例谈数学思想方法在小学数学解题中的运用_
化难为易化生为熟化繁为简——谈化归思想在小学数学教学中的应用
综合2014·８化归思想既是数学中常见的一种思想方法，也是一种最基本的解题策略，更是一种有效的数学思维方式。
所谓化归思想，就是在研究和解决有关数学问题时，采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而解决问题的一种方法。
运用归思想解决问题，一般是将复杂问题通过变换转化为简单问题，将难解的问题通过变换转化为容易求解的问题，将未解决的问题通过变换转化为已解决的问题。
一、在简单计算中感知化归思想在学习新知识的时候，人们往往会用已有的知识去认识、探究，从而形成一种新的体验，渐渐转化为自己的知识，这样的一种过程我们称之为化归的过程。
虽然小学生的年纪比较小，但是运用学过的知识或经验来处理新问题，在现实生活中肯定是有过这样的体验和经历。
因此，课堂教学中，教师可以运用化归思想来引导学生解决问题。
例如，学习“１０以内的加减法”和“２０以内的进位加法”时，对１～２０各个数字的认识，尤其是在认知１～１０的数字组成之后，学生对“拆小数，凑大数”或“拆大数，凑小数”这样的学习方法是比较容易接受的。
但２０以内加法的口算方法是多样化的，所表现出来的计算方法也各不相同，如“点数”“接着数”“凑十法”等，其中“凑十法”是很重要的一种方法。
所谓“凑十法”，就是把大数拆分成小数，或者反过来把小数拆分，再和另一个大数或是小数凑成十。
这样就把２０以内的进位加法转化为学生比较容易接受的十加几的算术题，从而使得这种复杂的计算题变得更加简单。
如计算８＋４时，可以先把4拆分成2和2，再把８和２凑成一个整十，就可以得到１０＋２＝１２，最后得出８＋４＝１２。
如果把２０以内的加法也利用这种方法进行转化，变成１０加几的计算题，学生在这个学习过程中可以感受到化归思想的具体含义，并且把这种数学思想很好地运用到学习、生活中去。
二、在实践探索中体验化归思想学生在不断的学习中慢慢地领悟化归思想的实际含义，然后进行深入的学习和运用。
例如，在求多边形的内角和时，由于学生已掌握三角形内角和的知识，所以教师可以引导学生通过动手操作把四边形分割成为两个三角形，这样就把四边形的四个内角和转化为两个三角形的六个角和。
例谈数学思想在解题中的应用
Ａ． ８ １
一
分析 ： 本题 主要 考查 整 体 化 思 想 的 应 用 ． 镶 嵌 而 成 的 正方 形 图案 ． 已知 该 图 案 的 面 积 为 ４ ． ９ 小正 方 形 比较 题 目中 的 两个 代 数 式 不 难 发 现 ，其 二 次项 系 数 和 的 面积 为 ４若 用 ， 示 小 长 方 形 的边 长 （＞ ）请 观 察 图 ． Ｙ表 ｘｙ ， 次 项 系数 都 是 ３倍 的 关 系 ．所 以可 利 用 整体 代换 的 方 法 案 。 出 以下 关 系 中不 正确 的是 ： 指
想 的应 用 ．
ｘ ６ ７ 故 应 选 Ｄ ＋＝ ， ．
ｊ
通 过 观察 图 形 不 难 看 出 ．大 正 方
二 、 化 思 想 转
形 的 面 积 为 （＋ ） ４ ， 正 方 形 面 积 ｙ： ９ 小 －
所 谓转 化 ， 即设 法把 需 要 解决 的 问题 ， 过 某 种 转 化 过 为 （－ ） ４ 通 ｘ ｙ ￣ ，四个 小长 方 形 的 面 积 为 － － 程 ， 归 到一 类 已经 解 决或 易 于 解 决 的 问题 中 ， 而 使 原 来 ４ ｙ 化 从 ｘ ．由 此 可 进 一 步 得 出 ｘ ｙ ７ ＿ ＝ ＋＝。 ｙ 的 问题 得 到 解 决 ．
２ｘ４， 等． 不 确 是 ２故 选 ，＋９ ４ ＝坼 ｙ 所 正 的 坼 ５应 Ｄ 以 ，
五 、 类 讨 论 思想 分
当题 目中 的条 件 或结 论 不 确 定 或 不 唯一 时 ，会 产 生 几 种可 能 的情 况 ， 要 对 每一 种 情 况 都 进 需
行 分 析 解 决 。 后 综 合 得 出 结 论 ． 就 最 这 要 求 此 人 共 走 了 多 少 米 ， 直 接 计 算 比较 复 杂 ． “ 若 由 道 是分 类 讨 论 ， 分类 时 要 做 到 不 重 不漏 ． 路 宽 为 １米 ” 个 条件 易想 到 ， １ 长 的 道 路 ， 面 积 为 这 每 米 其 例 ５等 腰 三 角 形 一 腰 上 的 中 线 将 ． ｌ 方米． 可将“ 平 故 求共 走 了 多 少 米 远 ” 问 题 转 化 为 “ 所 周 长 分 为 １ 的 求 ２和 ９两 部 分 ， 这 个 三 角 求 走 的道 路对 应 的 面积 为多 少平 方 米 ” 问题 ． ７ ８ ５ （ 的 由 ｘ ＝ ６ 平 形 的 各 边 长． Ｂ
例谈数学思想在解题中的应用
、
用 分类 讨 论 思 想 巧 妙 解 题
当被 研 究 的 问题 包 含 多 种 可 能 情 况 ， 能 一 概 而 论 时 ， 不
行 四边 形 ， 以 ＡＤ＝ Ｃ， 所 Ｅ ＡＥ＝ Ｂ Ｃ Ｄ． 因 为 ＡＢ＝ Ｄ＝ ＡＤ＝ 。 Ｃ ７． ５
握 一 定 的 数 学 思 想 与方 法 ， 解 、 握 基 本 的数 学 知 识 及 技 理 掌 能提 到并 重 的 位 置 。那 么 初 中数 学 教 学 中 常 用 到 哪 些 数 学
思想 方 法 呢？ 现 举 例 说 明 ：
一
数。
Ａ
Ｄ
析解 ：过 Ａ点作 Ａ ∥ Ｅ Ｄ 交 Ｂ Ｃ， Ｃ于 Ｅ， 因为 Ａ Ｄ∥
析解 ： 由两 实 数 ａ ｂ在 数 轴 上 的位 置 可 知 、
所 以 ａ ｂ Ｏ．— ＞ ＋ ＜ ｂ ａ０
例 ２ 某 商 场 销 售 一 批 名 牌 衬 衫 ，平 均 每 天 可售 出 ２ ０
ＷＥ Ｉ Ａ Ａ Ｇ Ｎ Ｌ ０ Ｈ Ｎ Ｄ
实 践 平 台
例谈数掌思想 在解题 中的 应 用
文 ／ 庆 思 吴
评 注 ： 审题 时 不 仅要 找 到 隐 含 的 相 等 关 系 ， 出方 程 ， 在 列 还 要 抓 住 “ 快 减 少 库 存 ” 样 的 要 求 ， 能 对 所 得 的 方 程 尽 这 才 的解 进 行 合 理 的取 舍 。
Ｅ
Ｃ
必 须 按 可 能 出现 的所 有 情 况 来 分 别 讨 论 ， 得 出 各 种 相 应 的
结 论 ． 种处 理 问 题 的 思 想 方 法 称 为分 类 思 想 。 这
Ｂ Ｃ＝１ 所 以 Ｂ Ｂ Ｃ ２， Ｅ＝ Ｃ— Ｅ＝１ — ＝ ＡＥ＝ Ｄ： ２ ５ ７， Ｃ ＡＢ＝ ７． 所 以
例谈数学思想方法在“解决问题”中的渗透
例谈数学思想方法在“解决问题”中的渗透作者：张永昌来源：《教学与管理(小学版)》2011年第09期小学数学课程标准教材将“解决问题”贯穿在小学数学课程的全部内容之中，显然，“解决问题”是小学数学学习的基本形式。
作为一种基本的数学学习，学生在“解决问题”的过程中，不仅需要获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识以及必要的应用技能，更需要获得作为数学灵魂的思想方法。
因此，在“解决问题”的教学过程中，教师要精心挖掘、渗透知识和问题背后所蕴含的数学思想方法，引导学生在掌握知识、解决问题的同时，体验和领悟作为精髓的数学思想方法，发展数学思维，从而提高学生的数学素养，为今后的持续发展奠定坚实的基础。
一、渗透化归的思想方法数学家雅诺夫斯卡娅说：“解题就是意味着把所要解的问题转化为已解过的问题。
”数学学习中，遇到一些数量关系复杂、隐蔽而难以解决的数学问题时，可以引导学生运用化归的思想方法，通过某种转化过程，把未知的复杂问题简单化、抽象问题具体化、一般问题特殊化，从而求得原来数学问题的解决。
例：“小红看一本故事书，看了一些后，已看的与剩下的比是1∶4，又看了25页，现在已看的与剩下的比是3∶7。
这本故事书共多少页？”分析：直接解答本题有一定困难，可以将题中条件进行转化，成为常见的分数问题。
即“已看的与剩下的比是1∶4”转化为“已看的页数是总页数的＝”，“现在已看的与剩下的比是3∶7”转化为“现在已看的页数是总页数的＝”。
已看的页数占总页数的分率发生变化，是因为“又看了25页”，因此，25页相当于这本故事书总页数的（－）＝。
所以这本故事书共有25÷＝250（页）。
二、渗透分类的思想方法有些数学问题，由于条件与问题之间的联系不是单一的，情况比较复杂，用一般的思维方法难以解决。
不妨根据问题的实际情况和需要恰当分类，并逐类分析思考求解，从而顺利解决问题。
需要注意的是，应用分类思想方法解决问题时要抓住问题的本质特征合理分类，做到不重复、不遗漏。
例谈数形结合思想在小学数学教学中的应用_4
例谈数形结合思想在小学数学教学中的应用泰州市泰东实验学校李涛论文提要：数和形是数学研究的两个基本对象，“数”构成了数学的抽象化符号语言，“形”构成了数学的直观化图形语言。
他们各有优势，人们常常把“数”和“形”结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”，使数量的精确刻画与空间形式的直观形象和谐统一，从而使问题得以巧妙地解决。
在小学数学教学中，教师应充分重视数形结合思想在学生学习中的有机渗透和应用，这样有利于学生更好地掌握数学知识，更深刻地理解知识的本质，更灵活地发现、提出和解决问题，感受数学的真与美。
主题词：数形结合小学数学以形助数以数解形辨假存真正文：数学是研究现实世界空间形式和数量关系的科学。
空间形式常看作“形”，进一步扩展为数学中有形的可视的东西，如图形、图像、曲线等；数学量关系常看作“数”，进一步扩展为抽象的形式化的数学对象，如数、式、方程等等。
“形”构成了数学的直观化图形语言，“数”构成了数学的抽象化符号语言，由于“数”和“形”各有优势，所以人们常常把数和形结合起来进行思考，使数量的精确刻画与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，寻找解题思路的一种思想。
它包含着转化方向相反的两个方面，一是由数及形，对于表面上属于代数类的问题，充分利用“形”把其中数量关系的几何特征形象地表示出来，通过对图形的处理，发挥直观对抽象的支柱作用，实现抽象概念与具体形象、表象的联系和转化，化抽象为直观，以形助数，使问题获解。
美国著名数学家斯蒂恩说过：“如果一个特定的问题可以转化为图形，那么，思想就整体把握了问题，并且能创造性地思索问题的解法。
”二是由形及数，根据图形结构关系特征，寻找恰当表达问题的数量关系式，将几何问题代数化，利用代数的算法化优势，以数助形，使问题获解。
华罗庚先生曾作一首著名的小诗描述数形结合思想：数形本是相倚依，怎能分作两边飞；数缺形时少直觉，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休；几何代数统一体，永远联系莫分离。
例谈数学思想方法在小学数学解题中的运用
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数学 思 想 方法 是 对 数学 内 容及 其 所使 用 的方 法的 本 质认 识 。小 学 数 学 解 题 中 涉及 许 多 数 学思想 方法, 重视这些 数学思想 方 法的 运用 , 能启 迪学 生 的思 维, 培 养学 生 的数 学素 养 , 使学 生学会 数学地思考 问题, 提高学 生分析 问题和解决 问题的能 力。 现 举 几 例 加 以 说明 。
5 倍, 儿子年龄是父亲年龄的 2 。这样, 经转化后, 原本
2
5
复 杂 的 问 题 就 变 得 十分 简 单 了 。
父亲 的年 龄为 : 63× 5 = 45(岁) 或63÷(1+ 2 )= 45
7
5
(岁)。
儿子 的年 龄为 : 63× 2 = 18(岁) 或63÷(1+ 5 )= 18
例谈数学思想在小学数学教学中的渗透
例谈数学思想在小学数学教学中的渗透摘要：小学数学教学的主要任务是提高学生的整体素质，而思维素质是他们最重要的素质，数学思维方法的渗透是提高学生思维质量和提高数学素养的关键。
在教学中，教师应利用隐藏的教科书资源，同时考虑到学生的认知规律和年龄特征，并切实运用数学思维的渗透力和方法来发展学生的数学思维能力，新时代的新人才是坚实的基础。
关键词：小学数学；数学思想；数学方法；运用所谓数学方法是指人们用来解决数学问题的方法，即用来解决特定数学问题的方法，技术和工具，了解两者之间的关系，理解数学思维是宏观的，数学思维是微观的；数学思维是数学方法的灵魂，数学方法是数学思维的体现和实现方法，解决方案后者提出了解决问题的策略，由于小学数学的思想和方法基本相同，因此小学数学通常将数学思想和方法视为一个整体概念，即小学数学中的思维方法。
一、数学思维方法概述数学思维方法源于人类的社会实践和数学活动，数学思维方法与哲学思维方法密切相关。
古希腊数学的一个关键特征是演绎推理，这一特征源于哲学界的讨论风格，从而塑造了使数学成为公认的真理系统的数学思维和论证方法，不仅思维方式被证明与哲学有关，其他数学思维方式也与哲学密不可分。
数学思维是指人们对数学理论和内容的本质理解，直接支配着数学的实践活动，数学方法是指具有过程，层次和操作属性的特定数学活动过程的方法和工具，数学思想是数学方法的灵魂，数学方法是数学思想的体现和实现的手段，人们习惯于将它们统称为数学思想，小学数学教科书是教授数学的明确工具，不管规则和公式多么重要，在教科书中只能看到漂亮的结论，并且只能通过巧妙的处理才能看到许多问题示例的解决方案，但是这里有监视，试验，分析，介绍，总结或推理的过程，特殊情况不是证据。
二、数量与形式的结合数字和形状是数学研究的两个主要对象，数字不能与形状分开，形状也不能与数字分开。
一方面，抽象的数学概念和复杂的定量关系可以被可视化和简化。
一方面，复杂的图可以由简单的定量关系表示，直观的线段图通常用于在分析定量关系时解决应用程序问题。
数形“相依”促发展——例谈数形结合思想在小学数学中的运用
首 先 引 导 学 生 观察 “ Ｏ ” 在 数轴上 的特殊位置 ． 以“ ０ ” 为分 界 点 ， “ ０ ” 的右 边 是 正 数 ， 从左往右依次排列 ， 越 来 越 大： “ ０ ” 的左 边 是 负 数 ， 从右往左依次排列 ， 越 来 越 小 。借 助数 轴 形 象 感 知 数 轴 上 的数 从 左 往 右 的顺 序 就 是 从 小 到 大的顺序 ． 比“ Ｏ ” 大 的数 是 正 数 ． 比“ ０ ” 小 的 数 是 负数 ． “ ０ ” 既 不 是正 数 也 不 是 负 数 ， 实 现 对 数 的 结构 的整 体 建 构 义如 ， 在教 学《 求一个 小数 的近似数》 时 ， 为了 ＞
【 体会 】 基 于 以 上 对 数 彤 结 合 思 想 的认 识 ， 结合 自己
的教 学 实 践 ．谈 谈 在 小 学 数 学 课 堂 中渗 透 数 形 结 合 思 想 的体 会 《 数学课程标准》 （ ２ ０ １ １ 年版） 明确 提 出 ： “ 在 数 学 课 程
先 是 学 生 动 手 操 作 分“ 模拟” 奖 品来 理解 算 理 ． 然 后
注 重 发 展 学 生 的 应 用 意 识 和 创 新 意 识 所 有 这些 能 力 的
⑧ ⑧ ⑩ ｏ
从而得 出： １ ３ ＋ ４ ： ３ ……１
培 养 都 离 不 开 数 学 思 想 的 支 撑 ．而 数 形 结 合 思 想 在 小 学
数 学 课 堂 教 学 中尤 为 重 要
一
借 助 直观 形 象 模 型 来理 解 抽 象 的数 学 概 念 以及 抽 象
利用“ 圈一 圈 ” 活动进一步理解算 理 ． 借 助“ 形” 来 理 解 抽 象 的 算式 中 每 个 数 与 运 算 符 号 的意 义 ． 建立 “ 形” 与 有 余 数 除 法 算 式 之 间 的联 系 ． 渗透数形结合 思想 ， 如下 图
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例谈数学思想方法在小学数学解题中的运用_
数学思想方法是对数学内容及其所使用的方法的本质认识。
小学数学解题中涉及许多数学思想方法，重视这些数学思想方法的运用，能启迪学生的思维，培养学生的数学素养，使学生学会数学地思考问题，提高学生分析问题和解决问题的能力。
现举几例加以说明。
一、转化的思想方法
G·波利亚指出：“解题过程就是不断变更题目的过程。
”转化的思想方法就是在解决数学问题时，把那些陌生或难以解决的问题，换一个角度去看、换一种方式去想、换一种叙述去讲、换一种观点去处理，使得陌生问题熟悉化、多元问题一元化、复杂问题简单化、抽象问题具体化、一般问题特殊化，朝着有利于解决问题的方向不断变更，从而使原问题获得解决。
例1 一辆汽车从甲地开往乙地，前两小时行了全程的，第三小时行了80千米，这时已行的路程与剩下路程的比是
二、对应的思想方法
对应是两个集合元素之间存在着一种对应关系，即未知问题中所描述的对象，在已知问题中都有与之一一对应的内容。
小学数学中有元素与元素、数与算式、量与量、量与率等多种对应关系，解题时可以根据这种一一对应的关系，由已知问题去探索解决未知问题。
例3 一辆汽车，行驶75千米节约汽油5千克。
照这样计算，再行驶525千米，一共可节约汽油多少千克?(用比例解)
三、方程的思想方法
方程的思想方法是从问题中已知量和未知量之间的数量关系入手，运用数学的符号语言在已知量与未知量之间建立一个等式(方程)，然后通过解方程来使问题获解。
在小学数学解题中，有些问题逆向思考起来思路不够顺畅，有时甚至不容易求解。
这时，可以抓住题中数量之间的等量关系，用方程的思想方法来解决，会收到意想不到的效果。
例5 徒弟加工零件45个，比师傅加工零件个数的多5个。
师傅加工零件多少个?
例6 打印一部书稿，王师傅单独工作15天可以完成，李师傅单独工作20天可以完成。
两人合作6天后，剩下的由李师傅继续完成，李师傅还要工作几天才能完成?
四、类比的思想方法
G·波里亚说过：“类比似乎在一切数学发现中有作用，而且在某些发现中有它最大的作用。
”类比思想方法就是根据两个或两类对象的相同或相似方面来推断它们在其他方面也相同或相似，是一种从特殊到特殊的思想方法，它能够解决一些表面上看似复杂
困难的问题。
在小学数学解题中，可以从结构特征、数量关系、情节内容等方面把需要解决的生疏问题与已经熟悉的问题进行类比，从而丰富认识、启迪思维、明确探索方向，迅速找到解决问题的途径和方法。
例7 一块布料，可做10件上衣或15条裤子。
如果配套裁剪，可以做多少套服装?
分析与解：题中既不知有多少布料，又不知做一件上衣和一条裤子需要多少布料，看似无从下手。
如果把这块布料理解为总工作量，把这块布料可做10件上衣或15条裤子理解为甲、乙两人完成总工作量所需的时间，这样类比，此题就与“一项工程，甲队独做10天完成，乙队独做15天完成，两队合做多少天可以完成”有着同样的特征。
由此可得，配套裁剪这块布料可以做服装。
五、逆推的思想方法
逆推的思想方法就是从题目的问题或结果出发，根据已知条件一步一步地进行逆向推理，逐步靠拢已知条件，直到解决问题。
在小学数学解题中，有些问题顺向思考很难理出头绪，而利用逆推思想方法进行分析，就像剥笋一样，一层一层深入，可以使问题很容易获得解决。
所以，甲堆原有棋子52枚，乙堆原有棋子30枚，丙堆原有棋子16枚。