高考数学江苏试题及解析

2017年高考数学江苏试题及解析work Information Technology Company.2020YEAR2017年江苏1.(2017年江苏)已知集合A={1，2}，B={a，a2+3}，若A∩B={1}，则实数a的值为 .1.1 【解析】由题意1∈B，显然a2+3≥3，所以a=1，此时a2+3=4，满足题意，故答案为1.2. (2017年江苏)已知复数z=(1+i)(1+2i)，其中i是虚数单位，则z的模是 .3. 某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取▲件．【答案】18【解析】应从丙种型号的产品中抽取30060181000⨯=件，故答案为18．【考点】分层抽样【名师点睛】在分层抽样的过程中，为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的，这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比，即n i∶N i＝n∶N．4. (2017年江苏)右图是一个算法流程图，若输入x的值为116，则输出y的值是 .4. -2 【解析】由题意得y=2+log2116=-2.故答案为-2．5. (2017年江苏)若tan(α+π4)=16则tan α= .5. 75 【解析】tan α= tan[(α-π4)+π4]=tan(α-π4)+tan π41- tan(α-π4) tan π4=16+11-16=75.故答案为75.6. (2017年江苏)如图，在圆柱O 1O 2内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱O 1O 2的体积为V 1，球O 的体积为V 2，则V 1V 2的值是 .6. 32 【解析】设球半径为r ，则V1V2=πr2×2r 43πr3=32．故答案为32．7. (2017年江苏)记函数f （x ）=6+x-x 2的定义域为D ．在区间[-4，5]上随机取一个数x ，则x ∈D 的概率是 .8. (2017年江苏)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线x 23-y 2=1的右准线与它的两条渐近线分别交于点P ，Q ，其焦点是F 1，F 2，则四边形F 1PF 2Q 的面积是 .9.(2017·江苏高考)等比数列{a n }的各项均为实数，其前n 项和为S n .已知S 3＝74，S 6＝634，则a 8＝________. [解析] 设等比数列{a n }的公比为q ，则由S 6≠2S 3，得q ≠1，则⎩⎪⎨⎪⎧S 3＝a 1(1－q 3)1－q＝74，S 6＝a 1(1－q 6)1－q ＝634，解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，a 1＝14，则a 8＝a 1q 7＝14×27＝32.[答案] 3210. (2017·江苏高考)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是________．解析：由题意，一年购买600x 次，则总运费与总存储费用之和为600x ×6＋4x ＝4⎝⎛⎭⎫900x ＋x ≥8900x ·x ＝240，当且仅当x ＝30时取等号，故总运费与总存储费用之和最小时x 的值是30.答案：3011. (2017年江苏)已知函数f(x)=x 3-2x+e x-1e x ，其中e 是自然对数的底数．若f(a-1)+f(2a 2)≤0，则实数a 的取值范围是___________.11. [-1，12] 【解析】因为f （-x ）=-x 3+2x+1e x - e x =-f （x ），所以函数f （x ）是奇函数，因为f′（x ）=3x 2-2+e x +e -x ≥3x 2-2+2e x ·e -x ≥0，所以函数f （x ）在R 上单调递增，又f （a-1）+ f(2a 2)≤0，即f(2a 2)≤f （1-a ），所以2a 2≤1-a ，即2a 2+a-1≤0，解得-1≤a≤12，故实数a 的取值范围为[-1，12].12. (2017年江苏)如图，在同一个平面内，向量→OA，→OB ，→OC 的模分别为1，1，2，→OA与→OC 的夹角为α，且tan α=7，→OB 与→OC 的夹角为45°．若→OC =m →OA+n →OB (m ，n ∈R)，则m n +=___________.12.3 【解析】由tan α=7可得sin α=7210，cos α=210，根据向量的分解，易得⎩⎨⎧ncos 45°+mcos α=2，nsin 45°-msin α=0，即⎩⎪⎨⎪⎧22n+210m=2，22n-7210m=0，即⎩⎨⎧5n+m=10，5n-7m=0，即得m=54，n=74， 所以m+n=3．13. (2017年江苏)在平面直角坐标系xOy 中,A (－12,0),B (0,6),点P 在圆O ：x 2＋y 2＝50上,若→PA ·→PB ≤20,则点P 的横坐标的取值范围是_________. 【答案】 [52,1]【解析】设P (x ,y ,)由→PA ·→PB ≤20易得2x －y ＋5≤0,由⎩⎨⎧2x －y ＋5＝0，x 2＋y 2＝50可得A ：⎩⎨⎧x ＝－5，y ＝－5或B ：⎩⎨⎧x ＝1，y ＝7.由2x －y ＋5≤0得P 点在圆左边弧⌒AB 上,结合限制条件－52≤x ≤52,可得点P 横坐标的取值范围为 [52,1].14. (2017·江苏高考)设f (x )是定义在R 上且周期为1的函数，在区间[0,1)上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈D ，x ，x ∉D ，其中集合D ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪x ＝n －1n ，n ∈N *，则方程f (x )－lg x ＝0的解的个数是________．解析：由于f (x )∈[0,1)，因此只需考虑1≤x <10的情况，在此范围内，当x ∈Q 且x ∉Z 时，设x ＝qp ，q ，p ∈N *，p ≥2且p ，q 互质． 若lg x ∈Q ，则由lg x ∈(0,1)，可设lg x ＝nm ，m ，n ∈N *，m ≥2且m ，n 互质，因此10n m ＝qp ，则10n ＝⎝⎛⎭⎫q p m ，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾，因此lg x ∉Q ， 故lg x 不可能与每个周期内x ∈D 对应的部分相等， 只需考虑lg x 与每个周期内x ∉D 部分的交点．画出函数草图(如图)，图中交点除(1,0)外其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期x ∉D 的部分，且x ＝1处(lg x )′＝1x ln 10＝1ln 10<1，则在x ＝1附近仅有一个交点，因此方程f (x )－lgx ＝0的解的个数为8.答案：815.(2017年江苏)如图,在三棱锥A-BCD中,AB⊥AD,BC⊥BD,平面ABD⊥平面BCD,点E,F(E与A,D不重合)分别在棱AD,BD上,且EF⊥AD.求证：（1）EF∥平面ABC；（2）AD⊥AC.【分析】（1）先由平面几何知识证明EF∥AB,再由线面平行判定定理得结论；（2）先由面面垂直性质定理得BC⊥平面ABD,则BC⊥AD,再由AB⊥AD及线面垂直判定定理得AD ⊥平面ABC,即可得AD⊥AC.【证明】（1）在平面ABC内,∵AB⊥AD,EF⊥AD,∴EF∥AB.又∵EF⊄平面ABC,AB⊂平面ABC,∴EF∥平面ABC.（2）∵平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD＝BD,BC⊂平面BCD,BC⊥BD,∴BC⊥平面ABD.∵AD⊂平面ABD,∴BC⊥AD.又AB⊥AD,BC∩AB＝B,AB⊂平面ABC,BC⊂平面ABC,∴AD⊥平面ABC.又∵AC⊂平面ABC,∴AD⊥AC.16. (2017年江苏)已知向量a＝(cos x,sin x),b＝(3,－3),x∈[0,π].（1）若a∥b,求x的值；（2）记f(x)＝a·b,求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值.【解析】（1）∵a ＝(cos x ,sin x ),b ＝(3,－3),a ∥b , ∴－3cos x ＝3sin x .若cos x ＝0,则sin x ＝0,与sin 2x ＋cos 2x ＝1矛盾,∴cos x ≠0. 于是tan x ＝－33.又x ∈[0,π],∴x ＝5π6.（2）f (x )＝a ·b ＝(cos x ,sin x )·(3,－3)＝3cos x －3sin x ＝23cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6.∵x ∈[0,π],∴x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6,∴－1≤cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π6≤32. 当x ＋π6＝π6,即x ＝0时,f (x )取得最大值3； 当x ＋π6＝π,即x ＝5π6时,f (x )取得最小值－23.17. (2017年江苏)如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为12，两准线之间的距离为8．点P 在椭圆E 上，且位于第一象限，过点F 1作直线PF 1的垂线l 1，过点F 2作直线PF 2的垂线l 2．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）若直线l 1，l 2的交点Q 在椭圆E 上，求点P 的坐标．17.解：（1）设椭圆的半焦距为c ．因为椭圆E 的离心率为12，两准线之间的距离为8，所以c a =12，2a 2c =8，解得a=2，c=1，于是b=a 2-c 2=3，因此椭圆E 的标准方程是x 24+y 23=1．（2）由（1）知，F 1（-1，0），F 2（1，0）.设P （x 0，y 0），因为P 为第一象限的点，故x 0＞0，y 0＞0. 当x 0=1时，l 2与l 1相交于F 1，与题设不符.当x 0≠1时，直线PF 1的斜率为y 0x 0+1，直线PF 2的斜率为y 0x 0-1.因为l 1⊥PF 1，l 2⊥PF 2，所以直线l 1的斜率为-x 0+1y 0，直线l 2的斜率为-x 0-1y 0，从而直线l 1的方程：y=-x 0+1y 0（x+1）， ①直线l 2的方程：y=-x 0-1y 0（x-1）． ②由①②，解得x=-x 0，y=x 02-1y 0，所以Q （-x 0，x 02-1y 0）．因为点Q 在椭圆上，由对称性，得x 02-1y 0=±y 0，即x 02-y 02=1或x 02+y 02=1．又P 在椭圆E 上，故x 024+y 023=1．由⎩⎪⎨⎪⎧x 02-y 02=1，x 024+y 023=1，解得x 0=477，y 0=377；⎩⎪⎨⎪⎧x 02-y 02=1，x 024+y 023=1，无解． 因此点P 的坐标为（477，377）．18. (2017年江苏)如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器Ⅰ和正四棱台形玻璃容器Ⅱ的高均为32 cm ，容器Ⅰ的底面对角线AC 的长为107 cm ，容器Ⅱ的两底面对角线EG ，E 1G 1的长分别为14 cm 和62 cm ．分别在容器Ⅰ和容器Ⅱ中注入水，水深均为12 cm ．现有一根玻璃棒l ，其长度为40 cm ．（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）（1）将l 放在容器Ⅰ中，l 的一端置于点A 处，另一端置于侧棱CC 1上，求l 没入水中部分的长度；（2）将l 放在容器Ⅱ中，l 的一端置于点E 处，另一端置于侧棱GG 1上，求l 没入水中部分的长度．18.解：（1）由正棱柱的定义，CC1⊥平面ABCD，所以平面A1ACC1⊥平面ABCD，CC1⊥AC.记玻璃棒的另一端落在CC1上点M处.因为AC=107，AM=40，所以MC=402-（107）2=30，从而sin∠MAC=3 4，记AM与水面的交点为P1，过P1作P1Q1⊥AC，Q1为垂足，则P1Q1⊥平面ABCD，故P1Q1=12，从而AP1=P1Q1sin∠MAC=16.答：玻璃棒l没入水中部分的长度为16 cm.(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为24 cm)（2）如图，O，O1是正棱台的两底面中心．由正棱台的定义，OO1⊥平面EFGH，所以平面E1EGG1⊥平面EFGH，O1O⊥EG．同理，平面E1EGG1⊥平面E1F1G1H1，O1O⊥E1G1．记玻璃棒的另一端落在GG1上点N处．过G作GK⊥E1G1，K为垂足，则GK =OO1=32．因为EG = 14，E1G1= 62，记EN与水面的交点为P2，过P2作P2Q2⊥EG，Q2为垂足，则P2Q2⊥平面EFGH，答：玻璃棒l没入水中部分的长度为20 cm．(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为20 cm)19. (2017年江苏)对于给定的正整数k，若数列{a n}满足：a n-k+a n-k+1+…+a n-+a n+1+…+a n+k-1+a n+k=2ka n对任意正整数n（n＞k）总成立，则称数列{a n}是“p 1（k）数列”．（1）证明：等差数列{a n}是“p（3）数列”；（2）若数列{a n}既是“p（2）数列”，又是“p（3）数列”，证明：{a n}是等差数列．19.解：（1）因为{a n}是等差数列，设其公差为d，则a n=a1+(n-1)d，从而，当n≥4时，a n-k+a n+k=a1+(n-k-1)d+a1+(n+k-1)d=2a1+2(n-1)d=2a n，k=1，2，3，所以a n-3+a n-2+a n-1+a n+1+a n+2+a n+3=6a n ， 因此等差数列{a n }是“p （3）数列”．（2）数列{a n }既是“p （2）数列”，又是“p （3）数列”，因此， 当n≥3时，a n-2+a n-1+a n+1+a n+2=4a n ，① 当n≥4时，a n-3+a n-2+a n-1+a n+1+a n+2+a n+3=6a n ．② 由①知，a n-3+a n-2=4a n -(a n +a n+1)，③ a n+2+a n+3=4a n+1-(a n-1+a n )，④将③④代入②，得a n-1+a n+1=2a n ，其中n≥4， 所以a 3，a 4，a 5，…是等差数列，设其公差为d′． 在①中，取n=4，则a 2+a 3+a 5+a 6=4a 4，所以a 2=a 3- d′， 在①中，取n=3，则a 1+a 2+a 4+a 5=4a 3，所以a 1=a 3-2d′， 所以数列{a n }是等差数列．20. (2017年江苏)已知函数f(x)=x 3+ax 2+bx+1(a ＞0，b ∈R)有极值，且导函数f′(x)的极值点是f(x)的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值） （1）求b 关于a 的函数关系式，并写出定义域； （2）证明：b 2＞3a ；（3）若f(x)，f′(x)这两个函数的所有极值之和不小于-72，求a 的取值范围．因为f′(x)的极值点是f(x)的零点．当a=3时，f′(x)＞0（x≠-1），故f(x)在R上是增函数，f(x)没有极值；列表如下：故f(x)的极值点是x1，x2．从而a＞3．因此b2＞3a.从而f(x1)+f(x2)=x13+ax12+bx1+1+x23+ax22+bx2+1记f(x)，f′(x)所有极值之和为h(a)，因此a的取值范围为（3，6]．21. (2017年江苏)A ．[选修4-1：几何证明选讲]如图，AB 为半圆O 的直径，直线PC 切半圆O 于点C ，AP ⊥PC ，P 为垂足． 求证：（1）∠PAC=∠CAB ； （2）AC 2=AP·AB ．解：（1）因为PC 切半圆O 于点C ，所以∠PCA=∠CBA ， 因为AB 为半圆O 的直径，所以∠ACB=90°.因为AP ⊥PC ，所以∠APC=90°，所以∠APC=∠CBA.（2）由（1）知，△APC ∽△ACB ，故AP AC =ACAB ，即AC 2=AP·AB ．B ．[选修4-2：矩阵与变换] 已知矩阵A=[0 1 1 0]，B=[1 00 2]. （1）求AB ；（2）若曲线C 1：x 28+y 22=1在矩阵AB 对应的变换作用下得到另一曲线C 2，求C 2的方程． 解：（1）因为A=[0 1 1 0]，B=[1 0 02]， 所以AB=[0 1 1 0] [1 0 0 2] =[0 1 2]. （2）设Q （x 0，y 0）为曲线C 1上的任意一点， 它在矩阵AB 对应的变换作用下变为P(x ，y)，因此曲线C 1在矩阵AB 对应的变换作用下得到曲线C 2：x 2+y 2=8．C ．[选修4-4：坐标系与参数方程](2017年江苏)在平面直角坐标系xOy 中,已知直线l 的参考方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－8＋t ，y ＝t 2(t 为参数),曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2s 2，y ＝22s (s 为参数).设P 为曲线C 上的动点,求点P 到直线l 的距离的最小值.【解析】直线l 的普通方程为x －2y ＋8＝0. 因为点P 在曲线C 上,设P (2s 2,22s),所以点P 到直线l 的距离d ＝|2s 2－42s ＋8|12＋(－2)2＝2(s －2)2＋45.当s ＝2时,d min ＝455. 所以当点P 的坐标为(4,4)时,曲线C 上点P 到直线l 的距离的最小值为455.D ．［选修4-5：不等式选讲］已知a ,b ,c ,d 为实数,且a 2＋b 2＝4,c 2＋d 2＝16.求证：ac ＋bd ≤8. 【证明】由柯西不等式得(ac ＋bd )2≤(a 2＋b 2)(c 2＋d 2). 因为a 2＋b 2＝4,c 2＋d 2＝16, 所以(ac ＋bd )2≤64, 所以ac ＋bd ≤8.22. (2017年江苏)如图，在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AA 1⊥平面ABCD ，且AB =AD =2，AA 1=3，∠BAD=120°． （1）求异面直线A 1B 与AC 1所成角的余弦值； （2）求二面角B-A 1D-A 的正弦值．22.解：在平面ABCD 内，过点A 作AE ⊥AD ，交BC 于点E ． 因为AA 1 平面ABCD ，所以AA 1⊥AE ，AA 1⊥AD ．如图，以{→AE ，→AD ，→AA 1 }为正交基底，建立空间直角坐标系A -xyz ． 因为AB =AD =2，AA 1=3，∠BAD=120°．则A （0，0，0），B （3，-1，0），D （0，2，0），E （3，0，0），A 1（0，0，3），C 1（3，1，3）.（1）→A 1B =（3，-1，-3），→AC 1=（3，1，3），则cos<→A 1B ，→AC 1>=→A 1B ·→AC 1|→A 1B ||→AC1|=（3，-1，-3）·（3，1，3）7=-17. 因此异面直线A 1B 与AC 1所成角的余弦值为17． （2）平面A 1DA 的一个法向量为→AE=（3，0，0）.设m=（x，y，z）为平面BA1D的一个法向量，量，23. (2017年江苏)已知一个口袋中有m个白球，n个黑球（m，n∈N*，n≥2），这些球除颜色外全部相同．现将口袋中的球随机地逐个取出，并放入如图所示的编号为1，2，3，…，m+n的抽屉内，其中第k次取出的球放入编号为k的抽屉（k=1，2，3，…，m+n）．（1）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率P；（2）随机变量X表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，E(X)是X的数学期望，证明：E(X)＜n（m+n）（n-1）．（2）随机变量X的概率分布为。