1.1 空间向量及其运算(精炼)(原卷版)
人教版高二上学期数学(选择性必修1)《1.1空间向量及其线性运算》同步测试题及答案
第 1 页 共 19 页 人教版高二上学期数学(选择性必修1)《1.1空间向量及其线性运算》同步测试题及答案 考试时间：60分钟；满分：100分 姓名：___________班级：___________考号：___________
1．空间向量的概念 (1)定义：在空间 具有大小和方向的量叫做空间向量． (2)长度或模：向量的大小． (3)表示方法： ①几何表示法：空间向量用有向线段表示；
②字母表示法：用字母a b c …表示；若向量a的起点是A 终点是B 也可记作AB→ 其模记为|a|
或|AB→|.
(4)几类特殊的空间向量 名称 定义及表示 零向量 长度为0的向量叫做零向量 记为0 单位向量 模为1的向量称为单位向量 相反向量 与向量a长度相等而方向相反的向量 称为a的相反向量 记为 －a
共线向量(平行向量)
如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合 那
么这些向量叫做共线向量或平行向量．规定：对于任意向量a 都有0∥a 相等向量 方向相同且模相等的向量称为相等向量 2．空间向量的线性运算 空间向量的线加法 a＋b＝OA→＋ AB→ ＝OB
→
减法 a－b＝OA
→－OC→＝CA→ 第 2 页 共 19 页
性运算 数乘 当λ>0时 λa＝λOA→＝PQ→；
当λ<0时 λa＝λOA→＝MN→； 当λ＝0时 λa＝0
运算律 交换律：a＋b＝b＋a； 结合律：a＋(b＋c)＝(a＋b)＋c λ(μa)＝(λμ)a； 分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa λ(a＋b)＝λa＋λb. 3．共线向量 (1)空间两个向量共线的充要条件 对于空间任意两个向量a b(b≠0) a∥b的充要条件是存在实数λ 使a＝λb. (2)直线的方向向量 在直线l上取非零向量a 我们把与向量a平行的非零向量称为直线 l 的方向向量． 4．共面向量 (1)共面向量
如图 如果表示向量a的有向线段OA→所在的直线OA与直线l平行或重合 那么称向量a平行于直线l.如果直线OA平行于平面α或在平面α内 那么称向量a平行于平面α.平行于同一个平面的向量 叫做共面向量．
1.1 空间向量及其运算
11．若
a
1,
,
2
，
b
2,
1,1
，
a
与
b
的夹角为120
，则
可以取的值为（
）
A． 17
B．17
C． 1
D．1
12．在正方体 ABCD A1B1C1D1 中，下列结论正确的是（ ）
A．四边形 ABC1D1 的面积为 | AB || BC1 |
uuur B． AD1 与 A1B 的夹角为 60°
C．2
D．3
3．已知向量 i ， j ， k 是一组单位向量，且两两垂直．若 m 8 j 3k ， n i 5 j 4k ，
则 m n 的值为（ ）．
A．7
B． 20
C．28
D．11
4．如图，空间四边形 ABCD 的每条边和对角线长都等于 1，点 E ，F ，G 分别是 AB ，AD ，
（1） A, B,C, D 四点共面， E, F ,G, H 四点共面；（2） AC∥EG ；（3） OG kOC .
19．如图所示，已知斜三棱柱 ABC A1B1C1 ，点 M ， N 分别在 AC1 和 BC 上，且满足
AM
k
AC1
，
BN
k
BC (0k1)
，判断向量
MN
是否与向量
．
AM k AC1 k (AA1 AC ) ，
MN
AN
AM
(1
k
)AB
k
AA1
，
由共面向量定理知向量
MN
与向量
AB
，
AA1
共面．
20．因为
E,
H
分别为
AB,
111空间向量及其线性运算
基础达标练1.下列命题中为真命题的是( )A.向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与BA⃗⃗⃗⃗⃗ 的长度相等 B.将空间中所有的单位向量移到同一个起点,则它们的终点构成一个圆C.空间向量就是空间中的一条有向线段D.不相等的两个空间向量的模必不相等【答案】A2.在正方体ABCDA 1B 1C 1D 1中,下列选项中化简后为零向量的是( )A.AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1D 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +C 1A 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗B.AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗C.AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗D.AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗【答案】A3.化简:(AB⃗⃗⃗⃗⃗ −CD ⃗⃗⃗⃗⃗ )(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )= . 【答案】04.化简:12(a +2b 3c )+5(23a -12b +23c)3(a 2b +c )= .【答案】56a +92b 76c5.在四面体ABCD 中,E ,F 分别为棱AC ,BD 的中点,求证:AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =4EF⃗⃗⃗⃗⃗ . 【解析】左边=(AB⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗ )+(CB ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =2AF ⃗⃗⃗⃗⃗ +2CF ⃗⃗⃗⃗⃗ =2(AF ⃗⃗⃗⃗⃗ +CF ⃗⃗⃗⃗⃗ )=4EF⃗⃗⃗⃗⃗ =右边,得证. 能力提升练6.给出下列几个命题:①方向相反的两个向量是相反向量;②若|a|=|b|,则a=b 或a=b ;③对于任意向量a ,b ,必有|a+b|≤|a|+|b|.其中正确命题的序号为 .【答案】③【解析】对于①,长度相等且方向相反的两个向量是相反向量,故①错误;对于②,若|a|=|b|,则a 与b 的长度相等,但方向没有任何联系,故不正确;只有③正确.7.如图,平面α⊥平面β,AC ⊥AB ,BD ⊥AB ,且AB=4,AC=6,BD=8,用AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 表示CD⃗⃗⃗⃗⃗ = . 【答案】AB⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 【解析】CD⃗⃗⃗⃗⃗ =CA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ −AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 8.已知ABCDA'B'C'D'是平行六面体,AA'的中点为E ,点F 为D'C'上一点,且D'F=23D'C'. (1)化简:12AA '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ; (2)设M 是底面ABCD 的中心,N 是侧面BCC'B'对角线BC'上的34分点,设MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =αAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +βAD ⃗⃗⃗⃗⃗ +γAA '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,试求α,β,γ的值.【解析】(1)由AA'的中点为E ,得12AA '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =EA'⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , 又BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =A 'D '⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,D'F=23D'C', 因此23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =23D 'C '⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =D 'F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . 从而12AA '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +23AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =EA '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 'D '⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +D 'F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =EF ⃗⃗⃗⃗⃗ . (2)MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +BN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +34BC '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )+34(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CC '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=12(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )+34(AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +AA '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +14AD ⃗⃗⃗⃗⃗ +34AA '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,因此α=12,β=14,γ=34.9.如图,在三棱柱ABCA 1B 1C 1中,M ,N 分别是A 1B ,B 1C 1上的点,且BM=2A 1M ,C 1N=2B 1N.设AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ,AA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =c .试用a ,b ,c 表示向量MN⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ; 【解析】MN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =MA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +A 1B 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +B 1N ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗=13BA 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13B 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =13(ca )+a+13(ba )=13a+13b+13c.。
人教版高二上学期数学(选择性必修一)《1.1空间向量及其运算》同步测试题带答案
人教版高二上学期数学(选择性必修一)《1.1空间向量及其运算》同步测试题带答案一、单选题1．在四面体O ABC -中，空间的一点M 满足311446=++OM MA OB OC λ，若M 、A 、B 、C 四点共面，则λ=（ ）A ．12B ．13C ．512 D ．7122．如下图所示，三棱柱111ABC A B C -中，N 是1A B 的中点，若CA a = CB b = 1CC c =则CN =（）A ．1()2a b c +- B ．1()2a b c ++C ．12a b c ++ D ．1()2a b c ++3．已知向量(1,2,1),(2,0,1)a b =-=，则向量a 在向量b 上的投影向量为（ ）A ．15bB ．5C 5D ．15b -4．已知向量()()2,1,4,4,2,a b t =-=-，且向量,a b 的夹角为锐角则t 的取值范围是（ ）A ．52⎛⎫--∞ ⎪⎝⎭B ．()5,88,2⎛⎫-⋃+∞ ⎪⎝⎭C ．5,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭ D ．()5,88,2⎫⎛+∞ ⎪⎝⎭5．对于任意空间向量a b c 下列说法正确的是（ ）．A ．若a b ⊥，b c ⊥ 则a c ⊥B ．()a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅C ．若0a b ⋅<，则a ，b 的夹角是钝角D ．()()a b c a b c ⋅=⋅6．直三棱柱111ABC A B C -中，若1,,CA a CB b CC c ===，则1A B =（ ）A ．a b c +-B ．a b c -+C ．a b c -++D ．a b c -+-二、多选题 7．已知四棱柱1111ABCD A BC D -的底面是边长为6的菱形，1AA ⊥平面ABCD 13AA = π3DAB ∠=点P 满足1AP AB AD t AA λμ=++，其中λ μ []0,1t ∈则（ ）A ．当P 为底面1111D CB A 的中心时，53t λμ++=B ．当1t λμ++=时，AP 33C ．当1t λμ++=时，AP 长度的最大值为6D ．当221t λμλμ++==时，1A P 为定值8．下面四个结论正确的是（ ）A ．已知向量(1,1,)a x =，(3,,9)b x =-若310x <，则,a b 〈〉为钝角 B ．已知(2,0,1)a =-，(3,2,5)b =-则向量b 在向量a 上的投影向量是1(2,0,1)5- C ．若直线0ax by c 经过第三象限，则0ab > 0bc <D ．已知A ，B ，C 三点不共线，对于空间任意一点O ，若212555OP OA OB OC =++，则P ，A ，B ，C 四点共面三、填空题9．已知空间向量,,a b c 两两夹角均为60，其模均为1，则2a b c +-= .10．已知EF 是棱长为8的正方体的一条体对角线，空间一点M 满足40,ME MF AB ⋅=-是正方体的一条棱，则AM AB ⋅的最小值为 .四、解答题11．图①是由三个相同的直角三角形组合而成的一个平面图形，将其沿,OB OC 折起使得A 与1A 重合，如图①，其中,,,D E F G 分别为,,,AB OB OC AC 的中点．(1)用,,OA OB OC 表示,DE DF ；(2)证明：,,,D E F G 四点共面．12．111ππ1,2,,23AB AD AA BAD BAA DAA ===∠=∠=∠=．(1)用向量1,,AB AD AA 表示向量1BD ，并求1BD ；(2)求1cos ,BD AC ．参考答案1．D【分析】根据给定条件，利用空间向量的共面向量定理的推论列式计算即得.【详解】在四面体O ABC -中，,,OA OB OC 不共面 而1146OM OA OB OC λ=++ 则11146λ++= 所以712λ= 故选：D2．B【分析】由题意可得1111()()22C CA CB CA B N CC C =+=++，即可得答案. 【详解】解：因为N 是1A B 的中点 所以1111())(21)2(2C b CA CB CA N a c CC CB =+=++=++. 故选：B.3．A【分析】求出a b 以及||b ，根据投影向量的含义即可求得答案.【详解】由题意向量(1,2,1),(2,0,1)a b =-=故1220(1)11a b =⨯+⨯+-⨯= 222||2015b =++则向量a 在向量b 上的投影向量为22115||(5)a b b b b ==. 故选：A.4．B【分析】夹角为锐角，则0a b ⋅>，排除平行的情况即可.【详解】因为向量,a b 的夹角为锐角则8240a b t ⋅=++>，得52t >- 当//a b 时，21442t-==-，得8t = ①t 的取值范围为()5,88,2∞⎛⎫-⋃+ ⎪⎝⎭． 故选：B.5．B【分析】由空间向量的位置关系可得A 错误；由数量积的运算律可得B 正确，D 错误；当两向量的夹角为π时，0a b ⋅<也成立可得D 错误； 【详解】对于A ，若a b ⊥，b c ⊥则a c ⊥或//a c ，故A 错误；对于B ，由数量积的运算律可知()a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅，故B 正确； 对于C ，若0a b ⋅<，则a ，b 的夹角是钝角或反向共线，故C 错误；对于D ，由数量积的运算律可知，等号左面与c 共线，等号右面与a ，两边不一定相等，故D 错误； 故选：B.【分析】由空间向量线性运算法则即可求解．【详解】()11111A A B B a b B A B c CC C CB =+=-+=-+--+.故选：D ．7．BCD【分析】根据题意，利用空间向量进行逐项进行分析求解判断. 【详解】对于A ，当P 为底面1111D C B A 的中心时，由1AP AB AD t AA λμ=++，则11,,122t λμ=== 故2t λμ++=，故A 错误；对于B ，当1t λμ++=时 ()22222222112?AP AB AD t AA AB AD t AA AB AD λμλμλμ=++=+++ ()()222223693636936t t λμλμλμλμ=+++=++- 22245723636457236362t t t t λμλμ+⎛⎫=-+-≥-+- ⎪⎝⎭223273654273644t t t ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭ 当且仅当13,84t λμ===32B 正确; 对于C ，当1t λμ++=时 1AP AB AD t AA λμ=++，则点P 在1A BD 及内部而AP 是以A 为球心，以AP 为半径的球面被平面1A BD 所截图形在四棱柱1111ABCD A B C D -及内的部分 当=1=0t λμ=，时=6AP ，当=0=10t λμ=，，时=6AP ，可得1A P 最大值为6，故C 正确； 对于D ，221t λμλμ++== ()22223693636945AP t λμλμ=+++=+= 而11=A P A A AP +，所以()22222111111=+2?=+2AP A A AP A A AP A A AP A A AB AD t AA λμ++⋅++ 22211=29452936A A AP t A A +-=+-⨯=，则16A P =为定值，故D 正确. 故答案选：BCD.【分析】取3x =-可得3b a =-，进而得到A 错误；由投影向量的计算可得B 正确；令1,1,0a b c ==-=可得C 错误；由空间向量共面定理可得D 正确；【详解】对于A ，当3x =-时(1,1,3)a =- (3,3,9)=--b 3b a =-此时,a b 〈〉为π，故A 错误；对于B ，向量b 在向量a 上的投影向量为()2,0,1651cos ,2,0,1555a ab a b a b a a a -⋅-⋅=⋅=⨯=-，故B 正确； 对于C ，令1,1,0a bc ==-=，则直线0ax by c 为0x y -=，且经过第三象限但此时00ab bc <=，，故C 错误；对于D ，因为212555OP OA OB OC =++ 2121555++= 所以由向量共面定理的推论可得P ，A ，B ，C 四点共面，故D 正确；故选：BD.93【分析】根据向量数量积公式，计算出2(2)a b c +-，进而求出模长. 【详解】22222(2)4244a b c a b c a b c a b a c b c +-=+-=+++⋅-⋅-⋅ 22242cos 604cos 604cos 60a b c a b a c b c =+++⋅︒-⋅︒-⋅︒ 1111142114114112232=+++⨯⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯⨯=⨯ 310．32162-【分析】作图相应图形，利用空间向量的线性运算与数量积的运算法则求得MO ，进而得到点M 的轨迹，再利用空间向量数量积的定义即可得解.【详解】依题意，取EF 的中点O ，则183,432EF OE OF EF ====则()()2222(43)40ME MF MO OE MO OE MO OE MO ⋅=+⋅-=-=-=- 所以22MO =M 在以O 为球心，22可知AM 在AB 上的投影数量最小值为422AN AH r =-=-所以AM AB ⋅的最小值为(422832162-⨯=- 故答案为：32162- 11．(1)12DE OA =- ()12DF OA OB OC =--+． (2)证明见解析【分析】（1）根据空间向量的基本运算求解即可；（2）根据空间向量的基本运算，证明DF DG DE =+即可.【详解】（1）因为,,,D E F G 分别为,,,AB OB OC AC 的中点 所以1122DE AO OA ==- ()()1111122222DF DG GF BC AO OC OB OA OA OB OC =+=+=--=--+． （2）因为()()1111,,2222DF OA OB OC DG BC OC OB DE OA =--+==-=- ()()111222DG DE OC OB OA OA OB OC +=--=--+ 所以DF DG DE =+，故,,,D E F G 四点共面．12．(1)11BD AD AA AB =+-63【分析】（1）借助空间向量的线性运算与模长与数量积的关系计算即可得；（2）结合题意，借助空间向量的线性运算与夹角公式计算即可得.【详解】（1）111A BD D AB AD AA AB =-=+- 则2222211111()222BD AD AA AB AD AA AB AD AA AD AB AB AA =+-=+++⋅-⋅-⋅111412*********=+++⨯⨯⨯--⨯⨯⨯= 所以16BD =（2）由空间向量的运算法则，可得AC AB AD =+ 因为11,2AB AD AA ===且11ππ,23BAD BAA DAA ∠=∠=∠= 所以2222cos 2AC AB AD AB AB AD AD π=+=+⋅+ 1012=++11()()BD AC AD AA AB AB AD ⋅=+-⋅+2211AD AB AD AA AB AA AD AB AD AB =⋅++⋅+⋅--⋅22ππππ11cos 121cos 21cos 111cos 22332=⨯⨯++⨯⨯+⨯⨯--⨯⨯= 则1113cos ,62BD ACBD AC BD AC ⋅===⨯⋅.。
1.1.1 空间向量及其线性运算(第一课时)(同步检测)(附答案)—高二上学期数学选择性必修第一册
1.1.1 空间向量及其线性运算（第一课时）（同步检测）一、选择题1.对于空间中的非零向量AB→，BC →，AC →，其中一定不成立的是( )A.AB→＋BC →＝AC → B.AB →－AC →＝BC → C.|AB→|＋|BC →|＝|AC →| D.|AB →|－|AC →|＝|BC →| 2.设有四边形ABCD ，O 为空间任意一点，且AO →＋OB →＝DO →＋OC →，则四边形ABCD 是( )A.平行四边形B.空间四边形C.等腰梯形D.矩形 3.下列说法中正确的是( )A.空间中共线的向量必在同一条直线上B.AB→＝CD →的充要条件是A 与C 重合，B 与D 重合 C.数乘运算中，λ既决定大小，又决定方向 D.在四边形ABCD 中，一定有AB→＋AD →＝AC → 4.已知空间四边形ABCD ，连接AC ，BD ，设M ，G 分别是BC ，CD 的中点，则MG →－AB →＋AD →等于( )A.32DB →B.3MG →C.3GM→ D.2MG → 5.如图，在平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，AC 与BD 的交点为O ，点M 在BC ′上，且BM ＝2MC ′，则OM→等于( )A.－12AB →＋76AD →＋23AA ′—→B.－12AB →＋56AD →＋13AA ′—→C.12AB →＋16AD →＋23AA ′—→D.12AB →－16AD →＋13AA ′—→6.在空间四边形OABC 中，若E ，F 分别是AB ，BC 的中点，H 是EF 上的点，且EH→＝13EF →，记OH→＝xOA →＋yOB →＋zOC →，则(x ，y ，z)等于( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12，16B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，16，13C.⎝ ⎛⎭⎪⎫13，16，12D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，13，16 7.已知正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，A 1E ―→＝14A 1C 1―→，若AE ―→＝xAA 1―→＋y(AB ―→＋AD ―→)，则( ) A.x ＝1，y ＝12 B.x ＝12，y ＝1 C.x ＝1，y ＝13 D.x ＝1，y ＝148.(多选)下列说法错误的是( ) A.任意两个空间向量的模能比较大小B.将空间中所有的单位向量移到同一个起点，则它们的终点构成一个圆C.空间向量就是空间中的一条有向线段D.不相等的两个空间向量的模必不相等9.(多选)如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，下列各式运算结果为BD 1—→的是( )A.A 1D 1—→－A 1A —→－AB →B.BC →＋BB 1—→－D 1C 1—→C.AD →－AB →－DD 1—→D.B 1D 1—→－A 1A —→＋DD 1—→ 二、填空题10.在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点M 是AA 1的中点，已知AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1—→＝c ，用a ，b ，c 表示CM →，则CM →＝________11.如图，在四面体ABCD 中，E ，G 分别是CD ，BE 的中点，若记AB →＝a ，AD →＝b ，AC →＝c ，则AG→＝________12.如图，O 为△ABC 所在平面外一点，M 为BC 的中点，若AG ―→＝λAM ―→与OG ―→＝12OA ―→＋14OB―→＋14OC ―→同时成立，则实数λ的值为__________三、解答题13.如图，设O 为▱ABCD 所在平面外任意一点，E 为OC 的中点，若AE→＝12OD →＋xOB →＋yOA →，求x ，y 的值．14.如图，已知空间四边形ABCD ，连接AC ，BD ，E ，F ，G 分别是BC ，CD ，DB 的中点，请化简以下式子，并在图中标出化简结果． (1)AB→＋BC →－DC →；(2)AB →－DG →－CE →.15.如图所示，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，M 是棱BB 1的中点，化简下列各式，并在图中标出化简得到的向量．(1)CB →＋BA 1—→；(2)AC →＋CB →＋12AA 1—→；(3)12AA 1—→－12B 1B —→－AC →－CB →.参考答案及解析：一、选择题1.B 解析：根据空间向量的加减法运算，对于A ，AB→＋BC →＝AC →恒成立；对于C ，当AB →，BC →方向相同时，有|AB→|＋|BC →|＝|AC →|；对于D ，当AB →，AC →方向相同且|AB →|≥|AC →|时，有|AB →|－|AC →|＝|BC→|；对于B ，由向量减法可知AB →－AC →＝CB →，又BC →为非零向量，所以B 一定不成立． 2.A 解析：∵AO →＋OB →＝DO →＋OC →，∴AB →＝DC →.∴AB →∥DC →且|AB →|＝|DC →|.∴四边形ABCD 为平行四边形．3.C 解析：对于A ，向量共线是指表示向量的有向线段所在直线平行或重合，所以A 错误；对于B ，AB→＝CD →的充要条件是|AB →|＝|CD →|，且AB →，CD →同向，但A 与C ，B 与D 不一定重合，所以B 错误；对于C ，λ既决定大小又决定方向，所以C 正确；对于D ，满足AB →＋AD →＝AC →的一定是平行四边形，一般四边形是不满足的，所以D 错误．4.B 解析：MG→－AB →＋AD →＝MG →－(AB →－AD →)＝MG →－DB →＝MG →＋BD →＝MG →＋2MG →＝3MG →.5.C 解析：因为BM ＝2MC ′，所以BM →＝23BC ′—→，在平行六面体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，OM →＝OB →＋BM →＝OB →＋23BC ′—→＝12DB →＋23(AD →＋AA ′—→)＝12(AB →－AD →)＋23(AD →＋AA ′—→)＝12AB →＋16AD →＋23AA ′—→.6.A 解析：连接OE ，OF(图略)，因为EH→＝13EF →，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，所以OH →＝OE →＋EH→＝OE →＋13EF →＝OE →＋13(OF →－OE →)＝23OE →＋13OF →＝23×12(OA →＋OB →)＋13×12(OB →＋OC →)＝13OA →＋12OB→＋16OC →，故(x ，y ，z)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13，12，16. 7.D 解析：AE ―→＝AA 1―→＋A 1E ―→＝AA 1―→＋14A 1C 1―→＝AA 1―→＋14(AB ―→＋AD ―→).所以x ＝1，y ＝14. 8.BCD 解析：对于选项A ，向量的模即向量的长度，是一个数量，所以任意两个向量的模可以比较大小；对于选项B ，其终点构成一个球面；对于选项C ，零向量不能用有向线段表示；对于选项D ，两个向量不相等，它们的模可以相等．9.AB 解析：A 中，A 1D 1—→－A 1A —→－AB →＝AD 1—→－AB →＝BD 1—→；B 中，BC →＋BB 1—→－D 1C 1—→＝BC 1—→＋C 1D 1—→＝BD 1—→；C 中，AD →－AB →－DD 1—→＝BD →－DD 1—→＝BD →－BB 1—→＝B 1D —→≠BD 1—→；D 中，B 1D 1—→－A 1A —→＋DD 1—→＝BD →＋AA 1—→＋DD 1—→＝BD 1—→＋AA 1—→≠BD 1—→.二、填空题10.答案：－a －b ＋12c解析：∵CM→＝CB →＋BA →＋AM →＝－BC →－AB →＋AM →，又∵M 是AA 1的中点，∴AM →＝12AA 1—→，∴CM →＝－BC →－AB →＋12AA 1—→，∵AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1—→＝c ，∴CM →＝－a －b ＋12c .11.答案：12a ＋14b ＋14c解析：在四面体ABCD 中，E ，G 分别是CD ，BE 的中点，则AG→＝AB →＋BG →＝AB →＋12BE →＝AB →＋12×12(BC →＋BD →)＝AB →＋14(AC →－AB →＋AD →－AB →) ＝AB→＋14AC →＋14AD →－12AB →＝12AB →＋14AD →＋14AC →＝12a ＋14b ＋14c .12.答案：12解析：OG ―→＝OA ―→＋AG ―→＝OA ―→＋λAM ―→＝OA ―→＋λ2(AB ―→＋AC ―→)＝OA ―→＋λ2(OB ―→－OA ―→＋OC ―→－OA―→)＝(1－λ)OA ―→＋λ2OB ―→＋λ2OC―→，所以1－λ＝12，λ2＝14，解得λ＝12.三、解答题13.解：∵AE→＝AB →＋BC →＋CE →＝OB →－OA →＋OC →－OB →－12OC →＝－OA →＋12OC →＝－OA →＋12(OD →＋DC →)＝－OA→＋12(OD →＋AB →)＝－OA →＋12OD →＋12(OB →－OA →)＝12OD →＋12OB →－32OA →，又AE→＝12OD →＋xOB →＋yOA →，∴x ＝12，y ＝－32.14.解：(1)AB→＋BC →－DC →＝AB →＋BC →＋CD →＝AC →＋CD →＝AD →，如图中向量AD →.(2)如图，连接GF ，GF→＝12BC →，AB →－DG →－CE →＝AB →＋BG →＋EC →＝AG →＋GF →＝AF →，如图中向量AF →.15.解：(1)CB →＋BA 1—→＝CA 1—→.(2)∵M 是BB 1的中点，∴BM→＝12BB 1—→，又AA 1→＝BB 1—→，∴AC →＋CB →＋12AA 1—→＝AB →＋BM →＝AM →.(3)12AA 1—→－12B 1B —→－AC →－CB →＝12(AA 1—→＋BB 1—→)－(AC →＋CB →)＝AA 1—→－AB →＝BA 1—→.。
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A．一定不共面B．不一定共面
C．一定共面D．无法判断
6．（2019·建瓯市第二中学高二月考）已知 、 、 三点不共线，对平面 外的任一点 ，下列条件中能确定点 与点 、 、 一定共面的是（）
A． B．
C． D．
1．（2020·涟水县第一中学高二月考） 是空间四点，有以下条件：
① ；② ；
③ ；④ ，
能使 四点一定共面的条件是______
2．（2019·江苏海安高级中学高二期中（理））设空间任意一点 和不共线三点 ，且点 满足向量关系 ，若 四点共面，则 ______．
3．（2020·全国高二课时练习）对于空间任意一点 和不共线的三点 ， ， ，有如下关系： ，则（）
（2）求异面直线 与 所成角的余弦值．
5．（2020·全国高二课时练习）如图，三棱柱 中，底面边长和侧棱长都相等， ，则异面直线 与 所成角的余弦值为_____________
6.如图，已知线段AB⊥平面α，BC⊂α，CD⊥BC，DF⊥平面α，且∠DCF＝30°，D与A在α的同侧，若AB＝BC＝CD＝2，求A，D两点间的距离．
A． B．
C． D．
5．（2020·陕西王益.高二期末（理））如图，在空间四边形ABCD中，E，M，N分别是边BC，BD，CD的中点，DE，MN交于F点，则 （）
A． B． C． D．
6．（2019·江苏省苏州实验中学高二月考）平行六面体 中， ，则实数x，y，z的值分别为( )
A． B． C． D．
②空间任意两个单位向量必相等；
③对于非零向量 ，由 ，则 ；
④在向量的数量积运算中 .
其中假命题的个数是（）
A．1B．2C．3D．4
4．（2019·长宁.上海市延安中学高二期中）给出以下结论：
①空间任意两个共起点的向量是共面的；
②两个相等向量就是相等长度的两条有向线段表示的向量；
③空间向量的加法满足结合律： ；
7．（2020·西夏.宁夏育才中学高二期末（理））已知 为空间任意一点，若 ，则 四点（）
A．一定不共面B．一定共面C．不一定共面D．无法判断
【题组四空间向量的数量积】
1．（2020·山东新泰市第一中学高一期中）如图，平行六面体 中， ， ， ，则 （）
A． B． C． D．
2．（2020·四川遂宁.高三三模（理））如图，平行六面体 中， ， ， ， ， ，则 的长为_____．
1.1 空间向量及其运算（精炼）
【题组一概念的辨析】
1．（2020·辽宁沈阳.高二期末）在下列结论中：①若ຫໍສະໝຸດ 量 共线，则向量 所在的直线平行；
②若向量 所在的直线为异面直线，则向量 一定不共面；
③若三个向量 两两共面，则向量 共面；
④已知空间的三个向量 ，则对于空间的任意一个向量 总存在实数x，y，z使得 .
其中正确结论的个数是()
A．0B．1C．2D．3
2（2019·全国高二）下列说法中正确的是（ ）
A．若 ，则 ， 的长度相等，方向相同或相反
B．若向量 是向量 的相反向量，则
C．空间向量的减法满足结合律
D．在四边形 中，一定有
3．（2020·陕西新城.西安中学高二期末（理））给出下列命题：
①若空间向量 满足 ，则 ；
9．（2020·江苏省如东高级中学高一月考）在四面体 中， 、 分别是 、 的中点，若记 ， ， ，则 ______.
10．（2020·全国高二课时练习）已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，若点F是侧面CD1的中心，且 则m，n的值分别为()
A． ，－ B．－ ，－ C．－ ， D． ，
【题组三空间向量的共面问题】
A．四点 ， ， ， 必共面B．四点 ， ， ， 必共面
C．四点 ， ， ， 必共面D．五点 ， ， ， ， 必共面
4．（2020·宁阳县第四中学高二期末）对于空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，有如下关系： ，则（）
A．四点O，A，B，C必共面B．四点P，A，B，C必共面
C．四点O，P，B，C必共面D．五点O，P，A，B，C必共面
2．（2020·全国高二）在四面体 中，点 在 上，且 ， 为 中点，则 等于（）
A． B．
C． D．
3（2020·山东章丘四中高二月考）如图所示，在空间四边形 中， ，点 在 上，且 为 中点，则 （）
A． B．
C． D．
4．（2020·山东德州.高二期末）如图，平行六面体 中， 与 的交点为 ，设 ， ， ，则下列选项中与向量 相等的是（）
3．（2020·全国高二课时练习）如图， 分别是四面体 的棱 的中点， 是 的三等分点．（1）用向量 ， ， 表示 和 ．（2）若四面体 的所有棱长都等于1，求 的值．
4.．（2020·全国高二课时练习）如图，三棱柱 中，底面边长和侧棱长都等于1， ．
（1）设 ， ， ，用向量 ， ， 表示 ，并求出 的长度；
7．（2020·湖北黄石.高二期末）如图，已知空间四边形 ，其对角线为 ， 分别是对边 的中点，点 在线段 上， ，现用基向量 表示向量 ，设 ，则 的值分别是（）
A． B．
C． D．
8．（2020·全国高二课时练习）在正方体ABCD－A1B1C1D1中，已知下列各式：①( ＋ )＋ 1；②( ＋ )＋ ；③( ＋ )＋ ；④( ＋ )＋ .其中运算的结果为 的有___个.
④首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量.
请将正确的说法题号填在横线上：__________.
【题组二空间向量的线性运算】
1．（2020·辽宁沈阳.高二期末）如图，在正方体 中，点 分别是面对角线A1B与B1D1的中点,若 =a, =b, =c,则 =（）
A． B．
C． D．