专题01 规律探索题研究(解析版)

专题一：规律探索题研究

【题型导引】

题型一：点坐标规律

（1）与变换相关的点的规律探寻；（2）与函数相关的点的规律探寻；（3）与其它因素相关的点的规律探寻等。

题型二：数字规律

（1）数学文化知识的拓展探寻数字规律；（2）与特殊图形引发的数字规律探寻；（3）与变换过程中的数字规律探寻。

题型三：图形规律

（1）与变换相关的图形规律；（2）不同操作形成的规律性图形研究；

【典例解析】

类型一：点坐标规律

例题1：（2019?湖北省鄂州市?3分）如图，在平面直角坐标系中，点A1、A2、A3…A n在x轴上，B1、B2、B3…B n

在直线y＝

3

3

x上，若A1（1，0），且△A1B1A2、△A2B2A3…△A n B n A n+1都是等边三角形，从左到右的小三角形

（阴影部分）的面积分别记为S1、S2、S3…S n．则S n可表示为（）

A．22n3B．22n﹣13C．22n﹣23D．22n﹣33

【解答】解：∵△A1B1A2、△A2B2A3…△A n B n A n+1都是等边三角形，

∴A1B1∥A2B2∥A3B3∥…∥A n B n，B1A2∥B2A3∥B3A4∥…∥B n A n+1，△A1B1A2、△A2B2A3…△A n B n A n+1都是等边三角形，

∵直线y 3

与x轴的成角∠B1OA1＝30°，∠OA1B1＝120°，

∴∠OB1A1＝30°，

∴OA1＝A1B1，

∵A1（1，0），

∴A1B1＝1，

同理∠OB2A2＝30°，…，∠OB n A n＝30°，

∴B2A2＝OA2＝2，B3A3＝4，…，B n A n＝2n﹣1，

易得∠OB1A2＝90°，…，∠OB n A n+1＝90°，

∴B1B2＝3，B2B3＝2 3，…，B n B n+1＝2n3，

∴S1＝1

2

×1×3＝

3

2

，S2＝

1

2

×2×23＝2 3，…，S n＝

1

2

×2n﹣1×2n3＝；

故选：D．

技法归纳：探索点的坐标变化规律时要注意：①逐一求出(或用字母表示出)相应点的坐标，直到探索出点的坐标变化规律为止；②确定起始点找到探寻方向；③抓住问题的关键点等；④探求出统一的表示形式．类型二：数式规律

例题2：（2019?四川省达州市?3分）a是不为1的有理数，我们把称为a的差倒数，如2的差倒数为＝﹣1，﹣1的差倒数＝，已知a1＝5，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数…，依此类推，a2019的值是（）

A．5 B．﹣C．D．

【解答】解：∵a1＝5，

a2＝＝＝﹣，

a3＝＝＝，

a4＝＝＝5，

…

∴数列以5，﹣，三个数依次不断循环，

∵2019÷3＝673，

∴a2019＝a3＝，

故选：D ．

技法归纳：(1)对于不是循环而有规律排列的数或式，根据前后数或式之间的关系，找出其与序列数n 之间的关系，探求其一般表达式；(2)对于循环产生的数或式，先找到其循环周期；(3)对于数阵的规律问题，先求出每行和每列的个数，并观察相邻数据的变化特点，进而得到该行或该列上的数与行列序数的关系． 第一步：标序数；第二步：对比式子与序号，即分别比较等式中各部分与序数(1，2，3，4，…，n)之间的关系，把其蕴含的规律用含序数的式子表示出来，通常方法是将式子进行拆分，观察式子中数字与序号是否存在倍数或者次方的关系；第三步：根据找出的规律得出第n 个等式，并进行检验． 类型三：图形规律

例题3：(2017·绥化中考)如图，顺次连接腰长为2的等腰直角三角形各边中点得到第1个小三角形，再顺次连接所得的小三角形各边中点得到第2个小三角形，如此操作下去，则第n 个小三角形的面积为 ．

【解析】记原来三角形的面积为S ，第一个小三角形的面积为S 1，第二个小三角形的面积为S 2，…. ∵S 1＝14·S＝122·S，S 2＝14·14S ＝1

24·S，

S 3＝1

26·S，

∴S n ＝

122n ·S＝122n ·12·2·2＝122n －1.故答案为12

2n －1. 技法归纳：首先应找出图形哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解． 【变式训练】

1. (2018·成都中考)已知a ＞0，S 1＝1a ，S 2＝－S 1－1，S 3＝1S 2，S 4＝－S 3－1，S 5＝1

S 4，…(即当n 为大于1的

奇数时，S n ＝1

S n －1

；当n 为大于1的偶数时，S n ＝－S n －1－1)，按此规律，S 2 018＝ ．

【解析】∵S 1＝1a ，S 2＝－S 1－1＝－1a －1＝－a ＋1a ，S 3＝1S 2＝－a a ＋1，S 4＝－S 3－1＝a a ＋1－1＝－1a ＋1，S 5＝

1

S 4＝－(a ＋1)，S 6＝－S 5－1＝(a ＋1)－1＝a ，S 7＝1S 6＝1

a ，…，

∴S n 的值每6个一循环．

∵2 018＝336×6＋2，∴S 2 018＝S 2＝－a ＋1

a

.

故答案为－a ＋1

a

.

2. (2018·安徽中考)观察以下等式： 第1个等式：11＋02＋11×0

2＝1，

第2个等式：12＋13＋12×1

3＝1，

第3个等式：13＋24＋13×2

4＝1，

第4个等式：14＋35＋14×3

5＝1，

第5个等式：15＋46＋15×4

6＝1，

…

按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第6个等式： ；

(2)写出你猜想的第n 个等式： (用含n 的等式表示)，并证明． 【解析】：(1)16＋57＋16×5

7

＝1

(2)根据题意，第n 个分式分母分别为n 和n ＋1，分子分别为1和n －1， 故答案为1n ＋n －1n ＋1＋1n ×n －1

n ＋1

＝1.

证明：1n ＋n －1n ＋1＋1n ×n －1n ＋1＝n ＋1＋n （n －1）＋（n －1）n （n ＋1）＝n 2

＋n n （n ＋1）

＝1，∴等式成立．

3. （2019?四川省广安市?3分）如图，在平面直角坐标系中，点A 1的坐标为（1，0），以OA 1为直角边作Rt△OA 1A 2，并使∠A 1OA 2＝60°，再以OA 2为直角边作Rt△OA 2A 3，并使∠A 2OA 3＝60°，再以OA 3为直角边作Rt△OA 3A 4，并使∠A 3OA 4＝60°…按此规律进行下去，则点A 2019的坐标为 （﹣2

2017，2

2017

3） ．

【解答】解：由题意得， A 1的坐标为（1，0），

A2的坐标为（1，

A3的坐标为（﹣2，，

A4的坐标为（﹣8，0），

A5的坐标为（﹣8，﹣），

A6的坐标为（16，﹣），

A7的坐标为（64，0），

…

由上可知，A点的方位是每6个循环，

与第一点方位相同的点在x正半轴上，其横坐标为2n﹣1，其纵坐标为0，

与第二点方位相同的点在第一象限内，其横坐标为2n﹣2，纵坐标为2n﹣，

与第三点方位相同的点在第二象限内，其横坐标为﹣2n﹣2，纵坐标为2n﹣，

与第四点方位相同的点在x负半轴上，其横坐标为﹣2n﹣1，纵坐标为0，

与第五点方位相同的点在第三象限内，其横坐标为﹣2n﹣2，纵坐标为﹣2n﹣，

与第六点方位相同的点在第四象限内，其横坐标为2n﹣2，纵坐标为﹣2n﹣，

∵2019÷6＝336…3，

∴点A2019的方位与点A23的方位相同，在第二象限内，其横坐标为﹣2n﹣2＝﹣22017，纵坐标为2，

故答案为：（﹣22017，2）．

4. (2018·滨州中考)观察下列各式：

1＋1

12＋

1

22

＝1＋

1

1×2

，

1＋1

22＋

1

32

＝1＋

1

2×3

，

1＋1

32＋

1

42

＝1＋

1

3×4

，

…

请利用你所发现的规律，

计算1＋1

12＋

1

22

＋1＋

1

22

＋

1

32

＋1＋

1

32

＋

1

42

＋ (1)

1

92

＋

1

102

，其结果为．

【解析】1＋112＋122＋1＋122＋132＋1＋132＋14

2 ＋…＋

1＋192＋110

2 ＝1＋11×2＋1＋12×3＋1＋13×4＋…＋1＋1

9×10

＝1×9＋1－12＋12－13＋13－14＋…＋19－110

＝9＋1－1

10

＝9910. 故答案为99

10

.

5. (2019?湖南益阳?4分)观察下列等式： ①3－22＝(2－1)2

，

②5－62＝(3－2)2

，

③7－122＝(4－3)2

，

…

请你根据以上规律，写出第6个等式 ． 【解答】解：写出第6个等式为13－242＝2

(76)- 故答案为13－242＝2

(76)-

6. （2019?黑龙江省齐齐哈尔市?3分）如图，直线l ：y ＝

x+1分别交x 轴、y 轴于点A 和点A 1，过点

A 1作A 1

B 1⊥l ，交x 轴于点B 1，过点B 1作B 1A 2⊥x 轴，交直线l 于点A 2；过点A 2作A 2B 2⊥l ，交x 轴于点B 2，过点B 2作B 2A 3⊥x 轴，交直线l 于点A 3，依此规律…，若图中阴影△A 1OB 1的面积为S 1，阴影△A 2B 1B 2的面积为S 2，阴影△A 3B 2B 3的面积为S 3…，则S n ＝ ．

【解答】解：直线l ：y ＝

x+1，当x ＝0时，y ＝1；当y ＝0时，x ＝﹣

∴A（﹣，0）A1（0，1）

∴∠OAA1＝30°

又∵A1B1⊥l，

∴∠OA1B1＝30°，

在Rt△OA1B1中，OB1＝?OA1＝，

∴S1＝；

同理可求出：A2B1＝，B1B2＝，

∴S2＝＝＝；

依次可求出：S3＝；S4＝；S5＝……

因此：S n＝

故答案为：．

7. （2019?山东潍坊?3分）如图所示，在平面直角坐标系xoy中，一组同心圆的圆心为坐标原点O，它们的半径分别为1，2，3，…，按照“加1”依次递增；一组平行线，l0，l1，l2，l3，…都与x轴垂直，相邻两直线的间距为l，其中l0与y轴重合若半径为2的圆与l1在第一象限内交于点P1，半径为3的圆与l2在第一象限内交于点P2，…，半径为n+1的圆与l n在第一象限内交于点P n，则点P n的坐标为．（n为正整数）

【解答】解：连接OP 1，OP 2，OP 3，l 1、l 2、l 3与x 轴分别交于A 1、A 2、A 3，如图所示： 在Rt△OA 1P 1中，OA 1＝1，OP 1＝2， ∴A 1P 1＝2

2

11OP OA -＝22

21-＝3，

同理：A 2P 2＝2

2

32-＝5，A 3P 3＝2

2

43-＝7，……，

∴P 1的坐标为（ 1，3），P 2的坐标为（ 2，5），P 3的坐标为（3，7），……， …按照此规律可得点P n 的坐标是（n ，2

2

(1)n n +-），即（n ，21n +） 故答案为：（n ，21n +）．

8. （2019?四川省达州市?11分）箭头四角形 模型规律

如图1，延长CO 交AB 于点D ，则∠BOC ＝∠1+∠B ＝∠A+∠C+∠B ．

因为凹四边形ABOC 形似箭头，其四角具有“∠BOC ＝∠A+∠B+∠C ”这个规律，所以我们把这个模型叫做“箭头四角形”． 模型应用

（1）直接应用：①如图2，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F ＝ 2α ．

②如图3，∠ABE 、∠ACE 的2等分线（即角平分线）BF 、CF 交于点F ，已知∠BEC ＝120°，∠BAC ＝50°，则∠BFC ＝ 85° ．

③如图4，BO i 、CO i 分别为∠ABO 、∠ACO 的2019等分线（i ＝1，2，3，…，2017，2018）．它们的交点从上到下依次为O 1、O 2、O 3、…、O 2018．已知∠BOC ＝m °，∠BAC ＝n °，则∠BO 1000C ＝ （

m+

n ） 度．

（2）拓展应用：如图5，在四边形ABCD 中，BC ＝CD ，∠BCD ＝2∠BAD ．O 是四边形ABCD 内一点，且OA ＝OB ＝OD ．求证：四边形OBCD 是菱形．

【解答】解：（1）①如图2，

在凹四边形ABOC中，∠A+∠B+∠C＝∠BOC＝α，

在凹四边形DOEF中，∠D+∠E+∠F＝∠DOE＝α，

∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝2α；

②如图3，

∵∠BEC＝∠EBF+∠ECF+∠F，∠F＝∠ABF+∠ACF+∠A，且∠EBF＝∠ABF，∠ECF＝∠ACF，∴∠BEC＝∠F﹣∠A+∠F，

∴∠F＝，

∵∠BEC＝120°，∠BAC＝50°，

∴∠F＝85°；

③如图3，

由题意知∠ABO1000＝∠ABO，∠OBO1000＝∠ABO，

∠ACO1000＝∠ACO，∠OCO1000＝∠ACO，

∴∠BOC＝∠OBO1000+∠OCO1000+∠BO1000C＝（∠ABO+∠ACO）+∠BO1000C，

∠BO1000C＝∠ABO1000+∠ACO1000+∠BAC＝（∠ABO+∠ACO）+∠BAC，

则∠ABO+∠ACO＝（∠BO1000C﹣∠BAC），

代入∠BOC＝（∠ABO+∠ACO）+∠BO1000C得∠BOC＝×（∠BO1000C﹣∠BAC）+∠BO1000C，解得：∠BO1000C＝（∠BOC+∠BAC）＝∠BOC+∠BAC，

∵∠BOC＝m°，∠BAC＝n°，

∴∠BO1000C＝m°+n°；

故答案为：①2α；②85°；③（m+n）；

（2）如图5，连接OC，

∵OA＝OB＝OD，

∴∠OAB＝∠OBA，∠OAD＝∠ODA，

∴∠BOD＝∠BAD+∠ABO+∠ADO＝2∠BAD，

∵∠BCD＝2∠BAD，

∴∠BCD＝∠BOD，

∵BC＝CD，OA＝OB＝OD，OC是公共边，

∴△OBC≌△ODC（SSS），

∴∠BOC＝∠DOC，∠BCO＝∠DCO，

∵∠BOD＝∠BOC+∠DOC，∠BCD＝∠BCO+∠DCO，∴∠BOC＝∠BOD，∠BCO＝∠BCD，

又∠BOD＝∠BCD，

∴∠BOC＝∠BCO，

∴BO＝BC，

又OB＝OD，BC＝CD，

∴OB＝BC＝CD＝DO，

∴四边形OBCD是菱形．