函数的奇偶性与周期性练习题

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函数的奇偶性与周期性精选习题(含解析)

1 / 9函数的奇偶性与周期性精选习题一、选择题1．（奇偶性与反函数结合求值）已知函数()()2g x f x x =+是奇函数，当0x >时，函数()f x 的图象与函数2y log x =的图象关于y x =对称，则()()12g g -+-=（）. A ．-7B ．-9C ．-11D ．-132．（利用奇偶函数的对称性求值）已知函数2()cos 2121x f x x x π⎛⎫=-++ ⎪+⎝⎭，则()f x 的最大值与最小值的和为 A ．0B ．1C ．2D ．43．（利用函数的奇偶性判断图象）函数()21sin 1xx e f x ⎛⎫=-⎪+⎝⎭的图象大致形状为（） A ． B ．C ．D ．4．（利用奇偶性单调性比较大小）设函数()f x 是定义在实数集上的奇函数，在区间[1,0)-上是增函数，且(2)()f x f x +=-，则有（）A ．13()()(1)32f f f <<B ．31(1)()()23f f f <<C ．13(1)()()32f f f <<D ．31()(1)()23f f f <<5．（利用奇偶性周期性求函数值）已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且(5)(3)f x f x +=-，如果当[0,4)x ∈时，2()log (2)f x x =+，则(766)f =（）A ．3B ．-3C ．2D ．-26．（利用奇偶性周期性判断方程根的个数）函数()f x 对于任意实数x ，都()()f x f x -=与2 / 9(1)(1)f x f x -=+成立，并且当01x ≤≤时，()2f x x =.则方程()02019xf x -=的根的个数是（）A ．2020B ．2019C ．1010D ．10097．（利用奇偶性周期性求字母范围）设()f x 是定义在R 上的偶函数，对任意的x ∈R ，都有()()22f x f x -=+，且当[]2,0x ∈-时，()112xf x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若关于x 的方程()()log 20(1)a f x x a -+=>在区间(]2,6-内恰有三个不同实根，则实数a 的取值范围是（） A．B．)2C．2⎤⎦D．2⎤⎦二、填空题8．（利用奇偶性解不等式）已知()f x 是R 上的偶函数，且当0x ≥时，()23f x x x =-，则不等式()22f x -≤的解集为___．9．（奇偶性与导函数结合）已知定义在()(),00,-∞⋃+∞上的偶函数()f x 的导函数为()f x '，对定义域内的任意x ，都有()()22f x xf x '+<成立，则使得()()22424x f x f x -<-成立的x 的取值范围为_____．10（由函数图象判断周期性求函数值）如图，边长为1的正方形ABCD ，其中边DA 在x 轴上，点D 与坐标原点重合，若正方形沿x 轴正向滚动，先以A 为中心顺时针旋转，当B 落在x 轴上时，再以B 为中心顺时针旋转，如此继续，当正方形ABCD 的某个顶点落在x 轴上时，则以该顶点为中心顺时针旋转．设顶点C （x ，y ）滚动时形成的曲线为y ＝f （x ），则f （2019）＝________．3 / 9函数的奇偶性与周期性精选习题解析一、选择题1．（奇偶性与反函数结合求值）已知函数()()2g x f x x =+是奇函数，当0x >时，函数()f x 的图象与函数2y log x =的图象关于y x =对称，则()()12g g -+-=（）. A ．-7 B ．-9C ．-11D ．-13【答案】C【解析】∵x ＞0时，f （x ）的图象与函数y ＝log 2x 的图象关于y ＝x 对称； ∴x ＞0时，f （x ）＝2x ；∴x ＞0时，g （x ）＝2x +x 2，又g （x ）是奇函数；∴g （﹣1）+g （﹣2）＝﹣[g （1）+g （2）]＝﹣（2+1+4+4）＝﹣11．故选C ．2．（利用奇偶函数的对称性求值）已知函数2()cos 2121x f x x x π⎛⎫=-++ ⎪+⎝⎭，则()f x 的最大值与最小值的和为 A ．0 B ．1C ．2D ．4【答案】C【解析】对()f x 整理得，()22cos 21sin 21211x x f x x x x x π⎛⎫=-++=++ ⎪++⎝⎭ 而易知2sin 2,1xy x y x ==+都是奇函数，则可设()()21sin 21g x f x x xx =-++=，可得()g x 为奇函数，即()g x 关于点()0,0对称所以可知()()1f x g x =+关于点()0,1对称，所以()f x 的最大值和最小值也关于点()0,1，因此它们的和为2. 故选C 项.3．（利用函数的奇偶性判断图象）函数()21sin 1xx e f x ⎛⎫=-⎪+⎝⎭的图象大致形状为（）4 / 9A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】()211sin sin 11x x xe xf x x e e -⎛⎫=-=⋅ ⎪++⎝⎭， ()()()()11sin sin sin 1111x x xx x xe e e x x xf x f x e e e----=⋅-=⋅---=++⋅=+，所以()f x 为偶函数，排除CD ；()221s 202in 1e e f -=⋅<+，排除B ，故选：A4．（利用奇偶性单调性比较大小）设函数()f x 是定义在实数集上的奇函数，在区间[1,0)-上是增函数，且(2)()f x f x +=-，则有（）A ．13()()(1)32f f f <<B ．31(1)()()23f f f <<C ．13(1)()()32f f f <<D ．31()(1)()23f f f <<【答案】A【解析】Q ()f x 为奇函数，()()f x f x ∴-=-，又Q (2)()f x f x +=-11f f ,f (1)f (1)33⎛⎫⎛⎫∴=--=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，3112222f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，5 / 9又1111023--<-<-≤Q …，且函数在区间[1,0)-上是增函数， 11f (1)f f 023⎛⎫⎛⎫∴-<-<-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，11f (1)f f 23⎛⎫⎛⎫∴-->-->-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭31(1)23f f f ⎛⎫⎛⎫∴>> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选A.5．（利用奇偶性周期性求函数值）已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且(5)(3)f x f x +=-，如果当[0,4)x ∈时，2()log (2)f x x =+，则(766)f =（）A ．3B ．-3C ．2D ．-2【答案】C【解析】由()()53f x f x +=-，得()()8f x f x +=，所以()f x 是周期为8的周期函数，当[)0,4x ∈时，()()2log 2f x x =+，所以()()()76696822f f f =⨯-=-，又()f x 是定义在R 上的偶函数所以()()222log 42f f -===.故选C 。

第03讲函数的奇偶性、对称性与周期性(含新定义解答题) (分层精练)(解析)-25年高考数学一轮复习

分层精练）数周期性转化求值即可.【详解】因为()()110f x f x -++=，所以()()110f f -+=，且()()21log 111f =+=，则()11f -=-，又可得()()20f x f x ++=，()()240f x f x +++=，故()()4f x f x +=，所以函数()f x 是周期4T =的周期函数，()()()47412111f f f =⨯-=-=-．故选：D ．4．（2023·内蒙古赤峰·统考模拟预测）函数()y f x =是定义在R 上奇函数，且(4)()f x f x -=，(3)1f -=-，则(15)f =（）A ．0B ．1-C ．2D ．1【答案】B【分析】通过已知计算得出函数是周期为8的周期函数，则()()157f f =，根据已知得出(7)(3)1f f =-=-，即可得出答案.【详解】函数()y f x =是定义在R 上奇函数，且(4)()f x f x -=，()()()4f x f x f x ∴+=-=-，()()()()4484f x f x f x f x ∴++=+=-+=，则函数()y f x =是周期为8的周期函数，则()()()151587f f f =-=，令3x =-，则(43)(3)1f f +=-=-，(15)1f ∴=-，故选：B.5．（2023上·山东烟台·高一校考期末）函数e x y =-与e x y -=的图象（）A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于原点对称D ．关于直线y x =对称【答案】C【分析】画出函数图像即可判断.【详解】根据如下图像即可判断出函数图像关于原点对称.故选：C10,10由上图知：增区间为[2,1),[0,1)--，减区间为零点为2,0,2x =-共3个；最大值为1，最小值为（2）由题设()7.5(80.5)(0.5)f f f =-=-=（3）令[]21,22[1,1]1n n x x n ∈⇒-∈--+且，且存在常数若()()20h x t h x t -⋅+=有8个不同的实数解，令则20n tn t -+=有两个不等的实数根2Δ400t t t ⎧=->⎪>⎪。

高考数学考点练习第二章函数导数及其应用7函数的奇偶性与周期性试题理

考点测试7 函数的奇偶性与周期性一、基础小题1．函数f (x )＝1x－x 的图象关于( )A ．y 轴对称B ．直线y ＝－x 对称C ．坐标原点对称D ．直线y ＝x 对称答案 C解析 f (x )＝1x－x 是奇函数，所以图象关于原点对称．2．下列函数中，在其定义域内是偶函数又在(－∞，0)上单调递增的是( ) A ．f (x )＝x 2B ．f (x )＝2|x |C ．f (x )＝log 21|x |D ．f (x )＝sin x答案 C解析 f (x )＝x 2和f (x )＝2|x |是偶函数，但在(－∞，0)上单调递减，f (x )＝sin x 为奇函数，f (x )＝log 21|x |是偶函数，且在(－∞，0)上单调递增，故选C. 3．已知函数f (x )为奇函数，当x >0时，f (x )＝x 2－x ，则当x <0时，函数f (x )的最大值为( )A ．－14B ．14C ．12D ．－12答案 B解析解法一：设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝x 2＋x ，又函数f (x )为奇函数，所以f (x )＝－f (－x )＝－x 2－x ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋14，所以当x <0时，函数f (x )的最大值为14.故选B.解法二：当x >0时，f (x )＝x 2－x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122－14，最小值为－14，因为函数f (x )为奇函数，所以当x <0时，函数f (x )的最大值为14.故选B.4．已知函数f (x )是定义域为R 的偶函数，且f (x ＋1)＝1f x，若f (x )在[－1,0]上是减函数，那么f (x )在[2,3]上是( )A ．增函数B ．减函数C ．先增后减的函数D ．先减后增的函数答案 A解析由题意知f (x ＋2)＝1fx ＋1＝f (x )，所以f (x )的周期为2，又函数f (x )是定义域为R 的偶函数，且f (x )在[－1,0]上是减函数，则f (x )在[0,1]上是增函数，所以f (x )在[2,3]上是增函数，故选A.5．已知函数f (x )＝－x ＋log 21－x 1＋x ＋1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 的值为( ) A ．2 B ．－2 C ．0 D ．2log 213答案 A解析由题意知，f (x )－1＝－x ＋log 21－x 1＋x ，f (－x )－1＝x ＋log 21＋x 1－x ＝x －log 21－x1＋x＝－(f (x )－1)，所以f (x )－1为奇函数，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－1＝0，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝2. 6．已知f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫21－x ＋a 是奇函数，则使f (x )<0的x 的取值范围是( )A ．(－1,0)B ．(0,1)C ．(－∞，0)D ．(－∞，0)∪(1，＋∞)答案 A解析 ∵f (x )＝lg ⎝⎛⎭⎪⎫21－x ＋a 是奇函数，∴f (－x )＋f (x )＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋x ＋a ＋lg⎝ ⎛⎭⎪⎫21－x ＋a ＝0，解得a ＝－1，即f (x )＝lg 1＋x 1－x ，由f (x )＝lg 1＋x 1－x <0，得0<1＋x 1－x <1，解得－1<x <0，故选A.7．已知偶函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，则满足f (2x －1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13的x 的取值范围是( )A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23B ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，23C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫12，23 D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，23 答案 A解析由于函数f (x )在区间[0，＋∞)上单调递增，且f (x )为偶函数，则由f (2x －1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，得－13<2x －1<13，解得13<x <23.故x 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23. 8．已知函数f (x )满足f (x ＋y )＋f (x －y )＝2f (x )f (y )，且f (0)≠0，则f (x )( ) A ．为奇函数 B ．为偶函数 C ．为非奇非偶函数 D ．奇偶性不能确定答案 B解析令x ＝y ＝0，则2f (0)＝2f 2(0)，又f (0)≠0，所以f (0)＝1.令x ＝0，则f (y )＋f (－y )＝2f (0)f (y )，即f (－y )＝f (y )，所以函数f (x )是偶函数．9．函数f (x )＝π2－sin x3＋|x |的最大值是M ，最小值是m ，则f (M ＋m )的值等于( )A ．0B ．2πC ．πD ．π2答案 D解析设h (x )＝sin x3＋|x |，则h (－x )＝－h (x )，所以h (x )是一个奇函数，所以函数h (x )的最大值和最小值的和是0，所以M ＋m ＝π，所以f (M ＋m )＝π2.10．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，x 2＋ax ，x <0为偶函数，则y ＝log a (x 2－4x －5)的单调递增区间为( )A ．(－∞，－1)B ．(－∞，2)C ．(2，＋∞)D ．(5，＋∞)答案 D解析因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x ≥0，x 2＋ax ，x <0为偶函数，所以f (－1)＝f (1)，即1－a ＝1－2，所以a ＝2，则y ＝log 2(x 2－4x －5)，令t ＝x 2－4x －5，其对称轴为x ＝2，由x 2－4x －5>0，得x <－1或x >5.由复合函数的单调性知，y ＝log a (x 2－4x －5)的单调递增区间为(5，＋∞)．11．已知定义在R 上的函数f (x )是奇函数，且f (x )在(－∞，0)上是减函数，f (2)＝0，g (x )＝f (x ＋2)，则不等式xg (x )≤0的解集是( )A ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)B ．[－4，－2]∪[0，＋∞)C ．(－∞，－4]∪[－2，＋∞)D ．(－∞，－4]∪[0，＋∞) 答案 C解析依题意，如图所示，实线部分为g (x )的草图，则xg (x )≤0⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，gx ≤0或⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，g x ≥0，由图可得xg (x )≤0的解集为(－∞，－4]∪[－2，＋∞)．12．已知a 为常数，函数f (x )＝x 2－4x ＋3.若函数f (x ＋a )为偶函数，则a ＝________，f (f (a ))＝________.答案 2 8解析由函数f (x ＋a )为偶函数，得f (x ＋a )＝f (－x ＋a )，解得a ＝2，所以f (f (a ))＝f (f (2))＝f (－1)＝8.二、高考小题13．[2015·广东高考]下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是( )A ．y ＝1＋x 2B ．y ＝x ＋1xC ．y ＝2x＋12xD ．y ＝x ＋e x答案 D解析选项A 中的函数是偶函数；选项B 中的函数是奇函数；选项C 中的函数是偶函数；只有选项D 中的函数既不是奇函数也不是偶函数．14．[2014·全国卷Ⅰ]设函数f (x )，g (x )的定义域都为R ，且f (x )是奇函数，g (x )是偶函数，则下列结论中正确的是( )A ．f (x )g (x )是偶函数B ．|f (x )|g (x )是奇函数C ．f (x )|g (x )|是奇函数D ．|f (x )g (x )|是奇函数答案 C解析由题意可知f (－x )＝－f (x )，g (－x )＝g (x )，对于选项A ，f (－x )·g (－x )＝－f (x )·g (x )，所以f (x )·g (x )是奇函数，故A 项错误；对于选项B ，|f (－x )|·g (－x )＝|－f (x )|g (x )＝|f (x )|g (x )，所以|f (x )|·g (x )是偶函数，故B 项错误；对于选项C ，f (－x )|g (－x )|＝－f (x )|g (x )|，所以f (x )|g (x )|是奇函数，故C 项正确；对于选项D ，|f (－x )g (－x )|＝|－f (x )g (x )|＝|f (x )g (x )|，所以|f (x )g (x )|是偶函数，故D 项错误，选C.15．[2016·山东高考]已知函数f (x )的定义域为R .当x <0时，f (x )＝x 3－1；当－1≤x ≤1时，f (－x )＝－f (x )；当x >12时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12.则f (6)＝( )A ．－2B ．－1C ．0D ．2答案 D解析当x >12时，由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12，可得f (x )＝f (x ＋1)，所以f (6)＝f (1)，而f (1)＝－f (－1)，f (－1)＝(－1)3－1＝－2，所以f (6)＝f (1)＝2，故选D.16．[2015·全国卷Ⅰ]若函数f (x )＝x ln (x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝________. 答案 1解析由已知得f (－x )＝f (x )，即－x ln (a ＋x 2－x )＝x ln (x ＋a ＋x 2)，则ln (x ＋a ＋x 2)＋ln (a ＋x 2－x )＝0，∴ln [(a ＋x 2)2－x 2]＝0，得ln a ＝0， ∴a ＝1.17．[2016·四川高考]已知函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，当0<x <1时，f (x )＝4x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (1)＝________. 答案－2解析 ∵f (x )是定义在R 上的奇函数， ∴f (x )＝－f (－x )．又∵f (x )的周期为2，∴f (x ＋2)＝f (x )， ∴f (x ＋2)＝－f (－x )，即f (x ＋2)＋f (－x )＝0，令x ＝－1，得f (1)＋f (1)＝0，∴f (1)＝0.又∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－412＝－2， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋f (1)＝－2. 18．[2016·江苏高考]设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1)上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋a ，－1≤x <0，⎪⎪⎪⎪⎪⎪25－x ，0≤x <1，其中a ∈R .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92，则f (5a )的值是____________．答案－25解析 ∵f (x )是周期为2的函数， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝⎛⎭⎪⎫－2－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92＝f ⎝⎛⎭⎪⎫4＋12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12.又∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，即－12＋a ＝110，解得a ＝35，则f (5a )＝f (3)＝f (4－1)＝f (－1)＝－1＋35＝－25.三、模拟小题19．[2017·大连测试]下列函数中，与函数y ＝－3|x |的奇偶性相同，且在(－∞，0)上单调性也相同的是( )A ．y ＝－1xB ．y ＝log 2|x |C ．y ＝1－x 2D ．y ＝x 3－1答案 C解析函数y ＝－3|x |为偶函数，在(－∞，0)上为增函数，选项B 的函数是偶函数，但其单调性不符合，只有选项C 符合要求．20．[2016·陕西一检]若f (x )是定义在R 上的函数，则“f (0)＝0”是“函数f (x )为奇函数”的( )A ．必要不充分条件B ．充要条件C ．充分不必要条件D ．既不充分也不必要条件答案 A解析 f (x )在R 上为奇函数⇒f (0)＝0；f (0)＝0⇒/f (x )在R 上为奇函数，如f (x )＝x 2，故选A.21．[2017·山东青岛模拟]奇函数f (x )的定义域为R ，若f (x ＋1)为偶函数，且f (1)＝2，则f (4)＋f (5)的值为( )A ．2B ．1C ．－1D ．－2 答案 A解析 ∵f (x ＋1)为偶函数，f (x )是奇函数，∴f (－x ＋1)＝f (x ＋1)，f (x )＝－f (－x )，f (0)＝0， ∴f (x ＋1)＝f (－x ＋1)＝－f (x －1)，∴f (x ＋2)＝－f (x )，f (x ＋4)＝f (x ＋2＋2)＝－f (x ＋2)＝f (x )，则f (4)＝f (0)＝0，f (5)＝f (1)＝2，∴f (4)＋f (5)＝0＋2＝2，故选A.22．[2017·江西三校联考]定义在R 上的偶函数f (x )满足：对任意的x 1，x 2∈(－∞，0)(x 1≠x 2)，都有f x 1－f x 2x 1－x 2<0.则下列结论正确的是( )A ．f (0.32)<f (20.3)<f (log 25) B ．f (log 25)<f (20.3)<f (0.32) C ．f (log 25)<f (0.32)<f (20.3) D ．f (0.32)<f (log 25)<f (20.3) 答案 A解析 ∵对任意x 1，x 2∈(－∞，0)，且x 1≠x 2，都有f x 1－f x 2x 1－x 2<0，∴f (x )在(－∞，0)上是减函数．又∵f (x )是R 上的偶函数，∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数．∵0<0.32<20.3<log 25，∴f (0.32)<f (20.3)<f (log 25)．故选A.23．[2017·贵州适应考试]已知f (x )是奇函数，g (x )＝2＋f xf x，若g (2)＝3，则g (－2)＝________.答案－1解析 ∵g (2)＝2＋f 2f 2＝3，∴f (2)＝1.又f (－x )＝－f (x )，∴f (－2)＝－1，∴g (－2)＝2＋f －2f －2＝2－1－1＝－1.24．[2017·湖北名校联考]已知定义在R 上的函数f (x )，对任意实数x 有f (x ＋4)＝－f (x )＋22，若函数f (x －1)的图象关于直线x ＝1对称，f (－1)＝2，则f (2017)＝________.答案 2解析由函数y ＝f (x －1)的图象关于直线x ＝1对称可知，函数f (x )的图象关于y 轴对称，故f (x )为偶函数．由f (x ＋4)＝－f (x )＋22，得f (x ＋4＋4)＝－f (x ＋4)＋22＝f (x )，∴f (x )是周期T ＝8的偶函数，∴f (2017)＝f (1＋252×8)＝f (1)＝f (－1)＝2.一、高考大题本考点在近三年高考中未涉及此题型．二、模拟大题1．[2017·河南联考]设f (x )是(－∞，＋∞)上的奇函数，f (x ＋2)＝－f (x )，当0≤x ≤1时，f (x )＝x .(1)求f (π)的值；(2)当－4≤x ≤4时，求f (x )的图象与x 轴所围成图形的面积．解 (1)由f (x ＋2)＝－f (x )，得f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2]＝－f (x ＋2)＝f (x )， ∴f (x )是以4为周期的周期函数． ∴f (π)＝f (－1×4＋π)＝f (π－4) ＝－f (4－π)＝－(4－π)＝π－4. (2)由f (x )是奇函数与f (x ＋2)＝－f (x )，得f [(x －1)＋2]＝－f (x －1)＝f [－(x －1)]，即f (1＋x )＝f (1－x )．从而可知函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称．又当0≤x ≤1时，f (x )＝x ，且f (x )的图象关于原点成中心对称，则f (x )的图象如图所示．设当－4≤x ≤4时，f (x )的图象与x 轴围成的图形面积为S ，则S ＝4S △OAB ＝4×⎝ ⎛⎭⎪⎫12×2×1＝4.2．[2017·安徽合肥质检]已知函数f (x ) ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x <0是奇函数．(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围．解 (1)设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x . 又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，于是x <0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2.(2)要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，结合f (x )的图象(如图所示)知⎩⎪⎨⎪⎧a －2>－1，a －2≤1，所以1<a ≤3，故实数a 的取值范围是(1,3]．3．[2016·福州一中月考]已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且它的图象关于直线x ＝1对称．(1)求证：f (x )是周期为4的周期函数；(2)若f (x )＝x (0<x ≤1)，求x ∈[－5，－4]时，函数f (x )的解析式．解 (1)证明：由函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，有f (x ＋1)＝f (1－x )，即有f (－x )＝f (x ＋2)．又函数f (x )是定义在R 上的奇函数，故有f (－x )＝－f (x )，故f (x ＋2)＝－f (x )．从而f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，即f (x )是周期为4的周期函数．(2)由函数f (x )是定义在R 上的奇函数，有f (0)＝0.x ∈[－1,0)时，－x ∈(0,1]， f (x )＝－f (－x )＝－－x ，故x ∈[－1,0]时，f (x )＝－－x .x ∈[－5，－4]时，x ＋4∈[－1,0]， f (x )＝f (x ＋4)＝－－x －4.从而，x ∈[－5，－4]时，f (x )＝－－x －4.4．[2017·湖南师大附中月考]已知函数f (x )的定义域是满足x ≠0的一切实数，对定义域内的任意x 1，x 2都有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)，且当x >1时，f (x )>0.求证：(1)f (x )是偶函数；(2)f (x )在(0，＋∞)上是增函数．证明 (1)令x 1＝x 2＝1，得f (1)＝2f (1)，∴f (1)＝0. 令x 1＝x 2＝－1，得f (1)＝2f (－1)，∴f (－1)＝0，令x 1＝－1，x 2＝x ，得f (－x )＝f (－1·x )＝f (－1)＋f (x )＝f (x )，∴f (x )是偶函数．(2)设x 2>x 1>0，则f (x 2)－f (x 1)＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1·x 2x 1－f (x 1)＝f (x 1)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 1－f (x 1)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x1.∵x 2>x 1>0，∴x 2x 1>1，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2x 1>0，即f (x 2)－f (x 1)>0，∴f (x 2)>f (x 1)，∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数．。

函数的奇偶性与周期性典型例题

函数的奇偶性和周期性
例1、已知为定义在上的奇函数，当时，，求的
表达式.
思路点拨：().00上，这是解题的关键的解析式转化到时将<>x x f x 解：∵
为奇函数，且在处有定义0=x ∴ 当时， ∵
为奇函数 ∴
∴ ∴()()()()⎪⎩
⎪⎨⎧<--=>-=000022x x x x x x x x f
解题回顾：若一个函数具有奇偶性，则不论这个函数是奇函数还是偶函数，它的定义域一定关于原点对称。

如果一个函数定义域不关于原点对称，那么它就失去了奇函数或是偶函数的条件，即这个函数既不是奇函数又不是偶函数。

变式：已知为定义在上的偶函数，当0≤x 时，，求的
表达式.
例2、已知函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，且对一切x R ∈，总有
()()x f x f =+4，若()263=f ，求()()75f f 与的大小关系思路点拨：解此题的关键由()()x f x f =+4知函数的周期是4. 解：对一切x R ∈，总有f （x+4）=f （x ），故函数)(x f 是周期为4的函数，因此，,2)1(=-f 又函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，所以，.2)7(,2)5(,2)1(=-=∴-=f f f )7()5(f f <∴。

变式1、已知函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，且对一切x R ∈，总有()()x f x f -=+2，若()263=f ，则()()75f f 与的大小关系是
变式2、已知函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，且对一切x R ∈，总有()()
x f x f 12=+，若()263=f ，求()()75f f 与的大小关系。

全国卷历年高考函数与导数真题归类分析(含答案)

全国卷历年高考函数与导数真题归类分析(含答案)全国卷历年高考函数与导数真题归类分析（含答案）（2015年-2018年共11套）函数与导数小题（共23小题）一、函数奇偶性与周期性1.（2015年1卷13）若函数$f(x)=x\ln(x+a+x^2)$为偶函数，则$a=$解析】由题知$y=\ln(x+a+x^2)$是奇函数，所以$\ln(x+a+x^2)+\ln(-x+a+x^2)=\ln(a+x-x)=\ln a$，解得$a=1$。

考点：函数的奇偶性。

2.（2018年2卷11）已知$$f(x)=\begin{cases}\frac{x+1}{x},x<0\\ax^2,x\geq0\end{cases}$$ 是定义域为$(-\infty,0)\cup[0,+\infty)$的奇函数，满足$f(\frac{1}{2})=1$。

若，$f'(-1)=-2$，则$a=$解：因为$f(x)$是奇函数，所以$f(-\frac{1}{2})=-1$，$f(0)=0$。

又因为$f'(-1)=-2$，所以$f'(-x)|_{x=1}=2$，$f'(0+)=0$，$f'(0-)=0$。

由此可得$$\begin{aligned}a&=\lim\limits_{x\to 0^+}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}\\&=\lim\limits_{x\to 0^+}\frac{ax^2}{x}\\&=\lim\limits_{x\to0^+}ax\\&=\lim\limits_{x\to 0^-}ax\\&=-\frac{1}{2}\end{aligned}$$ 故选B。

3.（2016年2卷12）已知函数$f(x)(x\in R)$满足$f(-x)=2-f(x)$，若函数$y=\sum\limits_{i=1}^m(x_i+y_i)$的图像的交点为$(x_1,y_1),(x_2,y_2),\cdots,(x_m,y_m)$，则$\sum\limits_{i=1}^m(x_i+y_i)=( )$解析】由$f(x)$的奇偶性可得$f(0)=1$，又因为$f(x)$是偶函数，所以$f'(0)=0$。

函数的奇偶性、对称性、周期试题

函数的奇偶性、对称性、周期试题+==⨯f1ff-=f335)4)4()1(6((-=2014)考点：函数的性质6．设)(x f是定义在实数集R上的函数，且满足下列关系)(x20)(fx-，则)(x f=-f++，)20)(10(x10ff-=x是（）.A.偶函数，但不是周期函数B.偶函数，又是周期函数C.奇函数，但不是周期函数D.奇函数，又是周期函数【答案】D【解析】试题分析：∵f（20-x）=f[10+（10-x）]=f[10-（10-x）]=f（x）=-f（20+x）．∴f（20+x）=-f（40+x），结合f（20+x）=-f（x）得到f （40+x）=f（x）∴f（x）是以T=40为周期的周期函数；又∵f（-x）=f（40-x）=f（20+（20-x）=-f （20-（20-x））=-f（x）．∴f（x）是奇函数．故选：D考点：本题考查函数的奇偶性，周期性点评：解决本题的关键是准确理解相关的定义及其变形，即满足f(x+T)=f(x)，则f(x)是周期函数，函数的奇偶性，则考虑f(x)与f(-x)的关系7．设f （x ）定义R 上奇函数，且y ＝f （x ）图象关于直线x ＝13对称，则f （－23）＝（） A ．－1 B ．1 C ．0D ．2【答案】C【解析】试题分析：由题意可得，2()(),()()3f x f x f x f x -=-=-，所以22()()(0)033f f f -=-=-=，选C.考点：函数的奇偶性及对称性.8．已知)(x f 在R 上是奇函数,且满足)()4(x f x f =+,当)2,0(∈x 时,22)(x x f =,则)7(f 的值为（） A ．2- B ．2 C ．98-D ．98【答案】A【解析】试题分析：)()4(x f x f =+，根据周期函数定义可知()f x 是周期为4的周期函数，∴()()()7181f f f =-+=-，又根据函数()f x 是奇函数，可得()1f -=()1f -，因为()10,2∈，所以()211212f -=-⨯⨯=-.故正确答案为选项A.考点：周期函数的定义和性质;奇函数定义和性质.9．已知定义在R 上的函数()f x ，对任意x R ∈，都有()()()63f x f x f +=+成立，若函数()1y f x =+的图象关于直线1x =-对称，则()2013()f =A ．0B ．2013C ．3D ．2013-【答案】A ．【解析】试题分析：由题意得(2013)(20133356)335(3)336(3)f f f f =-⨯+⨯=，又有函数()1y f x =+的图象关于直线1x =-对称，则函数()f x 图像关于y 轴对称，即(3)(3)f f =-，还有(3+6)(3)(3)f f f -=-+，得(3)=0f -，则(2013)336(3)=336(3)0f f f =-=，故选A ．考点：函数的性质．10．设偶函数()f x 对任意x R ∈都有()()13f x f x +=- ,且当[]3,2x ∈--时，()4f x x =,则()107.5f =（）A ．10B ．110C ．-10D ．110-【答案】B【解析】试题分析：因为()()13f x f x +=-，所以()()6f x f x +=，所以函数()f x 是周期为6的周期函数，又()()111860.5(0.5)(0.5)(2.5)( 2.5107.5)f f f f f f ⨯-==-=-=--=，而( 2.5)10f -=-，故()107.5f =110，故选B ．考点：函数的性质．11．函数()f x 的定义域为R ,若函数()f x 的周期6．当31x -≤<-时,()()22f x x =-+，当13x -≤<时，()f x x =．则()()()122013f f f ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+()+2014f =（）A ．337B ．338C ．1678D ．2012【答案】A【解析】试题分析：由已知得(1)1f =，(2)2f =，(3)(3)1f f =-=-，(4)(2)0f f =-=，(5)(1)1f f =-=-，(6)(0)0f f ==，故()()()1261f f f ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=，()()()122013f f f ++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+()+2014f =335+()()()()1234f f f f +++=337．考点：函数周期性．考点：函数的图象、周期性、对称性．13．已知函数f(x)在定义域上的值不全为零，若函数f(x+1)的图象关于( 1, 0 )对称，函数f(x+3)的图象关于直线x=1对称，则下列式子中错误的是（）A.()()f x f x -=B.(2)(6)f x f x -=+C.(2)(2)0f x f x -++--=D.(3)(3)0f x f x ++-=【答案】D【解析】试题分析：∵函数(1)f x +的图象关于()1,0对称，∴函数()f x 的图象关于(2,0)对称，令()(1)F x f x =+， ∴()()2F x F x =--，即()(3)1f x f x -=-+，∴()()4f x f x -=- …⑴令()(3)G x f x =+，∵其图象关于直线1=x 对称，∴()()2G x G x +=-，即()()53f x f x +=-，∴()()44f x f x +=- …⑵ 由⑴⑵得，()()4f x f x +=-，∴()()8f x f x += …⑶ ∴()()()844f x f x f x -=-=+-，由⑵得()()()()()4444f x f x f x +-=--=∴()()f x f x -=；∴A 对；由⑶，得()()282f x f x -+=-，即()()26f x f x -=+，∴B 对；由⑴得，()()220f x f x -++=，又()()f x f x -=， ∴()()(2)(2)220f x f x f x f x -++--=-++=，∴C 对；若()()330f x f x ++-=，则()()6f x f x +=-，∴()()12f x f x +=，由⑶得()()124f x f x +=+，又()()4f x f x +=-，∴()()f x f x =-，即()0f x =，与题意矛盾，∴D 错. 考点：函数的图象与图象变化.15．设()f x 是定义在R 上且以5为周期的奇函数，若23(2)1,(3),3a a f f a ++>=-则a 的取值范围是( ).A 、(,2)-∞B 、()()3,02, -∞-C 、（0，3） D 、()()3,02, ∞-【答案】B【解析】试题分析：由题意，得:)()5(),()(x f x f x f x f =+-=-,所以1)2()2()3(-<-=-=f f f ，即1332-<-++a a a ，0322<-+∴a a a ，0)3)(2(<-+a a a ，302<<-<∴x a 或.考点：函数的奇偶性、周期性.第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明二、填空题（题型注释）16．定义在R上的偶函数f（x）满足对任意x ∈R，都有f（x＋8）＝f（x）＋f（4），且x ∈[0,4]时，f（x）＝4－x，则f（2 015）的值为________．【答案】3【解析】试题分析：因为定义在R上的偶函数()f x满足对任意x R∈，都有(8)()(4)+=+，f x f x f令4x=-，则(4)(4)(4)f f-===-+，故(4)(4)0f f f所以()f x f x+=，故函f x满足对任意x R∈，都有(8)()数()T=f x的周期8所以(2015)(25281)(1)(1)413=⨯-=-==-=f f f f故答案为3．考点：函数的周期性和奇偶性．18．定义在实数集R上的函数()f x满足()()20-=，现有以下三种叙f x f x4++=，且()()f x f x述：①8是函数()f x的一个周期；②()x=对称；f x的图象关于直线2③()f x是偶函数。

函数奇偶性与周期综合训练含详解

B．当 x 4,5 时， f x 2x 52
C．当 x 2,3 时， f x 单调递减
D．a 的取值范围是 0,
2 2
9．已知 f x 是定义域为 (, ) 的奇函数， f x 1是偶函数，且当 x 0,1 时，
f x x x 2 ，则（）
A． f x 是周期为 2 的函数
五、解答题 20．设 f (x) 是定义在实数集 R 上的奇函数，且对任意实数 x 恒满足 f (x 2) f (x) ，当 x [0, 2]时， f ( x) 2x x2 .
（1）求证： f (x) 是周期函数；（2）当 x [2, 4] 时，求 f (x) 的解析式；（3）计算： f (0) f (1) f (2) f (2021) .
试卷第 2页，总 3页
17．已知函数 f (x) 是定义在 R 上的奇函数，且 f x 2 f x ，则T ________，当
0 x 1时 f (x) x(x 1) ，则 f 4 f 5 等于________.
18．定义在 R 上的奇函数 f (x) 又是周期为 4 的周期函数，已知在区间[2, 0) (0, 2] 上，
15．设函数 f x 的定义域为 R， f x 1为奇函数， f x 2 为偶函数，当 x 1, 2 时，
f
(x)
ax 2
b
.若
f
0
f
3
6 ，则
f
13 3
_________.
四、双空题 16．已知函数 f (x) 是 R 上的奇函数，并且是周期为 3 的周期函数，若 f (1)=2 ，则 f (2)= ________； f (2019)= ________.
8．已知定义在 R 上的函数 f x 满足 f x f x 0 ， f x 2 f x 0 ，且当

全国卷历年高考函数与导数真题归类分析(含答案)

全国卷历年高考函数与导数真题归类分析（含答案）（2015年-2018年共11套）函数与导数小题（共23小题）一、函数奇偶性与周期性1.（2015年1卷13）若函数f （x ）=2ln()x x a x ++为偶函数，则a=【解析】由题知2ln()y x a x =++是奇函数，所以22ln()ln()x a x x a x +++-++ =22ln()ln 0a x x a +-==，解得a =1.考点：函数的奇偶性2.（2018年2卷11）已知是定义域为的奇函数，满足．若，则A.B. 0C. 2D. 50解：因为是定义域为的奇函数，且，所以,因此，因为，所以，，从而，选C.3.（2016年2卷12）已知函数()()R f x x ∈满足()()2f x f x -=-，若函数1x y x+=与()y f x =图像的交点为()11x y ，，()22x y ，，⋯，()m m x y ，，则()1mi i i x y =+=∑（）（A ）0 （B ）m （C ）2m （D ）4m【解析】由()()2f x f x =-得()f x 关于()01，对称，而111x y x x+==+也关于()01，对称，∴对于每一组对称点'0i i x x += '=2i i y y +，∴()111022mmmi i i i i i i mx y x y m ===+=+=+⋅=∑∑∑，故选B ．二、函数、方程与不等式4.（2015年2卷5）设函数211log (2),1,()2,1,x x x f x x -+-<⎧=⎨≥⎩,2(2)(log 12)f f -+=( ) （A ）3 （B ）6 （C ）9 （D ）12【解析】由已知得2(2)1log 43f -=+=，又2log 121>，所以22log 121log 62(log 12)226f -===，故，2(2)(log 12)9f f -+=．5.（2018年1卷9）已知函数．若g （x ）存在2个零点，则a 的取值范围是A. [–1，0）B. [0，+∞）C. [–1，+∞）D. [1，+∞）解：画出函数的图像，在y 轴右侧的去掉，画出直线，之后上下移动，可以发现当直线过点A 时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，即方程有两个解，也就是函数有两个零点，此时满足，即，故选C.6.（2017年3卷15）设函数1,0,()2,0,+⎧=⎨>⎩xx x f x x ≤则满足1()()12f x f x +->的x 的取值范围是________．【解析】()1,02 ,0+⎧=⎨>⎩x x x f x x ≤，()112f x f x ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭，即()112f x f x ⎛⎫->- ⎪⎝⎭由图象变换可画出12y f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭与()1y f x =-的图象如下：12-1211(,)44-1()2y f x =-1()y f x =-yx由图可知，满足()112f x f x ⎛⎫->- ⎪⎝⎭的解为1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭.7.（2017年3卷11）已知函数211()2(e e )x x f x x x a --+=-++有唯一零点，则a =（）A ．1-２B ．13C ．12D ．1【解析】由条件，211()2(e e )x x f x x x a --+=-++，得：221(2)1211211(2)(2)2(2)(e e )4442(e e )2(e e )x x x x x x f x x x a x x x a x x a ----+----+-=---++=-+-+++=-++∴(2)()f x f x -=，即1x =为()f x 的对称轴，由题意，()f x 有唯一零点，∴()f x 的零点只能为1x =，即21111(1)121(e e )0f a --+=-⋅++=，解得12a =．三、函数单调性与最值8.（2017年1卷5）函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是 A ．[2,2]- B ．[1,1]- C ．[0,4] D ．[1,3] 【解析】：()()()()12112112113f x f f x f x x -≤-≤⇒≤-≤-⇒-≤-≤⇒≤≤故而选D 。

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函数的奇偶性与周期性
1.奇函数f （x ）的定义域为R ，若f (x +2)为偶函数，则f (1)=1,则f (8)+f (9)= ( )
A. －2
B.－1
C. 0
D. 1
2.在函数①|2|cos x y =，②|cos |x y = ，③)62cos(π
+=x y ,④)42tan(π
-=x y 中，最小正周期为π的所有函数为
A.①②③
B. ①③④
C. ②④
D. ①③
3.设函数)(),(x g x f 的定义域为R ，且)(x f 是奇函数，)(x g 是偶函数，则下列结论中正确的是
A. )()(x g x f 是偶函数
B. )(|)(|x g x f 是奇函数
C. |)(|)(x g x f 是奇函数
D. |)()(|x g x f 是奇函数 4.已知()f x 是定义在R 上的奇函数,且是以2为周期的周期函数,若当(]0,1x ∈时
2()1f x x =-，则7()2
f 的值为 A 34- B 34 C 12- D 12
5.下列函数为偶函数的是
A. sin y x =
B. 3y x =
C. x y e =
D. y =
6.设()f x 是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，()f x =2(1)x x -，则5
()2
f -= (A) -
12 (B)1 4- (C)14 (D)12
7.下列函数中，既是偶函数又在()0,+∞单调递增的函数是（A ）3y x = (B) 1y x =+ （C ）21y x =-+ (D) 2x y -=
8.下列函数为偶函数的是（）
A.()1f x x =-
B.()2f x x x =+
C.()22x x f x -=-
D.()22x x
f x -=+
9.偶函数y=f(x)的图像关于直线x=2对称，f(3)=3，则f(-1)=_______.
10.函数)4)(()(-+=x a x x f 为偶函数，则实数a = .
11.已知()f x 为奇函数，()()9,(2)3,(2)g x f x g f =+-==则．
试卷答案
1.D
2.A ：由cos y x =是偶函数可知cos 2cos2y x x == ，最小正周期为π，即①正确；
y =| cos x |的最小正周期也是π ，即②也正确；cos 26y x π⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭最小正周期为π,即③正确；tan(2)4y x π=-的最小正周期为2
T π=,即④不正确. 即正确答案为①②③，选A
3.C 设()()()F x f x g x =，则()()()F x f x g x -=--，∵()f x 是奇函数，()g x 是偶函数，∴()()()()F x f x g x F x -=-=-，()F x 为奇函数，选C.
4.B
5.D
选项 A 、B 为奇函数，选项C 为非奇非偶函数，对于D 有
()()f x f x -===。

6.A.
本题主要考查了函数的奇偶性和周期性，难度较低.
因为函数为2T =的奇函数，所以51
1()()()22
2
f f f -=-=-，又因为01x ≤≤ 的函数解析式为()2(1)f x x x =-，求得51()22f -=-. 7.B
本题主要考查了函数的单调性、奇偶性和函数图像的翻折变换，难度较小.选项A 为奇函数，C 、D 在),0(+∞均为减函数，故选B.
8.D
利用奇偶性的判断法则：
()()()()()()f x f x f x f x f x f x -=-⇒-=⇒为奇函数为偶函数。

即可得到答案为D 。

考察
最简单的奇偶性判断.
9.3 3
)1-(∴3)3()1(∴2)()1()1-()(=====∴f f f x x f f f x f 对称图像关于为偶函数 10.4=a
因为函数)4)(()(-+=x a x x f 为偶函数，所以)()(x f x f =-，由a x a x x a x x f 4)4()4)(()(2--+=-+=，得a x a x a x a x 4)4(4)4(22--+=---，即4,04==-a a 。

11.6
本题考查抽象函数求值问题，难度中等。

由题知(2)(2)9g f -=-+，(2)(2)96f g -=--=-，(2)(2)f f -=-，所以(2)6f =。