河北省邢台市2020年高一下学期期中考试数学试卷含答案
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河北省邢台市高一下学期期中数学试卷(理科)
河北省邢台市高一下学期期中数学试卷（理科）姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共10题；共20分)1. （2分）若是钝角，则是（）A . 第二象限角B . 第三象限角C . 第二象限角或第三象限角D . 第二象限角或第四象限角2. （2分）直线2x+ay+3=0的倾斜角为120°，则a的值是（）A .B . -C . 2D . -23. （2分） (2018高三上·泉港期中) 已知角的顶点与原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边上一点，则等于A .B .C .D .4. （2分）圆(x－3)2＋(y＋4)2＝1关于直线y＝—x+6对称的圆的方程是（）A . (x＋10)2＋(y＋3)2＝1B . (x－10)2＋(y－3)2＝1C . (x－3)2＋(y＋10)2＝1D . (x－3)2＋(y－10)2＝15. （2分） (2017高二下·湖州期末) 点P从点A（1，0）出发，沿单位圆x2+y2=1逆时针方向运动弧长到达点Q，则点Q的坐标是（）A . （﹣，）B . （，）C . （﹣，﹣）D . （﹣，）6. （2分） (2016高一下·成都开学考) 如果cos（π+A）=﹣，那么sin（）的值为（）A . -B .C .D .7. （2分）以正方体ABCD—A1B1C1D1的棱AB、AD、AA1所在的直线为坐标轴建立空间直角坐标系，且正方体的棱长为一个单位长度，则棱CC1中点坐标为（）A . （，1，1）B . （1，，1）C . （1，1，）D . （，，1）8. （2分） (2016高一上·杭州期末) 把函数y=cos（x+ ）的图象向右平移φ个单位，所得的图象正好关于y轴对称，则φ的最小正值为（）A .B .C .D .9. （2分） (2015高一上·福建期末) 若直线l1：ax+2y+6=0与直线l2：x+（a﹣1）y﹣1=0垂直，则实数a=（）A .B . ﹣1C . 2D . ﹣1或210. （2分）若，等于（）A . 2B . －2C .D .二、填空题 (共4题；共5分)11. （1分） (2019高一下·上海月考) 角属于第________象限角.12. （1分） (2016高一下·邢台期中) 如果cosα= ，且α是第四象限的角，那么 =________．13. （1分） (2017高二上·集宁月考) 已知直线 = 和直线 ,抛物线上一动点P到直线和直线的距离之和的最小值是________.14. （2分）已知，则tana=________ =________三、解答题 (共4题；共35分)15. （10分）已知函数y=sin（2x+ ）+1．（1）用“五点法”画出函数的草图；（2）函数图象可由y=sinx的图象怎样变换得到？16. （10分） (2016高一上·绵阳期末) 已知函数f（x）=sinx+cos（x+ ），x∈R．（1）求f（x）的最小正周期及单调递增区间；（2）若x是第二象限角，且f（x﹣）=﹣ cos2x，求cosx﹣sinx的值．17. （5分） (2016高二上·公安期中) 已知直线l的方程为x+2y﹣1=0，点P的坐标为（1，﹣2）．（Ⅰ）求过P点且与直线l平行的直线方程；（Ⅱ）求过P点且与直线l垂直的直线方程．18. （10分）求下列满足条件的圆的方程（1）圆心为C（2，﹣2）且过点P（6，3）的圆的方程（2）己知点A（﹣4，﹣5），B（6，﹣1），求以线段AB为直径的圆的方程．参考答案一、选择题 (共10题；共20分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、二、填空题 (共4题；共5分)11-1、12-1、13-1、14-1、三、解答题 (共4题；共35分)15-1、15-2、16-1、16-2、17-1、18-1、18-2、。
2019-2020学年河北省邢台市高一(下)期中数学试卷(含解析)
2019-2020学年河北省邢台市高一(下)期中数学试卷一、单选题（本大题共14小题，共70.0分）1.下列四个命题中，正确的是()A. 第一象限的角必是锐角B. 锐角必是第一象限的角C. 终边相同的角必相等D. 第二象限的角必大于第一象限的角2.设a⃗，b⃗ 都是非零向量，那么命题“a⃗与b⃗ 共线”是命题“|a⃗+b⃗ |=|a⃗|+|b⃗ |”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 非充分非必要条件3.在平面直角坐标系xOy中，α、β是位于不同象限的任意角，它们的终边交单位圆(圆心在坐标原点O)于A、B两点.若A、B两点的纵坐标分别为正数a、b，且cos(α−β)≤0，则a+b的最大值为()A. 1B. √2C. 2D. 不存在4.已知，且，则的值是A. B. C. D.5.已知两个单位向量e1⃗⃗⃗ 、e2⃗⃗⃗ 的夹角为π，则|e1⃗⃗⃗ −2e2⃗⃗⃗ |=()3B. 2√3C. √7D. √3A. 12)的图象的一6.如图是函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π2部分，则要得到该函数的图象，只需要将函数g(x)=1−2√3sinxcosx−2sin2x的图象()A. 向左平移π个单位长度4B. 向右平移π个单位长度4C. 向左平移π个单位长度2D. 向右平移π2个单位长度7. 若sin 2α=，则cos 2=( ) A.B.C.D.8. 要想得到函数y =sin(x −π3)的图象，只须将y =sinx 的图象( )A. 向右平移π3个单位 B. 向左平移π3个单位 C. 向右平移5π6个单位D. 向左平移5π6个单位9. 已知A(3,0)，B(0,3)，C(cosα,sinα)，若AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−1，则sin(α+π4)的值为( )A. 23B. √23 C. √22D. 1210. (tan80°−4cos10°)⋅3−sin70°2−cos 210°=( )A. √3B. 2C. 2√3D. 411. 已知函数f(x)=∣∣∣2sinxm cos2x cosx ∣∣∣的图象关于直线x =π8对称，则f(x)的单调递增区间为( ) A. [kπ−3π8,kπ+π8],(k ∈Z) B. [kπ−π8,kπ+3π8],(k ∈Z) C. [2kπ−3π4,2kπ+π4],(k ∈Z) D. [2kπ−π4,2kπ+3π4],(k ∈Z)12. 平行四边形中，，则等于( )A. 4B. −4C. 2D. −213. 已知0<α+β<π2，sinα+2sinβ=1，cosα−2cosβ=√2；则sin(β−π3)=( )A. √63B. √33C. √36D. √6614. 已知f(x)=sin(2015x +3π8)+sin(2015x −π8)的最大值为A ，若存在实数x 1，x 2，使得对任意实数x 总有f(x 1)≤f(x)≤f(x 2)成立，则A|x 1−x 2|的最小值为( )A. √2π2015B. 2√2π2015C. 2π2015D. 4π2015二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）15.已知函数，且的图象恒过点，若角的终边经过点，则的值等于．16.已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，侧面展开图是扇形AOB，则该扇形圆心角∠AOB的弧度数为______．17.已知向量a⃗=(1−t,2t−1,0)与b⃗ =(2,t,t)，则|b⃗ −a⃗|的最小值是______ ．18.函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0，且|φ|<π2)的部分图象如图所示，则f(π2)的值为______ ．三、解答题（本大题共5小题，共60.0分）19.20、已知求20.已知单调的等比数列{a n}的前n项的和为S n，若S3=39，且3a4是a6，−a5的等差中项．(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)若数列{b n}满足b n=log3a2n+1，且{b n}前n项的和为T n，求1T1+1T2+1T3+⋯+1T n．21. 已知函数f(x)=Asin(wx +φ)(A >0,w >0,|φ|<π2)的图象在y 轴上的截距为√3，它在y 轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为(x 0,2)和(x 0+π,−2)． (1)求函数f(x)的解析式；(2)若△ABC 中的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且锐角A 满足f(A −π3)=√3， 又已知a =7，sinB +sinC =13√314，求△ABC 的面积．22. 已知O 为坐标原点，OA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(cosx,1)，OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2cosx,√3sin2x)，x ∈R ，若f(x)=OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ． (1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；(2)设g(x)=f(12x +π8)，求函数y =g(x)在[−π12,5π12]上的最小值．23. 已知函数f(x)=x 2+mx +nlnx(x >0，实数m ，n 为常数)．(1)若n +10m 2=0(m >0)，且f(x)在[1,+∞)上的最小值为0，求m 的值； (2)若∀a ∈[1,3]，函数f(x)在区间(a,a +1)上总是减函数，求m 的最大值ℎ(n)．【答案与解析】1.答案：B解析：本题的考点是象限角以及终边相同的角，属于基础题．根据象限角以及终边相同的角的概念逐一判断即可．解：对于A，B，由于锐角是第一象限角，但第一象限角不一定是锐角，故A不对，B对；对于C，30°和390°的角终边相同，但是两个角不相等，所以C不对；对于D，120°的角是第二象限的角，390°的角是第一象限角，120°<390°，因此D不对，故选B．2.答案：B解析：本题主要考查充分条件、必要条件的定义，两个向量共线的性质，属于基础题．由“a⃗与b⃗ 共线”可得a⃗与b⃗ 方向相同或方向相反，不能推出|a⃗+b⃗ |=|a⃗|+|b⃗ |.但由“|a⃗+b⃗ |= |a⃗| + |b⃗ |”，可得a⃗与b⃗ 方向相同，a⃗与b⃗ 共线．由此得出结论．解：由命题“a⃗与b⃗ 共线”可得a⃗与b⃗ 方向相同或方向相反，若a⃗与b⃗ 方向相同，则有|a⃗+b⃗ |=|a⃗ | + |b⃗ |，若a⃗与b⃗ 方向相反，则有|a⃗+b⃗ |=||a⃗|−|b⃗ ||，故充分性不成立．由|a⃗+b⃗ |=|a⃗| + |b⃗ |，可得a⃗与b⃗ 方向相同，即a⃗与b⃗ 共线，故必要性成立．故命题“a⃗与b⃗ 共线”是命题“|a⃗+b⃗ |=|a⃗|+|b⃗ |”的必要不充分条件，故选B．3.答案：B解析：解：角α和角β一个在第一象限，另一个在第二象限，不妨假设α在第一象限，则β在第二象限，根据题意可得A(cosα,a)、B(cosβ,b)，且a=sinα>0，b=sinβ>0，∴cosα=√1−a2，cosβ=−√1−b2，∴cos(α−β)=cosαcosβ+sinαsinβ=−√1−a2⋅√1−b2+ab≤0，即√1−a2⋅√1−b2≥ab，平方可得，a2+b2≤1，当且仅当a=b时，取等号．∴a+b=√(a+b)2=√a2+b2+2ab≤√2(a2+b2)≤√2，当且仅当a=b时，取等号，故当a=b时，a+b取得最大值为√2，故选：B．由题意，角α和角β一个在第一象限，另一个在第二象限，再利用任意角的三角函数的定义、两角和差的三角公式，可得√1−a2⋅√1−b2≥ab，平方可得a2+b2≤1，再利用基本不等式求得a+b=√(a+b)2的最大值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，两角和差的三角公式，基本不等式的应用，属于中档题．4.答案：C解析：试题分析：因为，，且，所以，，==，故选C。
河北省邢台市四校2019-2020学年高一下学期期中考试数学试卷
河北省邢台市四校2019-2020学年 高一下学期期中考试数学试卷第I 卷（选择题，共60分)一、单选题（每小题5分，且每题只有一个正确选项1.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若540S =，9126S =，则7S =( ) A. 66B. 68C. 77D. 842.在ABC △中，,,a b c 分别为角,,A B C 所对的边，4cos ,25A b ==，ABC △面积3S =，则a为( )A ．B D3.在ABC △中，已知2,1,AB AC A ==∠的平分线1AD =,则ABC △的面积（ ）A.B.C.D.4.已知不等式210ax bx --≥的解集是11,23⎡⎤--⎢⎥⎣⎦,则不等式20x bx a --<的解集是( )A. ()2,3B. ()(),23,-∞⋃+∞C. 11,32⎛⎫⎪⎝⎭D. 11,,32⎛⎫⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭5.若正实数,a b 满足1a b +=，则（ ）A ．11a b+有最大值4 B ．ab 有最小值14 CD ．22a b +有最小值26.已知数列22333311313571351,,,,,,,...,,,, (2222222222)nn n ，则该数列第2019项是（ ） A ．1019892B ．1020192C ．1119892D ．11201927.若点1,M a b ⎛⎫ ⎪⎝⎭和1,N b c ⎛⎫ ⎪⎝⎭都在直线:1l x y +=上,则点1,P c a ⎛⎫ ⎪⎝⎭,1,Q b c ⎛⎫⎪⎝⎭和l 的关系是( )A. P 和Q 都在l 上B. P 和Q 都不在l 上C. P 在l 上, Q 不在l 上D. P 不在l 上, Q 在l 上8.点()2,3P 到直线()()1300ax a y a +-+=≠的距离d 最大时, d 与a 的值依次为( ) A.3,-3 B.5,1 C.5,2 D.7,19.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯( ) A.1盏B.3盏C.5盏D.9盏10.在各项均为正数的等比数列中，公比，若，，数列的前n 项和为，，则当取最小值时，n 的值为A. 4B. 6C. 4或5D. 5或6二、多选题（每小题5分，且每题有两个或两个以上正确选项，漏选得2分，错选或不选不得分）11.在公比q 为整数的等比数列中，是数列的前n 项和，若，，则下列说法正确的是A. B. 数列是等比数列C.D. 数列是公差为2的等差数列12.在三角形ABC 中，下列命题正确的有A. 若，则三角形ABC 有两解B. 若，则一定是钝角三角形 C. 若，则一定是等边三角形D. 若，则的形状是等腰或直角三角形第II 卷（非选择题，共90分)三、填空题（每小题5分，共20分） 13.已知直线：与：互相平行，则实数m 的值为_________ 14.在数列{}n a 中，已知11a =，11n n a a n +=++，则122020111a a a +++=______．15.设ABC ∆的内角A B C 、、所对的边分别为a b c 、、，且满足()222cos cos b a a B b A -=+，ABC ∆的周长为)521，则ABC ∆面积的最大值为_________.16.已知两个正数,x y 满足4x y +=,则使不等式14m x y+≥恒成立的实数m 的范围是______. 四、解答题（共70分，其中17题10分，其余各小题12分） 17.已知直线l 经过点()2,5P -，且斜率为34-（1）求直线l 的方程；（2）若直线m 与l 平行，且点P 到直线m 的距离为3，求直线m 的方程.18.在ABC △中,,a b c 分别为内角,,A B C 所对的边，已知cos a A R =，其中R 为ABC △外接圆的半径，222+a b c +，其中S 为ABC ∆的面积． （1）求sin C ；（2）若a b -=ABC ∆的周长．19.已知数列12n n a -⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以2为首项，2为公比的等比数列，（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2log n n b a =()n N *∈，求数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T20.已知不等式2364ax x -+>的解集为{|1x x <或},x b > (1)求,;a b(2)解不等式()20ax ac b x bc -++<21.已知数列{}n a 满足()2*123234N n a a a na n n n ++++=+∈.（1）证明数列{}n na 为等差数列；（2）若2nn n b na =⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .22.某动物园要为刚入园的小动物建造一间两面靠墙的三角形露天活动室，地面形状如图所示，已知已有两面墙的夹角为，墙AB的长度为6米，已有两面墙的可利用长度足够大，记．若，求的周长结果精确到米；为了使小动物能健康成长，要求所建的三角形露天活动室面积的面积尽可能大，问当为何值时，该活动室面积最大？并求出最大面积．1.答案：C解析：在等差数列{}n a中，540S =，9126S =，1151040936126a d a d +=⎧∴⎨+=⎩，即1128414a d a d +=⎧∴⎨+=⎩， 解得12a =，3d =， 7767231463772S ⨯∴=⨯+⨯=+= 综上所述，答案选择：C 2.答案：B解析：在ABC △中4cos 5A =,∴3sin 5A =，∵2b =,面积3S =,∴1sin 2S bc A =，∴133225c =⨯⨯，解得5c =， ∴由余弦定理可得2222cos a b c bc A =+-， 222cos 13b c bc A =+-=,即a =故选：B. 3.答案：D解析：因为AD 是A ∠的平分线， 所以ABAC BDCD =， 不妨设2BD x =，CD x =， 结合已知得cos BAD cos CAD ∠=∠，由余弦定理得：2214411221211x x +-+-=⨯⨯⨯⨯，解得x =，负值舍去，所以32BC x ==. 所以22218411422218AB AC BC cosA AB AC +-+-===⋅⨯⨯，可得sinA =所以112122ABC S AB AC sinA ∆=⋅⋅=⨯⨯4.答案：A解析：根据题意,由于不等式210ax bx --≥的解集是11,23⎡⎤--⎢⎥⎣⎦,则可知112311123b aa ⎧--=⎪⎪⎨⎛⎫⎪-⨯-=- ⎪⎪⎝⎭⎩ ∴6,5a b =-=,那么可知不等式2560x x -+<的解集为()2,3,故选A5.C6.C7.答案：A8.答案：B 解析：()222221512111d a a a a a ==+--+=⎛⎫-+ ⎪⎝⎭,所以当110a-=,即 1a =时, d 取得最大值, max 5d =.故选B. 9.答案：B解析：设塔的顶层有灯1a 盏,由已知公比72,381q S ==, 则可得()()77117112381112a q a S q--===--,解得13a =.10. 【解析】解：是等比数列且，，公比，解得：，，解得或舍去，，则，，则数列的前n 项和，，，所以或5时，取最小值．故选：C．由题意求出等比数列的公比，然后求出等比数列的通项公式，代入，得到数列为等差数列，求出的表达式，利用二次函数的性质判断最小值，继而求出n的值即可．本题考查了等比数列的性质，考查了等差关系的确定以及数列求最值等知识，是中档题．11.【答案】ABC本题主要考查了等比数列的通项公式和前n项和公式以及综合运用，属于中档题．首先由已知确定公比q，再逐一判断即可．【解答】解：，且公比q为整数，，或舍去故A正确，，，故C正确；，故数列是等比数列，故B正确；而，故数列是公差为lg2的等差数列，故D错误．故选ABC．12.BCD本题考查了正弦定理和两角和与差的三角函数公式，根据题意逐一判定即可得出结论．【解答】解：由正弦定理得，即，得，由，所以，所以B为锐角，所以三角形ABC有一解，故A错误；若，则，，所以A、B为锐角，则，所以，所以为锐角，所以C 为钝角，则一定是钝角三角形，故B 正确；若，所以，则，则，则一定是等边三角形，故C 正确；若，则由正弦定理得，即，则，所以，则或，所以或，所以的形状是等腰或直角三角形，故D 正确．故选BCD ．13. -1 【解析】解：直线：与：互相平行，，解得实数．14.答案：4040202115.25416.答案：94m ≤解析：由题意知两个正数,x y 满足4x y +=, 则14559 144444x y x y y x x y x y x y +++=+=++≥+=, 当4y x x y =时取等号;∴14x y +的最小值是94,∵不等式14m x y +≥恒成立,∴94m ≤.故答案为: 94m ≤. 17.答案：1.直线l 的方程为: ()3524y x -=-+整理得 34140x y +-=.2.设直线m 的方程为340x y n ++=,3d ==,解得1n =或29-.∴直线m 的方程为3410x y ++=或34290x y +-=.18.答案：（1；（2解析：（1）由正弦定理得：2sin a R A =，∴2sin cos R A A R =， ∴sin 21A =，又022A <<π， ∴22A π=，则4A π=．1sin 2S ac B =，2221csin 2a cb a B +-=⋅，由余弦定理可得2cos sin ac BB =， ∴tan B ，又0B <<π，∴3B π=，∴()sin sin sin 43C A B ππ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭；（2）由正弦定理得sin sin a A bB ==又ab -=a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，∴c =， ∴ABC △的周长2a b c ++= 19. （1）212n na -=；（2）21n nT n =+ 20.答案：(1).因为不等式2364ax x -+>的解集为{|1x x <或},x b >所以11x =与2x b =是方程2320ax x -+=的两个实数根,且1b >由根与系数的关系,得3121b a b a ⎧+=⎪⎪⎨⎪⨯=⎪⎩解得12a b =⎧⎨=⎩ 所以1,2a b ==(2) 所以不等式()20,ax ac b x bc -++< 即()2220,x c x c -++<即()()20x x c --< 当2c >时,不等式()()20x x c --<的解集为{}|2;x x c <<当2c <时,不等式()()20x x c --<的解集为{}|2;x c x <<当2c =时,不等式()()20x x c --<的解集为∅,综上,当2c >时,不等式()20ax ac b x bc -++<的解集为{}|2;x x c << 当2c <时,不等式()20ax ac b x bc -++<的解集为{}|2;x c x << 当2c =时,不等式()20ax ac b x bc -++<的解集为∅ 21.（1）证明见解析（2）1(21)22n n T n +=+⨯- 22.【答案】解：在中，由正弦定理可得，， 的周长为米 在中，由余弦定理：， ，，即，，此时，为等边三角形，，．【解析】在中，由正弦定理可得AC，BC，即可求的周长；利用余弦定理列出关系式，将c，cos C的值代入并利用基本不等式求出ab的最大值，利用三角形的面积公式求出面积的最大值，以及此时的值．此题考查了正弦定理、余弦定理，基本不等式的应用，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．。
2022-2023学年河北省邢台市高一(下)期中数学试卷【答案版】
2022-2023学年河北省邢台市高一（下）期中数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．复数z =1−√2i ，则（ ） A ．z 的实部为﹣1 B ．z 的虚部为−√2 C ．z 的虚部为−√2iD ．z 的虚部为12．在△ABC 中，AB ＝2，AC ＝3，BC =√15，则cos A ＝（ ） A ．−16B ．16C ．−112D ．1123．在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 为BC 的中点，在该正方体各棱所在的12条直线中，与直线D 1E 异面的共有（ ） A ．5条B ．6条C ．7条D ．8条4．在四面体ABCD 中，已知底面ABC 为正三角形，则“三棱锥D ﹣ABC 为正三棱锥”是“△ABD 与△BCD 均为等腰三角形”的（ ） A ．充要条件B ．必要不充分条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件5．（1+i ）4+i 57＝（ ） A ．4+iB ．﹣4+iC ．4﹣iD ．﹣4﹣i6．据重心低更稳定的原理，中国古代的智者发明了一种儿童玩具——不倒翁，如图所示，该不倒翁由上底面半径为2cm 、下底面半径为3cm 且母线为√10cm 的圆台与一个半球两部分构成，若半球的密度为圆台密度的3倍（圆台与半球均为实心），圆台的质量为190g ，则该不倒翁的总质量为（ ）A ．370gB ．490gC ．650gD ．730g7．在空间中，a ，b ，c 为互不重合的三条直线，α，β为两个不同的平面，则（ ） A ．对任意直线b ，c ，总存在直线a ，使得a ∥b ，a ∥c B ．对任意直线b ，c ，总存在直线a ，使得a →⊥b →，a ⊥c C ．对任意平面α，β，总存在直线a ，使得a ⊥α，a ⊥β D ．对任意平面α，β，总存在直线a ，使得a ∥α，a ⊥β8．如图，已知AB ＝AC ，∠BAC =π6，分别以AB ，AC 为直径作半圆弧，D 是半圆弧的中点，E 为半圆弧上靠近点C 的三等分点，则向量AE →在向量AD →上的投影向量为（ ）A ．√3−38AD →B ．√2−√38AD →C ．√3−34AD →D ．√2−√34AD →二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分 9．在△ABC 中，AC =√2BC ，sin A =√24，则B 可能为（ ）A ．π6B ．π4C ．3π4D ．5π610．已知四边形ABCD 用斜二测画法画出的直观图为直角梯形A ′B ′C ′D ′，如图所示，A ′B ′＝1，A ′D ′＝2，B ′C ′＝3，A ′B ′⊥B ′C ′，A ′D ′∥B ′C ′，则（ ）A ．AB ＝3B ．AB ＝2√2C ．DC ＝2√5D ．DC ＝2√311．如图，E ，H 分别在线段P A ，PD 上，C 是线段AD 的中点，F 是线段EH 的中点，AB →=2BC →，PC 与EH 交于点G ，则PG →=（ ）A ．14PE →+34PH →B ．35PF →+25PH →C ．13PE →+23PH →D ．23PF →+13PH →12．已知圆锥PO （P 为圆锥顶点，O 为底面圆心）的母线长为3cm ，高为2√2cm ，线段AB 为底面圆的一条直径，C 为线段PB 的中点，则（ ）A ．底面圆的周长为4πcmB ．圆锥的侧面展开图是圆心角为2π3的扇形C ．直线AC 与圆锥底面所成角的正切值为2√23D ．沿圆锥PO 的侧面由点A 到点C 的最短距离是3√32cm 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．13．若复数z ＝1+3i ，且z +m （m ∈R ）为纯虚数，则m ＝ ，（z ﹣m ）2在复平面内对应的点位于第 象限．14．已知向量a →=(x ，1)，b →=(x ，−9)，且a →，b →的夹角为钝角，则x 的取值范围为 ． 15．已知球O 的表面积为20π，平面α截球O 所得的截面面积为3π，则以O 为顶点，截面为底面的圆锥的体积为 ．16．罗星塔位于福建省福州市马尾区南部的闽江之滨，是国际公认的航标、闽江门户标志，有“中国塔“之誉．如图，为测量罗星塔的塔高AB ，选取与塔底B 在同一水平面的两个测量基点C 与D ．现测得∠BCD ＝31.58°，∠BDC ＝120°，CD ＝10m ，在点C 处测得塔顶A 的仰角为60°，则估计罗星塔的塔高AB ＝ m ．（参考数据：取sin28.42°＝0.476，结果精确到0.1m ）四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17．（10分）已知a →，b →是两个单位向量，且a →与b →的夹角为5π6．（1）求|2√3a →+b →|；（2）求a →与2√3a →+b →的夹角的余弦值．18．（12分）（1）在复数范围内解方程x 2﹣10x +27＝0； （2）若复数z 满足|z |＝|z ﹣2|，z −z ＝2i ，求z 3+2i．19．（12分）如图，四棱锥E ﹣ABCD 的底面为菱形，EA ⊥底面ABCD ，且AE ＝2，AC ＝4，∠ABC =π3． （1）若点P ∈平面ABE ，且P ∈平面ADE ，证明P ∈AE ，并求PC 的最小值； （2）求点A 到平面CDE 的距离．20．（12分）如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，M 是AC 的中点． （1）证明：AB 1∥平面MBC 1．（2）若△ABC 是正三角形，AB ＝2，BM ＝MC 1，求三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的表面积．21．（12分）在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，已知2sin 2A ＝sin B sin C ． （1）求cos A 的最小值； （2）若a =√15，cos(B −C)=116，求△ABC 外接圆的周长 22．（12分）如图，四边形ABCD 是边长为2的正方形，△BCP 与△CDQ 均为正三角形，将△ABD ，△BCP 与△CDQ 向上折起，使得A ，P ，Q 三点重合于点A 1，得到三棱锥A 1﹣BCD ．（1）证明：平面BCD ⊥平面A 1BD ．（2）设E 为棱A 1D 上一点，二面角D ﹣BC ﹣E 为45°，求三棱锥A 1﹣BCE 的体积．2022-2023学年河北省邢台市高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．复数z=1−√2i，则（）A．z的实部为﹣1B．z的虚部为−√2C．z的虚部为−√2i D．z的虚部为1解：复数z=1−√2i的实部为1，虚部为−√2．故选：B．2．在△ABC中，AB＝2，AC＝3，BC=√15，则cos A＝（）A．−16B．16C．−112D．112解：因为AB＝2，AC＝3，BC=√15，所以由余弦定理得cosA=AB2+AC2−BC22×AB×AC=22+32−152×2×3=−16．故选：A．3．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为BC的中点，在该正方体各棱所在的12条直线中，与直线D1E异面的共有（）A．5条B．6条C．7条D．8条解：如图与直线D1E异面的直线为AB，AD，AA1，CD，B1C1，BB1，CC1，A1B1，共8条．故选：D．4．在四面体ABCD中，已知底面ABC为正三角形，则“三棱锥D﹣ABC为正三棱锥”是“△ABD与△BCD均为等腰三角形”的（）A．充要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件解：根据题意，若三棱锥D﹣ABC为正三棱锥，则AD＝BD＝CD，∴△ABD与△BCD均为等腰三角形，充分性成立；反之，若△ABD 与△BCD 均为等腰三角形，满足AB ＝BC ＝AC ＝CD ＝2，AD ＝BD ＝3，此时三棱锥D ﹣ABC 不是正三棱锥，必要性不成立；“三棱锥D ﹣ABC 为正三棱锥”是“△ABD 与△BCD 均为等腰三角形”的充分不必要条件． 故选：C ．5．（1+i ）4+i 57＝（ ） A ．4+iB ．﹣4+iC ．4﹣iD ．﹣4﹣i解：（1+i ）4+i 57＝[（1+i ）2]2+i 1+14×4＝（2i ）2+i ＝﹣4+i ． 故选：B ．6．据重心低更稳定的原理，中国古代的智者发明了一种儿童玩具——不倒翁，如图所示，该不倒翁由上底面半径为2cm 、下底面半径为3cm 且母线为√10cm 的圆台与一个半球两部分构成，若半球的密度为圆台密度的3倍（圆台与半球均为实心），圆台的质量为190g ，则该不倒翁的总质量为（ ）A ．370gB ．490gC ．650gD ．730g解：根据题意，如图，圆台的轴截面为等腰梯形ABCD ，且过点A 作AH ⊥BC ，垂足为H ，则由题意得：AB =√10cm ，AD ＝4cm ，BC ＝6cm ， 所以BH =12(BC −AD)=1cm ，AH =√AB 2−BH 2=3cm ，故圆台的体积V 1=13×3×(22×π+√22×π×32×π+32×π)=19πcm 3，又半球的体积V 2=12×4π3×33=18πcm 3， 因为半球的密度为圆台密度的3倍， 所以半球的重量为V 2V 1×190×3=1819×190×3=540g故该不倒翁的总重量为190+540＝730g ． 故选：D ．7．在空间中，a ，b ，c 为互不重合的三条直线，α，β为两个不同的平面，则（ ） A ．对任意直线b ，c ，总存在直线a ，使得a ∥b ，a ∥c B ．对任意直线b ，c ，总存在直线a ，使得a →⊥b →，a ⊥c C ．对任意平面α，β，总存在直线a ，使得a ⊥α，a ⊥β D ．对任意平面α，β，总存在直线a ，使得a ∥α，a ⊥β解：当直线b 与c 不平行时，不存在直线a ，使得a ∥b ，a ∥c ，故A 错误； 当b ∥c 时，存在直线a ，满足a →⊥b →，a ⊥c ；当直线b 与c 相交时，存在直线a 垂直于直线b ，c 所确定的平面时，即可满足a →⊥b →，a ⊥c ； 当b ，c 异面时，存在直线a 垂直于与直线b ，c 均平行的平面，满足a →⊥b →，a ⊥c ． 即对任意直线b ，c ，总存在直线a ，使得a →⊥b →，a ⊥c ，故B 正确； 当α与β不平行时，不存在直线a ，使得a ⊥α，a ⊥β，故C 错误； 当α∥β时，不存在直线a ，使得a ∥α，a ⊥β，故D 错误． 故选：B ．8．如图，已知AB ＝AC ，∠BAC =π6，分别以AB ，AC 为直径作半圆弧，D 是半圆弧的中点，E 为半圆弧上靠近点C 的三等分点，则向量AE →在向量AD →上的投影向量为（ ）A ．√3−38AD →B ．√2−√38AD →C ．√3−34AD →D ．√2−√34AD →解：设AB ＝AC ＝a ，则AE =√32a ，AD =√22a ，∠DAE =7π12，∴向量AE →在向量AD →上的投影为：|AE →|cos∠DAE =√32a ×√2−√64=√6−3√28a ，∴向量AE →在向量AD →上的投影向量为：√6−3√28a ×AD →|AD →|=√3−34AD →．故选：C ．二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分 9．在△ABC 中，AC =√2BC ，sin A =√24，则B 可能为（ ）A ．π6B ．π4C ．3π4D ．5π6解：因为在△ABC 中，ACsinB=BC sinA，AC =√2BC ，所以sinB =ACsinA BC =√2×√24=12， 又0＜B ＜π，所以B =π6或B =5π6． 故选：AD ．10．已知四边形ABCD 用斜二测画法画出的直观图为直角梯形A ′B ′C ′D ′，如图所示，A ′B ′＝1，A ′D ′＝2，B ′C ′＝3，A ′B ′⊥B ′C ′，A ′D ′∥B ′C ′，则（ ）A ．AB ＝3B ．AB ＝2√2C ．DC ＝2√5D ．DC ＝2√3解：根据斜二测画法可还原四边形ABCD 的平面图，过点D 作DH ⊥BC ，垂足为H ，如下图所示， OA =2OA ′=2√2A′B′=2√2，OB ＝O ′B ′＝A ′B ′＝1， 所以AB =√OA 2+OB 2=√8+1=3，选项A 正确，选项B 错误；因为BC ＝B ′C ′＝3，AD ＝A 'D '＝2，所以HC ＝BC +OB ﹣AD ＝3+1﹣2＝2，又DH =OA =2√2，所以DC =√DH 2+HC 2=√8+4=2√3，选项C 错误，选项D 正确． 故选：AD ．11．如图，E ，H 分别在线段P A ，PD 上，C 是线段AD 的中点，F 是线段EH 的中点，AB →=2BC →，PC 与EH 交于点G ，则PG →=（ ）A ．14PE →+34PH →B ．35PF →+25PH →C ．13PE →+23PH →D ．23PF →+13PH →解：设PE →=λPA →，PH →=μPD →，因为F 是线段EH 的中点，则有PF →=12(PE →+PH →)=λ2PA →+μ2PD →，由AB →=2BC →，可得AB →=13AD →，设PF →=tPB →=t （PA →+AB →）＝t （PA →+13AD →）＝t PA →+t 3(PD →−PA →)=2t 3PA →+t 3PD →， 则由平面向量基本定理可得{λ2=2t 3μ2=t 3，解得λ＝2μ， 又E ，G ，H 三点共线，故可设PG →=mPE →+(1−m)PH →=m λPA →+（1﹣m ）μPD →， 设PG →=nPC →，由C 为AD 中点可知PG →=n 2(PA →+PD →)，∴{mλ=n2(1−m)μ=n 2，将λ＝2μ代入可得m =13，即PG →=13PE →+23PH →．又PG →=λ3PA →+2μ3PD →=2μ3(PA →+PD →)， PF →=λ2PA →+μ2PD →=μPA →+μ2PD →， PH →=μPD →， 设PG →=x PF →+y PH →，则有2μ3(PA →+PD →)=x （μPA →+μ2PD →）+y μPD →，即{x =23x 2+y =23，解得x =23，y =13，故PG →=23PF →+13PH →．故选：CD ．12．已知圆锥PO （P 为圆锥顶点，O 为底面圆心）的母线长为3cm ，高为2√2cm ，线段AB 为底面圆的一条直径，C 为线段PB 的中点，则（ ） A ．底面圆的周长为4πcmB ．圆锥的侧面展开图是圆心角为2π3的扇形C ．直线AC 与圆锥底面所成角的正切值为2√23D ．沿圆锥PO 的侧面由点A 到点C 的最短距离是3√32cm解：对于A ，设圆锥的底面半径为r ，则r =√32−(2√2)2=1(cm)， 所以圆锥的底面圆的周长为2πr ＝2π（cm ），A 错误；对于B ，设圆锥侧面展开图扇形的圆心角为α，则其侧面展开图面积S =12α×32=92α， 又圆锥侧面展开图面积S ＝3πr ＝3π，所以92α=3π，所以α=2π3，B 正确；对于C ，取OB 的中点H ，连接CH ，因为C ，H 分别为BP ，OB 中点， 所以CH ∥OP ，又OP ⊥底面圆O ， 所以CH ⊥底面圆O ，所以直线AC 与底面所成的角为∠CAH ， 因为CH =12OP =√2，AH =32r =32， 所以直线AC 与底面所成角的正切值为CHAH=√232=2√23，C 正确；对于D ，圆锥PO 的侧面展开图如图所示，在△APC 中，AP ＝3，PC =32，∠APC =π3， 所以AC =√AP 2+PC 2−2AP ⋅PCcos π3=3√32， 所以沿圆锥PO 的侧面由点A 到点C 的最短距离是3√32cm ，D 正确．故选：BCD ．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．13．若复数z ＝1+3i ，且z +m （m ∈R ）为纯虚数，则m ＝ ﹣1 ，（z ﹣m ）2在复平面内对应的点位于第 二象限．解：∵z +m ＝m +1+3i 为纯虚数，∴m +1＝0，解得：m ＝﹣1； ∵（z ﹣m ）2＝（2+3i ）2＝﹣5+12i 对应的点为（﹣5，12）， ∴（z ﹣m ）2在复平面内对应的点为与第二象限． 故答案为：﹣1；二．14．已知向量a →=(x ，1)，b →=(x ，−9)，且a →，b →的夹角为钝角，则x 的取值范围为 （﹣3，0）∪（0，3） ．解：∵向量a →=(x ，1)，b →=(x ，−9)，且a →，b →的夹角为钝角， ∴a →⋅b →＜0且a →，b →不共线，即{x 2−9＜0−9x ≠x ，解得﹣3＜x ＜3且x ≠0， 所以x 的取值范围为（﹣3，0）∪（0，3）． 故答案为：（﹣3，0）∪（0，3）．15．已知球O 的表面积为20π，平面α截球O 所得的截面面积为3π，则以O 为顶点，截面为底面的圆锥的体积为 √2π ．解：设球O 的半径为R ，截面圆O 1的半径为r ，球心O 到平面α的距离为d ， ∵4πR 2＝20π，πr 2＝3π，∴R 2＝5，r 2＝3，∴d =√R 2−r 2=√2， ∴以O 为顶点，截面为底面的圆锥的体积为V =13πr 2d =√2π． 故答案为：√2π．16．罗星塔位于福建省福州市马尾区南部的闽江之滨，是国际公认的航标、闽江门户标志，有“中国塔“之誉．如图，为测量罗星塔的塔高AB ，选取与塔底B 在同一水平面的两个测量基点C 与D ．现测得∠BCD ＝31.58°，∠BDC ＝120°，CD ＝10m ，在点C 处测得塔顶A 的仰角为60°，则估计罗星塔的塔高AB ＝ 31.5 m ．（参考数据：取sin28.42°＝0.476，结果精确到0.1m ）解：因为∠BCD ＝31.58°，∠BDC ＝120°，CD ＝10m ， 由题意可知∠CBD ＝180°﹣120°﹣31.58°＝28.42°， 由正弦定理可得：CB =CD sin∠CBD ×sin∠BDC =100.476×√32=5√30.476，所以AB =CB ⋅tan60°=5√30.476×√3=150.476， 因为150.476≈31.5，所以罗星塔的塔高AB 约为31.5m ．故答案为：31.5．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17．（10分）已知a →，b →是两个单位向量，且a →与b →的夹角为5π6．（1）求|2√3a →+b →|；（2）求a →与2√3a →+b →的夹角的余弦值． 解：（1）∵a →⋅b →=|a →|⋅|b →|cos〈a →，b →〉=cos5π6=−√32， ∴|2√3a →+b →|2=12a →2+4√3a →⋅b →+b →2=12−6+1=7，∴|2√3a →+b →|=√7； （2）∵a →⋅(2√3a →+b →)=2√3a →2+a →⋅b →=2√3−√32=3√32， ∴cos〈a →，2√3a →+b →〉=a →⋅(2√3a →+b →)|a →|⋅|2√3a →+b →|=3√327=3√2114． 18．（12分）（1）在复数范围内解方程x 2﹣10x +27＝0； （2）若复数z 满足|z |＝|z ﹣2|，z −z ＝2i ，求z 3+2i．解：（1）由x 2﹣10x +27＝（x ﹣5）2+2＝0， 可得(x −5)2=−2=(√2i)2，则x −5=±√2i ，所以方程x 2﹣10x +27＝0的解为x =5−√2i 或5+√2i ．（2）设z ＝a +bi （a ，b ∈R ），则由|z |＝|z ﹣2|，得√a 2+b 2=√(a −2)2+b 2，解得a ＝1． 又z −z =−2bi =2i ，所以b ＝﹣1， 所以z 3+2i=1−i 3+2i=(1−i)(3−2i)(3+2i)(3−2i)=3−2−2i−3i9+4=1−5i 13=113−513i ．19．（12分）如图，四棱锥E ﹣ABCD 的底面为菱形，EA ⊥底面ABCD ，且AE ＝2，AC ＝4，∠ABC =π3． （1）若点P ∈平面ABE ，且P ∈平面ADE ，证明P ∈AE ，并求PC 的最小值； （2）求点A 到平面CDE 的距离．解：（1）证明：因为平面ABE ∩平面ADE ＝AE ， 又点P ∈平面ABE ，且P ∈平面ADE ，所以P ∈AE ． 因为EA ⊥底面ABCD ，所以EA ⊥AC ， 设P 到A 的距离为d ，则PC =√d 2+AC 2=√d 2+16≥4， 所以当d ＝0时，PC 取得最小值4．（2）因为四边形ABCD 为菱形，且AC ＝4，∠ABC =π3， 所以AD ＝CD ＝AC ＝4，因为EA ⊥底面ABCD ，AD ⊂面ABCD ， 所以EA ⊥AD ，因为AE ＝2，所以DE =2√5， 同理可得CE =2√5，所以，S △CDE =12×4×√(2√5)2−22=8， 设点A 到平面CDE 的距离为h ， 由V A ﹣CDE ＝V E ﹣ACD ， 得13×8ℎ=13×12×42×√32×2， 解得ℎ=√3．20．（12分）如图，在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，M 是AC 的中点． （1）证明：AB 1∥平面MBC 1．（2）若△ABC 是正三角形，AB ＝2，BM ＝MC 1，求三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的表面积．（1）证明：连接B 1C 交BC 1于点O ，则O 是B 1C 的中点．因为M 是AC 的中点，所以MO ∥AB 1．又MO ⊂平面MBC 1，AB 1⊄平面MBC 1，所以AB 1∥平面MBC 1 （2）解：因为△ABC 为正三角形，M 是AC 的中点，所以BM ⊥AC ． 因为AB ＝2，所以BM =√3．在直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，CC 1⊥底面ABC ，则CC 1⊥AC ， 因为BM ＝MC 1，所以CC 1=√C 1M 2−MC 2=√(√3)2−12=√2， 所以三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的表面积为√34×22×2+2×√2×3=2√3+6√2．21．（12分）在△ABC 中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，已知2sin 2A ＝sin B sin C ． （1）求cos A 的最小值；（2）若a =√15，cos(B −C)=116，求△ABC 外接圆的周长 解：（1）∵2sin 2A ＝sin B sin C ，∴由正弦定理可得：2a 2＝bc ，由余弦定理得：cosA =b 2+c 2−a 22bc =b 2+c 2−bc 22bc ≥2bc−bc 22bc =34（当且仅当b ＝c 时取等号）， ∴cos A 的最小值为34；（2）∵cos(B−C)=cosBcosC+sinBsinC=116，cos A＝﹣cos（B+C）＝﹣cos B cos C+sin B sin C，∴cosA+116=2sinBsinC=4sin2A=4−4cos2A，解得：cosA=78或cosA=−98，又cosA≥34，∴cosA=78，又A∈（0，π），∴sinA=√1−cos2A=√158，设△ABC外接圆半径为r，由正弦定理得：2r=asinA=√15√158=8，∴r＝4，∴△ABC外接圆的周长为2πr＝8π．22．（12分）如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，△BCP与△CDQ均为正三角形，将△ABD，△BCP与△CDQ向上折起，使得A，P，Q三点重合于点A1，得到三棱锥A1﹣BCD．（1）证明：平面BCD⊥平面A1BD．（2）设E为棱A1D上一点，二面角D﹣BC﹣E为45°，求三棱锥A1﹣BCE的体积．（1）证明：取BD的中点M，连接A1M，CM，则A1M⊥BD，依题意可得A1C＝PC＝2，A1M=√2，CM=√2，所以A1M2+CM2=A1C2，所以A1M⊥CM，又BD∩CM＝M，BD⊂平面BCD，CM⊂平面BCD，所以A1M⊥平面BCD，又因为A1M⊂平面A1BD，所以平面BCD⊥平面A1BD；（2）解：如图，作EF∥A1M交BD于F，作FG⊥BC于G，连接EG，因为A1M⊥平面BCD，所以EF⊥平面BCD，所以EF⊥BC，又FG⊥BC，FG∩EF＝F，EF⊂平面EFG，FG⊂平面EFG，所以BC⊥平面EFG，所以BC⊥EG，则∠EGF是二面角D﹣BC﹣E的平面角，则∠EGF＝45°，因此△EFG是等腰直角三角形，设EF＝GF＝x，则EFA1M =FDMD，得FD＝x，由GFCD =BFBD，得x2=√2−x2√2，得x=4−2√2，V A1−BCD =13S△BCD⋅A1M=13×12×2×2×√2=2√23，V E−BCD=13S△BCD⋅EF=13×12×2×2×(4−2√2)=8−4√23，故V A1−BCE =V A1−BCD−V E−BCD=2√23−8−4√23=6√2−83．。
2020年高一数学第二学期期中模拟试卷及答案(共七套)
2020年年高一数学第二学期期中模拟试卷及答案（共七套）2020年年高一数学第二学期期中模拟试卷及答案（一）一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分，有且只有一个选项正确）1．如果cosθ＜0，且tanθ＞0，则θ是（）A．第一象限的角B．第二象限的角C．第三象限的角D．第四象限的角2．①某高校为了解学生家庭经济收入情况，从来自城镇的150名学生和来自农村的150名学生中抽取100名学生的样本；②某车间主任从100件产品中抽取10件样本进行产品质量检验．I．简单随机抽样法；Ⅱ．分层抽样法．上述两问题和两方法配对正确的是（）A．①配I，②配ⅡB．①配Ⅱ，②配ⅠC．①配I，②配I D．①配Ⅱ，②配Ⅱ3．某研究机构对儿童记忆能力x和识图能力y进行统计分析，得到如下数据：46810记忆能力x3568识图能力y由表中数据，求得线性回归方程为，=x+，若某儿童的记忆能力为11时，则他的识图能力约为（）A．8.5 B．8.7 C．8.9 D．94．如果如图所示程序执行后输出的结果是480，那么在程序UNTIL 后面的“条件”应为（）A．i＞8 B．i＞=8 C．i＜8 D．i＜=85．若，，则sin（2π﹣α）=（）A． B．C． D．6．天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为50%．现采用随机模拟试验的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率：先利用计算器产生0到9之间取整数值的随机数，用0，1，2，3，4表示下雨，用5，6，7，8，9表示不下雨；再以每三个随机数作为一组，代表这三天的下雨情况．经随机模拟试验产生了如下20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683431 257 393 027 556 488 730 113 537 989据此估计，这三天中恰有两天下雨的概率近似为（）A．0.30 B．0.35 C．0.40 D．0.507．如图的茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为（）A． B． C．D．8．若sinα=，cosα=﹣，则在角α终边上的点是（）A．（﹣4，3）B．（3，﹣4）C．（4，﹣3）D．（﹣3，4）9．记集合A={x，y）|x2+y2≤4}和集合B={（x，y）|x﹣y﹣2≤0，x ﹣y+2≥0}表示的平面区域分别为Ω1、Ω2，若在区域Ω1内任取一点M （x，y），则点M落在区域Ω2内的概率为（）A．B．C． D．10．当x=时，函数f（x）=Asin（x+φ）（A＞0）取得最小值，则函数y=f（﹣x）是（）A．奇函数且图象关于直线x=对称B．偶函数且图象关于点（π，0）对称C．奇函数且图象关于（，0）对称D．偶函数且图象关于点（，0）对称二、填空题：（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请将正确的答案填在横线上）11．已知扇形AOB的周长是6，中心角是2弧度，则该扇形的面积为．12．设a=sin33°，b=cos55°，c=tan35°，则a，b，c三数由大到小关系为．13．高一（9）班同学利用国庆节进行社会实践，对[25，55]岁的人群随机抽取n人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：则统计表中的a•p=．组数分组低碳族的人数占本组的频率第一组[25，30）1200.6第二组[30，35）195p第三组[35，40）1000.5第四组[40，45）a0.4第五组[45，50）300.3第六组[50，55）150.314．已知函数f（x）=x+sinπx，则f（）+f（）+f（）+…+f （）的值为．三、解答题：（本大题有3个小题，共30分．请书写完整的解答过程）15．（10分）某中学调查了某班全部50名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：（单位：人）参加书法社团未参加书法社团参加演讲社团86未参加演讲社团630（I）从该班随机选1名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率；（II）在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A1，A2，A3，A4，A5，3名女同学B1，B2，B3，现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A1被选中且B1未被选中的概率．16．（10分）某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[160，180），[180，200），[200.220），[220，240），[240，260），[260，280），[280，300]分组的频率分布直方图如图示．（Ⅰ）求直方图中x的值；（Ⅱ）求月平均用电量的众数和中位数；（Ⅲ）在月平均用电量为[220，240），[240，260），[260，280）的三组用户中，用分层抽样的方法抽取10户居民，则月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取多少户？17．（10分）已知：﹣＜x＜﹣π，tanx=﹣3．（Ⅰ）求sinx•cosx的值；（Ⅱ）求的值．四、选择题：（本大题共2小题，每小题5分，共15分，有且只有一个选项正确）18．现有1名女教师和2名男教师参加说题比赛，共有2道备选题目，若每位选手从中有放回地随机选出一道题进行说题，其中恰有一男一女抽到同一道题的概率为（）A．B．C．D．19．函数y=，x∈（﹣，0）∪（0，）的图象可能是下列图象中的（）A．B．C．D．五、填空题：（共5分．请将正确的答案填在横线上）20．将函数f（x）=2cos2x的图象向右平移个单位得到函数g（x）的图象，若函数g（x）在区间和上均单调递增，则实数a的取值范围是．六、解答题：（本大题有3个小题，共35分．请书写完整的解答过程）21．（11分）已知关于x的二次函数f（x）=ax2﹣4bx+1．（Ⅰ）设集合A={﹣1，1，2，3，4，5}和B={﹣2，﹣1，1，2，3，4}，分别从集合A，B中随机取一个数作为a和b，求函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率．（Ⅱ）设点（a，b）是区域内的随机点，求函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率．22．（12分）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，﹣π＜φ＜0）．（1）若f（x）的部分图象如图所示，求f（x）的解析式；（2）在（1）的条件下，求最小正实数m，使得函数f（x）的图象向左平移m个单位后所对应的函数是偶函数；（3）若f（x）在[0，]上是单调递增函数，求ω的最大值．23．（12分）我们把平面直角坐标系中，函数y=f（x），x∈D上的点P（x，y），满足x∈N*，y∈N*的点称为函数y=f（x）的“正格点”．（Ⅰ）若函数f（x）=sinmx，x∈R，m∈（3，4）与函数g（x）=lgx 的图象有正格点交点，求m的值，并写出两个函数图象的所有交点个数．（Ⅱ）对于（Ⅰ）中的m值，函数f（x）=sinmx，时，不等式log a x＞sinmx恒成立，求实数a的取值范围．参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分，有且只有一个选项正确）1．如果cosθ＜0，且tanθ＞0，则θ是（）A．第一象限的角B．第二象限的角C．第三象限的角D．第四象限的角【考点】GC：三角函数值的符号．【分析】根据三角函数的符号，判断θ是哪一象限角即可．【解答】解：∵cosθ＜0，∴θ是第二、第三象限角或x负半轴角，又tanθ＞0，∴θ是第一或第三象限角，∴θ是第三象限角．故选：C．【点评】本题考查了根据三角函数值判断三角函数符号的应用问题，是基础题目．2．①某高校为了解学生家庭经济收入情况，从来自城镇的150名学生和来自农村的150名学生中抽取100名学生的样本；②某车间主任从100件产品中抽取10件样本进行产品质量检验．I．简单随机抽样法；Ⅱ．分层抽样法．上述两问题和两方法配对正确的是（）A．①配I，②配ⅡB．①配Ⅱ，②配ⅠC．①配I，②配I D．①配Ⅱ，②配Ⅱ【考点】B3：分层抽样方法；B2：简单随机抽样．【分析】由题意知①的总体中个体明显分层两，用分层抽样，②的总体中个体的数目不大用简单分层抽样．【解答】解：①、总体中个体明显分层两层：来自城镇的学生和来自农村的学生，故用分层抽样来抽取样本；②，总体中个体的数目是100，不是很大，故用简单分层抽样来抽取样本．故选B．【点评】本题的考点是选择抽样方法，即根据总体的特征和抽样方法适用的条件进行选择最佳方法．3．某研究机构对儿童记忆能力x和识图能力y进行统计分析，得到如下数据：46810记忆能力x3568识图能力y由表中数据，求得线性回归方程为，=x+，若某儿童的记忆能力为11时，则他的识图能力约为（）A．8.5 B．8.7 C．8.9 D．9【考点】BK：线性回归方程．【分析】由表中数据计算、，根据线性回归方程过样本中心点求出，写出线性回归方程，利用回归方程计算x=11时的值．【解答】解：由表中数据，计算=×（4+6+8+10）=7，=×（3+5+6+8）=5.5，且线性回归方程=x+过样本中心点（，），∴=5.5﹣×7=﹣0.1=﹣，∴线性回归方程为=x﹣；当x=11时，=×11﹣=8.7，即某儿童的记忆能力为11时，他的识图能力约为8.7．故选：B．【点评】本题考查了线性回归方程过样本中心点的应用问题，是基础题．4．如果如图所示程序执行后输出的结果是480，那么在程序UNTIL 后面的“条件”应为（）A．i＞8 B．i＞=8 C．i＜8 D．i＜=8【考点】EA：伪代码．【分析】先根据输出的结果推出循环体执行的次数，再根据S=1×10×8×6=480得到程序中UNTIL后面的条件．【解答】解：因为输出的结果是480，即S=1×10×8×6，需执行3次，所以程序中UNTIL后面的“条件”应为i＜8．故选：C．【点评】本题主要考查了直到型循环语句问题，语句的识别是一个逆向性思维过程，是基础题．5．若，，则sin（2π﹣α）=（）A． B．C． D．【考点】GO：运用诱导公式化简求值．【分析】由条件利用诱导公式求得cosα的值，再根据α的范围求得sinα的值，可得要求式子的值．【解答】解：∵=﹣cosα，∴cosα=．又，∴sinα=﹣=﹣，∴sin（2π﹣α）=﹣sinα=，故选：B．【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式的应用，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．6．天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为50%．现采用随机模拟试验的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率：先利用计算器产生0到9之间取整数值的随机数，用0，1，2，3，4表示下雨，用5，6，7，8，9表示不下雨；再以每三个随机数作为一组，代表这三天的下雨情况．经随机模拟试验产生了如下20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683431 257 393 027 556 488 730 113 537 989据此估计，这三天中恰有两天下雨的概率近似为（）A．0.30 B．0.35 C．0.40 D．0.50【考点】CE：模拟方法估计概率．【分析】由题意知模拟三天中恰有两天下雨的结果，分析所给的数据可得表示三天下雨的数据组数，根据概率公式，计算可得结果．【解答】解：根据题意，用随机模拟试验模拟三天中恰有两天下雨的结果，分析可得：20组数据中表示三天中恰有两天下雨的有191、271、932、812、393、027、730，共7组，则这三天中恰有两天下雨的概率近似为=0.35；故选：B．【点评】本题考查模拟方法估计概率，解题主要依据是等可能事件的概率，注意列举法在本题的应用．7．如图的茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，则甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为（）A． B． C．D．【考点】BA：茎叶图；CB：古典概型及其概率计算公式．【分析】根据茎叶图中的数据，求出甲乙两人的平均成绩，再求出乙的平均成绩不小于甲的平均成绩的概率，即可得到答案．【解答】解：由已知中的茎叶图得，甲的平均成绩为（88+89+90+91+92）=90；设污损的数字为x，则乙的平均成绩为（83+83+87+99+90+x）=88.4+，当x=9，甲的平均数＜乙的平均数，即乙的平均成绩超过甲的平均成绩的概率为，当x=8，甲的平均数=乙的平均数，即乙的平均成绩等于甲的平均成绩的概率为，所以，甲的平均成绩超过乙的平均成绩的概率为1﹣﹣=．故选：D．【点评】本题考查了平均数，茎叶图，古典概型概率计算公式的应用问题，是基础题目．8．若sinα=，cosα=﹣，则在角α终边上的点是（）A．（﹣4，3）B．（3，﹣4）C．（4，﹣3）D．（﹣3，4）【考点】G9：任意角的三角函数的定义．【分析】利用三角函数的定义有sinα=，cosα=，从而可知选项．【解答】解：由于sinα=，cosα=﹣，根据三角函数的定义：sinα=，cosα=，可知x=﹣4，y=3，故选：A．【点评】本题主要考查了三角函数的定义．考查了学生对三角函数基础知识的掌握．9．记集合A={x，y）|x2+y2≤4}和集合B={（x，y）|x﹣y﹣2≤0，x ﹣y+2≥0}表示的平面区域分别为Ω1、Ω2，若在区域Ω1内任取一点M （x，y），则点M落在区域Ω2内的概率为（）A．B．C． D．【考点】CF：几何概型．【分析】分别求出集合A，B对应区域的面积，根据几何概型的概率公式即可得到结论．【解答】解：区域Ω1对应的面积S1=4π，作出平面区域Ω2，则Ω2对应的平面区域如图，则对应的面积S=2π+4，则根据几何概型的概率公式可知若在区域Ω1内任取一点M（x，y），则点M落在区域Ω2的概率为P==．故选；D【点评】本题主要考查几何概型的概率公式的计算，根据条件求出相应的面积是解决本题的关键．10．当x=时，函数f（x）=Asin（x+φ）（A＞0）取得最小值，则函数y=f（﹣x）是（）A．奇函数且图象关于直线x=对称B．偶函数且图象关于点（π，0）对称C．奇函数且图象关于（，0）对称D．偶函数且图象关于点（，0）对称【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；H2：正弦函数的图象．【分析】由题意可得sin（+φ）=﹣1，解得φ=2kπ﹣，k∈Z，从而可求y=f（﹣x）=﹣Asinx，利用正弦函数的图象和性质即可得解．【解答】解：由x=时函数f（x）=Asin（x+φ）（A＞0）取得最小值，∴﹣A=Asin（+φ），可得：sin（+φ）=﹣1，∴+φ=2kπ﹣，k∈Z，解得：φ=2kπ﹣，k∈Z，∴f（x）=Asin（x﹣），∴y=f（﹣x）=Asin（﹣x﹣）=﹣Asinx，∴函数是奇函数，排除B，D，∵由x=时，可得sin取得最大值1，故C错误，图象关于直线x=对称，A正确；故选：A．【点评】本题主要考查了正弦函数的图象和性质，考查了数形结合能力，属于基础题．二、填空题：（本大题有4小题，每小题5分，共20分．请将正确的答案填在横线上）11．已知扇形AOB的周长是6，中心角是2弧度，则该扇形的面积为．【考点】G8：扇形面积公式．【分析】由已知中，扇形AOB的周长是6cm，该扇形的中心角是2弧度，我们可设计算出弧长与半径的关系，进而求出弧长和半径，代入扇形面积公式，即可得到答案【解答】解：∵扇形圆心角2弧度，可得扇形周长和面积为整个圆的．弧长l=2πr•=2r，故扇形周长C=l+2r=4r=6，∴r=，扇形面积S=π•r2•=．故答案为：．【点评】本题考查的知识点是扇形面积公式，弧长公式，其中根据已知条件，求出扇形的弧长及半径，是解答本题的关键，属于基础题．12．设a=sin33°，b=cos55°，c=tan35°，则a，b，c三数由大到小关系为c＞b＞a．【考点】GA：三角函数线．【分析】分别作出三角函数线，比较可得．【解答】解：∵a=sin33°，b=cos55°，c=tan35°，作出三角函数线结合图象可得c＞b＞a，故答案为：c＞b＞a．【点评】本题考查三角函数线，数形结合是解决问题的关键，属基础题．13．高一（9）班同学利用国庆节进行社会实践，对[25，55]岁的人群随机抽取n人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：则统计表中的a•p= 65．组数分组低碳族的人数占本组的频率第一组[25，30）1200.6第二组[30，35）195p第三组[35，40）1000.5第四组[40，45）a0.4第五组[45，50）300.3第六组[50，55）150.3【考点】B8：频率分布直方图．【分析】由频率=，得第一组人数为200，由频率分布直方图得第一组的频率为0.2，从而n=1000，进而a=1000×0.02×5=100，第二组人数为1000×[1﹣（0.04+0.04+0.03+0.02+0.01）×5]=300，求出P==0.65，由此能求出a•P．【解答】解：由频率=，得第一组人数为：=200，由频率分布直方图得第一组的频率为：0.04×5=0.2，n==1000，∴a=1000×0.02×5=100，第二组人数为1000×[1﹣（0.04+0.04+0.03+0.02+0.01）×5]=300，∴P==0.65，∴a•P=100×0.65=65．故答案为：65．【点评】本题考查频率率的求法及应用，是基础题，解题时要认真审题，注意频率=及频率分布直方图的合理运用．14．已知函数f（x）=x+sinπx，则f（）+f（）+f（）+…+f （）的值为4033．【考点】3O：函数的图象；3T：函数的值．【分析】根据题意，求出f（2﹣x）的解析式，分析可得f（x）+f（2﹣x）=2，将f（）+f（）+f（）+…+f（）变形可得[f（）+f（）]+[f（）+f（）]+…[f（）+f（）]+f （1），计算可得答案．【解答】解：根据题意，f（x）=x+sinπx，f（2﹣x）=（2﹣x）+sin[π（2﹣x）]=（2﹣x）﹣sinx，则有f（x）+f（2﹣x）=2，f（）+f（）+f（）+…+f（）=[f（）+f（）]+[f （）+f（）]+…[f（）+f（）]+f（1）=4033；故答案为：4033．【点评】本题考查了利用函数的对称性求函数值的应用问题，关键是依据函数的解析式确定函数的对称中心．三、解答题：（本大题有3个小题，共30分．请书写完整的解答过程）15．（10分）（2017春•台江区校级期中）某中学调查了某班全部50名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：（单位：人）参加书法社团未参加书法社团参加演讲社团86未参加演讲社团630（I）从该班随机选1名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率；（II）在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A1，A2，A3，A4，A5，3名女同学B1，B2，B3，现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A1被选中且B1未被选中的概率．【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；B8：频率分布直方图．【分析】（Ⅰ）由调查数据可知，既未参加书法社团又未参加演讲社团的有30人，故至少参加上述一个社团的共有50﹣30=20（人），利用古典概率计算公式即可得出．（Ⅱ）从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，其一切可能的结果组成的基本事件有15个根据题意，这些基本事件的出现是等可能的，事件“A1被选中且B1未被选中”所包含的基本事件有：{A1，B2}，{A1，B3}，共2个，利用古典概率计算公式即可得出．【解答】解：（Ⅰ）由调查数据可知，既未参加书法社团又未参加演讲社团的有30人，故至少参加上述一个社团的共有50﹣30=20（人），所以从该班随机选1名同学，该同学至少参加上述一个社团的概率为P=．（4分）（Ⅱ）从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，其一切可能的结果组成的基本事件有：{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，B3}，{A4，B1}，{A4，B2}，{A4，B3}，{A5，B1}，{A5，B2}，{A5，B3}，共15个．…（6分）根据题意，这些基本事件的出现是等可能的，事件“A1被选中且B1未被选中”所包含的基本事件有：{A1，B2}，{A1，B3}，共2个．…（8分）因此，A1被选中且B1未被选中的概率为．…（10分）【点评】本题考查了古典概型及其概率计算公式、列举法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16．（10分）（2017春•黄山期末）某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[160，180），[180，200），[200.220），[220，240），[240，260），[260，280），[280，300]分组的频率分布直方图如图示．（Ⅰ）求直方图中x的值；（Ⅱ）求月平均用电量的众数和中位数；（Ⅲ）在月平均用电量为[220，240），[240，260），[260，280）的三组用户中，用分层抽样的方法抽取10户居民，则月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取多少户？【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；B8：频率分布直方图．【分析】（Ⅰ）由直方图的性质能求出直方图中x的值．（Ⅱ）由频率分布直方图能求出月平均用电量的众数和中位数．（Ⅲ）月平均用电量为[220，240]的用户有25户，月平均用电量为[240，260）的用户有15户，月平均用电量为[260，280）的用户有10户，由此能求出月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取的户数．【解答】（本小题10分）解：（Ⅰ）由直方图的性质，可得（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025）×20=1得：x=0.0075，所以直方图中x的值是0.0075．…（3分）（Ⅱ）月平均用电量的众数是=230．…（4分）因为（0.002+0.0095+0.011）×20=0.45＜0.5，所以月平均用电量的中位数在[220，240）内，设中位数为a，由（0.002+0.0095+0.011）×20+0.0125×（a﹣220）=0.5得：a=224，所以月平均用电量的中位数是224．…（6分）（Ⅲ）月平均用电量为[220，240]的用户有0.0125×20×100=25户，月平均用电量为[240，260）的用户有0.0075×20×100=15户，月平均用电量为[260，280）的用户有0.005×20×100=10户，…（8分）抽取比例==，所以月平均用电量在[220，240）的用户中应抽取25×=5户．…（10分）【点评】本题考查频率分布直方图的应用，考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用．17．（10分）（2017春•台江区校级期中）已知：﹣＜x＜﹣π，tanx=﹣3．（Ⅰ）求sinx•cosx的值；（Ⅱ）求的值．【考点】GH：同角三角函数基本关系的运用；GI：三角函数的化简求值．【分析】（Ⅰ）利用“切化弦”及其平方关系可得sinx•cosx的值；（Ⅱ）根据诱导公式化简，利用“弦化切”可得答案．【解答】解：（Ⅰ）∵tanx=﹣3，即=﹣3，且﹣＜x＜﹣π，sin2x+cos2x=1，∴cosx=﹣，sinx=．那么：sinx•cosx=．（Ⅱ）原式====﹣3．【点评】本题考查了“弦化切”及同角三角函数基本关系式，考查了计算能力，属于基础题．四、选择题：（本大题共2小题，每小题5分，共15分，有且只有一个选项正确）18．现有1名女教师和2名男教师参加说题比赛，共有2道备选题目，若每位选手从中有放回地随机选出一道题进行说题，其中恰有一男一女抽到同一道题的概率为（）A．B．C．D．【考点】CB：古典概型及其概率计算公式．【分析】基本事件总数n=23=8，设两道题分别为A，B题，利用列举法求出满足恰有一男一女抽到同一题目的事件个数，由此能求出其中恰有一男一女抽到同一道题的概率．【解答】解：现有1名女教师和2名男教师参加说题比赛，共有2道备选题目，若每位选手从中有放回地随机选出一道题进行说题，基本事件总数n=23=8，设两道题分别为A，B题，所以抽取情况共有：AAA，AAB，ABA，ABB，BAA，BAB，BBA，BBB，其中第1个，第2个分别是两个男教师抽取的题目，第3个表示女教师抽取的题目，一共有8种；其中满足恰有一男一女抽到同一题目的事件有：ABA，ABB，BAA，BAB，共4种，故其中恰有一男一女抽到同一道题的概率为p=．故选：C．【点评】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．19．函数y=，x∈（﹣，0）∪（0，）的图象可能是下列图象中的（）A．B．C．D．【考点】3O：函数的图象．【分析】根据三角函数图象及其性质，利用排除法即可．【解答】解：因为y=是偶函数，排除A，当x=1时，y=＞1，排除C，当x=时，y=＞1，排除B、C，故选D．【点评】本题考查了三角函数的图象问题，注意利用函数图象的寄偶性及特殊点来判断．五、填空题：（共5分．请将正确的答案填在横线上）20．将函数f（x）=2cos2x的图象向右平移个单位得到函数g（x）的图象，若函数g（x）在区间和上均单调递增，则实数a的取值范围是[，] ．【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）=2cos （2x﹣）；再利用条件以及余弦函数的单调性，求得a的范围．【解答】解：将函数f（x）=2cos2x的图象向右平移个单位得到函数g（x）=2cos（2x﹣）的图象，若函数g（x）在区间和上均单调递增，∴a＞0．由2kπ﹣π≤0﹣≤2kπ，且2kπ﹣π≤2•﹣≤2kπ，k∈Z，求得k=0，﹣π≤a≤①．由2nπ﹣π≤4a﹣≤2nπ，且2nπ﹣π≤2•﹣≤2nπ，求得n=1，≤a≤②，由①②可得，≤a≤，故答案为：．【点评】本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的单调性，属于中档题．六、解答题：（本大题有3个小题，共35分．请书写完整的解答过程）21．（11分）（2017春•黄山期末）已知关于x的二次函数f（x）=ax2﹣4bx+1．（Ⅰ）设集合A={﹣1，1，2，3，4，5}和B={﹣2，﹣1，1，2，3，4}，分别从集合A，B中随机取一个数作为a和b，求函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率．（Ⅱ）设点（a，b）是区域内的随机点，求函数f（x）在区间[1，+∞）上是增函数的概率．【考点】CF：几何概型；CB：古典概型及其概率计算公式．【分析】（Ⅰ）分a=1，2，3，4，5 这五种情况来研究a＞0，且≤1的取法共有16种，而所有的取法共有6×6=36 种，从而求得所求事件的概率．（Ⅱ）由条件可得，实验的所有结果构成的区域的面积等于S△OMN=×8×8=32，满足条件的区域的面积为S△POM=×8×=，故所求的事件的概率为P=，运算求得结果．【解答】解：要使函数y=f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，则a ＞0且，即a＞0且2b≤a．（Ⅰ）所有（a，b）的取法总数为6×6=36个，满足条件的（a，b）有（1，﹣2），（1，﹣1），（2，﹣2），（2，﹣1），（2，1），（3，﹣2），（3，﹣1），（3，1），（4，﹣2），（4，﹣1），（4，1），（4，2），（5，﹣2），（5，﹣1），（5，1），（5，2）共16个，所以，所求概率．…（6分）（Ⅱ）如图，求得区域的面积为．由，求得所以区域内满足a＞0且2b≤a的面积为．所以，所求概率．【点评】本题考查了等可能事件的概率与二次函数的单调区间以及简单的线性规划问题相结合的问题，画出实验的所有结果构成的区域，Ⅰ是古典概型的概率求法，Ⅱ是几何概型的概率求法．22．（12分）（2017春•台江区校级期中）已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，﹣π＜φ＜0）．（1）若f（x）的部分图象如图所示，求f（x）的解析式；（2）在（1）的条件下，求最小正实数m，使得函数f（x）的图象向左平移m个单位后所对应的函数是偶函数；（3）若f（x）在[0，]上是单调递增函数，求ω的最大值．【考点】HK：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；H5：正弦函数的单调性．【分析】（1）根据函数f（x）的部分图象，求出A、T、ω和φ的值，即可写出f（x）的解析式；（2）根据函数图象平移法则，写出f（x）左移m个单位后的函数解析式，根据函数y是偶函数，求出m的最小正数；（3）根据f（x）在[0，]上是单调递增函数，得出﹣≤φ≤ω+φ≤，求出ω≤﹣，再根据φ的取值范围求出ω的最大值．【解答】解：（1）根据函数f（x）=Asin（ωx+φ）的部分图象知，\A=3，=﹣=，∴T=π，ω==2；根据五点法画图知，2×+φ=，解得φ=﹣，∴f（x）=3sin（2x﹣）；（2）f（x）=3sin（2x﹣），函数f（x）的图象向左平移m个单位后，所对应的函数是y=3sin[2（x+m）﹣]=3sin（2x+2m﹣）的图象，又函数y是偶函数，∴2m﹣=+kπ，k∈Z，解得m=+，k∈Z，∴m的最小正数是；（3）f（x）=Asin（ωx+φ）在[0，]上是单调递增函数，A＞0，ω＞0，∴﹣≤φ≤ω+φ≤，解得ω≤﹣；又﹣π＜φ＜0，∴﹣≤φ＜0，∴0＜﹣≤，∴ω≤+=3，即ω的最大值为3．【点评】本题考查了正弦型函数的图象与性质的应用问题，也考查了数形结合思想，是综合题．23．（12分）（2017春•台江区校级期中）我们把平面直角坐标系中，函数y=f（x），x∈D上的点P（x，y），满足x∈N*，y∈N*的点称为函数y=f（x）的“正格点”．（Ⅰ）若函数f（x）=sinmx，x∈R，m∈（3，4）与函数g（x）=lgx 的图象有正格点交点，求m的值，并写出两个函数图象的所有交点个数．（Ⅱ）对于（Ⅰ）中的m值，函数f（x）=sinmx，时，不等式log a x＞sinmx恒成立，求实数a的取值范围．【考点】3O：函数的图象．【分析】（I）根据正弦函数的性质可知正格点交点坐标为（10，1），从而求出m的值，根据图象判断交点个数．（II）令y=log a x的最小值大于f（x）的最大值即可．【解答】解：（Ⅰ）若y=sinmx与函数y=lgx的图象有正格点交点，则此交点必为（10，1），∴sin10m=1，即10m=+2kπ，m=+，k∈Z．∵m∈（3，4），∴．作出y=sinmx与y=lgx的函数图象，如图所示：根据图象可知：两个函数图象的所有交点个数为10个．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，x∈（0，]，i）当a＞1时，不等式log a x＜0，而sin＞0，故不等式log a x＞sinmx 无解．ii）当0＜a＜1时，由图函数y=log a x在上为减函数，∵关于x的不等式log a x＞sinmx在（0，]上恒成立，∴log a＞1，解得：．综上，．【点评】本题考查了方程的解与函数图象的关系，函数恒成立问题与函数最值计算，属于中档题．2020年年高一数学第二学期期中模拟试卷及答案（二）一、选择题1、集合A={x|3x+2＞0}，B={x| ＜0}，则A∩B=（）A、（﹣1，+∞）B、（﹣1，﹣）C、（3，+∞）D、（﹣，3）2、已知a，b，c为实数，且a＞b，则下列不等式关系正确的是（）A、a2＞b2B、ac＞bcC、a+c＞b+cD、ac2＞bc23、在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，若b= ，a=2，B= ，则c=（）A、B、C、2D、4、在数列{a n}中，已知a1=0，a n+2﹣a n=2，则a7的值为（）A、9B、15C、6D、85、在下列函数中，最小值为2的是（）A、y=2x+2﹣xB、y=sinx+ （0＜x＜）C、y=x+D、y=log3x+ （1＜x＜3）6、若点A（4，3），B（2，﹣1）在直线x+2y﹣a=0的两侧，则a的取值范围是（）A、（0，10）B、（﹣1，2）C、（0，1）D、（1，10）7、在等比数列{a n}中，3a5﹣a3a7=0，若数列{b n}为等差数列，且b5=a5，则{b n}的前9项的和S9为（）A、24B、25C、27D、288、若实数x，y满足约束条件，则z=2x+y的最大值为（）A、9B、4C、6D、39、在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，若（a+c+b）（b+a﹣c）=3ab，则C=（）A、150°B、60°C、120°D、30°10、在等差数列{a n}中，a1=﹣2012，其前n项和为S n，若﹣=2002，则S2017=（）A、8068B、2017C、﹣8027D、﹣201311、设x＞0，y＞0，满足+ =4，则x+y的最小值为（）A、4B、C、2D、912、已知数列{a n}满足a1=4，a n+1=a n+2n，设b n= ，若存在正整数T，使得对一切n∈N*，b n≥T恒成立，则T的最大值为（）A、1B、2C、4D、3二、填空题13、在△ABC中，若a=18，b=24，A=30°，则此三角形解的个数为________．14、设关于x的不等式x+b＞0的解集为{x|x＞2}，则关于x的不等式＞0的解集为________．15、若△ABC的内角A，C，B成等差数列，且△ABC的面积为2 ，则AB边的最小值是________．16、某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料，已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获得利润分别为4万元、3万元，则该企业每天可获得最大利润为________万元甲乙原料限额A（吨） 2 5 10B（吨） 6 3 18三、解答题17、如图，在△ABC中，已知B=45°，D是BC边上的一点，AD=4，AC=2 ，DC=2(1)求cos∠ADC(2)求AB．18、已知数列{a n}是等差数列，{b n}是各项均为正数的等比数列，满足a1=b1=1，b2﹣a3=2b3，a3﹣2b2=﹣1。
2019-2020学年河北省邢台市高一第二学期期中考试数学试题(含答案)
考生注意：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考试时间120分钟．
2．请将各题答案填写在答题卡上．
3．本试卷主要考试内容：人教A版必修4第二章，必修5（不含二元一次不等式和线性规划）．
第Ⅰ卷
―、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
14．已知不等式 的解集为 ，则不等式 的解集为________．
15． 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 ， ，则bc的最大值为________．
16．已知等差数列 的前n项和 满足 ， ， ，则 ________．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
12．C因为 ， ，且 ，
，当且仅当 ，即 ， 时，等号成立．
13．10因为 ， ，且 ，所以 ，得 ，则 ．
14． （或 ）由不等式 的解集为 ，知 ， ， ，得 ， ，则不等式 等价于 ，故不等式 的解集为 ．
15．16由 ，得 ，当且仅当 时等号成立，故bc的最大值为16．
16．15因为 ，所以 ，又 ，所以 ．故 ，解得 ．
1．已知向量 ， ，若 ，则 （ ）
A． B．14 C． D．8
2．在等差数列 中， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．若 ，则下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
4．已知 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 ，且 ，则 （ ）
A． B． C． D． 或
5．在正项等比数列 中， ，则 （ ）
当且仅当 ，即 时取等号．11分
故为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建30层．12分
2019-2020学年河北省邢台市四校高一下学期期中数学试卷 (解析版)
2019-2020学年河北省邢台市四校高一第二学期期中数学试卷一、选择题（共10小题）.1．设S n为等差数列{a n}的前n项和，若S5＝40，S9＝126，则S7＝（）A．66B．68C．77D．842．在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，cos A＝，b＝2，面积S＝3，则a 为（）A．B．C．D．3．在△ABC中，已知AB＝2，AC＝1，∠A的平分线AD＝1，则△ABC的面积（）A．B．C．D．4．已知不等式ax2﹣bx﹣1≥0的解集是，则不等式x2﹣bx﹣a＜0的解集是（）A．（2，3）B．（﹣∞，2）∪（3，+∞）C．（）D．（﹣∞，）∪（，+∞）5．若正实数a，b满足a+b＝1，则（）A．有最大值4B．ab有最小值C．有最大值D．a2+b2有最小值6．已知数列，则该数列第2019项是（）A．B．C．D．7．若点M（a，）和N（b，）都在直线l：x+y＝1上，则点P（c，），Q（，b）和l的关系是（）A．P和Q都在l上B．P和Q都不在l上C．P在l上，Q不在l上D．P不在l上，Q在l上8．点P（2，3）到直线：ax+（a﹣1）y+3＝0的距离d为最大时，d与a的值依次为（）A．3，﹣3B．5，1C．5，2D．7，19．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A．1盏B．3盏C．5盏D．9盏10．在各项均为正数的等比数列{a n}中，公比q＞1，若a3+a5＝5，a1•a7＝4，数列{b n}的前n项和为S n，b n＝log2a n，则当++..+取最小值时，n的值为（）A．4B．6C．4或5D．5或6二、多选题（每小题5分，且每题有两个或两个以上正确选项，漏选得2分，错选或不选不得分）11．在公比q为整数的等比数列{a n}中，S n是数列{a n}的前n项和，若a1+a4＝18，a2+a3＝12，则下列说法正确的是（）A．q＝2B．数列{S n+2}是等比数列C．S8＝510D．数列{lga n}是公差为2的等差数列12．在三角形ABC中，下列命题正确的有（）A．若A＝30°，b＝4，a＝5，则三角形ABC有两解B．若0＜tan A•tan B＜1，则△ABC一定是钝角三角形C．若cos（A﹣B）cos（B﹣C）cos（C﹣A）＝1，则△ABC一定是等边三角形D．若a﹣b＝c•cos B﹣c•cos A，则△ABC的形状是等腰或直角三角形三、填空题（每小题5分，共20分）13．已知直线l1：x+my+7＝0与l2：（m﹣2）x+3y+m＝0互相平行，则实数m的值为．14．在数列{a n}中，已知a1＝1，a n+1＝a n+n+1，则++……+＝．15．设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足b2﹣a2＝（a cos B+b cos A）2，△ABC的周长为5（+1），则△ABC面积的最大值为．16．已知两个正数x，y满足x+y＝4，则使不等式恒成立的实数m的范围是．四、解答题（共70分，其中17题10分，其余各小题12分）17．已知直线l经过点P（﹣2，5），且斜率为﹣．（1）求直线l的方程；（2）若直线m与l平行，且点P到直线m的距离为3，求直线m的方程．18．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，已知a cos A＝R，其中R为△ABC外接圆的半径，，其中S为△ABC的面积．（Ⅰ）求sin C；（Ⅱ）若a﹣b＝﹣，求△ABC的周长．19．已知数列{}是以2为首项，2为公比的等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式：（2）若b n＝1og2a n（n∈N*），求数列{}的前项和T n．20．已知不等式ax2﹣3x+6＞4的解集为{x|x＜1，或x＞b}，（1）求a，b；（2）解不等式ax2﹣（ac+b）x+bc＜0．21．已知数列{a n}满足a1+2a2+3a3+…+na n＝n2+4n（n∈N*）．（1）证明数列{na n}为等差数列；（2）若b n＝na n•2n，求数列{b n}的前n项和T n．22．某动物园要为刚入园的小动物建造一间两面靠墙的三角形露天活动室，地面形状如图所示，已知已有两面墙的夹角为（∠ACB＝），墙AB的长度为6米，（已有两面墙的可利用长度足够大），记∠ABC＝θ．（1）若θ＝，求△ABC的周长（结果精确到0.01米）；（2）为了使小动物能健康成长，要求所建的三角形露天活动室面积△ABC的面积尽可能大，问当θ为何值时，该活动室面积最大？并求出最大面积．参考答案一、单选题（每小题5分，且每题只有一个正确选项1．设S n为等差数列{a n}的前n项和，若S5＝40，S9＝126，则S7＝（）A．66B．68C．77D．84【分析】利用等差数列的求和公式及其性质即可得出．解：由等差数列的性质可得：S5＝40＝5a1+10d，S9＝126＝9a1+36d，解得a1＝2，d＝3．则S7＝7×2+＝77．故选：C．2．在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，cos A＝，b＝2，面积S＝3，则a 为（）A．B．C．D．【分析】由同角三角函数基本关系可得sin A，再由面积公式可得c值，由余弦定理可得．解：在△ABC中cos A＝，∴sin A＝＝，∵b＝2，面积S＝3，∴S＝bc sin A，∴3＝×2c×，解得c＝5，∴由余弦定理可得a2＝b2+c2﹣2bc cos A，＝b2+c2﹣2bc cos A＝13，即a＝．故选：D．3．在△ABC中，已知AB＝2，AC＝1，∠A的平分线AD＝1，则△ABC的面积（）A．B．C．D．【分析】根据角平线的性质，可设BD＝2x，CD＝x，然后结合余弦定理列方程解之即可得解BC的值，由余弦定理可求cos A的值，利用同角三角函数基本关系式可求sin A，根据三角形的面积公式即可求解．解：因为AD是∠A的平分线，所以＝，不妨设BD＝2x，CD＝x，结合已知得cos∠BAD＝cos∠CAD，由余弦定理得：＝，解得x＝，负值舍去，所以BC＝3x＝．所以cos A＝＝＝，可得sin A＝＝，所以S△ABC＝AB•AC•sin A＝＝．故选：D．4．已知不等式ax2﹣bx﹣1≥0的解集是，则不等式x2﹣bx﹣a＜0的解集是（）A．（2，3）B．（﹣∞，2）∪（3，+∞）C．（）D．（﹣∞，）∪（，+∞）【分析】先根据不等式ax2﹣bx﹣1≥0的解集是，判断a＜0，从而求出a，b值，代入不等式x2﹣bx﹣a＜0，从而求解．解：∵不等式ax2﹣bx﹣1≥0的解集是，∴a＜0，∴方程ax2﹣bx﹣1＝0的两个根为﹣，﹣，﹣＝﹣﹣，＝，∴a＝﹣6，b＝5，∴x2﹣bx﹣a＜0，∴x2﹣5x+6＜0，∴（x﹣2）（x﹣3）＜0，∴不等式的解集为：2＜x＜3．故选：A．5．若正实数a，b满足a+b＝1，则（）A．有最大值4B．ab有最小值C．有最大值D．a2+b2有最小值【分析】由于＝＝2+≥4，故A不正确．由基本不等式可得a+b＝1≥2，可得ab≤，故B不正确．由于＝1+2≤2，故≤，故C正确．由a2+b2 ＝（a+b）2﹣2ab≥1﹣＝，故D不正确．解：∵正实数a，b满足a+b＝1，∴＝＝2+≥2+2＝4，故有最小值4，故A不正确．由基本不等式可得a+b＝1≥2，∴ab≤，故ab有最大值，故B不正确．由于＝a+b+2＝1+2≤2，∴≤，故有最大值为，故C正确．∵a2+b2 ＝（a+b）2﹣2ab＝1﹣2ab≥1﹣＝，故a2+b2有最小值，故D不正确．故选：C．6．已知数列，则该数列第2019项是（）A．B．C．D．【分析】由数列（1），（），（，），（，，，），…（，，，…），找到前11个括号里，前12个括号里的项数，发现原数列第2019项是第12个括号里的第995项，写出12个括号里的数列通项，再代入进而可得结论．解：由数列（1），（），（，），（，，，），…（，，，…），可发现其项数为1，1，2，4，8，…2k﹣2，…k∈N*，k≥2则前11个括号里用有1024项，前12个括号里共有2048项，故原数列第2019项是第12个括号里的第995项，第12个括号里的数列通项为第12个括号里的995项是，故选：C．7．若点M（a，）和N（b，）都在直线l：x+y＝1上，则点P（c，），Q（，b）和l的关系是（）A．P和Q都在l上B．P和Q都不在l上C．P在l上，Q不在l上D．P不在l上，Q在l上【分析】先根据点M、N在直线上，则点坐标适合直线方程，通过消元法可求得a与c 的关系，从而可判定点P（c，），Q（，b）和l的关系，选出正确选项．解：∵点M（a，）和N（b，）都在直线l：x+y＝1上∴a+＝1，b+＝1则b＝即+＝1化简得c+＝1∴点P（c，）在直线l上而b+＝1则Q（，b）在直线l上故选：A．8．点P（2，3）到直线：ax+（a﹣1）y+3＝0的距离d为最大时，d与a的值依次为（）A．3，﹣3B．5，1C．5，2D．7，1【分析】根据题意，将直线方程整理为a（x+y）+（3﹣y）＝0，可得直线ax+（a﹣1）y+3＝0经过定点Q（﹣3，3），由此可得当直线ax+（a﹣1）y+3＝0与PQ垂直时，距离为PQ的长，并且此时点P到直线的距离达到最大值，由此不难得到本题的答案．解：∵直线ax+（a﹣1）y+3＝0即a（x+y）+（3﹣y）＝0∴直线ax+（a﹣1）y+3＝0是过直线x+y＝0和3﹣y＝0交点的直线系，由得可得直线ax+（a﹣1）y+3＝0经过定点Q（﹣3，3）∴当直线ax+（a﹣1）y+3＝0与PQ垂直时，∴点P（2，3）到直线：ax+（a﹣1）y+3＝0的距离最大d的最大值为又∵PQ∥x轴∴直线：ax+（a﹣1）y+3＝0斜率不存在即a＝1故选：B．9．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A．1盏B．3盏C．5盏D．9盏【分析】设塔的顶层共有a1盏灯，则数列{a n}公比为2的等比数列，利用等比数列前n 项和公式能求出结果．解：设塔的顶层共有a1盏灯，则数列{a n}公比为2的等比数列，∴S7＝＝381，解得a1＝3．故选：B．10．在各项均为正数的等比数列{a n}中，公比q＞1，若a3+a5＝5，a1•a7＝4，数列{b n}的前n项和为S n，b n＝log2a n，则当++..+取最小值时，n的值为（）A．4B．6C．4或5D．5或6【分析】由题意求出等比数列的公比，然后求出等比数列的通项公式，代入b n＝log2a n，得到数列{b n}为等差数列，求出++..+的表达式，利用二次函数的性质判断最小值，继而求出n的值即可．解：∵{a n}是等比数列且a3+a5＝5，a1•a7＝4，公比q＞1，解得：a4＝2，＝5，解得q＝2或q＝舍去，∴a1＝，则a n＝2n﹣3，b n＝log2a n＝n﹣3，则数列{b n}的前n项和S n＝＝，＝，++…+＝＝，所以n＝4或5时，++..+取最小值．故选：C．二、多选题（每小题5分，且每题有两个或两个以上正确选项，漏选得2分，错选或不选不得分）11．在公比q为整数的等比数列{a n}中，S n是数列{a n}的前n项和，若a1+a4＝18，a2+a3＝12，则下列说法正确的是（）A．q＝2B．数列{S n+2}是等比数列C．S8＝510D．数列{lga n}是公差为2的等差数列【分析】由a1+a4＝18，a2+a3＝12，a1（1+q3）＝18，a1（q+q2）＝12，公比q为整数．解得a1，q．可得a n，S n，进而判断出结论．解：∵a1+a4＝18，a2+a3＝12，a1（1+q3）＝18，a1（q+q2）＝12，公比q为整数．解得a1＝q＝2．∴a n＝2n，S n＝＝2n+1﹣2．∴S n+2＝2n+1，∴数列{S n+2}是公比为2的等比数列．S8＝29﹣2＝510．lga n＝n．数列{lga n}是公差为1的等差数列．综上可得：只有ABC正确．故选：ABC．12．在三角形ABC中，下列命题正确的有（）A．若A＝30°，b＝4，a＝5，则三角形ABC有两解B．若0＜tan A•tan B＜1，则△ABC一定是钝角三角形C．若cos（A﹣B）cos（B﹣C）cos（C﹣A）＝1，则△ABC一定是等边三角形D．若a﹣b＝c•cos B﹣c•cos A，则△ABC的形状是等腰或直角三角形【分析】利用正弦定理和两角和与差的三角函数公式，根据题意逐一判断选项即可得出结论．解：由正弦定理得，即，得sin B＝，∵b＜a，∴B＜A，∴B 为锐角，∴三角形ABC有一解，故选项A错误；若0＜tan A•tan B＜1，则tan A＞0且tan B＞0，所以A、B为锐角，tan（A+B）＝＞0，所以A+B为锐角，C为钝角，则△ABC一定是钝角三角形，故选项B正确；若cos（A﹣B）cos（B﹣C）cos（C﹣A）＝1，则cos（A﹣B）＝cos（B﹣C）＝cos（C ﹣A）＝1，则A﹣B＝B﹣C＝C﹣A＝0，所以A＝B＝C，则△ABC一定是等边三角形，故选项C正确；若a﹣b＝c•cos B﹣c•cos A，由正弦定理得sin A﹣sin B＝sin C•cos B﹣sin C•cos A，即sin（B+C）﹣sin（A+C）＝sin C cos B﹣sin C cos A，整理得：（sin B﹣sin A）•cos C＝0，所以cos C＝0或sin B﹣sin A＝0，即C＝或B＝A，故△ABC是等腰或直角三角形，所以选项D正确．故选：BCD．三、填空题（每小题5分，共20分）13．已知直线l1：x+my+7＝0与l2：（m﹣2）x+3y+m＝0互相平行，则实数m的值为﹣1．【分析】根据两直线平行时对应系数成比例，列方程求出m的值．解：直线l1：x+my+7＝0与l2：（m﹣2）x+3y+m＝0互相平行，所以m（m﹣2）﹣1×3＝0，解得m＝﹣1或m＝3；当m＝﹣1时，l1：x﹣y+7＝0，l2：﹣3x+3y+＝0，两直线平行；当m＝3时，l1：x+3y+7＝0，l2：x+3y+7＝0，两直线重合；所以m的值为1．故答案为：﹣1．14．在数列{a n}中，已知a1＝1，a n+1＝a n+n+1，则++……+＝．【分析】根据递推关系式求出通项，再利用裂项求和求解即可．解：因为：a1＝1，a n+1＝a n+n+1，∴a n＝（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1＝n+（n﹣1）+（n﹣2）+…+2+1＝；∴＝＝2（﹣）；∴++……+＝2[（1﹣）+（）+…+（﹣）]＝2（1﹣）＝．故答案为：．15．设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足b2﹣a2＝（a cos B+b cos A）2，△ABC的周长为5（+1），则△ABC面积的最大值为．【分析】由已知结合余弦定理进行化简可求B，然后结合基本不等式及三角形的面积公式即可求解．解：∵b2﹣a2＝（a cos B+b cos A）2＝＝c2，故a2+c2＝b2，所以B＝，因为△ABC的周长为5（+1）＝a+c+，当且仅当a＝c时取等号，此时ac≤，则△ABC面积S＝即最大值．故答案为：16．已知两个正数x，y满足x+y＝4，则使不等式恒成立的实数m的范围是．【分析】由题意将x+y＝4代入进行恒等变形和拆项后，再利用基本不等式求出它的最小值，根据不等式恒成立求出m的范围．解：由题意知两个正数x，y满足x+y＝4，则＝＝++≥+1＝，当＝时取等号；∴的最小值是，∵不等式恒成立，∴．故答案为：．四、解答题（共70分，其中17题10分，其余各小题12分）17．已知直线l经过点P（﹣2，5），且斜率为﹣．（1）求直线l的方程；（2）若直线m与l平行，且点P到直线m的距离为3，求直线m的方程．【分析】（1）由点斜式写出直线l的方程为y﹣5＝﹣（x+2），化为一般式．（2）由直线m与直线l平行，可设直线m的方程为3x+4y+c＝0，由点到直线的距离公式求得待定系数c值，即得所求直线方程．解：（1）由点斜式写出直线l的方程为y﹣5＝﹣（x+2），化简为3x+4y﹣14＝0．（2）由直线m与直线l平行，可设直线m的方程为3x+4y+c＝0，由点到直线的距离公式，得，即，解得c＝1或c＝﹣29，故所求直线方程3x+4y+1＝0，或3x+4y﹣29＝0．18．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C所对的边，已知a cos A＝R，其中R为△ABC外接圆的半径，，其中S为△ABC的面积．（Ⅰ）求sin C；（Ⅱ）若a﹣b＝﹣，求△ABC的周长．【分析】（Ⅰ）由已知及正弦定理得sin2A＝1，结合范围0＜2A＜2π，可求A的值，由余弦定理可得tan B＝，结合范围0＜B＜π，可求B的值，利用两角和的正弦函数公式即可计算得解sin C的值．（Ⅱ）由已知及正弦定理解得a，b的值，又，利用正弦定理可求c的值，即可得解三角形的周长．【解答】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）由正弦定理得a cos A＝，∴sin2A＝1，又0＜2A＜2π，∴2A＝，则A＝．………………………由a2+c2﹣b2＝sin B，由余弦定理可得：2ac cos B＝ac sin B，∴tan B＝，又0＜B＜π，∴B＝，………………………∴sin C＝sin（A+B）＝sin（）＝，………………………（Ⅱ）由正弦定理得：，又a﹣b＝，∴，又，∴c＝•＝，∴a+b+c＝++．………………………19．已知数列{}是以2为首项，2为公比的等比数列．（1）求数列{a n}的通项公式：（2）若b n＝1og2a n（n∈N*），求数列{}的前项和T n．【分析】本题考察等比数列和数列求和，第（1）问根据等比数列的通项公式可得出结果，第（2）问考察裂项求和法求数列的前n项和．解：（1）∵数列{}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴，∴．（2），则，数列{}的前项和T n＝＝．20．已知不等式ax2﹣3x+6＞4的解集为{x|x＜1，或x＞b}，（1）求a，b；（2）解不等式ax2﹣（ac+b）x+bc＜0．【分析】（1）根据不等式ax2﹣3x+6＞4的解集，利用根与系数的关系，求得a、b的值；（2）把不等式ax2﹣（ac+b）x+bc＜0化为x2﹣（2+c）x+2c＜0，讨论c的取值，求出对应不等式的解集．解：（1）因为不等式ax2﹣3x+6＞4的解集为{x|x＜1，或x＞b}，所以1和b是方程ax2﹣3x+2＝0的两个实数根，且b＞1；由根与系数的关系，得，解得a＝1，b＝2；（2）所求不等式ax2﹣（ac+b）x+bc＜0化为x2﹣（2+c）x+2c＜0，即（x﹣2）（x﹣c）＜0；①当c＞2时，不等式（x﹣2）（x﹣c）＜0的解集为{x|2＜x＜c}；②当c＜2时，不等式（x﹣2）（x﹣c）＜0的解集为{x|c＜x＜2}；③当c＝2时，不等式（x﹣2）（x﹣c）＜0的解集为∅．21．已知数列{a n}满足a1+2a2+3a3+…+na n＝n2+4n（n∈N*）．（1）证明数列{na n}为等差数列；（2）若b n＝na n•2n，求数列{b n}的前n项和T n．【分析】本题第（1）题先将n＝1代入表达式可得a1＝5，当n≥2时，由a1+2a2+3a3+…+na n＝n2+4n，可得a1+2a2+3a3+…+（n﹣1）a n﹣1＝（n﹣1）2+4（n﹣1），两式相减，可得na n＝2n+3，进一步可判别出数列{na n}是等差数列；第（2）题先根据第（1）题的结果计算出数列{na n}的通项公式，以及数列{b n}的通项公式，然后运用错位相减法可计算出前n项和T n．【解答】（1）证明：由题意，当n＝1时，a1＝12+4•1＝5，当n≥2时，由a1+2a2+3a3+…+na n＝n2+4n，可得a1+2a2+3a3+…+（n﹣1）a n﹣1＝（n﹣1）2+4（n﹣1），两式相减，可得na n＝n2+4n﹣[（n﹣1）2+4（n﹣1）]＝2n+3＝5+2（n﹣1），∵当n＝1时，a1＝5也满足上式，∴数列{na n}是以5为首项，2为公差的等差数列．（2）解：由（1）知，na n＝2n+3，n∈N*．则b n＝na n•2n＝（2n+3）•2n，T n＝b1+b2+b3+…+b n＝5•21+7•22+9•23+…+（2n+3）•2n，2T n＝5•22+7•23+…+（2n+1）•2n+（2n+3）•2n+1，两式相减，可得﹣T n＝10+2•22+2•23+…+2•2n﹣（2n+3）•2n+1＝10+2•（22+23+…+2n）﹣（2n+3）•2n+1＝10+2•﹣（2n+3）•2n+1＝2﹣（2n+1）•2n+1，∴T n＝（2n+1）•2n+1﹣2．22．某动物园要为刚入园的小动物建造一间两面靠墙的三角形露天活动室，地面形状如图所示，已知已有两面墙的夹角为（∠ACB＝），墙AB的长度为6米，（已有两面墙的可利用长度足够大），记∠ABC＝θ．（1）若θ＝，求△ABC的周长（结果精确到0.01米）；（2）为了使小动物能健康成长，要求所建的三角形露天活动室面积△ABC的面积尽可能大，问当θ为何值时，该活动室面积最大？并求出最大面积．【分析】（1）在△ABC中，由正弦定理可得AC，BC，即可求△ABC的周长；（2）利用余弦定理列出关系式，将c，cos C的值代入并利用基本不等式求出ab的最大值，利用三角形的面积公式求出面积的最大值，以及此时θ的值．解：（1）在△ABC中，由正弦定理可得AC＝＝2，BC＝＝3+，∴△ABC的周长为6+3+3≈17.60米（2）在△ABC中，由余弦定理：c2＝602＝a2+b2﹣2ab cos60°，∴a2+b2﹣ab＝36，∴36+ab＝a2+b2≥2ab，即ab≤36，∴S△ABC＝AC•BC•sin＝ab≤9，此时a＝b，△ABC为等边三角形，∴θ＝60°，（S△ABC）max＝9．。
2020级2020-2021学年第二学期高一数学期中试题(有答案)
2020～2021学年第二学期2020级高一期中考试数学试卷注意事项：本试卷分卷一（选择题）和卷二（非选择题）两部分。
满分120分，考试时间120分钟。
考试结束后，请将答题卡交回。
第Ⅰ卷（共60分）一、选择题（本大题共20个小题，每小题3分，共60分.在每小题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将符合题目要求的选项字母代号选出，并填涂在答题卡上）⒈数列12，－14，18，－116，…的一个通项公式是a n＝（）A．(－1)n 12n B．(－1)n1n2C.()112nn--D. ()112nn--⒉在等差数列{a n}中，若a4＋a6＋a8＋a10＋a12＝20，则a8的值为（）A．15 B．4 C．10 D．2⒊已知等比数列{a n}中，a3＝1，a5＝9，则a2⋅a6等于（）A．9 B．±9 C．27 D．±27⒋在数列{a n}中，若a1＝－1，a n＋1＝a n＋2(n≥1)，则a13＝（）A．34 B．35 C．23 D．78⒌在等差数列{a n}中，a10＝10，S10＝10，则a1与d分别为（）A．a1＝8，d＝2 B．a1＝－8，d＝2C．a1＝－8，d＝－2 D．a1＝8，d＝－2⒍在数列{a n}中，S n＝2n2－n，则a7＋a8＋a9＋a10＝（）A. 121B.122C. 123D. 124⒎在等比数列{a n}中，若a4⋅a7＋a5⋅a6＝4，则该数列的前10项的积等于（）A. 16B. 32C. 64D. 128⒏已知5个实数1，m，x，n，3构成等比数列，则实数x的值是（）A．2 B．C．－2或2 D.或－⒐正四棱锥的侧面是正三角形，则它的高与底面边长之比为（）A．1∶2 B．2∶1 C.2∶1 D．1∶2⒑已知正三棱锥的底面边长为3，侧棱长为）A．B．C. D⒒如果球的半径是5，那么与球心距离为3的截面圆的面积为（）A. 9πB. 12π C．16π D．24π⒓已知正四棱锥S—ABCD的底面边长为6，侧棱长为5的，则它的表面积为（）A. 84B. 48C. 36D. 132⒔若一个圆柱的底面半径为4，轴截面的对角线长为10，则这个圆柱的侧面积为（）A．48π B．24π C．48 D．24⒕半径为R的球内接一个正方体，则该正方体的体积是（）A．22R3B.43πR3C.893R3D.39R3⒖钟表的时针经过5个小时，则时针转过的圆心角的弧度数为（）A．53πB．53π-C．56πD．56π-⒗已知角α满足sinα＜0且cosα＞0，则角α所在象限是（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限⒘若α是△ABC的一个内角，且sinα＝45，则tanα的值为（）A.43B．±43C．±34D．－43⒙已知sinαcosα＝18，且4π＜α＜2π，则cosα－sinα＝（）A．12-B．12C．D．⒚已知cos(π＋α)＝－513，则π2sinα⎛⎫-⎪⎝⎭的值为（）A．－513B．513C．－1213D．1213⒛已知数列{a n}的通项公式为a n＝2n－1，b n＝cos(π2na⋅)，则数列{b n}是（）A．等差数列B．等比数列C．既是等差数列，又是等比数列D．不能确定第Ⅱ卷（共60分）二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，请将答案填在答题卡相应题号的横线上）21. 已知a 和b 是方程x 2－4x －5＝0的两根，则a 、b 的等差中项是____________． 22. 圆锥底面半径为3cm ，其侧面展开图是一个半圆，则圆锥的侧面积为_________． 23. 已知tan x ＝815，且x 是第三象限角，则sin x ＝____________． 24. 若α＝120º，则角α终边与单位圆的交点P 的坐标为 . 25. 若1，a 1，a 2，a 3，9成等差数列，－1，b 1，b 2，b 3，－4成等比数列，则312a ab - ＝ .三、解答题（本大题共5个小题，共40分，请在答题卡相应的题号处写出必要的解答过程.）26.（本小题7分）某园林管理处计划把420株树苗恰好栽种成10排，若第一排栽种60株，且从第2排起，每排栽种的数量与前一排的差是一个常数，求第7排应该栽种多少株树苗？27.（本小题8分，每小题4分）(1) 已知tan x ＝3，求cos 2α－sin 2α的值；(2) 已知sin (π－α)＝－45，求cos (20212π＋α)的值.28. （本小题8分）一个空间几何体的三视图如图所示，求该几何体的表面积和体积（单位：cm ）.29.（本题8分）已知圆锥SO 的底面半径为OC ＝10，在其中有一个半径OB ＝5、高为O 1O ＝12的内接圆柱，求该圆锥的表面积和体积.30.（本小题9分）已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，且S 9＝36，a 5＋a 7＋a 9＝18.(1) 求数列{a n }的通项公式；(2) 设2n an b =，求数列{b n }的前n 项和T n .第29题图SDCO 1OBA第28题图4444主视图 俯视图左视图数学试题参考答案及评分标准卷一（选择题，共60分）卷二（非选择题，共60分）二、填空题（本大题5个小题，每小题4分，共20分）21. 2 22. 18π 23. －817 24. （－12） 25. －2三、解答题（本大题5个小题，共40分）26.解：由题意可知：每排栽种树苗的株数可以构成等差数列{a n }，其中a 1＝60. 1分 设公差为d ，则S 10＝10 a 1＋)10(1012-×d ＝10×60＋45d ＝420. ………………… 3分 解得，d ＝－4. ………………………… 4分 a 7＝a 1＋(7－1)d ＝60＋6×(－4)＝36. ………………………… 6分 答：第7排应该栽种36株树苗. ……………………………… 7分27.解：(1) cos 2α－sin 2α＝22cos sin 1αα-＝2222cos sin sin cos αααα-+ …………………… 1分 ＝222222cos sin cos sin cos cos αααααα-+＝221tan tan 1αα-+ ……………… 3分＝221331-+＝－45. ………………… 4分 (2) sin (π－α)＝sin α＝－45， …………………… 5分cos (20212π＋α)＝cos (1010π＋12π＋α) ……………………… 6分＝cos (12π＋α)＝－sin α＝45 …………………………… 8分28.解：由三视图可知，几何体的下部分是一个底面半径为2cm ，高为4cm 的圆柱，上部分是一个半径为2cm 的半球..................................... 2分 圆柱（不包含上底面）的表面积为：S 底＋S 侧＝π×22＋2π×2×4＝20π（cm 2）......... 3分 半球（不包含底面圆）的表面积为：2π×22＝8π（cm 2） ........................... 4分 所以几何体的表面积为28πcm 2. (5)分圆柱的体积为：π×22×4＝16π（cm 3） ……………………… 6分半球的体积为：12×43π×23＝16π3（cm 3） ……………………… 7分 所以几何体的体积为64π3cm 3. ……………………… 8分 29.(1)解：根据图形的轴截面可知：1BC O O OC SO =，即1051210SO=- 所以，SO ＝12105⨯＝24. …………………… 2分 在Rt ⊿SOC 中，圆锥的母线长l ＝SC 26 …………… 4分 所以，圆锥的表面积S 表＝π×OC 2＋12×2π×OC ×SC ＝π×102＋12×2π×10×26＝360π. ……………………… 6分 圆锥的体积V ＝13×π×OC 2×SO ＝13×π×102×24＝800π. ……………………… 8分 30.解：(1) 因为S 9＝9a 5＝36，所以，a 5＝4. …………………… 1分 因为a 5＋a 7＋a 9＝3a 7＝18. 所以，a 7＝6. …………………… 2分 因为a 5＝a 1＋4d ＝4，a 7＝a 1＋6d ＝6，所以，a 1＝0，d ＝1. …………………… 4分所以，a n ＝a 1＋(n －1)d ＝0＋(n －1)×1＝n －1. …………………… 5分 (2) 由题意得，b n ＝2n a＝12n - …………………… 6分因为(1)111122222n nn n n n b b +-+--===，所以数列{b n }是等比数列. …………………… 8分所以，T n ＝1(1)1n b q q --＝112(12)12n ---＝2 1.n - ………………… 9分。
2020年度高一数学下学期期中试卷及答案(共五套)
2020年年高一数学下学期期中试卷及答案（共五套）2020年年高一数学下学期期中试卷及答案（一）（考试时间：120分钟总分：150分）★友情提示：要把所有答案都写在答题卷上，写在试卷上的答案无效。
一、选择题（每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1．在空间直角坐标系中，A(0,2,4)，B(1,4,6)，则|AB|等于 ( ) A．2 B．2 2 C.7 D．3 2．直线l过点P(－1,2)，倾斜角为135°，则直线l的方程为 ( ) A．x＋y－1＝0 B．x－y＋1＝0C．x＋y－3＝0 D．x－y＋3＝03. 下列命题正确的是（）A．若两个平面平行于同一条直线，则这两个平面平行B．若有两条直线与两个平面都平行，则这两个平面平行C. 若有一条直线与两个平面都垂直，则这两个平面平行D. 若有一条直线与这两个平面所成的角相等，则这两个平面平行4.已知水平放置的△ABC是按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中B′O′＝C′O′＝1，A′O′＝32，那么原△ABC是一个( )A．等边三角形 B．直角三角形C．三边中只有两边相等的等腰三角形 D．三边互不相等的三角形5．若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的侧面积等于( )A ．12π cm 2B ．15π cm 2C ．24π cm 2D ．30π cm 26.若三棱锥Ｐ-ABC 的三个侧面与底面ABC 所成角都相等，则顶点Ｐ在底面的射影为ABC △的( )A ．外心B ．重心 C. 内心 D ．垂心7. 圆1C ：224210x y x y +--+=与圆2C ：2248110x y x y ++-+=的位置关系为（ ）A ．相交B ．相离C ．外切D ．内切8. 若P (2，－1)为圆222240x y x +--=的弦AB 的中点，则直线AB 的方程是( )A ．x －y －3＝0B ．2x ＋y －3＝0C ．x ＋y －1＝0D ．2x －y －5＝09．已知点P 是圆x 2＋y 2＝1上动点，定点Q (6,0)，点Ｍ是线段PQ 靠近Q 点的三等分点，则点M 的轨迹方程是( )A ．(x ＋3)2＋y 2＝4B ．(x －4)2＋y 2＝19C ．(2x －3)2＋4y 2＝1D ．(2x ＋3)2＋4y 2＝110.若圆2240x y x +-=上恰有四个点到直线20x y m -+=的距离等于1，则实数m 的取值范围是方程是( )A ． ()25,25---+B ． ()45,45---+C ． ()435,45----D ．()45,435-+-+11. 已知实数x ，y 满足方程2x ＋y ＋5＝0，那么22425x y x y +--+的最小值为( )A. 210 B.10 C ．2 5 D ． 512.函数sin 3,,cos 222y θππθθ-⎡⎤=∈-⎢⎥+⎣⎦的值域为( ) A ．23232,233⎡⎤---+⎢⎥⎣⎦ B ．432,23⎡⎤--+⎢⎥⎣⎦ C ．[]2,1-- D ．232,23⎡⎤--+⎢⎥⎣⎦二、填空题（每小题5分，共20分）13. 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，E F G H ，，， 分别为1AA ，AB ，1BB ，11B C 的中点，则异面直线EF 与GH 所成的角等于14. 已知直线43:1-=x y l 和直线:2l 关于点Ｍ(2，1)对称，则2l 的方程为15. 如果直线2y ax =+与直线3y x b =-关于直线y x =对称，那么a b +=16. 已知⊙M ：,1)2(22=-+y x Q 是x 轴上的动点，QA ，QB 分别切⊙M 于A ，B 两点，求动弦AB 的中点P 的轨迹方程为三、解答题。
河北省邢台市第一中学2023-2024学年高一下学期5月期中测试数学试题
测试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题 1．下列结论正确的是（ ）
A．平行向量不一定是共线向量
B．单位向量都相等
C．两个单位向量之和不可能是单位向量
D．
uuur ( AD
-
uuur BC )
-
uuuur (CM
-
uuuur BM )
=
uuur AD
2．已知复数
z
=
1
+
i
（
i
是虚数单位），则
2 z
-
z2
的模为（
）
A． 2
B．4
C． 10
D．10
3．一物体在力
r F
的作用下，由点
A(2,15)
移动到点
B(7,8)
，已知
r F
=
( -4,
3)
，则
r F
6， 2
所以 BD = 2B¢D¢ = 6 ，
故原图形中 AC 边上的高为 6 ． 故选：D． 5．D
答案第21 页，共22 页
【分析】根据给定条件，利用向量的坐标表示，借助夹角公式计算即得.
【详解】由
B(4,
-1),
C
(-2,1)
，得
D(1,
0)
，又
A(2,
5)
，则
uuur DA
=
(1, 5),
对该物体
所做的功为（ ） A．－41
B．－1
C．1
D．41
4．如图，VA¢B¢C¢ 是水平放置的平面图形的斜二测直观图，若 A¢C¢ = 2cm ，且