天津市和平区第二南开中学2019-2020学年高一上学期第一次月考数学试题
21. 解关于 的不等式
22. 已知
．
（1）求 中对应x的取值范围；
（2）若p是q的必要不充分条件，求a的取值范围．
23. 求下列函数的最值 （1）求函数
的最小值.
（2）求函数
的最小值.
（3）设
， ，若
（4）若正数 ， 满足
，求 ，求
的最小值. 的最小值.
8. 设 ，
，若
，
A．充分不必要条件 C．充要条件
，则 是 的（ ）
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
9. 设常数a∈R，集合A={x|（x﹣1）（x﹣a）≥0}，B={x|x≥a﹣1}，若A∪B=R，则a的取值范围为（
A．（﹣∞，2）
B．（﹣∞，2]
C．（2，+∞）
） D．[2，+∞）
10. 设 ， 为实数，则
天津市和平区第二南开中学2019-2020学年高一上学期第一次月考数学试题
一、单选题
1. 设集合
，
．若
，则
()
A．
B．
C．
D．
2. 若集合
，
，则( )
A．
B．
C．
D．
3. 已知集合 A．3
， B．2
，则
中元素的个数为（ ） C．1
D．0
4. 已知集合 A．1
B．2
，则满足条件 C．3
的集合 的个数为（ ） D．4
成立的一个充分不必要条件是（ ）
A．
B．
C．
D．
11. 若一元二次不等式
对一切实数 都成立,则 的取值范围为（ ）
A．
B．
C．
D．
12. 已知不等式 A．
对任意实数 、 恒成立，则实数 的最小值为（ ）
B．
C．
D．
二、填空题
13. 设 ,
，集合 , ,
, , ，则
_______.
14. 命题“
，
”的否定是_______.
四、解答题
19. 已知集合A＝{x∈R|x2－ax＋b＝0}，B＝{x∈R|x2＋cx＋15＝0}，A∩B＝{3}，A∪B＝{3,5}． (1)求实数a，b，c的值； (2)设集合P＝{x∈R|ax2＋bx＋c≤7}，求集合P∩Z.
20. 已知集合P＝{x|a＋1≤x≤2a＋1}，Q＝{x|x2－3x≤10}． (1)若a＝3，求(∁RP)∩Q； (2)若P∪Q＝Q，求实数a的取值范围．
5. 设全集U＝R，集合A＝
≥0}，B＝{x∈Z|x2≤9}，则图中阴影部分表示的集合为( )
A．{1,2} C．{x|0≤x<3}
6. 已知实数 A．
，记 B．
7. 设非空集合 ， 满足
A．
，有
C．
，使得
，则
B．{0,1,2} D．{x|0≤x≤3}
，则( ) C．
D．大小不确定
B．
，有
D．
，使得
15. 若
，ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
号是_______.
，则在①
，②
，③
，④
，⑤
这五个式子中，恒成立的所有不等式的序
16. 已知关于 的不等式
的解集为
，则不等式
的解集为__________．
17. 在 上定义运算：
三、双空题
.若不等式
对任意实数 恒成立，则实数 的最大值为____.
18. 已知集合
，集合
，且
，则 _______， _______ .
2019-2020学年天津市第二南开中学高一(上)第一次月考数学试卷(10月份) (含答案解析)
2019-2020学年天津市第二南开中学高一（上）第一次月考数学试卷（10月份）一、选择题（本大题共12小题，共36.0分）1. 已知集合A ={(x,y)|y 2<x}，B ={(x,y)|xy =−2，x ∈Z ，y ∈Z}，则A ∩B =( )A. ⌀B. {(2,−1)}C. {(−1,2)，(−2,1)}D. {(1,−2)，(−1,2)，(−2,1)}2. 设集合M ={x|x 2−x >0}.N ={x|1x <1}，则( ) A. M ⊊N B. N ⊊M C. M =N D. M ∪N =R3. 已知集合A ={y|kx −y −k +1=0}，B ={(x,y)|x 2+y 2−2x −2y =0}，则A ∩B 中元素个数为( )A. 0B. 1C. 2D. 0或1或24. 已知集合A ={x|x 2−5x +4<0,x ∈Z}，B ={m,2}，若A ⊆B ，则m =( )A. 1B. 2C. 3D. 55. 设A ={x|x 2−4x +3≤0}，B ={x|ln(3−2x)<0}，则图中阴影部分表示的集合为( )A. (−∞,32)B. (1,32)C. [1,32)D. (32,3] 6. 设n ∈N ，√n +4−√n +3与√n +2−√n +1的大小关系是( )A. √n +4−√n +3>√n +2−√n +1B. √n +4−√n +3<√n +2−√n +1C. √n +4−√n +3=√n +2−√n +1D. 不能确定7. 在下列给出的四个命题中，为真命题的是( )A. ∀a ∈R ，∃b ∈Q ，a 2+b 2=0B. ∀n ∈Z ，∃m ∈Z ，nm =mC. ∀n ∈Z ，∃m ∈Z ，n >m 2D. ∀a ∈R ，∃b ∈Q ，a 2+b 2=18. 若条件p ：|x|≤2，条件q ：x ≤a ，且p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是( )A. a ≥2B. a ≤2C. a ≥−2D. a ≤−29. 已知集合A ={−1,0，1}，B ={0,1，2}，则A ∪B =( )A. {0,1}B. {0,1，2}C. {−1,0，1，2}D. {−1,0，0，l ，1，2}10. 不等式1−xx <0成立的一个充分不必要条件是( )A. x >1B. x <0或x >1C. 0<x <1D. x ≤0 11. 若不等式x 2−ax +1≥0对一切x ∈[2,+∞)恒成立，则实数a 的最大值为( ) A. 0 B. 2C. 52D. 3 12. 已知正实数a,b ，且a +b =1，则2a +4b 的最小值为( )A. 6+4√2B. 4−2√2C. 6+2√3D. 5二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）13.设集合{1,a2}={1,a}，则a=______ ．14.命题“∃x∈R，x≤1”的否定是______ ．15.设集合A={−1≤x≤2}，B={x|0≤x≤4,x∈Z}，则A∩B=______ ．16.对“a，b，c是不全相等的正数”，给出两个判断：①(a−b)2+(b−c)2+(c−a)2≠0；②a≠b，b≠c，c≠a不能同时成立，以上说法正确的是________(填序号)。
天津市2019高一月考数学试卷含答案
高一数学试卷一．选择题（每题4分，共40分）1．在△ABC 中，a ＝3，b ＝5，sin A ＝13，则sin B ＝( )A ．15B ．59C ．53D ．12．平面α∥平面β，直线a ∥α，直线b ⊥β，那么直线a 与直线b 的位置关系一定是 ( ) A ．平行 B ．异面 C ．垂直 D ．不相交 3．在△ABC 中，若a <b <c ，且c 2<a 2＋b 2，则△ABC 为( ) A ．直角三角 B ．锐角三角形 C ．钝角三角 D ．不存在4.设,αβ是两个平面，,m n 是两条直线，有下列三个命题：（1）如果,,//m n m n αβ⊥⊥，那么αβ⊥；（2）如果,//m n αα⊥，那么m n ⊥； （3）如果//,m αβα⊂，那么//m β.其中正确命题的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 35.将长方体截去一个四棱锥后,得到的几何体的直观图如图所示,则该几何体的俯视图为( )6．已知△ABC 中，sin A ∶sin B ∶sin C ＝1∶1∶3，则此三角形的三个内角的度数分别是( )A ．45°，45°，90°B ．30°，60°，90°C ．30°，30°，120°D ．30°，45°，105° 7．在△ABC 中，a ＝80，b ＝100，A ＝45°，则此三角形解的情况是( ) A ．一解 B ．两解 C ．一解或两解 D ．无解8．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a sin A ＋b sin B ＝c sin C ，则△ABC 的形状是( )A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形9．已知底面边长为1,侧棱长为的正四棱柱的各顶点均在同一个球面上,则该球的体积为( ) A.B.4πC.2πD.10．如图，1111ABCD A B C D -为正方体，下面结论错误的是（ ）A. BD ∥平面11CB DB. 1AC BD ⊥C. 1AC ⊥平面11CB DD. 异面直线AD 与1CB 所成的角为60° 二、填空题（每题4分，共20分）11．已知锐角△ABC 的面积为33，BC ＝4，CA ＝3，则角C 的大小为__12．圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体, 该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16+20π,则r=__ __13．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .若a ＝7，b ＝2，A ＝60°，则sin B ＝_ __，c ＝__ __．14．如图,Rt △A'B'C'为水平放置的△ABC 的直观图,其中A'C'⊥B'C',B'O'=O'C'=1,则△ABC 的面积为__ __15．如图，长方体1111ABCD A B C D -中，12AA AB ==，1AD =，点E ，F ，G 分别是1DD ，AB ，1CC 的中点，则异面直线1A E 与GF 所成的角是 ．三、解答题（共60分）16．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且3b sin A ＝a cos B ．(1)求B ；(2)若b ＝3，sin C ＝3sin A ，求a ，c ．17．如图，正三棱柱的九条棱都相等，三个侧面都是正方体，M 、N 分别是BC 和A 1C 1的中点求MN 与CC 1所成角的余弦值18．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a ＝2，c ＝3，cos B ＝14．(1)求b 的值； (2)求sin C 的值； (3)求△ABC 的面积．19．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面,,ABCD PD DC E =是PC 的中点.(1)证明：PA ∥平面EDB ； (2)证明：平面BDE ⊥平面PCB ．MABCN C 1A1B 1-中，底面ABCD是正方形，其他四个侧面都是等边三角形，AC 20.如图，在四棱锥S ABCD与BD的交点为O，E为侧棱SC的中点时.（Ⅰ）求证：平面BDE⊥平面SAC；（Ⅱ）求二--的大小为.面角E BD C。
2020-2021学年天津市某校高一(上)第一次月考数学试卷
2020-2021学年天津市某校高一（上）第一次月考数学试卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的）1. 集合{x∈N|x−3<2}，用列举法表示是()A.{0, 1, 2, 3, 4}B.{1, 2, 3, 4}C.{0, 1, 2, 3, 4, 5}D.{1, 2, 3, 4, 5}【答案】A【考点】集合的含义与表示【解析】化简集合，将元素一一列举出来．【解答】解：集合{x∈N|x−3<2}={x∈N|x<5}={0, 1, 2, 3, 4}．故选A．2. 设全集U＝{−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3}，集合A＝{−1, 0, 1, 2}，B＝{−3, 0, 2, 3}，则A∩(∁U B)＝（）A.{−3, 3}B.{0, 2}C.{−1, 1}D.{−3, −2, −1, 1, 3 }【答案】C【考点】交、并、补集的混合运算【解析】进行补集、交集的运算即可．【解答】全集U＝{−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3}，集合A＝{−1, 0, 1, 2}，B＝{−3, 0, 2, 3}，则∁U B＝{−2, −1, 1}，∴A∩(∁U B)＝{−1, 1}，3. 若2∈{1, a2+1, a+1}，则a＝（）A.2B.1或−1C.1D.−1【答案】D【考点】元素与集合关系的判断【解析】根据若2∈{1, a2+1, a+1}，则a+1＝2或a2+1＝2，再根据元素的互异性进行检验即可．【解答】若2∈{1, a2+1, a+1}，则a+1＝2或a2+1＝2，所以a＝1或−1，当a＝1时，a2+1＝a+1，与元素互异性相矛盾，舍去；当a＝−1时，a+1＝0，a2+1＝2，合题意，故a＝−1．4. “x>2”是“x>1”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】由x>1，我们不一定能得出x>2；x>2时，必然有x>1，故可得结论【解答】解：由x>1，我们不一定能得出x>2，比如x=1.5，所以x>1不是x>2的充分条件；∵x>2>1，∴由x>2，能得出x>1，∴x>1是x>2的必要条件,∴x>2是x>1的充分不必要条件.故选A．5. 设命题p:∃n∈N，n2>2n，则￢p为()A.∀n∈N，n2>2nB.∃n∈N，n2≤2nC.∀n∈N，n2≤2nD.∃n∈N，n2=2n【答案】C【考点】命题的否定【解析】根据特称命题的否定是全称命题即可得到结论．【解答】解：特称命题的否定是全称命题，故命题的否定是：∀n∈N，n2≤2n.故选C.6. 下列不等式中成立的是（）A.若a>b，则ac2>bc2B.若a>b，则a2>b2C.若a<b<0，则a2<ab<b2D.若a>b，则a3>b3【答案】D【考点】不等式的基本性质【解析】对于选项ABC，直接利用不等式的基本性质的应用进行判断，对于选项D利用配方法判断结果．【解答】对于选项A：当c＝0时，由于a>b，所以c2(a−b)＝0，故选项A错误．对于选项B：由于a>b，当a与b互为相反数时，a2−b2＝(a+b)(a−b)＝0，故选项B错误．对于选项C:a<b<0，所以a2>ab>b2，故选项C错误．对于选项D：由于a>b，所以a3−b3＝(a−b)(a2+ab+b2)＝(a−b)[(a+b2)2+34b2]>0，故选项D正确．故选：D．7. 下列表示图中的阴影部分的是（）A.(A∪C)∩(B∪C)B.(A∪B)∩(A∪C)C.(A∪B)∩(B∪C)D.(A∪B)∩C【答案】A【考点】Venn图表达集合的关系及运算【解析】由韦恩图分析阴影部分表示的集合，关键是要分析阴影部分的性质，先用自然语言将其描述出来，再根据集合运算的定义，将共转化为集合语言，再去利用集合运算的方法，对其进行变形和化简．【解答】图中阴影部分表示元素满足：是C中的元素，或者是A与B的公共元素故可以表示为C∪(A∩B)也可以表示为：(A∪C)∩(B∪C)8. 下列不等式中，正确的是( )A.a+4a ≥4 B.a2+b2≥4ab C.√ab≥a+b2D.x2+3x2≥2√3【答案】D【考点】基本不等式【解析】利用基本不等式成立的条件，判断选项的正误即可．【解答】解：当a<0时，则a+4a≥4不成立，故A错误；当a=1，b=1时，a2+b2<4ab，故B错误；当a=4，b=16时，则√ab<a+b2，故C错误；由均值不等式可知D项正确．故选D.9. 一元二次方程ax2+4x+3＝0(a≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是（）A.a<0B.a>0C.a<−1D.a>1【答案】C【考点】充分条件、必要条件、充要条件【解析】先由已知条件得到{△=16−12a>03a<0，解得a<0，而a<−1能得到a<0，a<0得不到a<−1，所以a<−1是一元二次方程ax2+4x+3＝0 (a≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件．【解答】若一元二次方程ax2+4x+3＝0 (a≠0)有一个正根和一个负根，则：{a≠016−12a>03 a <0，解得a<0；∴a<−1时，能得到a<0，而a<0，得不到a<−1；∴a<−1是a<0的充分不必要条件，即a<−1是一元二次方程ax2+4x+3＝0 (a≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件；10. 已知实数a>0，b>0，+＝1，则a+2b的最小值是（）A. B. C.3 D.2【答案】B【考点】基本不等式及其应用【解析】此题暂无解析【解答】此题暂无解答二、填空题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，把答案填在相应横线上）已知命题p:∃x∈R，x2−1>0，那么￢p是________．【答案】∀x∈R，x2−1≤0【考点】命题的否定【解析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论．【解答】命题为特称命题，则命题的否定为：∀x∈R，x2−1≤0，已知a，b，c均为非零实数，集合A={x|x=|a|a +b|b|+ab|ab|}，则集合A的元素的个数有________个．【答案】2【考点】元素与集合关系的判断【解析】通过对a，b的正负的分类讨论，利用绝对值的定义去掉绝对值的符号然后进行运算，求出集合中的元素．【解答】当a>0，b>0时，x=|a|a +b|b|+ab|ab|=1+1+1＝3，当a>0，b<0时，x=|a|a +b|b|+ab|ab|=1−1−1＝−1，当a<0，b>0时，x=|a|a +b|b|+ab|ab|=−1+1−1＝−1，当a<0，b<0时，x=|a|a +b|b|+ab|ab|=−1−1+1＝−1，故x的所有值组成的集合为{−1, 3}设集合A＝{−1, 1, m}，B＝{m2, 1}，且B⫋A，则实数m＝________．【答案】【考点】集合的包含关系判断及应用【解析】由真子集的定义得m2＝m，再利用集合中元素的互异性能求出实数m．【解答】∵集合A＝{−1, 1, m}，B＝{m2, 1}，且B⫋A，∴m2＝m，解得m＝0或m＝1（舍），故实数m＝0．设集合A={x|0≤x≤3}，B={x|1≤x≤5, x∈Z}，则A∩B非空真子集个数为________．【答案】6【考点】交集及其运算【解析】可求出集合B，然后进行交集的运算得出A∩B={1, 2, 3}，然后根据非空真子集个数的计算公式即可求出A∩B的非空真子集的个数．【解答】∵A={x|0≤x≤3}，B={1, 2, 3, 4, 5}，∴A∩B={1, 2, 3}，∴A∩B非空真子集个数为：23−2=6．给出下列条件p与q：①p:x＝1或x＝2；q:x2−3x+2＝0；②p:x2−1＝0，q:x−1＝0；③p：一个四边形是矩形；q：四边形的对角线相等．其中p是q的必要不充分条件的序号为________．【答案】②【考点】充分条件、必要条件、充要条件【解析】直接利用方程的解法和充分条件和必要条件的应用判断①、②、③的结论．【解答】①p:x＝1或x＝2；q:x2−3x+2＝0，解得x＝1或x＝2；，故p＝q，所以p为q的充要条件；②p:x2−1＝0，解得x＝±1，q:x−1＝0；解得x＝1，所以q是p的充分不必要条件，即p是q的必要不充分条件，③p：一个四边形是矩形；则对角线相等，q：四边形的对角线相等．但是该四边形不一定为矩形，故p是q的充分不必要条件．已知全集U＝{x|x≤8, x∈N∗}，若A∩(∁U B)＝{2, 8}，(∁U A)∩B＝{3, 7}，(∁U A)∩(∁U B)＝{1, 5, 6}，则集合A＝________，B＝________．【答案】{2, 4, 8},{3, 4, 7}【考点】交、并、补集的混合运算【解析】先求出A∩B＝{4}，由此能求出集合A，B．【解答】全集U＝{x|x≤8, x∈N∗}＝{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}，A∩(∁U B)＝{2, 8}，(∁U A)∩B＝{3, 7}，(∁U A)∩(∁U B)＝{1, 5, 6}，∴A∩B＝{4}，集合A＝{2, 4, 8}，B＝{3, 4, 7}．已知集合A＝{x|1<x<4}，B＝{x|a<x<2a}，若A∪B＝A，则实教a的取值范围是________．【答案】[1, 2]【考点】集合的包含关系判断及应用并集及其运算【解析】根据集合的包含关系得到关于a的不等式组，再求出a的取值范围．【解答】因为A＝{x|1<x<4}，B＝{x|a<x<2a}，若A∪B＝A，则B⊆A，则{a≥12a≤4，解得1≤a≤2，所以a的取值范围为[1, 2]．设n∈N∗，一元二次方程x2−4x+n＝0有整数根的充要条件是n＝________．【答案】3或4【考点】充分条件、必要条件、充要条件【解析】一元二次方程x2−4x+n＝0有实数根的充要条件是△≥0，n∈N∗，解得n．经过验证即可得出．【解答】一元二次方程x2−4x+n＝0有实数根的充要条件是△＝16−4n≥0，n∈N∗，解得1≤n≤4．经过验证n＝3，4时满足条件．若x<53，y＝3x+13x−5，当x＝________43时，y的最大值为________．【答案】,3【考点】基本不等式及其应用【解析】y＝3x+13x−5=3x−5+13x−5+5＝−(5−3x+15−3x)+5，然后结合基本不等式即可求解．【解答】由x<53得3x−5<0，y＝3x+13x−5=3x−5+13x−5+5＝−(5−3x+15−3x)+5≤−2√(5−3x)⋅15−3x+5＝3，当且仅当5−3x=15−3x ，即x=43时取等号，此时y＝3x+13x−5取得最大值3．已知正实数a，b满足a+b＝1，则1a (b+1b)的最小值是________．【答案】2+2√2【考点】基本不等式及其应用【解析】由1a (b+1b)=ba+1ab=ba+(a+b)2ab=2ba+ab+2，然后结合基本不等式即可求解．【解答】∵正实数a，b满足a+b＝1，∴1a (b+1b)=ba+1ab=ba+(a+b)2ab=2ba+ab+2≥2√2ba⋅ab+2=2+2√2，当且仅当2ba =ab且a+b＝1，即a＝2−2√2，b=√2−1时取等号，则1a (b+1b)的最小值2+2√2．三、解答题：（本大题共2个小题，共20分，请用黑色水笔将答案写在规定区域内，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）设集合P＝{x|−2<x<3}，Q＝{x|2a≤x≤a+3}．（1）若a＝1时，求P∪Q；P∩(∁R Q)；（2）若P∩Q＝⌀，求实数a的取值范围；（3）若P∩Q＝{x|0≤x<3}，求实数a的值．【答案】a＝1时，集合P＝{x|−2<x<3}，Q＝{x|2≤x≤4}．∴P∪Q＝{x|−2<x≤4}，∁R Q＝{x|x<2或x>4}，P∩(∁R Q)＝{x|−2<x<2}．∵集合P＝{x|−2<x<3}，Q＝{x|2a≤x≤a+3}．P∩Q＝⌀，∴当Q＝⌀时，2a>a+3，解得a>3，当Q≠⌀时，{2a≤a+3a+3≤−2或{2a≤a+32a≥3，解得a≤−5或32≤a≤3，∴实数a的取值范围是(−∞, −5]∪[32, 3]．∵集合P＝{x|−2<x<3}，Q＝{x|2a≤x≤a+3}．P∩Q＝{x|0≤x<3}，∴ P ∩Q ＝{x|2a ≤x <3}＝{x|0≤x <3}，解得实数a ＝0．【考点】交、并、补集的混合运算【解析】（1）a ＝1时，求出集合Q ．由此能求出P ∪Q ，求出∁R Q ，由此能求出P ∩(∁R Q)．（2）当Q ＝⌀时，2a >a +3，当Q ≠⌀时，{2a ≤a +3a +3≤−2 或{2a ≤a +32a ≥3，由此能求出实数a 的取值范围．（3）推导出P ∩Q ＝{x|2a ≤x <3}＝{x|0≤x <3}，由此能求出实数a ．【解答】a ＝1时，集合P ＝{x|−2<x <3}，Q ＝{x|2≤x ≤4}．∴ P ∪Q ＝{x|−2<x ≤4}，∁R Q ＝{x|x <2或x >4}，P ∩(∁R Q)＝{x|−2<x <2}．∵ 集合P ＝{x|−2<x <3}，Q ＝{x|2a ≤x ≤a +3}．P ∩Q ＝⌀， ∴ 当Q ＝⌀时，2a >a +3，解得a >3，当Q ≠⌀时，{2a ≤a +3a +3≤−2 或{2a ≤a +32a ≥3， 解得a ≤−5或32≤a ≤3，∴ 实数a 的取值范围是(−∞, −5]∪[32, 3]．∵ 集合P ＝{x|−2<x <3}，Q ＝{x|2a ≤x ≤a +3}．P ∩Q ＝{x|0≤x <3}，∴ P ∩Q ＝{x|2a ≤x <3}＝{x|0≤x <3}，解得实数a ＝0．已知集合A ＝{x|2−a ≤x ≤2+a}，B ={x|x ≤1或x ≥4}．(1)当a =3时，求A ∩B ；(2)若a >0，且“x ∈A ”是“x ∈(∁R B)”的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．【答案】解：(1)当a =3时，集合A ={x|−1≤x ≤5}，B ={x|x ≤1或x ≥4}，∴ A ∩B ={x|−1≤x ≤1或4≤x ≤5}.(2)∵ 若a >0，且“x ∈A ”是“x ∈(∁R B)”的充分不必要条件，∴ A 是∁R B 的真子集，且A ≠⌀，A ={x|2−a ≤x ≤2+a}(a >0)，∁RB ={x|1<x <4}，∴ {2−a >1，2+a <4，a >0，解得：0<a <1．∴ a 的取值范围是{a|0<a <1}．【考点】根据充分必要条件求参数取值问题补集及其运算交集及其运算集合的包含关系判断及应用【解析】（1）a ＝3时化简集合A ，根据交集的定义写出A ∩B ；（2）根据若a >0，且“x ∈A ”是“x ∈∁R B ”的充分不必要条件，得出关于a 的不等式，求出a 的取值范围即可【解答】解：(1)当a =3时，集合A ={x|−1≤x ≤5}， B ={x|x ≤1或x ≥4}，∴ A ∩B ={x|−1≤x ≤1或4≤x ≤5}.(2)∵ 若a >0，且“x ∈A ”是“x ∈(∁R B)”的充分不必要条件， ∴ A 是∁R B 的真子集，且A ≠⌀，A ={x|2−a ≤x ≤2+a}(a >0)，∁RB ={x|1<x <4}，∴ {2−a >1，2+a <4，a >0，解得：0<a <1．∴ a 的取值范围是{a|0<a <1}．。
天津市第一中学2020届高三上学期第一次月考数学试题
天津一中2019-2020 高三年级一月考数学试卷本试卷分为第I 卷（选择题）、第II 卷（非选择题）两部分，共150 分，考试用时120 分钟考生务必将答案涂写在规定的位置上，答在试卷上的无效。
祝各位考生考试顺利!一、选择题：1．已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2＜0}，B＝{x|l og1 x ≥﹣1}，则A∪B＝（）2A．（﹣1，2）B．（﹣1，2]C．（0，1）D．（0，2）12．对一切θ∈R，3m2﹣2m＞s i nθc o sθ恒成立，则实数m 的取值范围是（）11 A．（﹣，321）B．（﹣∞，﹣31）∪（2，+∞）1 C．（﹣211，）D．（﹣∞，﹣321）∪（3，+∞）13．把函数f（x）＝s i n x图象上所有点的横坐标缩短到原来的2π 倍（纵坐标不变），再把所得曲线向右平移6个单位长度，最后所得曲线的一条对称轴是（）A．x =-π12B．x =π12C．x =π3D．x =7π124．已知a＝30.1，b＝l og32，c＝c o s4，则（）A．c＜a＜b B．a＜c＜b C．c＜b＜a D．b＜c＜aπ1 5．若s i n（α﹣）＝42π，则c o s（2+2α）＝（）3211 A．-B．-C．﹣D．- 43236．已知f（x）是定义在R 上的奇函数，若f（2+x）＝f（﹣x），f（1）＝3，则f（2018）+f（2019）的值为（）A．﹣3 B．0 C．3 D．67．用边长为18cm 的正方形铁皮做一个无盖的铁盒，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成铁盒，当铁盒的容积最大时，截去的小正方形的边长为（）A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm⎧⎪x(e x -e-x ), 8．设函数f（x）＝⎨⎪⎩-x2 -2x -4,x ≥0x <0，若函数g（x）＝f（x）﹣ax 恰有两个零点，则实数a 的取值范围为（）A．（0，2）B．（0，2]C．（2，+∞）D．[2，+∞）9．已知函数f（x）＝s i n（ωx+θ），其中ω＞0，θ∈（0，π），其图象关于直线x＝π对2π称，对满足|f（x1）﹣f（x2）|＝2的x1，x2，有|x1﹣x2|min＝2π6，将函数f（x）的图象向左平移个单位长度得到函数g（x）的图象，则函数g（x）的单调递减区间是（）6A．[kπ-π,kπ+π]（k∈Z）B．[kπ,kπ+π]（k∈Z）622C．[kπ+ π,kπ+5π]（k∈Z）D．[kπ+π,kπ+7π]（k∈Z）361212二、填空题：10．已知复数z＝ai2-i（a∈R）的实部为﹣1，则|z|＝111．已知s i nα-c o sα=(0 <α<π)，则cos4 α+sin4 α的值是．312．已知函数f (x) =(bx -1)e x +a(a,b ∈R)．若曲线y =f (x) 在点(0 ，f (0)) 处的切线方程为y =x ，则a ，b 的值分别为a= ，b= ．13．已知函数f（x）＝|l og3x|，实数m，n 满足0＜m＜n，且f（m）＝f（n），若f（x）在[m2，n]的最大值为2，则n＝．m14．已知甲盒中仅有一个球且为红球，乙盒中有3 个红球和4个蓝球，从乙盒中随机抽取i （i＝1，2）个球放在甲盒中，放入i 个球后，甲盒中含有红球的个数ξi（i＝1，2），则E（ξ1）+E（ξ2）的值为15．已知函数f（x）＝s i n2x﹣2c o s2x+1，有以下结论：①若f（x1）＝f（x2），则x1﹣x2＝kπ（k∈Z）：②f（x）在区间[﹣7π 3π，﹣84]上是增函数：③f（x）的图象与g（x）＝﹣2c o s（2x﹣2π ）图象关于x 轴对称：3π ④设函数h（x）＝f（x）﹣2x，当θ＝12π时，h（θ﹣2）+h（θ）+h（θ+2）＝﹣．2其中正确的结论为．])三、解答题：16．已知 0 < α < π ， cos(α+ π=2 45（1）求 t a n(α+ π) 的值；4（2）求 s i n(2α+ π) 的值．317．已知函数 f (x ) = 2 s in x - x c os x - x ， f '(x ) 为 f (x ) 的导数．（Ⅰ）求曲线 y = f (x ) 在点 A (0 ， f (0)) 处的切线方程；（Ⅱ）证明： f '(x ) 在区间 (0,π) 上存在唯一零点；（ Ⅲ ） 设 g (x ) = x 2 - 2x + a (a ∈ R ) ， 若 对 任 意 x ∈ [0 ， π] ， 均 存 在 x ∈ [1 ， 2] ， 使 得12f (x 1 ) >g (x 2 ) ，求实数 a 的取值范围．π π18．已知函数 f (x ) = sin(2ωx + ) + sin(2ωx - 3 3) + 2 cos 2 ωx ，其中ω> 0 ，且函数 f (x ) 的最小正周期为π （1）求ω的值；（2）求 f (x ) 的单调增区间（3）若函数 g (x ) = f (x ) - a 在区间 [- π ， π上有两个零点，求实数 a 的取值范围． 4 4x 19．设椭圆 2 y 2 + = 1(a > b > 0) 的右顶点为 ，上顶点为 ．已知椭圆的离心率为 ，a 2b 2 3| AB |=（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设直线：与椭圆交于，两点，且点在第二象限.与延长线交于点，若的面积是面积的 3 倍，求的值.20．已知函数 f (x ) = lnx ， g (x ) = a x 2+ bx - 1 ， (a , b ∈ R )（Ⅰ）当 a = -1 ， b = 0 时，求曲线 y = f (x ) - g (x ) 在 x = 1 处的切线方程；（Ⅱ）当 b = 0 时，若对任意的 x ∈ [1 ， 2] ， f (x ) + g (x ) 0 恒成立，求实数 a 的取值范围；（Ⅲ）当 a = 0 ， b > 0 时，若方程 f (x ) = g (x ) 有两个不同的实数解 x 1 ， x 2 (x 1 < x 2 ) ，求证：x 1 + x 2 > 2 ．参考答案：一．选择题（共9 小题）1．【解答】解：∵集合A＝{x|x2﹣x﹣2＜0}＝{x|﹣1＜x＜2}，B＝{x|l og x≥﹣1}＝{x|0＜x≤2}，∴A∪B＝{x|﹣1＜x≤2}＝（﹣1，2]．故选：B．2．【解答】解：对一切θ∈R，3m2﹣m＞s i nθc osθ恒成立，转化为：3m2﹣m＞s i nθc osθ的最大值，又θ∈R 知s i nθc osθ∈[﹣，]，s i nθc osθ的最大值为；所以3m2﹣m＞；可得m＜﹣或m＞．故选：B．3．【解答】解：函数f（x）＝s i n x 图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），可得y＝s i n2x，再把所得曲线向右平移个单位长度，可得y＝s i n2（x）＝s i n（2x﹣）由对称轴方程2x﹣＝，k∈Z当k＝﹣1 时，可得一条对称轴x＝故选：A．4．【解答】解：∵30.1＞30＝1，0＝log31＜log32＜log33＝1，，c os4＜0；∴c＜b＜a．故选：C．5．【解答】解：∵s i n（α﹣）＝，则c os（+2α）＝﹣c os[π﹣（+2α）]＝﹣c os（﹣2α）＝﹣c os（2α﹣）＝﹣1+2＝﹣1+2×＝﹣，故选：C．6．【解答】解：∵f（x）为奇函数，∴f（﹣x）＝﹣f（x），又f（2+x）＝f（﹣x），∴f（2+x）＝﹣f（x），∴f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x），∴函数f（x）是周期为4的周期函数，∴f（2018）+f（2019）＝f（4×504+2）+f（4×504+3）＝f（2）+f（3），又f（2）＝f（0）＝0，f（3）＝f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣3，∴f（2018）+f（2019）＝﹣3．故选：A．7．【解答】解：设截去的小正方形的边长为x cm，铁盒的容积为V cm3，由题意得，V＝x（18﹣2x）2（0＜x＜9），V′＝12（3﹣x）（9﹣x），令V′＝0，则在（0，9）内有x＝3．故当x＝3 时，V 有最大值；故选：C．8．【解答】解：由y＝f（x）﹣ax 恰有两个零点，而当x＝0 时，y＝f（0）﹣0＝0，即x＝0 是函数的一个零点，故当x≠0 时，必有一个零点，即函数与函数y＝a 必有一个交点，作出函数h（x）图象如下所示，由图可知，要使函数h（x）与函数y＝a 有一个交点，只需0＜a＜2 即可．故实数a 的取值范围是（0，2）．故选：A．9．【解答】解：已知函数f（x）＝s i n（ωx+θ），其中ω＞0，0∈（0，），其图象关于直线x＝对称，对满足|f（x1）﹣f（x2）|＝2的x1，x2，有|x1﹣x2|m in＝＝•，∴ω＝2．再根据其图象关于直线x＝对称，可得2×+φ＝kπ+，k∈Z．∴φ＝，∴f（x）＝s i n（2x+）．将函数f（x）的图象向左平移个单位长度得到函数g（x）＝s i n（2x++）＝cos2x 的图象．令2kπ≤2x≤2kπ+π，求得kπ≤x≤kπ+，则函数g（x）的单调递减区间是[kπ，kπ+]，k∈Z，故选：B．二．填空题（共6 小题）10．【解答】解：∵z＝＝，∴，即a＝5．∴z＝﹣1+2i，则|z|＝．故答案为：．11．【解答】解：把s i nα+c osα＝，两边平方得：（s i nα+c osα）2＝1+2s i nαc osα＝，即2sinαcosα＝﹣，则s i nαc osα＝﹣，则c os4α+s i n4α＝（s i n2α+c os2α）2﹣2s i n2αc os2α＝1﹣2（）2＝．故答案为：．12．【解答】解：f (x) =(bx -1)e x +a 得f '(x) =e x (bx +b -1)，曲线y =f (x) 在点(0 ，f (0)) 处的切线方程为y =x ．f '(0) =1，f (0) =0，即b -1=1，-1+a =0，解得a =1，b =2 ，故答案为：1，2．13．【解答】解：∵f（x）＝|l og3x|，正实数m，n 满足m＜n，且f（m）＝f（n），∴﹣log3m＝log3n，∴mn＝1．∵f（x）在区间[m2，n]上的最大值为2，函数f（x）在[m2，1）上是减函数，在（1，n]上是增函数，∴﹣log3m2＝2，或log3n＝2．若﹣log3m2＝2 是最大值，得m＝，则n＝3，此时log3n＝1，满足题意条件．那么：同理：若log3n＝2 是最大值，得n＝9，则m＝，此时﹣log3m2＝4，不满足题意条件．综合可得m＝，n＝3，故，故答案为9．14．【解答】解：甲盒中含有红球的个数ξ1 的取值为1，2，则P（ξ1＝1）＝，P（ξ1＝2）＝．则E（ξ1）＝；甲盒中含有红球的个数ξ2 的取值为1，2，3，则P（ξ2＝1）＝＝，P（ξ2＝2）＝＝，P（ξ2＝3）＝＝．则E（ξ2）＝．∴E（ξ1）+E（ξ2）＝．故答案为：．15．【解答】解：函数化简可得f（x）＝s i n2x﹣2c os2x+1＝2s i n（2x﹣），对于①：若f（x1）＝f（x2），可知x1，x2 关于对称轴是对称的，即x1+x2＝，∴①不对；对于②：令2x﹣，可得；∴f（x）在区间[﹣，﹣]上是增函数：②正确；对于③：f （x ）的图象关于 x 轴对称，可得 y ＝﹣2s i n （2x ﹣）＝﹣2c o s （2x ﹣) ))）；∴③对；对于④：设函数 h （x ）＝f （x ）﹣2x ＝2s i n （2x ﹣）﹣2x当θ＝时，h （θ﹣2）＝2s i n （2（θ﹣2）﹣）﹣2（θ﹣2）＝2s i n （2θ﹣4﹣）﹣（2θ﹣4）h （θ）＝2s i n （2θ﹣）﹣2θh （θ+2）＝2s i n （2θ+4﹣）﹣（2θ+4）∴h （θ﹣2）+h （θ）+h （θ+2）＝﹣． 故答案为：②③④三．解答题（共 5 小题）16 ．【 分 析 】（ 1 ） 由 题 意 利 用 同 角 三 角 函 数 的 基 本 关 系 求 得 ， s i n(α+ π) 的 值 ， 可 得4t a n(α+ π ) 的值． 4（2）先求得 t a n α 的值，再利用二倍角公式求得 s i n 2α 、 c o s 2α的值，再利用两角和的正弦公式求得 s i n(2α+ π) 的值．3【 解 答 】 解 ： （ 1 ） 已 知 0 < α < π， cos(α+ π =， 2 45π ∴ s i n(α+ ) ==，4∴ tan(α+ π = s i n(α+ π 4 π= 2 ． 4 cos(α+ )4对于③：f（x）的图象关于x 轴对称，可得y＝﹣2s i n（2x﹣）＝﹣2c o s（2x﹣) ( ( ) π α+ 1（2） t a n(α+ ) = tan 1= 2 ，∴ t a n α = ，4 1 - tan α 3∴ s i n 2α = 2 s i n αc o s α = 2 t a n α 3c o s =2 α- s i n =2 α 1 - t a n =2α 4 = ， c o s 2α= = = ，sin 2 α+ cos 2 α t a n 2 α+ 1 5 s i n 2 α+ cos 2 α tan 2 α+ 1 5π + s i n(2α+ ) = 3 ． 3 1017．【分析】（Ⅰ）求出 f '(x ) ，推出 f '(0) = 0 ， f (0) = 0 ，然后求解曲线 y = f (x ) 在点 A (0 ，f (0)) 处的切线方程．（Ⅱ）设g (x ) = f '(x ) ，则 g (x ) = c os x + x sin x - 1 ， g '(x ) = x c os x ．求出函数的导数，得到函数的单调区间，然后转化求解函数的零点．（ Ⅲ ） 由 已 知 ， 转 化 为 f (x )min > g (x )min ， 求 出 g (x )min = g （ 1 ） = a - 1 ． 设 为 x 0 ， 且 当x ∈ (0, x 0 ) 时， f '(x ) > 0 ；当 x ∈ (x 0 ，π) 时， f '(x ) < 0 ，求出函数的最小值，然后求解 a 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ） f '(x ) = c os x + x sin x - 1 ，所以 f '(0) = 0 ， f (0) = 0 ， 从而曲线 y = f (x ) 在点 A (0 ， f (0)) 处的切线方程为 y = 0 ． （Ⅱ）设 g (x ) = f '(x ) ，则 g (x ) = c os x + x sin x - 1 ， g '(x ) = x c os x ．当 x ∈ (0,π时， g '(x ) > 0 ；2当 x ∈ π,π) 时， g '(x ) < 0 ，2π π所以 g (x ) 在 (0, ) 单调递增，在 ( ,π) 单调递减．2 2又 g (0) = 0, g π> 0, g (π) = -2 ，2故 g (x ) 在 (0,π) 存在唯一零点．所以 f '(x ) 在 (0,π) 存在唯一零点．（Ⅲ）由已知，转化为 f (x )min > g (x )min ，且 g (x )min = g （1） = a - 1 ．由（Ⅱ）知， f '(x ) 在 (0,π) 只有一个零点，设为 x 0 ，且当 x ∈ (0, x 0 ) 时， f '(x ) > 0 ； 当 x ∈ (x 0 ，π) 时， f '(x ) < 0 ，所以 f (x ) 在 (0, x 0 ) 单调递增，在 (x 0 ，π) 单调递减．] ( )] 又 f (0) = 0 ， f (π) = 0 ，所以当 x ∈ [0 ，π] 时， f (x )min = 0 ． 所以 0 > a - 1 ，即 a < 1 ， 因此， a 的取值范围是 (-∞,1) ．18 ．【 分 析 】（ 1 ） 利 用 三 角 函 数 恒 等 变 换 的 应 用 化 简 函 数 解 析 式 可 得f (x ) ωx + π ) + 1 ，利用三角函数周期公式可求 ω的值．4（2）由正弦函数的单调性可求 f (x ) 的单调增区间．（ 3 ） 作 出 函 数 y = f (x ) 在 [- π ， π 上 的 图 象 ， 从 图 象 可 看 出 f (0) = f π= 2 ， 4 4 4π π π f ( ) =+ 1 ， 可 求 当 曲 线 y = f (x ) 与 y = a 在 x ∈ [- ， ] 上 有 两 个 交 点 时 ，8 4 42 a < 1 ，即可得解实数 a 的取值范围．【解答】（本题满分为 12 分）π π 解：（1） f (x ) = sin(2ωx + ) + sin(2ωx - 3 3) + 2 cos 2 ωx= 1 s i n 2ωx + o s 2ωx + 1 s i n 2ωx - o s 2ωx + 1 + c o s 2ωx 2 2 = s i n 2ωx + c o s 2ωx + 1π=ωx + ) + 1 ， ⋯3 分 4T = 2π= π ，2ω∴ω= 1⋯ 4 分（2）由 2k π - π 2x + π 2k π + π， k ∈ Z ， ⋯6 分2 4 2解得： - 3π + k π x π+ k π ， k ∈ Z ， ⋯7 分8 8可得 f (x ) 的单调增区间为： [- 3π + k π， π+ k π] ， k ∈ Z ， ⋯8 分8 8（3）作出函数 y = f (x ) 在 [- π ， π 上的图象如右： 4 4]函数 g (x ) 有两个零点，即方程 f (x ) - a = 0 有两解，亦即曲线 y = f (x ) 与 y = a 在 x ∈ [- π，4π ] 上有两个交点， 4π π从图象可看出 f (0) = f ( ) = 2 ， f ( ) = 1 ，4 8所以当曲线 y = f (x ) 与 y = a 在 x ∈ [- π ， π 上有两个交点时， 4 4则 2 a < 1 ，即实数 a 的取值范围是 [2 ， 1) ． ⋯12 分19．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【详解】（Ⅰ）设椭圆的焦距为 ，由已知得∴ ， ，所以，椭圆的方程为． （II ）设点，，由题意，且由的面积是面积的 3 倍，可得，所以，从而，所以，即．易知直线 的方程为 ，由消去 ，可得由方程组消去 ，可得．由，可得，整理得，解得 ，或 ．当时， ，符合题意；当时， ，不符合题意，舍去． 所以， 的值为．20．【分析】（Ⅰ）求出 y = f (x ) - g (x ) 的导函数，求出函数在 x = 1 时的导数得到切线的斜率， 然后用一般式写出切线的方程；（ Ⅱ） 对 ∀x ∈ [1 ， 2] ， f (x ) + g (x ) 0 都 成 立 ， 则 对 ∀x ∈ [1 ， 2] ， a - x 2lnx + x 2 ， 恒 成 立，构造函数 h (x ) = - x 2lnx + x 2 (1 x 2) ，求出 h (x ) 的最大值可得 a 的范围；（Ⅲ）由 f (x ) = g (x ) ，得 lnx - bx + 1 = 0 ，构造函数 F (x ) = lnx - bx + 1(x > 0) ，将问题转化为证明 F ( 2b 2 - x 1 ) > 0 = F (x 1 ) ，然后构造函数证明 F ( b - x 1 ) > F (x 1 ) = 0 = F (x 2 ) 即可．【解答】解：（Ⅰ）当 a = -1 时， b = 0 时， y = lnx + 1 x 2 + 1 ，∴ 当 x = 1 时， y = 2 ，∴ y ' = 1 - 2，∴ 当 x = 1 时， y ' = -1 ，x x 3∴ 曲线 y = f (x ) - g (x ) 在 x = 1 处的切线方程为 x + y - 3 = 0 ；（ Ⅱ ） 当 b = 0 时 ， 对 ∀x ∈ [1 ， 2] ， f (x ) + g (x ) 0 都 成 立 ， 则 对 ∀x ∈ [1 ， 2] ， a - x 2lnx + x 2 恒成立，令 h (x ) = - x 2lnx + x 2 (1 x 2) ，则 h '(x ) = -2xlnx + x ．令 h '(x ) = 0 ，则 x =∴ 当 1 < x <， h '(x ) > 0 ，此时 h (x ) 单调递增；当< x < 2 时， h '(x ) < 0 ，此时 h (x ) 单调递减，∴ h (x )= h= e，∴ a e ， max22∴ a 的取值范围为 [ e, +∞) ；2（Ⅲ）当 a = 0 ， b > 0 时，由 f (x ) = g (x ) ，得 lnx - bx + 1 = 0 ，方程 f (x ) = g (x ) 有两个不同的实数解 x 1 ， x 2 (x 1 < x 2 ) ，1 1 令 F (x ) = lnx - bx + 1(x > 0) ，则 F (x 1 ) = F (x2 ) = 0 ， F '(x ) = - b ，令 F '(x ) = 0 ，则 x = ，x b∴ 当 0 < x < 1时， F '(x ) > 0 ，此时 F (x ) 单调递增；当 x > 1 时， F '(x ) < 0 ，此时 F (x ) 单调b b递减，∴ F (x )= F (1 ) > 0 ，∴ 0 < b < 1 ，又 F (1) = - b < 0 ， F （1） = 1 - b > 0 ，max bee1 12 1 ∴ < x 1 < 1 < ，∴ - x 1 > ，e b bb2 2 2∴ 只要证明 x 2 > - x 1 ，就能得到 x 1 + x 2 > > 2 ，即只要证明 F ( - x 1 ) > 0 = F (x 1 ) ， b b b2b (x - 1)2令 G (x ) = F ( 2 - x ) - F (x ) = ln ( 2 - x ) - lnx + 2bx - 2(0 < x 1 ) ，则 G '(x ) = b b b∴ G (x ) 在 (0, 1 ) 上单调递减，则 G (x ) > G (1 ) = F ( 2 - 1 ) - F (1) = 0 ，b x (x - 2)b< 0 ， b b b b bG (x ) = F ( 2 - x ) - F (x ) > 0 ，∴ F ( 2- x ) > F (x ) = 0 = F (x ) ， ∴ 1 b 1 1 b 1 1 2x > 2- x ，∴ x + x > 2 > 2 ，即 x + x > 2 ，证毕． ∴ 2 b 11 2 b 1 2。
天津市某校2020-2021学年高一上学期第一次月考数学试题
天津市某校2020-2021学年高一上学期第一次月考数学试题一、单选题1. 集合用列举法表示是A.{1, 2, 3, 4}B.{1, 2, 3, 4, 5}C.{0, 1, 2, 3, 4, 5}D.{0, 1, 2, 3, 4}【答案】D【考点】指数式、对数式的综合比较二次函数的应用函数的最值及其几何意义【解析】解出不等式得x<5，小于5的自然数有5个．详解：由题意x<5，又x∈N，…集合为{0,1,2,3,4}【解答】此题暂无解答2. 设全集，集合，则()A. B. C. D.【答案】C【考点】二次函数的应用函数的最值及其几何意义勾股定理【解析】首先进行补集运算，然后进行交集运算即可求得集合的运算结果【解答】由题意结合补集的定义可知：∁U B={−2,−1,1}，则A∩(∁U B)=(−1,1)故选：C．3. 若，则a=()A.2B.1或−1C.1D.−1【答案】D【考点】指数式、对数式的综合比较向量数乘的运算及其几何意义二次函数的应用【解析】分别令a2+1=2a+1=2，求出④值，代入检验．【解答】当a2+1=2时，a=±1，当a=1时，a+1=a2+1=2，不满足互异性，舍去，当a=−1时，集合为{1,2,0}，满足；当a+1=2时，a=1，不满足互异性，舍去．综上a=−1故选：D．4. 已知，，则是的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【考点】指数式、对数式的综合比较二次函数的应用函数的最值及其几何意义【解析】将命题p:q转化为集合和，再根据集合A与B之间的包含关系以及充分必要条件的定义可得【解答】设命题p:x>2对应的集合为命题q:x>1对应的集合为因为AūB．所以命题P是命题4的充分不必要条件．故选A．5. 命题：“，则”的否定是()A.，B.，C.，D.，【答案】C【考点】二次函数的应用函数的最值及其几何意义f】根据特称命题的否定是全称命题，即可得到结论．【解答】解：已知p:∵ 加，则n2>2′则命题P的否定是：加n∈N,n2≤2n故选：C．6. 下列不等式中成立的是()A.若，则B.若，则C.若，则D.若，则【答案】D【考点】基本不等式【解析】取特殊值判断ABC选项，根据不等式的性质判断D选项．【解答】解：A中，c2=0时，ac2=bc2，故A不一定成立；B中，0>a>b，可得a2<b2，故B不一定成立；C中，令a=−2,b=−1，则a2=4,ab=2.b2=1，显然a2>ab>b2，故C不一定成立；由不等式的性质知D正确．故选：D7. 下列表示图形中的阴影部分的是()A. B.C. D.【答案】A【考点】二次函数的应用函数的最值及其几何意义由韦恩图可以看出，阴影部分中的元素满足”是▲的元素且是B的元素，或是C的元素”，由韦恩图与集合之间的关系易得答案【解答】解：由已知中阴影部分所表示的集合元素满足”是4的元素且是B的元素，或是C的元素”，故阴影部分所表示的集合是C∪(A∩B)=(A∪C)∪(B∪C)故选：A8. 下列不等式中，正确的是()A.a+≥4B.a2+b2≥4abC.≥D.x2+≥2【答案】D【考点】由基本不等式比较大小【解析】举例说明ABC错误，利用基本不等式证明D成立【解答】a=1,b=1,a2+b2≤42故A错；，故B错，a=4,b=16，贝√ab<a+b2，故C错；由基本不等式得x2+3x2≥2√x2⋅3x2=2√3可知D项正确．故选：D．9. 一元二次方程有一个正根和一个负根的充分不必要条件是()A. B. C. D.【答案】C【考点】命题的真假判断与应用二次函数的应用函数的最值及其几何意义【解析】等价转化求得一元二次方程满足题意的条件，再根据充分不必要条件即可判断．【详加呈】由题意，记方程ax2+4x+3=0(a≠0)的两根分别为x1x2因为一元二次方程ax2+4x+3=0(a≠0)有一个正根和一个负根，所以{3a<0Δ=16−12a>0，解得a<0则充分不必要条件的范围应是集合{a|a<0}的真子集，故选：C．【解答】此题暂无解答10. 已知实数，，，则的最小值是()A. B. C.3 D.2【答案】B【考点】基本不等式在最值问题中的应用【解析】根据已知条件，将a+2b变换为[1+2+2(b+1)a+1+a+1b+1]−3，利用基本不等式，即可求得其最小值．【解答】∵ a>0,b>01a+1+1b+1=1小a+2b=(a+1)+2(b+1)−3=[(a+1)+2(b+1)]⋅(1a+1+1b+1)−3=[1+2+2(b+1)a+1+a+1b+1]−3≥3+2√2−3=2√2当且仅当2(b+1)a+1=a+1b+1，即a=√2b=√22时取等号．故选：B二、填空题若命题，使，则为________．【答案】加x∈Rx2−1≤0【考点】命题的真假判断与应用命题的否定不等式的基本性质【解析】特称命题p:∃x0∈Mp(x0)它的否定−p:∀x∈M,−p(x)【解答】此题暂无解答已知a，b，c均为非零实数，集合，则集合A的元素的个数有________个.【答案】2【考点】元素与集合关系的判断子集与真子集集合的含义与表示【解析】通过对α、b正负的讨论，利用绝对值的定义去掉绝对值，然后进行计算，即可求出集合A的元素，即可求得答案【解答】当a>0,b>0时，x=|d|a +|b|b|+ab|ab|=1+1+1=3当a>0b<0时，ab<0x=|a|a +|b|b|+|ab|ab|=1−1−1=−1当a<0b<0时，ab>0x=|d|a +|b|b|+|ab|ab|=−1−1+1=−1当a<0b>0时，ab<0x=|a|a +b|b|+ab|ab|=−1+1−1=−1故》的所有值构成的集合为{−1,3}，集合A的元素的个数有2个，故答案为：2设集合，，且BÜA，则实数m=________.【答案】【考点】集合的相等集合的确定性、互异性、无序性集合的包含关系判断及应用【解析】根据题意可知m2≠−1，则m2=m．解出m=0或m=1．根据集合中元素的互异性舍去m=1，即可得出结果【解答】解：因为，且BuA．且m2≠−1，则m2=m解得m=0或m=1（不满足互异性舍去）．故故答案为：0设集合，B={x|1≤x≤5, x∈Z}，则A∩B非空真子集个数为________.【答案】6【考点】交集及其运算子集与真子集元素与集合关系的判断【解析】先求出A∩B，根据非空真子集的个数为2n−2个可得结果【解答】由于所以A∩B={1,2,3}所以A∩B非空真子集个数为23−2=6个，故答案为：6.给出下列条件p与q：①：或；：②：，：③：一个四边形是矩形；：四边形的对角线相等其中是的必要不充分条件的序号为________.【答案】②【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断演绎推理的基本方法平面的基本性质及推论【解析】利用必要不充分条件的定义对①②③逐一判断即可得正确答案【解答】对于①：由x2−3x+2=0得(x−1)(x−2)=0，解得x=1或x=2p;x=1或x=2；所以P是4的充分必要条件，故⑩不正确，对于②：由x2−1=0解得：x=±1，所以p:x=1q:x=1由必要不充分条件的定义可知？是19的必要不充分条件，故②正确，对于③：一个四边形是矩形则它的对角线相等，p⇒q一个四边形的对角线相等，但它不一定是矩形，q=p所以P是4的充分不必要条件，故③不正确，故答案为：②已知全集，若，，，则集合A=________【答案】{2.8.4}【考点】补集及其运算集合的含义与表示集合的相等【解析】先求全集，再根据题意画韦恩图，结合韦恩图得结果【解答】因为A∩(∁U B)={2,8}(∁U A)∩B={3,7}(∁U,A)∩(∁U B)={1,5,6}所以A={2,8,4}故答案为：{2,8,4}已知集合，，若A∪B=A，则实教a的取值范围是________.【答案】α≤0或1≤a≤2【考点】并集及其运算集合的包含关系判断及应用集合关系中的参数取值问题【解析】由|A∪B=A，得到BiA，然后再分B=⌀和B≠⌀两种情况讨论求解．【解答】已知集合因为A∪B=A所以BIA则当a≤0时，B=⌀，成立；当a >0时，B ≠⌀，则{a ≥12a ≥4,解得1≤a ≤2综上：实教a 的取值范围是a ≤0或1≤a ≤2 故答案为：a ≤0或1≤a ≤2 ．设，一元二次方程有整数根的充要条件是【答案】 3或4 【考点】函数零点的判定定理必要条件、充分条件与充要条件的判断 集合的含义与表示【解析】直接利用求根公式进行计算，然后用完全平方数、整除等进行判断计算．，因为X 是整数，即2±√4−n 为整数，所以√4−n 为整数，且n ≤4，又因为n ∈N 1，取符合题意；反之n =3,4时，可推出一元二次方程x 2−4x +n =0有整数根． 【解答】 此题暂无解答已知正实数a ，b 满足，则的最小值是________.【答案】 2+2、2 【考点】基本不等式在最值问题中的应用 【解析】【61)将1a (b +1b )展开，利用a +b 代换1，再利用基本不等式即可求最小值．【解答】1a (b +1b )=b a +1ab =b a +(a +b )2ab =b a +a 2+b 2+2ab ab =2b a +a b +2 ≥2√2b a ×ab +2=2+2√2故答案为：2+2√2 三、双空题若，，当________时，的最大值为________.【答案】3,3【考点】基本不等式在最值问题中的应用【解析】将函数解析式变形为y=5−(5−3x)−15−3x，利用基本不等式可求得y的最大值，利用等号成立可求得∼的值．【解答】当x<53时，5−3x>0,y=3x+13x−5=5−[5−3x)+15−3x]≤5−2√(5−3x)⋅15−3x=3当且仅当5−3x=15−3x (x<53)时，即当x=43时，等号成立，因此，Ⅴ的最大值为3．故答案为:43；3．四、解答题设集合，（1）若a=1时，求P∪Q；（2）若，求实数a的取值范围；（3）若P∩Q={x|0≤x<3}，求实数a的值.【答案】（1）{x|−2<x≤4}{x|−2≤x<2}；（2）a≤−5或a≥32；（3）0.【考点】绝对值不等式的解法与证明集合的包含关系判断及应用集合关系中的参数取值问题【解析】（1）由a=，得到，再利用交集运算求解．（2）根据P∩Q=⌀，分Q=⌀和Q≠⌀两种情况讨论求解．（3）根据PQQ={x|0≤x<3}，令2a=0求解．【解答】（1）若a=1时，又集合所以又或x>4}所以P∩(∁R)==x|−22x<2}（2）因为P∩Q=⌀当a>3时，Q=⌀成立；当a≤3时，Q≠⌀所以a+3≤−2或2a≥3解得a≤−5或a≥32≤a≤3即a≤−5或32综上：a≤−5或a≥32所以实数a的取值范围a≤−5或a≥32（3）因为PQQ={Q={x|3}所以2a=0解得a=0所以实数a的值0.已知集合，或．（1）当时，求；（2）若，且“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围．【答案】（1）A∩B={x|−1≤x≤1或4≤x≤5}；（2）0<a<1【考点】交集及其运算集合的包含关系判断及应用必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】（1）求出集合，即可得解；（2）根据题意A是∁R B的真子集，且A≠Z，根据集合的关系求解参数的取值范围．【解答】（1）当a=3时，或x≥4}A∩B={x|−1≤x≤1或4≤x≤5}（2）或x≥4}，由”（加A是|x∈∁R B”的充分不必要条件，得A是∁R B的真子集，且A≥⌀又，∴ {2−a >12+a <4,0<a <1。
【精品高一数学试卷】2019--2020天津高一(上)第一次月考+答案
2019-2020学年天津高一（上）第一次月考数学试卷一、选择题：（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的、本大题共9个小题，每题4分，共36分）1．（4分）设集合A＝{1，2，3，4}，B＝{﹣1，0，2，3}，C＝{x∈R|﹣1≤x＜2}，则（A∪B）∩C＝（）A．{﹣1，1}B．{0，1}C．{﹣1，0，1}D．{2，3，4} 2．（4分）命题“存在x∈R，x2+x+1≤0的否定是（）A．不存在x∈R，x2+x+1＞0B．存在x∈R，x2+x+2≥0C．对任意的x∈R，x2+x+1≤0D．对任意的x∈R，x2+x+1＞03．（4分）已知集合A＝{x|x2﹣x﹣2＞0}，则∁R A＝（）A．{x|﹣1＜x＜2}B．{x|﹣1≤x≤2}C．{x|x＜﹣1}∪{x|x＞2}D．{x|x≤﹣1}∪{x|x≥2}4．（4分）已知全集U＝{1，2，3，4，5}，集合A＝{x|x2﹣3x+2＝0}，B＝{x|x＝2a，a∈A}，则集合∁U（A∪B）中元素的个数为（）A．1B．2C．3D．45．（4分）已知集合M＝{x|x=k2+14，k∈Z}，N＝{x|x=k4+12，k∈Z}，若x0∈M，则x0与N的关系是（）A．x0∈N B．x0∉N C．x0∈N或x0∉N D．不能确定6．（4分）已知I为全集，集合M、N⊂I，若M∩N＝N，则（）A．∁I N⊆∁I M B．M⊆∁I N C．∁I M⊆∁I N D．∁I N⊆M 7．（4分）对于实数a，b，c，“a＞b”是“ac2＞bc2”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8．（4分）有下列四个命题：①{0}是空集；②若a∈N，则﹣a∉N；③集合A＝{x∈R|x2﹣2x+1＝0}有两个元素；④集合B={x∈N|6x∈N}是有限集．其中正确命题的个数是（）A．0B．1C．2D．39．（4分）若集合A{x|x2﹣x﹣12≤0}，B＝{x||x|＜1}，C＝{x|x∈A且x∉B}，则集合C（）A．{x|﹣3≤x≤﹣1，或1≤x≤4}B．{x|﹣3≤x≤﹣1，或1＜x≤4}C．{x|﹣3≤x＜﹣1，或1≤x≤4}D．{x|﹣3≤x＜﹣1或1＜x≤4}二、填空题：（本大题共6小题，每题5分共30分)10．（5分）设U＝{0，1，2，3}，A＝{x∈U|x2+mx＝0}，若∁U A＝{1，2}，则实数m＝11．（5分）已知﹣1≤x+y≤4，且2≤x﹣y≤3，则z＝2x﹣3y的取值范围是（用区间表示）．12．（5分）若不等式ax2﹣bx+2＞0的解集为{x|−12＜x＜13}，则a+b＝．13．（5分）不等式x2﹣2x+3≤a2﹣2a﹣1在R上的解集是∅，则实数a的取值范围是．14．（5分）设集合＝{x|x2﹣x﹣2≥0}，B＝{x|x＞a}，若A∪B＝R，则a的取值范围为；若A∩B＝{x|x＞2}，则a的取值范围为．15．（5分）已知集合A＝{x|2xx−2＜1}、集合B＝{x|x2﹣（2m+1）x+m2+m＜0}，命题p：x∈A，命题q：x∈B，若命题p是q的必要不充分条件，则实数m的取值范围是．三、解答题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16．（13分）已知集合U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|﹣2＜x＜3}，集合B＝（x|﹣3≤x≤2}求：A∩B；（∁U A）∪B；A∩（∁U B）；（∁U A）∪（∁U B）；∁U（A∩B）17．（13分）已知关于x的不等式x2﹣x+a﹣a2≤0．（1）求不等式的解集A；（2）已知集合B＝{x|﹣1＜x＜1}，若a＞12，A∩B＝A，求实数a的取值范围．18．（14分）已知集合A＝{x|2a+1＜x＜3a﹣5}，集合B＝{x|x2﹣13x﹣14＞0}．分别根据下列条件求实数a的取值范围．（1）A∩B＝∅（2）A⊆（A∩B）19．（14分）己知函数y＝mx2﹣mx﹣1．（1）若y＜0时，对任意的x∈R都成立，求实数m的取值范围；（2）求关于x的不等式y＜（﹣2m﹣2）x﹣3x2的解集．2019-2020学年天津高一（上）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的、本大题共9个小题，每题4分，共36分）1．【解答】解：∵A＝{1，2，3，4}，B＝{﹣1，0，2，3}，∴（A∪B）＝{1，2，3，4}∪{﹣1，0，2，3}＝{﹣1，0，1，2，3，4}，又C＝{x∈R|﹣1≤x＜2}，∴（A∪B）∩C＝{﹣1，0，1}．故选：C．2．【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“存在x∈R，x2+x+1≤0的否定是：对任意的x∈R，x2+x+1＞0．故选：D．3．【解答】解：集合A＝{x|x2﹣x﹣2＞0}，可得A＝{x|x＜﹣1或x＞2}，则：∁R A＝{x|﹣1≤x≤2}．故选：B．4．【解答】解：A＝{1，2}，B＝{2，4}，A∪B＝{1，2，4}，∴∁U（A∪B）＝{3，5}，故选：B．5．【解答】解：M＝{x|x=n2+14=2n+14，n∈Z}，显然M的分子为奇数，N＝{x|x=k4+12=k+24，k∈Z}，显然N的分子为整数，∴集合M、N的关系为M⊊N．∵x0∈M，∴x0∈N故选：A．6．【解答】解：∵I为全集，集合M、N⊂1，M∩N＝N，∴N⊆M，∴∁I M⊆∁I N．故选：C．7．【解答】解：主要考查不等式的性质．当C＝0时显然左边无法推导出右边，但右边可以推出左边故选：B．8．【解答】解：①{0}不是空集，故①不正确；②若a∈N，当a＝0时，﹣a∈N，故②不正确；③集合A＝{x∈R|x2﹣2x+1＝0}＝{1}，只有1个元素，故③不正确；④集合B={x∈N|6x∈N}={1，2，3，6}，是有限集，故④正确．故选：B．9．【解答】解：由题得：A＝[﹣3，4]，B＝（﹣1，1），则C＝{x|﹣3≤x≤﹣1，或1≤x≤4}，故选：A．二、填空题：（本大题共6小题，每题5分共30分)10．【解答】解：∵U＝{0，1，2，3}，∁U A＝{1，2}∴A＝{0，3}而∵A＝{x∈U|x2+mx＝0}，∴0，3为x2+mx＝0的两个根解得m＝﹣3故答案为﹣311．【解答】解：法1：∵z=−12（x+y）+52（x﹣y），∴3≤−12（x+y）+52（x﹣y）≤8，∴z∈[3，8]．法2：由z＝2x﹣3y得y=23x−z3，作出不等式组对应的平面区域如图（阴影部分ABC）：平移直线y=23x−z3，由图象可知当直线y=23x−z3，过点C（1，﹣2）时，直线y=23x−z3截距最小，此时z最大，代入目标函数z＝2x﹣3y，得z＝2×1﹣3×（﹣2）＝8．当直线y=23x−z3，过点A（3，1）时，直线y=23x−z3截距最大，此时z最小，代入目标函数z＝2×3﹣3＝3，∴z∈[3，8]．故答案为：[3，8]．12．【解答】解：∵不等式ax2﹣bx+2＞0的解集为{x|−12＜x＜13}，∴a＜0且{−12+13=b a−12×13=2a ，解得{a=−12b=2，∴a+b＝﹣12+2＝﹣10故答案为：﹣1013．【解答】解：由x2﹣2x+3≤a2﹣2a﹣1移项得：x2﹣2x+3﹣a2+2a+1≤0，因为不等式的解集为∅，所以△＝4﹣4（3﹣a2+2a+1）＜0，即a2﹣2a﹣3＜0，分解因式得：（a﹣3）（a+1）＜0，解得：﹣1＜a＜3，则实数a的取值范围是：{a|﹣1＜a＜3}．故答案为：{a|﹣1＜a＜3}14．【解答】解：∵A＝{x|x≤﹣1，或x≥2}，B＝{x|x＞a}，若A∪B＝R，则a≤﹣1，∴a的取值范围为（﹣∞，﹣1]；若A∩B＝{x|x＞2}，则a＝2，∴a的取值范围为{2}．故答案为：（﹣∞，﹣1]，{2}．15．【解答】解：由2xx−2＜1，化为：x+2x−2＜0，∴（x+2）（x﹣2）＜0，解得：﹣2＜x＜2．∴集合A＝{x|2xx−2＜1}＝（﹣2，2）．x 2﹣（2m +1）x +m 2+m ＜0，化为：（x ﹣m ）[x ﹣（m +1）]＜0，∴m ＜x ＜m +1．∴集合B ＝{x |x 2﹣（2m +1）x +m 2+m ＜0}＝（m ，m +1），命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B ，若命题p 是q 的必要不充分条件，则B ⊆A ．∴{−2≤m m +1≤2，解得﹣2≤m ≤1． ∴实数m 的取值范围是[﹣2，1]．故答案为：[﹣2，1]．三、解答题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16．【解答】解：∵U ＝{x |x ≤4}，A ＝{x |﹣2＜x ＜3}，B ＝（x |﹣3≤x ≤2}，∴A ∩B ＝{x |﹣2＜x ≤2}，∁U A ＝{x |x ≤﹣2或3≤x ≤4}，∁U B ＝{x |x ＜﹣3或2＜x ≤4}， ∴（∁U A ）∪B ＝{x |x ≤2，或3≤x ≤4}，A ∩（∁U B ）＝{x |2＜x ＜3}，（∁U A ）∪（∁U B ）＝{x |x ≤﹣2，或2＜x ≤4}，∁U （A ∩B ）＝{x |x ≤﹣2或2＜x ≤4}．17．【解答】解：（1）由x 2﹣x +a ﹣a 2≤0可得（x ﹣a ）[x ﹣（1﹣a ）]≤0，①当a ＞1﹣a 即a ＞12时，不等式的解集A ＝{x |1﹣a ≤x ≤a }，②当a ＝1﹣a 即a =12时，不等式的解集为A ＝{12} ③当a ＜1﹣a 即a ＜12时，不等式的解集为A ＝{x |a ≤x ≤1﹣a }，（2）由（1）可知，当a ＞12时，A ＝{x |1﹣a ≤x ≤a }，∵B ＝{x |﹣1＜x ＜1}，∵A ∩B ＝A ，∴A ⊆B ，{ a ＞−11−a ＜1a ＞12， 解可得，a ＞12，∴实数a 的取值范围（12，+∞） 18．【解答】解：集合A ＝{x |2a +1＜x ＜3a ﹣5}，集合B ＝{x |x 2﹣13x ﹣14＞0}＝{x |x ＜﹣1或x ＞14}；（1）若A ∩B ＝∅，则﹣1≤2a +1≤x ≤3a ﹣5≤14或2a +1≥3a ﹣5，即{−1≤2a +13a −5≤142a +1＜3a −5，或2a +1≥3a ﹣5，解得{a ≥−1a ≤193a ＞6，或a ≤6，即6＜a ≤193，或a ≤6； 综上知，a 的取值范围是a ≤193；（2）①当2a +1＜x ＜3a ﹣5＜﹣1，即2a +1＜3a ﹣5，且3a ﹣5＜﹣1时，解得a ≥6，且a ＜43，此时无解；②当14＜2a +1＜x ＜3a ﹣5，即14＜2a +1，且2a +1＜3a ﹣5时，解得a ＞6.5且a ＞6，此时a ＞6.5；③当A ＝∅时，即2a +1≥3a ﹣5，即为a ≤6也成立，综上知，a 的取值范围是（﹣∞，6]∪（6.5，+∞）．19．【解答】解：（1）mx 2﹣mx ﹣1＜0对任意的x ∈R 都成立，当m ＝0时，﹣1＜0恒成立；当m ＜0，△＜0，即m 2+4m ＜0，解得﹣4＜m ＜0，原不等式恒成立；当m ＞0时，原不等式不恒成立．综上可得m 的范围是（﹣4，0]；（2）关于x 的不等式y ＜（﹣2m ﹣2）x ﹣3x 2，即为（m +3）x 2+（m +2）x ﹣1＜0， 化为[（m +3）x ﹣1]（x +1）＜0，当m ＝﹣3时，可得x +1＞0，解得x ＞﹣1，解集为{x |x ＞﹣1}；当m ＞﹣3，即1m+3＞0，可得（x −1m+3）（x +1）＜0，则解集为{x |﹣1＜x ＜1m+3}； 当m ＜﹣3时，①m ＝﹣4时，可得（x +1）2＞0，解集为{x |x ∈R 且x ≠﹣1}； ②m ＜﹣4，即﹣1＜1m+3，可得（x −1m+3）（x +1）＞0，则解集为{x |x ＜﹣1或x ＞1m+3}； ③﹣4＜x ＜﹣3时，即﹣1＞1m+3，可得（x −1m+3）（x +1）＞0，则解集为{x |x ＞﹣1或x ＜1m+3}．。
2019-2020学年天津市南开中学高三(上)第一次月考(文科)数学试题
2019-2020学年天津市南开中学高三（上）第一次月考（文科)数学试题一、单选题1．已知全集{}0,1,2,3,4,5U =，集合{}1,2,3,5A =， {}2,4B =，则()U A B ⋃=ð（ ）A ．{}0,2,3,4B ．{}4C ．{}1,2,4D ．{}0,2,4 2．函数的定义域为（ ）A ．［-2，2］B ．［-2，0）∪（0，2］C ．（-∞，-2］∪［2，＋∞）D ．（-2，0）∪（0，2） 3．设 ，则“ ”是“ ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 4．已知ln x π=，5log 2y =，12z e-=，则（A ）x y z << （B ）z x y << （C ）z y x << （D ）y z x << 5．已知函数有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．［-1，0）B ．（1，2］C ．（1，＋∞）D ．（2，＋∞）6．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在[)0,+∞上单调递增，若对于任意x R ∈， ()()2222f log a f x x ≤-+恒成立，则a 的取值范围是（ ）A ．(]0,1B ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．(]0,2D ．[)2,+∞7．已知函数 ，其导函数为 ，则以下4个命题： ① 的单调减区间是；② 的极小值是-15；③ 有且只有一个零点；④当 时，对任意的 ，恒有 .其中真命题的个数为（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．48．已知定义在R 上的函数 满足 ，且，若关于x 的方程 恰有5个不同的实数根 ， ， ， ， ，则 的取值范围是（ ）A ．（-2，-1）B ．（-1，1）C ．（1，2）D ．（2，3）二、填空题9．设i 是虚数单位，若复数是纯虚数，则a 的值为______． 10．已知数列 的前n 项和为 ，且 ， ， 时， ，则 的通项公式 ______．11．如图，在 中， ， ，D 为BC 边上的点，且 ， ，则______．12．已知数列的前 的前n 项和为 ，数列的的前n 项和为 ，则满足 的最小n 的值为______．13．已知函数()2ln f x x x =-与()22g x x m x=--的图象上存在关于原点对称的点，则实数m 的取值范围是__________．14．已知平面直角坐标内定点 ， ， ， 和动点 ，，若 ，，其中O 为坐标原点，则 的最小值是______．三、解答题15．设函数求函数 的最小正周期． 求函数 的单调递减区间；设A，B，C为的三个内角，若，，且C为锐角，求．16．某中学一位高三班主任对本班50名学生学习积极性和对待班级工作的态度进行调查，得到的统计数据如表所示：如果随机调查这个班的一名学生，求事件A：抽到不积极参加班级工作且学习积极性不高的学生的概率；若不积极参加班级工作且学习积极性高的7名学生中有两名男生，现从中抽取两名学生参加某项活动，请用字母代表不同的学生列举出抽取的所有可能结果；在的条件下，求事件B：两名学生中恰有1名男生的概率．17．已知函数．求的对称轴所在直线方程及其对称中心；在中，内角A、B、C所对的边分别是a、b、c，且，，求周长的取值范围．18．已知在时有极值0。
天津市和平区2019-2020学年高一上学期期末数学试卷 (有解析)
D.+− 2 = 0}，则 ∪ = ( )2 ⌀(−2,1) C.(−2,0，1，2)D.(1,2)(−23， ， 1 2D. D. <<<< < < < <5. 已知 ∈ (0, )，cos( −= √3，则−= ( )222√3或− 3√ √3或√3− 33∈∗， = ”是“数列 }为等比数列”的( )2C.2D. == = | |= ||=+> 0,= 0, | | < )在一个周期内的图象，则其解析式是23336b2[2,3)(1,3)(2,3)=2，−+=2b a2b=0，则的取值范围()(−1,5)(−∞,−1]∪[5,+∞)二、填空题（本大题共5小题，共20.0分）11.命题“∈[2,+∞)，≥4”的否定为________．2+1++11的解集为__________．322=2+,2)上为增函数，则a的取值范围为______．15.函数三、解答题（本大题共5小题，共40.0分）16.已知，都是锐角，=,35+的值．5133+),−)的值。
17.已知=−,∈(,，求526418.已知函数(Ⅰ)求函数=2√++，其中，∈且≠0．2a的图象的对称轴方程；(Ⅱ)当∈[0,]时．函数的值域为[1,2]，求，的值．a b419.已知奇函数的定义域为[−2,2]，且在区间[−2,2]上是增函数，−1)<，求实数的取值范围．m20. 已知函数(1)求函数=− 3sin + √3． √2 2的单调增区间；(2)若) = ， ∈ [ , ]，求 3 0的值．56 3-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：本题考查了诱导公式，=cos(2×360°+60°)=，即可得出结论．1解：=cos(2×360°+60°)==．2故选C．2.答案：D解析：本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．化简集合B，根据并集的定义写出∪．解：集合={−2,0，2}，=则∪={−2,0，1，2}．故选：D．2+−2=0}==−2或=1}={−2，1}，3.答案：B 解析：要判断函数上若=3−log的零点所在区间，我们可以利用零点存在定理，即函数在区间2⋅<0，则函数在区间上有零点，易得答案．本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断，牢固掌握零点存在定理，即函数在区间上若⋅<0，则函数在区间上有零点，是解答本题的关键．解：∵=3−2−log2<021=3−log1=>0−123∴·<0，且在(−2,−1)单调递增。
最新天津市2019年高一上学期第一次月考数学试题
高一上学期第一次月考数学试卷1.设全集，集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为，所以，故选B.2.已知集合，则下列式子表示正确的有（）①；②；③；④.A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个【答案】C【解析】因为，所以正确，正确，正确，故选C.3.集合如图所示，则图中阴影部分所表示的集合是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】解：根据图形得，阴影部分含在M集合对应的椭圆内，应该是M的子集，而且阴影部分不含集合P的元素，也不含集合N的元素，应该是在集合P∪N的补集中，即在C U（P∪N）中，因此阴影部分所表示的集合为M∩C U（P∪N）,故选B.点睛:根据题目所给的图形得到以下几个条件：①在集合M内；②不在集合P内；③不在集合N 内．再根据集合的交集、并集和补集的定义得到正确答案．4. 下面各组函数中为相等函数的是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】试题分析：由题相等的函数为定义域，值域和解析式都相同。
A．，解析式不同。
C.定义域分别为：D.。
定义域分别为：B.符合。
考点：函数的概念.5.函数的定义域为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】欲使函数有意义则，所以的定义域为，故选C. 【点睛】求函数的定义的常用方法步骤有：1、列出使函数有意义的自变量的不等式关系式.依据有：①分母不为0；②偶次根式中被开方数不小于0；③0指数幂的底数不为零；2、求解即可得函数的定义域.6.已知，，等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】解：因为∞，故选A.7.已知函数的定义域是，则的定义域是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】解：由条件知：的定义域是，则，所以，得,故选C.8.已知，则为（）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】A【解析】根据分段函数解析式知，故选A.9.函数的图象是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由于函数，故当时，函数取得最小值，可以排除选项，又因为，所以可以排除选项,只有满足条件，故选D.【方法点睛】本题主要考查函数的图象与性质、排除法解选择题，属于难题.排除法解答选择题是高中数学一种常见的解题思路和方法，这种方法即可以提高做题速度和效率，又能提高准确性，这种方法主要适合下列题型:(1)求值问题（可将选项逐个验证）；（2）求范围问题（可在选项中取特殊值，逐一排除）；（3）图象问题（可以用函数性质及特殊点排除）；（4）解方程、求解析式、求通项、求前项和公式问题等等.10.若函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】二次函数对称轴为：解得：．故选B.点睛：函数在某个区间上是单调减函数，则要求该区间是原函数的单调减区间的子区间即可．11.已知函数的定义域为，则实数的值为（）A. 5B. -5C. 10D. -10【答案】A【解析】解：由条件知：的两根是2，3，根据韦达定理:2+3=m，ｍ=5．故选A.12. 将进货单价为80元的商品按90元一个出售时，能卖出400个，根据经验，该商品若每个涨(降)1元，其销售量就减少(增加)20个，为获得最大利润，售价应定为多少？【答案】略【解析】13.若全集且，则集合的真子集共有__________个.【答案】7；【解析】A=真子集共有个，．共个．点睛:另外有结论，集合中有元素个数n个，则该集合的子集个数为个，真子集为．14.已知，则.【答案】-1【解析】因为f(2x+1)=x2-2x,令2x+1=t,x=,因此可知f(t)=,因此f(3)=-115.二次函数在区间[5,20]上是增加的，实数k的取值范围是____________.【答案】【解析】因为函数为二次函数，所以对称轴方程为，又函数在[5,20]上为增函数则或，解得，故填.16.已知是定义在上是减函数，则的取值范围是__________．【答案】【解析】分段函数在R上是减函数，则需要满足解得，故填17.（本小题满分10分）设集合，．（1）若，判断集合与的关系；（2）若，求实数组成的集合．【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析:（1）若，B={5}的元素5是集合A={5，3}中的元素，集合A={5，3}中除元素5外，还有元素3，3在集合B中没有，所以B⊊A．（2）先对B集合进行化简，再根据A集合的情况进行分类讨论求出参数的值，写出其集合即可解：（1）由x2-8x+15=0得x=3或x=5，故A={3，5}，当由ax-1=0得x=5. ∴B={5}，∴B⊆A.（2）当B=∅时，满足B⊆A，此时a=0；当B≠∅，a≠0时，集合B=，由B⊆A得或；∴或．综上所述，实数a的取值集合为.18.设集合，集合，分别就下列条件求实数的取值范围：（1）；（2）.【答案】(1)或；(2)或．【解析】试题分析：（1）A∩B=A 和A B的等价性．（2）由问题知两个集合不可能为空集，且俩集合有交集，有公共部分即可.(1)A∩B=A ∴A B ∴或∴或．(2) A∩B≠∅∴或∴或．19.已知函数，.（1）利用定义法判断函数的单调性；（2）求函数值域.【答案】(1)见解析；(2)值域为：．【解析】试题分析：定义法证明函数单调性，任取值，做差，和零比.（2）研究函数单调性，再求函数值域．试题解析：（1）任取，，且，则，由，，，所以，即，所以在上单调递增．（2）由（1）知，，所以函数的值域为．点睛：（1）注意证明函数单调性，分式要通分，（2）应用第一问的结论，一直已知单调性求最值，直接代端点即可．20.设函数，若（1）求函数的解析式；（2）画出函数的图象，并说出函数的单调区间；（3）若，求相应的值.【答案】（1）；（2）增区间为，减区间为、；（3）或x=-2。
专题04 充分条件与必要条件(原卷版)
专题04充分条件与必要条件一.充分条件与必要条件二.充要条件1．如果既有p ⇒q ，又有q ⇒p ，则p 是q 的充要条件，记为p ⇔q ．2．如果p ⇒/ q 且q ⇒/ p ，则p 是q 的既不充分也不必要条件．3．如果p ⇒q 且q ⇒/ p ，则称p 是q 的充分不必要条件．4．如果p ⇒/ q 且q ⇒p ，则称p是q 的必要不充分条件．5．设与命题p 对应的集合为A ＝{x |p (x )}，与命题q 对应的集合为B ＝{x |q (x )}，若A ⊆B ，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件；若A ＝B ，则p 是q 的充要条件．6．p 是q 的充要条件是说，有了p 成立，就一定有q 成立．p 不成立时，一定有q 不成立． 重要考点一：充分条件【典型例题】“x 2>2017”是“x 2>2016”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【题型强化】1.若“x >3”是“x >a “的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是_____.2.p ：二次函数y =ax 2+bx +c 的图象与x 轴有交点；q ：判别式Δ=b 2−4ac >0，则q 是p 的什么条件__________.（充分条件、必要条件）【名师点睛】1.判断p 是q 的充分条件，就是判断命题“若p ，则q ”为真命题．2．p 是q 的充分条件说明：有了条件p 成立，就一定能得出结论q 成立．但条件p 不成立时，结论q 未必不成立．例如，当x＝2时，x2＝4成立，但当x≠2时，x2＝4也可能成立，即当x＝－2时，x2＝4也可以成立，所以“x＝2”是“x2＝4”成立的充分条件，“x＝－2”也是“x2＝4”成立的充分条件．重要考点二：必要条件成立的必要条件是（）【典型例题】已知a、b∈R，下列条件中，使a bA．a>b−1B．a>b+1C．|a|>|b|D．a2>b2【题型强化】1.从“充分条件”“必要条件”中选出适当的一种填空：“ax2+bx+c=0(a≠0)有实根”是“ac<0”的________．2.生活中，我们还常用“水滴石穿”、“有志者，事竟成”、“坚持就是胜利”等熟语来勉励自己和他人保持信心、坚持不懈地努力在这些熟语里，“石穿”、“事成”、“胜利”分别是“水滴”、“有志”、“坚持”的______条件，这正是我们努力的信心之源，激励着我们直面一切困难与挑战，不断取得进步。