2019金榜e讲堂-高三人教版数学一轮复习课件：第2章第11节变化率与导数、导数的计算

(2)几何意义：
函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点 处的(x0，f(x0)) (瞬切时线速的度斜就率是位移函数s(t)对时间t的导
数)．相应地，切线方程为
y－f(x0)＝f′(．x0)(x－x0)
2．函数 f(x)的导函数
称函数 f′(x)＝
f（x＋Δx）－f（x） Δx
(1)曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线是指P为切点，切线 斜率为k＝f′(x0)的切线，是唯一的一条切线． (2)曲线y＝f(x)过点P(x0，y0)的切线，是指切线经过P 点．点P可以是切点，也可以不是切点，而且这样的直线 可能有多条．
利用导数的定义求函数的导数 [典题导入]
用定义法求下列函数的导数． (1)y＝x2； (2)y＝x42.
[跟踪训练] 1．一质点运动的方程为 s＝8－3t2.
(1)求质点在[1，1＋Δt]这段时间内的平均速度； (2)求质点在 t＝1 时的瞬时速度(用定义及导数公式两种方法求 解)． 解析 (1)∵s＝8－3t2， ∴Δs＝8－3(1＋Δt)2－(8－3×12)＝－6Δt－3(Δt)2， v＝ΔΔst＝－6－3Δt.
[听课记录] (1)由题意知：f′(x)＝3mx2＋4nx－12＜0 的解集为 (－2，2)， 所以－2 和 2 为方程 3mx2＋4nx－12＝0 的两个根， 由根与系数的关系知 0＝－34mn ，－4＝－3m12， 即 m＝1，n＝0.
(2)存在满足条件的三条切线． 设点 P(x0，f(x0))是曲线 f(x)＝x3－12x 的切点， 则在 P 点处的切线方程为 y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)， 即 y＝3(x20－4)x－2x30. 因为其过点 A(1，t)， 所以 t＝3(x20－4)－2x30＝－2x30＋3x20－12， 因为有三条切线，所以方程应有 3 个实根， 设 g(x)＝2x3－3x2＋t＋12，故只要使此曲线有 3 个零点即可．
f′(x)＝ ex
f′(x)＝
1 xln a
f′(x)＝
1 x
三、导数的运算法则
1．[f(x)±g(x)]′＝ f′(x)±g′(x) ；
2．[f(x)·g(x)]′＝ f′(x)g(x)＋f(x)g′(x) ；
3．gf（（xx））′＝
f′（x）g（x）－f（x）g′（x） [g（x）]ln x 在点(e，e)处的切线与直线 x＋ay＝1 垂直，则实
数 a 的值为
()
A．2
B．－2
1 C.2
D．－12
3．(教材习题改编)某质点的位移函数是 s(t)＝2t3－12gt2(g＝
10 m/s2)，则当 t＝2 s 时，它的加速度是
()
A．14 m/s2
B．4 m/s2
(1)y＝ex·ln x；(2)y＝xx2＋1x＋x13； (3)y＝ 3－x.
解析 (1)y′＝(ex·ln x)′ ＝exln x＋ex·1x＝exln x＋1x. (2)∵y＝x3＋1＋x12，∴y′＝3x2－x23.
1
(3)设 u＝3－x，则 y＝ 3－x由 y＝u2与 u＝3－x 复合而成．
为 f(x)的导函数．
二、基本初等函数的导数公式
原函数 f(x)＝c(c为常数) f(x)＝xn(n∈Q*)
f(x)＝sin x f(x)＝cos x
f(x)＝ax
导函数 f′(x)＝ 0 f′(x)＝ nxn－1 f′(x)＝ cos x f′(x)＝ －sin x f′(x)＝ axln a
f(x)＝ex f(x)＝logax f(x)＝ln x
导数的运算 [典题导入]
求下列函数的导数． (1)y＝x2sin x；(2)y＝eexx－＋11；(3)y＝ln(2x－5)．
[听课记录] (1)y′＝(x2)′sin x＋x2(sin x)′ ＝2xsin x＋x2cos x. (2)y′＝（ex＋1）′（ex－（1）ex－－1（）ex2＋1）（ex－1）′ ＝ex（ex－（1）ex－－1（）ex2＋1）ex＝（e－x－2e1x）2. (3)令 u＝2x－5，y＝ln u， 则 y′＝(ln u)′u′＝2x－1 5·2＝2x－2 5， 即 y′＝2x－2 5.
相切，则 b 的值为
()
A．－2
B．－1
C．－12
D．1
B
设切点的坐标为a，－12a＋ln
a，依题意，对于曲线
y＝－12x
＋ln x，有 y′＝－12＋1x，
所以－12＋1a＝12，得 a＝1.
又切点1，－12 在直线 y＝12x＋b 上，
故－12＝12＋b，得 b＝－1.
【创新探究】 忽视判断点是否为切点而致误
(2019·上海徐汇摸底)已知函数f(x)＝x3－3x，过点 P( － 2 ， － 2) 作 曲 线 y ＝ f(x) 的 切 线 ， 则 切 线 的 方 程 为 __________． 【错解】 由f(x)＝x3－3x知f′(x)＝3x2－3， ∴k＝f′(－2)＝3×4－3＝9. ∴切线方程为y＋2＝9(x＋2)， ∴y＝9x＋16.
当 0＜x＜1a时，f′(x)＜0，f(x)在0，1a上递减． 所以当 x＝1a时，f(x)取最小值为 2＋b. (2)f′(x)＝a－a1x2，由题设知，f′(1)＝a－1a＝32， 解得 a＝2 或 a＝－12(不合题意，舍去)． 将 a＝2 代入 f(1)＝a＋1a＋b＝32，解得 b＝－1. 所以 a＝2，b＝－1.
课时作业
合作愉快
2011
[跟踪训练] 3．(1)(2019·新课标全国卷)曲线y＝x(3ln x＋1)在点(1，1)处的
切线方程为________． 解析 y′＝3ln x＋1＋3，所以曲线在点(1，1)处的切线斜 率为4，所以切线方程为y－1＝4(x－1)，即y＝4x－3. 答案 y＝4x－3
(2)(2014·乌鲁木齐诊断性测验)直线 y＝12x＋b 与曲线 y＝－12x＋ln x
C．10 m/s2
D．－4 m/s2
A [由 v(t)＝s′(t)＝6t2－gt，a(t)＝v′(t)＝12t－g，
得 t＝2 时，a(2)＝v′(2)＝12×2－10＝14(m/s2)．]
4．函数y＝xcos x－sin x的导数为________． 解析 y′＝(xcos x)′－(sin x)′＝x′cos x＋x(cos x)′ －cos x ＝cos x－xsin x－cos x ＝－xsin x. 答案 －xsin x
[关键要点点拨] 1．函数求导的原则 对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则，
求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意 求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须 注意变换的等价性，避免不必要的运算失误．
2．曲线y＝f(x)“在点P(x0，y0)处的切线”与“过点P(x0，y0) 的切线”的区别与联系
令 g′(x)＝6x2－6x＝0，∴x＝0 或 x＝1 分别为 g(x)的极值点，当 x∈(－∞，0)和(1，＋∞)时，g′(x)＞0，g(x)在(－∞，0)和(1，＋∞) 上单调递增， 当 x∈(0，1)时，g′(x)＜0，g(x)在(0，1)上单调递减， 所以，x＝0 为极大值点，x＝1 为极小值点． 所以要使曲线与 x 轴有 3 个交点，当且仅当gg（ （01） ）＞ ＜00， ， 即tt＋ ＋1112＜＞00，，解得－12＜t＜－11.
1
故 y′＝f′(u)·u′(x)＝(u2)′(3－x)′
＝12u (－1)＝－12u
＝－ 2
31－x＝
3－x 2x－6 .
导数的几何意义
[典题导入] (2019·济南模拟)已知函数f(x)＝mx3＋2nx2－12x的减 区间是(－2，2)． (1)试求m、n的值； (2)过点A(1，t)是否存在与曲线y＝f(x)相切的3条切线，若存 在，求实数t的取值范围；若不存在，请说明理由．
[互动探究] 在本例条件下，求过点A(1，－11)且与曲线y＝f(x)相切的切 线方程． 解析 由例3知m＝1，n＝0. ∴f(x)＝x3－12x. ∴f′(x)＝3x2－12，∵f(1)＝13－12×1＝－11， ∴当A为切点时，k＝f′(1)＝－9. ∴切线方程为9x＋y＋2＝0. 当A不为切点时，设切点P(x0，f(x0))， ∴k＝f′(x0)＝3x－12.
5．(2019·湖北黄冈一模)已知函数f(x)＝x(x－1)(x－2)(x－3) (x－4)(x－5)，则f′(0)＝__________． 解析 f′(x)＝(x－1)(x－2)(x－3)(x－4)(x－5)＋x[(x－1) (x－2)(x－3)(x－4)(x－5)]′， ∴f′(0)＝(－1)×(－2)×(－3)×(－4)×(－5)＝－120. 答案 －120
【错因】 上述解法中易认为P(－2，2)是曲线切线的切点， 从而导致解答中缺少一种解的可能性． 【解析】 ①当P(－2，－2)为切点时， 切线方程为y＝9x＋16； ②当P(－2，－2)不是切点时， 设切点为(a，b)，则b＝a3－3a，由于y′＝3x2－3， 所以切线的斜率k＝3a2－3，
故切线方程为 y－b＝(3a2－3)(x－a)， 又切线过点(－2，－2)， 所以－2－b＝(3a2－3)·(－2－a), 解得ab＝ ＝1－，2或ab＝ ＝－ －22， ，(舍去)，所以切线方程为 y＝－2. 综上，所求的切线方程为 y＝9x＋16 或 y＝－2. 【答案】 y＝9x＋16 或 y＝－2
∴切线方程为 y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)， 即 y＝3(x20－4)x－2x30. ∵切线过点 A(1，－11)，代入得 2x30－3x20＋1＝0， ∴(x0－1)2(2x0＋1)＝0， ∴x0＝1 或 x0＝－12， 即 P(－12，487)．k＝f(－12)＝－445. ∴切线方程为 45x＋4y－1＝0. 所以过 A(1，－11)的切线为 9x＋y＋2＝0 或 45x＋4y－1＝0.