数学：8.3《平方差公式与完全平方公式》课件1(沪科版七年级下)
2 2
(3 x 5 y )( 3 x 5 y ) 9 x 25 y (5 y 3 x)( 5 y 3 x ) 9 x 25 y
2
快速计算:
例2 用平方差公式计算:
=(100+3)(100- 3)=100² 3² =10000-9=9991
(1) 103×97
(2)59.8×60.2
=(60- 0.2)(60+0.2) =60² 0.2² -
=3600-0.04
=3599.96
2+1)(24+1)(28+1)+1 (2+1)(2
1、 通过本节课学习，你学到了什么? 2. 3. 4. 你认为平方差公式的用处是什么? 怎么使用平方差公式? 你还有什么疑惑?
大胆猜想
(a b)(a b) __________ a b
2 2
两数和 两数差
两数平方差
平 方 差 公 式
两数和与这两数差的积等 于这两数的平方差
概括总结
平方差公式 ( a b )( a b ) a b
2 2
平方差公式的特征： （1）等号左边是两个 数(字母)的和乘以这两 个数(字母)的差. （2）等号右边是这两 个数(字母)的平方差.
(1) (a 2)(a 2) a 4 a 2
2
2
2
(2) (3 x)(3 x) 9 x 32 x 2
2
(3) (2m n)(2m n) 4m n
2
2
2
2
比较等号两边的式子，等号 的左边有什么特征？等号的 右边有什么特征？
(2m) n
(3) (4k 3)(4k 3) (4) (1 x)( x 1)
1 1 (5) x y x 2 4 y
能 力 提 高
(1) (2) (3)
(3 x 5 y )( 3 x 5 y ) 9 x 25 y
2 2 2
公式中的字母的意义很 广泛,可以代表常数,单项 式或多项式
注：必须符合平方差
公式特征的代数式才能 用平方差公式
做一做
下图是一个边长为 a 的大正方形, 割去一个边长为b 的小正方形.小明 将绿色和黄色两部分拼成一个长方形. 问:小明能拼成功吗?
a a
b
解决问题
a a a b
aபைடு நூலகம்b
b
b
(a b)(a b) 长方形的面积为：_________________
a b 原图实际面积为：________________
2 2
(a b)(a b) a b
2
2
练一练
算式
(x+5)(x-5) (2-3x)(2+3x) (-2m+3n)(2m+3n)
(a b)(a b) a b
2
2
阅读算式，按要求填写下面的表格
与平方差 与平方差 写成“a2-b2” 公式中a 公式中b 的形式 对应的项 对应的项
课后作业：
P67 习题8.3 第2题
8.3 平方差公式
请先计算下列各题：
a 4 (1) (a 2)(a 2) ______________;
2
9 x (2) (3 x)(3 x) ______________;
2
4m n (3) (2m n)(2m n) ___________;
2 2
观察等式
x 2
5 3x
x 5
2
2
2
2
2 3x
3n
2m
(3n)² -(2m)²
例1 运用平方差公式计算:
(1) ( 2a 3b)( 2a 3b)
(2)
1 1 ( b a)( b a) 2 2
练一练
(1) (2 a)(a 2) (2) (3a 2b)(3a 2b)
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【2021年】沪科版七年级数学下册8.3 完全平方公式与平方差公式 完全平方公式 课件(共27张PPT)
4.公式中的字母a，b可以表示数，单项式 和多项式。
说一说
语言表述:
(a+b)2= a2 +2ab+b2
两数和(差)的平方 等于
(a-b)2= a2 - 2ab+b2
这两数的平方和
加上(减去)这两数乘积的两倍。
用自己的语 言叙述上面
的公式
下面各式的计算是否正确？如果不正确， 应当怎样改正？
(1) (x+y)2=x2+y2 (2)(x-y)2 =x2 -y2
(1)(a+1)2=( a )2+2( a )( 1 )+( 1 )2
=( a2+2a+1
)
(2)(2a － 3b)2=(2a )2 － 2( 2a )( 3b )+(3b )2
=( 4a2 – 12ab + 9b2
)
算一算 1.(3x+7y)2 = 2.(-2a+3b)2=
今天是星期五,你 知道992后的今天是星 期几吗? 5022呢?
(a-b)2 =
a 2 - ab -
= a2 - ab - ab + b2 = a2 - 2ab + b2
b(a-b)
(a-b)2 b(a-b)
a2
ab
a-b
b
a
b(a-b)
ab
(a-b)2= a2 - 2ab + b 2
(a-b)2 =
a 2 - b (a-b) - b (a-b) - b2
= a2 - ab + b2 - ab + b2 - b2= a2 - 2ab + b2
谢谢
a b
沪科版七年级数学下册第八章《完全平方公式与平方差公式(3)》优课件
课堂练习：计算：
(1)(2m+5)(2m-5)(4m2-25) (2)(a-b-2c)(a+b+2c) (3)(3a+1)2(3a-1)2 (4)(a-3b+c)2
已知:a+b=5,ab=-6,求下列各式的值
(1)(a+b)2
(2)a2+b2
若条件换成a-b=5,ab=-6,你能求出a2+b2 的值吗?
选做题：第9题
家庭作业：《基训》同步
•1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年2月14日星期一2022/2/142022/2/142022/2/14 •2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那些善于独 立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年2月2022/2/142022/2/142022/2/142/14/2022 •3、书籍—通过心灵观察世界的窗口.住宅里没有书,犹如房间里没有窗户。2022/2/142022/2/14February 14, 2022 •4、享受阅读快乐，提高生活质量。2022/2/142022/2/142022/2/142022/2/14
解：(1)(x+2y)(x-2y)(x2+4y2)
=（x2-4y2)(x2+4y2) =x4-16y4
(2)(2m-3n)2(2m+3n)2 =[(2m-3n)(2m+3n)]2 =(4m2-9n2)2 =16m4-72m2n2+81n4
(3)(a-b)3 =(a-b)(a-b)2 =(a-b)(a2-2ab+b2) =a3-2a2b+ab2-a2b+2ab2-b3 =a3-3a2b+3ab2-b3
沪科版七年级数学下册第八章8.3完全平方公式与平方差公式PPT课件全套
头(乘)尾两倍在中央，
中间符号照原样．
（来自《点拨》）
知1－讲
例1 利用乘法公式计算： (1)(2x＋y)2. (2)(3a－2b)2.
解： 运用公式计算，要先识别a，b在具体式子中分别表示什么.
(1)(2x＋y)2＝(2x)2＋2· (2x)y＋y2
(a ＋b)2＝ a2 ＋ 2 a b＋b2 ＝4x2＋4xy＋y2. (2)(3a－2b)2＝(3a)2－2· (3a)(2b)＋(2b)2 (a － b )2 ＝ a 2 － 2 a b ＋ b2.
知1－练
1
计算： 2 1 (1) (2)(a＋b)(－a－b)； －2a－ 2 b ； (3)(3m－2n)(2n－3m)．
（来自《点拨》）
2
给多项式4x2＋1加上一个单项式，使它成为一个完 全平方式，则加上的单项式不可以是( A．4x C．4x4 B．－4x D．－4x4
（来自《典中点》）
（来自《教材》）
＝9a2－12ab＋4b2.
知1－讲
总
结
在应用公式(a±b)2＝a2±2ab＋b2时关键是弄清 题目中哪一个相当于公式中的a，哪一个相当于公式 中的b，同时还要确定是用两数和的完全平方公式还
是两数差的完全平方公式；解(1)(2)题时还用到了互
为相反数的两数的平方相等．
（来自《点拨》）
b2的和(差)．
（来自《点拨》）
知3－讲
例3 (1)若(x－5)2＝x2＋kx＋25，则k的取值是多少？ (2)先化简，再求值：
(1＋a)(1－a)＋(a－2)2，其中a＝－3；
(3)已知x2－4x＋1＝0， 求代数式(2x－3)2－(x＋y)(x－y)－y2的值． 导引： 对于(1)把左边的式子展开后对比各项，可得解；
沪科版七年级数学下册第八章《完全平方公式与平方差公式》公开课课件1
原来
现在
5米
(a+5)米
a a米
2
(a-5) (a+5)(a-5)
5米
a2 相等吗？a2－25
算一算，比一比，看谁算得又快又准
计算下列各题 ①（x ＋ 4)( x－4）
②（1 ＋ 2a)( 1－2a）
③（m＋ 6n)( m－6n）
④（5y ＋ z)(5y－z）
①（x ＋ 4)( x－4）=x2 － 16 x2 － 42
两数差的平方,等于它们的平方和,减它们的积的2倍.
这两个公式叫做(乘法的)完全平方公式.
完全平方公式 (a+b)2= a2 +2ab+b2
公式特Байду номын сангаас：
(a-b)2= a2 - 2ab+b2
1、积为二次三项式； 2、积中两项为两数的平方和；
3、另一项是两数积的2倍，且与乘式中间的符号相同. 4、公式中的字母a，b可以表示数，单项式和多项式.
完全平方公式与平方差公式
完全平方公式
探究 计算下列各式,你能发现什么规律? (1)(p+1)2 = (p+1) (p+1) = _p2_+_2_p_+_1； (2)(m+2)2= _m__2+_4_m__+_4_; (3)(p-1)2 = (p-1 ) (p-1) = __p_2-_2_p_+_1_; (4) (m-2)2 = __m_2_-4_m_+_4___.
完全平方差公式：
b a
ab
(ab)2 a 2 ababb2
a22abb2
练习： 利用完全平方公式计算：
(1) (2x−3)2 ； (2) (4x+5y)2 ;
沪科版数学七年级下完全平方公式与平方差公式(第1课时,完全平方公式)课件
+(
=
)2
（4）原式=（2a）2-2·2a·5+52
2
y +y+
=4a2-20a+25
注意每一项系数
例2.运用完全平方公式计算:
（1）(-2s+t)2
解:
（2） (-2x-1)2
（1）(-2s+t)2= (t-2s)²
= t² -2·2s·t +(2s)2
=t2-4st+4s2
=(2x+1)2
2
2
口诀：首平方，尾平方，首尾两倍中间放
( a b) a 2ab b
2
2
2
在解题过程中要准确确定a和b、对照公式原形的两边, 做到不
丢项、不弄错符号、2ab时不少乘2；
巩固练习
（1） ( 2a
3)
2
（2）
1
(3
t)2
3
（3）
(b 3)
思考： （1）完全平方展开有几项？
2
（4）
( 2 a 3 y ) 2
（5）
(0.5m 0.2n) 2
（6）
(1 3x)(3x 1)
（2）每一项的符号特征？
相信你能行
课堂练习：
1、计算：
(1)(a
2
1 2
沪科版数学七年级下
8.3完全平方公式与平方差公式
第一课时
完全平方公式
知识回顾
1、多项式乘以多项式的 根据是什么？
——分配率
2、如何进行多项式与多项式乘法运算？
(m+b)(n+a)= mn
+ ma + bn + ba
七年级数学下册 8.3 完全平方公式与平方差公式1 沪科版
17
完全平方公式 ◆公式中的a、b可以表示什么？能否举出 例子？
11
巩固练习：以下各式能否运用平方差公式进行 计算？若能，请指出各式中的a、b？
⑴（2x+1)(x-1) ⑵（2a+5b)(2a-5b) ⑶(-x+y)(-x-y) ⑷ (y-2x)(-2x-y) ⑸（x2+9)(x2-9) (6)(2a+b+1)(2a+b-1) （7）（a+b+c+d)(a+b-c-d)
这时的场地面积为多大？若其
边长减少b m呢？
b
b
a
b
a
(a-b)2 2
• 问题2．
一个边长为a m的正方形，在它的一角 处去掉一个边长为b m的正方形（b＜a）， 剩下的部分可以分割成两个梯形，这两个梯 形的面积之和是多少？
b
a
-
b
a
a
b
ba
(a-b)(a+b)
3
请同学们用多项式与多项式的乘法法则做一做
(a –b )(a+ b )= a2 - b 2
14
练习 利用乘法公式计算，每个同学可选做一题。 1． （1）(x+3)(x-3)
(2) (x+4)²
2. (1) （2a+5b)(2a-5b) (2) (2x-5y)²
3. (1) (2a+b+1)(2a+b-1)
(2) (2a+b+1)²
15
总结
16
总结３．运用乘法公式进行计算，需 要注意些什么？
(1)要先辨认一下这个式子符合哪个公式的结构
(2)再识别公式中的a、b在具体式子中分别表示 什么. 作业 探究：你能举出多少种不同类型的能用
完全平方公式 ◆公式中的a、b可以表示什么？能否举出 例子？
11
巩固练习：以下各式能否运用平方差公式进行 计算？若能，请指出各式中的a、b？
⑴（2x+1)(x-1) ⑵（2a+5b)(2a-5b) ⑶(-x+y)(-x-y) ⑷ (y-2x)(-2x-y) ⑸（x2+9)(x2-9) (6)(2a+b+1)(2a+b-1) （7）（a+b+c+d)(a+b-c-d)
这时的场地面积为多大？若其
边长减少b m呢？
b
b
a
b
a
(a-b)2 2
• 问题2．
一个边长为a m的正方形，在它的一角 处去掉一个边长为b m的正方形（b＜a）， 剩下的部分可以分割成两个梯形，这两个梯 形的面积之和是多少？
b
a
-
b
a
a
b
ba
(a-b)(a+b)
3
请同学们用多项式与多项式的乘法法则做一做
(a –b )(a+ b )= a2 - b 2
14
练习 利用乘法公式计算，每个同学可选做一题。 1． （1）(x+3)(x-3)
(2) (x+4)²
2. (1) （2a+5b)(2a-5b) (2) (2x-5y)²
3. (1) (2a+b+1)(2a+b-1)
(2) (2a+b+1)²
15
总结
16
总结３．运用乘法公式进行计算，需 要注意些什么？
(1)要先辨认一下这个式子符合哪个公式的结构
(2)再识别公式中的a、b在具体式子中分别表示 什么. 作业 探究：你能举出多少种不同类型的能用
七年级数学沪科版下册第1课时完全平方公式课件
课堂小结
1. 完全平方公式
（a+b)2= a2+2ab+b2
（a-b)2= a2-2ab+b2
两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减
去）它们的积的2倍.这两个公式叫作完全平方公式.
课堂小结
公式特征：
1.积为二次三项式；
2.积中的两项为两数的平方；
3.另一项是两数积的2倍，且与乘式中间的符号相同.
方，末平方，首末两倍中间放”．
新知讲授
公式特征：
1.积为二次三项式；
2.积中的两项为两数的平方；
3.另一项是两数积的2倍，且与乘式中间的符号相同.
4.公式中的字母a，b可以表示数，单项式和多项式.
新知讲授
2. 完全平方式的计算
利用完全平方公式计算：
(1)(5－a)2.
＝1，4xy＝9－1＝8，∴xy＝2，
∴
＋
+ + −
= =
=
；
(2)∵(x＋y)2＝9，xy＝2，∴(x2＋1)(y2＋1)＝x2y2＋y2＋x2＋1＝
x2y2＋(x＋y)2－2xy＋1＝22＋9－2×2＋1＝10.
随堂练习
1.计算：运用乘法公式计算: (a+b－5)2.
解：原式= [(a+b)－5]2
= (a+b)2－10(a+b)+52
= a2+2ab+b2－10a－10b+25
随堂练习
2.思考：怎样计算1022更简便呢？
解：原式= (100+2)2
=10000+400+4
完全平方公式与平方差公式第1课时课件初中数学沪科版七年级下册
(a-b)2=a2-2ab+b2
语言描述： 两个数的和(或差)的平方，等于这两个数的平方和，加(或减)
这两个数乘积的2倍. 公式推广： 1.(-a-b)2=(a+b)2,(b-a)2=(a-b)2；
2.a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab；
3.4ab=(a+b)2-(a-b)2.
四、典型例题
例3.运用完全平方公式计算：
(1)1022 ；
(2)992 .
分析：为方便计算，这里的102可看作100+2,99可看作100-1.
解： (1)原式=(100+2)2 =1002+2×100×2+22
(2)原式=(100-1)2 =1002-2×100×1+12
=10000+400+4 =10404；
（2）(a-4)2 ；
（4）(
1 2
x+
2 3
y)2
.
解： (1)原式=x2+2·x·3+32=x2+6x+9； (2)原式=a2-2·a·4+42=a2-8a+16；
(3)原式=(2x)2-2×5·(2x)+52=4x2-20x+25；
(4)原式=( 1 x)2+2·( 1 x)·( 2 y)+( 2 y)2= 1 x2+ 2 xy+ 4 y2.
(2-b)2=[-(b-2)]2 =(b-2)2 =b2-4b+4
归纳：(-a-b)2=(a+b)2,(b-a)2=(a-b)2.
【当堂检测】
3．运用完全平方公式计算 (1)(-2x-3)2
第8章完全平方公式与平方差公式(第3课时乘法公式的应用)教学课件--沪科版初中数学七年级(下)
(1)(x＋y－z＋1)(x－y＋z＋1)；
(2)(a－b－c)2.
解：(1)原式＝[(x＋1)＋(y－z)][(x＋1)－(y－z)]
＝(x＋1)2－(y－z)2
＝x2＋2x＋1－y2＋2yz－z2.
(2)原式＝2＋b2＋c2 －2ab＋2bc－2ac.
随堂训练
3.若a+b=5，ab=-6，求a2+b2，a2-ab+b2.
解：∵a+b=5，ab=-6，
∴a2+b2=（a+b)2-2ab=52-2×(-6)=37；
a2-ab+b2=a2+b2-ab=37-(-6)=43.
4.已知x+y=8，x-y=4，求xy.
解：∵x+y=8，∴(x+y)2=64，即x2+y2+2xy=64①.
都不变符号;如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改
变符号（简记为“负变正不变”）.
知识讲授
例1 运用乘法公式计算:
(1) (x+2y-3)(x-2y+3) ;
解：
(1) (x+2y-3)(x-2y+3)
=[x+(2y–3)][x-(2y-3)]
=
x2-(2y-3)2
(2) (a+b+c)2.
（2）(a+b+c)2
知识讲授
如何用乘法公式求 + + ？
去括号法则：
a+(b+c) = a+b+c;
先变形
a- (b+c) = a - b – c.
反过来，就得到添括号法则：
a + b + c = a + ( b + c) ;
(2)(a－b－c)2.
解：(1)原式＝[(x＋1)＋(y－z)][(x＋1)－(y－z)]
＝(x＋1)2－(y－z)2
＝x2＋2x＋1－y2＋2yz－z2.
(2)原式＝2＋b2＋c2 －2ab＋2bc－2ac.
随堂训练
3.若a+b=5，ab=-6，求a2+b2，a2-ab+b2.
解：∵a+b=5，ab=-6，
∴a2+b2=（a+b)2-2ab=52-2×(-6)=37；
a2-ab+b2=a2+b2-ab=37-(-6)=43.
4.已知x+y=8，x-y=4，求xy.
解：∵x+y=8，∴(x+y)2=64，即x2+y2+2xy=64①.
都不变符号;如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改
变符号（简记为“负变正不变”）.
知识讲授
例1 运用乘法公式计算:
(1) (x+2y-3)(x-2y+3) ;
解：
(1) (x+2y-3)(x-2y+3)
=[x+(2y–3)][x-(2y-3)]
=
x2-(2y-3)2
(2) (a+b+c)2.
（2）(a+b+c)2
知识讲授
如何用乘法公式求 + + ？
去括号法则：
a+(b+c) = a+b+c;
先变形
a- (b+c) = a - b – c.
反过来，就得到添括号法则：
a + b + c = a + ( b + c) ;
沪科版数学七年级下完全平方公式与平方差公式(第1课时)课件
问题2：根据你发现的规律，你能写出下列式子的答案吗？ (a+b)2= a2+2ab+b2 . (a–b)2= a2–2ab+b2 .
探究新知
完全平方公式
(a+b)2= a2+2ab+b2 . (a–b)2= a2–2ab+b2 .
也就是说，两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和， 加上(或减去)它们的积的2倍.这两个公式叫做(乘法的)完全平 方公式.
(3)(–3a＋b)2＝9a2–6ab＋b2.
探究新知
素养考点 2 利用完全平方公式进行简便计算
例2 运用完全平方公式计算：
(1) 1022；
(2) 992.
解： 1022 = (100+2)2 =10000+400+4 =10404.
992 = (100 –1)2 =10000 –200+1
=9801.
∵x–y=4， ∴(x–y)2=16，即x2+y2–2xy=16②; 由①–②得4xy=48 ∴xy=12.
课堂小结
法则
完全 平方 公式
注意
(a±b)2= a2±2ab+b2
1.项数、符号、字母及其指数
2.不能直接应用公式进行计算的式子，可能需要先添括号变形成符 合公式的要求才行
3.弄清完全平方公式和平方差公式不同(从公式结构特点及结果两 方面)
(4) (2x+y)2 =4x2 +2xy +y2 × (2x +y)2 =4x2+4xy +y2
探究新知
素养考点 1 利用完全平方公式进行计算
例1 运用完全平方公式计算：
(1)(4m+n)2；
探究新知
完全平方公式
(a+b)2= a2+2ab+b2 . (a–b)2= a2–2ab+b2 .
也就是说，两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和， 加上(或减去)它们的积的2倍.这两个公式叫做(乘法的)完全平 方公式.
(3)(–3a＋b)2＝9a2–6ab＋b2.
探究新知
素养考点 2 利用完全平方公式进行简便计算
例2 运用完全平方公式计算：
(1) 1022；
(2) 992.
解： 1022 = (100+2)2 =10000+400+4 =10404.
992 = (100 –1)2 =10000 –200+1
=9801.
∵x–y=4， ∴(x–y)2=16，即x2+y2–2xy=16②; 由①–②得4xy=48 ∴xy=12.
课堂小结
法则
完全 平方 公式
注意
(a±b)2= a2±2ab+b2
1.项数、符号、字母及其指数
2.不能直接应用公式进行计算的式子，可能需要先添括号变形成符 合公式的要求才行
3.弄清完全平方公式和平方差公式不同(从公式结构特点及结果两 方面)
(4) (2x+y)2 =4x2 +2xy +y2 × (2x +y)2 =4x2+4xy +y2
探究新知
素养考点 1 利用完全平方公式进行计算
例1 运用完全平方公式计算：
(1)(4m+n)2；