时，求函数f(x)的单调增区间；(2)当a>3时，求函数f(x)在区间[−2,1]上的最大值；(3)对任意x∈[−2,1]，恒有f(x)>a+2，求实数a的取值范围．22. 为了了解某校今年高三男生的身体状况，随机抽查了部分男生，将测得的他们的体重(单位：千克)数据整理后，画出了频率分布直方图(如图)，已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为1：2：3，其中第2小组的频数为12．(1)求该校随机抽查的部分男生的总人数；(2)以这所学校的样本数据来估计全市的总体数据，若从全市高三男生中任选三人，设X表示体重超过55千克的学生人数，求X的数学期望．【答案与解析】1.答案：A解析：解：由m(1+i)=5+ni ，得{m =5m =n ，所以m =n =5．则m+nim−ni=5+5i 5−5i=1+i 1−i=(1+i)2(1−i)(1+i)=2i 2=i ．故选：A ．利用复数相等的条件求出m 和n 的值，代入m+nim−ni 后直接利用复数的除法运算进行化简．本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数相等的条件，两个复数相等，当且仅当实部等于实部，虚部等于虚部，是基础题．2.答案：C解析：解：对于A ，统计学中，独立性检验是检验两个分类变量是否有关系的一种统计方法，∴A 错误；对于B ，线性回归方程对应的直线y ̂=b ̂x +a ̂可能不过任何一个样本数据点，∴B 错误； 对于C ，残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高，∴C 正确； 对于D ，回归分析中，相关指数R 2为0.98的模型比相关指数R 2为0.80的模型拟合的效果好，∴D 错误． 故选：C ．根据概率统计中变量间的相关关系，线性回归方程以及残差图与相关指数R 2的概念，对选项中的命题进行分析、判断正误即可．本题考查了概率统计中变量间的相关关系，线性回归方程的理解与应用，残差图与相关指数R 2的应用问题．3.答案：A解析：解：由独立性检验的定义及K 2的意义，得：k 2越大，说明“A 与B 有关系”的可信度越大，“A 与B 无关”的程度越小， k 2越小，说明“A 与B 有关系”的可信度越小， k 2越接近于0，说明“A 与B 无关”的程度越大． 故选：A ．由由独立性检验的定义及K 2的意义直接求解．本题考查命题真假的判断，考查检验的定义及K 2的意义等基础知识，考查对基本知识、基本定义的运用能力，是基础题．4.答案：B解析：解：(√x+a3x )5展开式的通项公式为Tr+1=C5r⋅a r⋅x15−5r6，令15−5r6=0，求得r=3，可得展开式的常数项为C53⋅a3=80，解得a=2，故选：B．先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项的值．本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．5.答案：C解析：本题考查排列、组合的应用，解答本题用间接法可以避免分类讨论，简化计算．根据题意，使用间接法分析，首先计算从6名志愿者中选出4人分别从事四项不同工作的情况数目，再分析计算其包含的甲、乙两人从事翻译工作的情况数目，进而由事件间的关系，计算可得答案．解：根据题意，由排列公式可得，从6名志愿者中选出4人分别从事四项不同工作，有A64=360种选派方案，其中包含甲从事心理辅导工作有A53=60种方案，乙从事心理辅导工作有A53=60种方案，则甲、乙两名志愿者都不能从事心理辅导工作的选派方案有360−60−60=240种．故选C．6.答案：A解析：解：由题意符合古典概型，从盒中任取两球的基本事件有：1和2，1和3，1和4，2和3，2和4，3和4六种情况．设“编号连续”为事件A，事件A包含基本事件有：1和2，2和3，3和4，共3个，所以编号连续的概率为P(A)=36=12．故选：A．从盒中任取两球，利用列举法能求出取出的球的编号连续的概率．本题考查概率的求法，考查互斥事件概率计算公式、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．7.答案：B解析：解：U=k c q2(1R+1R+x1−x2−1R+x1−1R−x2)=k c q2(1R +1R(1+x1−x2R)−1R(1+x1R)−1R(1−x2R))≈k c q2R[1+1−x1−x2R+(x1−x2R)2−1+x1R−(x1R)2−1−x2R−(x2R)2]=−k c q2R⋅2x1x2R2=−2k c q2x1x2R3，故选：B．把U中的式子变形为(1+x)−1的形式，利用当|x|远小于1时，(1+x)−1≈1−x+x2，即可求出U 的近似值．本题主要考查了合情推理中的类比推理，也考查了运算变形能力，是中档题．8.答案：A解析：解：根据题意，分析可得在“波浪数”中，十位数字，千位数字中必有一个是5、另一数是3或4；另一数是4时，将5与4放在千位、十位上，有A22种情况，剩余的1、2、3放在其余三个数位上，有A33种情况，则此时的“波浪数”有A22A33=12个；另一数3时，4、5必须相邻，有45132；45231；13254；23154四个“波浪数”．则由1，2，3，4，5可构成数字不重复的五位“波浪数”个数为12+4=16；故选：A．根据题意，分析可得在“波浪数”中，十位数字，千位数字中必有一个是5、另一数是3或4；据此分2种情况讨论，分别求出每种情况下的“波浪数”的个数，由分类计数原理计算可得答案．本题考查排列组合及简单计数问题，解题的关键是理解“波浪数”的含义，进而转化为排列、组合问题．9.答案：D解析：解：∵f(x)是定义在R上的奇函数，当x∈(−∞,0]时，f(x)=x2+2ax，∴当x>0时，f(x)=−x2+2ax，此时f′(x)=−2x+2a，∴f(x)在(1,f(1))处的斜率k=f′(1)=−2+2a，又f(1)=−1+2a，∴f(x)在(1,f(1))处的切线方程为y+1−2a=(−2+2a)(x−1)．∵曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线过点(2,0)，∴1−2a=(−2+2a)(2−1)，∴a=34．故选：D．先根据条件求出x>0时f(x)的解析式，然后求出曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程，再由切线过点(2,0)求出a的值．本题考查了根据函数的奇偶性求解析式和利用导数研究曲线上某点切线方程，考查了方程思想，属基础题．10.答案：D解析：试题分析：根据平面与空间之间的类比推理，由点类比点或直线，由直线类比直线或平面，由内切圆类比内切球，由平面图形面积类比立体图形的体积，结合求三角形的面积的方法类比求四面体的体积即可．解：设四面体的内切球的球心为O，则球心O到四个面的距离都是r，根据三角形的面积的求解方法：分割法，将O与四顶点连起来，可得四面体的体积等于以O为顶点，分别以四个面为底面的4个三棱锥体积的和，∴，故选D．考点：类比推理点评：类比推理是指依据两类数学对象的相似性，将已知的一类数学对象的性质类比迁移到另一类数学对象上去．一般步骤：①找出两类事物之间的相似性或者一致性．②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(或猜想)11.答案：C解析：解：根据题意，记mn是奇数为事件A，分析可得m、n都有6种情况，则掷两次骰子，有6×6=36种情况，若mn为奇数，则m、n都为奇数，m为奇数有3种情况，n为奇数有3种情况，则mn为奇数有3×3=9种情况，则P(A)=936=14，故选C．根据题意，记mn是奇数为事件A，分析可得m、n都有6种情况，由分步计数原理可得掷两次骰子，m、n的情况数目，进而由乘法的性质，分析可得若mn为奇数，则m、n都为奇数，由分步计数原理可得mn为奇数的情况数目，由等可能事件的概率公式，计算可得答案．本题考查等可能事件的概率计算，关键是由奇数、偶数的性质，分析得到mn是奇数情况，属于基础题．12.答案：D解析：解：函数f(x)=2x+1−x2−2x−2，对x∈(−∞,a)，f(x)≤0恒成立，即2x+1≤x2+2x+2，可得x=−1，x=0，x=x0时，取等号；∵x∈Z，当x=1时，函数y=2x+1=4，函数y=x2+2x+2=(x+1)2+1=5，成立；当x=2时，函数y=2x+1=8，函数y=x2+2x+2=(x+1)2+1=9，成立；当x=3时，函数y=2x+1=16，函数y=x2+2x+2=(x+1)2+1=17，成立；当x=4时，函数y=2x+1=32，函数y=x2+2x+2=(x+1)2+1=26，不成立；可知x0∈(3,4)，取等号；x∈(−∞,a]；显然a≤4；当a<−1时，二次函数的最小值为a2+2a+2可得a2+2a+2≥2a+1显然在a<−1时，不等式恒成立．故实数a的取值范围为：(−∞,4]；故选：D．由y=2x+1在(−∞,a]，y=x2+2x+2在(−∞,a]的值域，计算可得a的最大值，可得答案．本题函数恒成立问题解法，注意运用转化思想和指数函数、二次函数的值域，考查运算能力，属于中档题13.答案：一解析：解：∵(−1+i)z=(1+i)2=2i，则z=2i−1+i =2i(−1−i)(−1+i)(−1−i)=−2i+22=1−i，则z=1+i，对应的坐标为(1,1)，位于第一象限，故答案为：一．根据复数的基本运算和复数的几何意义，进行判断即可．本题主要考查复数的几何意义，利用复数的基本运算是解决本题的关键．14.答案：解析：试题分析：随机变量ξ～N(1,1)，为正态分布，期望为1，由正态分布图形可知图形关于x =1对称，故P(0<ξ<1)=(1−P(ξ>2))解：ξ～N(1,1)，Eξ=1，由正态分布图形可知图形关于x =1对称，故P(0<ξ<1)=(1−P(ξ>2))=−P ，故答案为：考点：正态分布点评：本题考查正态分布的概率问题，属基本题型的考查．解决正态分布的关键是抓好正态分布的图形特征．15.答案：−2解析：解：∵a =∫s π0inxdx =(−cosx)|0π=2．∴f(x)=x 3−3x ，∴f ′(x)=3x 2−3=3(x +1)(x −1)，令f ′(x)=0，x =±1.列表如下：由表格可知：当x =1时，函数f(x)取得极小值，f(1)=1−3=−2． 故答案为−2．利用微积分基本定理和导数研究函数的单调性极值即可得出．熟练掌握微积分基本定理及利用导数研究函数的单调性极值是解题的关键．16.答案：①②③④⑤解析：解：∵f′(x)=3x 2+2ax −2由函数f(x)=x 3+ax 2−2x +5在(−23,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增 可知f′(1)=0即2a +1=0 ∴a =−12∴f(x)=x 3−12x 2−2x +5，f′(x)=3x 2−x −2=(3x +2)(x −1) ①x =−23是方程的根，正确 ②x =1是方程的根，正确③由函数f(x)=x 3+ax 2−2x +5在(−23,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，可知x =1是函数的极小值，③正确④令f′(x)=3x 2−x −2=(3x +2)(x −1)>0，可得x >1或x <−23 f′(x)=3x 2−x −2=(3x +2)(x −1)<0可得，−23<x <1则函数f(x)=x 3+ax 2−2x +5在(−23,1)上单调递减，在(1,+∞)，(−∞,−23)上单调递增，故x =−23为函数的极大值，④正确 ⑤正确故答案为：①②③④⑤对函数求导可得，f′(x)=3x 2+2ax −2，由题意可得f′(1)=0，则可得a =−12可判断⑤ f(x)=x 3−12x 2−2x +5，f′(x)=3x 2−x −2=(3x +2)(x −1)可判断①②由函数f(x)=x 3+ax 2−2x +5在(−23,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，可判断③ 由函数f(x)=x 3+ax 2−2x +5在(−23,1)上单调递减，在(1,+∞)，(−∞,−23)上单调递增可判断④ 本题主要考查了利用函数的导数求解函数的单调区间、函数的极大与及小值，及函数的极值与导数对应的方程的根的关系的应用．17.答案：(1)由题知：a =12,b =8,c =20,d =10，则，所以没有90%的把握认为大学生是否喜欢数学命题与性别有关； (2)由题知：，依据二项分布知：C 32p 2(1−p)=49，所以27p 3−27p 2+4=0， 令f(p)=27p 3−27p 2+4,0<p <1， f′(p)=81p 2−45p =81p(p −23)， 当p ∈(0,23),f′(p)<0,f(p)在(0,23)单调递减；当p ∈(23,1),f′(p)>0,f(p)在(23,1)单调递增； 因此f(p)≥f(23)=0，所以p =23， 所以E(X)=3×23=2． 解析：见答案18.答案：(1)1；(2)解析：试题分析：由“平均值点”的定义可得，存在，使得成立，即有在区间[−2,2]上“平均值点”的个数为1． 由题设存在，使得，所以在[−1,1]上有两解，问题转化为与直线有两个交点问题，因为直线横过，结合图像不难得到．考点：新定义、定积分的运用、直线与圆的位置关系19.答案：解：(1)∵t =101+124+119+106+122+118+1157=115.…(2分)y =74+83+87+75+85+87+837=82.….(4分)设回归方程为y ^=b ^t +a ^，代入公式，经计算得b ̂=14×8+9×1+4×5+9×7+7×3+3×5+0×1196+81+16+81+49+9=240432=59…(6分)a ̂=y −b ̂t =82−59×115=1639，∴y 关于t 的回归方程为y ̂=59t +1639….(8分) (2)∵b̂=59>0，∴随着数学成绩的提高，物理成绩会稳步增长，…..(9分) 当t =130时，y =59×130+1639=2713≈90．所以，该班某学生数学成绩130(分)时，他的物理成绩估计为90(分)…..(12分) 解析：(1)求出样本中心坐标，代入回归直线方程，然后求解回归直线方程．(2)利用回归直线方程判断分析数学成绩的变化对物理成绩的影响，然后求解物理成绩． 本题考查回归直线方程的求法与应用，考查计算能力．20.答案：解：(1)从小学、中学、大学中抽取的抽样比为621+14+7=17∴从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目为3，2，1．(2)①从6所学校中任取的3所学校没有小学(记为事件B)的概率为P(B)=1C 63=120．②X 的取值为0，1，2，3，则 P(X =0)=120，P(X =1)=C 31C 32C 63=920，P(X =2)=C 32C 31C 63=920，P(X =3)=120数学期望为EX =0×120+1×920+2×920+3×120=32．解析：(1)利用分层抽样的意义，先确定抽样比，在确定每层中抽取的学校数目； (2)①利用古典概型概率的计算方法，可得结论；②X 的取值为0，1，2，3，求出相应的概率，即可求X 的分布列和数学期望．本题主要考查了统计中分层抽样的意义，古典概型概率的计算方法，列考查求X 的分布列和数学期望，属于中档题．21.答案：解：(1)当a =3时，f(x)={x 3−3x +3(x <1)x 3+3x −3(x ≥1)，若x <1时，则f′(x)=3x 2−3，令f′(x)>0，解得x <−1； 若x >1时，则f′(x)=3x 2+3>0恒成立，所以x >1， 所以函数f(x)的单调递增区间为(−∞,−1)，(1,+∞)．(2)若a >3，当x ∈[−2,1]时，f(x)=x 3−3x +a ，f′(x)=3x 2−3． 令f′(x)=0，解得x =−1或x =1． 列表如下：当x =−1时，函数f(x)取得最大值a +2． (3)由(1)(2)得，a <3． ①当a ≤−6时，即a3≤−2时，f(x)=x 3+3x −a >a +2，即x 3+3x >2a +2． 因为y =x 3+3x 在[−2,1]上单调递增，所以当x =−2时，y =x 3+3x 取得最小值−14，所以2a +2<−14，解得a <−8，又a ≤−6，所以a <−8． ②当−6<a <3即−2<a3<1时， f(x)={x 3−3x +a(−2≤x ≤a3)x 3+3x −a(a3<x ≤1)， 当−2≤x <a3时，f(x)=x 3−3x +a >a +2，即x 3−3x −2>0， 与x 3−3x −2=(x +1)2(x −2)<0矛盾， 所以，实数a 的取值范围为(−∞,−8)．解析：(1)当a =3时，f(x)={x 3−3x +3(x <1)x 3+3x −3(x ≥1)，分别在每一段上确定单调递增区间即可．(2)若a >3，当x ∈[−2,1]时，f(x)=x 3−3x +a ，f′(x)=3x 2−3.列表格分析单调区间，最大值， (3)由(1)(2)得，a <3.①当a ≤−6时，即a3≤−2时，f(x)=x 3+3x −a ，②当−6<a <3即−2<a3<1时，f(x)={x 3−3x +a(−2≤x ≤a 3)x 3+3x −a(a 3<x ≤1)，分别使f(x)>a +2成立，得到实数a 的取值范围． 本题考查分段函数的单调性，最值，以及恒成立问题，属于中档题．22.答案：解：(1)设报考飞行员的人数为n ，前三小组的频率分别为p 1，p 2，p 3，则{p 2=2p 1p 3=3p 1p 1+p 2+p 3+(0.0375+0.0125)×5=1， 解得，p 1=0.125，p 2=0.25，p 3=0.375． ∵p 2=0.25=12n，∴n =48．(2)由(1)可得，一个男生体重超过55公斤的概率为p =p 3+(0.0375+0.0125)×5=58， ∴X ～(3,58)，∴P(X =k)=C 3k(58)k (38)3−k ，k =0，1，2，3随机变量X 的分布列为：则EX =0×27512+1×135512+2×225512+3×125512=158．解析：(1)设报考飞行员的人数为n ，前三小组的频率分别为p 1，p 2，p 3，根据前3个小组的频率之比为1：2：3和所求频率和为1建立方程组，解之即可求出第二组频率，然后根据样本容量等于频数频率进行求解即可；(2)由(1)可得，一个男生体重超过55公斤的概率为p =p 3+(0.0375+0.0125)×5=58，所以X ～(3,58)，从而可求X 的数学期望．本题主要考查频率分布直方图，以及离散型随机变量的概率分布和数学期望，同时考查了计算能力，属于中档题．。
安徽省名校2019-2020学年高二下学期期末联考数学(理)试题含答案
而等比例转换法是通过公式计算： Y2 Y T2 T ． Y Y1 T T1
其中 Y1 、 Y2 分别表示原始分区间的最低分和最高分， T1 、 T2 分别表示等级分区间的最低分和最高分， Y 表示原始分，T 表示转换分，当原始分为 Y1 、Y2 时，等级分分别为 T1 、T2 ，假设李明的生物考试成绩信
2
4
所以 bc 20 ，又 b 5 故 c 4
于是 a2
b2
c2
2bc cos
A
21， 2R
a sin A
21 sin
2
7，
3
所以 sin B sin C
342 3 38 ，
故选 C．
13．【答案】 3 4
【解析】角 的终边一定在第一象限，所以 sin 3 ， tan 3
5
4
14．【答案】 132
【解析】当第一个因式取 1 时，第二个因式应取含 x5 的项，则对应系数为：
1 C65 2 15 12 ；
当第一个因式取 2x 时，第二个因式应取含 x4 的项，则对应系数为：
2 C64 22 120 ；
故 1 2x 1 x6 的展开式中 x2 的系数为 12 120 132 ．
15．【答案】
或
2
33
【解析】由己知 p 6 ， AF 6 AF cos
所以
AF
6 1 cos
，同理 BF
6 1 cos
．
所以
AB
6
1
1 cos
1 1 cos
12 sin2
f
x
ex
sin
x
a
ex
cos
x
ex
2
2019-2020学年高二(下)期末数学试卷(理科)带答案
2019-2020学年高二（下）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）命题“∃x0∈（0，+∞），lnx0=x0﹣1”的否定是（）A．∃x0∈（0，+∞），lnx0≠x0﹣1 B．∃x0∉（0，+∞），lnx0=x0﹣1C．∀x∈（0，+∞），lnx≠x﹣1 D．∀x∉（0，+∞），lnx=x﹣12．（5分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC+ccosB=asinA，则△ABC的形状为（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定3．（5分）数列{a n}、{b n}满足b n=2an（n∈N*），则“数列{a n}是等差数列”是“数列{b n}是等比数列”的（）A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件C．充要条件D．既不充分也必要条件4．（5分）图中共顶点的椭圆①、②与双曲线③、④的离心率分别为a1、a2、a3、a4，其大小关系为（）A．a1＜a2＜a3＜a4，B．a2＜a1＜a3＜a4，C．a1＜a2＜a4＜a3，D．a2＜a1＜a4＜a35．（5分）已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F（1，0），离心率等于，则C 的方程是（）A．B．C．D．6．（5分）如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60m，则河流的宽度BC等于（）A．m B．m C．m D．m 7．（5分）在三角形ABC中，如果（a+b+c）（b+c﹣a）=3bc，那么A等于（）A．30°B．60°C．120° D．150°8．（5分）正三棱柱ABC﹣A1B1C1的棱长都为2，E，F，G为AB，AA1，A1C1的中点，则B1F 与面GEF成角的正弦值（）A．B．C．D．9．（5分）如图，已知双曲线=1（a＞0，b＞0）上有一点A，它关于原点的对称点为B，点F为双曲线的右焦点，且满足AF⊥BF，设∠ABF=α，且α∈[，]，则双曲线离心率e的取值范围为（）A．[，2+]B．[，]C．[，]D．[，+1] 10．（5分）设实数x，y满足，则xy的最大值为（）A．B．C．12 D．1611．（5分）下列命题中，正确命题的个数是（）①命题“∃x∈R，使得x3+1＜0”的否定是““∀x∈R，都有x3+1＞0”．②双曲线﹣=1（a＞0，a＞0）中，F为右焦点，A为左顶点，点B（0，b）且=0，则此双曲线的离心率为．③在△ABC中，若角A、B、C的对边为a、b、c，若cos2B+cosB+cos（A﹣C）=1，则a、c、b成等比数列．④已知，是夹角为120°的单位向量，则向量λ+与﹣2垂直的充要条件是λ=．A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个12．（5分）设x∈R，对于使﹣x2+2x≤M成立的所有常数M中，我们把M的最小值1叫做﹣x2+2x的上确界．若a，b∈R+，且a+b=1，则的上确界为（）A．﹣5 B．﹣4 C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．（5分）若命题“∃x∈R，使x2+（a﹣1）x+1＜0”是假命题，则实数a的取值范围为．14．（5分）已知=（2，﹣1，2），=（﹣1，3，﹣3），=（13，6，λ），若向量，共面，则λ=．15．（5分）等差数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n、T n，若=，则=．16．（5分）已知a＞b，且ab=1，则的最小值是．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB=b．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a=6，b+c=8，求△ABC的面积．18．（12分）已知命题p：“存在”，命题q：“曲线表示焦点在x轴上的椭圆”，命题s：“曲线表示双曲线”（1）若“p且q”是真命题，求m的取值范围；（2）若q是s的必要不充分条件，求t的取值范围．19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，AB⊥B1C．（Ⅰ）证明：AC=AB1；（Ⅱ）若AC⊥AB1，∠CBB1=60°，AB=BC，求二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值．20．（12分）已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点为F（0，1），（1）求抛物线C的方程；（2）过点F作直线l交抛物线于A，B两点，若直线AO，BO分别与直线y=x﹣2交于M，N两点，求|MN|的取值范围．21．（12分）设S n是数列[a n}的前n项和，．（1）求{a n}的通项；（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n．22．（12分）已知双曲线x2﹣y2=1的左、右顶点分别为A1、A2，动直线l：y=kx+m 与圆x2+y2=1相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为P1（x1，y1），P2（x2，y2）．（1）求k的取值范围，并求x2﹣x1的最小值；（2）记直线P1A1的斜率为k1，直线P2A2的斜率为k2，那么k1•k2是定值吗？证明你的结论．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．（5分）命题“∃x0∈（0，+∞），lnx0=x0﹣1”的否定是（）A．∃x0∈（0，+∞），lnx0≠x0﹣1 B．∃x0∉（0，+∞），lnx0=x0﹣1C．∀x∈（0，+∞），lnx≠x﹣1 D．∀x∉（0，+∞），lnx=x﹣1【分析】根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论．【解答】解：命题的否定是：∀x∈（0，+∞），lnx≠x﹣1，故选：C【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．2．（5分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC+ccosB=asinA，则△ABC的形状为（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不确定【分析】由条件利用正弦定理可得sinBcosC+sinCcosB=sinAsinA，再由两角和的正弦公式、诱导公式求得sinA=1，可得A=，由此可得△ABC的形状．【解答】解：△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∵bcosC+ccosB=asinA，则由正弦定理可得sinBcosC+sinCcosB=sinAsinA，即sin（B+C）=sinAsinA，可得sinA=1，故A=，故三角形为直角三角形，故选B．【点评】本题主要考查正弦定理以及两角和的正弦公式、诱导公式的应用，根据三角函数的值求角，属于中档题．3．（5分）数列{a n}、{b n}满足b n=2an（n∈N*），则“数列{a n}是等差数列”是“数列{b n}是等比数列”的（）A．充分但不必要条件B．必要但不充分条件C．充要条件D．既不充分也必要条件【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合等比数列和等差数列的定义进行判断即可．【解答】解：若数列{a n}是等差数列，设公差为d，则当n≥2时，=为非零常数，则数列{b n}是等比数列，若数列{b n}是等比数列，设公比为q，则当n≥2时，===q，则a n﹣a n﹣1=2q为常数，则数列{a n}是等差数列，则“数列{a n}是等差数列”是“数列{b n}是等比数列”的充要条件，故选：C．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据等比数列和等差数列的定义是解决本题的关键．4．（5分）图中共顶点的椭圆①、②与双曲线③、④的离心率分别为a1、a2、a3、a4，其大小关系为（）A．a1＜a2＜a3＜a4，B．a2＜a1＜a3＜a4，C．a1＜a2＜a4＜a3，D．a2＜a1＜a4＜a3【分析】先根据椭圆越扁离心率越大判断a1、a2的大小，再由双曲线开口越大离心率越大判断a3、a4的大小，最后根据椭圆离心率大于0小于1并且抛物线离心率大于1可得到最后答案．【解答】解：根据椭圆越扁离心率越大可得到0＜a1＜a2＜1根据双曲线开口越大离心率越大得到1＜a3＜a4∴可得到a1＜a2＜a3＜a4故选A．【点评】本题主要考查椭圆和双曲线的离心率大小的判断．考查对基础知识的理解和记忆．5．（5分）已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F（1，0），离心率等于，则C 的方程是（）A．B．C．D．【分析】由已知可知椭圆的焦点在x轴上，由焦点坐标得到c，再由离心率求出a，由b2=a2﹣c2求出b2，则椭圆的方程可求．【解答】解：由题意设椭圆的方程为．因为椭圆C的右焦点为F（1，0），所以c=1，又离心率等于，即，所以a=2，则b2=a2﹣c2=3．所以椭圆的方程为．故选D．【点评】本题考查了椭圆的标准方程，考查了椭圆的简单性质，属中档题．6．（5分）如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高是60m，则河流的宽度BC等于（）A．m B．m C．m D．m【分析】由题意画出图形，由两角差的正切求出15°的正切值，然后通过求解两个直角三角形得到DC和DB的长度，作差后可得答案．【解答】解：如图，∠DAB=15°，∵tan15°=tan（45°﹣30°）==2﹣．在Rt△ADB中，又AD=60，∴DB=AD•tan15°=60×（2﹣）=120﹣60．在Rt△ADC中，∠DAC=60°，AD=60，∴DC=AD•tan60°=60．∴BC=DC﹣DB=60﹣（120﹣60）=120（﹣1）（m）．∴河流的宽度BC等于120（﹣1）m．故选：B．【点评】本题给出实际应用问题，求河流在B、C两地的宽度，着重考查了三角函数的定义、正余弦定理解三角形的知识，属于中档题．7．（5分）在三角形ABC中，如果（a+b+c）（b+c﹣a）=3bc，那么A等于（）A．30°B．60°C．120° D．150°【分析】利用余弦定理表示出cosA，将已知的等式整理后代入求出cosA的值，由A的范围，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数．【解答】解：由（a+b+c）（b+c﹣a）=3bc，变形得：（b+c）2﹣a2=3bc，整理得：b2+c2﹣a2=bc，∴由余弦定理得：cosA==，又A为三角形的内角，则A=60°．故选B【点评】此题考查了余弦定理，利用了整体代入的思想，余弦定理很好的建立了三角形的边角关系，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．8．（5分）正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的棱长都为2，E ，F ，G 为 AB ，AA 1，A 1C 1的中点，则B 1F 与面GEF 成角的正弦值（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】利用等体积，计算B 1到平面EFG 距离，再利用正弦函数，可求B 1F 与面GEF 成角的正弦值．【解答】解：取A 1B 1中点M ，连接EM ，则EM ∥AA 1，EM ⊥平面ABC ，连接GM ∵G 为A 1C 1的中点，棱长为∴GM=B 1C 1=1，A 1G ═A 1F=1，FG=，FE=，GE=在平面EFG 上作FN ⊥GE ，则∵△GFE 是等腰三角形，∴FN=，∴S △GEF =GE ×FN=， S △EFB1=S 正方形ABB1A1﹣S △A1B1F ﹣S △BB1E ﹣S △AFE =，作GH ⊥A 1B 1，GH=，∴V 三棱锥G ﹣FEB1=S △EFB1×GH=，设B 1到平面EFG 距离为h ，则V 三棱锥B1﹣EFG =S △GEF =， ∵V 三棱锥G ﹣FEB1=V 三棱锥B1﹣EFG ， ∴，∴h= 设B 1F 与平面GEF 成角为θ，∵B 1F=∴sinθ==∴B1F与面GEF所成的角的正弦值为．故选A．【点评】本题考查线面角，考查三棱锥的体积计算，考查转化思想，解题的关键是利用等体积计算点到面的距离．9．（5分）如图，已知双曲线=1（a＞0，b＞0）上有一点A，它关于原点的对称点为B，点F为双曲线的右焦点，且满足AF⊥BF，设∠ABF=α，且α∈[，]，则双曲线离心率e的取值范围为（）A．[，2+]B．[，]C．[，]D．[，+1]【分析】利用S△ABF =2S△AOF，先求出e2=，再根据α∈[，]，即可求出双曲线离心率的取值范围．【解答】解：设左焦点为F'，令|AF|=r1，|AF'|=r2，则|BF|=|F'A|=r2，∴r2﹣r1=2a，∵点A关于原点O的对称点为B，AF⊥BF，∴|OA|=|OB|=|OF|=c，∴r22+r12═4c2，∴r1r2=2（c2﹣a2）∵S△ABF =2S△AOF，∴r1r2═2•c2sin2α，∴r1r2═2c2sin2α∴c2sin2α=c2﹣a2∴e2=，∵α∈[，]，∴sin2α∈[，]，∴e2=∈[2，（+1）2]∴e∈[，+1]．故选：B．【点评】本题考查双曲线的离心率的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意三角函数性质的灵活运用．10．（5分）设实数x，y满足，则xy的最大值为（）A．B．C．12 D．16【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用基本不等式进行求解即可．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图；由图象知y≤10﹣2x，则xy≤x（10﹣2x）=2x（5﹣x））≤2（）2=，当且仅当x=，y=5时，取等号，经检验（，5）在可行域内，故xy的最大值为，故选：A【点评】本题主要考查线性规划以及基本不等式的应用，利用数形结合是解决本题的关键．11．（5分）下列命题中，正确命题的个数是（）①命题“∃x∈R，使得x3+1＜0”的否定是““∀x∈R，都有x3+1＞0”．②双曲线﹣=1（a＞0，a＞0）中，F为右焦点，A为左顶点，点B（0，b）且=0，则此双曲线的离心率为．③在△ABC中，若角A、B、C的对边为a、b、c，若cos2B+cosB+cos（A﹣C）=1，则a、c、b成等比数列．④已知，是夹角为120°的单位向量，则向量λ+与﹣2垂直的充要条件是λ=．A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个【分析】①利用命题的否定，即可判断其真假；②利用双曲线的离心率的性质可判断其正误，③将cosB=﹣cos（A+C）代入已知，整理可得sinAsinC=sin2B，再利用正弦定理可判断③的正误；④利用向量的坐标运算与向量垂直的性质可判断其正误．【解答】解：①命题“∃x∈R，使得x3+1＜0”的否定是““∃x0∈R，使得+1≥0”，故①错误；②，依题意，F（c，0），A（﹣a，0），∵点B（0，b），∴=（a，b），=（c，﹣b），∵•=0，∴ac﹣b2=0，而b2=c2﹣a2，∴c2﹣ac﹣a2=0，两端同除以a2得：e2﹣e﹣1=0，解得e=或e=（舍去），故②正确；③，在△ABC中，∵A+B+C=180°，∴cosB=﹣cos（A+C），∴原式化为：cos2B﹣cos（A+C）+cos（A﹣C）=1，∴cos（A﹣C）﹣cos（A+C）=1﹣cos2B，∵cos（A﹣C）﹣cos（A+C）=2sinAsinC，1﹣cos2B=2sin2B，∴sinAsinC=sin2B，由正弦定理得：b2=ac，故③a、c、b成等比数列错误；④，∵，是夹角为120°的单位向量，∴（λ+）⊥（﹣2）⇔（λ+）•（﹣2）=0⇔λ﹣2+（1﹣2λ）•=0⇔λ﹣2+（1﹣2λ）×1×1×（﹣）=0⇔2λ﹣2﹣=0，∴λ=．故④正确；综上所述，正确命题的个数是2个．故选B．【点评】本题考查命题的真假判断与应用，着重考查命题的否定，向量的坐标运算，考查余弦定理与正弦定理的综合应用，考查双曲线的性质，综合性强，属于难题．12．（5分）设x∈R，对于使﹣x2+2x≤M成立的所有常数M中，我们把M的最小值1叫做﹣x2+2x的上确界．若a，b∈R+，且a+b=1，则的上确界为（）A．﹣5 B．﹣4 C．D．【分析】由题意可知，求的是的最小值，并且a，b＞0，a+b=1，由此想到利用1的整体代换构造积为定值．【解答】解：∵=+=++≥+2=，（当且仅当=，即a=，b=时取到等号）∴≤﹣（当且仅当=，即a=，b=时取到上确界）故选：D．【点评】这是一个常见的利用基本不等式求最值的问题，主要是利用题设构造积为定值的技巧．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．（5分）若命题“∃x∈R，使x2+（a﹣1）x+1＜0”是假命题，则实数a的取值范围为﹣1≤a≤3．【分析】先求出命题的否定，再用恒成立来求解【解答】解：命题“∃x∈R，使x2+（a﹣1）x+1＜0”的否定是：““∀x∈R，使x2+（a﹣1）x+1≥0”即：△=（a﹣1）2﹣4≤0，∴﹣1≤a≤3故答案是﹣1≤a≤3【点评】本题通过逻辑用语来考查函数中的恒成立问题．14．（5分）已知=（2，﹣1，2），=（﹣1，3，﹣3），=（13，6，λ），若向量，共面，则λ=3．【分析】由于向量，共面，利用向量共面定理可得：存在唯一一对实数m，n使得，解出即可．【解答】解：∵向量，共面，∴存在唯一一对实数m，n使得，∴，解得．故答案为：3．【点评】本题考查了向量共面定理，属于基础题．15．（5分）等差数列{a n}，{b n}的前n项和分别为S n、T n，若=，则=．【分析】本题考查的知识点是等差数列的性质及等差数列的前n项和，由等差数列中S2n=（2n﹣1）•a n，我们可得，，则=，代入﹣1若=，即可得到答案．=（2n﹣1）•a n，【解答】解：∵在等差数列中S2n﹣1∴，，则=，又∵=，∴=即=故答案为：【点评】在等差数列中，S2n=（2n﹣1）•a n，即中间项的值，等于所有项值的﹣1平均数，这是等差数列常用性质之一，希望大家牢固掌握．16．（5分）已知a＞b，且ab=1，则的最小值是2．【分析】将条件进行整理，然后利用基本不等式的解法即可得到结论．【解答】解：∵ab=1，a＞b，∴==a﹣b+，当且仅当a﹣b=，即a﹣b=时取等号，故的最小值是2，故答案为：2【点评】本题主要考查基本不等式的应用，将条件转化为基本不等式的形式是解决本题的关键．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（10分）在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2asinB=b．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a=6，b+c=8，求△ABC的面积．【分析】（Ⅰ）利用正弦定理化简已知等式，求出sinA的值，由A为锐角，利用特殊角的三角函数值即可求出A的度数；（Ⅱ）由余弦定理列出关系式，再利用完全平方公式变形，将a，b+c及cosA的值代入求出bc的值，再由sinA的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC 的面积．【解答】解：（Ⅰ）由2asinB=b，利用正弦定理得：2sinAsinB=sinB，∵sinB≠0，∴sinA=，又A为锐角，则A=；（Ⅱ）由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bc•cosA，即36=b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣3bc=64﹣3bc，∴bc=，又sinA=，则S=bcsinA=．△ABC【点评】此题考查了正弦定理，三角形的面积公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．18．（12分）已知命题p：“存在”，命题q：“曲线表示焦点在x轴上的椭圆”，命题s：“曲线表示双曲线”（1）若“p且q”是真命题，求m的取值范围；（2）若q是s的必要不充分条件，求t的取值范围．【分析】（1）若“p且q”是真命题，则p，q同时为真命题，建立条件关系，即可求m的取值范围；（2）根据q是s的必要不充分条件，建立条件关系，即可求t的取值范围．【解答】解：（1）若p为真：…（1分）解得m≤﹣1或m≥3…（2分）若q为真：则…（3分）解得﹣4＜m＜﹣2或m＞4…（4分）若“p且q”是真命题，则…（6分）解得﹣4＜m＜﹣2或m＞4…（7分）（2）若s为真，则（m﹣t）（m﹣t﹣1）＜0，即t＜m＜t+1…（8分）由q是s的必要不充分条件，则可得{m|t＜m＜t+1}⊊{m|﹣4＜m＜﹣2或m＞4}…（9分）即或t≥4…（11分）解得﹣4≤t≤﹣3或t≥4…（12分）【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用数轴是解决本题的关键，考查学生的推理能力．19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，AB⊥B1C．（Ⅰ）证明：AC=AB1；（Ⅱ）若AC⊥AB1，∠CBB1=60°，AB=BC，求二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值．【分析】（1）连结BC1，交B1C于点O，连结AO，可证B1C⊥平面ABO，可得B1C ⊥AO，B10=CO，进而可得AC=AB1；（2）以O为坐标原点，的方向为x轴的正方向，||为单位长度，的方向为y轴的正方向，的方向为z轴的正方向建立空间直角坐标系，分别可得两平面的法向量，可得所求余弦值．【解答】解：（1）连结BC1，交B1C于点O，连结AO，∵侧面BB1C1C为菱形，∴BC1⊥B1C，且O为BC1和B1C的中点，又∵AB⊥B1C，∴B1C⊥平面ABO，∵AO⊂平面ABO，∴B1C⊥AO，又B10=CO，∴AC=AB1，（2）∵AC⊥AB1，且O为B1C的中点，∴AO=CO，又∵AB=BC，∴△BOA≌△BOC，∴OA⊥OB，∴OA，OB，OB1两两垂直，以O为坐标原点，的方向为x轴的正方向，||为单位长度，的方向为y轴的正方向，的方向为z轴的正方向建立空间直角坐标系，∵∠CBB1=60°，∴△CBB1为正三角形，又AB=BC，∴A（0，0，），B（1，0，0，），B1（0，，0），C（0，，0）∴=（0，，），==（1，0，），==（﹣1，，0），设向量=（x，y，z）是平面AA1B1的法向量，则，可取=（1，，），同理可得平面A1B1C1的一个法向量=（1，﹣，），∴cos＜，＞==，∴二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值为【点评】本题考查空间向量法解决立体几何问题，建立坐标系是解决问题的关键，属中档题．20．（12分）已知抛物线C的顶点为坐标原点，焦点为F（0，1），（1）求抛物线C的方程；（2）过点F作直线l交抛物线于A，B两点，若直线AO，BO分别与直线y=x﹣2交于M，N两点，求|MN|的取值范围．【分析】（1）设抛物线的方程为x2=2py，由题意可得p=2，进而得到抛物线的方程；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为y=kx+1，代入抛物线方程，运用韦达定理，求得M，N的横坐标，运用弦长公式，化简整理，即可得到所求范围．【解答】解：（1）由题意可设抛物线的方程为x2=2py，由焦点为F（0，1），可得=1，即p=2，则抛物线的方程为x2=4y；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为y=kx+1，代入x2=4y，得x2﹣4kx﹣4=0，x1+x2=4k，x1x2=﹣4，，由y=x﹣2和y=x联立，得，同理，所以=，令4k﹣3=t，t≠0，则，则，则所求范围为．【点评】本题考查抛物线的方程的求法，注意运用待定系数法，考查直线方程和抛物线的方程联立，运用韦达定理和弦长公式，考查化简整理的能力，属于中档题．21．（12分）设S n是数列[a n}的前n项和，．（1）求{a n}的通项；（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和T n．（1）由条件可得n≥2时，，整理可得，【分析】故数列{}是以2为公差的等差数列，其首项为，由此求得s n．再由求出{a n}的通项公式．（2）由（1）知，，用裂项法求出数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）∵，∴n≥2时，，展开化简整理得，S n﹣S n =2S n﹣1S n，∴，∴数列{}是以2为公差﹣1的等差数列，其首项为．∴，．由已知条件可得．（2）由于，∴数列{b n}的前n项和，∴．【点评】本题主要考查根据递推关系求数列的通项公式，等差关系的确定，用裂项法对数列进行求和，属于中档题．22．（12分）已知双曲线x2﹣y2=1的左、右顶点分别为A1、A2，动直线l：y=kx+m 与圆x2+y2=1相切，且与双曲线左、右两支的交点分别为P1（x1，y1），P2（x2，y2）．（1）求k的取值范围，并求x2﹣x1的最小值；（2）记直线P1A1的斜率为k1，直线P2A2的斜率为k2，那么k1•k2是定值吗？证明你的结论．【分析】（1）由l与圆相切，知m2=1+k2，由，得（1﹣k2）x2﹣2mkx﹣（m2+1）=0，所以由此能求出k的取值范围和x2﹣x1的最小值．（2）由已知可得A1，A2的坐标分别为（﹣1，0），（1，0），，=．由此能证明k1•k2是定值．【解答】解：（1）∵l与圆相切，∴∴m2=1+k2（2分）由，得（1﹣k2）x2﹣2mkx﹣（m2+1）=0，∴，∴k2＜1，∴﹣1＜k＜1，故k 的取值范围为（﹣1，1）．（5分）由于，∵0≤k2＜1∴当k2=0时，x2﹣x1取最小值．（7分）（2）由已知可得A1，A2的坐标分别为（﹣1，0），（1，0），∴，∴=（10分）====，由m2﹣k2=1，∴为定值．（14分）【点评】本题主要考查椭圆标准方程，简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，双曲线的简单性质等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．。
2019-2020学年安徽省名校高二下学期期末(理科)数学试卷 (解析版)
2019-2020学年安徽省名校高二第二学期期末数学试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．复数z满足z2+1＝0，则z3等于（）A．1B．±1C．i D．±i2．已知集合A＝{x||x|＜2，x∈Z}，B＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，则A∩B＝（）A．{0，1}B．（0，1）C．{﹣1，0，1}D．（﹣1，2）3．世界著名的数学杂志（美国数学月刊于1989年管刊登过一个红极﹣时的棋盘问题题中的正六边形棋盘，用三种全等（仅朝向和颜色不同）的菱形图案全部填满（如图），若在棋盘内随机取点，则此点取自黑色区域的概率为（）A．B．C．D．4．设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则α∥β的一个充分条件是（）A．存在一条直线a，a∥α，a∥βB．存在一条直线a，a⊂α，a∥βC．存在两条平行直线a、b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥αD．存在两条异面直线a、b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α5．已知双曲线E：﹣＝1（a＞0，b＞0）的渐近线相互垂直，则E的离心率为（）A．B．C．2D．6．20世纪产生了著名的“3x+1”猜想：任给一个正整数x，如果x是偶数，就将它减半；如果x是奇数，则将它乘3加1，不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1．如图是验证“3x+1”猜想的一个程序框图，若输人正整数m的值为20，则输出的n的值是（）A．8B．9C．10D．117．设等差数列{a n}的前n项和为S n，S5＝23，S n＝360，S n﹣5＝183，则n＝（）A．18B．19C．20D．218．已知a＝2log5，b＝log2，c＝，则（）A．a＞c＞b B．a＞b＞c C．c＞a＞b D．c＞b＞a9．函数y＝x﹣sin|x|在[﹣2π，2π]上的大致图象是（）A．B．C．D．10．已知A，B，C是球心为O的球面上三点，∠AOB＝60°，∠AOC＝120°，若三棱锥O﹣ABC体积的最大值为1，则球O的表面积为（）A．12πB．16πC．24πD．36π11．若函数f（x）＝e x（sin x+a）在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（）A．B．（1，+∞）C．D．[1，+∞）12．已知△ABC中，AB＝9．点O为其外接圆的圆心且．则当∠B取最大值时，△ABC的面积为（）A．B．C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若角α的终边经过点P（﹣m，6），且，则tanα＝．14．（1﹣2x）（2﹣x）6的展开式中x5的系数为．15．直线l经过抛物线C：y2＝12x的焦点F，且与抛物线C交于A，B两点，弦AB的长为16，则直线l的倾斜角等于．16．若函数在区间（a，a+4）内存在最大值，则实数a的取值范围是．三．解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且b sin B+（c﹣b）sin C＝a sin A．（1）求A的大小；（2）若△ABC的面积等于5，b＝5，求sin B sin C的值．18．设数列{a n}的前n项和为S n（n∈N*），且满足a n+S n＝2n+1．（1）证明数列{a n﹣2}是等比数列，并求数列{a n}的通项公式；（2）若b n＝n（2﹣a n），求数列{b n}的前n项和T n．19．等边三角形ABC的边长为3，点D、E分别是边AB、AC上的点，且满足（如图1）．将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使二面角A1﹣DE﹣B成直二面角，连结A1B、A1C（如图2）．（1）求证：A1D⊥平面BCED；（2）在线段BC上是否存在点P，使直线PA1与平面A1BD所成的角为60°？若存在，求出PB的长；若不存在，请说明理由．20．已知椭圆C：的右焦点为F，右顶点为A，设离心率为e，且满足，其中O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点（0，1）的直线l与椭圆交于M，N两点，求△OMN面积的最大值．21．某省从2021年开始将全面推行新高考制度，新高考“3+1+2”中的“2”要求考生从政治、化学、生物、地理四门中选两科，按照等级赋分计入高考成绩，等级赋分规则如下：从2021年夏季高考开始，高考政治、化学、生物、地理四门等级考试科目的考生原始成绩从高到低划分为A，B，C，D，E五个等级，确定各等级人数所占比例分别为15%，35%，35%，13%，2%，等级考试科目成绩计入考生总成绩时，将A到E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法分别转换到[86，100]、[71，85]、[56，70]、[41，55]、[30，40]五个分数区间，得到考生的等级分，等级转换分满分为100分，具体转换区间如表：等级A B C D E比例15%35%35%13%2%赋分区间[86，100][71，85][56，70][41，55][30，40]而等比例转换法是通过公式计算：．其中Y1，Y2分别表示原始分区间的最低分和最高分，T1，T2分别表示等级分区间的最低分和最高分，Y表示原始分，T表示转换分，当原始分为Y1，Y2时，等级分分别为T1，T2．假设小南的化学考试成绩信息如表：考生科目考试成绩成绩等级原始分区间等级分区间化学75分B等级[69，84][71，85]设小南转换后的等级成绩为T，根据公式得：，所以T＝76.6≈77（四舍五入取整），小南最终化学成绩为77分．已知某年级学生有100人选了化学，以半期考试成绩为原始成绩转换本年级的化学等级成绩，其中化学成绩获得A等级的学生原始成绩统计如表：成绩95939190888785人数1232322（1）从化学成绩获得A等级的学生中任取2名．求恰好有1名同学的等级成绩不小于96分的概率；（2）从化学成绩获得A等级的学生中任取5名，设5名学生中等级成绩不小于96分人数为ξ，求ξ的分布列和期望．22．已知函数f（x）＝e x﹣ax2（a∈R）在（0，+∞）上有2个零点x1，x2（x1＜x2）．（1）求实数a的取值范围；（2）证明：x1+x2＞4．参考答案一、选择题（共12小题）.1．复数z满足z2+1＝0，则z3等于（）A．1B．±1C．i D．±i【分析】由已知求得z＝±i，再由虚数单位i的运算性质得答案．解：∵z2+1＝0，∴z2＝﹣1，则z＝±i．当z＝i时，z3＝i3＝﹣i；当z＝﹣i时，z3＝（﹣i）3＝i．∴z3＝±i．故选：D．2．已知集合A＝{x||x|＜2，x∈Z}，B＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，则A∩B＝（）A．{0，1}B．（0，1）C．{﹣1，0，1}D．（﹣1，2）【分析】可以求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．解：∵A＝{x|﹣2＜x＜2，x∈Z}＝{﹣1，0，1}，B＝{x|﹣1＜x＜2}，∴A∩B＝{0，1}．故选：A．3．世界著名的数学杂志（美国数学月刊于1989年管刊登过一个红极﹣时的棋盘问题题中的正六边形棋盘，用三种全等（仅朝向和颜色不同）的菱形图案全部填满（如图），若在棋盘内随机取点，则此点取自黑色区域的概率为（）A．B．C．D．【分析】一共48个菱形，黑白灰各16个．在棋盘内随机取点，基本事件总数n＝48，此点取自黑色区域包含的基本事件个数m＝16．由此能求出此点取自黑色区域的概率．解：正六边形棋盘，用三种全等（仅朝向和颜色不同）的菱形图案全部填满，一共48个菱形，黑白灰各16个．在棋盘内随机取点，基本事件总数n＝48，此点取自黑色区域包含的基本事件个数m＝16．则此点取自黑色区域的概率为p＝＝＝．故选：C．4．设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则α∥β的一个充分条件是（）A．存在一条直线a，a∥α，a∥βB．存在一条直线a，a⊂α，a∥βC．存在两条平行直线a、b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥αD．存在两条异面直线a、b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α【分析】依据面面平行的定义与定理依次判断排除错误的，筛选出正确的即可得解．解：对于A，一条直线与两个平面都平行，两个平面不一定平行．故A不对；对于B，一个平面中的一条直线平行于另一个平面，两个平面不一定平行，故B不对；对于C，两个平面中的两条直线平行，不能保证两个平面平行，故C不对；对于D，两个平面中的两条互相异面的直线分别平行于另一个平面，可以保证两个平面平行，故D正确．故选：D．5．已知双曲线E：﹣＝1（a＞0，b＞0）的渐近线相互垂直，则E的离心率为（）A．B．C．2D．【分析】由双曲线的方程可得其渐近线方程为y＝±x，结合直线垂直的性质可得（）×（﹣）＝﹣1，解可得a＝b，由双曲线的几何性质可得c＝a，进而由双曲线的离心率公式计算可得答案．解：根据题意，双曲线的方程为：，则其渐近线方程为y＝±x，又由该双曲线的两条渐近线相互垂直，则有（）×（﹣）＝﹣1，解可得a＝b，则有c＝＝a，则其离心率e＝＝，故选：A．6．20世纪产生了著名的“3x+1”猜想：任给一个正整数x，如果x是偶数，就将它减半；如果x是奇数，则将它乘3加1，不断重复这样的运算，经过有限步后，一定可以得到1．如图是验证“3x+1”猜想的一个程序框图，若输人正整数m的值为20，则输出的n的值是（）A．8B．9C．10D．11【分析】这是一个循环结构的问题，根据循环体的运算功能一步步往下算就行，直到算出m＝1，要注意m与n的值对应好．解：根据框图可知：n＝2，m＝20n＝3，m＝10n＝4，m＝5n＝5，m＝16n＝6，m＝8n＝7，m＝4n＝8，m＝2n＝9，m＝1此时，退出循环，输出n的值为9．故选：B．7．设等差数列{a n}的前n项和为S n，S5＝23，S n＝360，S n﹣5＝183，则n＝（）A．18B．19C．20D．21【分析】根据题意，由等差数列的前n项和公式可得S5＝＝5a3＝23，变形可得a3＝，又由S n﹣S n﹣5＝a n﹣4+a n﹣3+a n﹣2+a n﹣1+a n＝5a n﹣2＝360﹣183＝177，变形可得a n﹣2＝，结合等差数列的性质分析可得答案．解：根据题意，等差数列{a n}中，S5＝23，则S5＝＝5a3＝23，变形可得a3＝，又由S n＝360，S n﹣5＝183，则S n﹣S n﹣5＝a n﹣4+a n﹣3+a n﹣2+a n﹣1+a n＝5a n﹣2＝360﹣183＝177，则a n﹣2＝，又由S n＝360，则S n＝＝＝＝360，解可得n＝18；故选：A．8．已知a＝2log5，b＝log2，c＝，则（）A．a＞c＞b B．a＞b＞c C．c＞a＞b D．c＞b＞a【分析】利用对数函数的性质直接求解．解：∵a＝2log5＝log53＞b＝log2＝log52，c＝＝log73，∴a＞c，∵2b＝log54＜1，2c＝log79＞1，∴c＞b．∴a＞c＞b．故选：A．9．函数y＝x﹣sin|x|在[﹣2π，2π]上的大致图象是（）A．B．C．D．【分析】先将函数写成分段函数的形式，由函数奇偶性的概念可知，函数f（x）为非奇非偶函数，可排除选项A和D；当x∈（0，2π）时，y＝x﹣sin x，求导，判断单调性，并观察x＝π附近y'的值，可排除选项B，故而得解．解：y＝x﹣sin|x|＝，∴函数y为非奇非偶函数，排除选项A 和D；当x∈（0，2π）时，y＝x﹣sin x，∴y'＝1﹣cos x＞0，即函数y单调递增，且在x＝π附近，y'不为0，排除选项B．故选：C．10．已知A，B，C是球心为O的球面上三点，∠AOB＝60°，∠AOC＝120°，若三棱锥O﹣ABC体积的最大值为1，则球O的表面积为（）A．12πB．16πC．24πD．36π【分析】首先整理出当两个面垂直时，三棱锥体的体积最大，进一步求出球的半径，最后求出球的表面积．解：设球O半径为R，当平面AOB⊥平面AOC时，三棱锥O﹣ABC体积的最大．注意△AOB是正三角形，△AOC是顶角等于120°的等腰三角形，所以，所以S＝16π．故选：B．11．若函数f（x）＝e x（sin x+a）在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（）A．B．（1，+∞）C．D．[1，+∞）【分析】函数f（x）＝e x（sin x+a）在区间上单调递增，e x＞0，可得f′（x）＝e x（sin x+a+cos x）≥0，即sin x+a+cos x≥0，于是a≥﹣（sin x+cos x）＝﹣，在区间上恒成立．利用三角函数的单调性即可得出．解：f′（x）＝e x（sin x+a+cos x），∵函数f（x）＝e x（sin x+a）在区间上单调递增，e x＞0，∴f′（x）＝e x（sin x+a+cos x）≥0，即sin x+a+cos x≥0，∴a≥﹣（sin x+cos x）＝﹣，在区间上恒成立．∵，可得：＜x+＜．∴∈．∴﹣∈，∴a≥1．则实数a的取值范围是[1，+∞）．故选：D．12．已知△ABC中，AB＝9．点O为其外接圆的圆心且．则当∠B取最大值时，△ABC的面积为（）A．B．C．D．【分析】结合平面向量的加法运算法则和数量积的定义可推出•＝+，从而求得|CA|2的值，然后在△ABC中，由余弦定理知，cos B＝，结合基本不等式的性质可得到当时，角B最大，于是证得△ABC是以角C为直角的直角三角形，故S△ABC＝，代入数据即可得解．解：根据题意，作出如下所示的图形，因为O为△ABC外接圆的圆心，所以•＝•（+）＝•+•＝||•||•（﹣cos∠OAC）+||•||•cos∠OAB＝+＝12，所以，在△ABC中，由余弦定理知，cos B＝＝＝，当且仅当时，取等号，此时cos B最小，角B最大．因为|AB|2＝81，|BC|2＝24，|CA|2＝57，所以|AB|2＝|CA|2+|BC|2，即△ABC是以角C为直角的直角三角形，所以．故选：C．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若角α的终边经过点P（﹣m，6），且，则tanα＝．【分析】由题意利用同角三角函数的基本关系，以及三角函数在各个象限中的符号，得出结论．解：角α的终边一定在第一象限，且，∴sinα＝＝，tanα＝＝，故答案为：．14．（1﹣2x）（2﹣x）6的展开式中x5的系数为﹣132．【分析】当第一个因式取1时，第二个因式应取含x5的项，求出对应系数为﹣12，当第一个因式取﹣2x时，第二个因式应取含x4的项，求出对应系数为﹣120，由此能求出（1﹣2x）（1+x）6的展开式中x5的系数．解：当第一个因式取1时，第二个因式应取含x5的项，则对应系数为：，当第一个因式取﹣2x时，第二个因式应取含x4的项，则对应系数为：，故（1﹣2x）（1+x）6的展开式中x5的系数为﹣12﹣120＝﹣132．故答案为：﹣132．15．直线l经过抛物线C：y2＝12x的焦点F，且与抛物线C交于A，B两点，弦AB的长为16，则直线l的倾斜角等于或．【分析】求出抛物线的焦点坐标，写出直线方程，与抛物线方程联立，利用弦长公式，转化求解直线的斜率，得到倾斜角．解：直线l经过抛物线C：y2＝12x的焦点F（3，0），斜率为k，直线方程为：y＝k（x ﹣3），且与抛物线C交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，可得k2（x﹣3）2＝12x，即k2x2﹣（6k2+12）x+9k2＝0，可得x1+x2＝，弦AB的长为16，+6＝16，解得k＝±．所以，直线的倾斜角为：或．故答案为：或．16．若函数在区间（a，a+4）内存在最大值，则实数a的取值范围是（﹣4，﹣1]．【分析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式求出函数的单调区间，然后求出函数的极大值，结合函数的单调性以及区间得到关于a的不等式组，解出即可．解：f'（x）＝x2﹣2x＝x（x﹣2），令f′（x）＞0，解得x＞2或x＜0，令f′（x）＜0，解得0＜x＜2，故f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，在（0，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增，故函数f（x）的极大值为f（0）＝0，令f（x）＝0，解得x＝0或x＝3，若函数f（x）在区间（a，a+4）上存在最大值，则解得﹣4＜a≤﹣1，则实数a的取值范围是（﹣4，﹣1]．三．解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且b sin B+（c﹣b）sin C＝a sin A．（1）求A的大小；（2）若△ABC的面积等于5，b＝5，求sin B sin C的值．【分析】（1）由正弦定理化简已知可得b2+c2﹣bc＝a2，由余弦定理可得cos A＝，结合范围A∈（0，π），可求A的值．（2）利用三角形的面积公式可求bc＝20，进而可求c＝4，由余弦定理可求a，进而根据正弦定理即可求解．解：（1）∵b sin B+（c﹣b）sin C＝a sin A，∴由正弦定理可得b2+c2﹣bc＝a2，∴由余弦定理可得cos A＝＝，∵A∈（0，π），∴A＝．（2）∵△ABC的面积等于5＝bc sin A＝bc，∴bc＝20，又b＝5，∴c＝4，∴由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bc cos A＝21，可得a＝，∴2R＝＝＝2，∴sin B sin C＝＝．18．设数列{a n}的前n项和为S n（n∈N*），且满足a n+S n＝2n+1．（1）证明数列{a n﹣2}是等比数列，并求数列{a n}的通项公式；（2）若b n＝n（2﹣a n），求数列{b n}的前n项和T n．【分析】（1）直接利用数列的递推关系式中的构造性数列，然后求出结果．（2）首先求出数列的通项，进一步利用乘公比错位相减法求出结果．解：（1）证明：当n＝1时，a1+S1＝2+1＝3，解得．数列{a n}的前n项和为S n（n∈N*），且满足a n+S n＝2n+1．当n≥2时，a n﹣1+S n﹣1＝2（n﹣1）+1，两式相减得2a n﹣a n﹣1＝2，整理得，所以数列{a n﹣2}是以，为公比的等比数列．所以，整理得．（2）b n＝n（2﹣a n）＝．所以①，②，①﹣②得＝1﹣．所以．19．等边三角形ABC的边长为3，点D、E分别是边AB、AC上的点，且满足（如图1）．将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使二面角A1﹣DE﹣B成直二面角，连结A1B、A1C（如图2）．（1）求证：A1D⊥平面BCED；（2）在线段BC上是否存在点P，使直线PA1与平面A1BD所成的角为60°？若存在，求出PB的长；若不存在，请说明理由．【分析】（1）等边△ABC中，根据得到AD＝1且AE＝2，由余弦定理算出DE＝，从而得到AD2+DE2＝AE2，所以AD⊥DE．结合题意得平面A1DE⊥平面BCDE，利用面面垂直的性质定理，可证出A1D⊥平面BCED；（2）作PH⊥BD于点H，连接A1H、A1P，由A1D⊥平面BCED得A1D⊥PH，所以PH ⊥平面A1BD，可得∠PA1H是直线PA1与平面A1BD所成的角，即∠PA1H＝60°．设PB＝x（0≤x≤3），分别在Rt△BA1H、Rt△PA1H和Rt△DA1H中利用三角函数定义和勾股定理，建立等量关系得12+（2﹣x）2＝（x）2，解之得x＝，从而得到在BC上存在点P且当PB＝时，直线PA1与平面A1BD所成的角为60°．解：（1）∵正△ABC的边长为3，且＝＝∴AD＝1，AE＝2，△ADE中，∠DAE＝60°，由余弦定理，得DE＝＝∵AD2+DE2＝4＝AE2，∴AD⊥DE．折叠后，仍有A1D⊥DE∵二面角A1﹣DE﹣B成直二面角，∴平面A1DE⊥平面BCDE又∵平面A1DE∩平面BCDE＝DE，A1D⊂平面A1DE，A1D⊥DE∴A1D⊥平面BCED；（2）假设在线段BC上存在点P，使直线PA1与平面A1BD所成的角为60°如图，作PH⊥BD于点H，连接A1H、A1P由（1）得A1D⊥平面BCED，而PH⊂平面BCED所以A1D⊥PH∵A1D、BD是平面A1BD内的相交直线，∴PH⊥平面A1BD由此可得∠PA1H是直线PA1与平面A1BD所成的角，即∠PA1H＝60°设PB＝x（0≤x≤3），则BH＝PB cos60°＝，PH＝PB sin60°＝x在Rt△PA1H中，∠PA1H＝60°，所以A1H＝，在Rt△DA1H中，A1D＝1，DH＝2﹣x由A1D2+DH2＝A1H2，得12+（2﹣x）2＝（x）2解之得x＝，满足0≤x≤3符合题意所以在线段BC上存在点P，使直线PA1与平面A1BD所成的角为60°，此时PB＝．20．已知椭圆C：的右焦点为F，右顶点为A，设离心率为e，且满足，其中O为坐标原点．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点（0，1）的直线l与椭圆交于M，N两点，求△OMN面积的最大值．【分析】（Ⅰ）设椭圆的焦半距为c，由椭圆的几何性质分析可得以，又由b2＝3＝a2﹣c2，解可得a、c的值，代入椭圆的方程即可得答案．（Ⅱ）分析易得直线不能与x轴垂直，设l的方程为y＝kx+1，联立l与椭圆C的方程得（4k2+3）x2+8kx﹣8＝0，计算△分析可得直线与椭圆有两个交点，设点M（x1，y1），N（x2，y2），由根与系数的关系分析可得|MN|的值，由点到直线的距离公式计算O到l 的距离，进而分析可得，由基本不等式的性质分析可得答案．解：（Ⅰ）设椭圆的焦半距为c，则|OF|＝c，|OA|＝a，|AF|＝a﹣c．所以，其中，又b2＝3＝a2﹣c2，联立解得a＝2，c＝1．所以椭圆C的方程是．（Ⅱ）由题意直线不能与x轴垂直，否则将无法构成三角形．则设直线的斜率为k，那么l的方程为y＝kx+1．联立l与椭圆C的方程，消去y，得（4k2+3）x2+8kx﹣8＝0，△＝（8k）2+32（4k2+3）≥0，则直线与椭圆有两个交点，设点M（x1，y1），N（x2，y2）．由根与系数的关系得，．所以，又O到l的距离．所以△OMN的面积．令t＝4k2+3≥3，那么，当且仅当t＝3时取等．所以△OMN面积的最大值是．21．某省从2021年开始将全面推行新高考制度，新高考“3+1+2”中的“2”要求考生从政治、化学、生物、地理四门中选两科，按照等级赋分计入高考成绩，等级赋分规则如下：从2021年夏季高考开始，高考政治、化学、生物、地理四门等级考试科目的考生原始成绩从高到低划分为A，B，C，D，E五个等级，确定各等级人数所占比例分别为15%，35%，35%，13%，2%，等级考试科目成绩计入考生总成绩时，将A到E等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法分别转换到[86，100]、[71，85]、[56，70]、[41，55]、[30，40]五个分数区间，得到考生的等级分，等级转换分满分为100分，具体转换区间如表：等级A B C D E比例15%35%35%13%2%赋分区间[86，100][71，85][56，70][41，55][30，40]而等比例转换法是通过公式计算：．其中Y1，Y2分别表示原始分区间的最低分和最高分，T1，T2分别表示等级分区间的最低分和最高分，Y表示原始分，T表示转换分，当原始分为Y1，Y2时，等级分分别为T1，T2．假设小南的化学考试成绩信息如表：考生科目考试成绩成绩等级原始分区间等级分区间化学75分B等级[69，84][71，85]设小南转换后的等级成绩为T，根据公式得：，所以T＝76.6≈77（四舍五入取整），小南最终化学成绩为77分．已知某年级学生有100人选了化学，以半期考试成绩为原始成绩转换本年级的化学等级成绩，其中化学成绩获得A等级的学生原始成绩统计如表：成绩95939190888785人数1232322（1）从化学成绩获得A等级的学生中任取2名．求恰好有1名同学的等级成绩不小于96分的概率；（2）从化学成绩获得A等级的学生中任取5名，设5名学生中等级成绩不小于96分人数为ξ，求ξ的分布列和期望．【分析】（1）根据成绩换算公式，计算出等级成绩不低于96分时的原始成绩，进而得到等级成绩不低于96分的人数，根据古典概型的概率即可得到所求；（2）列出随机变量ξ的所有可能的取值，分别求出对应的概率，列出分布列，计算期望即可．解：（1）设化学成绩获得A等级的学生原始成绩为x，等级成绩为y，由转换公式得：＝，即y＝＝，所以≥96，得x≥92.1，显然原始成绩满足x≥92.1的同学有3人，获得A等级的考生有15人，恰好有1名同学的等级成绩不小于96分的概为P＝＝；（2）由题意得：等级成绩不小于96分的人数为3人，获得A等级的考生有15人，P（ξ＝0）＝＝，P（ξ＝1）＝＝，P（ξ＝2）＝＝，P （ξ＝3）＝＝，则分布列为：ξ0123P则E（ξ）＝+2×+3×＝1．22．已知函数f（x）＝e x﹣ax2（a∈R）在（0，+∞）上有2个零点x1，x2（x1＜x2）．（1）求实数a的取值范围；（2）证明：x1+x2＞4．【分析】（1）转化推出，构造函数，利用函数的导数判断函数的单调性，求解函数的最小值然后推出a的取值范围．（2）解法1：由（1）知f（x）有2个零点时，有0＜x1＜2＜x2，得到，利用对数的运算法则，通过函数的导数转化证明函数f（t）在（0，1）上是增函数，推出结果．解法2：由（1）知f（x）有2个零点时，有0＜x1＜2＜x2，且，可得，令，推出x2﹣x1＝2lnt，利用分析法证明lnt+tlnt＞2t﹣2，通过构造函数，利用函数的导数判断函数的单调性，然后推出结果即可．解：（1）f（x）＝e x﹣ax2＝0，等价于，设，则，令g'（x）＝0得x＝2，在（0，2）上g'（x）＜0，g（x）单调递减；在（2，+∞）上g'（x）＞0，g（x）单调递增．x＝2时g（x）取极小值也是最小值．而且x→0时g（x）→+∞，x→+∞时g（x）→+∞，所以实数a的取值范围是．（2）解法1：由（1）知f（x）有2个零点时，一定有0＜x1＜2＜x2，且，两边取对数得x1﹣2lnx1＝x2﹣2lnx2，所以．要证明的不等式等价于．等价于，等价于证明，令，等价于证明，（0＜t＜1），设函数，则，故函数f（t）在（0，1）上是增函数，所以h（t）＜h（1）＝0，即成立，所以原不等式成立．解法2：由（1）知f（x）有2个零点时，一定有0＜x1＜2＜x2，且，可得，令，则即x2﹣x1＝2lnt，所以，，，要证明x1+x2＞4，即证明等价于lnt+tlnt＞2t﹣2，令h（t）＝lnt+tlnt﹣2t+2，则，令，则，所以s（t）在（1，+∞）单调递增，s（t）＞s（1）＝0，即h'（t）＞0，所以h（t）在（1，+∞）单调递增．所以h（t）＞h（1）＝0，即lnt+tlnt＞2t﹣2，因此x1+x2＞4得证．。