零状态响应与全响应
RLC并联电路的零状态响应和全响应
2
解：t 0 时，根据KCL有：
iC
iL(t)iC(t)is(t)
0.2F
0.25H
i C ( t) C d u d C t ( t) C d [ R i L ( t d ) t u L ( t ) ] R C d i d L t ( t ) L C d 2 d i L t2 ( t )
§6-3 RLC并联电路的零状态响应 和全响应
北京邮电大学电子工程学院
退出 开始
2 全响应
动态元件的初始状态不为零，且有外加激励作用时 电路的响应。 求电路全响应的两种方法：
零输入零状态方法： 全响应＝零输入响应＋零状态响应
求解微分方程的经典方法： 全响应＝通解＋特解
X
例题1
如图所示电路，已知 is2[1ε(t)]A，求 t 0
时的 i L ( t ) 和u C ( t ) 并绘出其波形图。
解：ti<L(00时)：is(0)2Ais
+
iL
100 uC 250μF 200mH
uC(0 ) 0
-
t 0 时：
LCd2 d iL t2 (t)R Ldid Lt(t)iL(t)4
1 L 1200103
R100 2C 2
25010A41
2 140A2
0
A1
2
2
A 2 7
iL(t)e20t(2cos140t7 2sin140t)4
4e20t(2cos140t0.29sin140t)A
uC(t)uL(t)Ldid Lt(t)200103[20e20t(2cos140t72sin140t)
e20t(2140sin140t2140cos140t)] 7
16第十六讲 二阶电路的零状态响应和全响应阶跃和冲激响应
等幅振荡 π uC = U 0 sin( ω 0 t + ) = uL 无阻尼 2
δ = cos β ω0 ω = sin β ω0 ω β = arctg δ
ω0 uC = U 0 e −δ t sin(ω t + β ) ω
duC U 0 −δ t i = −C = e sin ω t ωL dt di ω0 u L = L = − U 0 e −δ t sin(ω t − β ) ω dt
(2)求通解 自由分量） 求通解(自由分量 求通解 自由分量）
特征方程
特征根
P 2 + 200 P + 20000 = 0
P= -100 ± j100
通解 i L (t ) = Ke−100t sin(100t + β )
(3)求特解（强制分量，稳态解） 求特解（强制分量，稳态解） 求特解
" iL = 1A
U0 uc uC 0
β
π uC = U 0 sin( ω 0 t + ) = uL 2
等幅振荡 无阻尼
ω0 U 0 e − δt ω
t
i
β π π+β 2π-β πβ 2π π
π-β β
t
uL
ω0 − U 0 e −δt ω
L ４ 、R = 2 临 情 界 况 C
R P = P = P2 = − = −δ 1 2L
uC = e −δ t ( A1 + A2 t )
由初始条件 uC (0 + ) = U 0 → A1 = U 0 解出
du C ( 0 + ) = 0 → A1 ( −δ ) + A2 = 0 dt
A1 = U 0 A2 = δU 0
二阶电路的零状态响应和全响应和冲激响应相关知识培训
( R)2 4 1 0 即 R 2 L
L LC
C
uC Ke t sin(t )
由初始值
uC (0 ) uC (0 ) 0
iL (0 )
1 L
iL (0 )
定常数A1 , A2 或 K ,
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t >0+ 为零输入响应
LC d 2uC dt 2
RC duC dt
uC
0
特征方程 p2 R p 1 0 L LC
解的形式为 i(t ) 1 A1e 2t A2e 6t
(4) 定常数
0 8
1 A1 A2 2A1 6A2
A1 A2
0.5 1.5
i(t ) 1 0.5e2t 1.5e6t A (t 0)
求特解 i''的另一种方法:
i() = 0.5 u1() u1()=2(2-0.5u1())
小结
经典法解线性二阶电路过渡过程的一般步骤： (1) 列写换路后(t>0)电路的微分方程并确定初始条件； (2) 求特征根，由根的性质写出自由分量(积分常数待定)； (3) 求强制分量(稳态分量)； (4) 全解=自由分量+强制分量； (5) 将初值r(0+)和r (0+)代入全解，定积分常数； (6) 讨论物理过程，画出波形等。
u1 (0 ) 2 2 4V uL (0 ) 0.5u1 (0 ) 2 u1 (0 )
8V
(3) 确定解的形式 d2i di 8 12i 12 dt 2 dt 解答形式为：
i i i
通解i' :
特解i'' :
p2+8p+12=0 p1=2 ，p2 =6
i'' =1A
零输入、零状态
全响应=零输入响应+零状态响应
一．关于
1.零输入响应的定义 外加激励信号为零时，仅由系统的 起始状态 (系统的历史储能)所产生
的响应，记为
。
2.特点
（1）仅是因为系统储能元件存储的能量释放 而产生的，只起始状态与有关 （2）可由求解对应的微分方程得到，因为无 外加激励信号，所以求解时特解为零 （3）在数学上是齐次方程的通解，
解特征方程得特征根为 齐次解： 由激励源自号形式，设特解： 完全响应为
系数A的确定：
先判断是否有跳变 由方程两侧 函数平衡条件容易判断 ， 在起始点 无跳变。
利用
求出系数
，即
从而，有：
自由响应： 强迫响应： 1
(2)求零输入响应和零状态响应：
：
由 的特点找对应的微分方程
起始状态
，此方程的解即为
（3）数学上，零状态响应是非齐次方程的解， 其形式为
式中
是特解．
可能会出
（4）因有外加激励，所以在 现跳变，需要判断才能确定系数。
r （二）. rzi 、 zs 的求解步骤
[例2-5]已知系统方程式为
起始状态 求自由响应、强迫响应、零输入响应、零状态 响应和全响应。
解：(1)先求自由响应和强迫响应：
是系统方程的齐次解，
因为
，所以
所对应的微分方程为：
又因为根据前面的判断，在起始点 无 跳变。所以此时 ，且满足系统微分方 程，即
故系统全响应为
：
：
思考： 两种分类形式的响应有何联系？
（三）响应的分解形式及其关系
信号与系统零状态响应求解及系统全响应分析
⏹经典法⏹双零法☐零输入响应☐零状态响应⏹变换域法特征方程→特征根→含待定系数的齐次解→由初始条件(0-)→零输入响应方法①：先求解冲激响应h(t)，再计算零状态响应h(t)*f(t) 。
方法②：将输入信号等效为某虚拟系统的冲激响应，然后求解系统和虚拟系统的总响应，得到零状态响应。
单位冲激响应(复习)()()n n m m n m m p a p a p a h t b p b p b p b t −−−−++++=++++11110110()()δ h(t ) 的表达式：①与特征根有关当为无重根单根形式时有：①与n,m相对大小有关●当n > m 时，h (t )中不含δ(t )及其各阶导数●当n=m 时，h (t )中应包含δ(t )●当n < m 时，h (t )中应包含δ(t )及其各阶导数1(?)()k nt k k h A e u t t λ=⎡⎤=⎢⎥⎣⎦+∑零输入/零状态的求解方法；全响应分析零输入/零状态的求解方法；全响应分析1.掌握零输入/零状态响应的求解方法2.掌握系统的全响应模式方法一（掌握）：卷积法求解，在求解冲激响应的基础上，利用卷积求解。
双零法零输入特征方程→特征根→含待定系数的齐次解→由0-时刻的初始条件计算系数求解冲激响应，通过卷积计算任意输入信号的响应零状态零状态()f t()()*()fy t f t h t=零状态响应5、零状态响应的求解初始状态为零时，输出y(t)完全由输入f(t)决定，此时y(t)=yf(t)。
零状态响应可以由三种方法得到。
()i h t τ−()i t δτ−时不变()()i i i f t ττδτΔ−(())i i i h t f τττΔ−线性()()i i i i f t ττδτ∞=−∞Δ−∑可加性()()i i i i h t f τττ∞=−∞−Δ∑i i i idt τττττΔ→Δ连续变化（0），用代替,并用替换()()f t d τδττ∞−∞−⎰)(()f d h t τττ∞−∞−⎰线性时不变()()()f t d f t τδττ∞≡−=⎰()()()==h t f t y t ∗零状态卷积法的由来：LTI系统的性质5、零状态响应的求解卷积法求解零状态响应：线性时不变系统的性质若系统为因果系统, 即h (信号，则有0(()(tf t f h τ⎰方法二（熟练掌握）：将输入信号f (t )看做某个系统的冲激响应的，此时f (t )通过系统的响应等于：①冲激信号经过h 1(t )=f (t )的系统②再通过冲激响应为h (t )的系统的响应③列写h all (t )=f (t )*h (t )的算子方程④利用2.6中冲激响应求解法得h all (t )，即有y f (t )=h all (t )()f t ()()*()f y t f t h t =零状态()f t all ()()*()h t f t h t =5、零状态响应的求解零状态()f t ()()*f y t f t =零状态响应非常重要：①系统分析的大问题；②概念容易混淆。
阶电路的零状态和全响应
应用场景比较
阶电路的零状态响应
适用于需要快速响应且初始状态能量较 小或可以忽略不计的场景，如某些控制 系统的快速调节。
VS
阶电路的全响应
适用于需要综合考虑初始状态能量和外部 激励的场景，如某些电力系统的暂态分析 。
05
阶电路的零状态和全
响应的实际应用
在电子线路设计中的应用
零状态响应在电子线路设计中用于描述电路在输入信号激励下，仅由动态元件的初始储能所产生的响 应。全响应则描述了电路中所有动态元件的初始储能和输入信号共同作用所产生的响应。
在电子线路设计中，零状态响应和全响应的分析对于理解电路的工作原理、预测性能以及优化设计至 关重要。例如，在设计振荡器、滤波器等电子系统时，需要精确地分析零状态响应和全响应以实现所 需的功能。
在控制系统中的应用
在控制系统中，阶电路的零状态和全 响应用于描述系统对输入信号的动态 响应。零状态响应描述了系统在没有 初始储能的情况下对输入信号的响应， 而全响应则包含了系统所有的动态特 性。
全响应的特点
全响应具有确定性
对于同一阶电路，相同的输入信号必然会得到相同的输出信号。
全响应具有唯一性
对于同一阶电路，不同的输入信号必然会得到不同的输出信号。
全响应具有可逆性
对于同一阶电路，输出信号可以通过反变换得到输入信号。
全响应的求解方法
解析法
通过建立电路的微分方程， 利用数学方法求解全响应。
阶电路的零状态响应是指在电路中不 存在激励信号时，由电路的初值条件 引起的电路响应。
零状态响应仅与电路的初始状态和电 路的动态元件有关，与外部激励无关 。
零状态响应的特点
零状态响应是暂态的，随着时 间的推移，它会逐渐消失或达 到稳态值。
一阶电路的全响应和零响应区别
一阶电路的全响应和零响应区别
引起电路响应的因素有两个方面,一是电路的激励,而是动态元件储存的初始能量.当激励为零,仅由动态元件储存的初始能量引起的响应叫零输入响应；当动态元件储存的初始能量为零,仅由激励引起的响应叫零状态响应；两个同时引起的响应叫全响应. 零状态响应是指在t=0-时，电容器的电压为0，电感器的电流为0；
零输入响应是指在t=0-时，电源的输入为0；下面早点介绍一阶电路的全响应。
全响应：非零初始状态的电路受到外加激励时电路中产生的响应，称为全响应。
1.RC电路的全响应的分析
（非齐次微分方程）
解答为：uC = uC' + uC''
得RC电路的全响应的通式：
2.RC电路的全响应通式的两种分解方式
（1）全响应(complete response)
= 强制响应(forced response)+自由响应(natural response)
= 稳态响应(steady-state response) +暂态响应(transient response)（2）全响应= 零状态响应+ 零输入响应
全响应小结:
（1）全响应的不同分解方法只是便于更好地理解过渡过程的本质；
（2）零输入响应与零状态响应的分解方法其本质是叠加，因此只适用于线性电路；
（3）零输入响应与零状态响应均满意齐性原理，但全响应不满意。
二阶电路的零输入响应、零状态响应及全响应教材
ω δ
若R=0，则 0 0
L
t = 0 + uL – C
2
uc
p1, 2 j0
i
–
uC
+
i
t
uC u L U 0 sin(0t ) 2
C i U 0 sin( 0t ) L
等幅振荡 无阻尼现象
12
电路的振荡
强迫振荡：外施激励引起 us (t ) U m cos st
15
§7-6 二阶电路的零状态响应和全响应
1. 二阶电路的零状态响应
例
+ R
uC(0－)=0 , iL(0－)=0
iL
L 微分方程为： +
d 2uC duC LC RC uC U S dt dt
US (t)
uC
- C
特征方程为:
uC u C uC
特解 通解
LCp 2 RCp 1 0
可推 广应 用于 一般 二阶 电路
L R2 临界阻尼， 非振荡放电 C t t
uC A1e
p1t
A2e
p2t
uC A1e
A2te
L R2 欠阻尼， 振荡放电 C
uC Ae
t
sin(t )
uC ( 0 ) 定常数 由初始条件 duC (0 ) dt
(4)定常数
100t
sin(100t )
iL (0 ) 1 A sin 2 100 A cos 100 A sin 0 uL (0 )
45 A 2
iL 1 2e 100 t sin( 100 t 45 )
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(1)
式中，b为常数；τ 为电路的时间常数，对RC电路，
τ =R0C, 对于 RL 电路有 τ =L/R0 。式 (1) 是一阶非
电 路 分 析
图 1 一阶电路
duC 1 1 uC us dt R0C R0C diL R0 1 iL u s dt L L
dy (t ) 1 y (t ) bf (t ) dt
8.2-14
电 路 分 析
dy (t ) 1 y (t ) bf (t ) dt
电 路 分 析
8.2.1 零状态响应的概念
零状态响应
当电路中储能状态为零时，由外加激励信号产生 的响应（电压或电流）称为零状态响应（或称受 激响应）。
求解公式
一阶电路微分方程的一般形式为 y ( t ) + a y( t ) = f( t )
8.2-1
依此可以导出求零状态响应y( t )的一般方法。将上式两边乘以eat，
：通解（自由分量，暂态分量） uC
duC 齐次方程 RC uC 0 的通解 dt
Ae uC
全解
t RC
变化规律由电路参数和结构决定
t RC
uC U S Ae uC uC
由起始条件 uC (0+)=0 定积分常数 A
uC (0+)=A+US= 0
电路在外加激励和动态元件初始储能的共同作用
下产生的响应称为全响应。
由于一阶电路只含有一个动态元件(电容或电感)，
因此可应用戴维宁定理，将原电路简化等效成如图 1
所示的两种形式。根据 KL 及元件 VCR ，分别列出以电
容电压 uC(t) 和电感电流 iL(t) 为响应变量的电路方程， 整理后有
8.2-13
A= - US
8.2-6
uc U S U S e
强制分量(稳态)
t RC
U S (1 e
t RC
电 路 分 析
)
(t 0)
自由分量(暂态)
US
uc
uC' uC"
t
t duC U S RC iC e dt R
0
-US
US R
i
0
t
8.2-7
能量关系
电源提供能量： 电容储存： 电阻消耗
t
u R U Se
0.368
0.135 0.050 0.018
t
0
uC U S (1 e
0.632
0.865 0.95 0.982
t
0
)
0
2 0 3 0 4 0
5 0 看曲线规律。
0.007
0.993
8.2-9
电 路 分 析
RL电路的零状态响应（直流输入）
(t=0) _ + uL _
电 路 分 析
0
1 2 CU S 2
0
US US e R
t RC
2 dt CU S
R
US
+ -
C
0
i Rd t
2
US ( R
e
t
RC
)2 R d t
1 2 CU S 2
电源提供的能量一半消耗在电阻上，一半转换成电场能量 储存在电容中。
8.2-8
电 路 分 析
uR和uC在不同时刻的值
R + UR
+ Us －
电感初始电流为零，当t=0时合上 开关S，该电路实质上就是电感 从电源吸收能量转换为磁场能量 储存起来的响应过程。 由KVL得：
L diL Ri L Us dt
uR uL Us
iL (0) 0
此方程的解为
iL iLh iLp
8.2-10
其中， i LP 为方程的一个特解，是换路后的稳态解， 与外加激励有关，与RC电路零状态响应相似，也称为 Us 强制分量，由换路后的稳态电路可以看出 i
得 eat y ( t ) + aeat y( t ) = eat f( t )
电 路 分 析
即
d at e y (t ) e at f (t ) dt
从0 到t积分上式，有
e y (t )
即
at
at
t 0
t
0
f ( )e a d
t 0
e y (t ) y (0 ) f ( )e a d
所以：
Us i L (t ) (1 e ) R
t
t0
t
uR (t ) Us(1 e );t 0
并且可得：
uL (t ) Us uR (t ) Use ; t 0
iL
Us R
t
iLP t iLh
o
Us R
8.2-12
电 路 分 析
8.2.2 一阶电路的完全响应
设激励f( t )在t = 0加入，它不可能在t = 0以前引起响应，故y( 0 ) = 0，从 而得零状态响应
y (t ) e
at
t 0)
8.2-2
电 路 分 析
RC电路的零状态响应（电容的充电，直流输入）
电路方程
(t ) uC
1 1 uC (t ) US , RC RC
1 a RC
R t=0 US
i C uC
US uC
(a)
uR 0
0 0 0 0 0
(b)
t
图8-8
8.2-3
电 路 分 析
利用公式
uC (t ) e
t RC
t
0
1 U Se RC d RC
t RC
U S U Se U S (1 e
t RC
),
t
(t 0)
(t 0)
duC U S RC i (t ) C e dt R
u R (t ) Ri U Se
t RC
(t 0)
8.2-4
电 路 分 析
RC电路的零状态响应的经典解法
K(t=0)
US
R
R
i
C
列方程：
+u –
uC
–
+
duC RC uC U S dt
LP
电 路 分 析
R
iLh 为该电路对应的齐次方程的解。
L di L Ri L 0 dt
该解与外加激励无关，也称为自由分量。
i Lh Ae
Us i L (t ) Ae R t
t
，其中A为待定系数 代入初始条件 iL (0) 0
Us R
得
A
8.2-11
电 路 分 析
非齐次线性常微分方程
uC (0-)=0
解答形式为：
uc u u
' c
" c
齐次方程的通解
非齐次方程的特解
8.2-5
US uC ：特解（强制分量） uC
duC RC uC U S dt
电 路 分 析
与输入激励的变化规律有关，周期性激励时强制分量为 电路的稳态解，此时强制分量称为稳态分量