练习题(九年级数学上第一章)
一、填空题
1．一般地，对于一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0），当b 2
-4ac≥0时，它的根是__ ___
当b-4ac<0时，方程___ ______．
2．方程ax 2+bx+c=0（a≠0）有两个相等的实数根，则有____ ____ ，•若有两个不相等的实数根，则有_____ ____，若方程无解，则有__________．
3．用公式法解方程x 2 = -8x-15，其中b 2-4ac= _______，x 1=_____，x 2=________．
4．已知一个矩形的长比宽多2cm ，其面积为8cm 2，则此长方形的周长为________．
5．用公式法解方程4y 2=12y+3，得到
6．不解方程，判断方程：①x 2+3x+7=0；②x 2+4=0；③x 2+x-1=0中，有实数根的方程有 个 7．当x=_____ __时，代数式13
x +与2214x x +-的值互为相反数． 8．若方程x-4x+a=0的两根之差为0，则a 的值为________．
二、利用公式法解下列方程
（1）220x -+= （2） 012632=--x x （3）x=4x 2+2
（4）－3x 2＋22x －24＝0 （5）2x （x －3）=x －3 （6） 3x 2+5(2x+1)=0
三、填空题（每小题5分，计35分）
1、()()023112
=++++-m x m x m ，当m=________时，方程为关于x 的一元一次方程；当m__________时，方程为关于x 的一元二次方程
2、方程02=-x x 的一次项系数是___________，常数项是__________
3、方程062=--x x 的解是_______________________________
4、关于x 的方程0132
=+-x x _____实数根.（注：填写“有”或“没有”）
5、方程12=-px x 的根的判别式是______________________
6、已知一元二次方程0132=-+-m x x .（提示：用根的判别式）
（1）若方程有两个不相等的实数根，求m 的取值范围.
（2）若方程有两个相等的实数根，求此时方程的根
7、无论m 为何值时，方程04222
=---m mx x 总有两个不相等的实数根吗给出答案并说明理由
8、用配方法解题 210x x +-= 23610x x +-=
23610x x --= 22540x x --=
210x x --=； 23920x x -+=．。
北师大版九级数学上正方形的性质与判定正方形的判定专题练习题及答案
北师大版九年级数学上册第一章特殊平行四边形3.正方形的性质与判定正方形的判定专题练习题1．下列说法不正确的是()A．一组邻边相等的矩形是正方形B．对角线相等的菱形是正方形C．对角线互相垂直的矩形是正方形D．有一个角是直角的平行四边形是正方形2．在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的条件是() A．AC＝BD，AB∥CD，AB＝CD B．AD∥BC，∠A＝∠CC．AO＝BO＝CO＝DO，AC⊥BD D．AO＝CO，BO＝DO，AB＝BC3. 已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB＝BC，②∠ABC＝90°，③AC＝BD，④AC ⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是()A．选①②B．选②③C．选①③D．选②④4．如图，只要把一张矩形纸片的一个角沿折痕AE翻折上去，使AB和AD边上的AF重合，则四边形ABEF就是一个正方形，判断的依据是____________________________．5．如图，在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，对角线AC与BD相交于点O，若不增加任何字母与辅助线，要使得四边形ABCD是正方形，则还需增加的一个条件是__________________．6．黑板上画有一个图形，学生甲说它是多边形，学生乙说它是平行四边形，学生丙说它是菱形，学生丁说它是矩形，老师说这四位同学的答案都正确，则黑板上画的图形是__________．7．对角线________的菱形是正方形，对角线________的矩形是正方形，对角线________________的平行四边形是正方形，对角线的四边形是正方形．8．已知：如图，△ABC中，∠ABC＝90°，BD是∠ABC的平分线，DE⊥AB于点E，DF ⊥BC于点F.求证：四边形DEBF是正方形．9．如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，将△ADE绕点E旋转180°得到△CFE.(1)求证：四边形ADCF是平行四边形；(2)当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF是正方形？请说明理由．10．四边形ABCD的对角线AC＝BD，AC⊥BD，分别过点A，B，C，D作对角线的平行线，所成的四边形EFMN是()A．正方形B．菱形C．矩形D．任意四边形11．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE＝BF，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是()A．BC＝AC B．CF⊥BF C．BD＝DF D．AC＝BF12．如图，将一张长方形纸片对折两次，然后剪下一个角，打开．如果要剪出一个正方形，那么剪口线与折痕成________度角.13．如图，以边长为1的正方形的四边中点为顶点作四边形，再以所得四边形的四边中点为顶点作四边形，…依次作下去，图中所作的第三个四边形的周长为________；所作的第n 个四边形的周长为________．14．如图，正方形ABCD的边长为6，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在正方形ABCD 的边AB，CD，DA上，且AH＝2，连接CF.若DG＝2，求证：菱形EFGH为正方形．15．如图，正方形CEFG的边GC在正方形ABCD的边CD上，延长CD到H，使DH＝CE，K在BC边上，且BK＝CE，求证：四边形AKFH为正方形．答案：1---3 DCB4. 有一组邻边相等的矩形是正方形5. AC＝BD6. 正方形7. 相等互相垂直互相垂直且相等互相垂直平分且相等8.证明：∵DE⊥AB，DF⊥BC，∴∠DEB＝∠DFB＝90°.又∵∠ABC＝90°，∴四边形BEDF为矩形．∵BD是∠ABC的平分线，且DE⊥AB，DF⊥BC，∴DE＝DF，∴矩形BEDF为正方形．9. (1)证明：∵△CFE是由△ADE绕点E旋转180°得到的，∴A，E，C三点共线，D，E，F三点共线，且AE＝CE，DE＝FE，故四边形ADCF是平行四边形；(2)解：当∠ACB＝90°，AC＝BC时，四边形ADCF是正方形．理由如下：在△ABC中，∵AC＝BC，AD＝BD，∴CD⊥AB，即∠ADC＝90°.由(1)知，四边形ADCF是平行四边形，∴四边形ADCF是矩形．又∵∠ACB＝90°，∴CD＝12AB＝AD，故四边形ADCF是正方形10. A11. D12. 4513. 2 4(2 2)n14．证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠D＝∠A＝90°.∵四边形EFGH是菱形，∴HG ＝HE.∵DG＝AH＝2，∴Rt△HDG≌Rt△EAH，∴∠DHG＝∠AEH.又∵∠AEH＋∠AHE＝90°，∴∠DHG＋∠AHE＝90°，∴∠GHE＝90°，∴菱形EFGH为正方形．15.证明：∵四边形ABCD和四边形CEFG是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠BAD＝∠DCB＝∠B＝∠ADC＝90°，∠GCE＝∠E＝∠GFE＝∠CGF＝90°，∴∠ADH＝∠HGF＝∠E＝∠B＝90°.又∵DH＝CE，BK＝CE，∴BK＝GF＝DH＝EF，KE＝GH＝AB＝AD，∴△ABK ≌△KEF≌△HGF≌△ADH，∴AK＝KF＝HF＝AH，∠BAK＝∠DAH.∵∠BAD＝90°，∴∠HAK＝∠HAD＋∠DAK＝∠BAK＋∠DAK＝∠BAD＝90°，∴四边形AKFH为正方形．。
九年级数学上册第一单元练习题
九年级数学上册第一单元练习题1、关于的一元二次方程的一个根是0，则的值为A、 B、 C、或D、2、关于的方程的根的情况是A、有两个不相等的实数根B、有两个相等的实数根C、无实数根D、不能确定3、如果关于的方程的两个实数根互为倒数，那么的值为A、 B、 C、 D、4、已知关于的方程有实数根，则的取值范围是A、 B、C、D、5、市政府为了申办2010年冬奥会决定改善城市容貌，绿化环境，计划经过两年时间，绿地面积增加44%，这两年平均绿地面积的增长率是A、19%B、20%C、21%D、22%6、已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程根，则这个直角三角形的斜边长是的两个A、 B、C、 D、97、如果是一元二次方程的一个根，是一元二次方程的一个根，那么的值是A、1或2B、0或C、或D、0或38、若一元二次方程的两根、满足下列关系：，，则这个一元二次方程为A、 B、C、二、填空题D、9、写出一个一元二次方程使它的二次项系数、一次项系数、常数项系数的和为零，该方程可以是_____________。
10、写出一个一元二次方程，使它没有实数解，该方程可以是_________。
11、写出一个一元二次方程，使它的两实数根之和为3，该方程可以是_____________。
12、写出一个既能直接开方法解，又能用因式分解法解的一元二次方程是__________。
三、解下列方程13、14、四、解答题15、制造一种产品，原来每件的成本是500元，销售价为625元，经市场预测，该产品销售价第一个月将降低20%，第二个月比第一个月提高6%，为了使第二个月的销售利润达到原来的水平，该产品的成本价平均每月应降低百分之几？16、如图所示，四边形是矩形，，。
动点P、Q分别同时从A、C出发，点P以3cm/s的速度向D移动，直到D为止，Q以2cm/s的速度向B移动。
⑴P、Q两点从出发开始几秒后，四边形ABQP的面积是矩形面积的？何时四边形ABQP的面积最大，最大是多少？⑵P、Q从开始出发几秒后，？17、已知实数根，问、是关于的一元二次方程与能否同号？若能同号，请求出相应的的两个非零的值的范围；若不能同号，请说明理由。
北师大版九年级数学上册第一章特殊的平行四边形综合练习题（含答案,教师版）
北师大版九年级数学上册第一章特殊的平行四边形综合练习题（含答案,教师版）北师大版九年级数学上册第一章特殊的平行四边形综合练习题1.如图，以正方形ABCD的顶点A为坐标原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，对角线AC与BD相交于点E，P为BC上一点，点P坐标为(a，b)，则点P绕点E顺时针旋转90°得到的对应点P′的坐标是(D)A．(a－b，a) B．(b，a) C．(a－b，0) D．(b，0)2.如图，菱形ABCD边长为6，∠BAD＝120°，点E，F分别在AB，AD上且BE＝AF，则EF的最小值为(A)．A．B．．D3.如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠A＝60°，M是AD边的中点，N是AB边上的一动点，将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A′MN，连接A′C，则A′C4.如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，将△ABD沿射线BD的方向平移得到△A′B′D′，分别连接A′C，A′D，B′C，则A′C＋B′C5.菱形OBCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B(2，0)，∠DOB＝60°，点P是对角线OC上一个动点，E(0，－1)，当EP＋BP最短时，点P6.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的两边OA ，OC 分别在x 轴和y 轴上，并且OA ＝5，OC ＝3.若把矩形OABC 绕着点O 逆时针旋转，使点A 恰好落在BC 边上的A 1处，则点C 的对应点C 1的坐标为(－95，125)．7.如图，∠MON ＝90°，矩形ABCD 的顶点A ，B 分别在边OM ，ON 上，当B 在边ON 上运动时，A 随之在边OM 上运动，矩形ABCD 的形状保持不变，其中AB ＝4，BC ＝1，在运动过程中，点D 到点O8.如图，在矩形纸片ABCD 中，AB ＝8，BC ＝6，点E 是AD 的中点，点F 是AB 上一动点．将△AEF 沿直线EF 折叠，点A 落在点A ′处．在EF 上任取一点G ，连接GC ，GA ′，CA ′，则△CGA ′周长的最小值为9.如图，在△ABC 中，∠ABC ＝90°，BD 为AC 的中线，过点C 作CE ⊥BD 于点E ，过点A 作BD 的平行线，交CE 的延长线于点F ，在AF 的延长线上截取FG ＝BD ，连接BG ，DF.(1)求证：四边形BDFG 为菱形；(2)若AG ＝13，CF ＝6，则四边形BDFG 的周长为20．证明：∵∠ABC ＝90°，BD 为AC 的中线，∴BD ＝12AC.∵AG ∥BD ，BD ＝FG ，∴四边形BDFG 是平行四边形．∵CF ⊥BD ，∴CF ⊥AG.又∵点D 是AC 中点，∴DF ＝12AC.∴BD ＝DF.∴四边形BDFG 是菱形．10.如图，E ，F 分别是矩形ABCD 的边AD ，AB 上的点，EF ＝EC ，且EF ⊥EC. (1)求证：AE ＝DC ； (2)若DC ＝2，则BE ＝2．证明：在矩形ABCD 中，∠A ＝∠D ＝90°，∴∠EFA ＋∠AEF ＝90°. ∵EF ⊥EC ，∴∠FEC ＝90°. ∴∠AEF ＋∠CED ＝90°. ∴∠EFA ＝∠CED. 在△AEF 和△DCE 中，∠A ＝∠D ，∠EFA ＝∠CED ，EF ＝CE ，∴△AEF ≌△DCE(AAS)．∴AE ＝DC.11.已知：在矩形ABCD 中，BD 是对角线，AE ⊥BD 于点E ，CF ⊥BD 于点F. (1)如图1，求证：AE ＝CF ；(2)如图2，当∠ADB ＝30°时，连接AF ，CE ，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于矩形ABCD 面积的18.解：(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形，∴AB ＝CD ，AB ∥CD ，AD ∥BC. ∴∠ABE ＝∠CDF. ∵AE ⊥BD ，CF ⊥BD ，∴∠AEB ＝∠CFD ＝90°.在△ABE 和△CDF 中，∠ABE ＝∠CDF ，∠AEB ＝∠CFD ，AB ＝CD ，∴△ABE ≌△CDF(AAS)．∴AE ＝CF. (2)S △ABE ＝S △CDF ＝S △BCE ＝S △ADF ＝18S 矩形ABCD .12.如图，在四边形ABCD 中，BC ∥AD ，BC ＝12AD ，点E 为AD 的中点，点F 为AE 的中点，AC⊥CD ，连接BE ，CE ，CF.(1)判断四边形ABCE 的形状，并说明理由；(2)如果AB ＝4，∠D ＝30°，点P 为BE 上的动点，求△PAF 周长的最小值．解：(1)四边形ABCE 是菱形，理由如下：∵点E 是AD 的中点，∴AE ＝12AD.∵BC ＝12AD ，∴AE ＝BC.∵BC ∥AD ，∴四边形ABCE 是平行四边形．∵AC ⊥CD ，点E 是AD 的中点，∴CE ＝AE ＝DE. ∴四边形ABCE 是菱形．(2)∵四边形ABCE 是菱形．∴AE ＝EC ＝AB ＝4，点A ，C 关于BE 对称．2AE＝2.∴当PA＋PF最小时，△PAF的周长最小，即点P为CF与BE的交点时，△PAF的周长最小．此时△PAF的周长为PA＋PF＋AF＝CF＋AF.∵CE＝DE，∴∠ECD＝∠D＝30°，∠ACE＝90°－30°＝60°.∴△ACE是等边三角形．∴AC＝AE＝CE＝4.∵AF＝EF，∴CF⊥AE.∴CF＝AC2－AF2＝2 3.△PAF周长的最小值为CF＋AF＝23＋2.13.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，过点C的直线MN∥AB，D为AB边上一点，过点D 作DE⊥BC，垂足为F，交直线MN于点E，连接CD，BE.(1)求证：CE＝AD；(2)当D为AB的中点时，四边形CDBE是什么特殊四边形？说明你的理由；(3)若D为AB的中点，则当∠A的大小满足什么条件时，四边形CDBE是正方形？请说明你的理由．解：(1)证明：∵DE⊥BC，∴∠DFB＝90°.∵∠ACB＝90°，∴∠ACB＝∠DFB.∴AC∥DE.∵MN∥AB，即CE∥AD，∴四边形ADEC是平行四边形．∴CE＝AD.(2)四边形CDBE是菱形．理由：∵CE＝AD，∴BD＝CE.∵BD∥CE，∴四边形CDBE是平行四边形．∵∠ACB＝90°，D为AB的中点，∴CD＝BD.∴四边形CDBE是菱形．(3)当∠A＝45°时，四边形CDBE是正方形．理由：∵∠ACB＝90°，∠A＝45°，∴∠ABC＝∠A＝45°.∴AC＝BC.∵D为AB的中点，∴CD⊥AB.∴∠CDB＝90°.又∵四边形CDBE是菱形，∴四边形CDBE是正方形．14.如图，在矩形ABCD中，E是AB边的中点，沿EC对折矩形ABCD，使B点落在点P处，折痕为EC，连接EC，连接AP并延长交CD于点F，连接BP，交CE于点H.(1)若∠PBA∶∠PBC＝1∶2，判断△PBC的形状，并说明理由；(2)求证：四边形AECF为平行四边形．解：(1)△PBC是等边三角形，理由如下：在矩形ABCD中，∠ABC＝90°，∵∠PBA∶∠PBC＝1∶2，∴∠PBC＝60°.由折叠的性质，得PC＝BC.∴△PBC是等边三角形．(2)证明：由折叠的性质，得△EBC≌△EPC.∴BE＝PE.∴∠EBP＝∠EPB.∵E为AB的中点，∴BE＝AE.∴AE＝PE.∴∠EPA＝∠EAP.∵∠EBP ＋∠EPB ＋∠EPA ＋∠EAP ＝180°，∴∠EPB ＋∠EPA ＝90°. ∴∠BPA ＝90°，即BP ⊥AF.由折叠的性质，得BP ⊥CE ，∴AF ∥CE. ∵四边形ABCD 是矩形，∴AE ∥CF. ∴四边形AECF 为平行四边形．15.如图，将一张矩形纸片ABCD 沿直线MN 折叠，使点C 落在点A 处，点D 落在点E 处，直线MN 交BC 于点M ，交AD 于点N.(1)求证：CM ＝CN ；(2)若△CMN 的面积与△CDN 的面积比为3∶1，求MNDN的值．解：(1)证明：由折叠的性质，得∠ENM ＝∠DNM ，又∵∠ANE ＝∠CND ，∴∠ANM ＝∠CNM. ∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC. ∴∠ANM ＝∠CMN. ∴∠CMN ＝∠CNM. ∴CM ＝CN.(2)过点N 作NH ⊥BC 于点H ，则四边形NHCD 是矩形，∴HC ＝DN ，NH ＝DC. ∵S △CMN S △CDN ＝12MC ·NH12ND ·NH ＝MC ND＝3，∴MC ＝3ND ＝3HC.∴MH ＝2HC.设DN ＝x ，则HC ＝x ，MH ＝2x. ∴CM ＝CN ＝3x.在Rt △CDN 中，DC ＝CN 2－DN 2＝22x. 在Rt △MNH 中，MN ＝MH 2＋HN 2＝23x. ∴MN DN ＝23x x＝2 3. 16.在正方形ABCD 中，点E ，F 分别在边BC ，AD 上，DE ＝EF ，过点D 作DG ⊥EF 于点H ，交AB 边于点G.(1)如图1，求证：DE ＝DG ；(2)如图2，将EF 绕点E 逆时针旋转90°得到EK ，点F 对应点K ，连接KG ，EG.若H 为DG 的中点，在不添加任何辅助线及字母的情况下，请直接写出图中所有与EG 长度相等的线段(不包括EG)．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AD ＝DC ，AD ∥BC ，∠DAG ＝∠DCE ＝90°. ∴∠DEC ＝∠EDF.∵DE ＝EF ，∴∠EFD ＝∠EDF. ∴∠EFD ＝∠DEC.∵DG ⊥EF ，∴∠GHF ＝90°. ∴∠DGA ＋∠AFH ＝180°. ∵∠AFH ＋∠EFD ＝180°，∴∠DGA ＝∠EFD ＝∠DEC. 在△DAG 和△DCE 中，∠DGA ＝∠DEC ，∠DAG ＝∠DCE ，DA ＝DC ，∴△DAG ≌△DCE(AAS)．∴DG ＝DE.(2)与线段EG 相等的线段有：DE ，DG ，GK ，KE ，EF.17.如图，BD 是正方形ABCD 的对角线，线段BC 在其所在的直线上平移，将平移得到的线段记为PQ ，连接PA ，过点Q 作QO ⊥BD ，垂足为O ，连接OA ，OP.(1)如图1所示，求证：AP ＝2OA ；(2)如图2所示，PQ 在BC 的延长线上，如图3所示，PQ 在BC 的反向延长线上，猜想线段AP ，OA 之间有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝BC ，∠ABD ＝∠CBD ＝45°. ∵QO ⊥BD ，∴∠BOQ ＝90°. ∴∠BQO ＝∠CBD ＝45°.∴OB ＝OQ. ∵PQ ＝BC ，∴AB ＝PQ.在△ABO 和△PQO 中，OB ＝OQ ，∠ABO ＝∠PQO ，AB ＝PQ ，∴△ABO ≌△PQO(SAS)．∴OA ＝OP ，∠AOB ＝∠POQ. ∵∠BOP ＋∠POQ ＝90°，∴∠BOP ＋∠AOB ＝90，即∠AOP ＝90°. ∴△AOP 是等腰直角三角形．∴AP ＝2OA.(2)当PQ 在BC 的延长线上时，线段AP ，OA 之间的数量关系为AP ＝2OA ；当PQ 在BC 的反向延长线上时，线段AP ，OA 之间的数量关系为AP ＝2OA.。
北师大版九年级数学上册第一章 1.2矩形的性质与判定 同步练习题
北师大版九年级数学上册第一章 1.2矩形的性质与判定同步练习题第1课时矩形的性质1．如图，四边形ABCD和四边形AEFG都是矩形．若∠BAG＝20°，则∠DAE＝(B)A．10° B．20° C．30° D．45°2．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠COD＝60°，AB＝3，则AC的长是(A)A．6 B．8 C．10 D．123．如图，在矩形ABCD中，∠DAE＝∠CBE＝45°，AD＝1，则△ABE的周长等于(C)A．4.83 B．4 2C．22＋2 D．32＋24．如图，在矩形ABCD中，O是两对角线的交点，AE⊥BD，垂足为E.若OD＝2OE，AE＝3，则DE的长为(B)A．2 3 B．3 C．4 D.3＋15．如图，在矩形ABCD中，EG垂直平分BD于点G.若AB＝4，BC＝3，则线段EG的长度是(B)A.32B.158C.52D ．3 6．如图，点O 是矩形ABCD 的对角线AC 的中点，M 是AD 的中点．若OM ＝3，BC ＝10，则OB7．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，点D ，E 分别是边AB ，AC 的中点，延长BC 至F ，使CF ＝12BC.若EF ＝13，则线段AB 的长为26．8．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，AC 为对角线，∠DAC 的平分线AE 交DC 于点E ，则CE 的长为53．9．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝4，P 为AD 上一动点，PE ⊥AC 于点E ，PF ⊥BD 于点F ，则PE ＋PF 的值为125．10．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝6，将△ABE 沿着AE 折叠至△AB′E.若BE ＝CE ，连接B′C，则B′C 的长为185．11．如图，在矩形ABCD 中，AD ＝AE ，DF ⊥AE 于点F.求证：AB ＝DF.证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴AD ∥BC ，∠B ＝90°. ∴∠AEB ＝∠DAF. ∵DF ⊥AE ，∴∠AFD ＝∠B＝90°.在△ABE 和△DFA 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠AEB＝∠DAF，∠B ＝∠AFD，AE ＝DA ，∴△ABE ≌△DFA(AAS)． ∴AB ＝DF.12．如图，BE ，CF 是锐角△ABC 的两条高，M ，N 分别是BC ，EF 的中点．若EF ＝6，BC ＝24.(1)求证：∠ABE＝∠ACF；(2)判断EF 与MN 的位置关系，并证明你的结论； (3)求MN 的长．解：(1)证明：∵BE，CF 是△ABC 的两条高， ∴∠ABE ＋∠A＝90°，∠ACF ＋∠A＝90°. ∴∠ABE ＝∠ACF. (2)MN 垂直平分EF. 证明：连接EM ，FM ，∵BE ，CF 是△ABC 的两条高，M 是BC 的中点， ∴EM ＝FM ＝12BC.∵N 是EF 的中点，∴MN ⊥EF. ∴MN 垂直平分EF. (3)∵EF＝6，BC ＝24，∴EM ＝12BC ＝12×24＝12，EN ＝12EF ＝12×6＝3.在Rt △EMN 中，MN ＝EM 2－EN 2＝122－32＝315.13．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4.M ，N 在对角线AC 上，且AM ＝CN ，E ，F 分别是AD ，BC 的中点．(1)求证：△ABM≌△CDN；(2)若G 是对角线AC 上的点，∠EGF ＝90°，求AG 的长．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴AB ＝CD ，AB ∥CD. ∴∠MAB ＝∠NCD.在△ABM 和△CDN 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝CD ，∠MAB ＝∠NCD，AM ＝CN ，∴△ABM ≌△CDN(SAS)． (2)连接EF ，交AC 于点O.在△AEO 和△CFO 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠EOA＝∠FOC，∠EAO ＝∠FCO，AE ＝CF ，∴△AEO ≌△CFO(AAS)．∴EO ＝FO ，AO ＝CO.∴O 为EF ，AC 的中点． ∵∠EGF ＝90°，∴OG ＝12EF ＝12AB ＝32.在Rt △ABC 中，AC ＝AB 2＋BC 2＝5， ∴OA ＝52.∴AG ＝OA －OG ＝1或AG ＝OA ＋OG ＝4. ∴AG 的长为1或4.14．如图，在矩形ABCD 中，∠BAC ＝30°，对角线AC ，BD 交于点O ，∠BCD 的平分线CE 分别交AB ，BD 于点E ，H ，连接OE.(1)求∠BOE 的度数；(2)若BC ＝1，求△BCH 的面积； (3)求S △CHO ∶S △BHE .解：(1)∵四边形ABCD 是矩形， ∴AB ∥CD ，AO ＝CO ＝BO ＝DO.∴∠DCE ＝∠BEC.∵CE 平分∠BCD，∴∠BCE ＝∠DCE＝45°. ∴∠BCE ＝∠BEC＝45°.∴BE ＝BC.∵∠BAC ＝30°，AO ＝BO ＝CO ，∴∠OBA ＝30°. ∴∠BOC ＝60°. ∴△BOC 是等边三角形． ∴BC ＝BO ＝BE.∴∠BOE ＝180°－30°2＝75°.(2)过点H 作HF⊥BC 于点F.∵△BOC 是等边三角形，∴∠FBH ＝60°. ∴BH ＝2BF ，FH ＝3BF.∵∠BCE ＝45°，∴CF ＝FH ＝3BF. ∴BC ＝3BF ＋BF ＝1.∴BF＝3－12. ∴FH ＝3－32.∴S △BCH ＝12BC·FH＝3－34.(3)过点C 作CN⊥BO 于点N ， ∵BC ＝3BF ＋BF ＝BO ＝BE ， ∴OH ＝OB －BH ＝3BF －BF. ∵∠CBN ＝60°，CN ⊥BO ， ∴CN ＝32BC ＝3＋32BF. ∵S △CHO ∶S △BHE ＝(12OH·CN)∶(12BE·BF)，∴S △CHO ∶S △BHE ＝3－32.第2课时 矩形的判定1．已知▱ABCD ，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是(B) A ．∠A ＝∠B B ．∠A ＝∠C C ．AC ＝BD D ．AB ⊥BC2．如图，在△ABC 中，点D 在BC 上，DE ∥AC ，DF ∥AB ，下列四个判断中不正确的是(D)A ．四边形AEDF 是平行四边形B ．若∠BAC＝90°，则四边形AEDF 是矩形C ．若AD ＝EF ，则四边形AEDF 是矩形 D ．若AD 平分∠BAC，则四边形AEDF 是矩形3．如图，在▱ABCD 中，M ，N 是BD 上两点，BM ＝DN ，连接AM ，MC ，CN ，NA ，添加一个条件，使四边形AMCN 是矩形，这个条件是(A)A ．OM ＝12AC B ．MB ＝MOC ．BD ⊥AC D ．∠AMB ＝∠CND4．如图，在▱ABCD 中，在不添加任何辅助线的情况下，请添加一个条件∠A ＝90°，使平行四边形ABCD 是矩形．5．如图，已知MN∥PQ，EF 与MN ，PQ 分别交于A ，C 两点，过A ，C 两点作两组内错角的平分线，交于点B，D，则四边形ABCD是矩形．6．如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB，有下列四个条件：①AB＝BE；②DE⊥DC；③∠ADB＝90°；④CE⊥DE.如果添加其中一个条件就能使四边形DBCE成为矩形，那么正确的条件是①③④(填序号)．7．如图，在△ABC中，D是AB边的中点，E是CD的中点，过点C作CF∥AB交AE的延长线于点F，连接BF.当△ABC满足AC＝BC(答案不唯一)时(请添加一条件)，四边形BDCF 为矩形．8．如图，在▱ABCD中，AB＝6，BC＝10，对角线AC⊥AB，点E，F分别是边BC，AD上的点，且BE＝DF.当BE的长度为3.6时，四边形AECF是矩形．9．在坐标平面内，A，B两点的坐标分别是(1，5)，(4，1)，点C在y轴上，点D在坐标平面内，以A，B，C，D为顶点的四边形是矩形，则点D的坐标为(5，3)或(－3，2)或(3，1)．410．如图，以△ABC的三边为边分别作等边△ACD，△ABE，△BCF，∠BAC≠60°，则下列结论：①△EBF≌△DFC；②四边形AEFD为平行四边形；③当AB＝AC时，四边形AEFD是菱形；④当∠BAC＝90°时，四边形AEFD是矩形．其中正确的结论是①②③．(填序号)11．已知：如图，▱ABCD 的两条对角线相交于点O ，BE ⊥AC ，CF ⊥BD ，垂足分别为E ，F ，且BE ＝CF.求证：▱ABCD 是矩形．证明：∵BE⊥AC，CF ⊥BD ， ∴∠OEB ＝∠OFC＝90°. 在△BEO 和△CFO 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠OEB＝∠OFC，∠BOE ＝∠COF，BE ＝CF ，∴△BEO ≌△CFO(AAS)． ∴OB ＝OC.∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴OB ＝12BD ，OC ＝12AC.∴BD ＝AC. ∴▱ABCD 是矩形．12．如图，已知AB∥DE，AB ＝DE ，AC ＝FD ，∠CEF ＝90°.求证： (1)△ABF≌△DEC； (2)四边形BCEF 是矩形．证明：(1)∵AB∥DE， ∴∠A ＝∠D. ∵AC ＝FD ， ∴AC －CF ＝DF －CF ， 即AF ＝CD.在△ABF 和△DEC 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AF ＝DC ，∠A ＝∠D，AB ＝DE ，∴△ABF ≌△DEC(SAS)． (2)∵△ABF≌△DEC， ∴EC ＝BF ，∠ECD ＝∠BFA. ∴∠ECF ＝∠BFC.∴EC∥BF. ∴四边形BCEF 是平行四边形． ∵∠CEF ＝90°， ∴四边形BCEF 是矩形．13．如图，在等边△ABC 中，点D 是AC 的中点，F 是BC 的中点，以BD 为边作等边△BDE.求证：AB ＝EF ，且四边形AEBF 是矩形．证明：∵在等边△ABC 中，点D 是AC 的中点，F 是BC 的中点，∴∠AFB ＝90°，AF ＝BD ，∠CBD ＝30°. ∵△BDE 是等边三角形， ∴BE ＝BD ，∠DBE ＝60°.∴AF ＝BD ＝BE ，∠EBF ＝∠AFB＝90°. ∴AF ∥BE. 又∵AF＝BE ，∴四边形AEBF 是平行四边形． 在△ABF 和△EFB 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AF ＝EB ，∠AFB ＝∠EBF，BF ＝FB ，∴△ABF ≌△EFB(SAS)． ∴AB ＝EF.∴四边形AEBF 是矩形．14．如图，在▱ABCD 中，BC ＝12 cm ，∠ABC ＝60°，AC ⊥AB ，O 是AC ，BD 的交点，点E ，F 分别从点O 同时出发，沿射线OA 和OC 方向移动，速度都是1 cm/s.(1)求证：在整个运动过程中，四边形BEDF 始终是平行四边形；(2)设点E 和点F 同时运动的时间为t s ，当t 为何值时，四边形BEDF 是矩形？解：(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴OB ＝OD.由题意，得OE ＝OF ，∴四边形BEDF 始终是平行四边形．(2)在Rt △ABC 中，∵∠BAC ＝90°，∠ABC ＝60°，BC ＝12， ∴∠ACB ＝30°，AB ＝12BC ＝6，AC ＝3AB ＝6 3.∴OA ＝OC ＝3 3.∴BO ＝AB 2＋AO 2＝62＋（33）2＝37. ∵当EF ＝BD 时，四边形BEDF 是矩形， ∴OE ＝OB ，即t ＝37.∴当t ＝37时，四边形BEDF 是矩形．第3课时 矩形的性质与判定的运用1．下列关于矩形的说法，正确的是(C) A ．对角线相等的四边形是矩形 B ．对角线互相平分的四边形是矩形 C ．矩形的对角线相等且互相平分 D ．矩形的对角线互相垂直且平分2．如图，已知在四边形ABCD 中，AB ＝DC ，AD ＝BC ，连接AC ，BD 交于点O.若AO ＝BO ，AD ＝3，AB ＝2，则四边形ABCD 的面积为(C)A ．4B ．5C ．6D ．73．如图，在矩形COED 中，点D 的坐标是(1，3)，则CE4．如图，在四边形ABCD中，已知对角线AC⊥BD，垂足为O，点E，F，G，H分别为边AD，AB，BC，CD的中点．若AC＝8，BD＝6，则四边形EFGH的面积为12．5．如图，在菱形ABCD中，AC，BD交于点O，AC＝6，BD＝8.若DE∥AC，CE∥BD，则OE 的长为5．6．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝8，AC＝6，M为BC上的一动点，ME⊥AB于点E，MF⊥AC于点F，点N为EF的中点，则MN的最小值为2.4．7．如图，在矩形ABCD中，AB＝1，AD＝2，点E是边AD上的一个动点，把△BAE沿BE折叠，点A落在A′处．若A′恰好在矩形的对称轴上，则AE的长为1或38．如图，在矩形ABCD中，AB＝4 cm，AD＝12 cm，点P从点A出发，向点D以每秒1 cm 的速度运动，Q从点C出发，以每秒4 cm的速度在B，C两点之间做往返运动，两点同时出发，点P到达点D为止(同时点Q也停止)，这段时间内，当运动时间为2.4_s或4_s或7.2_s 时，P，Q，C，D四点组成矩形．9．如图，在▱ABCD中，AB＝6，BC＝8，AC＝10.(1)求证：四边形ABCD是矩形；(2)求BD的长．解：(1)证明：∵AB＝6，BC＝8，AC＝10，∴AB2＋BC2＝AC2.∴∠ABC＝90°.∵四边形ABCD是平行四边形，∴四边形ABCD是矩形．(2)∵四边形ABCD是矩形，∴BD＝AC＝10.10．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AE⊥BC交CB延长线于点E，CF ∥AE交AD延长线于点F.(1)求证：四边形AECF是矩形；(2)连接OE，若AE＝4，AD＝5，求OE的长．解：(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AO＝CO，AD∥BC.∵CF∥AE，∴四边形AECF 是平行四边形． ∵AE ⊥BC ，∴四边形AECF 是矩形． (2)∵四边形ABCD 是菱形， ∴AD ＝AB ＝BC ＝CD ＝5. ∵AE ＝4，∠AEB ＝90°， ∴EB ＝AB 2－AE 2＝3. ∴EC ＝EB ＋BC ＝8. ∴AC ＝AE 2＋EC 2＝4 5. ∵在Rt △AEC 中，AO ＝CO ， ∴OE ＝12AC ＝2 5.11．如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝CD ，∠A ＝∠ADC ，E ，F 分别为AD ，CD 的中点，连接BE ，BF ，延长BE 交CD 的延长线于点M.(1)求证：四边形ABCD 为矩形；(2)若MD ＝6，BC ＝12，求BF 的长度．(结果可保留根号)解：(1)证明：∵在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝CD ， ∴四边形ABCD 是平行四边形． ∴∠A ＋∠ADC＝180°. ∵∠A ＝∠ADC，∴∠A ＝90°. ∴四边形ABCD 是矩形． (2)∵AB∥CD，∴∠ABE ＝∠M. ∵E 为AD 的中点，∴AE ＝DE.在△ABE 和△DME 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠AEB＝∠DEM ，∠ABE ＝∠M，AE ＝DE ，∴△ABE ≌△DME(AAS)． ∴AB ＝DM ＝CD ＝6. ∵F 为CD 的中点， ∴CF ＝12CD ＝3.∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠C ＝90°.在Rt △BCF 中，BF ＝BC 2＋CF 2＝122＋32＝317.12．如图，在▱ABCD 中，E 是AD 上一点，连接BE ，F 为BE 的中点，且AF ＝BF. (1)求证：四边形ABCD 为矩形；(2)过点F 作FG⊥BE，交BC 于点G.若BE ＝BC ，S △BFG ＝5，CD ＝4，求CG 的长度．解：(1)证明：∵F 为BE 的中点，AF ＝BF ，∴AF ＝BF ＝EF. ∴∠BAF ＝∠ABF，∠FAE ＝∠AEF.在△ABE 中，∠BAF ＋∠ABF＋∠FAE＋∠AEF＝180°， ∴∠BAF ＋∠FAE＝90°，即∠BAE ＝90°. 又∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴四边形ABCD 为矩形．(2)连接EG ，过点E 作EH⊥BC，垂足为H ，∵F 为BE 的中点，FG ⊥BE ，∴BG ＝GE. ∵S △BFG ＝5，CD ＝EH ＝4， ∴S △BGE ＝12BG·EH＝10.∴BG ＝GE ＝5.在Rt △EGH 中，GH ＝GE 2－EH 2＝3. ∴BH ＝5＋3＝8.在Rt △BEH 中，BE ＝BH 2＋EH 2＝4 5. ∴CG ＝BC －BG ＝BE －BG ＝45－5.13．已知：如图，在▱ABCD 中，AB ＞AD ，∠ADC 的平分线交AB 于点E ，作AF⊥BC 于点F ，交DE 于点G ，延长BC 至H 使CH ＝BF ，连接DH.(1)补全图形，并证明四边形AFHD 是矩形；(2)当AE ＝AF 时，猜想线段AB ，AG ，BF 之间的数量关系，并证明．解：(1)补全图形如图所示． 证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ∥BC ，AD ＝BC.∵CH ＝BF ，∴FH ＝BC.∴AD＝FH. ∴四边形AFHD 是平行四边形． ∵AF ⊥BC ，∴四边形AFHD 是矩形． (2)猜想：AB ＝BF ＋AG.证明：延长FH 至M ，使HM ＝AG ，连接DM.∵AB∥CD，∴∠AED＝∠EDC.∵DE平分∠ADC，∴∠ADE＝∠EDC.∴∠AED＝∠ADE.∴AE＝AD.∵AE＝AF，∴AF＝AD.∵AF＝DH，∴AD＝DH.又∵∠GAD＝∠DHM＝90°，∴△DAG≌△DHM(SAS)．∴∠ADE＝∠HDM，∠AGD＝∠M.∴∠EDC＝∠HDM.∴∠GDH＝∠CDM.∵AF∥DH，∴∠AGD＝∠GDH.∴∠CDM＝∠M.∴CD＝CM＝CH＋HM. ∵AB＝CD，CH＝BF，HM＝AG，∴AB＝BF＋AG.。
九年级上册数学习题带答案
九年级上册数学习题带答案九年级上册数学习题带答案数学作为一门学科，对于学生来说可能是喜欢的，也可能是让人头疼的。
不管是哪种情况，掌握数学的基础知识和解题技巧都是至关重要的。
在九年级上册的数学课程中，有许多重要的知识点和习题需要我们掌握和练习。
下面我将为大家整理一些九年级上册数学习题，并附上答案，希望能够帮助大家更好地学习和理解数学。
第一章：代数基础1. 计算下列各式的值：(1) 3x + 4y，当x = 2，y = 5时；(2) 5a - 2b，当a = 3，b = 7时。
答案：(1) 3x + 4y = 3*2 + 4*5 = 6 + 20 = 26；(2) 5a - 2b = 5*3 - 2*7 = 15 - 14 = 1。
2. 求下列各式的值：(1) 2x^2 + 3x - 4，当x = 1时；(2) 3a^2 - 4ab + b^2，当a = 2，b = 3时。
答案：(1) 2x^2 + 3x - 4 = 2*1^2 + 3*1 - 4 = 2 + 3 - 4 = 1；(2) 3a^2 - 4ab + b^2 = 3*2^2 - 4*2*3 + 3^2 = 12 - 24 + 9 = -3。
第二章：平面直角坐标系1. 在平面直角坐标系中，已知点A(2, 3)，B(-1, 4)，求线段AB的长度。
答案：设AB的长度为d，根据两点间距离公式可得：d = √[(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2]= √[(-1 - 2)^2 + (4 - 3)^2]= √[(-3)^2 + (1)^2]= √[9 + 1]= √10。
2. 在平面直角坐标系中，已知点A(-2, 5)，B(3, -1)，求线段AB的斜率。
答案：设AB的斜率为k，根据斜率公式可得：k = (y2 - y1) / (x2 - x1)= (-1 - 5) / (3 - (-2))= (-6) / (3 + 2)= -6 / 5。
(完整word)北师大版九年级数学上期期末复习试题
九年级上册第一章《证明二》期末复习练习题一、选择题1. 如图1, 在Rt ΔABC 中, ∠ACB ＝90°BC ＝3,AC ＝4,AB 的垂直平分线DE 交BC 的延长线于点E, 则CE 的长为（ ）A. B. C. D. 2图1 图2 图3 2. （2009年广西钦州）如图2, AC ＝AD, BC ＝BD, 则有（ ）A. AB 垂直平分CDB. CD 垂直平分ABC. AB 与CD 互相垂直平分D. CD 平分∠ACB3．（2009年济宁市）“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形．如图3, 是一“赵爽弦图”飞镖板, 其直角三角形的两条直角边的长分别是2和4．小明同学距飞镖板一定距离向飞镖板投掷飞镖（假设投掷的飞镖均扎在飞镖板上）, 则投掷一次飞镖扎在中间小正方形区域（含边线）的概率是A. B. C. D.5.（2009恩施市）如图4, 长方体的长为15, 宽为10, 高为20, 点 离点 的距离为5, 一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点 爬到点 , 需要爬行的最短距离是（ ）A. B. 25 C. D.6. （2009年宁波市）等腰直角三角形的一个底角的度数是（ ）A. 30°B. 45°C. 60°D. 90°7. （2009重庆綦江）如图5, 点A 的坐标是(2,2), 若点P 在x 轴上, 且△APO 是等腰三角形,则点P 的坐标不可能是（ ）A ．(4, 0)B ．（1．0）C ．（-2 , 0）D ．（2, 0） 图7图5图88. （2009威海）如图6, AB ＝AC,BD ＝BC, 若∠A ＝40°, 则∠ABD 的度数是（ ）A. B. C. D.9．(2009年温州)如图7, △ABC 中, AB ＝AC ＝6, BC ＝8, AE 平分∠BAC 交BC 于点E, 点D为AB 的中点, 连结DE, 则△BDE 的周长是( )A. 7+B. 10C. 4+2D. 1210．(2009年云南省)如图11, 等腰△ABC 的周长为21, 底边BC ＝ 5, AB 的垂直平分线DE 交AB 于点D, 交AC 于点E, 则△BEC 的周长为（ ）A. 13B. 14C. 15D. 1611．（2009呼和浩特）在等腰 中, , 一边上的中线 将这个三角形的周长分为15和12两个部分, 则这个等腰三角形的底边长为（ ）A. 7B. 11C. 7或11D. 7或10ADB E C12．已知在 中, , 则 的值为（ ）A. B. C. D.13．观察下列图形, 则第 个图形中三角形的个数是（ ）A. B. C. D. 二、填空题1. （2009年重庆市江津区）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30º,腰长为4 cm, 则其腰上的高为 cm.2. （2009年滨州）某楼梯的侧面视图如图2所示, 其中 米, , , 因某种活动要求铺设红色地毯, 则在AB 段楼梯所铺地毯的长度应为 .3. （2009年漳州）如图, 在菱形 中, , 、 分别是 、 的中点, 若 , 则菱形 的边长是_____________.4．如图, OP 平分 , , , 垂足分别为A, B ．下列结论中不一定成立的是（ ）A. B. 平分 C. D. 垂直平分5. （2009年广州市）已知命题“如果一个平行四边形的两条对角线互相垂直, 那么这个平行四边形是菱形”, 写出它的逆命题: ________________________________三、解答题1. （2009年崇左）如图, 在等腰梯形ABCD 中, 已知AD//BC, AB ＝DC,AD ＝2,BC ＝4, 延长BC 到E, 使CE ＝AD.（1）证明: ΔBAD ≌ΔDCE ；（2）如果AC ⊥BD, 求等腰梯形ABCD 的高DF 的值．2. （2009年浙江省绍兴市）如图, 在 中, , 分别以 为边作两个等腰直角三角形 和 , 使.（1）求DBC 的度数；……第1个第2个 第3个 D AB EC F（2）求证: .3. 如图, 已知△ABC 为等边三角形, 点D.E 分别在BC.AC 边上, 且AE=CD,AD 与BE 相交于点F.(1)求证: ≌△CAD ；(2)求∠BFD 的度数.4.（2009年衡阳市）如图, △ABC 中, AB ＝AC, AD.AE 分别是∠BAC 和∠BAC 和外角的平分线, BE ⊥AE. （1）求证: DA ⊥AE ；（2）试判断AB 与DE 是否相等？并证明你的结论.5. 在△ABC 中, AB=AC, D 是BC 的中点, 连结AD, 在AD 的延长线上取一点E, 连结BE, CE.（1）求证: △ABE ≌△ACE（2）当AE 与AD 满足什么数量关系时, 四边形ABEC 是菱形？ 并说明理由.A BC D E F。
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慧学云教育九 年 级 数 学 试 题（图形与证明二）一．选择题 1、顺次连接任意四边形各边中点所得到的四边形一定是（ )A 平行四边形B 菱形C 矩形D 正方形2、 国家级历史文化名城——金华， 风光秀丽，花木葱茏．某广场上一个形状是平行四边形的花坛（如图），分别种有红、黄、蓝、绿、橙、紫6种颜色的花．如果有 AB ∥ EF ∥ DC，BC ∥ GH ∥ AD，那么下列说法中正确的是（）A ED紫 绿 A ．红花、绿花种植面积一定相等红GHB ．绿花、黄花种植面积一定相等黄橙蓝C ．红花、蓝花种植面积一定相等 BCFD ．蓝花、紫花种植面积一定相等3．如图，直线 l 1 ∥ l 2 ，若 155 , 2 65 ，则 3为（）3A 50B55C 60D65l 121l 2第3 题4、若等腰三角形的一个底角为 50°，则顶角为（ ）A ．50°B ． 100°C ．80°D ．65°（）5、如图 1， □ABCD 的周长是28 ㎝，△ ABC 的周长是22 ㎝，则的长为ACA ． 14 ㎝B． 12 ㎝C． 10 ㎝ D． 8 ㎝AADBDＡＦＥBCCＢＤＣ1236、下列命题中，真命题是（）Ａ．两条对角线相等的四边形是矩形Ｂ．两条对角线互相垂直的四边形是菱形Ｃ．两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 Ｄ．两条对角线互相平分的四边形是平行四边形7、已知菱形的两条对角线长分别为 6 和 8，则菱形的周长为（ ）A ．20B ．30C ． 40D ． 108、如图 2，在菱形 ABCD 中，不一定成立的是（ ）A ．四边形 ABCD 是平行四边形B ．AC ⊥BDC．△ ABD 是等边三角形D．∠ CAB＝∠ CAD9、如图 3，在△ ABC 中，点 E，D，F 分别在边AB，BC，CA上，且 DE ∥ CA ，DF ∥ BA ．下列四个判断中，不正确的是（）．．．Ａ．四边形 AEDF 是平行四边形oＣ．如果 AD 平分BAC ，那么四边形AEDF是菱形Ｄ．如果 AD BC 且 AB AC ，那么四边形AEDF是正方形10．如图，正方形 ABCD 的边长为 2，点△AFC 的面积为 S，则（）E 在AB 边上，四边形EFGB 也为正方形，设A ．S=2 B． S=4 C． S=2.4 D． S 与 BE 长度有关二．填空题11．已知平行四边形 ABCD中, AB=14cm,BC=16cm,则此平行四边形的周长为_____cm. 12．矩形的两条对角线的夹角为600, 较短的边长为12cm,则对角线长为cm.13．如下图（1），在平行四边形ABCD 中，CE ⊥AB ，E 为垂足．如果∠A 125o，则∠ BCE14．在四边形 ABCD中，已知 AB ∥CD ，请补充一个条件：，使得四边形 ABCD是平行四边形。
2018届九年级数学上册第一章特殊平行四边形第3节正方形的性质与判定练习（含答案）北师大版
2018届九年级数学上册第⼀章特殊平⾏四边形第3节正⽅形的性质与判定练习（含答案）北师⼤版正⽅形的性质与判定⼀、选择题(本⼤题共10⼩题)1.如图，四边形ABCD是正⽅形，延长AB到点E，使AE=AC，则∠BCE的度数是（）A.22.5°B.25°C.23° D.20°2.如⼀个四形的两对线互垂直平分且相等那么个四边形是（）A.平⾏四边形B.菱形C.正⽅形 D.矩形3.四边形ABCD的对⾓线AC、BD相交于点O，AD∥BC，AD=BC，使四边形ABCD为正⽅形，下列条件中：①AC=BD；②AB=AD；③AB=CD；④AC⊥BD．需要满⾜（）A.①②B.②③C.②④D .①②或①④4.如图，正⽅形ABCD的对⾓线AC、BD相交于点O，OA=3，则此正⽅形的⾯积为（）A.3B.12C.18D.365.如图，在四边形ABCD中，对⾓线AC、BD相交于点O，若AO=C0=BO=DO，AC⊥BD，则四边形ABCD的形状是（）A.平⾏四边形B.矩形C.菱形 D.正⽅形6.已知在正⽅形ABCD中，对⾓线AC与BD相交于点O，OE∥AB交BC于点E，若AD=8cm，则OE的长为（）A.3cmB.4cmC.6cmD.8cm7.如图，正⽅形ABCD的边长为x，点E、F分别是对⾓线BD上的两点，过点E、F作AD、AB的平⾏线，则图中阴影部分的⾯积的和为（）A.x2B.x2C.x2D.x28.如图，正⽅形ABCD的边长为8，在各边上顺次截取AE=BF=CG=DH=5，则四边形EFGH的⾯积是（）A.30B.34C.36D.409.如图，E是正⽅形ABCD对⾓线AC上⼀点，EF⊥AB，EG⊥BC，F、G是垂⾜，若正⽅形ABCD周长为a，则EF+EG等于（）A. B. C.aD.2a10.已知正⽅形ABCD的⼀条对⾓线长为2，则它的⾯积是（）A.2B.4C.6⼆、填空题(本⼤题共6⼩题)11.如图，在正⽅形ABCD中，E为CD边上⼀点，以CE为对⾓线构造正⽅形CMEN，点N在正⽅形ABCD内部，连接AM，与CD边交于点F．若CF=3，DF=2，连接BN，则BN的长为 ______ ．12.如图，已知：正⽅形EFGH的顶点E、F、G、H分别在正⽅形ABCD的边DA、AB、BC、CD上．若正⽅形ABCD的⾯积为16，AE=1，则正⽅形EFGH的⾯积为 ______ ．13.如图，将正⽅形纸⽚按如图折叠，AM为折痕，点B落在对⾓线AC上的点E处，则∠CME= ______ ．14.如图，BD是△ABC的⾓平分线，DE∥BC，交AB于点E，DF∥AB，交BC于点F，当△ABC满⾜条件 ______ 时，四边形BEDF是正⽅形．15.如图，正⽅形ABCD的边长为4，线段GH=AB，将GH的两端放在正⽅形的相邻的两边上同时滑动，如果G点从A点出发，沿图中所⽰⽅向按A→B→C→D→A滑动到A⽌，同时点H从点B出发，沿图中所⽰⽅向按B→C→D→A→B滑动到B⽌，在这个过程中，线段GH的中点P所经过的路线围成的图形的⾯积为 ______ ．16.如图，在正⽅形ABCD中，AB=，点P为边AB上⼀动点（不与A、B重合），过A、P在正⽅形内部作正⽅形APEF，交边AD于F点，连接DE、EC，当△CDE为等腰三⾓形时，AP= ______ ．三、解答题(本⼤题共8⼩题)17.已知：P是正⽅形ABCD对⾓线AC上⼀点，PE⊥AB，PF⊥BC，E、F分别为垂⾜．（1）求证：DP=EF．（2）试判断DP与EF的位置关系并说明理由．18.如图，在正⽅形ABCD中，E为对⾓线AC上⼀点，连接EB、ED．（1）写出图中所有的全等三⾓形；（2）延长BE交AD于点F，若∠DEB=140°，求∠AFE的度数．19.已知，在正⽅形ABCD中，E是CB延长线上⼀点，且EB=BC，F是AB的中点，请你将F点与图中某⼀标明字母的点连接成线段，使连成的线段与AE相等．并证明这种相等关系．20.如图，矩形ABCD的对⾓线相交于点O，PB∥AC，PC∥BD，PB、PC相交于点P．（1）猜想四边形PCOB是什么四边形，并说明理由；（2）当矩形ABCD满⾜什么条件时，四边形PCOB是正⽅形．正⽅形的性质与判定练习参考答案⼀、选择题。
北师大版九年级数学上册第一章 1.3正方形的性质与判定 同步练习题
北师大版九年级数学上册第一章 1.3正方形的性质与判定同步练习题第1课时正方形的性质1．正方形具有而菱形不一定具有的特征有(C)A．对角线互相垂直平分 B．内角和为360°C．对角线相等 D．对角线平分内角2．如图，在正方形ABCD的外侧作等边△ABE，则∠BED为(C)A．15° B．35° C．45° D．55°3．如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，CD上，BE＝CF，则图中与∠AEB相等的角的个数是(C)A．1 B．2 C．3 D．44．如图，在正方形ABCD和正方形CEFG中，BC＝1，CE＝3，点D是CG边上一点，H是AF的中点，那么CH5．如图，将正方形OEFG放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点E的坐标为(2，3)，则点F的坐标为(－1，5)．6．如图，正方形ABCD的边长为2，点E，F分别是CD，BC的中点，AE与DF交于点P，连接CP，则CP57．如图，正方形ABCD的边长为1，AC，BD是对角线，延长DA到H，使DH＝DB，在DB 上截取DG＝DC，连接GH交AB于点E，连接DE交AC于点F，连接FG，则下列结论：①四边形AEGF是菱形；②△AED≌△GED；③∠DFG＝112.5°；④BC＋FG＝1.5.其中正确结论的序号是①②③．8．如图，在正方形ABCD中，点E是BC上的一点，点F是CD延长线上的一点，且BE ＝DF，连接AE，AF，EF.(1)求证：△ABE≌△ADF；(2)若AE＝5，请求出EF的长．解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠ABE＝∠ADC＝∠ADF＝90°.在△ABE和△ADF中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ，∠ABE ＝∠ADF，BE ＝DF ，∴△ABE ≌△ADF(SAS)． (2)∵△ABE≌△ADF， ∴AE ＝AF ，∠BAE ＝∠DAF. ∵∠BAE ＋∠EAD＝90°，∴∠DAF ＋∠EAD＝90°，即∠EAF＝90°. ∴EF ＝2AE ＝5 2.9．如图，在正方形ABCD 中，点E ，F 在对角线BD 上，AE ∥CF ，连接AF ，CE. (1)求证：△ABE≌△CDF；(2)试判断四边形AECF 的形状，并说明理由．解：(1)证明：∵在正方形ABCD 中，AB ＝CD ，∠ABE ＝∠CDF＝45°， 又∵AE∥CF，∴∠AEF ＝∠CFE. ∴∠AEB ＝∠CFD. ∴△ABE ≌△CDF(AAS)．(2)四边形AECF 是菱形．理由如下： 连接AC 交BD 于点O ，则AC⊥BD. ∵△ABE ≌△CDF ，∴BE ＝DF.又∵OB＝OD ，∴OB －BE ＝OD －DF ，即OE ＝OF.又∵AC⊥EF，OA ＝OC ， ∴四边形AECF 是菱形．10．如图，O 为正方形ABCD 对角线的交点，E 为AB 边上一点，F 为BC 边上一点，△EBF 的周长等于BC 的长．(1)若AB ＝24，BE ＝6，求EF 的长； (2)求∠EOF 的度数．解：(1)设BF ＝x ，则FC ＝BC －BF ＝24－x. ∵BE ＝6，BE ＋BF ＋EF ＝BC ， ∴EF ＝18－x.在Rt △BEF 中，BE 2＋BF 2＝EF 2， ∴62＋x 2＝(18－x)2，解得x ＝8. ∴EF ＝18－x ＝10.(2)在FC 上截取FM ＝FE ，连接OM ， ∵C △EBF ＝BE ＋EF ＋BF ＝BC ， ∴BE ＋EF ＋BF ＝BF ＋FM ＋MC. ∴BE ＝MC ＝6.∵四边形ABCD 为正方形， ∴OB ＝OC ，∠OBE ＝∠OCM＝45°. 在△OBE 和△OCM 中，⎩⎪⎨⎪⎧OB ＝OC ，∠OBE ＝∠OCM，BE ＝CM ，∴△OBE ≌△OCM(SAS)．∴∠EOB ＝∠MOC，OE ＝OM. ∴∠EOM ＝∠BOC＝90°. 在△OFE 和△OFM 中， ⎩⎪⎨⎪⎧OE ＝OM ，OF ＝OF ，EF ＝MF ，∴△OFE ≌△OFM(SSS)． ∴∠EOF ＝∠MOF＝12∠EOM＝45°.11．如图，E ，F 分别是正方形ABCD 的边CB ，DC 延长线上的点，且BE ＝CF ，过点E 作EG ∥BF ，交正方形外角的平分线CG 于点G ，连接GF.求证：(1)AE⊥BF；(2)四边形BEGF 是平行四边形．证明：(1)∵四边形ABCD 是正方形， ∴AB ＝BC ，∠ABC ＝∠BCD＝90°. ∴∠ABE ＝∠BCF＝90°.在△ABE 和△BCF 中，⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝BC ，∠ABE ＝∠BCF，BE ＝CF ，∴△ABE ≌△BCF(SAS)． ∴AE ＝BF ，∠BAE ＝∠CBF.∵EG ∥BF ，∴∠CBF ＝∠CEG.∴∠CEG＝∠BAE.∵∠BAE ＋∠BEA＝90°，∴∠CEG ＋∠BEA＝90°，即∠AEG＝90°. ∴AE ⊥EG.又∵EG∥BF，∴AE ⊥BF. (2)延长AB 至点P ，使BP ＝BE ，连接EP ， 则AP ＝CE ，∠EBP ＝90°. ∴∠P ＝45°.∵CG 为正方形ABCD 外角的平分线， ∴∠ECG ＝45°.∴∠P ＝∠ECG. 在△APE 和△ECG 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠P＝∠ECG，AP ＝EC ，∠PAE ＝∠CEG，∴△APE ≌△ECG(ASA)．∴AE＝EG. ∵AE ＝BF ，∴EG ＝BF. ∵EG ∥BF ，∴四边形BEGF 是平行四边形．12．如图，点M 是正方形ABCD 的边BC 上一点，连接AM ，点E 是线段AM 上一点，∠CDE 的平分线交AM 延长线于点F.(1)如图1，若点E 为线段AM 的中点，BM ∶CM ＝1∶2，BE ＝10，求AB 的长； (2)如图2，若DA ＝DE ，求证：BF ＋DF ＝2AF.解：(1)设BM ＝x ，则CM ＝2x ，BA ＝BC ＝3x. 在Rt △ABM 中，E 为斜边AM 的中点，∴AM＝2BE＝210.∵AM2＝MB2＋AB2，∴40＝x2＋9x2，解得x＝2.∴AB＝3x＝6.(2)证明：如图，过点A作AH⊥AF，交FD的延长线点H，过点D作DP⊥AF于点P.∵DF平分∠CDE，∴∠1＝∠2.∵DE＝DA，DP⊥AF，∴∠3＝∠4.∵∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝90°，∴∠2＋∠3＝45°.∴∠DFP＝90°－45°＝45°.∴AH＝AF.∴HF＝2AF.∵∠BAF＋∠DAF＝90°，∠HAD＋∠DAF＝90°，∴∠BAF＝∠DAH.又∵AB＝AD，∴△ABF≌△ADH(SAS)．∴BF＝DH.∵HF＝DH＋DF＝BF＋DF，∴BF＋DF＝2AF.第2课时正方形的判定1．下列说法中，不正确的是(D)A．对角线互相垂直的平行四边形是菱形B．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形C．对角线垂直的矩形是正方形D．一组对边相等且有一个角是直角的四边形是矩形2．如图，将矩形纸片折叠，使A点落在BC上的F处，折痕为BE.若沿EF剪下，则折叠部分是一个正方形，其数学原理是(A)A．邻边相等的矩形是正方形B．对角线相等的菱形是正方形C．两个全等的直角三角形构成正方形D．轴对称图形是正方形3．小明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题，从下列四个条件：①AB＝BC；②∠ABC ＝90°；③AC＝BD；④AC⊥BD中选两个作为补充条件，使▱ABCD为正方形(如图)，现有下列四种选法，你认为其中错误的是(B)A．①② B．②③ C．①③ D．②④4．如图，AC，BD是四边形ABCD的对角线，点E，F分别是AD，BC的中点，点M，N分别是AC，BD的中点，连接EM，MF，FN，NE，要使四边形EMFN为正方形，则需添加的条件是(A)A．AB＝CD，AB⊥CDB．AB＝CD，AD＝BCC．AB＝CD，AC⊥BDD．AB＝CD，AD∥BC5．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于点E，CF⊥AD于点F，∠B＝60°，当边＋1)∶2时，四边形AECF是正方形．6．如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠ABC＝90°，AD＝CD，DP⊥AB于P.若四边形ABCD的面积是18，则DP的长是7．如图，在矩形ABCD内有一点F，FB与FC分别平分∠ABC和∠BCD，点E为矩形ABCD 外一点，连接BE，CE.现添加下列条件：①EB∥CF，CE∥BF；②BE＝CE，BE＝BF；③BE∥CF，CE⊥BE；④BE＝CE，CE∥BF，其中能判定四边形BECF是正方形的是①②③④．(填序号)8．在矩形ABCD中，M，N，P，Q分别为边AB，BC，CD，DA上的点(不与端点重合)，对于任意矩形ABCD，下面四个结论中：①存在无数个四边形MNPQ是平行四边形；②存在无数个四边形MNPQ是矩形；③存在无数个四边形MNPQ是菱形；④至少存在一个四边形MNPQ是正方形．正确结论的序号是①②③．9．如图，AD是△ABC的角平分线，DE，DF分别是△BAD和△ACD的高，得到下列四个结论：①OA＝OD；②AD⊥EF；③当∠A＝90°时，四边形AEDF是正方形；④AE＋DF＝AF＋DE.其中正确的是②③④(填序号)．10．如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，PB∥AC，PC∥BD，PB，PC相交于点P.(1)猜想四边形PCOB是什么四边形？并说明理由；(2)当矩形ABCD满足什么条件时，四边形PCOB是正方形？解：(1)四边形PCOB是菱形．理由如下：∵PB∥AC，PC∥BD，∴四边形PCOB为平行四边形．∵四边形ABCD为矩形，∴OB＝OC.∴四边形PCOB为菱形．(2)当AC⊥BD时，四边形PCOB是正方形．理由如下：∵四边形PCOB为菱形，AC⊥BD，∴四边形PCOB为正方形．11．如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是BD延长线上的点，且△ACE是等边三角形．(1)求证：四边形ABCD是菱形；(2)若∠AED＝2∠EAD，求证：四边形ABCD是正方形．证明：(1)∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AO ＝OC. ∵△ACE 是等边三角形， ∴EO ⊥AC ，即 BD⊥AC. ∴四边形ABCD 是菱形．(2)∵△ACE 是等边三角形，EO ⊥AC ，AO ＝OC ， ∴∠AEO ＝∠CEO＝30°.∵∠AED ＝2∠EAD，∴∠EAD ＝15°. ∴∠DAO ＝∠EAO－∠EAD＝45°. ∵四边形ABCD 是菱形， ∴∠BAD ＝2∠DAO＝90°. ∴四边形ABCD 是正方形．12．如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝CD ，E 是对角线BD 上一点，且EA ＝EC. (1)求证：四边形ABCD 是菱形；(2)如果BE ＝BC ，且∠CBE∶∠BCE＝2∶3，求证：四边形ABCD 是正方形．证明：(1)在△ADE 和△CDE 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AD ＝CD ，DE ＝DE ，EA ＝EC ，∴△ADE≌△CDE(SSS)．∴∠ADE＝∠CDE.∵AD∥BC，∴∠ADE＝∠CBD.∴∠CDE＝∠CBD.∴BC＝CD.∵AD＝CD，∴BC＝AD.∴四边形ABCD为平行四边形．∵AD＝CD，∴四边形ABCD是菱形．(2)∵BE＝BC，∴∠BCE＝∠BEC.∵∠C BE∶∠BCE＝2∶3，∴∠CBE＝180°×22＋3＋3＝45°.∵四边形ABCD是菱形，∴∠ABE＝45°.∴∠ABC＝90°.∴四边形ABCD是正方形．13．如图，四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG.(1)求证：矩形DEFG是正方形；(2)若AB＝22，CE＝2，求CG的长；(3)当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是40°时，直接写出∠EFC的度数．解：(1)证明：作EP⊥CD于点P，EQ⊥BC于点Q，∵∠DCA＝∠BCA＝45°，∴EQ＝EP.∴∠CEQ＝∠CEP＝45°.∴∠QEF ＋∠FEC＝45°，∠PED＋∠FEC＝45°. ∴∠QEF ＝∠PED.在△EQF 和△EPD 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠QEF＝∠PED，EQ ＝EP ，∠EQF ＝∠EPD，∴△EQF ≌△EPD(ASA)．∴EF＝ED. ∴矩形DEFG 是正方形．(2)在Rt △ABC 中，AC ＝2AB ＝4. ∵EC ＝2，∴AE ＝CE ＝2. ∴DE ⊥AC ，DE ＝EC.∴点F 与C 重合，此时△DCG 是等腰直角三角形． ∴CG ＝2.(3)∠EFC ＝130°或40°.第3课时 正方形的性质与判定的运用1．如图所示，在正方形ABCD 中，O 是对角线AC ，BD 的交点，过点O 作OE⊥OF，分别交AB ，BC 于E ，F.若AE ＝4，CF ＝3，则EF 的长为(C)A ．3B ．4C ．5D ．62．将n 个边长都为2的正方形按如图所示摆放，点A 1，A 2，…，A n 分别是正方形的中心，则这n 个正方形重叠部分的面积之和是(B)A．n B．n－1C．4(n－1) D．4n3．如图，边长为1的正方形ABCD的对角线交于点O，点E是边AB上一动点，点F在边BC上，且满足OE⊥OF，在点E由A运动到B的过程中，以下结论中正确的个数为(B)①线段OE的大小先变小后变大；②线段EF的大小先变大后变小；③四边形OEBF的面积先变大后变小．A．0 B．1 C．2 D．34．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是边BC，CD上的点，∠EAF＝45°，△ECF的周长为6，则正方形ABCD的边长为3．5．如图，已知正方形ABCD的边长为5，点E，F分别在AD，DC上，AE＝DF＝2，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连接GH，则GH26．如图，在正方形ABCD中，点P为AD延长线上一点，连接AC，CP，F为AB边上一点，满足CF⊥CP，AC＝3，3DP＝AB，则FP7．如图，正方形ABCD的边长为6，点E，F分别在AB，AD上．若CE＝35，且∠ECF＝45°，则CF的长为8．如图，已知在正方形ABCD中，点E，F分别为边BC与CD上的点，且∠EAF＝45°，AE与AF分别交对角线BD于点M，N，则下列结论正确的是①②④．①∠BAE＋∠DAF＝45°；②∠AEB＝∠AEF＝∠ANM；③BM＋DN＝MN；④BE＋DF＝EF.9．如图，E，F是正方形ABCD的边AD上的两个动点，满足AE＝DF，连接CF交BD于点G，连接BE交AG于点H.若正方形的边长为4，则线段DH长度的最小值是10．如图，已知正方形ABCD，M在CB延长线上，N在DC延长线上，∠MAN＝45°.求证：MN＝DN－BM.证明：在DN上截取DE＝MB，连接AE，∵四边形ABCD是正方形，∴AD ＝AB ，∠D ＝∠ABM＝90°. 在△ABM 和△ADE 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ，∠ABM ＝∠D，BM ＝DE ，∴△ABM ≌△ADE(SAS)． ∴AM ＝AE ，∠MAB ＝∠EAD. ∵∠MAN ＝∠MAB＋∠BAN＝45°， ∴∠DAE ＋∠BAN＝45°. ∴∠EAN ＝∠MAN＝45°.在△AMN 和△AEN 中，⎩⎪⎨⎪⎧AM ＝AE ，∠MAN ＝∠EAN，AN ＝AN ，∴△AMN ≌△AEN(SAS)． ∴MN ＝EN. ∵EN ＝DN －DE ， ∴MN ＝DN －BM.11．操作：将一把三角尺放在如图1的正方形ABCD 中，使它的直角顶点P 在对角线AC 上滑动，直角的一边始终经过点B ，另一边与射线DC 相交于点Q.探究：(1)如图2，当点Q 在DC 上时，求证：PQ ＝PB ；(2)如图3，当点Q 在DC 延长线上时，(1)中的结论还成立吗？简要说明理由．解：(1)证明：过点P 作PN⊥AB 于点N ，NP 延长线交CD 于点M ，在正方形ABCD 中，AB ∥CD ，∠ACD ＝45°， ∴∠PMQ ＝∠PNB ＝∠CBN＝90°. ∴四边形CBNM 是矩形．∴CM ＝BN ，△CMP 是等腰直角三角形． ∴PM ＝CM ＝BN.∵∠PBN ＋∠BPN＝90°，∠BPN ＋∠MPQ＝90°， ∴∠MPQ ＝∠PBN.在△PMQ 和△BNP 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠MPQ＝∠NBP，∠PMQ ＝∠BNP，PM ＝BN ，∴△PMQ ≌△BNP(AAS)． ∴PQ ＝PB.(2)(1)中结论成立．理由：过点P 作PN⊥AB 于点N ，NP 延长线交CD 于点M ， 在正方形ABCD 中，AB ∥CD ，∠ACD ＝45°， ∴∠PMQ ＝∠PNB＝∠CBN＝90°. ∴四边形CBNM 是矩形．∴CM ＝BN ，∴△CMP 是等腰直角三角形． ∴PM ＝CM ＝BN.∵∠PBN ＋∠BPN＝90°，∠BPN ＋∠MPQ＝90°， ∴∠MPQ ＝∠PBN.在△PMQ 和△BNP 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠MPQ＝∠NBP，∠PMQ ＝∠BNP，PM ＝BN ，∴△PMQ ≌△BNP(AAS)． ∴PQ ＝PB.12．如图，在正方形ABCD中，P是BC上一动点(不与B，C重合)：①CE平分∠DCF；②AP⊥PE；③AP＝EP.以此三个条件中的两个为条件，另一个为结论，可构成三个命题，即：①②⇒③，①③⇒②，②③⇒①.(1)试判断上述三个命题是否正确(直接作答)；(2)请选择一个你认为正确的命题给予证明．解：(1)上述三个命题均正确．(2)答案不唯一，选①③⇒②证明：在AB上截取AM＝CP，则BM＝BP.∴∠BMP＝∠BPM＝45°，∠AMP＝135°.∵CE平分∠DCF，∴∠DCE＝45°.∴∠ECP＝135°.过点A作AG⊥MP交MP的延长线于点G，过点P作PH⊥EC交EC的延长线于点H，∴∠AMG＝∠PCH＝45°，∠G＝∠H.∴△AGM≌△PHC(AAS)．∴AG＝PH.∵AP＝PE，∴Rt△AGP≌Rt△PHE(HL)．∴∠GPA＝∠PEH.∵∠BPM＝∠CPH＝45°，B，P，C三点共线，∴M，P，H三点共线．∵∠PEH＋∠EPH＝90°，∴∠GPA＋∠EPH＝90°.∴∠APE＝90°.∴AP⊥PE.。
人教版九年级数学上册圆一章正多边形和圆练习题及答案
初中数学试卷金戈铁骑整理制作九年级数学圆一章正多边形和圆练习题及答案一、课前预习 (5分钟训练)1.圆的半径扩大一倍，则它的相应的圆内接正n 边形的边长与半径之比( )A.扩大了一倍B.扩大了两倍C.扩大了四倍D.没有变化 2.正三角形的高、外接圆半径、边心距之比为( )A.3∶2∶1B.4∶3∶2C.4∶2∶1D.6∶4∶3 3.正五边形共有__________条对称轴，正六边形共有__________条对称轴. 4.中心角是45°的正多边形的边数是__________.5.已知△ABC 的周长为20,△ABC 的内切圆与边AB 相切于点D,AD=4,那么BC=__________. 二、课中强化(10分钟训练)1.若正n 边形的一个外角是一个内角的32时，此时该正n 边形有_________条对称轴. 2.同圆的内接正三角形与内接正方形的边长的比是( )A.26 B.43 C.36D.343.周长相等的正三角形、正四边形、正六边形的面积S 3、S 4、S 6之间的大小关系是( )A.S 3>S 4>S 6B.S 6>S 4>S 3C.S 6>S 3>S 4D.S 4>S 6>S 3 4.已知⊙O 和⊙O 上的一点A(如图24-3-1).(1)作⊙O 的内接正方形ABCD 和内接正六边形AEFCGH ；(2)在(1)题的作图中，如果点E 在弧AD 上，求证：DE 是⊙O 内接正十二边形的一边.图24-3-1三、课后巩固(30分钟训练)1.正六边形的两条平行边之间的距离为1，则它的边长为( )A.63 B.43 C.332 D.332.已知正多边形的边心距与边长的比为21，则此正多边形为( ) A.正三角形 B.正方形 C.正六边形 D.正十二边形 3.已知正六边形的半径为3 cm ，则这个正六边形的周长为__________ cm.4.正多边形的一个中心角为36度,那么这个正多边形的一个内角等于___________度.5.如图24-3-2，两相交圆的公共弦AB 为23，在⊙O 1中为内接正三角形的一边，在⊙O 2中为内接正六边形的一边，求这两圆的面积之比.图24-3-26.某正多边形的每个内角比其外角大100°，求这个正多边形的边数.7.如图24-3-3，在桌面上有半径为2 cm 的三个圆形纸片两两外切，现用一个大圆片把这三个圆完全覆盖，求这个大圆片的半径最小应为多少？图24-3-38.如图24-3-4，请同学们观察这两个图形是怎么画出来的？并请同学们画出这个图形(小组之间参与交流、评价).图24-3-49.用等分圆周的方法画出下列图案：图24-3-510.如图24-3-6(1)、24-3-6(2)、24-3-6(3)、…、24-3-6(n)，M、N分别是⊙O的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCDE…的边AB、BC上的点，且BM=CN，连结OM、ON.图24-3-6(1)求图24-3-6(1)中∠MON的度数；(2)图24-3-6(2)中∠MON的度数是_________，图24-3-6(3)中∠MON的度数是_________；(3)试探究∠MON 的度数与正n 边形边数n 的关系(直接写出答案).参考答案一、课前预习 (5分钟训练)1.圆的半径扩大一倍，则它的相应的圆内接正n 边形的边长与半径之比( )A.扩大了一倍B.扩大了两倍C.扩大了四倍D.没有变化 思路解析：由题意知圆的半径扩大一倍，则相应的圆内接正n 边形的边长也扩大一倍，所以相应的圆内接正n 边形的边长与半径之比没有变化. 答案：D2.正三角形的高、外接圆半径、边心距之比为( )A.3∶2∶1B.4∶3∶2C.4∶2∶1D.6∶4∶3 思路解析：如图，设正三角形的边长为a ，则高AD=23a ，外接圆半径OA=33a ，边心距OD=63a ， 所以AD ∶OA ∶OD=3∶2∶1. 答案：A3.正五边形共有__________条对称轴，正六边形共有__________条对称轴.思路解析：正n 边形的对称轴与它的边数相同. 答案：5 64.中心角是45°的正多边形的边数是__________.思路解析：因为正n 边形的中心角为n ︒360，所以45°=n︒360，所以n=8.答案：85.已知△ABC 的周长为20,△ABC 的内切圆与边AB 相切于点D,AD=4,那么BC=__________.思路解析:由切线长定理及三角形周长可得. 答案:6二、课中强化(10分钟训练)1.若正n 边形的一个外角是一个内角的32时，此时该正n 边形有_________条对称轴. 思路解析：因为正n 边形的外角为n ︒360，一个内角为nn ︒•-180)2(，所以由题意得n ︒360=32·nn ︒•-180)2(，解这个方程得n=5. 答案：52.同圆的内接正三角形与内接正方形的边长的比是( )A.26 B.43 C.36D.34思路解析：画图分析,分别求出正三角形、正方形的边长，知应选A. 答案：A3.周长相等的正三角形、正四边形、正六边形的面积S 3、S 4、S 6之间的大小关系是( )A.S 3>S 4>S 6B.S 6>S 4>S 3C.S 6>S 3>S 4D.S 4>S 6>S 3 思路解析：周长相等的正多边形的面积是边数越多面积越大. 答案：B4.已知⊙O 和⊙O 上的一点A(如图24-3-1).(1)作⊙O 的内接正方形ABCD 和内接正六边形AEFCGH ；(2)在(1)题的作图中，如果点E 在弧AD 上，求证：DE 是⊙O 内接正十二边形的一边.图24-3-1思路分析：求作⊙O 的内接正六边形和正方形，依据定理应将⊙O 的圆周六等分、四等分，而正六边形的边长等于半径；互相垂直的两条直径由垂径定理知把圆四等分.要证明DE 是⊙O 内接正十二边形的一边，由定理知，只需证明DE 所对圆心角等于360°÷12＝30°.(1)作法： ①作直径AC; ②作直径BD ⊥AC;③依次连结A 、B 、C 、D 四点, 四边形ABCD 即为⊙O 的内接正方形;④分别以A 、C 为圆心，OA 长为半径作弧，交⊙O 于E 、H 、F 、G; ⑤顺次连结A 、E 、F 、C 、G 、H 各点. 六边形AEFCGH 即为⊙O 的内接正六边形. (2)证明：连结OE 、DE. ∵∠AOD ＝4360︒＝90°，∠AOE ＝6360︒＝60°， ∴∠DOE ＝∠AOD －∠AOE ＝30°. ∴DE 为⊙O 的内接正十二边形的一边. 三、课后巩固(30分钟训练)1.正六边形的两条平行边之间的距离为1，则它的边长为( )A.63 B.43 C.332 D.33思路解析：正六边形的两条平行边之间的距离为1，所以边心距为0.5,则边长为33. 答案：D2.已知正多边形的边心距与边长的比为21，则此正多边形为( ) A.正三角形 B.正方形 C.正六边形 D.正十二边形 思路解析：将问题转化为直角三角形，由直角边的比知应选B. 答案：B3.已知正六边形的半径为3 cm ，则这个正六边形的周长为__________ cm.思路解析：转化为直角三角形求出正六边形的边长，然后用P 6＝6a n 求出周长.答案：184.正多边形的一个中心角为36度,那么这个正多边形的一个内角等于___________度.答案：144.5.如图24-3-2，两相交圆的公共弦AB 为23，在⊙O 1中为内接正三角形的一边，在⊙O 2中为内接正六边形的一边，求这两圆的面积之比.图24-3-2思路分析：欲求两圆的面积之比，根据圆的面积计算公式，只需求出两圆的半径R 3与R 6的平方比即可.解：设正三角形外接圆⊙O 1的半径为R 3，正六边形外接圆⊙O 2的半径为R 6，由题意得R 3=33AB ，R 6=AB ，∴R 3∶R 6＝3∶3.∴⊙O 1的面积∶⊙O 2的面积＝1∶3. 6.某正多边形的每个内角比其外角大100°，求这个正多边形的边数.思路分析：由正多边形的内角与外角公式可求. 解：设此正多边形的边数为n ，则各内角为n n ︒•-180)2(，外角为n︒360，依题意得n n ︒•-180)2(-n︒360＝100°.解得n ＝9. 7.如图24-3-3，在桌面上有半径为2 cm 的三个圆形纸片两两外切，现用一个大圆片把这三个圆完全覆盖，求这个大圆片的半径最小应为多少？图24-3-3思路分析：设三个圆的圆心为O 1、O 2、O 3，连结O 1O 2、O 2O 3、O 3O 1，可得边长为4 cm 的正△O 1O 2O 3，设大圆的圆心为O ，则点O 是正△O 1O 2O 3的中心，求出这个正△O 1O 2O 3外接圆的半径，再加上⊙O 1的半径即为所求.解：设三个圆的圆心为O 1、O 2、O 3，连结O 1O 2、O 2O 3、O 3O 1，可得边长为4 cm 的正△O1O2O3，则正△O1O2O3外接圆的半径为334cm，所以大圆的半径为334+2=3634(cm).8.如图24-3-4，请同学们观察这两个图形是怎么画出来的？并请同学们画出这个图形(小组之间参与交流、评价).图24-3-4答案：略.9.用等分圆周的方法画出下列图案：图24-3-5作法：(1)分别以圆的4等分点为圆心，以圆的半径为半径，画4个圆；(2)分别以圆的6等分点为圆心，以圆的半径画弧.10.如图24-3-6(1)、24-3-6(2)、24-3-6(3)、…、24-3-6(n)，M、N分别是⊙O的内接正三角形ABC、正方形ABCD、正五边形ABCDE、…、正n边形ABCDE…的边AB、BC上的点，且BM=CN，连结OM、ON.图24-3-6(1)求图24-3-6(1)中∠MON的度数；(2)图24-3-6(2)中∠MON的度数是_________，图24-3-6(3)中∠MON的度数是_________；(3)试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系(直接写出答案).答案：(1)方法一：连结OB、OC.∵正△ABC内接于⊙O，∴∠OBM=∠OCN＝30°，∠BOC=120°.又∵BM=CN，OB=OC，∴△OBM≌△OCN.∴∠BOM＝∠CON.∴∠MON=∠BOC=120°.方法二：连结OA、OB.∵正△ABC内接于⊙O，∴AB=AC，∠OAM=∠OBN=30°,∠AOB=120°.又∵BM＝CN，∴AM=BN.又∵OA=OB,∴△AOM≌△BON.∴∠AOM=∠BON.∴∠MON=∠AOB=120°.(2)90°72°(3)∠MON=n360.。