三角形的中位线习题精讲精析
北师大版八年级数学下册6.4《三角形的中位线》知识点精讲
、定理1.三角形的中位线平行于第三边(不与中位线接触)，并且等于第三边的一半。
2.连接三角形两边中点的线段，叫做三角形的中位线。
逆定理逆定理一：在三角形内，与三角形的两边相交，平行且等于三角形第三边一半的线段是三角形的中位线。
逆定理二：在三角形内，经过三角形一边的中点，且与另一边平行的线段，是三角形的中位线。
注意：在三角形内部，经过一边中点，且等于第三边一半的线段不一定是三角形的中位线。
（微课精讲）三角形中的三条重要线段：中线、角平分线、高线概念中线在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线（median）。
三角形的三条中线交于一点，这点称为三角形的重心。
如图，AD是边BC上的中线，BE是边AC上的中线，CF是边AB上的中线三条中线交于点O，点O称为△A BC的重心角平分线在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
如图，AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，CF平分∠ACB，三角形三条角平分线交于点O点O称为△ABC的内心高线从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，定点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高。
如图，AD⊥BC，BE⊥AC，CF⊥AB三角形三条高线交于点O点O称为△ABC的垂心以上是我们在初一时所学的三角形三条重要线段，今天，我们将学习三角形中第四条重要的线段——中位线（知识点精讲)中位线概念：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线性质：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半。
如图，E、F分别是三角形AB、AC边上的中点，所以，EF是三角形BC 边所对的中位线，则EF∥BC且EF=1/2BC三角形的中位线衍生出很多重要的图形，其中最重要的就是中点四边形（微课堂精讲）中点四边形任意画一个四边形，以四边形的中点为顶点组成一个新四边形，这个新四边形称为——中点四边形中点四边形一定是平行四边形证明：连接AC因为E、F分别为AB、BC的中点，所以EF平行且等于AC的一半同理，GH平行且等于AC的一半因此，EF∥HG，EF=HG所以，四边形EFGH是平行四边形思考：四边形ABCD满足什么条件时，四边形EFGH是菱形？矩形？正方形？三角形中位线的解题策略三角形的中位线定理，既有线段的位置关系，又有线段的数量关系，它是一个在三角形中遇到中点，必须联想到的重要定理之一。
中位线经典题型解析
《中位线》专题练习参考答案与试题解析一．选择题（共5小题）1．（2013•淄博）如图，△ABC的周长为26，点D，E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为P，若BC=10，则PQ的长为（）A．B．C．3D．4考点：三角形中位线定理；等腰三角形的判定与性质．专题：压轴题．分析：首先判断△BAE、△CAD是等腰三角形，从而得出BA=BE，CA=CD，由△ABC的周长为26，及BC=10，可得DE=6，利用中位线定理可求出PQ．解答：解：∵BQ平分∠ABC，BQ⊥AE，∴△BAE是等腰三角形，同理△CAD是等腰三角形，∴点Q是AE中点，点P是AD中点（三线合一），∴PQ是△ADE的中位线，∵BE+CD=AB+AC=26﹣BC=26﹣10=16，∴DE=BE+CD﹣BC=6，∴PQ=DE=3．故选C．点评：本题考查了三角形的中位线定理，解答本题的关键是判断出△BAE、△CAD是等腰三角形，利用等腰三角形的性质确定PQ是△ADE的中位线．2．（2009•绍兴）如图，D，E分别为△ABC的AC，BC边的中点，将此三角形沿DE折叠，使点C落在AB边上的点P处．若∠CDE=48°，则∠APD等于（）A．42°B．48°C．52°D．58°考点：三角形中位线定理；翻折变换（折叠问题）．专题：操作型．分析：由翻折可得∠PDE=∠CDE，由中位线定理得DE∥AB，所以∠CDE=∠DAP，进一步可得∠APD=∠CDE．解答：解：∵△PED是△CED翻折变换来的，∴△PED≌△CED，∴∠CDE=∠EDP=48°，∵DE是△ABC的中位线，∴DE∥AB，∴∠APD=∠CDE=48°，故选B．点评：本题考查三角形中位线定理的位置关系，并运用了三角形的翻折变换知识，解答此题的关键是要了解图形翻折变换后与原图形全等．3．（2010•威海）如图，在△ABC中，D，E分别是边AC，AB的中点，连接BD．若BD 平分∠ABC，则下列结论错误的是（）A．B C=2BE B．∠A=∠EDA C．B C=2AD D．B D⊥AC考点：三角形中位线定理．分析：根据D，E分别是边AC，AB的中点，得出DE是△ABC的中位线，所以DE∥BC 且BC=2DE；又BD平分∠ABC，所以∠CDB=∠DBE=∠BDE，所以BE=DE=AE，所以AB=2DE，所以AB=BC，即可得出B、D选项正确．解答：解：∵D，E分别是边AC，AB的中点，∴DE∥BC且BC=2DE，∵BD平分∠ABC，∴∠CBD=∠DBE=∠BDE，∴BE=DE=AE，∴AB=2DE，BC=2DE=2BE，故A正确；∴AB=BC，∴∠A=∠C=∠EDA，故B正确；C、∵AE=DE，与AD不一定相等，故本选项不一定成立；D、∵AB=BC，点D是AC的中点，∴BD⊥AC，故本选项正确．故选C．点评：本题利用三角形的中位线定理、角平分线的性质和平行线的性质推出等角，得到等腰三角形是解题的关键．4．如图，△ABC中，AB=8cm，AC=5cm，AD平分∠BAC，且AD⊥CD，E为BC中点，则DE=（）A．3cm B．5cm C．2.5cm D．1.5cm考点：三角形中位线定理．分析：延长CD交AB于F点．根据AD平分∠BAC，且AD⊥CD，证明△ACD≌△AFD，得D是CF的中点；又E为BC中点，所以DE是△BCF的中位线，利用中位线定理求解．解答：解：延长CD交AB于F点．∵AD平分∠BAC，∴∠FAD=∠CAD；∵AD⊥CD，∴∠ADF=∠ADC；又AD=AD，∴△ACD≌△AFD，∴CD=DF，AF=AC=5cm．∵E为BC中点，BF=AB﹣AF=8﹣5=3，∴DE=BF=1.5（cm）．故选D．点评：此题关键是作辅助线构造全等三角形，证明D是CF的中点，从而证明DE是三角形的中位线，运用中位线定理求解．5．如图，△ABC中，D为BC中点，E为AD的中点，BE的延长线交AC于F，则为（）A．1：5 B．1：4 C．1：3 D．1：2考点：相似三角形的判定与性质．分析：过D作BF的平行线，交AC边于G，即：DG∥BF，又D为BC中点可得出：△CDG∽△CBF，即：==，CG=FC=FG；同理可得：△AEF∽△ADG，AF=AG=FG，所以AF=FG=GC，即：==．解答：解：过D作BF的平行线，交AC边于G，如下图所示：∵D为BC中点，DG∥BF∴∠CGD=∠CFB又∵∠C=∠C∴△CDG∽△CBF∴==，即：CG=CF=FG又E为AD的中点，BE的延长线交AC于F，DG∥BF同理可得：△AEF∽△ADG∴==，即：AF=AG=FG∴AF=FG=GC∴===1：2故选：D．点评：本题主要考查相似三角形的判定与性质，关键在于找出条件判断两个三角形相似，再运用相似三角形的性质求解．二．解答题（共3小题）6．如图，在四边形ABCD中，AD=BC，E、F、G分别是AB、CD、AC的中点，若∠DAC=20°，∠ACB=66°，求∠FEG的度数．考点：三角形中位线定理．分析：根据中位线定理和等腰三角形等边对等角的性质求解即可．解答：解：∵AD=BC，E，F，G分别是AB，CD，AC的中点，∴GF是△ACD的中位线，GE是△ACB的中位线，又∵AD=BC，∴GF=GE，∠FGC=∠DAC=20°，∠AGE=∠ACB=66°，∴∠FGE=∠FGC+∠EGC=20°+（180°﹣66°）=134°，∴∠FEG=（180°﹣∠FGE）=23°．点评：主要考查了中位线定理和等腰三角形两底角相等的性质，题目的难度不大．7．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，过点D作DE⊥BC，垂足为E，并延长DE至F，使EF=DE．连接BF、CF、AC．求证：四边形ABFC是平行四边形．考点：等腰梯形的性质；等腰三角形的判定与性质；平行四边形的判定．专题：证明题．分析：根据等腰梯形性质求出∠ABC=∠DCB，根据DE⊥BC，DE=EF，得出△DFC是等腰三角形，推出∠ABC=∠DCB=∠FCE，AB=CD=CF，推出AB∥CF，根据平行四边形的判定定理推出即可．解答：证明：等腰梯形ABCD中，AB=DC，∴∠ABC=∠DCB，∵DE⊥BC，DE=EF，∴△DFC是等腰三角形，∴∠DCB=∠FCE，DC=CF，∴∠ABC=∠FCE，∴AB∥CF，∵AB=CD=CF，∴四边形ABFC是平行四边形．点评：本题考查了等腰梯形的性质，等腰三角形的性质和判定，平行线的判定等知识点的应用，关键是推出AB=CF，AB∥CF，通过做此题培养了学生分析问题和解决问题的能力，题目比较典型，难度适中．8．（2013•永州）如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，BN⊥AN于点N，延长BN交AC于点D，已知AB=10，BC=15，MN=3（1）求证：BN=DN；（2）求△ABC的周长．考点：三角形中位线定理；等腰三角形的判定与性质．分析：（1）证明△ABN≌△ADN，即可得出结论；（2）先判断MN是△BDC的中位线，从而得出CD，由（1）可得AD=AB=10，从而计算周长即可．解答：（1）证明：在△ABN和△ADN中，∵，∴△ABN≌△ADN，∴BN=DN．（2）解：∵△ABN≌△ADN，∴AD=AB=10，DN=NB，又∵点M是BC中点，∴MN是△BDC的中位线，∴CD=2MN=6，故△ABC的周长=AB+BC+CD+AD=10+15+6+10=41．点评：本题考查了三角形的中位线定理及等腰三角形的判定，注意培养自己的敏感性，一般出现高、角平分线重合的情况，都需要找到等腰三角形．。
2024八年级数学下册专项讲与练专题18.7 三角形的中位线(知识梳理与考点分类讲解)
专题18.7 三角形的中位线（知识梳理与考点分类讲解）【知识点一】三角形的中位线的定义：连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.特别提醒：1.三角形有三条中位线.2.不要把三角形的中位线与三角形的中线混淆，应从它们的定义加以区别.【知识点二】三角形中位线定理三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.特别提醒：三角形的三条中位线把原三角形分成四个全等的小三角形，每个小三角形的周长为原三角形周长的一半，每个小三角形的面积为原三角形面积的四分之一.【考点目录】【考点1】利用三角形中位线求值；【考点2】利用三角形中位线证明；【考点3】利用三角形的中位线求值与证明；【考点4】三角形的中位线综合应用；（2）:PE PB 的值？【答案】（1）:AP PD 的值为1；；（2）1:3PE PB =:．【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形中位线定理．（1）如图所示，取BE 中点G ，连接DG ，则DG 是BCE V 的中位线，即可证明12DG CE =，DG CE ∥，进而推出32DG AE =，再证明DGP AEP △≌△，即可求解；（2）由DGP AEP △≌△，推出EP PG =，再根据点G 是BE 中点，据此求解即可．（1）解：如图所示，取BE 中点G ，连接DG ，∵AD 是BC 边上的中线，即D 是BC 的中点，∴DG 是BCE V 的中位线，∴12DG CE =，DG CE ∥，∵:1:2AE EC =，∴DG AE =，∵DG AE ∥，∴DGP AEP Ð=Ð，GDP EAP Ð=Ð，∴DGP AEP △≌△，∴AP PD =，∴:AP PD 的值为1；（2）解：∵DGP AEP △≌△，∴EP PG =，∵点G 是BE 中点，∴1:3PE PB =:．【变式1】（2023·广东肇庆·统考三模）如图，ABCD Y 中，3AB =，BE 平分ABC Ð，交AD 于点E ，2DE =，点F ，G 分别是BE 和CE 的中点，则FG 的长为（ ）A ．3B ．2.5C ．2D ．5【答案】B【分析】首先根据平行四边形的性质可得AD BC ∥，AD BC =，再结合角平分线的定义和平行线的性质证明ABE V 为等腰三角形，易得3AB AE ==，进而可得5AD BC ==，然后结合点F ，G 分别是BE 和CE 的中点，易得FG 是BEC V 的中位线，结合三角形中位线的性质即可获得答案．解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD BC ∥，AD BC =，∴AEB EBC Ð=Ð，∵BE 平分ABC Ð，∴ABE EBC Ð=Ð，∴AEB ABE Ð=Ð，∴3AB AE ==，∴325AD BC AE ED ==+=+=，∵点F ，G 分别是BE 和CE 的中点，∴FG 是BEC V 的中位线，∴12.52FG BC ==．故选：B ．【点拨】本题主要考查了平行四边形的性质、三角形中位线的性质、等腰三角形的判定与性质、角平分线的定义、平行线的性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质和三角形中位线的性质是解题关键．【变式2】（2023上·重庆渝中·八年级重庆巴蜀中学校考期末）如图，在平行四边形ABCD 中，AD =E 、F 分别为边BC 、CD 的中点，连接EF 、AE 、BD ，当AE 平分BEF Ð时，BD 的长为 ．【答案】【分析】本题考查了平行四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定，三角形中位线定理．由三角形的中位线定理可得EF BD ∥，12BE BC ==AD DO ==BE BO ==，即可求解．解：如图，设AE 与BD 的交点为O ，AE Q 平分BEF Ð，AEF AEB \Ð=Ð，∵AD BC ∥，AEB DAE \Ð=Ð，E Q 、F 分别为边BC 、CD 的中点，∴EF BD ∥，12BE BC ==，BOE AEF \Ð=Ð，AOD AEF Ð=Ð，DAE AOD BEO BOE \Ð=Ð=Ð=Ð，AD DO \==，BE BO ==，DB \=故答案为：．【考点2】利用三角形的中位线证明；【例2】（2024下·江西宜春·九年级江西省丰城中学校考开学考试）如图，DE 是ABC V 的中位线，延长CB 至点F ，使12BF BC =，连接BE ，DF ．（1）求证：四边形BEDF 是平行四边形．（2）若12DF AC =，试判断ABC V 的形状，并说明理由．【答案】（1）见分析；（2）ABC V 为直角三角形，理由见分析【分析】（1）根据三角形中位线定理可得DE BC ∥，12DE BC =，求出DE BF =，根据平行四边形的判定可得结论；（2）根据平行四边形的性质和三角形中位线定理求出AE EC BE ==，可得EAB EBA Ð=Ð，ECB EBC Ð=Ð，然后利用三角形内角和定理求出90EBA EBC Ð+Ð=°即可．解：（1）证明：DE Q 是ABC V 的中位线，\DE BC ∥，12DE BC =，12BF BC =Q ，DE BF \=，\四边形BEDF 是平行四边形；（2）解：ABC V 为直角三角形；理由：Q 四边形BEDF 是平行四边形，DF BE \=，12DF AC =Q ，12BE AC \=，DE Q 是ABC V 的中位线，12AE EC AC \==．AE EC BE \==，∴EAB EBA Ð=Ð，ECB EBC Ð=Ð，∵180EAB EBA ECB EBC Ð+Ð+Ð+Ð=°，∴90EBA EBC Ð+Ð=°，即90ABC Ð=°，ABC \V 为直角三角形．【点拨】本题考查了三角形中位线定理，平行四边形的判定和性质，等边对等角，三角形内角和定理，熟练掌握相关判定定理和性质定理是解题的关键．【变式1】（2023·云南德宏·统考一模）如图，在钝角ABC V 中，点D ，E 分别是边AC BC ，的中点，且DA DE =，那么下列结论错误的是（ ）A ．12Ð=ÐB ．13Ð=ÐC ．B C Ð=ÐD ．3BÐ=Ð【答案】D【分析】先证明DE 是ABC V 的中位线，DA DC =，则DE AB ∥，31Ð=Ð，B CED Ð=Ð，由DA DE =得到23ÐÐ=，DE DC =，则12Ð=Ð，C CED Ð=Ð，得到B C Ð=Ð，即可作出判断．解：∵点D ，E 分别是边AC BC ，的中点，∴DE 是ABC V 的中位线，DA DC =，∴DE AB ∥，∴31Ð=Ð，B CED Ð=Ð，故B 选项正确；∵DA DE =，∴23ÐÐ=，DE DC =，∴12Ð=Ð，C CED Ð=Ð，∴B C Ð=Ð，故选项A 和C 都正确；无法证明3B Ð=Ð，故D 选项符合题意，故选：D【点拨】此题考查了三角形中位线定理、等边对等角等知识，熟练掌握三角形中位线定理、等边对等角是解题的关键．【变式2】（2023下·重庆南岸·八年级重庆市南坪中学校校联考期中）如图，在ABD △中，C 是BD 上一点，若E 、F 分别是AC 、AB 的中点，DEF V 的面积为6，则ABC V 的面积为．【答案】24【分析】连接CF ，先证明6EFC EFD S S ==V V ，再证明2ACF EFC S S =V V ，2ABC ACF S S =V V 即可解决问题．解：连接CF ．E Q 、F 分别是AC 、AB 的中点，EF BC \∥，6EFC EFD S S \==V V ，AE EC =Q ，212ACF EFC S S \==V V ，AF FB =Q ，224ABC ACF S S \==V V ，故答案为：24．【点拨】本题考查三角形中位线定理，三角形中线的性质，解题的关键是灵活应用三角形中线的性质，三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分，属于中考常考题型．【考点3】利用三角形的中位线求值或证明【例3】（2024上·上海静安·八年级上海田家炳中学校考期末）如图，直角ABC V 中，90A Ð=°，2AB AC ==，点D 是BC 边的中点，点E 是AB 边上的一个动点（不与A ，B 重合），DF DE ^交AC 于点F ，设BE x =，FC y =．（1）求证：DE DF =；（2）写出y 关于x 的函数关系式，并写出函数的定义域；（3）写出x 为何值时，EF BC ∥？【答案】（1）见详解；（2）2y x =-，02x <<；（3）1x =【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形中位线的性质，正确证明EDH FDN V V ≌是关键．（1）取AB 的中点记为H ，取AC 的中点记为N ．根据三角形中位线的性质可得DH DN =，根据余角的性质可得EDH FDN Ð=Ð，根据ASA 可证EDH FDN V V ≌，根据全等三角形的性质即可证明DE DF =；（2）根据全等三角形的性质可得HE NF =，从而得到y 关于x 的函数关系式，以及x 的定义域；（3）连接HN ，根据三角形中位线的性质可得x 为1时，EF BC ∥．（1）解：取AB 的中点记为H ，取AC 的中点记为N ．连接DH DN，∵90A Ð=°，点D 是BC 边的中点，∴DH DN ，都是三角形中位线∴DN AB ∥，1122DN AB DH AC DH AC ==P ，，∵2AB AC ==，∴1DH DN ==，∴90NDH Ð=°，∵9090NDF NDE NDE EDH Ð+Ð=°Ð+=°，，∴EDH FDN Ð=Ð，在EDH V 与FDN V 中，EDH FDN DH DNEHD FND Ð=Ðìï=íïÐ=Ðî，∴EDH FDN V V ≌，∴DE DF =；（2）解：∵EDH FDN V V ≌，∴HE NF =，∴1122x AB AC y -=-即2y x=-∵E 是AB 边上的一个动点（不与A 、B 重合），∴02x <<；（3）解：连接HN ，当E 与H 重合时，EF BC ∥，∵此时1x BH ==，∴当1x =时，EF BC ∥．【变式1】（2019·安徽阜阳·校联考一模）如图，AB ＝12，C 是线段AB 上一点，分别以AC 、CB 为边在A 的同侧作等边△ACP 和等边△CBQ ，连接PQ ，则PQ 的最小值是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】D【分析】分别延长AP 、BQ 交于点D ，易证四边形CPDQ 为平行四边形，得出PD +DQ ＝PC +CQ ＝AC +BC ＝12，作△ABD 的中位线MN ，则MD ＝DN ＝MN ＝12AB ，运用中位线的性质和等边三角形的性质求出MD ＝DN ＝MN ＝12AB ，进而求得MD +DN ＝PD +DQ ，得出PM ＝QN ，作PE ⊥MN ，QF ⊥MN ，则PE ∥QF ，然后证得△PME ≌△QNF ，从而证得MN ＝EF ，根据平行线间的距离得出PQ ≥EF ，从而求得PQ 的最小值．解：如图，分别延长AP 、BQ 交于点D ，∵∠A ＝∠QCB＝60°，∴AD ∥CQ ，∵∠B ＝CPCA ＝60°，∴BD ∥PC ，∴四边形CPDQ 为平行四边形，∴PD ＝CQ ，PC ＝DQ ，∴PD +DQ ＝PC +CQ ＝AC +BC ＝12，作△ABD 的中位线MN ，则MD ＝DN ＝MN ＝12AB ，∴MD +DN ＝AB ＝12，∴MD +DN ＝PD +DQ ，∴PM ＝QN ，作PE ⊥MN ，QF ⊥MN ，∴PE ∥QF ，∴∠PEM ＝∠QFN ＝90°，且∠PME ＝∠QNF ＝60°，PM ＝QN ∴△PME ≌△QNF （AAS ），∴EM ＝FN ，∴MN ＝EF ，∴PQ ≥EF ，∴C 是线段AB 的中点时，PQ 的值最小，最小值为12AB ＝6．故选D ．【点拨】本题考查了平行四边形的判定和性质、三角形全等的判定和性质、三角形中位线定理及等边三角形的性质，解答本题的关键是作出辅助线，得到PQ ≥EF ，综合性较强．【变式2】（2022上·山东临沂·八年级校考阶段练习）如图，ABC V 为等边三角形，边长为4，点O 为BC 的中点，120EOF Ð=°，其两边分别交AB 和CA 的延长线于E F 、，则AE AF -= ．【答案】6【分析】过点O 作OD AB ∥，设OF 与AB 交于点H ，证明ODF OBE V V ≌，由全等三角形的性质可得DF BE =，结合,AD AF DF AB BE AE +=+=，可知AE AF AB AD -=+，即可获得答案．解：∵ABC V 是等边三角形，边长为4，∴60CAB CBA Ð=Ð=°，4AC AB BC ===，如图，过点O 作OD AB ∥，设OF 与AB 交于点H ，∴60CDO CAB Ð=Ð=°，∴120ODF OBF BAF Ð=Ð=Ð=°，又∵120EOF Ð=°，OHE AHF Ð=Ð，∴E F Ð=Ð，又∵点O 为BC 的中点，且OD AB ∥，∴OD 是ABC V 的中位线，∴1112,2,2222OD AB OB BC AD AC ======，在ODF △和OBE △中，1202F E ODF OBE OD OB Ð=ÐìïÐ=Ð=°íï==î，∴(AAS)ODF OBE V V ≌，∴DF BE =，又∵,AD AF DF AB BE AE +=+=，∴()()AE AF AB BE DF AD -=+--()()AB BE BE AD =+--AB AD=+42=+6=．故答案为：6．【点拨】本题主要考查了平行线的性质、等边三角形的性质、三角形中位线的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用、正确作出辅助线构建全等三角形是解题关键．【考点4】三角形的中位线的综合应用【例4】（2023下·河南三门峡·八年级统考期末）（1）回归课本请用文字语言表述三角形的中位线定理：________________．（2）回顾证法证明三角形中位线定理的方法很多，但多数都要通过添加辅助线构图完成．下面是其中一种辅助线的添加方法．请结合图2，补全求证及证明过程．已知：在ABC V 中，点,D E 分别是,AB AC 的中点．求证：________________．证明：过点C 作CF AB ∥，与DE 的延长线交于点F ．（3）实践应用如图3，点B 和点C 被池塘隔开，在BC 外选一点A ，连接,AB AC ，分别取,AB AC 的中点,D E ，测得DE 的长度为9米，则,B C 两点间的距离为________________．【答案】（1）三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半；（2）DE BC ∥，12DE BC =；详见分析；（3）18米【分析】（1）根据三角形的中位线定理直接阐述即可；（2）过点C 作CF AB ∥，与DE 的延长线交于点F ，证明ADE CFE △△≌，再证四边形DBCF 是平行四边形，即可证明结论；（3）直接利用三角形中位线定理求解即可．解：（1）三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．故答案为：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半；（2）求证：DE BC ∥，12DE BC =．证明：∵点,D E 分别是,AB AC 的中点，∴BD AD =，=AE CE ，过点C 作CF AB ∥，与DE 的延长线交于点F ．∴ADE F Ð=Ð，在ADE V 和CFE V 中，ADE F AED CEFAE CE Ð=ÐìïÐ=Ðíï=îADE CFE \≌△△．AD CF \=，12DE EF DF ==．CF BD \∥，CF BD =．\四边形DBCF 是平行四边形，∥DF BC \，DF BC =，又12DE DF =Q ，\DE BC ∥，12DE BC =．故答案为：DE BC ∥，12DE BC =；（3）∵点,D E 分别是,AB AC 的中点，9DE =米，∴12DE BC =，即：218BC DE ==米故答案为：18米．【点拨】本题考查了三角形中位线定理，平行四边形的判定和性质，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造特殊四边形解决问题．【变式1】（2023下·广东珠海·八年级珠海市前山中学校考期中）如图，ABC V 的周长是2，以它的三边中点为顶点组成第1个三角形111A B C △，再以111A B C △的三边中点为顶点，组成第2个三角形222A B C △，…，则第n 个三角形的周长为（ ）A ．112n -B ．12n C ．222n -D ．112n +【答案】A【分析】根据三角形的中位线定理建立周长之间的关系，即可得到答案．解：Q ABC V 的周长是2，以它的三边中点为顶点组成第1个三角形111A B C △，\1112A B BC =，1112A C AC =，1112BC AB =，\111A B C △的周长为()1111111112122A B A C B C BC AC AB ++=++=´=，\222A B C △的周长为211222´=，…以此类推，第n 个三角形的周长为111222n n -´=，故选：A ．【点拨】本题考查了找规律-图形的变化类，三角形的中位线定理，熟练掌握三角形的中位线等于第三边的一半是解题的关键．【变式2】（2022下·河北唐山·八年级统考期中）如图，为测量位于一水塘旁的两点A ，B 间的距离，在地面上确定点O ，分别取OA ，OB 的中点C ，D ，量得CD ＝10m ，则A ，B 之间的距离是 ．【答案】20m【分析】根据三角形的中位线定理即可进行解答．解：∵C 、D 分别为AO 、BO 中点，∴CD=12∵CD＝10m，∴AB=20m，故答案为：20m．【点拨】本题主要考查了三角形的中位线定理，熟练掌握“三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半” 是解题的关键．。
9.13 三角形的中位线知识讲解20202021学年八年级数学下册基础知识专项讲练苏科版
专题9.13 三角形的中位线（知识讲解）【学习目标】4. 理解三角形的中位线的概念，掌握三角形的中位线定理．【要点梳理】要点一、三角形的中位线1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.2．定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半.要点诠释：（1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系.（2）三角形的三条中位线把原三角形分成可重合的4个小三角形.因而每个小三角形的周长为原三角形周长的，每个小三角形的面积为原三角形面积的.=4;(2).S S S S ABC DEF ADF CEF BDE DEF ABC D E F AB BC AC DE EF DF ABC ∆∆∆∆∆∆∆∆===如图：在中，、、分别为、、三边的中点，则、、为中位线，则有如下结论：(1).S S（3）三角形的中位线不同于三角形的中线.1214【典型例题】类型一、三角形中位线有关的求解问题1．如图，Rt ABC V 中，90ACB Ð=°，点D ，E 分别是,AB AC 的中点，点F 在BC 的延长线上，且CEF A Ð=Ð．（1）求证：四边形DCFE 是平行四边形；（2）若26,==BC AB ，求四边形DCFE 的周长．【解析】（1）利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形证明即可；（2）分别利用中位线定理和直角三角形斜边中线性质得到DE 和CD ，从而计算结果．（1）证明：∵∠ACB=90°，AD=DB ，∴CD=DA=DB ，∴∠DAC=∠DCA ，∵∠CEF=∠A ，∴∠CEF=∠DCE ，∴CD ∥EF ，∵AD=DB ，AE=EC ，∴DE ∥CF ，∴四边形DCEF 是平行四边形．（2）∵D 、E 分别是AB 、AC 的中点，26,==BC AB ，∴DE=12BC=1，CD=12AB=3，∴四边形DCFE 的周长为（1+3）×2=8．【点拨】本题考查平行四边形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质和中位线定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．举一反三【变式】已知，如图，CD 是Rt △FBE 的中位线，A 是EB 延长线上一点，且AB=12BE ． （1）证明：四边形ABCD 是平行四边形；（2）若∠E=60°，AD=3cm ，求BE 的长．（1）证明：∵CD 是Rt △FBE 的中位线，∴CD ∥BE ，CD=12BE ，∴AB=12BE ，∴AB=CD ，∴四边形ABCD 是平行四边形；（2）解：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴BC=AD=3cm ，∵CD 是Rt △FBE 的中位线，∴BC=CE=12EF ，∵∠E=60°，∴△BCE 是等边三角形，∴BE=BC=3cm ．【点拨】此题考查了平行四边形的判定与性质、直角三角形的性质、等边三角形的判定与性质以及三角形中位线的性质．注意利用三角形中位线的性质，证得CD ∥AB ，CD=AB 是解此题的关键．类型二、三角形中位线与面积问题2．如图，AD 为ABC ∆的中线，BE 为ABD ∆的中线．（1）15ABE Ð=°，40BAD Ð=°，求 BED Ð的度数；（2）若ABC ∆的面积为40，5BD =，则E 到BC 边的距离为多少．【答案】（1）55°；（2）4．【分析】（1）根据三角形内角与外角的性质解答即可；（2）过E 作BC 边的垂线即可得：E 到BC 边的距离为EF 的长，然后过A 作BC 边的垂线AG ，再根据三角形中位线定理求解即可．解：（1）BED ÐQ 是ABE ∆的外角，154055BED ABE BAD \Ð=Ð+Ð=°+°=°；（2）过E 作BC 边的垂线，F 为垂足，则EF 为所求的E 到BC 边的距离，过A 作BC 边的垂线AG ，AD ∴为ABC ∆的中线，5BD =，22510BC BD ∴==´=，ABC ∆Q 的面积为40，∴1402BC AG =g ，即110402AG ´=g ，解得8AG =，∵AD 为ABC ∆的中线，∴11402022ABD ABC S S D D ==´=，又∵BE 为ABD ∆的中线，∴11201022EBD ABD S S D D ==´=，则有：1151022BD EF EF =´=g 4EF ∴=．即E 到BC 边的距离为4．【点拨】本题考查了三角形外角的性质、三角形中位线的性质及三角形的面积公式，添加适当的辅助线是解题的关键．举一反三【变式】如图，等腰三角形ABC 中，AB=AC ，点E 、F 分别是AB 、AC 的中点，CE ⊥BF 于点O ．（1）求证：四边形EBCF 是等腰梯形；（2）EF=1，求四边形EBCF 的面积．（1）证明：∵点E 、F 分别是AB 、AC 的中点，∴EF//BC ，BE=12AB=12AC=CF ，∴四边形EBCF 是等腰梯形；（2）如图，延长BC 至点G ，使CG=EF ，连接FG ，∵EF//BC ，即EF//CG ，且CG=EF ，∴四边形EFGC 是平行四边形，又∵四边形EBCF 是等腰梯形，∴FG=EC=BF ，∵EF=CG ，FC=BE ，∴△EFB ≌△CGF （SSS ），∴BFG EBCF S S V 四边形，∵GC=EF=1，且EF=12 BC，∴BC=2，∴BG=BC+CG=1+2=3．∵FG//EC，∴∠GFB=∠BOC=90°，∴FH=12BG=32，∴BFGEBCF 1393224S S==´´=V四边形．【点拨】本题考查了等腰梯形的判定，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．类型三、与三角形有关的证明3．已知：如图AB＝AC，AB⊥AC，AD＝AE，AD⊥AE，点M为CD的中点求证：2AM＝BE【分析】作CN∥AM，交DA延长线于N，根据AM∥CN，点M是CD的中点，得到AM是△DCN的中位线，推出CN=2AM，AE=AN，根据∠BAC=∠DAE=90°证出∠CAN=∠BAE，证得△BAE≌△CAN，推出BE=CN，由此得到结论．证明：如图，作CN∥AM，交DA延长线于N，∵AM∥CN，点M是CD的中点，∴AM是△DCN的中位线，∴CN=2AM，AD=AN，∴AE=AN，∵AD⊥AE，AB⊥AC，∴∠BAC=∠DAE=90°∴∠EAN=90°，∴∠CAE+∠EAN=∠BAC+∠CAE，∴∠CAN=∠BAE，∵AB=AC，AE=AN，∴△BAE≌△CAN，∴BE=CN，∴2AM=BE．．【点拨】此题考查全等三角形的判定及性质，三角形中位线的性质，题中辅助线的引出是解题的关键，在三角形中，已知一边中点时，通常是利用中点构造全等三角形解决问题．举一反三【变式】如图，点E，F，G，H分别为四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，试判断四边形EFGH的形状，并证明你的结论．证明：四边形EFGH是平行四边形，理由如下连接AC，如图．∵E ，F 分别是AB ，BC 的中点，∴EF 是△ABC 的中位线，∴EF ∥AC ，且EF=12AC ，同理HG ∥AC ，且HG=12AC ，∴EF ∥HG ，且EF=HG ．∴四边形EFGH 是平行四边形．【点拨】本题主要考查平行四边形的判定，解题的关键是灵活应用三角形中位线定理，学会添加常用辅助线．类型四、三角形中位线的应用4．在Rt ABC ∆中，90BAC Ð=o ，,E F 分别是,AB AC 上的点，且//EF BC ，作EG 平分AEF Ð交于点G ，在EF 上取点D ，使ED EA =，连接DG 并延长，交BA 的延长线于点P ，连接PF .（1）求证：PD EF ^；（2）若ED DF =，求B Ð的大小（3）在（2）的条件下，若四边形AEDG 的面积为S ，请直接写出PEF ∆的面积（用含S 的式子表示）【分析】（1）由已知证明AEG DEG ∆@∆可得出GAE GDE Ð=Ð=90°，即PD EF^（2）根据已知由中垂线性质可得GE GF =，即GEF GFE AEG Ð=Ð=Ð，由//EF BC 即可得出60B AEF Ð=Ð=o .(3)由已知可推出3PEF S S ∆=.（1）证明：EG Q 平分AEF Ð，AEG DEG ∴Ð=Ð，在AEG ∆和DEG ∆中，ED EA AEG DEGEG EG =ìïÐ=Ðíï=î()AEG DEG SAS ∴∆@∆GAE GDE∴Ð=Ð90EAG Ð=oQ 90GDE ∴Ð=o ，即PD EF ^；（2）,ED DF PD EF =^Q ，∴由中垂线性质得：GE GF =，GEF GFE AEG∴Ð=Ð=Ð∴在Rt AEF ∆中，30,60GEF GFE AEG AEF Ð=Ð=Ð=Ð=o o ，又//EF BC Q ，60B AEF ∴Ð=Ð=o（3）由已知可得：3PEF S S ∆=.【点拨】本题考查三角形中位线定理，熟练掌握三角形中位线定理的性质及判定是解题关键.举一反三【变式】如图，直线1:3l y x =-+与x 轴相交于点A ，直线2:l y kx b =+经过点31-（，），与x 轴交于点()6,0B ，与y 轴交于点C ，与直线1l 相交于点D ．()1求直线2l 的函数关系式；()2点P 是2l 上的一点，若ABP △的面积等于ABD △的面积的2倍，求点P 的坐标．()3设点Q 的坐标为3m （，） ，是否存在m 的值使得QA QB +最小？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y=13x-2；（2）（212 ，32）或（32，−32 ）；（3）（92，3）．【分析】（1）把点（3，-1），点B （6，0）代入直线l 2，求出k 、b 的值即可；（2）设点P 的坐标为（t ，13t-2），求出D 点坐标，再由S △ABP =2S △ABD 求出t 的值即可；（3）作直线y=3，作点A 关于直线y=3的对称点A′，连结A′B ，利用待定系数法求出其解析式，根据点Q （m ，3）在直线A′B 上求出m 的值，进而可得出结论．解：（1）由题知：1306k b k b-+ìí+î＝＝ 解得：213b k -ìïíïî＝＝，故直线l 2的函数关系式为：y=13x-2；（2）由题及（1）可设点P 的坐标为（t ，13 t-2）．解方程组1233y x y x ì-ïíï-+î＝＝ ，得15434x y ìïïíï-ïî＝＝ ，∴点D 的坐标为（154，-34）．∵S △ABP =2S △ABD ，∴12AB•|13t-2|=2×12AB•|-34|，即|13t-2|=32，解得：t=212或t=32，∴点P 的坐标为（212 ，32）或（32，−32 ）；（3）作直线y=3（如图），再作点A 关于直线y=3的对称点A′，连结A′B ．由几何知识可知：A′B与直线y=3的交点即为QA+QB最小时的点Q．∵点A（3，0），∴A′（3，6）∵点B（6，0），∴直线A′B的函数表达式为y=-2x+12．∵点Q（m，3）在直线A′B上，∴3=-2m+12解得：m=92，故存在m的值使得QA+QB最小，此时点Q的坐标为（92，3）．【点拨】此题考查一次函数综合题，涉及到一次函数图象上点的坐标特点，轴对称最短路线问题，三角形的面积公式，解题关键在于在解答（3）时要注意作出辅助线，利用轴对称的性质求解．。
中位线讲义
中位线一、知识点讲解1、三角形中位线及性质（1）定义：连接三角形两边的中点的线段叫做三角形的中位线。
（2）性质：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
证明：2、三角形的重心及其性质。
（1）定义：三角形三边上的中线交于一点，这个点就是三角形的重心。
（2）性质：三角形重心与一边中点的连线的长是对应中线长的31 证明：二、典例分析题型一、运用三角形中位线的性质进行计算例1 如图，在□ABCD 中，E 为AB 的中点，F 为AD 上一点，EF 交AC 于点G ，AF =4cm ，DF =8cm ，AG =6cm ，则AC 的长为（ ）A 、28cmB 、20cmC 、24cmD 、30cm变式练习：1、如图，在△ABC 中，点D 、E 分别是AB 、AC 的中点，则下列结论不正确的是（ ） A 、BC =2DEB 、△ADE ∽△ABCC 、ACABAE AD D 、S △ABC =3S △ADE 2、如图，已知点E 、F 分别是△ABC 中AC 、AB 边的中点，BE 、CF 相交于点G ，FG =2，则CG 的长为（ ） A 、4 B 、4.5 C 、5 D 、6第1题 第2题 第3题 3、如图，在△ABC 中，点E 、D 、F 分别是AB 、BC 、CA 的中点，AB =6，AC =4，则四边形AEDF 的周长是（ ） A 、10 B 、20 C 、30 D 、404、如果三角形的两边分别为3和5，那么连接这个三角形三边中点的得三角形的周长可能是（ ） A 、5.5 B 、5 C 、4.5 D 、45、（易错）在等腰直角三角形ABC 中，∠C =90°，AB =10cm ，D 、E 分别是AB 、BC 的中点，求DE 的长。
题型二：三角形中位线的性质的应用例2 如图，在△ABC 中，AB =AC ，点D 、E 分别是AB 、AC 的中点，F 是BC 延长线上的一点，且BC CF 21。
部编数学八年级下册专题18构造三角形中位线的常用技巧(解析版)含答案
专题18 构造三角形中位线的常用技巧（解析版）专题典例剖析及针对训练类型一 连接两中点构造中位线典例1如图，在△ABC 中，AB ＝AC ＝5，BC ＝6，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，F 、G 为BC 上的两点，FG ＝3，线段DG ，EF 的交点为O ，当线段FG 在线段BC 上移动时，三角形FGO 的面积与四边ADOE 的面积之和恒为定值，则这个定值是（ ）A ．15B ．12C ．9D ．6思路指引：连接DE ，过A 作AH ⊥BC 于H ．由于DE 是AB 、AC 的中点，利用三角形中位线定理可得DE ∥BC ，并且可知△ADE 的高等于12AH ，再结合等腰三角形三线合一性质，以及勾股定理可求AH ，那么△ADE 的面积就可求．而所求S △FOG +S 四边形ADOE ＝S △ADE +S △DOE +S △FOG ，又因为△DOE 和△FOG 的底相等，高之和等于AH 的一半，故它们的面积和可求，从而可以得到S △FOG +S 四边形ADOE 的面积．解：如图：连接DE ，过A 向BC 作垂线，H 为垂足，∵△ABC 中，D 、E 分别是AB 、AC 的中点，∴DE ，AH 分别是△ABC 的中位线和高，BH ＝CH =12BC =12×6＝3，∵AB ＝AC ＝5，BC ＝6，由勾股定理得AH ==4，∴S △ADE =12BC •AH 2=12×3×42=3，设△DOE 的高为a ，△FOG 的高为b ，则a +b =AH 2=2，∴S △DOE +S △FOG =12DE •a +12FG •b =12×3（a +b ）=12×3×2＝3，∴三角形FGO 的面积与四边ADOE 的面积之和恒为定值，则这个定值是S △ADE +S △DOE +S △FOG ＝3+3＝6．故选：D ．方法点睛：本题属中等难度题目，涉及到三角形中位线定理，解答此类题目时一般只要知道中点要作中位线，已知等腰三角形要作高线，利用勾股定理解答．针对训练1．如图，△ABC 的中线BD ，CE 相交于点0，F ，G 分别是BO ，CO 的中点，求证：EF ∥DG 且EF ＝DG ．解：连接ED ，FG .证四边形DEFG 是平行四边形，∴EF ∥DG 且EF ＝DG ．类型二 连接第三边构造中位线典例2（2022秋•泰山区校级期末）如图，在菱形ABCD 中，E ，F 分别是边CD ，BC 上的动点，连接AE ，EF ，G ，H 分别为AE ，EF 的中点，连接GH ．若∠B ＝45°，BC ＝GH 的最小值为（ ）ABC DGF E DC B AABDE F G思路指引：连接AF，利用三角形中位线定理，可知GH=12AF，求出AF的最小值即可解决问题．解：连接AF，如图所示：∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC=∵G，H分别为AE，EF的中点，∴GH是△AEF的中位线，∴GH=12 AF，当AF⊥BC时，AF最小，GH得到最小值，则∠AFB＝90°，∵∠B＝45°，∴△ABF是等腰直角三角形，∴AF==∴GH=即GH故选：D．方法点睛：本题考查了菱形的性质、三角形的中位线定理、等腰直角三角形的判定与性质、垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．针对训练1．（2021秋•孟津县期末）如图所示，已知四边形ABCD，R、P分别是DC、BC上的点，点E、F分别是AP、RP的中点，当点P在边BC上从点B向点C移动，且点R从点D向点C移动时，那么下列结论成立的是（ ）A ．线段EF 的长逐渐增大B ．线段EF 的长逐渐减少C ．线段EF 的长不变D ．△ABP 和△CRP 的面积和不变思路指引：连接AR ，根据三角形的中位线定理可得EF =12AR ，根据AR 的变化情况即可判断．解：连接AR ，∵E ，F 分别是AP ，RP 的中点，∴EF =12AR ，∵当点P 在BC 上从点C 向点B 移动，点R 从点D 向点C 移动时，AR 的长度逐渐增大，∴线段EF 的长逐渐增大．S △ABP +S △CRP =12BC •（AB +CR ）．∵CR 随着点R 的运动而减小，∴△ABP 和△CRP 的面积和逐渐减小．观察选项，只有选项A 符合题意．故选：A ．方法点睛：此题考查的是三角形中位线的性质，即三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半． 典例3 如图，点B 为AC 上一点，分别以AB ，BC 为边在AC 同侧作等边△ABD 和等边△BCE ，点P ，M ，N 分别为AC ，AD ，CE 的中点．（1）求证：PM ＝PN ；（2）求∠MPN 的度数．思路指引：（1）连接DC和AE，AE交CD于点M，证明△ABE≌△DBC，得到AE＝DC，利用中位线的性质证明PM＝PN；（2）根据中位线的性质把∠MPA+∠NPC转化成∠MCA+∠MAC，根据∠DMA＝∠MCA+∠MAC可知求出∠DMA度数即可．解：（1）连接DC和AE，AE交CD于点M，在△ABE和△DBC中，AB=BD∠ABE=∠DBCBE=BC∴△ABE≌△DBC（SAS）．∴AE＝DC．∵P为AC中点，N为EC中点，AE．∴PN=12DC．同理可得PM=12所以PM＝PN．（2）∵P为AC中点，N为EC中点，∴PN∥AE．∴∠NPC＝∠EAC．同理可得∠MPA＝∠DCA∴∠MPA+∠NPC＝∠EAC+∠DCA．又∠DQA＝∠EAC+∠DCA，∴∠MPA+∠NPC＝∠DQA．∵△ABE ≌△DBC ，∴∠QDB ＝∠BAQ ．∴∠DQA ＝∠DBA ＝60°．∴∠MPA +∠NPC ＝60°．∴∠MPN ＝180°﹣60°＝120°．方法点睛：本题主要考查全等三角形的判定和性质、中位线的性质、等边三角形的性质，解题的关键是找到“手拉手”全等模型．针对训练1.如图，分别以△ABC 的边AB ，AC 同时向外作等腰直角三角形，其中AB ＝AE ，AC ＝AD ，∠BAE ＝∠CAD ＝90°，点G 为BC 的中点，点F 为BE 的中点，点H 为CD 的中点．探索GF 与GH 的数量关系及位置关系，并说明理由．解：连接BD ，CE ，易证△ABD ≌△AEC ，∴BD ＝ CE ，易证BD ⊥CE .由中位线性质可得GF ＝GH ，GF ⊥GH .类型三 取中点构造中位线（1）直接取一边中点典例4（2022春•武昌区期中）如图，在△ABC 中，∠A ＝60°，BD 为AC 边上的高，E 为BC 边的中点，点F 在AB 边上，∠EDF ＝60°，若AF ＝2，BF =103，则BC 边的长为（ ）HG FEDCB AAB CDEFG HA ．163BCD 思路指引：过点D 作DM ⊥AB ，垂足为M ，取AB 的中点H ，连接EH ，DH ，根据已知可求出AB =163，先在Rt △ABD 中求出AD ，AH 的长，从而可得△ADH 是等边三角形，进而可得AD ＝DH ，∠ADH ＝∠AHD ＝60°，然后利用利用等腰三角形的三线合一性质求出AM 的长，从而求出DM ，DF 的长，最后证明手拉手模型﹣旋转型全等△ADF ≌△HDE ，从而利用全等三角形的性质可得DE ＝DF 进而利用直角三角形斜边上的中线，即可解答．解：过点D 作DM ⊥AB ，垂足为M ，取AB 的中点H ，连接EH ，DH ，∵AF ＝2，BF =103，∴AB ＝AF +BF =163，∵BD ⊥AC ，∴∠ADB ＝∠CDB ＝90°，∵∠A ＝60°，∴∠ABD ＝90°﹣∠A ＝30°，∴AD =12AB =83，∵点H 是AB 的中点，∴AH ＝BH =12AB =83，∴AD ＝AH ，∴△ADH 是等边三角形，∴AD ＝DH ，∠ADH ＝∠AHD ＝60°，∴AM＝MH=12AH=43，∴DM=∵AF＝2，∴MF＝AF﹣AM＝2―43=23，∴DF∵点H是AB的中点，点E是BC的中点，∴EH是△ABC的中位线，∴EH∥AC，∴∠DHE＝∠ADH＝60°，∴∠ADH＝∠A＝60°，∵∠EDF＝∠ADH＝60°，∴∠ADH﹣∠FDH＝∠EDF﹣∠FDH，∴∠ADF＝∠HDE，∴△ADF≌△HDE（ASA），∴DE＝DF=∵∠CDB＝90°，∴BC＝2DE=故选：D．方法点睛：本题考查了等边三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线，三角形的中位线定理，全等三角形的判定与性质，含30度角的直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．针对训练1．（2022•长春一模）如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AC＝8，BD＝12，点E是CD的中点，点F是OA的中点，连结EF，则线段EF的长为 ．思路指引：取AD的中点M，连接FM，EM，构造三角形中位线，利用三角形中位线定理分别求得FM、EM的长度；然后利用勾股定理求得EF的长度．解：如图，取AD的中点M，连接FM，EM，∵点E是CD的中点，∴EM是△ACD的中位线．∴EM∥AC，EM=12AC＝4．同理，FM∥BD，FM=12OD=14BD＝3．在菱形ABCD中，AC⊥BD，则FM⊥ME．故在直角△EFM中，由勾股定理得到：EF5．故答案是：5．方法点睛：本题主要考查了菱形的性质和三角形中位线定理，解题过程中，巧妙地作出辅助线，利用三角形中位线定理求得直角三角形的两直角边的长度．（2）连接对角线，再取对角线中点典例5（2021秋•龙岗区校级期末）如图，四边形ABCD中，E，F分别是边AB，CD的中点，则AD，BC 和EF的关系是（ ）A．AD+BC＞2EF B．AD+BC≥2EF C．AD+BC＜2EF D．AD+BC≤2EF思路指引：连接AC，取AC的中点G，连接EF，EG，GF，根据三角形中位线定理求出EG=12BC，GF=12AD ，再利用三角形三边关系：两边之和大于第三边，即可得出AD ，BC 和EF 的关系．解：如图，取AC 的中点G ，连接EF ，EG ，GF ，∵E ，F 分别是边AB ，CD 的中点，∴EG ，GF 分别是△ABC 和△ACD 的中位线，∴EG =12BC ，GF =12AD ，在△EGF 中，由三角形三边关系得EG +GF ＞EF ，即12BC +12AD ＞EF ，∴AD +BC ＞2EF ，当AD ∥BC 时，点E 、F 、G 在同一条直线上，∴AD +BC ＝2EF ，所以四边形ABCD 中，E ，F 分别是边AB ，CD 的中点，则AD ，BC 和EF 的关系是AD +BC ≥2EF ．故选：B ．方法点睛：此题主要考查学生对三角形中位线定理和三角形三边关系的灵活运用，熟练掌握三角形的中位线定理是解题的关键．针对训练1．如图，在□ABCD 中，E 是CD 中点，F 是AE 的中点，FC 交BE 于点G（1）求证：GF ＝GC（2）求证：BG ＝3EG解：（1）取BE 的中点M ，∵FM ＝21AB ，∴FM //EC ，∴四边形 FMCE 为平行四边形，∴GF ＝GC（2）易证EG ＝MG ，∴EM ＝MB ，∴BG ＝3EG类型四 延长一边构造中位线典例6（2022秋•江北区校级期末）如图，在正方形ABCD 中，点E ，G 分别在AD ，BC 边上，且AE ＝3DE ，BG ＝CG ，连接BE 、CE ，EF 平分∠BEC ，过点C 作CF ⊥EF 于点F ，连接GF ，若正方形的边长为4，则GF 的长度是（ ）A B ．2C D 思路指引：延长CF 交BE 于H ，利用已知条件证明△HEF ≌△CEF （ASA ），然后利用全等三角形的性质证明GF =12BH ，最后利用勾股定理即可求解．解：延长CF 交BE 于H ，∵EF 平分∠BEC ，∴∠HEF ＝∠CEF ，∵CF ⊥EF ，∴∠HFE ＝∠CFE ，在△HEF 和△CEF 中，∠HEF =∠CEF EF =EF ∠HFE =∠CFE，∴△HEF ≌△CEF （ASA ），∴HF ＝CF ，EH ＝EC ，而BG ＝CG ，∴GF =12BH ，∵AE ＝3DE ，正方形的边长为4，∴AE ＝3，AB ＝CD ＝4，DE ＝1，在Rt △ABE 中，BE =5，在Rt △CDE 中，CE ＝HE ==∴BH ＝BE ﹣HE ＝5―∴GF =12BH 故选：C ．方法点睛：此题主要考查了全等三角形的性质与判定，也利用了正方形的性质，三角形的中位线的性质，有一定的综合性，对于学生的能力要求比较高．针对训练1．（2022•合肥一模）如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC ，E 是BC 中点，AD ⊥BD ，AC ＝7，AB ＝4，则DE 的值为（ ）A ．1B ．2C ．12D ．32思路指引：延长BD 交AC 于H ，证明△ADB ≌△ADH ，根据全等三角形的性质得到AH ＝AB ＝4，BD ＝DH ，根据三角形中位线定理计算即可．解：延长BD 交AC 于H ，在△ADB 和△ADH 中，∠BAD =∠HAD AD =AD ∠ADB =∠ADH，∴△ADB ≌△ADH （ASA ）．∴AH ＝AB ＝4，BD ＝DH ，∴HC ＝AC ﹣AH ＝3，∵BD ＝DH ，BE ＝EC ，∴DE =12HC =32，故选：D ．方法点睛：本题考查的是三角形中位线定理、全等三角形的判定和性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．类型五 延长两边构造中位线典例7（2022秋•封丘县校级期末）如图，在△ABC 中，AE 平分∠BAC ，D 是BC 的中点AE ⊥BE ，AB ＝5，AC ＝3，则DE 的长为（ ）A ．1B ．32C ．2D ．52思路指引：连接BE 并延长交AC 的延长线于点F ，易证明△ABF 是等腰三角形，则得AF 的长，点E 是BF 的中点，求得CF 的长，从而DE 是中位线，即可求得DE 的长．解：连接BE 并延长交AC 的延长线于点F ，如图，∵AE ⊥BE ，∴∠AEB ＝∠AEF ＝90°，∵AE 平分∠BAC ，∴∠BAE ＝∠FAE ，∴∠ABE ＝∠AFE ，∴△ABF 是等腰三角形，∴AF ＝AB ＝5，点E 是BF 的中点，∴CF ＝AF ﹣AC ＝5﹣3＝2，DE 是△BCF 的中位线，∴DE =12CF =1．故选：A ．方法点睛：本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形中位线的性质定理，关键是作辅助线得到等腰三角形．针对训练1．如图，AD 为△ABC 的外角平分线，且AD ⊥BD 、M 为BC 的中点，若AB ＝12，AC ＝18，求MD 的长8．延长BD ，CA 交于点E ，易证AE ＝AB ，BD ＝ED ，∵BM ＝CM ，∴DM ＝21CE ＝21(AB ＋AC )＝15.类型六作平行线或倍长中线先构造8字全等再构造中位线典例7（2021秋•宛城区期中）如图，在△ABC中，∠A＝90°，AC＞AB＞4，点D、E分别在边AB、AC上，BD＝4，CE＝3，取DE、BC的中点M、N，线段MN的长为（ ）A．2.5B．3C．4D．5思路指引：如图，作CH∥AB，连接DN，延长DN交CH于H，连接EH，首先证明CH＝BD，∠ECH＝90°，解直角三角形求出EH，利用三角形中位线定理即可解决问题．解：作CH∥AB，连接DN并延长交CH于H，连接EH，∵BD∥CH，∴∠B＝∠NCH，∠ECH+∠A＝180°，∵∠A＝90°，∴∠ECH＝∠A＝90°，在△DNB和△HNC中，∠B=∠NCHBN=CN，∠DNB=∠HNC∴△DNB≌△HNC（ASA），∴CH＝BD＝4，DN＝NH，在Rt△CEH中，CH＝4，CE＝3，∴EH=5，∵DM＝ME，DN＝NH，EH＝2.5，∴MN=12故选：A．方法点睛：本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．针对训练：如图，AB＝BC，DC＝DE，∠ABC＝∠CDE＝90°，D、B、C在一条直线上，F为AE的中点．（1）求证：BF∥CE；（2）若AB＝2，DE＝5，求BF的长．思路指引：（1）延长AB交CE于G，求出△ACG是等腰直角三角形，再根据等腰直角三角形的性质求出AB＝BG，然后根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半证明；（2）根据等腰直角三角形的性质求出CE、CG，再求出GE，然后求解即可．（1）证明：如图，延长AB交CE于G，∵AB＝BC，DC＝DE，∠ABC＝∠CDE＝90°，∴△ABC和△CDE都是等腰直角三角形，∴△ACG也是等腰直角三角形，∵∠ABC＝90°，∴BC⊥AG，∴AB＝BG，∵点F是AE的中点，∴BF是△AGE的中位线，∴BF∥CE；（2）解：∵AB ＝2，DE ＝5，∴CG ＝AC =＝CE =＝∴GE ＝CE ﹣CG ＝=∵BF 是△AGE 的中位线，∴BF =12GE方法点睛：本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，等腰直角三角形的判定与性质，熟记性质与定理并作辅助线构造出以BF 为中位线的三角形是解题的关键。
(完整版)三角形的中位线习题归类(绝对经典-绝对震撼)
三角形的中位线习题全面归类一、 直接应用1． 如图1所示，EF 是△ABC 的中位线，若BC=8cm ， 则EF=_______cm ．2．三角形的三边长分别是3cm ，5cm ，6cm ，则连结三边中点 所围成的三角形的周长是_________cm ．3．在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=•5，•BC=•12，•则连结两条直角 边中点的线段长为_______．4．若三角形的三条中位线长分别为2cm ，3cm ，4cm ， 则原三角形的周长为_______．5．如图2所示，A ，B 两点分别位于一个池塘的两端， 小聪想用绳子测量A ，B 间的距离，但绳子不够长，一 位同学帮他想了一个主意：先在地上取一个可以直接到 达A ，B 的点C ，找到AC ，BC 的中点D ，E ，并且测出DE 的长为10m ，则A ，B 间的距离为_______．6.已知△ABC 的周长为1，连结△ABC 的三边中点构成第二个三角形， •再连结第二个三角形的三边中点构成第三个三角形，依此类推， 第2010个三角形的周长是（ ） A 、20081 B 、20091 C 、220081 D 、2200917．如图4,在△ABC 中，E ，D ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，AB=6， AC=4，则四边形AEDF•的周长是（ ） A ．10 B ．20 C ．30 D ．408.如图所示，□ ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，AE=EB ，求证：OE ∥BC ．9.如图所示，在△ABC 中，点D 在BC 上且CD=CA ， CF 平分∠ACB ，AE=EB ，求证：EF=12BD ．10.如图所示，已知在□ABCD 中，E ，F 分别是 AD ，BC 的中点，求证：MN ∥BC ．11.已知：如图，E 为□ABCD 中DC 边的延长线上的一点， 且CE ＝DC ，连结AE 分别交BC 、BD 于点F 、G ，连结AC 交BD 于O ，连结OF ．求证：AB ＝2OF ．12.如图，△ABC 中，AD=41AB ，AE=41AC ，BC=16.求DE 的长.(角平分线的垂线必有等腰三角形)13.如图，在△ABC 中，已知AB=6，AC=10，AD 平分 ∠BAC ，BD ⊥AD 于点D ，E•为BC 中点．求DE 的长．14.如图，AD 是△ABC 的外角平分线，CD ⊥AD 于D ，E 是BC 的中点. 求证：（1）DE ∥AB ； （2）DE=21（AB+AC ）如图17，BE 、CF 是△ABC 的角平分线，AN ⊥BE 于N ，AM ⊥CF 于M .BGA EFH DC求证：MN ∥BC .二、中点寻线，线组形（多个中点）1.如图，在四边形ABCD 中，点E 是线段AD 上的任意一点 ，G F H ，，分别是BE BC CE ，，的中点． 证明四边形EGFH 是平行四边形；2.如图，在四边形ABCD 中，AD=BC ，点 E ，F ，G 分别是AB ，CD ，AC 的中点。
易错拔尖：三角形的中位线(解析版)
易错拔尖：三角形的中位线➢易错点忽视整体思想的应用而求不出中位线的长1．（2019春•红塔区期中）如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段AO，BO的中点，若AC+BD＝24cm，△OAB的周长是18cm，则EF的长为．思路引领：根据AC+BD＝24厘米，可得出出OA+OB＝12cm，再根据△OAB的周长是18cm，即可求出AB，依据EF是△OAB的中位线即可得出EF的长度．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，又∵AC+BD＝24厘米，∴OA+OB＝12cm，∵△OAB的周长是18厘米，∴AB＝6cm，∵点E，F分别是线段AO，BO的中点，∴EF是△OAB的中位线，∴EF=12AB＝3cm．故答案为：3cm．总结提升：本题考查了三角形的中位线定理以及平行四边形的性质，解答本题需要用到：平行四边形的对角线互相平分，三角形中位线的判定定理及性质．➢拔尖角度角度1利用三角形的中位线求线段的长2．（2016春•梅河口市校级月考）如图，在四边形ABCD中，AB＝DC，P是对角线AC的中点，M是AD的中点，N是BC的中点．（1）若AB＝6，求PM的长；（2）若∠PMN＝20°，求∠MPN的度数．思路引领：（1）由题意可知PM是△ADC的中位线，进而可求出MP的长；（2）易证△PMN是等腰三角形，由等腰三角形的性质即可求出∠MPN的度数．解：（1）∵AB＝DC，AB＝6，∴DC＝6，∵点P是AC的中点，点M是AD的中点，∴PM=12DC=12×6＝3；（2）∵点P是AC的中点，点N是BC的中点，∴PN=12BC，∵AB＝DC，∴PM＝PN，∴∠PNM＝∠PMN＝20°，∴∠MPN＝180°﹣∠PMN﹣∠PNM＝140°．总结提升：此题主要考查了三角形中位线定理，以及等腰三角形的判定与性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．角度2利用三角形的中位线巧证线段间的数量关系3．（2021春•浦城县月考）已知：如图，E为▱ABCD中DC边的延长线上一点，且CE＝DC，连接AE，分别交BC、BD于点F、G，连接AC交BD于O，连接OF，判断AB与OF的位置关系和大小关系，并证明你的结论．思路引领：本题可先证明△ABF≌△ECF，从而得出BF＝CF，这样就得出了OF是△ABC的中位线，从而利用中位线定理即可得出线段OF与线段AB的关系．解：AB＝2OF，AB∥OF．证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD，OA＝OC．∴∠BAF＝∠CEF，∠ABF＝∠ECF．∵CE＝DC，在平行四边形ABCD中，CD＝AB，∴AB＝CE．∴在△ABF和△ECF中，{∠BAF=∠CEF AB=CE∠ABF=∠BCF，∴△ABF≌△ECF（ASA），∴BF＝CF．∵OA＝OC，∴OF是△ABC的中位线，∴AB＝2OF，AB∥OF．总结提升：此题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定及三角形的中位线定理，综合的知识点比较多，解答本题的关键是判断出OF是△ABC的中位线．角度3 利用三角形中位线巧证角相等（构造中位线法）4．如图，四边形ABCD中，AB＝CD，G，H分别是BC，AD的中点，BA，CD的延长线分别交GH的延长线于点E，F．求证：∠AEH＝∠F．思路引领：连接AC，并取其中点M，得到中位线HM、GM，根据三角形中位线的性质，得到HM和GM 的大小关系，从而得到∠MHG和∠MGH的关系；再次根据中位线所得的平行关系，得到∠MHG和∠F、∠MGH和∠AEH的关系，利用等量代换即可得证．证明：如图，连接AC，取AC的中点M，连接HM，GM．∵H是AD的中点，M是AC的中点，∴HM∥CD，HM=12CD，∴∠MHG＝∠F．同理：GM∥AB，GM=12AB．∴∠MGH＝∠AEH．又∵AB＝CD，∴GM＝HM，∴∠MHG＝∠MGH，∴∠AEH＝∠F．总结提升：本题主要考查三角形的中位线性质定理，熟练运用三角形的中位线定理进行线段转换是解此题的关键，构造合理的辅助线是难点．角度2利用三角形中位线巧证线段相等（构造平行四边形法）5．（2020春•清河区校级期中）已知，如图平行四边形ABCD中，E是CD的中点，F是AE的中点，FC与BE交于点G，求证：GF＝GC．思路引领：取BE的中点H，连接FH、CH，利用三角形的中位线定理和平行四边形的判定定理证明四边形EFHC为平行四边形即可得出结论．证明：取BE的中点H，连接FH、CH，如图所示：∵F是AE的中点，H是BE的中点，∴FH是三角形ABE的中位线，∴FH∥AB且FH=12AB，又∵点E是DC的中点，∴EC=12DC，∵四边形ABCD是平行四边形∴AB＝DC，∴FH＝EC，又∵AB∥DC，∴FH∥EC，∴四边形EFHC是平行四边形，∴GF＝GC．总结提升：本题考查了平行四边形的判定和性质、三角形的中位线的判定和性质等知识；通过作BE的中点H构造平行四边形EFHC是解决问题的关键．。
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2
B
F
C
在△ADC中，同理可得
1
HG//AC，HG= AC
2
所以EF//HG，EF=HG
所以四边形EFGH是平行四边形
顺次连接四边形各边中点 的线段组 成一个平行四边形
温馨提示：
①有中点连线而无三角形,要作辅助线产生三角形 ②有三角形而无中位线,要连结两边中点得中位线
例2：已知:E为平行四边形ABCD 中DC边的延长 线上一点,且CE=DC,连结AE, 分别交BC 、BD 于 点F、G，连接AC交BD于O，连结OF. 求证: AB= 2 OF
途 ② 证明一条线段是另一条线段 的2倍或1/2
A
D。 。E
B
图1
C
B
D 。 4 。F 53 。
A 图2 E
1.如图1：在△ABC中，DE是中位线 （1）若∠ADE=60°，
则∠B= 60 度，为什么？
（2）若BC=8cm ，
则DE= 4 cm，为什么？
2.如图2：在△ABC中，D、E、F分别 是各边中点
提示:证明△ABF ≌ △ECF,
得BF=CF, 再证OF是 △ABC 的中位线 . B
A O
G
F
D C
E
例3：已知 ABCD中，AC、BD相交于点 O，E、F、G、H分别是AB、OB、CD、OD的 中点。求 证：∠HEF ＝ ∠FGH 。
A
E F
B
D H
O
G
C
课堂练习
1．已知：如图， E、F、G、H分别是 AB 、BC 、CD 、DA 的中点．求证： 四边形EFGH 是平行四边形．
C。
。
。B
E
练一练
1.三角形各边的长分别为6 cm 、8 cm 和 10 cm ，求连接各边中点所成三角形的周长1. 2 cm
AB=10 cm EF=5 cm
A
BC=8 cm DF=4 cm 10 cm D
AC=6 cm DE=3 cm
B 8 cm E
F 6 cm
C
三角形三条中位线所围成三角 形周长是 原三角形周长的一半
例1、如图，在四边形 ABCD 中，E、F、G、 H分别是AB 、BC、CD、DA的中点。四边 形EFGH 是平行四边形吗？为什么？
解：四边形EFGH是平行四边形.
A H
连接AC，在△ABC 中，
D
因为E、F分别是AB 、BC边的 E
中点，即EF是△ABC 的中位线.
G
1
所以EF//AC，EF= AC
D
E
∴四边形ADCF 是平行四边形 CF ∥DA，CF=DA
∴CF ∥BD，CF=BD
∴四边形DBCF 是平行四边形
∴ DF∥BC，DF=BC
1
又∵ DE= 2DF ∴DE ∥BC 且DE=
1
BC
2
B
C
A
D
E F
想一想：还可以怎样做辅助线？
B
C
三角形中位线定理
三角形的中位线平行于第三边，
且等于第三边的一半
。
C
F
观察猜想
在△ABC中，中位线 DE和边BC什么关系?
D
DE∥BC
A E
DE和边BC关系
B
C
位置关系： 平行
数量关系：DE 是BC的一半
如图，点D、E分别是△ABC的边AB、
AC的中点，求证DE∥BC且DE= 1 BC
A
2
证明：延长 DE到F,使EF=DE, 连接FC 、DC、AF
∵AE=EC
回顾与联想：平行四边形的判定方法
(1) AB ∥CD, BC∥AD
(2) AB=CD ，BC=AD (3) AB ∥CD,AB=CD (4) ∠A= ∠C ， ∠ B=∠ D
□ ABCD
(5) AO=OC, BO=OD
A
D
O
B
C
A、B两点被池塘隔开，现在要测量出A、B两 点间的距离 ，但又无法直接去测量，怎么办？
AB=6cm，AC=8cm ，BC=10cm ，
4.线段的倍分要转化为相等问题来解 决.
A D
B
F
证法四：如图，过E作AB的平行线交 BC于F，自A作BC的平行线交FE 于G
∵AG∥BC∴∠EAG= ∠ECF
G ∴△AEG ≌△CEF ∴AG=FC ，GE=EF
又AB∥GF ，AG∥BF∴四边形ABFG
是平行四边形
E
∴BF=AG=FC ，AB=GF
三角形的中位线是连结三角形 两边中点 的线段 三角形的中线是连结一个顶点 和它的对边中点 的线段
理解三角形的中位线定义的 两层含义:
① ∵D、E分别为AB、AC的中点
∴DE为△ ABC 的中位线
② ∵ DE为△ ABC的中位线
D。
∴ D、E分别为AB、AC的中点
A 。E
一个三角形共有 三条中位线。
B
提示:连接AC或BD
课堂练习
2、△ABC中，D是AB中点，E是AC上的点， 且3AE=2AC，CD、BE交于O点. 求证：OE= 1 BE.
4
提示:取AE的中点F，连接 DF
总结
通过这节课的学习你有 哪些收获？
小结
1.三角形的中位线定义. 2.三角形的中位线定理. 3.三角形的中位线定理不仅给出了中位线 与第三边的关系，而且给出了他们的数量 关系，在三角形中给出一边的中点时，要 转化为中位线.
又D为AB中点，E为GF 中点， ∴DB∥=EF
C
∴四边形DBFE 是平行四边形
∴DE∥BF，即DE∥BC，DE=BF=FC
即DE=1/2BC
证明：
过D作DE' ∥BC，交AC于E' 点
∵D为AB边上的中点
A
∴E' 是AC的中点（经过三角形一
边的பைடு நூலகம்点与另一边平行的直线必
E'
D
E
平分第三边）
所以DE' 与DE重合，因此 DE∥BC B
A
用符号语言表示
∵DE是△ABC的中位线
E
1
D
∴ DE∥BC， DE= BC.
2
适用范围:
B
C
① 证明平行问题
② 证明一条线段是另一条线段的 两倍或一半
如图，在 A、B外选一点C，连结AC和BC ， 并分别找出 AC和BC的中点D、E，如果能 测量出DE 的长度，也就能知道 AB的距离了。
A。
D。
这堂课，我们将教大家一种测量的方法。
A。
。B
连结三角形两边中点的线段叫三角形的中位线
A ∵D、 E分别为AB 、AC的中点
∴DE为△ABC 的中位线
D
E
画出△ABC中所有的中位线
B
F
注意
三角形有 三条中位线 C
DF、EF也为△ABC 的中位线
三角形的 中位线和三角形的 中线是否相同？
注意： 区分三角形的中位线和中线：
同样过 D作DF ∥AC ，交BC 于F
F
C
∴BF=FC= 1/2BC ( 经过三角形一边的中点与
另一边平行的直线必平分第三边 ) ∴四边形 DECF 是平行四边形 ∴DE=FC ∴ DE=1/2BC
D B
A
如果 DE是△ABC的中位线
E
那么 ⑴ DE∥BC，
⑵ DE=1/2BC
C
用 ① 证明平行问题