裂项相消法
裂项相消
所谓”裂项相消法”就是把数列的各项分裂成两项之差,相 邻的项两彼此相消,就可以化简后求和.
一些常用的裂项公式:
(1)
1
nn 1
1 n
1 n
1
(2)
(2n
1
1)2n
1
1 2
(
1 2n 1
1) 2n 1
(3) 1 1 (1 1 ) (4)
1
n1 n
n(n 2) 2 n n 2
n1 n
解得：a1＝1，d＝1， 所以an＝n，
所以
，
Tn=
(2)若an＋1≥λTn，即n＋1≥λ
，
∴λ≤
，
又
＝n＋ ＋2≥4，当且仅当n＝ ，即n＝1时取
等号.任意n∈N*，不等式成立，故λ≤4，
∴λ的最大值为4.
注意：根式在分母上时可考虑利用分母有理化，因式相消求和
小试身手
应该怎样拆项？
[思考探究]
用裂项相消法求数列前n项和的前提是什么？ 提示：数列中的每一项均能分裂成一正一负两项，这是用
裂项相消法的前提.一般地，形如{ 列)的数列可选用此法来求.
}({an}是等差数
裂项法求和
例：求数列 1, 1 , 1 , 1 , ,
3 4 47
3n 2 3n 1
1 (1 1 ) n 3 3n 1 3n 1
当堂测试
在等差数列{an}中，a5＝5，S3＝6.
(1)若Tn为数列{
}的前n项和，求Tn；
(2)若an＋1≥λTn对任意的正整数n都成立，求实数λ的最大值. [思路点拨]
[课堂笔记] (1)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则
1
数列求和裂项相消法
数列求和裂项相消法数列求和裂项相消法是一种利用数列中相邻项之差的特殊性质，通过对数列元素进行分解和化简，最终得到数列的和的公式的方法。
具体步骤如下：1. 找出数列中相邻项的差，通过将相邻项进行相减，得到一个新的数列。
2. 对新数列进行合并。
如果新数列中对应的项之间存在相消的情况，可以将它们合并为一个式子。
3. 将合并后的式子进行分解，找出一些特定的公式或规律。
4. 将分解后的公式和规律代入到原数列的求和公式中，得到数列的和的公式。
下面以一个简单的例子来说明这种方法：例子：求数列1+3+5+7+9+...+99的和。
分析：这个数列中相邻项的差为2，所以我们可以将它分解为：1 + (3-2) + (5-2*2) + (7-3*2) + (9-4*2) + ... + (99-49*2)在对每一项进行合并时，可以发现有些项之间存在相消的情况，比如：3-2和2*1可以相消；7-3*2和2*2可以相消；11-4*2和2*3可以相消；... ...因此，我们可以将这些相消的项合并起来，得到下面的式子：1 + 2(1-2) + 2(2-3) + 2(3-4) + ... + 2(49-50)接下来，我们可以将每一项进行拆分，得到如下的式子：1 + 2(-1) + 2(-1) + 2(-1) + ... + 2(-1)或者简写为：1 -2 + 2 - 2 + 2 - ... + 2 - 2这是一个等差数列，公差为-2，首项为1，共有50项。
因此，它的和可以通过等差数列求和公式来计算：S = (a1 + an) * n / 2其中，a1是首项，an是最后一项，n是项数。
将这些值代入到求和公式中，得到：S = (1 - 99) * 50 / 2 = -2450因此，数列1+3+5+7+9+...+99的和为-2450。
总之，数列求和裂项相消法是一种快速求解数列和的方法，尤其适用于一些具有相邻项之差规律的数列。
数列裂项相消法例子
数列裂项相消法数列裂项相消法是一种常用的数学技巧，用于求解一些复杂的数列求和问题。
以下是几个例子，说明该方法的应用。
例1：已知等差数列{an}，其中a1=1，d=2，求前n项和Sn。
解：首先，我们可以将等差数列的通项公式表示为an=a1+(n-1)d=1+2(n-1)=2n-1。
然后，我们可以将前n项和表示为Sn=a1+a2+...+an。
接下来，我们使用裂项相消法，将相邻两项相加，得到：Sn=(1+3)+(3+5)+...+[(2n-3)+(2n-1)]=2+4+ (2)=n(n+1)例2：已知等比数列{an}，其中a1=1，q=2，求前n项和Sn。
解：首先，我们可以将等比数列的通项公式表示为an=a1*q^(n-1)=2^(n-1)。
然后，我们可以将前n项和表示为Sn=a1+a2+...+an。
接下来，我们使用裂项相消法，将相邻两项相减，得到：Sn=(1-2)+(2-4)+...+[2^(n-2)-2^(n-1)]+2^(n-1)=-1-1-...-1+2^(n-1)=-(n-1)+2^(n-1)=(2^n)-1-(n-1)=(2^n)-n例3：已知数列{an}，其中an=n^2，求前n项和Sn。
解：首先，我们可以将数列的通项公式表示为an=n^2。
然后，我们可以将前n项和表示为Sn=a1+a2+...+an。
接下来，我们使用裂项相消法，将相邻两项相减，得到：Sn=(1^2-0^2)+(2^2-1^2)+...+[n^2-(n-1)^2]=1+3+5+...+(2n-1)=n^2通过以上例子可以看出，裂项相消法是一种非常实用的数学技巧，可以用于求解各种复杂的数列求和问题。
需要注意的是，在使用该方法时，需要根据具体的数列类型和题目要求来选择合适的裂项方式。
裂项相消法的八种类型
裂项相消法的八种类型一、首项相消法对于一元二次方程，如果方程的首项（即二次项）能够通过裂项相消的方式相消除，就可以简化方程的求解过程。
例如：1.x²+7x+10=0，首项x²可裂为(x+a)(x+b)，将方程变为(x+a)(x+b)+7(x+a)+10=0。
接下来可以求出a和b的值，并解出方程。
二、末项相消法对于一元二次方程，如果方程的末项（即常数项）能够通过裂项相消的方式相消除，就可以简化方程的求解过程。
例如：1. x² + 5x + 6 = 0，末项6可以裂为(ax + c)(bx + d)，将方程变为 (ax + c)(bx + d) = 0。
接下来可以求出a、b、c和d的值，并解出方程。
三、完全平方差公式法对于一元二次方程，如果方程能够通过完全平方差公式的方式进行裂项相消，可以大大简化方程的求解过程。
例如：1.x²+8x+16=0，这是一个完全平方差公式的例子，方程可以变为(x+4)²=0。
结果可直接解得x=-4四、平方差公式法对于一些特殊的高次方程，可以通过平方差公式的方式进行裂项相消，从而简化方程的求解过程。
例如：1.x⁴-16=0，可以将方程写为(x²)²-4²=0。
通过平方差公式，可以得到两个解：x²-4=0，解为x=±2、因此，方程的解为x=±2五、差平方公式法对于一些特殊的高次方程，可以通过差平方公式的方式进行裂项相消，从而简化方程的求解过程。
例如：1.x⁴+16=0，可以将方程写为(x²)²+4²=0。
通过差平方公式，可以得到这个方程无实数解。
六、因式分解法对于一些特殊的高次方程，可以通过因式分解的方式进行裂项相消，从而简化方程的求解过程。
例如：1.x³-1=0，可以用立方差公式进行因式分解，得到方程(x-1)(x²+x+1)=0。
知识点裂项相消法
知识点裂项相消法1.基本原理：裂项相消法的基本思想是将有理函数分解成若干个部分分式的和，其中每个部分分式的分母是一次因式的幂。
具体而言，对于一个有理函数P(x)/Q(x)，其中P(x)和Q(x)是多项式，且Q(x)可分解为一些一次因式的乘积。
假设Q(x)可分解为Q(x)=(x-a)^n(x-b)^m...(x-z)^p，则有理函数P(x)/Q(x)可以分解成以下形式的部分分式相加的形式：P(x)/Q(x)=A1/(x-a)+A2/(x-a)^2+...+An/(x-a)^n+B1/(x-b)+B2/(x-b)^2+...+Bm/(x-b)^m+...+Z1/(x-z)+Z2/(x-z)^2+...+Zp/(x-z)^p.其中，A1,A2,...,An,B1,B2,...,Bm,...,Z1,Z2,...,Zp是待定常数。
2.应用：裂项相消法主要用于求解有理函数的积分和微分。
在求解积分时，通过将有理函数分解成部分分式，可以将原来的复杂积分问题转化为一系列简单的积分。
同样地，在求解微分方程时，将有理函数分解成部分分式相加的形式可以简化微分方程的求解过程。
3.求解过程：下面我们通过一个例子来演示裂项相消法的求解过程。
假设我们要求解积分∫(x^2+4)/(x+1)(x+2)dx。
首先，我们需要将被积函数(x^2+4)/(x+1)(x+2)分解为若干个部分分式相加的形式。
首先，我们将(x^2+4)除以(x+1)(x+2)得到一个商函数和一个余数：(x^2+4)/(x+1)(x+2)=x-1+6/(x+1)(x+2).然后，我们将6/(x+1)(x+2)继续分解为部分分式的和：6/(x+1)(x+2)=A/(x+1)+B/(x+2).通过通分得到：将A(x+2)+B(x+1)展开，得到：由于等式两边的系数必须相等，所以有：A+B=0,解这个方程组可以得到：A=2,因此，我们有：6/(x+1)(x+2)=2/(x+1)-2/(x+2).综合上述结果，我们可以得到：∫(x^2+4)/(x+1)(x+2)dx=∫(x-1+2/(x+1)-2/(x+2))dx=∫(x-1)dx+∫2/(x+1)dx-∫2/(x+2)dx=x^2/2-x+2ln，x+1，-2ln，x+2，+C.其中，C是常数。
高考数学裂项相消十个基本公式
裂项法表达式：1/[n(n+1)]=(1/n)-[1/(n+1)]。
裂项相消公式有n·n!=(n+1)!-n!；1/[n(n+1)]=（1/n）- [1/(n+1)]等。
裂项法求和公式
（1）1/[n(n+1)]=（1/n）- [1/(n+1)]
（2）1/[(2n-1)(2n+1)]=1/2[1/(2n-1)-1/(2n+1)]
（3）1/[n(n+1)(n+2)]=1/2{1/[n(n+1)]-1/[(n+1)(n+2)]}（4）1/(√a+√b)=[1/(a-b)](√a-√b)
（5）n·n!=(n+1)!-n!
（6）1/[n(n+k)]=1/k[1/n-1/(n+k)]
（7）1/[√n+√（n+1）]=√（n+1）-√n
（8）1/（√n+√n+k）=（1/k）·[√（n+k）-√n]
什么是裂项相消法
数列的裂项相消法，就是把通项拆分成“两项的差”的形式，使得恰好在求和时能够“抵消”多数的项而剩余少数几项。
三大特征：
（1）分子全部相同，最简单形式为都是1的，复杂形式可为都是x(x为任意自然数)的，但是只要将x提取出来即可转化为分子都是1的运算。
（2）分母上均为几个自然数的乘积形式，并且满足相邻2个分母上的因数“首尾相接” （3）分母上几个因数间的差是一个定值。
（3）分母上几个因数间的差是一个定值。
裂差型运算的核心环节是“两两抵消达到简化的目的”。
裂项相消法
裂项相消法
裂项相消就是根据数列通项公式的特点，把通项公式写成前后能够消去的形式，裂项后消去中间的部分，达到求和目的一种数列求和方法。
先根据通项公式找裂项公式，然后逐项写开，消去。
裂项法，这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用。
是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的。
通项分解（裂项）倍数的关系。
通常用于代数，分数，有时候也用于整数。
此类变形的特点是将原数列每一项拆为两项之后，其中中间的大部分项都互相抵消了，只剩下有限的几项。
裂项相消法的公式
裂项相消法的公式裂项相消法是一种求解代数式的方法，可以通过对某些项进行分解，从而实现消去相同的项，从而简化计算。
该方法适用于多项式和分式，下面详细介绍一下这种方法的公式和应用。
公式：对于多项式和分式中的一些项，如果它们的差是一个常数，那么我们可以借助裂项相消法将它们消去。
具体而言，我们可以将这些项的和或差表示为如下形式：a / (x - p) +b / (x - q)其中，a和b是常数，p和q是两个不同的实数。
注意，这里的x是变量，不等于p或q。
这个式子可以用通分的方式表示为：(a(x - q) + b(x - p)) / ((x - p)(x - q))可以看出，这个式子的分母是(x - p)(x - q)，而分子是a(x - q) + b(x - p)，其中的(x - p)和(x - q)是“相消”的项，因此可以约掉，留下(a(x - q) + b(x - p))这一常数。
应用：裂项相消法可以用于简化多项式和分式中的表达式，让计算变得更加简便。
例如，我们可以用这个方法来计算以下式子的值：1 / (x - 2) +2 / (x + 1)首先，我们可以将这个式子表示为通分的形式：(1(x + 1) + 2(x - 2)) / ((x - 2)(x + 1))展开后，可以得到：(3x - 3) / (x^2 - x - 2)可以看出，这个结果已经比原式简化了很多。
在具体计算时，我们只需要将原式表示为上述形式，然后将分母进行分解，最终得到一个简单的代数式。
总之，裂项相消法是一种非常实用的方法，适用于求解各种代数式。
通过它，我们可以将原本复杂的计算问题转化为简单的分解和化简过程，让数学计算变得更加轻松。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
裂项相消法
数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项都可按此法拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前n 项的和变成首尾若干少数项之和，这一求和
方法称为裂项相消法。
适用于类似1n n c a a +⎧⎫⎨⎬
⎩⎭
（其中{}n a 是各项不为零的等差数列，c 为常数）的数列、部分无理数列等。
用裂项相消法求和，需要掌握一些常见的
裂项方法：
（1）
()1111n n k k n n k ⎛⎫
=- ⎪++⎝⎭
，特别地当1k =时，()11111n n n n =-++ （2
1
k
=
，特别地当1k =
=例1、数列{}n a 的通项公式为1
(1)
n a n n =+，求它的前n 项和n S
解：1231n n n S a a a a a -=+++++L ()()
1111112233411n n n n =
+++++⨯⨯⨯-+L =111111
11112233411n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
L
1111
n
n n =-
=
++ 小结：裂项相消法求和的关键是数列的通项可以分解成两项的差，且这两项是同一数列的相邻两项，即这两项的结构应一致，并且消项时前后所剩的项数相同.
L L 的前n 项和n S . 例题2：(2015安徽,18,12分)已知数列{a n }是递增的等比数列,且a 1+a 4=9,a 2a 3=8. (1)求数列{a n }的通项公式;
(2)设S n为数列{a n}的前n项和,b n=,求数列{b n}的前n项和T n.
(1)由题设知a1·a4=a2·a3=8,
又a1+a4=9,可解得或
(舍去).
由a4=a1q3得公比为q=2,故a n=a1q n-1=2n-1.
(2)S n==2n-1,又
b n==
=
-,
所以T n=b1+b2+…
+b n=+
+…
+=
-
=1-.
例三：等差数列的公差为
，且
成等比数列．
（Ⅰ）求数列的通项
公式；
（Ⅱ）设，求数列
的前
项和
．
解：(Ⅰ)，
又成等比数列，所以
，
所以，解得
，所以
．
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得
，则。