2020年江苏省南通市等六市高考数学三模试卷(含答案解析)
2020年江苏省南通市等六市高考数学三模试卷题号一二总分得分一、填空题（本大题共14小题，共70.0分）1.已知集合U={-1，0，2，3}，A={0，3}，则∁U A=______．2.已知复数z=（i为虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为______．3.如图是一个算法流程图，若输出y的值为4时，则输入的x的值为______．4.已知一组数据6，6，9，x，y的平均数是8，且xy=90，则该组数据的方差为______．5.一只口袋装有形状、大小都相同的4只小球，其中有3只白球，1只红球，从中1次随机摸出2只球，则2只球都是白色的概率为______．6.已知函数f（x）=则不等式f（x）＞f（-x）的解集为______．7.已知{a n}是等比数列，前n项和为S n，若a3-a2=4，a4=16，则S3的值为______．8.在平面直角坐标系xOy中，双曲线-=1（a＞0，b＞0）的右准线与两条渐近线分别交于A，B两点．若△AOB的面积为，则该双曲线的离心率为______．9.已知直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB=3cm，BC=1cm，CD=2cm，将此直角梯形绕AB边所在的直线旋转一周，由此形成的几何体的体积为______cm3．10.在平面直角坐标系xOy中，若曲线y=sin2x与y=tan x在（，π）上交点的横坐标为α，则sin2α的值为______．11.如图，正六边形ABCDEF中，若=λ+μ（λ，μ∈R），则λ+μ的值为______．12.如图，有一壁画，最高点A处离地面6m，最低点B处离地面3.5m，若从离地高2m的C处观赏它，则离墙m______时，视角θ最大．13.已知函数f（x）=x2-2x+3a，g（x）=，若对任意x1∈[0，3]，总存在x2∈[2，3]，使得|f（x1）|≤g（x2）成立，则实数a的值为______．14.在平面四边形ABCD中，∠BAD=90°，AB=2，AD=1，若•+•=•，则CB+CD的最小值为______．二、解答题（本大题共6小题，共90.0分）15.△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对边的长，a（sin A-sin B）=（c-b）（sin B+sin C）．（1）求角C的值；（2）若a=4b，求sin B的值．16.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，平面BPC⊥平面DPC，BP=BC，E，F分别是PC，AD的中点．求证：（1）BE⊥CD；（2）EF∥平面PAB．17.如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：=1（a＞b＞0）的上顶点为（0，），圆O：x2+y2=经过点M（0，1）．（1）求椭圆C的方程；（2）过点M作直线l1交椭圆C于P，Q两点，过M作直线l1的垂线l2交圆O于另一点N，若△PQN的面积为3，求直线l1的斜率．18.南通风筝是江苏传统手工艺品之一．现用一张长2m，宽1.5m的长方形牛皮纸ABCD裁剪风筝面，裁剪方法如下：分别在边AB，AD上取点E，F，将三角形AEF沿直线EF翻折到A′EF 处，点A′落在牛皮纸上，沿A′E，A′F裁剪并展开，得到风筝面AEA′F，如图1．（1）若点E恰好与点B重合，且点A′在BD上，如图2，求风筝面ABA′F的面积；（2）当风筝面AEA′F的面积为m2时，求点A′到AB距离的最大值．19.已知数列{a n}满足（na n-1-2）a n=（2a n-1）a n-1（n≥2），b n=-n（n∈N*）．（1）若a1=3，证明：{b n}是等比数列；（2）若存在k∈N*，使得，，成等差数列．①求数列{a n}的通项公式；②证明：l n n+a n＞ln（n+1）-a n+1．20.已知函数f（x）=（a≠0），e是自然对数的底数．（1）当a＞0时，求f（x）的单调增区间；（2）若对任意的x≥，f（x）≥2e b-1（b∈R），求实数的最大值；（3）若f（x）的极大值为-2，求不等式f（x）+e x＜0的解集．-------- 答案与解析 --------1.答案：{-1，2}解析：解：∵U={-1，0，2，3}，A={0，3}，∴∁U A={-1，2}，故答案为：{-1，2}根据补集的定义进行求解即可．本题主要考查集合的基本运算，结合补集的定义是解决本题的关键．比较基础．2.答案：-3解析：解：∵z==是纯虚数，∴，解得a=-3．故答案为：-3．利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为0且虚部不为0求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.答案：-1解析：解：程序的功能是计算y=，若输出y的值为4时，则当x≤1时，由3-x=4得x=-1，当x＞1时，由3+x=4得x=1，此时无解，故答案为：-1根据程序框图得到程序功能，结合分段函数进行计算即可．本题主要考查程序框图的识别和判断，理解程序功能是解决本题的关键．4.答案：解析：解：一组数据6，6，9，x，y的平均数是8，且xy=90，∴6+6+9+x+y=8×5，解得x+y=19，又xy=90，∴x，y的值为10，9，∴该组数据的方差为：S2=[（6-8）2+（6-8）2+（9-8）2+（9-8）2+（10-8）2]=．故答案为：．推导出x，y的值为10，9，由此能求出该组数据的方差．本题考查方差的求法，考查平均数、方差等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．5.答案：解析：解：一只口袋装有形状、大小都相同的4只小球，其中有3只白球，1只红球，从中1次随机摸出2只球，基本事件总数n==6，2只球都是白色包含的基本事件个数m==3，∴2只球都是白色的概率为p==．故答案为：．从中1次随机摸出2只球，基本事件总数n==6，2只球都是白色包含的基本事件个数m==3，由此能求出2只球都是白色的概率．本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．6.答案：（-2，0）∪（2，+∞）解析：解：画出函数f（x）的图象，如图所示，易知函数f（x）为奇函数，则f（x）＞f（-x）=-f（x），即f（x）＞0，由图象可得，不等式的解集为（-2，0）∪（2，+∞），故答案为：（-2，0）∪（2，+∞）．画出函数f（x）的图象，如图所示，易知函数f（x）为奇函数，根据奇函数的性质结合图象即可求出．本题考查了分段函数和不等式的解法，考查了数形结合的思想，属于中档题．7.答案：14解析：解：根据题意，{a n}是等比数列，设其公比为q，若a3-a2=4，a4=16，则，解可得q=2，a1=2，则S3==14；故答案为：14根据题意，设数列{a n}的公比为q，结合题意可得，解可得a1与q的值，由等比数列的前n项和公式分析可得答案．本题考查等比数列的前n项和公式以及通项公式，关键是求出数列{a n}的公比．8.答案：2解析：解：双曲线-=1（a＞0，b＞0）的右准线与两条渐近线分别交于A，B两点．可得，解得A（，），B（，-），由△AOB的面积为，可得：=，因为e=＞1，所以e=2．故答案为：2．【分析】求出双曲线的右准线方程，渐近线方程，然后求解双曲线的离心率即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．9.答案：解析：解：直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，AB=3cm，BC=1cm，CD=2cm，将此直角梯形绕AB边所在的直线旋转一周，得到的几何体为圆锥和圆柱的组合体，底面半径都为1，圆柱的高为2，圆锥的高为1，∴由此形成的几何体的体积为：V==（cm3），故答案为：．几何体为圆锥和圆柱的组合体，底面半径都为1，圆柱的高为2，圆锥的高为1，代入体积公式计算即可．本题考查旋转体的体积的求法，考查圆柱、圆锥的结构特征等基础知识，考查逻辑推理能力、运算求解能力，是中档题．10.答案：-解析：解：由题意可得：sin2α=tanα，α∈（，π），可得：sinα＞0，cosα＜0，可得：16sinαcosα=，解得：cos2α=，解得：cosα=-，sinα==，可得：sin2α=2sinαcosα=-．故答案为：-．由题意可得：sin2α=tanα，α∈（，π），可得：sinα＞0，cosα＜0，利用二倍角公式，同角三角函数基本关系式可求cosα，sinα的值，进而可求sin2α的值．本题主要考查了二倍角公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．11.答案：解析：解：依题意，正六边形ABCDEF中，三角形ACE为等边三角形，设三角形ACE的中心为O，AD∩CE=G，则G为CE中点．则=2=2×=×=，故λ+μ==．故填：．依题意，三角形ACE为等边三角形，设三角形ACE的中心为O，则=2=2×=，故λ+μ的值可得．本题考查了平面向量的分解，属于基础题．12.答案：解析：解：如图所示：过点C作CD⊥DA于点D，设CD=x，G故：AD=4，BD=1.5，则：tanθ=tan（∠ACD-∠BCD）==，当且仅当x=，即x=时，视角最大．故答案为：直接利用解直角三角形知识，利用差角的公式和基本不等式的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，基本不等式的应用，主要考察学生的运算能力和转换能力．属于基础题型．13.答案：-解析：解：f（x）=x2-2x+3a在x1∈[0，3]上先减后增故当x=1时，函数有最小值f（1）=3a-1，当a=3时，函数有最大值f（3）=3+3a故f（x1）∈[3a-1，3a+3]，∵g（x）=在x2∈[2，3]上单调递减，故g（x）∈[1，2]，∵对任意x1∈[0，3]，总存在x2∈[2，3]，使得|f（x1）|≤g（x2）成立，∴|f（x1）|max≤g（x2）max，∴，解可得，a=-故答案为：-由g（x）=在x2∈[2，3]上单调递减，可求g（x）∈[1，2]，对任意x1∈[0，3]，总存在x2∈[2，3]，使得|f（x1）|≤g（x2）成立，可得|f（x1）|max≤g（x2）max，结合二次函数的性质可求本题主要考查了函数的恒成立与函数的存在性问题的相互转化思想的应用，解题的关键是二次函数性质的应用．14.答案：解析：解：以A为坐标原点，以AB为x轴，以AD为y轴建立如图坐标系，设C（x，y）．则=（2，0），=（x，y），=（-2，0），=（2-x，-y），=（-x，-y），=（-x，1-y）．•+•=•，所以2x-2x+4=（x2-2x+y2），即（x-1）2+y2=4，即点C在以O（1，0）为圆心，以2为半径的圆上，取O'（5，0），则，所以△OBC∽△OCO'，所以，即BC=，所以CB+CD取得最小值即取得最小值，根据三角形的两边之和大于第三边，≥O'D==，故填：．以A为坐标原点，以AB为x轴，以AD为y轴建立如图坐标系，设C（x，y）．可以推出点C在圆（x-1）2+y2=4上，然后将CB+CD的最小值的问题，根据三角形相似转化为的问题，借助三角形的两边之和大于第三边即可得到CB+CD的最小值．本题借助向量的数量积运算，考查了两距离和最小的问题，考查了构造相似三角形，以及围成三角形的条件．难点在于构造相似三角形将距离和转化为两点间的距离．本题属于难题．15.答案：（本题满分为12分）解：（1）由已知：a（sin A-sin B）=（c-b）（sin C+sin B），由正弦定理，得：a（a-b）=（c-b）（c+b），…（2分）即：a2+b2-c2=ab…（3分）所以：cos C==，…（5分）又：C∈（0，π），所以：C=…（6分）（2）因为：C=，a=4b，所以：sin A=4sin B，可得：sin（-B）=4sin B，可得：cos B+sin B=4sin B，解得：cos B=sin B，所以：（sin B）2+sin2B=1，解得：sin2B=，所以可得：sin B=．……（12分）解析：（1）由已知a（sin A-sin B）=（c-b）（sin C+sin B）利用正弦定理，得a（a-b）=（c-b）（c+b），即a2+b2-c2=ab．再利用余弦定理即可得出．（2）由正弦定理可得sin A=4sin B，利用两角差的正弦函数公式可得：sin（-B）=4sin B，进而可求cos B=sin B，根据同角三角函数基本关系式即可解得sin B的值．本题考查了正弦定理，两角差的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式在解三角形中的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16.答案：证明：（1）在△PBC中，∵BP=BC，E是PC的中点，∴BE⊥PC，∵平面BPC⊥平面DPC，平面BPC∩平面DPC=PC，BE⊂平面BPC，∴BE⊥平面PCD，又CD⊂平面DPC，∴BE⊥CD．（2）取PB中点H，连结EH，AH，在△PBC中，又E是PC的中点，∴HE∥BC，HE=BC，又底面ABCD是平行四边形，F是AD的中点，∴AF∥BC，AF=BC，∴HE∥AF，HE=AF，∴四边形AFEH是平行四边形，∴EF∥HA，∵EF⊄平面PAB，HA⊂平面PAB，∴EF∥平面PAB．解析：（1）推导出BE⊥PC，BE⊥平面PCD，由此能证明BE⊥CD．（2）取PB中点H，连结EH，AH，推导出四边形AFEH是平行四边形，从而EF∥HA，由此能证明EF∥平面PAB．本题考查线线垂直、线面平行的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．17.答案：解：（1）由椭圆C的上顶点为（0，），则b=，又圆O：x2+y2=a2，经过点M（0，1），则a=2，∴椭圆C的方程为+=1．（2）若l1的斜率为0，则PQ=，MN=2，∴△PQN的面积为，不合题意，直线l1的斜率不为0，直线l1的方程为y=kx+1，由，消y可得（3+4k2）x2+8kx-8=0，设点P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1=，x2=，∴PQ==•|x1-x2|=，直线l2的方程为y=-x+1，即x+ky-k=0，∴|MN|=2=，∴△PQN的面积S=PQ•MN=••=3，解得k=±，即直线l1的斜率为±．解析：（1）根据由题意可得b=，即可求出a=2，可得椭圆方程，（2）设直线l1的方程为y=kx+1，再根据韦达定理，和弦长公式，和三角形的面积公式即可求出直线的斜率．本题考查椭圆的方程和性质，主要考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理，同时考查三角形的面积公式，属于中档题．18.答案：解：（1）设∠ABF=θ，则∠ABD=2θ，∵tan2θ==，即=，∴tanθ=或tanθ=-3（舍），∴AF=，∴S△ABF==，∴四边形ABA′F的面积为2S△ABF=．（2）设AE=a（0＜a≤2），∠AEF=θ，则AF=a tanθ，∴2S△AEF=AE•AF=a2tanθ=，故tanθ=，过A′作A′T⊥AE于T，则A′T=A′E sin2θ=a sin2θ，又sin2θ===，∴A′T==．∵a+=+≥4=，当且仅当=即a=时取等号．∴A′T的最大值为=，即点A′到AB距离的最大值为．解析：（1）设∠ABF=θ，根据tan2θ=计算tanθ，从而可求出AF，进而求出四边形的面积；（2）过A′作A′T⊥AE于T，设AE=a，∠AEF=θ，根据面积求出a和tanθ的关系，得出A′T关于a的函数，再利用基本不等式求出A′T的最大值．本题考查三角恒等变换，解三角形的应用，属于中档题．19.答案：解：（1）由（na n-1-2）a n=（2a n-1）a n-1（n≥2），得=+2-n，得-n=2[-（n-1）]，得b n=2b n-1，∵a1=3≠0，∴b1=-1=1=-≠0，则=2，（n≥2），则{b n}是以b1为首项，公比q=2的等比数列．（2）①设-1=λ，由（1）知，b n=2b n-1，则b n=2n-1b1═2n-1λ，即-n=2n-1λ，则=λ•2k-1+k，∵，，成等差数列，∴（λ•2k-1+k）+（λ•2k+1+k+2）=2（λ•2k+k+1），∴λ•2k-1=0，得λ=0，∴即=n，即a n=．②要证l n n+a n＞ln（n+1）-a n+1．即证a n+a n+1＞ln（n+1）-l n n，即（a n+1-a n）＞ln，即+＞2ln，设t=，则+=t-1+=t-，且t＞1，从而只需要证明：当t＞1时，t-＞2ln t即可，设f（x）=x--2ln x，（x＞1），则f′（x）=1+-=（-1）2＞0，∴f（x）在（1，+∞）上单调递增，∴f（x）＞f（1）=0，即x-＞2ln x，∵t＞1时，∴t-＞2ln t成立，∴原不等式得证．解析：（1）根据数列递推关系，利用构造法结合等比数列的定义进行证明即可（2）①由（1）得{b n}的通项公式，结合等差数列的定义建立方程关系进行求解②利用分析法，进行证明即可．本题主要考查递推数列的应用，结合数列递推关系，利用构造法结合等比数列，等差数列的性质建立方程是解决本题的关键．综合性较强，运算量较大，有一定的难度．20.答案：解：（1）f（x）的定义域为（0，e-1）∪（e-1，+∞）．由．∵a＞0，可得x时，f′（x）＞0．∴f（x）的单调增区间为（e，+∞）；（2）当a＜0时，f（1）=a＜0，不符合题意．当a＞0时，由．可得x时，f′（x）＞0．x∈（0，e-1）时，f′（x）＜00．∴f（x）的单调增区间为（e，+∞），递减区间0，e-1）和（e-1，e）；∵，∴f（x）在x=e处取得极小值，即取得最小值．对任意的x≥，f（x）≥2e b-1（b∈R）⇔．a≥e b．∵a＞0，求的最大值，不妨设b＞0.．设g（b）=，（b＞0），．可得g（b）在（0，1）递增，在（1，+∞）递减，∴，∴实数的最大值为．（3）由（2）知a＞0时，f（x）无极大值，当a＜0时，f（x）的单调减区间为（e，+∞），递增区间为（0，e-1）和（e-1，e）；∴f（x）在x=e处取得极大值，即=-2．∴a=-e．可得F（x）=f（x）+e x=e x-．当x时，1+ln x＜0，∴F（x）＞0，当x，+∞）时，．由（2）可得ex≤e x，又1+2≤（1+ln x）2，∴F′（x）≥0，∴F（x）在（）递增，且F（1）=0．∴不等式f（x）+e x＜0的解集为（）．解析：（1）由．可得f（x）的单调增区间为（e，+∞）；（2）当a＜0时，f（1）=a＜0，不符合题意；当a＞0时，利用导数求得在x=e处取得极小值，即取得最小值．从而可得．a≥e b．不妨设b＞0.．设g（b）=，（b＞0利用导数求解；（3）由（2）知a＞0时，f（x）的无极大值，当a＜0时，利用导数可得f（x）在x=e处取得极大值，即a=-e．可得F（x）=f（x）+e x=e x-．可得F（x）在（）递增，且F（1）=0．即可解不等式f（x）+e x＜0．本题考查了导数知识的综合运用，考查函数的最值的问题，以及参数的取值范围，属于中档题．。
江苏省南通市2020届高三第三次模拟考试数学试题答案
所以
f
'(x)
2x (x2 4(x
4x 16) 4)2
0 ，所以
f
( x)max
f
(2
2) 6 4
2
，
即△ ABC 的内切圆的面积最大值为 (6 4 2) ．
18．(本小题满分 16 分)
【答案与解析】
a c 3,
（1）
AF
3 ，点
F
与椭圆
C
左准线的距离为
5， c
a2 c
5,
c a2 b2 ,
，
y
k
(
a3k 2 ab2 a2k2 b2
a)
Hale Waihona Puke 2kab2 a2k2 b2
，
即
M
(
a3 a2
2
k2．
k2
,
…… 6 分a 2 b2
)
b a2
2
k k2
a
同理由
y 2k(x a),
x2 a2
y2 b2
1
得
N
(
4a3k 2 ab2 4a2k 2 b2
,
4kab2 4a2k 2
b2
－f（xj）|≤f(x)max－f(x)min＝4，要使 xn 取得最小值，尽可能多让 xi（i=1，2，3，…，m）取 得最高点，且 f(0)＝1，f(1)＝0，f(2)＝－3，因为 0≤x1 x2 xn ，且
f x1 f x2 f x2 f x3 f xn1 f xn 2017 ，
(ii)
又 2kMA kBN (iii)
由 (i)
(ii)
(iii)
得：
2b2 a2
b4
南通市2020年高三数学试卷全真模拟卷(六)含答案(南通教研室)
2020年江苏高考数学全真模拟试卷(六)（南通教研室）数学Ⅰ试题一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上 1.已知集合A ={－1,0，2},B ={0，1,2,3},则A U B = ▲ ． 2.复数z ＝1＋i2－i(i 为虚数单位)的实部为 ▲ ．3.某新媒体就我国提前进入“5G 移动通信技术”商用元年的欢迎程度进行调查,参加调查的总 人数为1000其中持各种态度的人数如下表:该媒体为进一步了解被调查者的具体想法,打算从中抽取50人进行更为 详细的调查,则应抽取持“很欢迎”态度的人数为 ▲ ． 4.执行如图所示的伪代码,则输出的S 的值为 ▲ ．5.从3,4,12这3个数中随机取出2个数(逐个、不放回),分别记为a ,b,则 “ ab是整数”的概率为 ▲ ． 6.已知长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的体积为72,则三棱锥A 1-BC 1D 的体积为 ▲ ． 7.在平面直角坐标系xOy 中,已知双曲线C 的渐近线方程为y ＝±x ,且它的一个焦点为F ( 2 ,0),则双曲线C 的一条准线与两条渐近线所成的三角形的面积为 ▲ ．（第4题图）8.在平面直角坐标系xOy 中,过点P (1,t )作斜率为 1e (e 为自然对数的底数)的直线,与曲线y ＝ln x 相切于点T ,则实数t 的值为 ▲ ．9.设等比数列{a n }的公比为q (q ＞1)其前n 项和为S n ,若a 2 + a 4= 52 a 3, S 2m =9S m ,则正整数m 的值为 ▲ ．10.已知f (x ) 是定义在R 上的偶函数,且在[0,＋∞)上单调递减,则满足不等式 f (a 2－a ＋1) ≥ f (－34)的实数a 的取值集合为 ▲ ．11.在△AOB 中,已知OA =1,OB = 3 ,∠AOB ＝π2 .若点C ,D 满足OC →= 916 OA → ＋716 OB → ,CD → ＝12(CO → ＋CB → ),则CD → ・CO →的值为 ▲ ．12.在△ABC 中角A ,B ,C 的对边分別为a ,b ,c ,且35bc cos A ＝21ac cos B ＝15ab cos C ,则cos C 的值为 ▲ ．13.已知函数f (x ) = ⎩⎨⎧x ＋1x ， x ＞0，x －1x ，x ＜0，若函数g (x ) =｜f (x )｜＋x －m 恰好有2个不同的零点,则实数m 的取值范围是 ▲ ．14.在平面直角坐标系xOy 中,已知圆O :x 2+y 2=1,直线l :x ＋ay －3=0(a >0),过直线l 上一点P 作圆O 的两条切线,切点分別为S ,T ,且PS → ・PT → ＝23 ,则实数a 的最小值是 ▲ ．二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分14分)已知向量a = (cos x 2 , sin x 2 ), b = ( 3 sin x 2 ，－sin x2 ),函数f (x ) =a ・b ＋1．(1) 求函数f (x )图象的对称轴方程;(2) 求函数f (x )在[－π,0]上的最大值和最小值以及相应的x 的值．如图,在四面体A -BCD 中,已知平面ABC ⊥平面BCD ,△ABC 为正三角形,△BCD 为等腰 直角三角形,其中C 为直角顶点,E ,F 分别为校AC ,AD 的中点. (1) 求证: CD ∥平面BEF ; (2) 求证: BE ⊥平面ACD .17.(本小题满分14分)为了打击海盗犯罪,甲、乙、丙三国海军进行联合军事演习,分别派出一艘军舰A ,B ,C .演 习要求: 任何时刻军舰A ,B ,C 均不得在同一条直线上.(1) 如图1, 若演习过程中,A ,B 间的距离始终保持 3 n mile , B ,C 间的距离始终保持 2 n mile ,求∠ACB 的最大值.(2) 如图2, 若演习过程中,A ,C 间的距离始终保持1n mile ,B ,C 间的距离始终保持 2 n mile .且当∠ACB 变化时, 模拟海盗船D 始终保持: 到B 的距离与A ,B 间的距离相等, ∠ABD = 90°, 与C 在直线AB 的两侧,求C 与D 间的最大距离.（第16题）ADBE F（第17题） ACD B（图2）（图1）BCA在平面直角坐标系xOy 中已知精圆C ：x 24+ y 2=1，集点在x 轴上的啊圆C 2与C 1的离心率相同,且椭圆C 1的外切矩形ABCD (两组对边分别平行于x 轴、y 轴)的顶点在椭圆C 2上. (1) 求椭圆C 2的标准方程.(2) 设P (m ,n )为椭圆C 2上一点(不与点A ,B ,C ,D 重合). ① 若直线:mx ＋4my －4=0,求证:直线l 与椭圆C 1相交；② 记①中的直线l 与椭圆C 1的交点为S ,T ,求证△PST 的面积为定值.19.(本小题满分16分)已知函数f (x )＝a x (x －b )(x －c ),其中a >0,b <c. （1）若a ＝－b ＝c ＝1,求函数f (x )的单调减区间； （2）若数f (x )的极值点是x ＝±1,求b ,c 的值；（3）若b ＝－1,曲线y ＝f (x )在x ＝0处的切线斜率为－1，求证: f (x )的极大值大于 14.20.(本小题满分16分)已知数列{a n }的各项均为正数,其前n 项的积为T n ,记b 1＝T 1，bn ＝nT n (n ≥2) （1）若数列{a n }为等比数列,数列{b n }为等差数列,求数列{a n }的公比. （2）若a 1=1,a 2=2,且na n -1－(n －1)a n = a n -1 a n ,(n ≥3)①求数列{b n }的通项公式.②记c n =ln b n ,那么数列{c n }中是否存在两项c s ,c t ,(s ,t 均为正偶数,且s <t ), 使得数 列c s , c 8,c t ,成等差数列? 若存在,求s ,t 的值;若不存在, 请说明理由.数学Ⅱ附加题21【选做題】本题包括A 、B 、C 三小题,请选定其中两小题．．．．．．．．,并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．，．若多做,按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步聚 A.[选修4-2:矩阵与变换] (本小题满分10分)已知矩阵M =⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d 的特征值为3和一1, 对应的一个特征向量分别为⎣⎢⎡⎦⎥⎤11 ，⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 1－1 .（1）求矩阵M ;（2）设矩阵M 的逆矩阵为M -1，X =⎣⎢⎡⎦⎥⎤m n ，B =⎣⎢⎡⎦⎥⎤42，且M -1X =B ,求实数m ,n 的值.B.[选修4:坐标系与参数方程] (本小题满分10分)已知圆C 的坐标方程为ρ＝2 2 cos(θ+π4 ).（1）求圆心C 的极坐标;（2）现以极点O 为坐标原点,极轴为x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系xOy ，求直线⎩⎨⎧x = 2 2 t y =－1＋ 2 2t (l 为参数)被圆C 截得的弦长.C.[选修45:不等式选讲] (本小题满分10分)已知a 、b 、c ∈R ，且a 2+b 2+2c 2=4,求实数a ＋b ＋c 的最大值.【必做题】第22题、第23题,每小题10分,共计20分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22．（本小题满分10分）如图,在空间直角坐标系O -xyx 中,已知正四棱锥 P -ABCD 的所有棱长均为6,正方形 ABCD 的中心为坐标原点O ,A D ,B C 平行于x 轴, AB 、CD 平行于y 轴,顶点P 在z 轴的正 半轴上,点M 、N 分别在P A ，BD 上，且PM PA ＝BN BD ＝λ (0≤λ≤1).(1) 若λ＝13 ,求直线MN 与PC 所成角的大小;(2) 若二面角A -PN -D 的平面角的余弦值为 610,求λ的值.23.(本小题满分10分)已知集合P =(1,2,3,…n (n ∈N ),从P 中任取2个元素,分别记为a ,b . （1）若n =10,随机变量X 表示ab 被3除的余数,求X =0的概率;（2）若n =5k +1(k ＞1且k ∈N ),随机变量Y 表示a ＋b 被5除的余数,求Y 的概率分布及数学期望E （Y ）.（第22题）。
2020年江苏省徐州市、淮安市、南通市、泰州市、扬州市、连云港市、宿迁市高考数学三模试卷 (解析版)
2020年扬州市、徐州市、南通市、泰州市、淮安市、连云港市、宿迁市高考数学三模试卷一、填空题（共14小题）.1．已知集合A＝{﹣1，0，1}，B＝{0，2}，则A∪B＝．2．设复数z满足（3﹣i）z＝，其中i为虚数单位，则z的模是．3．如图是一个算法流程图，则输出的k的值是．4．某校高一、高二、高三年级的学生人数之比为4：4：3，为了解学生对防震减灾知识的掌握情况，现采用分层抽样的方法抽取n名学生进行问卷检测．若高一年级抽取了20名学生，则n的值是．5．今年我国中医药选出的“三药三方”对治疗新冠肺炎均有显著效果，功不可没．“三药”分别为金花清感颗粒、连花清瘟胶囊、血必净注射液；“三方”分别为清肺排毒汤、化湿败毒方、宜肺败毒方，若某医生从“三药三方”中随机选出2种，则恰好选出1药1方的概率是．6．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2＝4x的准线是双曲线＝1（a＞0）的左准线，则实数a的值是．7．已知cos（α+β）＝，sinβ＝，α，β均为锐角，则sinα的值是．8．公园里设置了一些石凳供游客休息，这些石凳是经过正方体各棱的中点截去8个一样的四面体得到的（如图所示）．设石凳的体积为V1，正方体的体积为V2，则的值是．9．已知x＞1，y＞1，xy＝10，则的最小值是．10．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，若4S2，S4，﹣2S3成等差数列，且a2+a3＝2，则a6的值是．11．海伦（Heron，约公元1世纪）是古希腊亚历山大时期的数学家，以他的名字命名的“海伦公式”是几何学中的著名公式，它给出了利用三角形的三边长a，b，c计算其面积的公式S△ABC＝，其中p＝，若a＝5，b＝6，c＝7，则借助“海伦公式”可求得△ABC的内切圆的半径r的值是．12．如图，△ABC为等边三角形，分别延长BA，CB，AC到点D，E，F，使得AD＝BE ＝CF．若，且DE＝，则的值是．13．已知函数f（x）＝，若函数g（x）＝f（﹣x）+f（x）有且仅有四个不同的零点，则实数k的取值范围是．14．在平面直角坐标系xOy中，过点P（2，﹣6）作直线交圆O：x2+y2＝16于A，B两点，C（x0，y0）为弦AB的中点，则的取值范围是．二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若．（1）求cos C的值；（2）若A＝C，求sin B的值．16．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⏊BC，D，E分别是A1B1，BC的中点．求证：（1）平面ACD⊥平面BCC1B1；（2）B1E∥平面ACD．17．某单位科技活动纪念章的结构如图所示，O是半径分别为1cm，2cm的两个同心圆的圆心，等腰△ABC的顶点A在外圆上，底边BC的两个端点都在内圆上，点O，A在直线BC的同侧．若线段BC与劣弧所围成的弓形面积为S1，△OAB与△OAC的面积之和为S2，设∠BOC＝2θ．（1）当θ＝时，求S2﹣S1的值；（2）经研究发现当S2﹣S1的值最大时，纪念章最美观，求当纪念章最美观时，cosθ的值．（求导参考公式：（sin2x）'＝2cos2x，（cos2x）'＝﹣2sin2x）18．（16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2的直线交椭圆于M，N两点．已知椭圆的短轴长为2，离心率为．（1）求椭圆的标准方程；（2）当直线MN的斜率为时，求F1M+F1N的值；（3）若以MN为直径的圆与x轴相交的右交点为P（t，0），求实数t的取值范围．19．（16分）已知{a n}是各项均为正数的无穷数列，数列{b n}满足b n＝a n•a n+k（n∈N*），其中常数k为正整数．（1）设数列{a n}前n项的积，当k＝2时，求数列{b n}的通项公式；（2）若{a n}是首项为1，公差d为整数的等差数列，且b2﹣b1＝4，求数列的前2020项的和；（3）若{b n}是等比数列，且对任意的n∈N*，a n•a n+2k＝a n+k2，其中k≥2，试问：{a n}是等比数列吗？请证明你的结论．20．（16分）已知函数f（x）＝，g（x）＝，其中e是自然对数的底数．（1）若函数f（x）的极大值为，求实数a的值；（2）当a＝e时，若曲线y＝f（x）与y＝g（x）在x＝x0处的切线互相垂直，求x0的值；（3）设函数h（x）＝g（x）﹣f（x），若h（x）＞0对任意的x∈（0，1）恒成立，求实数a的取值范围．【选做题】本题包括21，22，23三小题，请选定其中两题作答，每小题10分,共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．[选修4-2：矩阵与变换]21．已知m∈R，＝是矩阵M＝的一个特征向量，求M的逆矩阵M﹣1．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在极坐标系中，圆C的方程为ρ＝2r sinθ（r＞0）．以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为（t为参数）．若直线l与圆C恒有公共点，求r的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23．已知x＞1，y＞1，且x+y＝4，求证：≥8．【必做题】第24题、第25题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．24．某“芝麻开门”娱乐活动中，共有5扇门，游戏者根据规则开门，并根据打开门的数量获取相应奖励．已知开每扇门相互独立，且规则相同，开每扇门的规则是：从给定的6把钥匙（其中有且只有1把钥匙能打开门）中，随机地逐把抽取钥匙进行试开，钥匙使用后不放回．若门被打开，则转为开下一扇门；若连续4次未能打开，则放弃这扇门，转为开下一扇门；直至5扇门都进行了试开，活动结束．（1）设随机变量X为试开第一扇门所用的钥匙数，求X的分布列及数学期望E（X）；（2）求恰好成功打开4扇门的概率．25．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线与x 轴的交点为E．过点F的直线与抛物线相交于A，B两点，EA，EB分别与y轴相交于M，N两点，当AB⊥x轴时，EA＝2．（1）求抛物线的方程；（2）设△EAB的面积为S1，△EMN面积为S2，求的取值范围．参考答案一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．）1．已知集合A＝{﹣1，0，1}，B＝{0，2}，则A∪B＝{﹣1，0，1，2}．【分析】进行并集的运算即可．解：∵A＝{﹣1，0，1}，B＝{0，2}，∴A∪B＝{﹣1，0，1，2}．故答案为：{﹣1，0，1，2}．2．设复数z满足（3﹣i）z＝，其中i为虚数单位，则z的模是1．【分析】把已知等式变形，再由商的模等于模的商求解．解：由（3﹣i）z＝，得z＝，∴|z|＝||＝．故答案为：1．3．如图是一个算法流程图，则输出的k的值是5．【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量k的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．解：模拟程序的运行，可得k＝1不满足条件k2﹣4k＞0，执行循环体，k＝2不满足条件k2﹣4k＞0，执行循环体，k＝3不满足条件k2﹣4k＞0，执行循环体，k＝4不满足条件k2﹣4k＞0，执行循环体，k＝5此时，满足条件k2﹣4k＞0，退出循环，输出k的值为5．故答案为：5．4．某校高一、高二、高三年级的学生人数之比为4：4：3，为了解学生对防震减灾知识的掌握情况，现采用分层抽样的方法抽取n名学生进行问卷检测．若高一年级抽取了20名学生，则n的值是55．【分析】先求出高一年级学生占的比例，再根据比例即可求解结论．解：高一年级学生占的比例为＝，故应满足：＝⇒n＝55人，故答案为：55．5．今年我国中医药选出的“三药三方”对治疗新冠肺炎均有显著效果，功不可没．“三药”分别为金花清感颗粒、连花清瘟胶囊、血必净注射液；“三方”分别为清肺排毒汤、化湿败毒方、宜肺败毒方，若某医生从“三药三方”中随机选出2种，则恰好选出1药1方的概率是．【分析】某医生从“三药三方”中随机选出2种，基本事件总数n＝＝15，恰好选出1药1方包含的基本事件个数m＝＝9．由此能求出恰好选出1药1方的概率．解：“三药三方”对治疗新冠肺炎均有显著效果，功不可没．“三药”分别为金花清感颗粒、连花清瘟胶囊、血必净注射液，“三方”分别为清肺排毒汤、化湿败毒方、宜肺败毒方，若某医生从“三药三方”中随机选出2种，基本事件总数n＝＝15，恰好选出1药1方包含的基本事件个数m＝＝9．∴恰好选出1药1方的概率是p＝＝＝．故答案为：．6．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2＝4x的准线是双曲线＝1（a＞0）的左准线，则实数a的值是．【分析】求出抛物线的准线方程，求出双曲线的左准线方程，得到关系式，求解即可．解：抛物线y2＝4x的准线是双曲线＝1（a＞0）的左准线，可得：﹣1＝﹣＝﹣，解得a＝．故答案为：．7．已知cos（α+β）＝，sinβ＝，α，β均为锐角，则sinα的值是．【分析】由α，β的范围得出α+β的范围，然后利用同角三角函数间的基本关系，由cos （α+β）和sinβ的值，求出sin（α+β）和cosβ的值，然后由α＝（α+β）﹣β，把所求的式子利用两角差的正弦函数公式化简后，将各自的值代入即可求出值．解：解：由cos（α+β）＝，sinβ＝，根据α，β∈（0，），得到α+β∈（0，π），所以sin（α+β）＝＝，cosβ＝＝，则sinα＝sin[（α+β）﹣β]＝sin（α+β）cosβ﹣cos（α+β）sinβ＝×﹣×＝．故答案为：．8．公园里设置了一些石凳供游客休息，这些石凳是经过正方体各棱的中点截去8个一样的四面体得到的（如图所示）．设石凳的体积为V1，正方体的体积为V2，则的值是．【分析】设正方体的棱长为2a，求出正方体的体积，再由正方体的体积减去8个三棱锥的体积得石凳的体积，则答案可求．解：设正方体的棱长为2a，则正方体的体积．由题意可得，石凳的体积为V1＝8a3﹣＝．∴＝．故答案为：．9．已知x＞1，y＞1，xy＝10，则的最小值是9．【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．解：因为x＞1，y＞1，xy＝10，所以lgx+lgy＝1，则＝（）（lgx+lgy）＝5+＝9，当且仅当时即lgy＝2lgx且xy＝10即x＝，y＝时取等号，故答案为：9．10．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，若4S2，S4，﹣2S3成等差数列，且a2+a3＝2，则a6的值是﹣32．【分析】等比数列{a n}的公比设为q，运用等差数列的中项性质和等比数列的通项公式，解方程可得首项和公比，进而得到所求值．解：等比数列{a n}的公比设为q，前n项和为S n，若4S2，S4，﹣2S3成等差数列，则2S4＝4S2﹣2S3，可得2（a1+a1q+a1q2+a1q3）＝4（a1+a1q）﹣2（a1+a1q+a1q2），化为2+q＝0，可得q＝﹣2，由a2+a3＝2，可得﹣2a1+4a1＝2，解得a1＝1，则a6＝1•（﹣2）5＝﹣32，故答案为：﹣32．11．海伦（Heron，约公元1世纪）是古希腊亚历山大时期的数学家，以他的名字命名的“海伦公式”是几何学中的著名公式，它给出了利用三角形的三边长a，b，c计算其面积的公式S△ABC＝，其中p＝，若a＝5，b＝6，c＝7，则借助“海伦公式”可求得△ABC的内切圆的半径r的值是．【分析】利用S△ABC＝＝pr，代入即可得出．解：∵a＝5，b＝6，c＝7，∴p＝＝＝9．则S△ABC＝＝r×（5+6+7），可得：r＝．故答案为：．12．如图，△ABC为等边三角形，分别延长BA，CB，AC到点D，E，F，使得AD＝BE ＝CF．若，且DE＝，则的值是．【分析】设AD＝BE＝CF＝x，由于，所以BA＝2AD＝2x＝AC＝BC，BD＝3x．在△BDE中，由余弦定理知，，代入数据可解得x＝1，从而有AF＝3，CE＝3，然后结合平面向量数量积的运算即可得解．解：设AD＝BE＝CF＝x，∵，∴BA＝2AD＝2x＝AC＝BC，∴BD＝BA+AD＝3x，在△BDE中，由余弦定理知，，即，解得x＝1．∴AF＝3，CE＝3，∴＝．故答案为：．13．已知函数f（x）＝，若函数g（x）＝f（﹣x）+f（x）有且仅有四个不同的零点，则实数k的取值范围是（27，+∞）．【分析】表示出函数g（x），分k＝0，k＜0及k＝0讨论，易知当k＝0及k＜0时均不合题意，而观察解析式可知，问题可化为有且仅有两个不同的零点，故利用导数研究函数g（x）在（0，+∞）上的最小值小于0即可．解：依题意，，当k＝0时，原函数有且只有一个零点，不合题意，故k≠0；观察解析式，易知函数g（x）为偶函数，则函数g（x）有且仅有四个不同的零点，可转化为有且仅有两个不同的零点，当k＜0时，函数g（x）在（0，+∞）上递增，最多一个零点，不合题意；当k＞0时，，令g′（x）＞0，解得，令g′（x）＜0，解得，故函数g（x）在上递减，在上递增，要使g（x）在（0，+∞）上有且仅有两个不同的零点，则，解得k＞27．故答案为：（27，+∞）．14．在平面直角坐标系xOy中，过点P（2，﹣6）作直线交圆O：x2+y2＝16于A，B两点，C（x0，y0）为弦AB的中点，则的取值范围是[，）．【分析】作出图象，根据条件可求得点C的运动轨迹为x2+y2﹣2x+6y＝0，的取值范围可转化为求点C与点Q（﹣1，3）的距离范围，数形结合即可解：如图所示，由圆的性质知：PC⊥OC，∴•＝0，又∵＝（x0﹣2，y0+6），＝（x0，y0），则•＝x0（x0﹣2）+y0（y0+6）＝x02+y02﹣2x0+6y0＝0∴点C的轨迹方程为圆：x2+y2﹣2x+6y＝0即（x﹣1）2+（y+3）2＝10，圆心（1，﹣3），半径r＝则的取值范围可转化为求点C与点Q（﹣1，3）的距离范围如图所示，因为点C在圆O内，故只需求出OQ和QM或QN的长度即可，易得OQ＝＝，联立，整理得2x﹣6y﹣16＝0即直线MN方程为x﹣3y﹣8＝0，再联立，解得，，即M（，），N（，），故QM＝＝QN＝＝，因为C取不到M或N点，故的取值范围是[，）．故答案为：[，）．二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若．（1）求cos C的值；（2）若A＝C，求sin B的值．【分析】（1）利用正弦定理转化条件，利用余弦定理求得cos C的值；（2）利用三角函数的内角和定理与三角恒等变换，即可求出sin B的值．解：（1）△ABC中，，由正弦定理得＝，整理得5（a2+b2﹣c2）＝8ab，由余弦定理得cos C＝＝＝；（2）由（1）知cos C＝，C是△ABC的内角，所以sin C＝＝；又A＝C，所以sin B＝sin（π﹣A﹣C）＝sin（A+C）＝sin2C＝2sin C cos C＝2××＝．16．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⏊BC，D，E分别是A1B1，BC的中点．求证：（1）平面ACD⊥平面BCC1B1；（2）B1E∥平面ACD．【分析】（1）推导出AC⊥CC1，AC⊥平面BCC1B1，由此能证明平面ACD⊥平面BCC1B1．（2）取AC中点F，连结EF，DF，推导出四边形B1DFE为平行四边形，从而B1E∥DF，由此能证明B1E∥平面ACD．【解答】证明：（1）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，又AC⊂底面ABC，∴AC⊥CC1，∵AC⊥BC1，CC1∩BC＝C，∴AC⊥平面BCC1B1，∵AC⊂平面ACD，∴平面ACD⊥平面BCC1B1．（2）取AC中点F，连结EF，DF，∵E，F分别为BC，AC中点，∴EF∥AB，EF＝，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB A1B1，∵D为A1B1中点，∴B1D∥AB，B1D＝，∴EF B1D，∴四边形B1DFE为平行四边形，∴B1E∥DF，∵DF⊂平面ACD，B1E⊄平面ACD，∴B1E∥平面ACD．17．某单位科技活动纪念章的结构如图所示，O是半径分别为1cm，2cm的两个同心圆的圆心，等腰△ABC的顶点A在外圆上，底边BC的两个端点都在内圆上，点O，A在直线BC的同侧．若线段BC与劣弧所围成的弓形面积为S1，△OAB与△OAC的面积之和为S2，设∠BOC＝2θ．（1）当θ＝时，求S2﹣S1的值；（2）经研究发现当S2﹣S1的值最大时，纪念章最美观，求当纪念章最美观时，cosθ的值．（求导参考公式：（sin2x）'＝2cos2x，（cos2x）'＝﹣2sin2x）【分析】（1）结合弓形面积公式及三角形的面积公式分别求出S2，S1，然后结合三角函数的性质即可求解；（2）结合（1）的面积表示，结合导数与单调性的关系可求．解：（1）由题意可知，∠BOC＝2θ∈（0，π），故，S1＝＝θ﹣sinθcosθ＝，S2＝﹣sin2θ＝﹣sin2θ＝2sinθ，当时，S1＝，S2＝，故S2﹣S1＝（cm2），（2）S2﹣S1＝2sinθ+sin2θ﹣θ，，令f（θ）＝2sinθ+sin2θ﹣θ，，则f′（θ）＝2cosθ+cos2θ﹣1＝2cos2θ+2cosθ﹣2，令f′（θ）＝0可得，cosθ＝（舍负），记cosθ0＝，，当θ∈（0，θ0）时，f′（θ）＞0，函数单调递增，当时，f′（θ）＜0，函数单调递减，故当θ＝θ0时，即cosθ＝时，f（θ）取得最大值，即S2﹣S1取得最大值．18．（16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2的直线交椭圆于M，N两点．已知椭圆的短轴长为2，离心率为．（1）求椭圆的标准方程；（2）当直线MN的斜率为时，求F1M+F1N的值；（3）若以MN为直径的圆与x轴相交的右交点为P（t，0），求实数t的取值范围．【分析】（1）设焦距为2c，运用离心率公式，可得a，b，c的方程，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；（2）由（1）可得c＝2，即F1（﹣2，0），F2（2，0），联立直线方程和椭圆方程，求得M，N，即可得到所求和；（3）方法一、讨论直线MN的斜率不存在，求得|MN|，可得t的值；MN的斜率存在时，设MN：y＝k（x﹣2），M（x1，y1），N（x2，y2），联立椭圆方程，运用韦达定理和中点坐标公式，弦长公式，结合圆的方程和换元，运用函数的单调性可得所求范围；方法二、运用直径所对的圆周角为直角，结合向量的数量积的性质和坐标表示，化简整理，可得t的不等式组，解得t的范围．解：（1）设焦距为2c，则2b＝2，b2＝a2﹣c2，e＝＝，解得a＝，b＝，则椭圆的方程为+＝1；（2）由（1）可得c＝2，即F1（﹣2，0），F2（2，0），由可得或，即M（，），N（，﹣）或N（，），M（，﹣），因此|F1M|+|F1N|＝+＝；（3）方法一、①MN的斜率不存在时，MN：x＝2，|MN|＝，以MN为直径的圆的方程为（x﹣2）2+y2＝，其与x轴相交的右交点为P（2+，0），即t＝2+；②MN的斜率存在时，设MN：y＝k（x﹣2），M（x1，y1），N（x2，y2），由，可得（1+3k2）x2﹣12k2x+12k2﹣6＝0，△＝（12k2）2﹣4（1+3k2）（12k2﹣6）＝24（k2+1）＞0恒成立，x1+x2＝，x1x2＝，|x1﹣x2|＝＝＝，y1+y2＝k（x1+x2）﹣4k＝k•﹣4k＝﹣，则MN的中点为（，﹣），|MN|＝•|x1﹣x2|＝•＝，故以MN为直径的圆的方程为（x﹣）2+（y+）2＝，令y＝0，可得x＝，由题意可得t＝，可令1+3k2＝m（m≥1），则k2＝，t＝2﹣+，可令x＝，x∈（0，2]，可得t＝2﹣x+，可令f（x）＝2﹣x+，x∈（0，2），由于（x+）2＜x2+x+，则f′（x）＝＜0，故f（x）在（0，2）递减，f（0）＝2+，f（2）＝，因此f（x）∈[，2+），综上可得t∈[，2+]．方法二、x1x2＝，则y1y2＝k2（x1﹣2）（x2﹣2）＝k2[x1x2﹣2（x1+x2）+4]＝k2[﹣2•+4]＝﹣，P在以MN为直径的圆上，则•＝0，（x1﹣t）（x2﹣t）+y1y2＝0，x1x2﹣t（x1+x2）+t2+y1y2＝0，即﹣+t2﹣＝0，化为（3t2﹣12t+10）k2＝6﹣t2，由于P为右交点，故t＞2，因此，解得t∈[，2+]．19．（16分）已知{a n}是各项均为正数的无穷数列，数列{b n}满足b n＝a n•a n+k（n∈N*），其中常数k为正整数．（1）设数列{a n}前n项的积，当k＝2时，求数列{b n}的通项公式；（2）若{a n}是首项为1，公差d为整数的等差数列，且b2﹣b1＝4，求数列的前2020项的和；（3）若{b n}是等比数列，且对任意的n∈N*，a n•a n+2k＝a n+k2，其中k≥2，试问：{a n}是等比数列吗？请证明你的结论．【分析】（1）直接利用关系式的变换的应用求出数列通项公式．（2）首先求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消法在数列求和中的应用求出结果．（3）利用等比数列的的定义的应用求出结果．解：（1）因为，所以（n≥2），两式相除得：＝2n﹣1（n≥2），当n＝1时，，符号上式，∴（n∈N*），当k＝2时，b n＝a n•a n+2＝2n﹣1•2n+1＝4n；（2）由于b n＝a n a n+1，且a1＝1，所以b1＝a1a k+1＝a k+1，b2＝a2a k+2＝（d+1）（a k+1+d）．所以＝4，由于d和k都为正整数，所以d≥1，所以a k+1≥a2＝1+d≥2，所以d2+d（a k+1+1）＝4≥d2+3d．解得d≤1，所以d＝1，即a n＝n．所以d2+d（a k+1+1）＝4＝a k+1+2，即a k+1＝2，解得k＝1．所以b n＝a n+1a n＝n（n+1），所以．则：，所以．（3）{b n}是等比数列，公比为，且对任意的n∈N*，所以＝q2k．a n•a n+2k＝a n+k2，所以，所以，所以＝，则，所以．故数列{a n}是等比数列．20．（16分）已知函数f（x）＝，g（x）＝，其中e是自然对数的底数．（1）若函数f（x）的极大值为，求实数a的值；（2）当a＝e时，若曲线y＝f（x）与y＝g（x）在x＝x0处的切线互相垂直，求x0的值；（3）设函数h（x）＝g（x）﹣f（x），若h（x）＞0对任意的x∈（0，1）恒成立，求实数a的取值范围．【分析】（1）由题意可知a＞0，先对f（x）求导，分析单调性，得到极大值，让其等于，即可解得a的值．（2）分别求出f（x），g（x）在x＝x0处切线的斜率，让它们乘积等于1，即可解得x0的值．（3）问题可以转化为，对任意x∈（0，1）恒成立，设H（x）＝，由（1）可知，H（x）在（0，1）上单调递增，且当x∈（1，+∞）时，H（x）＞0，当x∈（0，1）时，H（x）＜0，可得ae x＞x，也就是ae x＞x对任意x∈（0，1）恒成立，即，设G（x）＝（x∈（0，1）），只要G（x）max≤a，即可得出答案．解：（1）因为f（x）＝，则f′（x）＝＝，因为g（x）＝，所以a＞0，则当x∈（0，e）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当x∈（e，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，所以当x＝e时，f（x）的极大值f（e）＝＝，解得a＝1．（2）当a＝e时，f（x）＝，g（x）＝，则f′（x）＝，g′（x）＝，由题意可知，f′（x0）g′（x0）＝•＝﹣1，整理得x0e+elnx0＝e，设φ（x）＝xe x+elnx，则φ′（x）＝（x+1）e x+＞0，所以φ（x）单调递增，因为φ（1）＝e，所以x0＝1．（3）由题意可知，＞0，对任意x∈（0，1）恒成立，整理得，对任意x∈（0，1）恒成立，设H（x）＝，由（1）可知，H（x）在（0，1）上单调递增，且当x∈（1，+∞）时，H（x）＞0，当x∈（0，1）时，H（x）＜0，若ae x≥1＞x，则H（ae x）≥0＞H（x），若0＜ae x＜1，则H（ae x）＞H（x），且H（x）在（0，1）上单调递增，所以ae x＞x，综上可知，ae x＞x对任意x∈（0，1）恒成立，即，设G（x）＝（x∈（0，1）），则G′（x）＝＞0，所以G（x）单调递增，所以G（x）＜G（1）＝≤a，即a的取值范围为[，+∞）．【选做题】本题包括21，22，23三小题，请选定其中两题作答，每小题10分,共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．[选修4-2：矩阵与变换]21．已知m∈R，＝是矩阵M＝的一个特征向量，求M的逆矩阵M﹣1．【分析】由＝是属于特征值n的一个特征向量，得M＝n，然后求出m，得到矩阵M，再设矩阵的逆矩阵M﹣1＝，由MM﹣1＝，求出M的逆矩阵M﹣1．解：由＝是属于特征值n的一个特征向量，得M＝n，∵M＝＝，＝n＝，∴1+m＝3＝n，解得m＝2，∴矩阵M＝，设矩阵的逆矩阵M﹣1＝，则MM﹣1＝＝＝，∴，解得a＝﹣，b＝，c＝，d＝﹣，解得M﹣1＝．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在极坐标系中，圆C的方程为ρ＝2r sinθ（r＞0）．以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为（t为参数）．若直线l与圆C恒有公共点，求r的取值范围．【分析】求出圆的直角坐标方程，把直线的参数方程化为普通方程，利用点到直线的距离与半径列出不等式求解即可．解：由ρ＝2r sinθ得ρ2＝2rρsinθ，∴圆C的方程为x2+y2﹣2ry＝0，把参数方程为（t为参数），消去参数t，可得：普通方程：x﹣y﹣2＝0，直线与圆有公共点，可得：d＝≤r，解得r≥2．∴实数r的取值范围为[2，+∞）．[选修4-5：不等式选讲]23．已知x＞1，y＞1，且x+y＝4，求证：≥8．【分析】设x﹣1＝m，y﹣1＝n，则m＞0，n＞0，且m+n＝2，再利用基本不等式即可得证．【解答】证明：设x﹣1＝m，y﹣1＝n，又x＞1，y＞1，则m＞0，n＞0，且m+n＝x+y ﹣2＝2，∴＝，当且仅当m＝n＝1，即x＝y＝2时，等号成立，故原命题得证．【必做题】第24题、第25题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．24．某“芝麻开门”娱乐活动中，共有5扇门，游戏者根据规则开门，并根据打开门的数量获取相应奖励．已知开每扇门相互独立，且规则相同，开每扇门的规则是：从给定的6把钥匙（其中有且只有1把钥匙能打开门）中，随机地逐把抽取钥匙进行试开，钥匙使用后不放回．若门被打开，则转为开下一扇门；若连续4次未能打开，则放弃这扇门，转为开下一扇门；直至5扇门都进行了试开，活动结束．（1）设随机变量X为试开第一扇门所用的钥匙数，求X的分布列及数学期望E（X）；（2）求恰好成功打开4扇门的概率．【分析】（1）根据互斥事件概率公式计算X的可能取值对应的概率，得出分布列和数学期望；（2）根据二项分布的概率公式计算概率．解：（1）X的可能取值为1，2，3，4，P（X＝1）＝，P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝，P（X＝4）＝＝，∴X的分布列是：X1234PE（X）＝1×+2×+3×+4×＝3．（2）每扇门被打开的概率为＝，设被打开的门的数量为ξ，则ξ～B（5，），∴恰好成功打开4扇门的概率为：P（ξ＝4）＝•（）4•＝．25．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线与x 轴的交点为E．过点F的直线与抛物线相交于A，B两点，EA，EB分别与y轴相交于M，N两点，当AB⊥x轴时，EA＝2．（1）求抛物线的方程；（2）设△EAB的面积为S1，△EMN面积为S2，求的取值范围．【分析】（1）求得抛物线的焦点坐标，以及E的坐标，运用两点间的距离公式，解得p，进而得到抛物线的方程；（2）设AB：x＝my+，A（x1，y1），B（x2，y2），联立抛物线的方程，运用韦达定理，以及直线方程，求得M，N的坐标，化简整理，运用三角形的面积公式，化简整理，结合韦达定理，即可得到所求范围..解：（1）抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F（，0），准线与x轴的交点为E（﹣，0），当AB⊥x轴时，A的横坐标为，所以y A2＝2px A＝P2，所以|EA|＝＝＝2，解得p＝，所以抛物线的方程为y2＝2x；（2）设AB：x＝my+，A（x1，y1），B（x2，y2），联立抛物线的方程y2＝2x，消去x，可得y2﹣2my﹣2＝0，则y1+y2＝2m，y1y2＝﹣2，直线AE的斜率为k AE＝，则AE的方程为y＝（x+），令x＝0，可得y＝•，即M（0，•），同理可得N（0，•），＝＝＝2（x1+）（x2+）＝2[x1x2+（x1+x2）+]＝2x1x2+（x1+x2）+1＝+（+）+1＝1+[（y1+y2）2﹣2y1y2]+1＝（y1+y2）2+4＝4m2+4≥4．（当m＝0时，取得等号）．即的取值范围为[4，+∞）．。
2020年江苏省徐州市、淮安市、南通市、泰州市、扬州市、连云港市、宿迁市高考数学三模试卷 (解析版)
2020年扬州市、徐州市、南通市、泰州市、淮安市、连云港市、宿迁市高考数学三模试卷一、填空题（共14小题）.1．已知集合A＝{﹣1，0，1}，B＝{0，2}，则A∪B＝．2．设复数z满足（3﹣i）z＝，其中i为虚数单位，则z的模是．3．如图是一个算法流程图，则输出的k的值是．4．某校高一、高二、高三年级的学生人数之比为4：4：3，为了解学生对防震减灾知识的掌握情况，现采用分层抽样的方法抽取n名学生进行问卷检测．若高一年级抽取了20名学生，则n的值是．5．今年我国中医药选出的“三药三方”对治疗新冠肺炎均有显著效果，功不可没．“三药”分别为金花清感颗粒、连花清瘟胶囊、血必净注射液；“三方”分别为清肺排毒汤、化湿败毒方、宜肺败毒方，若某医生从“三药三方”中随机选出2种，则恰好选出1药1方的概率是．6．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2＝4x的准线是双曲线＝1（a＞0）的左准线，则实数a的值是．7．已知cos（α+β）＝，sinβ＝，α，β均为锐角，则sinα的值是．8．公园里设置了一些石凳供游客休息，这些石凳是经过正方体各棱的中点截去8个一样的四面体得到的（如图所示）．设石凳的体积为V1，正方体的体积为V2，则的值是．9．已知x＞1，y＞1，xy＝10，则的最小值是．10．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，若4S2，S4，﹣2S3成等差数列，且a2+a3＝2，则a6的值是．11．海伦（Heron，约公元1世纪）是古希腊亚历山大时期的数学家，以他的名字命名的“海伦公式”是几何学中的著名公式，它给出了利用三角形的三边长a，b，c计算其面积的公式S△ABC＝，其中p＝，若a＝5，b＝6，c＝7，则借助“海伦公式”可求得△ABC的内切圆的半径r的值是．12．如图，△ABC为等边三角形，分别延长BA，CB，AC到点D，E，F，使得AD＝BE ＝CF．若，且DE＝，则的值是．13．已知函数f（x）＝，若函数g（x）＝f（﹣x）+f（x）有且仅有四个不同的零点，则实数k的取值范围是．14．在平面直角坐标系xOy中，过点P（2，﹣6）作直线交圆O：x2+y2＝16于A，B两点，C（x0，y0）为弦AB的中点，则的取值范围是．二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若．（1）求cos C的值；（2）若A＝C，求sin B的值．16．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⏊BC，D，E分别是A1B1，BC的中点．求证：（1）平面ACD⊥平面BCC1B1；（2）B1E∥平面ACD．17．某单位科技活动纪念章的结构如图所示，O是半径分别为1cm，2cm的两个同心圆的圆心，等腰△ABC的顶点A在外圆上，底边BC的两个端点都在内圆上，点O，A在直线BC的同侧．若线段BC与劣弧所围成的弓形面积为S1，△OAB与△OAC的面积之和为S2，设∠BOC＝2θ．（1）当θ＝时，求S2﹣S1的值；（2）经研究发现当S2﹣S1的值最大时，纪念章最美观，求当纪念章最美观时，cosθ的值．（求导参考公式：（sin2x）'＝2cos2x，（cos2x）'＝﹣2sin2x）18．（16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2的直线交椭圆于M，N两点．已知椭圆的短轴长为2，离心率为．（1）求椭圆的标准方程；（2）当直线MN的斜率为时，求F1M+F1N的值；（3）若以MN为直径的圆与x轴相交的右交点为P（t，0），求实数t的取值范围．19．（16分）已知{a n}是各项均为正数的无穷数列，数列{b n}满足b n＝a n•a n+k（n∈N*），其中常数k为正整数．（1）设数列{a n}前n项的积，当k＝2时，求数列{b n}的通项公式；（2）若{a n}是首项为1，公差d为整数的等差数列，且b2﹣b1＝4，求数列的前2020项的和；（3）若{b n}是等比数列，且对任意的n∈N*，a n•a n+2k＝a n+k2，其中k≥2，试问：{a n}是等比数列吗？请证明你的结论．20．（16分）已知函数f（x）＝，g（x）＝，其中e是自然对数的底数．（1）若函数f（x）的极大值为，求实数a的值；（2）当a＝e时，若曲线y＝f（x）与y＝g（x）在x＝x0处的切线互相垂直，求x0的值；（3）设函数h（x）＝g（x）﹣f（x），若h（x）＞0对任意的x∈（0，1）恒成立，求实数a的取值范围．【选做题】本题包括21，22，23三小题，请选定其中两题作答，每小题10分,共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．[选修4-2：矩阵与变换]21．已知m∈R，＝是矩阵M＝的一个特征向量，求M的逆矩阵M﹣1．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在极坐标系中，圆C的方程为ρ＝2r sinθ（r＞0）．以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为（t为参数）．若直线l与圆C恒有公共点，求r的取值范围．[选修4-5：不等式选讲]23．已知x＞1，y＞1，且x+y＝4，求证：≥8．【必做题】第24题、第25题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．24．某“芝麻开门”娱乐活动中，共有5扇门，游戏者根据规则开门，并根据打开门的数量获取相应奖励．已知开每扇门相互独立，且规则相同，开每扇门的规则是：从给定的6把钥匙（其中有且只有1把钥匙能打开门）中，随机地逐把抽取钥匙进行试开，钥匙使用后不放回．若门被打开，则转为开下一扇门；若连续4次未能打开，则放弃这扇门，转为开下一扇门；直至5扇门都进行了试开，活动结束．（1）设随机变量X为试开第一扇门所用的钥匙数，求X的分布列及数学期望E（X）；（2）求恰好成功打开4扇门的概率．25．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线与x 轴的交点为E．过点F的直线与抛物线相交于A，B两点，EA，EB分别与y轴相交于M，N两点，当AB⊥x轴时，EA＝2．（1）求抛物线的方程；（2）设△EAB的面积为S1，△EMN面积为S2，求的取值范围．参考答案一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．）1．已知集合A＝{﹣1，0，1}，B＝{0，2}，则A∪B＝{﹣1，0，1，2}．【分析】进行并集的运算即可．解：∵A＝{﹣1，0，1}，B＝{0，2}，∴A∪B＝{﹣1，0，1，2}．故答案为：{﹣1，0，1，2}．2．设复数z满足（3﹣i）z＝，其中i为虚数单位，则z的模是1．【分析】把已知等式变形，再由商的模等于模的商求解．解：由（3﹣i）z＝，得z＝，∴|z|＝||＝．故答案为：1．3．如图是一个算法流程图，则输出的k的值是5．【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量k的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．解：模拟程序的运行，可得k＝1不满足条件k2﹣4k＞0，执行循环体，k＝2不满足条件k2﹣4k＞0，执行循环体，k＝3不满足条件k2﹣4k＞0，执行循环体，k＝4不满足条件k2﹣4k＞0，执行循环体，k＝5此时，满足条件k2﹣4k＞0，退出循环，输出k的值为5．故答案为：5．4．某校高一、高二、高三年级的学生人数之比为4：4：3，为了解学生对防震减灾知识的掌握情况，现采用分层抽样的方法抽取n名学生进行问卷检测．若高一年级抽取了20名学生，则n的值是55．【分析】先求出高一年级学生占的比例，再根据比例即可求解结论．解：高一年级学生占的比例为＝，故应满足：＝⇒n＝55人，故答案为：55．5．今年我国中医药选出的“三药三方”对治疗新冠肺炎均有显著效果，功不可没．“三药”分别为金花清感颗粒、连花清瘟胶囊、血必净注射液；“三方”分别为清肺排毒汤、化湿败毒方、宜肺败毒方，若某医生从“三药三方”中随机选出2种，则恰好选出1药1方的概率是．【分析】某医生从“三药三方”中随机选出2种，基本事件总数n＝＝15，恰好选出1药1方包含的基本事件个数m＝＝9．由此能求出恰好选出1药1方的概率．解：“三药三方”对治疗新冠肺炎均有显著效果，功不可没．“三药”分别为金花清感颗粒、连花清瘟胶囊、血必净注射液，“三方”分别为清肺排毒汤、化湿败毒方、宜肺败毒方，若某医生从“三药三方”中随机选出2种，基本事件总数n＝＝15，恰好选出1药1方包含的基本事件个数m＝＝9．∴恰好选出1药1方的概率是p＝＝＝．故答案为：．6．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2＝4x的准线是双曲线＝1（a＞0）的左准线，则实数a的值是．【分析】求出抛物线的准线方程，求出双曲线的左准线方程，得到关系式，求解即可．解：抛物线y2＝4x的准线是双曲线＝1（a＞0）的左准线，可得：﹣1＝﹣＝﹣，解得a＝．故答案为：．7．已知cos（α+β）＝，sinβ＝，α，β均为锐角，则sinα的值是．【分析】由α，β的范围得出α+β的范围，然后利用同角三角函数间的基本关系，由cos （α+β）和sinβ的值，求出sin（α+β）和cosβ的值，然后由α＝（α+β）﹣β，把所求的式子利用两角差的正弦函数公式化简后，将各自的值代入即可求出值．解：解：由cos（α+β）＝，sinβ＝，根据α，β∈（0，），得到α+β∈（0，π），所以sin（α+β）＝＝，cosβ＝＝，则sinα＝sin[（α+β）﹣β]＝sin（α+β）cosβ﹣cos（α+β）sinβ＝×﹣×＝．故答案为：．8．公园里设置了一些石凳供游客休息，这些石凳是经过正方体各棱的中点截去8个一样的四面体得到的（如图所示）．设石凳的体积为V1，正方体的体积为V2，则的值是．【分析】设正方体的棱长为2a，求出正方体的体积，再由正方体的体积减去8个三棱锥的体积得石凳的体积，则答案可求．解：设正方体的棱长为2a，则正方体的体积．由题意可得，石凳的体积为V1＝8a3﹣＝．∴＝．故答案为：．9．已知x＞1，y＞1，xy＝10，则的最小值是9．【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．解：因为x＞1，y＞1，xy＝10，所以lgx+lgy＝1，则＝（）（lgx+lgy）＝5+＝9，当且仅当时即lgy＝2lgx且xy＝10即x＝，y＝时取等号，故答案为：9．10．已知等比数列{a n}的前n项和为S n，若4S2，S4，﹣2S3成等差数列，且a2+a3＝2，则a6的值是﹣32．【分析】等比数列{a n}的公比设为q，运用等差数列的中项性质和等比数列的通项公式，解方程可得首项和公比，进而得到所求值．解：等比数列{a n}的公比设为q，前n项和为S n，若4S2，S4，﹣2S3成等差数列，则2S4＝4S2﹣2S3，可得2（a1+a1q+a1q2+a1q3）＝4（a1+a1q）﹣2（a1+a1q+a1q2），化为2+q＝0，可得q＝﹣2，由a2+a3＝2，可得﹣2a1+4a1＝2，解得a1＝1，则a6＝1•（﹣2）5＝﹣32，故答案为：﹣32．11．海伦（Heron，约公元1世纪）是古希腊亚历山大时期的数学家，以他的名字命名的“海伦公式”是几何学中的著名公式，它给出了利用三角形的三边长a，b，c计算其面积的公式S△ABC＝，其中p＝，若a＝5，b＝6，c＝7，则借助“海伦公式”可求得△ABC的内切圆的半径r的值是．【分析】利用S△ABC＝＝pr，代入即可得出．解：∵a＝5，b＝6，c＝7，∴p＝＝＝9．则S△ABC＝＝r×（5+6+7），可得：r＝．故答案为：．12．如图，△ABC为等边三角形，分别延长BA，CB，AC到点D，E，F，使得AD＝BE ＝CF．若，且DE＝，则的值是．【分析】设AD＝BE＝CF＝x，由于，所以BA＝2AD＝2x＝AC＝BC，BD＝3x．在△BDE中，由余弦定理知，，代入数据可解得x＝1，从而有AF＝3，CE＝3，然后结合平面向量数量积的运算即可得解．解：设AD＝BE＝CF＝x，∵，∴BA＝2AD＝2x＝AC＝BC，∴BD＝BA+AD＝3x，在△BDE中，由余弦定理知，，即，解得x＝1．∴AF＝3，CE＝3，∴＝．故答案为：．13．已知函数f（x）＝，若函数g（x）＝f（﹣x）+f（x）有且仅有四个不同的零点，则实数k的取值范围是（27，+∞）．【分析】表示出函数g（x），分k＝0，k＜0及k＝0讨论，易知当k＝0及k＜0时均不合题意，而观察解析式可知，问题可化为有且仅有两个不同的零点，故利用导数研究函数g（x）在（0，+∞）上的最小值小于0即可．解：依题意，，当k＝0时，原函数有且只有一个零点，不合题意，故k≠0；观察解析式，易知函数g（x）为偶函数，则函数g（x）有且仅有四个不同的零点，可转化为有且仅有两个不同的零点，当k＜0时，函数g（x）在（0，+∞）上递增，最多一个零点，不合题意；当k＞0时，，令g′（x）＞0，解得，令g′（x）＜0，解得，故函数g（x）在上递减，在上递增，要使g（x）在（0，+∞）上有且仅有两个不同的零点，则，解得k＞27．故答案为：（27，+∞）．14．在平面直角坐标系xOy中，过点P（2，﹣6）作直线交圆O：x2+y2＝16于A，B两点，C（x0，y0）为弦AB的中点，则的取值范围是[，）．【分析】作出图象，根据条件可求得点C的运动轨迹为x2+y2﹣2x+6y＝0，的取值范围可转化为求点C与点Q（﹣1，3）的距离范围，数形结合即可解：如图所示，由圆的性质知：PC⊥OC，∴•＝0，又∵＝（x0﹣2，y0+6），＝（x0，y0），则•＝x0（x0﹣2）+y0（y0+6）＝x02+y02﹣2x0+6y0＝0∴点C的轨迹方程为圆：x2+y2﹣2x+6y＝0即（x﹣1）2+（y+3）2＝10，圆心（1，﹣3），半径r＝则的取值范围可转化为求点C与点Q（﹣1，3）的距离范围如图所示，因为点C在圆O内，故只需求出OQ和QM或QN的长度即可，易得OQ＝＝，联立，整理得2x﹣6y﹣16＝0即直线MN方程为x﹣3y﹣8＝0，再联立，解得，，即M（，），N（，），故QM＝＝QN＝＝，因为C取不到M或N点，故的取值范围是[，）．故答案为：[，）．二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）15．△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若．（1）求cos C的值；（2）若A＝C，求sin B的值．【分析】（1）利用正弦定理转化条件，利用余弦定理求得cos C的值；（2）利用三角函数的内角和定理与三角恒等变换，即可求出sin B的值．解：（1）△ABC中，，由正弦定理得＝，整理得5（a2+b2﹣c2）＝8ab，由余弦定理得cos C＝＝＝；（2）由（1）知cos C＝，C是△ABC的内角，所以sin C＝＝；又A＝C，所以sin B＝sin（π﹣A﹣C）＝sin（A+C）＝sin2C＝2sin C cos C＝2××＝．16．如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AC⏊BC，D，E分别是A1B1，BC的中点．求证：（1）平面ACD⊥平面BCC1B1；（2）B1E∥平面ACD．【分析】（1）推导出AC⊥CC1，AC⊥平面BCC1B1，由此能证明平面ACD⊥平面BCC1B1．（2）取AC中点F，连结EF，DF，推导出四边形B1DFE为平行四边形，从而B1E∥DF，由此能证明B1E∥平面ACD．【解答】证明：（1）直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥底面ABC，又AC⊂底面ABC，∴AC⊥CC1，∵AC⊥BC1，CC1∩BC＝C，∴AC⊥平面BCC1B1，∵AC⊂平面ACD，∴平面ACD⊥平面BCC1B1．（2）取AC中点F，连结EF，DF，∵E，F分别为BC，AC中点，∴EF∥AB，EF＝，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB A1B1，∵D为A1B1中点，∴B1D∥AB，B1D＝，∴EF B1D，∴四边形B1DFE为平行四边形，∴B1E∥DF，∵DF⊂平面ACD，B1E⊄平面ACD，∴B1E∥平面ACD．17．某单位科技活动纪念章的结构如图所示，O是半径分别为1cm，2cm的两个同心圆的圆心，等腰△ABC的顶点A在外圆上，底边BC的两个端点都在内圆上，点O，A在直线BC的同侧．若线段BC与劣弧所围成的弓形面积为S1，△OAB与△OAC的面积之和为S2，设∠BOC＝2θ．（1）当θ＝时，求S2﹣S1的值；（2）经研究发现当S2﹣S1的值最大时，纪念章最美观，求当纪念章最美观时，cosθ的值．（求导参考公式：（sin2x）'＝2cos2x，（cos2x）'＝﹣2sin2x）【分析】（1）结合弓形面积公式及三角形的面积公式分别求出S2，S1，然后结合三角函数的性质即可求解；（2）结合（1）的面积表示，结合导数与单调性的关系可求．解：（1）由题意可知，∠BOC＝2θ∈（0，π），故，S1＝＝θ﹣sinθcosθ＝，S2＝﹣sin2θ＝﹣sin2θ＝2sinθ，当时，S1＝，S2＝，故S2﹣S1＝（cm2），（2）S2﹣S1＝2sinθ+sin2θ﹣θ，，令f（θ）＝2sinθ+sin2θ﹣θ，，则f′（θ）＝2cosθ+cos2θ﹣1＝2cos2θ+2cosθ﹣2，令f′（θ）＝0可得，cosθ＝（舍负），记cosθ0＝，，当θ∈（0，θ0）时，f′（θ）＞0，函数单调递增，当时，f′（θ）＜0，函数单调递减，故当θ＝θ0时，即cosθ＝时，f（θ）取得最大值，即S2﹣S1取得最大值．18．（16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2的直线交椭圆于M，N两点．已知椭圆的短轴长为2，离心率为．（1）求椭圆的标准方程；（2）当直线MN的斜率为时，求F1M+F1N的值；（3）若以MN为直径的圆与x轴相交的右交点为P（t，0），求实数t的取值范围．【分析】（1）设焦距为2c，运用离心率公式，可得a，b，c的方程，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；（2）由（1）可得c＝2，即F1（﹣2，0），F2（2，0），联立直线方程和椭圆方程，求得M，N，即可得到所求和；（3）方法一、讨论直线MN的斜率不存在，求得|MN|，可得t的值；MN的斜率存在时，设MN：y＝k（x﹣2），M（x1，y1），N（x2，y2），联立椭圆方程，运用韦达定理和中点坐标公式，弦长公式，结合圆的方程和换元，运用函数的单调性可得所求范围；方法二、运用直径所对的圆周角为直角，结合向量的数量积的性质和坐标表示，化简整理，可得t的不等式组，解得t的范围．解：（1）设焦距为2c，则2b＝2，b2＝a2﹣c2，e＝＝，解得a＝，b＝，则椭圆的方程为+＝1；（2）由（1）可得c＝2，即F1（﹣2，0），F2（2，0），由可得或，即M（，），N（，﹣）或N（，），M（，﹣），因此|F1M|+|F1N|＝+＝；（3）方法一、①MN的斜率不存在时，MN：x＝2，|MN|＝，以MN为直径的圆的方程为（x﹣2）2+y2＝，其与x轴相交的右交点为P（2+，0），即t＝2+；②MN的斜率存在时，设MN：y＝k（x﹣2），M（x1，y1），N（x2，y2），由，可得（1+3k2）x2﹣12k2x+12k2﹣6＝0，△＝（12k2）2﹣4（1+3k2）（12k2﹣6）＝24（k2+1）＞0恒成立，x1+x2＝，x1x2＝，|x1﹣x2|＝＝＝，y1+y2＝k（x1+x2）﹣4k＝k•﹣4k＝﹣，则MN的中点为（，﹣），|MN|＝•|x1﹣x2|＝•＝，故以MN为直径的圆的方程为（x﹣）2+（y+）2＝，令y＝0，可得x＝，由题意可得t＝，可令1+3k2＝m（m≥1），则k2＝，t＝2﹣+，可令x＝，x∈（0，2]，可得t＝2﹣x+，可令f（x）＝2﹣x+，x∈（0，2），由于（x+）2＜x2+x+，则f′（x）＝＜0，故f（x）在（0，2）递减，f（0）＝2+，f（2）＝，因此f（x）∈[，2+），综上可得t∈[，2+]．方法二、x1x2＝，则y1y2＝k2（x1﹣2）（x2﹣2）＝k2[x1x2﹣2（x1+x2）+4]＝k2[﹣2•+4]＝﹣，P在以MN为直径的圆上，则•＝0，（x1﹣t）（x2﹣t）+y1y2＝0，x1x2﹣t（x1+x2）+t2+y1y2＝0，即﹣+t2﹣＝0，化为（3t2﹣12t+10）k2＝6﹣t2，由于P为右交点，故t＞2，因此，解得t∈[，2+]．19．（16分）已知{a n}是各项均为正数的无穷数列，数列{b n}满足b n＝a n•a n+k（n∈N*），其中常数k为正整数．（1）设数列{a n}前n项的积，当k＝2时，求数列{b n}的通项公式；（2）若{a n}是首项为1，公差d为整数的等差数列，且b2﹣b1＝4，求数列的前2020项的和；（3）若{b n}是等比数列，且对任意的n∈N*，a n•a n+2k＝a n+k2，其中k≥2，试问：{a n}是等比数列吗？请证明你的结论．【分析】（1）直接利用关系式的变换的应用求出数列通项公式．（2）首先求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消法在数列求和中的应用求出结果．（3）利用等比数列的的定义的应用求出结果．解：（1）因为，所以（n≥2），两式相除得：＝2n﹣1（n≥2），当n＝1时，，符号上式，∴（n∈N*），当k＝2时，b n＝a n•a n+2＝2n﹣1•2n+1＝4n；（2）由于b n＝a n a n+1，且a1＝1，所以b1＝a1a k+1＝a k+1，b2＝a2a k+2＝（d+1）（a k+1+d）．所以＝4，由于d和k都为正整数，所以d≥1，所以a k+1≥a2＝1+d≥2，所以d2+d（a k+1+1）＝4≥d2+3d．解得d≤1，所以d＝1，即a n＝n．所以d2+d（a k+1+1）＝4＝a k+1+2，即a k+1＝2，解得k＝1．所以b n＝a n+1a n＝n（n+1），所以．则：，所以．（3）{b n}是等比数列，公比为，且对任意的n∈N*，所以＝q2k．a n•a n+2k＝a n+k2，所以，所以，所以＝，则，所以．故数列{a n}是等比数列．20．（16分）已知函数f（x）＝，g（x）＝，其中e是自然对数的底数．（1）若函数f（x）的极大值为，求实数a的值；（2）当a＝e时，若曲线y＝f（x）与y＝g（x）在x＝x0处的切线互相垂直，求x0的值；（3）设函数h（x）＝g（x）﹣f（x），若h（x）＞0对任意的x∈（0，1）恒成立，求实数a的取值范围．【分析】（1）由题意可知a＞0，先对f（x）求导，分析单调性，得到极大值，让其等于，即可解得a的值．（2）分别求出f（x），g（x）在x＝x0处切线的斜率，让它们乘积等于1，即可解得x0的值．（3）问题可以转化为，对任意x∈（0，1）恒成立，设H（x）＝，由（1）可知，H（x）在（0，1）上单调递增，且当x∈（1，+∞）时，H（x）＞0，当x∈（0，1）时，H（x）＜0，可得ae x＞x，也就是ae x＞x对任意x∈（0，1）恒成立，即，设G（x）＝（x∈（0，1）），只要G（x）max≤a，即可得出答案．解：（1）因为f（x）＝，则f′（x）＝＝，因为g（x）＝，所以a＞0，则当x∈（0，e）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，当x∈（e，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，所以当x＝e时，f（x）的极大值f（e）＝＝，解得a＝1．（2）当a＝e时，f（x）＝，g（x）＝，则f′（x）＝，g′（x）＝，由题意可知，f′（x0）g′（x0）＝•＝﹣1，整理得x0e+elnx0＝e，设φ（x）＝xe x+elnx，则φ′（x）＝（x+1）e x+＞0，所以φ（x）单调递增，因为φ（1）＝e，所以x0＝1．（3）由题意可知，＞0，对任意x∈（0，1）恒成立，整理得，对任意x∈（0，1）恒成立，设H（x）＝，由（1）可知，H（x）在（0，1）上单调递增，且当x∈（1，+∞）时，H（x）＞0，当x∈（0，1）时，H（x）＜0，若ae x≥1＞x，则H（ae x）≥0＞H（x），若0＜ae x＜1，则H（ae x）＞H（x），且H（x）在（0，1）上单调递增，所以ae x＞x，综上可知，ae x＞x对任意x∈（0，1）恒成立，即，设G（x）＝（x∈（0，1）），则G′（x）＝＞0，所以G（x）单调递增，所以G（x）＜G（1）＝≤a，即a的取值范围为[，+∞）．【选做题】本题包括21，22，23三小题，请选定其中两题作答，每小题10分,共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．[选修4-2：矩阵与变换]21．已知m∈R，＝是矩阵M＝的一个特征向量，求M的逆矩阵M﹣1．【分析】由＝是属于特征值n的一个特征向量，得M＝n，然后求出m，得到矩阵M，再设矩阵的逆矩阵M﹣1＝，由MM﹣1＝，求出M的逆矩阵M﹣1．解：由＝是属于特征值n的一个特征向量，得M＝n，∵M＝＝，＝n＝，∴1+m＝3＝n，解得m＝2，∴矩阵M＝，设矩阵的逆矩阵M﹣1＝，则MM﹣1＝＝＝，∴，解得a＝﹣，b＝，c＝，d＝﹣，解得M﹣1＝．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在极坐标系中，圆C的方程为ρ＝2r sinθ（r＞0）．以极点为坐标原点，极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为（t为参数）．若直线l与圆C恒有公共点，求r的取值范围．【分析】求出圆的直角坐标方程，把直线的参数方程化为普通方程，利用点到直线的距离与半径列出不等式求解即可．解：由ρ＝2r sinθ得ρ2＝2rρsinθ，∴圆C的方程为x2+y2﹣2ry＝0，把参数方程为（t为参数），消去参数t，可得：普通方程：x﹣y﹣2＝0，直线与圆有公共点，可得：d＝≤r，解得r≥2．∴实数r的取值范围为[2，+∞）．[选修4-5：不等式选讲]23．已知x＞1，y＞1，且x+y＝4，求证：≥8．【分析】设x﹣1＝m，y﹣1＝n，则m＞0，n＞0，且m+n＝2，再利用基本不等式即可得证．【解答】证明：设x﹣1＝m，y﹣1＝n，又x＞1，y＞1，则m＞0，n＞0，且m+n＝x+y ﹣2＝2，∴＝，当且仅当m＝n＝1，即x＝y＝2时，等号成立，故原命题得证．【必做题】第24题、第25题，每题10分，共计20分，解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．24．某“芝麻开门”娱乐活动中，共有5扇门，游戏者根据规则开门，并根据打开门的数量获取相应奖励．已知开每扇门相互独立，且规则相同，开每扇门的规则是：从给定的6把钥匙（其中有且只有1把钥匙能打开门）中，随机地逐把抽取钥匙进行试开，钥匙使用后不放回．若门被打开，则转为开下一扇门；若连续4次未能打开，则放弃这扇门，转为开下一扇门；直至5扇门都进行了试开，活动结束．（1）设随机变量X为试开第一扇门所用的钥匙数，求X的分布列及数学期望E（X）；（2）求恰好成功打开4扇门的概率．【分析】（1）根据互斥事件概率公式计算X的可能取值对应的概率，得出分布列和数学期望；（2）根据二项分布的概率公式计算概率．解：（1）X的可能取值为1，2，3，4，P（X＝1）＝，P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝，P（X＝4）＝＝，∴X的分布列是：X1234PE（X）＝1×+2×+3×+4×＝3．（2）每扇门被打开的概率为＝，设被打开的门的数量为ξ，则ξ～B（5，），∴恰好成功打开4扇门的概率为：P（ξ＝4）＝•（）4•＝．25．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线与x 轴的交点为E．过点F的直线与抛物线相交于A，B两点，EA，EB分别与y轴相交于M，N两点，当AB⊥x轴时，EA＝2．（1）求抛物线的方程；（2）设△EAB的面积为S1，△EMN面积为S2，求的取值范围．【分析】（1）求得抛物线的焦点坐标，以及E的坐标，运用两点间的距离公式，解得p，进而得到抛物线的方程；（2）设AB：x＝my+，A（x1，y1），B（x2，y2），联立抛物线的方程，运用韦达定理，以及直线方程，求得M，N的坐标，化简整理，运用三角形的面积公式，化简整理，结合韦达定理，即可得到所求范围..解：（1）抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F（，0），准线与x轴的交点为E（﹣，0），当AB⊥x轴时，A的横坐标为，所以y A2＝2px A＝P2，所以|EA|＝＝＝2，解得p＝，所以抛物线的方程为y2＝2x；（2）设AB：x＝my+，A（x1，y1），B（x2，y2），联立抛物线的方程y2＝2x，消去x，可得y2﹣2my﹣2＝0，则y1+y2＝2m，y1y2＝﹣2，直线AE的斜率为k AE＝，则AE的方程为y＝（x+），令x＝0，可得y＝•，即M（0，•），同理可得N（0，•），＝＝＝2（x1+）（x2+）＝2[x1x2+（x1+x2）+]＝2x1x2+（x1+x2）+1＝+（+）+1＝1+[（y1+y2）2﹣2y1y2]+1＝（y1+y2）2+4＝4m2+4≥4．（当m＝0时，取得等号）．即的取值范围为[4，+∞）．。
2020年高考模拟江苏省南通市(3月份)高考数学模拟测试试卷 含解析
2020年高考模拟（3月份）高考数学模拟试卷一、填空题1．已知集合A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|x＞1}，则A∪B＝．2．设复数z满足（2﹣i）z＝1+i（i为虚数单位），则复数z＝．3．某路口一红绿灯东西方向的红灯吋间为45s，黄灯吋间为3s，绿灯时间为60s，从西向东行驶的一辆公交车通过该路口，遇到红灯的概率为．4．在某频率分布直方图中，从左往右有10个小矩形，若第一个小矩形的面积等于其余9个小矩形的面积和的，且第一组数据的频数为25，则样本容量为．5．如图是一个算法的流程图，则输出的k的值为．6．棱长均为2的正四棱锥的体积为．7．将函数f（x）＝sin（ωx﹣）（ω＞0）的图象向左平移个单位后，所得图象关于直线x＝π对称，则ω的最小值为．8．已知f（x）是定义在R上的偶函数．当x≥0时，f（x）＝，则不等式f（lnx）＜l的解集为．9．已知公差不为零的等差数列{a n}的前n项和为S n，且a2＝6，若a1，a3，a7成等比数列，则S8的值为．10．若椭圆+＝1的焦点在x轴上，过点（1，）作圆x2+y2＝1的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是．11．已知函数f（x）＝mlnx图象与函数g（x）＝2图象在交点处切线方程相同，则m的值为12．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l1：y＝mx与曲线f（x）＝2x3+x从左到右依次交A、B、C三点，若直线l2：y＝kx+2上存在P满足||＝1，则实数k的取值范围是．13．在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2+y2＝1，圆C：（x﹣4）2+y2＝4，动点P在直线x+y﹣2＝0上的两点E，F之间，过点P分别作圆O，C的切线，切点为A，B，若满足PB≥2PA，则线段EF的长度为．14．若△ABC中，AB＝，BC＝8，∠B＝45°，D为△ABC所在平面内一点且满足（），则AD长度的最小值为．二、解答题15．如图，在△ABC中，a，b，c为A，B，C所对的边，CD⊥AB于D，且．（1）求证：sin C＝2sin（A﹣B）；（2）若，求tan C的值．16．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知M，N分别为线段BB1，A1C的中点，MN⊥AA1，且MA1＝MC．求证：（1）平面A1MC⊥平面A1ACC1．（2）MN∥平面ABC．17．已知点O为坐标原点，椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为，点I，J分别是椭圆C的右顶点、上顶点，且△IOJ的边IJ上的中线长为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点H（﹣2，0）的直线交椭圆C于A，B两点，若AF1⊥BF1，求直线AB的方程．18．（16分）某校有一块圆心O，为半径为200米，圆心角为的扇形绿地OPQ，半径OP，OQ的中点分别为M，N，A为弧PQ上的一点，设∠AOQ＝α，如图所示，拟准备两套方案对该绿地再利用．．（1）方案一：将四边形绿地OMAN建成观赏鱼池，其面积记为S1，试将S1表示为关于α的函数关系式；并求α为何值时，S1取得最大？（2）方案二：将弧AQ和线段AN，NQ围成区域建成活动场地，其面积记为S2，试将S2表示为关于α的函数关系式；并求α为何值时，S2取得最大？19．（16分）已知正项数列{a n}，其前n项和为S n，满足2S n＝a n2+a n，n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式a n；（2）如果对任意正整数n，不等式﹣＞都成立，求证：实数c的最大值为1．20．（16分）已知函数f（x）＝（其中a，b∈R）．（1）当a＝1时，若函数y＝f（x）在[0，+∞）上单调递减，求b的取值范围；（2）当b＝1，a≠0时，①求函数y＝f（x）的极值；②设函数y＝f（x）图象上任意一点处的切线为l，求l在x轴上的截距的取值范围．【选做题】本题包括21、22、23三个小题，请选定其中两个小题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分0分）21．已知矩阵A的逆矩阵A﹣1＝．求矩阵A的特征值和相应的特征向量．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分0分）22．在极坐标系中，已知圆C的圆心极坐标为（2，），且圆C经过极点，求圆C的极坐标方程．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）23．已知a，b，c为正实数，+++27abc的最小值为m．24．把编号为1，2，3，4，5的五个大小、形状相同的小球，随机放入编号为1，2，3，4，5的五个盒子里．每个盒子里放入一个小球．（1）求恰有两个球的编号与盒子的编号相同的概率；（2）设小球的编号与盒子编号相同的情况有X种，求随机变量X的分布列与期望．25．设P（n，m）＝（﹣1）k，Q（n，m）＝，其中m，n∈N*．（1）当m＝1时，求P（n，1），Q（n，1）的值；（2）对∀x∈N+，证明：P（n，m）•Q（n，m）恒为定值．参考答案一、填空题1．已知集合A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|x＞1}，则A∪B＝（0，+∞）．解：∵A＝{x|0＜x＜2}，B＝{x|x＞1}；∴A∪B＝（0，+∞）．故答案为：（0，+∞）．2．设复数z满足（2﹣i）z＝1+i（i为虚数单位），则复数z＝i．解：由（2﹣i）z＝1+i，得：．故答案为．3．某路口一红绿灯东西方向的红灯吋间为45s，黄灯吋间为3s，绿灯时间为60s，从西向东行驶的一辆公交车通过该路口，遇到红灯的概率为．解：某路口一红绿灯东西方向的红灯吋间为45s，黄灯吋间为3s，绿灯时间为60s，∴从西向东行驶的一辆公交车通过该路口，遇到红灯的概率为p＝＝．故答案为：．4．在某频率分布直方图中，从左往右有10个小矩形，若第一个小矩形的面积等于其余9个小矩形的面积和的，且第一组数据的频数为25，则样本容量为150．解：设第一个小矩形面积为x，由6x＝1，得x＝，∴样本容量为25×6＝150．故答案为：150．5．如图是一个算法的流程图，则输出的k的值为7．解：在执行循环前：K＝1，S＝1，执行第一次循环时：S＝1，K＝3，执行第二次循环时，S＝3，K＝5，执行第三次循环时，S＝15，K＝7．由于：S＞10，输出K＝7，故答案为：76．棱长均为2的正四棱锥的体积为．【解答】解设正四棱锥的底面中心为O，连结OP，则PO⊥底面ABCD．∵底面四边形ABCD是正方形，AB＝2，∴AO＝．∴OP＝＝．∴正四棱锥的体积V＝＝＝．故答案为：．7．将函数f（x）＝sin（ωx﹣）（ω＞0）的图象向左平移个单位后，所得图象关于直线x＝π对称，则ω的最小值为．解：将函数f（x）＝sin（ωx﹣）（ω＞0）的图象向左平移个单位后，可得函数y ＝sin（ωx+﹣）的图象；再根据所得图象关于直线x＝π对称，可得ωπ+﹣＝kπ+，k∈Z，∴当k＝0时，ω取得最小值为，故答案为：．8．已知f（x）是定义在R上的偶函数．当x≥0时，f（x）＝，则不等式f（lnx）＜l的解集为（，e4）．解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，∴不等式f（lnx）＜l等价为f（|lnx|）＜l，当x≥0时，f（x）＝＝＝2﹣，则函数f（x）为增函数，由f（x）＝＝1，得x＝4，即f（4）＝1，则不等式f（|lnx|）＜l等价为f（|lnx|）＜f（4），则|lnx|＜4，即﹣4＜lnx＜4，即＜x＜e4，即不等式的解集为（，e4），故答案为：（，e4）9．已知公差不为零的等差数列{a n}的前n项和为S n，且a2＝6，若a1，a3，a7成等比数列，则S8的值为88．解：设公差不为零的等差数列{a n}的公差为d，∵a2＝6，a1，a3，a7成等比数列，∴a1+d＝6，＝a1a7，即，d≠0．解得a1＝4，d＝2．则S8＝＝88．故答案为：88．10．若椭圆+＝1的焦点在x轴上，过点（1，）作圆x2+y2＝1的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是．解：设过点（1，）的圆x2+y2＝1的切线为l：y﹣＝k（x﹣1），即kx﹣y﹣k+＝0①当直线l与x轴垂直时，k不存在，直线方程为x＝1，恰好与圆x2+y2＝1相切于点A（1，0）；②当直线l与x轴不垂直时，原点到直线l的距离为：d＝＝1，解之得k＝﹣，此时直线l的方程为y＝﹣x+，l切圆x2+y2＝1相切于点B（，）；因此，直线AB斜率为k1＝＝﹣2，直线AB方程为y＝﹣2（x﹣1）∴直线AB交x轴交于点A（1，0），交y轴于点C（0，2）．椭圆+＝1的右焦点为（1，0），上顶点为（0，2）∴c＝1，b＝2，可得a2＝b2+c2＝5，椭圆方程为故答案为：．11．已知函数f（x）＝mlnx图象与函数g（x）＝2图象在交点处切线方程相同，则m的值为e解：设函数f（x）和g（x）的交点为（x0，y0），则由f（x）＝mlnx，得，∴f（x）在（x0，y0）处的切线方程的斜率，同理，函数g（x）在（x0，y0）处的切线方程的斜率，∵f（x）和g（x）在交点处切线方程相同，∴k1＝k2，即①，又y0＝f（x0）＝mlnx0②，③，由①②③解得，m＝e．故答案为：e．12．在平面直角坐标系xOy中，已知直线l1：y＝mx与曲线f（x）＝2x3+x从左到右依次交A、B、C三点，若直线l2：y＝kx+2上存在P满足||＝1，则实数k的取值范围是k≥或k≤﹣．解：y＝mx与曲线f（x）＝2x3+x，可得它们的图象关于原点对称，即有A，C关于原点对称，由||＝1，结合平行四边形法则可得||＝1，且PD以O为中点，即有|OP|＝，由直线y＝kx+2与圆x2+y2＝有交点，即有≤，解得k≥或k≤﹣．故答案为：k≥或k≤﹣．13．在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2+y2＝1，圆C：（x﹣4）2+y2＝4，动点P在直线x+y﹣2＝0上的两点E，F之间，过点P分别作圆O，C的切线，切点为A，B，若满足PB≥2PA，则线段EF的长度为．解：如图，圆O：x2+y2＝1的圆心为O（0，0），半径为1，圆C：（x﹣4）2+y2＝4的余弦为C（4，0），半径为2．设P（x，y），由PB≥2PA，得PB2≥4PA2，即PC2﹣4≥4（PO2﹣1），∴（x﹣4）2+y2﹣4≥4（x2+y2﹣1），整理得：3x2+3y2+8x﹣16≤0．又x+y﹣2＝0，∴x2+x﹣3≤0，即＝．∴|EF|＝|x1﹣x2|＝．故答案为：．14．若△ABC中，AB＝，BC＝8，∠B＝45°，D为△ABC所在平面内一点且满足（），则AD长度的最小值为．解：建立如图的平面坐标系如图，则B（﹣1，﹣1），C（7，﹣1），设D（x，y），则＝（﹣1，﹣1），＝（7，﹣1），则＝（x，y），∴＝﹣x﹣y，＝7x﹣y，∵（），∴（﹣x﹣y）（7x﹣y）＝4，即（x+y）（y﹣7x）＝4，设得mn＝4，且，则|AD|＝＝＝≥＝＝＝＝，当且仅当50m2＝2n2，即5m＝n时取等号，即AD长度的最小值为，故答案为：二、解答题：共6小题，15-17每小题14分，18-20每小题14分，共计90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或计算步骤．15．如图，在△ABC中，a，b，c为A，B，C所对的边，CD⊥AB于D，且．（1）求证：sin C＝2sin（A﹣B）；（2）若，求tan C的值．解：（1）∵．且BD+AD＝c，∴BD＝c，AD＝c，∵，CD⊥AB∴在直角三角形ACD中，tan A＝，在直角三角形BCD中，tan B＝，则＝＝3，即tan A＝3tan B，则＝，即sin A cos B＝3cos A sin B，则sin C＝sin（A+B）＝sin A cos B+cos A sin B＝sin A cos B+cos A sin B+sin A cos B﹣3cos A sin B ＝2sin A cos B﹣2cos A sin B＝2sin（A﹣B），（2）∵，∴sin A＝，则tan A＝，tan B＝，则tan C＝﹣tan（A+B）＝﹣＝﹣＝﹣．16．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，已知M，N分别为线段BB1，A1C的中点，MN⊥AA1，且MA1＝MC．求证：（1）平面A1MC⊥平面A1ACC1．（2）MN∥平面ABC．【解答】证明：（1）∵MA1＝MC，且N是A1C的中点，∴MN⊥A1C，又MN⊥AA1，AA1∩A1C＝A1，A1C，AA1⊂平面A1ACC1，∴MN⊥平面A1ACC1，∵MN⊂平面A1MC，∴平面A1MC⊥平面A1ACC1．（2）取AC中点P，连结NP，BP，∵N是A1C中点，P为AC中点，∴PN∥AA1，且BB1＝AA1，又M为BB1中点，∴BM∥AA1，且BM＝AA1，∴PN∥BM，且PN＝BM，∴四边形PNMB是平行四边形，∴MN∥BP，∵MN⊄平面ABC，BP⊂平面ABC，∴MN∥平面ABC．17．已知点O为坐标原点，椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，离心率为，点I，J分别是椭圆C的右顶点、上顶点，且△IOJ的边IJ上的中线长为．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点H（﹣2，0）的直线交椭圆C于A，B两点，若AF1⊥BF1，求直线AB的方程．解：（Ⅰ）由题意可得：＝，a2＝b2+c2，＝，联立解得：a2＝2，b＝c＝1．∴椭圆C的标准方程为：+y2＝1．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），过点H（﹣2，0）的直线方程为x＝ky﹣2，代入椭圆方程中，消x可得（k2+2）y2﹣4ky+2＝0则△＝16k2﹣8（k2+2）＞0，解得k＞或k＜﹣2，∴y1+y2＝，y1y2＝，∴x1x2＝（ky1﹣2）（ky2﹣2）＝k2y1y2﹣2k（y1+y2）+4，x1+x2＝k（y1+y2）﹣4，∵AF1⊥BF1，∴•＝0，∴（x1+1）（x2+1）+y1y2＝x1x2+（x1+x2）+1+y1y2＝k2y1y2﹣2k（y1+y2）+4+k（y1+y2）﹣4+1+y1y2＝（1+k2）y1y2﹣k（y1+y2）+1＝0即﹣+1＝0，解得k＝±2，故直线AB的方程的方程为x＝±2y﹣2，即x±2y+2＝018．（16分）某校有一块圆心O，为半径为200米，圆心角为的扇形绿地OPQ，半径OP，OQ的中点分别为M，N，A为弧PQ上的一点，设∠AOQ＝α，如图所示，拟准备两套方案对该绿地再利用．．（1）方案一：将四边形绿地OMAN建成观赏鱼池，其面积记为S1，试将S1表示为关于α的函数关系式；并求α为何值时，S1取得最大？（2）方案二：将弧AQ和线段AN，NQ围成区域建成活动场地，其面积记为S2，试将S2表示为关于α的函数关系式；并求α为何值时，S2取得最大？解：（1）由已知，∠AOQ＝α，，S1＝S△OAN+S△OAM；故S1＝×100×200sinα+×100×200sin（﹣α）＝10000（sinα+cosα+sinα）＝10000（sinα+cosα），整理得（平方米），∴当时，（平方米）．（2）由已知，S2＝S扇形AOQ﹣S△ONA，∴，即S2＝10000（2α﹣sinα）；∴S'2（α）＝10000（2﹣cosα），故S'2（α）＞0；∴S2（α）在上为增函数，∴当时，（平方米）．19．（16分）已知正项数列{a n}，其前n项和为S n，满足2S n＝a n2+a n，n∈N*．（1）求数列{a n}的通项公式a n；（2）如果对任意正整数n，不等式﹣＞都成立，求证：实数c的最大值为1．【解答】（1）解：由题意，当n＝1时，2a1＝，解得a1＝0（舍去），或a1＝1．由，可得，两式相减，可得，即，整理，得（a n+1+a n）（a n+1﹣a n﹣1）＝0，∵数列{a n}各项均为正数，∴a n+1﹣a n﹣1＝0，即a n+1﹣a n＝1．∴数列{a n}是首项为1，公差为1的等差数列，∴数列{a n}的通项公式为a n＝n，n∈N*．（2）证明：由题意，对任意正整数n，不等式﹣＞都成立，可等价转化为，对任意正整数n，不等式•（﹣）＞c都成立．∵，∴c的最大值为1≤c max＜•（﹣）．另一方面，当任取实数a＞1时，＝．①当a≥2时，对任意的正整数n，都有；②当1＜a＜2时，只要，即（2﹣a）2（n+2）＜a2n，也就是时，就有．∴满足条件的c≤1，从而c max≤1．综上所述，可得c的最大值为1．20．（16分）已知函数f（x）＝（其中a，b∈R）．（1）当a＝1时，若函数y＝f（x）在[0，+∞）上单调递减，求b的取值范围；（2）当b＝1，a≠0时，①求函数y＝f（x）的极值；②设函数y＝f（x）图象上任意一点处的切线为l，求l在x轴上的截距的取值范围．解：（1）a＝1时，的导函数，∴由题意知对任意x∈（0，+∞）有，即﹣x+1+b≤0，∴b≤（x﹣1）min，即b≤﹣1；（2）b＝1时，的导函数，①（i）当a＞0时，有；，∴函数y＝f（x）在单调递增，单调递减，∴函数y＝f（x）在取得极大值，没有极小值．（ii）当a＜0时，有；，∴函数y＝f（x）在单调递减，单调递增，∴函数y＝f（x）在取得极小值，没有极大值．综上可知：当a＞0时，函数y＝f（x）在取得极大值，没有极小值；当a＜0时，函数y＝f（x）在取得极小值，没有极大值，②设切点为，则曲线在点T处的切线l方程为，当时，切线l的方程为，其在x轴上的截距不存在，当时，∴令y＝0，得切线l在x轴上的截距为：∴当时，，当时，，∴当切线l在x轴上的截距范围是．【选做题】本题包括21、22、23三个小题，请选定其中两个小题，并在相应的答题区域内作答，若多做，则按作答的前两小题评分，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤．[选修4-2：矩阵与变换]（本小题满分0分）21．已知矩阵A的逆矩阵A﹣1＝．求矩阵A的特征值和相应的特征向量．解：由，得，由特征多项式＝（λ﹣1）2﹣4＝0，得λ1＝3，λ2＝﹣1，所以特征值λ1＝3对应的特征向量，特征值λ2＝﹣1对应的特征向量．[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分0分）22．在极坐标系中，已知圆C的圆心极坐标为（2，），且圆C经过极点，求圆C的极坐标方程．解：方法一设圆C上任意一点的极坐标P（ρ，θ），过OC的直径的另一端点为B，连接PO，PB．则在直角三角形OPB中，．所以，即为圆C的极坐标方程．方法二的直角坐标为（），半径，所以圆C的直角坐标方程为，即，故圆C的极坐标方程为，即．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）23．已知a，b，c为正实数，+++27abc的最小值为m．解：根据题意，a，b，c为正实数，则＝，当且仅当时，取“＝”，故+++27abc的最小值为18；所以m＝18．24．把编号为1，2，3，4，5的五个大小、形状相同的小球，随机放入编号为1，2，3，4，5的五个盒子里．每个盒子里放入一个小球．（1）求恰有两个球的编号与盒子的编号相同的概率；（2）设小球的编号与盒子编号相同的情况有X种，求随机变量X的分布列与期望．解：（1）记恰有2个小球与盒子编号相同为事件A，将5个小球随机放入五个盒子中，每个盒子放一个共有即120种不同的放法，事件A 共有×2＝20种放法，∴，答：恰有2个盒子与小球编号相同的概率为．（2）随机变量X的可能值为0，1，2，3，5．，，，．可得分布列：x01235P∴．25．设P（n，m）＝（﹣1）k，Q（n，m）＝，其中m，n∈N*．（1）当m＝1时，求P（n，1），Q（n，1）的值；（2）对∀x∈N+，证明：P（n，m）•Q（n，m）恒为定值．解：（1）当m＝1时，，；（2）＝＝＝＝＝，即，由累乘，易求得，又，所以P（n，m）•Q（n，m）＝1为定值．。
江苏省南通市2019-2020学年高考数学三模考试卷含解析
江苏省南通市2019-2020学年高考数学三模考试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图是一个算法流程图，则输出的结果是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】A【解析】【分析】 执行程序框图，逐次计算，根据判断条件终止循环，即可求解，得到答案．【详解】由题意，执行上述的程序框图：第1次循环：满足判断条件，2,1x y ==；第2次循环：满足判断条件，4,2x y ==；第3次循环：满足判断条件，8,3x y ==；不满足判断条件，输出计算结果3y =，故选A ．【点睛】本题主要考查了循环结构的程序框图的结果的计算与输出，其中解答中执行程序框图，逐次计算，根据判断条件终止循环是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．2．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”意思为有一个人要走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了六天恰好到达目的地，请问第二天比第四天多走了（ ）A ．96里B ．72里C ．48里D ．24里【答案】B 【解析】【分析】人每天走的路程构成公比为12的等比数列，设此人第一天走的路程为1a，计算1192a=，代入得到答案. 【详解】由题意可知此人每天走的路程构成公比为12的等比数列，设此人第一天走的路程为1a，则61112378112a⎡⎤⎛⎫-⎢⎥⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦=-，解得1192a=，从而可得3241119296,1922422a a⎛⎫=⨯==⨯=⎪⎝⎭，故24962472a a-=-=.故选：B.【点睛】本题考查了等比数列的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力.3．运行如图所示的程序框图，若输出的i的值为99，则判断框中可以填（）A．1S≥B．2S>C．lg99S>D．lg98S≥【答案】C【解析】【分析】模拟执行程序框图，即可容易求得结果.【详解】运行该程序：第一次，1i=，lg2S=；第二次，2i =，3lg 2lg lg32S =+=； 第三次，3i =，4lg3lg lg 43S =+=， …；第九十八次，98i =，99lg98lglg9998S =+=； 第九十九次，99i =，100lg99lg lg100299S =+==， 此时要输出i 的值为99.此时299S lg =>.故选：C.【点睛】本题考查算法与程序框图，考查推理论证能力以及化归转化思想，涉及判断条件的选择，属基础题. 4．如图所示，为了测量A 、B 两座岛屿间的距离，小船从初始位置C 出发，已知A 在C 的北偏西45︒的方向上，B 在C 的北偏东15︒的方向上，现在船往东开2百海里到达E 处，此时测得B 在E 的北偏西30°的方向上，再开回C 处，由C 向西开26百海里到达D 处，测得A 在D 的北偏东22.5︒的方向上，则A 、B 两座岛屿间的距离为（ ）A ．3B ．32C ．4D ．2【答案】B【解析】【分析】 先根据角度分析出,,CBE ACB DAC ∠∠∠的大小，然后根据角度关系得到AC 的长度，再根据正弦定理计算出BC 的长度，最后利用余弦定理求解出AB 的长度即可.【详解】由题意可知：60,67.5,45,75,60ACB ADC ACD BCE BEC ∠=︒∠=︒∠=︒∠=︒∠=︒，所以180756045CBE ∠=︒-︒-︒=︒，18067.54567.5DAC ∠=︒-︒-︒=︒，所以DAC ADC ∠=∠，所以26CA CD ==又因为sin sin BC CE BEC CBE =∠∠，所以326BC ==所以AB ===故选：B.【点睛】 本题考查解三角形中的角度问题，难度一般.理解方向角的概念以及活用正、余弦定理是解答问题的关键. 5．已知集合|03x A x Z x ⎧⎫=∈≤⎨⎬+⎩⎭，则集合A 真子集的个数为（ ） A ．3B ．4C ．7D ．8 【答案】C【解析】【分析】解出集合A ，再由含有n 个元素的集合，其真子集的个数为21n -个可得答案.【详解】 解：由|03x A x Z x ⎧⎫=∈≤⎨⎬+⎩⎭，得{}|30{2,1,0}A x Z x =∈-<≤=-- 所以集合A 的真子集个数为3217-=个.故选：C【点睛】此题考查利用集合子集个数判断集合元素个数的应用，含有n 个元素的集合，其真子集的个数为21n -个，属于基础题.6．已知函数()sin3cos3f x x x =-，给出下列四个结论：①函数()f x 的值域是⎡⎣；②函数4f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭为奇函数；③函数()f x 在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦单调递减；④若对任意x ∈R ，都有()()()12f x f x f x ≤≤成立，则12x x -的最小值为3π；其中正确结论的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 【答案】C【解析】【分析】化()f x )4x π-可判断①，求出4f x π⎛⎫+ ⎪⎝⎭的解析式可判断②，由,32x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得353[,]444x πππ-∈，结合正弦函数得图象即可判断③，由()()()12f x f x f x ≤≤得12min 2T x x -=可判断④. 【详解】由题意，())4f x x π=-，所以()f x∈⎡⎣，故①正确；4f x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭)]44x ππ+-=)2x π+=x 为偶函数，故②错误；当,32x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，353[,]444x πππ-∈，()f x 单调递减，故③正确；若对任意x ∈R ，都有 ()()()12f x f x f x ≤≤成立，则1x 为最小值点，2x 为最大值点，则12x x -的最小值为23T π=，故④正确. 故选：C.【点睛】本题考查三角函数的综合运用，涉及到函数的值域、函数单调性、函数奇偶性及函数最值等内容，是一道较为综合的问题.7．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且80S =，33a =-，则9S =( )A ．9B ．12C ．15-D ．18-【答案】A【解析】【分析】由80S =，33a =-可得1,a d 以及9a ，而989S S a =+，代入即可得到答案.【详解】 设公差为d ，则1123,8780,2a d a d +=-⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩解得17,2,a d =-⎧⎨=⎩ 9189a a d =+=，所以9899S S a =+=.故选：A.【点睛】本题考查等差数列基本量的计算，考查学生运算求解能力，是一道基础题.8．椭圆是日常生活中常见的图形，在圆柱形的玻璃杯中盛半杯水，将杯体倾斜一个角度，水面的边界即是椭圆.现有一高度为12厘米，底面半径为3厘米的圆柱形玻璃杯，且杯中所盛水的体积恰为该玻璃杯容积的一半（玻璃厚度忽略不计），在玻璃杯倾斜的过程中（杯中的水不能溢出），杯中水面边界所形成的椭圆的离心率的取值范围是（ ）A ．⎛⎝⎦ B ．5⎫⎪⎪⎣⎭ C ．⎛⎝⎦ D ．5⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭【答案】C【解析】【分析】根据题意可知当玻璃杯倾斜至杯中水刚好不溢出时，水面边界所形成椭圆的离心率最大，由椭圆的几何性质即可确定此时椭圆的离心率，进而确定离心率的取值范围.【详解】当玻璃杯倾斜至杯中水刚好不溢出时，水面边界所形成椭圆的离心率最大.=6，所以椭圆离心率5e ==，所以0,5e ⎛∈ ⎝⎦. 故选：C【点睛】本题考查了橢圆的定义及其性质的简单应用，属于基础题.9．若函数()3cos 4sin f x x x =+在x θ=时取得最小值，则cos θ=（ ）A ．35B ．45-C ．45D ．35- 【答案】D【解析】【分析】利用辅助角公式化简()f x 的解析式，再根据正弦函数的最值，求得()f x 在x θ=函数取得最小值时cos θ的值．【详解】 解：34()3cos 4sin 5cos sin 5sin()55f x x x x x x α⎛⎫=+=+=+ ⎪⎝⎭，其中，3sin 5α=，4cos 5α=， 故当22k πθαπ+=-()k ∈Z ，即2()2k k Z πθπα=--∈时，函数取最小值()5f θ=-， 所以3cos cos(2)cos()sin 225k ππθπααα=--=--=-=-， 故选：D【点睛】 本题主要考查辅助角公式，正弦函数的最值的应用，属于基础题．10．函数()f x = ）A ．{2x x ≤或}3x ≥B ．{3x x ≤-或}2x ≥-C ．{}23x x ≤≤D ．{}32x x -≤≤- 【答案】A【解析】【分析】 根据偶次根式被开方数非负可得出关于x 的不等式，即可解得函数()y f x =的定义域.【详解】由题意可得2560x x -+≥，解得2x ≤或3x ≥.因此，函数()y f x =的定义域为{2x x ≤或}3x ≥.故选：A.【点睛】本题考查具体函数定义域的求解，考查计算能力，属于基础题.11．集合{2,0,1,9}的真子集的个数是（ ）A ．13B ．14C ．15D ．16 【答案】C【解析】【分析】根据含有n 个元素的集合，有2n 个子集，有21n -个真子集，计算可得；【详解】解：集合{2,0,1,9}含有4个元素，则集合{2,0,1,9}的真子集有42115-=（个），故选：C【点睛】考查列举法的定义，集合元素的概念，以及真子集的概念，对于含有n 个元素的集合，有2n 个子集，有21n -个真子集，属于基础题． 12．如图，在ABC ∆中，23AN NC =u u u v u u u v ，P 是BN 上一点，若13AP t AB AC =+u u u v u u u v u u u v ，则实数t 的值为（ ）A ．23B ．25C ．16D ．34【答案】C【解析】【分析】 由题意，可根据向量运算法则得到25AP mAC =+u u u r u u u r （1﹣m ）AB u u u r ，从而由向量分解的唯一性得出关于t 的方程，求出t 的值.【详解】由题意及图，()()1AP AB BP AB mBN AB m AN AB mAN m AB =+=+=+-=+-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， 又，23AN NC =u u u r u u u r ，所以25AN AC =u u u r u u u r ，∴25AP mAC =+u u u r u u u r （1﹣m ）AB u u u r ， 又AP =u u u r t 13AB AC +u u u r u u u r ，所以12153m t m -=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得m 56=，t 16=， 故选C ．【点睛】本题考查平面向量基本定理，根据分解的唯一性得到所求参数的方程是解答本题的关键，本题属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
江苏省南通市2019-2020学年高考数学三模试卷含解析
江苏省南通市2019-2020学年高考数学三模试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在ABC ∆中，点D 是线段BC 上任意一点，2AM AD =u u u u r u u u r ，BM AB AC λμ=+u u u u r u u u r u u u r ，则λμ+=（ ）A ．12- B ．-2 C ．12 D ．2【答案】A【解析】【分析】 设BD k BC =u u u r u u u r ，用,AB AC u u u r u u u r 表示出BM u u u u r ，求出,λμ的值即可得出答案.【详解】设BD k BC k AC k AB ==-u u u r u u u r u u u r u u u r由2AM AD =u u u u r u u u r()112222k k BM BA BD AB AC AB ∴=+=-+-u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 1222k k AB AC ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭u u u r u u u r ， 1,222k k λμ∴=--=， 12λμ∴+=-. 故选：A【点睛】本题考查了向量加法、减法以及数乘运算，需掌握向量加法的三角形法则以及向量减法的几何意义，属于基础题.2．正三棱柱111ABC A B C -中，12AA =，D 是BC 的中点，则异面直线AD 与1A C 所成的角为（ ） A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π 【答案】C【解析】【分析】取11B C 中点E ，连接1A E ，CE ，根据正棱柱的结构性质，得出1A E //AD ，则1CA E ∠即为异面直线AD 与1A C 所成角，求出11tan CECA E A E ∠=，即可得出结果.【详解】解：如图，取11B C 中点E ，连接1A E ，CE ，由于正三棱柱111ABC A B C -，则1BB ⊥底面111A B C ，而1A E ⊂底面111A B C ，所以11BB A E ⊥，由正三棱柱的性质可知，111A B C △为等边三角形，所以111A E B C ⊥，且111A E B C E =I ,所以1A E ⊥平面11BB C C ，而EC ⊂平面11BB C C ，则1A E ⊥EC ，则1A E //AD ，190A EC ∠=︒，∴1CA E ∠即为异面直线AD 与1A C 所成角，设2AB =，则122AA =13A E =，3CE =， 则11tan 33CE CA E A E∠===∴13πCA E ∠=.故选：C.【点睛】本题考查通过几何法求异面直线的夹角，考查计算能力.3．函数()()sin ωϕ=+f x x 的部分图象如图所示，则()f x 的单调递增区间为（）A ．51,,44k k k Z ππ⎡⎤-+-+⎢⎥⎦∈⎣B ．512,2,44k k k Z ππ⎡⎤-+-+∈⎢⎥⎣⎦C ．51,,44k k k Z ⎡⎤-+-+∈⎢⎥⎣⎦D ．512,2,44k k k Z ⎡⎤-+-+∈⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】【分析】 由图象可以求出周期，得到ω，根据图象过点3(,1)4-可求ϕ，根据正弦型函数的性质求出单调增区间即可.【详解】 由图象知51=1244T -=， 所以2T =，22πωπ==， 又图象过点3(,1)4-， 所以31sin()4πϕ-=+， 故ϕ可取34π， 所以3()sin()4f x x ππ=+令322,242k x k k Z ππππππ-≤+≤+∈， 解得5122,44k x k k Z -≤≤-∈ 所以函数的单调递增区间为512,2,44k k k Z ⎡⎤-+-+∈⎢⎥⎣⎦故选：D ．【点睛】本题主要考查了三角函数的图象与性质，利用“五点法”求函数解析式，属于中档题.4．若复数z 满足1zi i =-（i 为虚数单位），则其共轭复数z 的虚部为（ ）A．i-B．i C．1-D．1【答案】D【解析】【分析】由已知等式求出z，再由共轭复数的概念求得z，即可得z的虚部.【详解】由zi＝1﹣i，∴z＝()()111·i iiii i i---==---，所以共轭复数z=-1+i，虚部为1故选D．【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算和共轭复数的基本概念，属于基础题．5．国务院发布《关于进一步调整优化结构、提高教育经费使用效益的意见》中提出，要优先落实教育投入．某研究机构统计了2010年至2018年国家财政性教育经费投入情况及其在GDP中的占比数据，并将其绘制成下表，由下表可知下列叙述错误的是（）A．随着文化教育重视程度的不断提高，国在财政性教育经费的支出持续增长B．2012年以来，国家财政性教育经费的支出占GDP比例持续7年保持在4%以上C．从2010年至2018年，中国GDP的总值最少增加60万亿D．从2010年到2018年，国家财政性教育经费的支出增长最多的年份是2012年【答案】C【解析】【分析】观察图表，判断四个选项是否正确．【详解】由表易知A、B、D项均正确，2010年中国GDP为1.4670413.55%≈万亿元，2018年中国GDP为3.6990904.11%=万亿元，则从2010年至2018年，中国GDP 的总值大约增加49万亿，故C 项错误． 【点睛】本题考查统计图表，正确认识图表是解题基础．6．等腰直角三角形BCD 与等边三角形ABD 中，90C ∠=︒，6BD =，现将ABD △沿BD 折起，则当直线AD 与平面BCD 所成角为45︒时，直线AC 与平面ABD 所成角的正弦值为（ ）A 3B ．2C 3D 23【答案】A【解析】【分析】设E 为BD 中点，连接AE 、CE ，过A 作AO CE ⊥于点O ，连接DO ，得到ADO ∠即为直线AD 与平面BCD 所成角的平面角，根据题中条件求得相应的量，分析得到CAE ∠即为直线AC 与平面ABD 所成角，进而求得其正弦值，得到结果. 【详解】设E 为BD 中点，连接AE 、CE ，由题可知AE BD ⊥，CE BD ⊥，所以BD ⊥平面AEC ，过A 作AO CE ⊥于点O ，连接DO ，则AO ⊥平面BDC ，所以ADO ∠即为直线AD 与平面BCD 所成角的平面角，所以2sin AO ADO AD∠==，可得32AO = 在AOE △中可得3OE =， 又132OC BD ==，即点O 与点C 重合，此时有AC ⊥平面BCD ， 过C 作CF AE ⊥与点F ，又BD AEC ⊥平面，所以BD CF ⊥，所以CF ⊥平面ABD ，从而角CAE ∠即为直线AC 与平面ABD 所成角，3sin 333CE CAE AE ∠===， 故选：A.【点睛】该题考查的是有关平面图形翻折问题，涉及到的知识点有线面角的正弦值的求解，在解题的过程中，注意空间角的平面角的定义，属于中档题目.7．下列函数中，既是偶函数又在区间()0,+?上单调递增的是（ ） A ．y x = B ．()sin f x x x = C ．()2f x x x =+ D ．1y x =+ 【答案】C【解析】【分析】结合基本初等函数的奇偶性及单调性，结合各选项进行判断即可.【详解】A ：y x =为非奇非偶函数，不符合题意；B ：()sin f x x x =在()0,∞+上不单调，不符合题意；C ：2y x x =+为偶函数，且在()0,∞+上单调递增，符合题意；D ：1y x =+为非奇非偶函数，不符合题意.故选：C.【点睛】本小题主要考查函数的单调性和奇偶性，属于基础题.8．《九章算术》勾股章有一“引葭赴岸”问题“今有饼池径丈，葭生其中，出水两尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭各几何？”，其意思是：有一个直径为一丈的圆柱形水池，池中心生有一颗类似芦苇的植物，露出水面两尺，若把它引向岸边，正好与岸边齐，问水有多深，该植物有多高？其中一丈等于十尺，如图若从该葭上随机取一点，则该点取自水下的概率为（ ）A ．1213B ．1314C ．2129D ．1415【答案】C【解析】【分析】由题意知：2BC =，'5B C =，设AC x =，则2AB AB x '==+，在Rt ACB 'V 中，列勾股方程可解得x，然后由P2xx=+得出答案.【详解】解：由题意知：2BC=，'5B C=，设AC x=，则2AB AB x'==+在Rt ACB'V中，列勾股方程得：()22252x x+=+，解得214x=所以从该葭上随机取一点，则该点取自水下的概率为21214P2122924xx===++故选C.【点睛】本题考查了几何概型中的长度型，属于基础题.9．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．103B．3C．83D．73【答案】A【解析】【分析】根据题意，可得几何体，利用体积计算即可.【详解】由题意，该几何体如图所示：该几何体的体积11110222222323V=⨯⨯⨯-⨯⨯⨯=.故选：A.【点睛】本题考查了常见几何体的三视图和体积计算，属于基础题．10．O 是平面上的一定点，,,A B C 是平面上不共线的三点，动点P 满足+OP OA λ=u u u v u u u v ()·cos ?cos AB AC AB B AC C+u u u v u u u v u u u v u u u v ，(0,)λ∈∞，则动点P 的轨迹一定经过ABC ∆的（ ） A ．重心B ．垂心C ．外心D ．内心 【答案】B【解析】【分析】解出AP u u u r ，计算AP BC ⋅u u u r u u u r并化简可得出结论．【详解】 AP OP OA =-=u u u r u u u r u u u r λ（AB AC AB cosB AC cosC+⋅⋅u u u r u u u r u u u r u u u r ）， ∴()...0AB BC AC BC AP BC BC BC AB cosB AC cosC λλ⎛⎫ ⎪=+=-+= ⎪⋅⋅⎝⎭u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， ∴AP BC u u u r u u u r ⊥，即点P 在BC 边的高上，即点P 的轨迹经过△ABC 的垂心．故选B ．【点睛】本题考查了平面向量的数量积运算在几何中的应用，根据条件中的角计算AP BC ⋅u u u r u u u r 是关键．11．定义在R 上的函数()()f x x g x =+，()22(2)g x x g x =--+--，若()f x 在区间[)1,-+∞上为增函数，且存在20t -<<，使得(0)()0f f t ⋅<.则下列不等式不一定成立的是（ ）A ．()2112f t t f ⎛⎫++> ⎪⎝⎭B ．(2)0()f f t ->>C ．(2)(1)f t f t +>+D ．(1)()f t f t +> 【答案】D【解析】【分析】根据题意判断出函数的单调性，从而根据单调性对选项逐个判断即可．【详解】由条件可得(2)2(2)2()22()()f x x g x x g x x g x x f x --=--+--=--+++=+=∴函数()f x 关于直线1x =-对称；()f x Q 在[1-，)+∞上单调递增，且在20t -<<时使得(0)()0f f t <g ；又(2)(0)f f -=Q()0f t ∴<，(2)(0)0f f -=>，所以选项B 成立；223112()0224t t t ++-=++>Q ，21t t ∴++比12离对称轴远， ∴可得21(1)()2f t t f ++>，∴选项A 成立； 22(3)(2)250t t t +-+=+>Q ，|3||2|t t ∴+>+，∴可知2t +比1t +离对称轴远 (2)(1)f t f t ∴+>+，选项C 成立；20t -<<Q ，22(2)(1)23t t t ∴+-+=+符号不定，|2|t ∴+，|1|t +无法比较大小， (1)()f t f t ∴+>不一定成立．故选：D ．【点睛】本题考查了函数的基本性质及其应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 12．“是函数()()1f x ax x =-在区间内单调递增”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】 ()()21f x ax x ax x =-=-，令20,ax x -=解得1210,x x a==当0a ≤，()f x 的图像如下图当0a >，()f x 的图像如下图由上两图可知，是充要条件【考点定位】考查充分条件和必要条件的概念，以及函数图像的画法.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年江苏高考数学全真模拟试卷(三)
2020年江苏高考数学全真模拟试卷(三)（南通教研室）数学Ⅰ试题一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上 1.已知集合A ={0,2,4) ，B =(－2,0) ，则集合A U B = ▲ ．2.已知复数z 满足 (3＋4i ) z = 5，其中i为纯虚数单位，则z 的实部为 ▲ ． 3.某工厂生产A,B,C 三种不同型号的产品,产量之比为2:1:3.现用 分层抽样的方法抽取1个容量为n 的样本,若样本中A 种型号的 产品有18件,则样本容量n 的值为 ▲ ．4.执行如图所示的伪代码,若输出的y 的值是18,则输入的x 的值为 ▲ ．5.函数y =ln(2＋x －x 2)的定义域是 ▲ ．6.从2个白球、2个红球和1个黄球中随机取出2个球,则取出的2个球中不含红球的概率 是 ▲ ．7.在平面直角坐标系xOy 中,双曲线x 24－y 2=1的两条渐近线和一条准线围成的三角形的面积为 ▲ ．8.已知三棱柱ABC -A 1B 1C 1的体积为2，△DEF 为过各侧棱中点的截面，O 为△A 1B 1C 1内一 点,则多面体O - DEF -ABC 的体积为 ▲ ．9.若数函数f (x ) = sin （ωx +π3 ） (0＜ω＜3)图象的一条对称轴为直线x =π3 ，则函数f (x )的最小正周期为 ▲ ．（第3题图）I0.若直线ax －by +2=0（a ＞0，b ＞0）和函数y =Iog c (x +2)+1（c ＞0且c ≠1）的图象均恒过同一个定点,则ab4a +b的最大值为 ▲ ． I1.如图,在四边形ABCD 中,对角线AC 与BD 交于点M ． 已知AC =BC =2,AC ⊥BC ,AD ⊥BD ,M 为AC 的中点, 则BM → ・CD → 的值为 ▲ ．I2.若数列{a n }的前n 项和为S n ,数列{a 2n －1}是公差为d 的等差数列,数列{a 2n }是公比为q 的等 比数列,且a 1 =a 2=a , S 2︰S 4︰S 6=1:3:6，则daq的值是 ▲ ． I3.在平面直角坐标系xoy 中,已知直线l ：kx ＋4y －5=0和圆C ：x 2+(y +1)2=1，若在直线l 和圆C 上分别存在点P ，Q ，使得点（1，0）恰好为线段PQ 的中点，则实数k 的取值范围是 ▲ ．I4.已知函数f (x ) = ⎩⎪⎨⎪⎧x 2， x ＞0，ax ＋|x ＋2 |，x ＜0， 若函数y =f (x －1)+f (1－x )恰好有4个零点,则实数a 的取值范围是 ▲ ．二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分14分)如图,在四棱維V -ABCD 中,四边形ABCD 是菱形,对角线AC 与BD 交于点O ,VC ⊥BD, E 是VC 的中点． (1) 求证: VA ∥平面BDE ; (2) 求证: 平面VAC ⊥平面BDE .（第11题）（第15题）ACDBEVO在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c 若5sin A =3sin B . (1) 求角C =60°,求tan A 的值;(2) 若a ,b ,c 成等差数列，△ABC 的面积为15 3 ,求a .17.(本小题满分14分)在平面直角坐标系xOy 中,椭圆E : x 2a 2＋y 2b 2=1 (a >b >0)过点(1, 6 2 ),离心率为 22 ,A ,B是椭圆E 上的两点,且直线OA ,OB 的斜率分别为k 1,k 2. (1)求椭圆E 的标准方程;(2)若k 1・k 2=12 ,求直线AB 的斜率.18.(本小题满分16分)有一块半圆形钢化玻璃板,其直径AB =8dm(如图)现利用其设计某企业的徽标,徽标的核 心部分为梯形ACDE ,它由三个区域构成:区域Ⅰ要求设计为等边三角形AOC ,区域Ⅱ要求设计为△DOE ,区域Ⅲ要求设计为等腰三角形OCD ,其中DE ∥AC ,点C ,D 都在AB 上,点 E 在半径OB 上,记∠DOB =θ.(1)试用θ表示区域Ⅱ的面积,并写出θ的取值范围；(2)若区域Ⅲ的面积为t dm 2,求区域Ⅱ的面积(用t 表示),并求当θ为何值时,徽标的核心部分的面积最大.（第18题）已知函数f(x)=(x－a) e x,其中e为自然对数的底数.(1)若a=1,求曲线y=f(x)在x=1处的切线方程.(2)若数g(x)= f(x)x的定义域为(0,+∞),且g(x)既有极大值又有极小值.①求实数a的取值范围;②求证: 曲线y=g(x)与直线y=－e x有唯一公共点.20.(本小题满分16分)已知数列{a n}的前n项和为S n,对任意的m,n∈N※,都有S m n=S m S n,则称数列{a n}具有性质P.(1)若数列{a n}是首项为1,公比为2的等比数列, 试判断数列{a n}是否具有性质P.(2)若正项等差数列{b n}具有性质P, 求数列{b n}的公差.(3)若正项数列{c n}具有性质P，c2=3,且对任意的n∈N※,有c n +c n+2≤2 c n+1,求数列{c n}的通项公式.2020年江苏高考数学全真模拟试卷(三)（南通教研室）数学Ⅱ附加题21【选做題】本题包括A 、B 、C 三小题,请选定其中两小题．．．．．．．．,并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．，．若多做,按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步聚 A.[选修4-2:矩阵与变换] (本小题满分10分)已知点(1,2)在矩阵M ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a 00 b 对应的变换作用下得到点(2,6) .(1) 求矩阵M 的逆矩阵M -1;(2) 若曲线C 在矩阵M -1对应的变换作用下得到曲线C ′: y 2=2x ,求曲线C 的方程.B.[选修4:坐标系与参数方程] (本小题满分10分)以坐标原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为ρ=4sin θ,直线l 的极坐标方程为2ρcos(θ+π6 )+1=0若直线l 与曲线C 相交于点A ,B ,求线段AB 的长.C.[选修45:不等式选讲] (本小题满分10分)已知a 、b 、c 、d 都是正实数，且a ＋b ＋c ＋d =1，求证a 21＋a ＋b 21＋b ＋c 21＋c ＋d 21＋d ≥15.【必做题】第22题、第23题,每小题10分,共计20分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）从编号为1,2,3,4,…,10的10个大小、形状都相同的小球中任取5个球.如果某两个球的编号相邻，那么称这两个球为一组“好球”.(1) 求任取的5个球中至少有一组“好球”的概率.(2) 在任取的5个球中,记“好球”的组数为X,求随机变量X的概率分布和数学期望E(X) .23.(本小题满分10分)已知数列{a n}满足a1=2, a2=3, (n-1)a n+1=(n2＋n－1)a n－n2a n－1（n≥2）(1)令bn= a n＋1－a n,求数列{b n}的通项公式.(2)试用数学归纳法证明:对于一切的n≥2,都有na n－1≥n3.。
2020南通市三中一模数学试卷及答案
一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，恰有一
项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答．题．卡．相．应．位．置．上）
1． 下列各数中，最大的数是
A．0
B．－2
C．2
2． 若三角形的三边长分别为 3，4，x，则 x 的值可能是
D． 1 2
A．1
2020 年初中毕业、升学模拟考试数学试卷
注意事项
考生在答题前请认真阅读本注意事项： 1．本试卷共 6 页，满分为 150 分，考试时间为 120 分钟．考试结束后，请将本试卷和答题卡
一并交回． 2．答题前，请务必将自己的姓名、考试证号用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔填写在试卷及答题卡
上指定的位置． 3．答案必须按要求填涂、书写在答题卡上，在试卷、草稿纸上答题一律无效．
∴
y
15
，
∴A 的单价 30 元，B 的单价 15 元；………………………………………………………………5 分 （2）设购买 A 奖品 z 个，则购买 B 奖品为（30﹣z）个，购买奖品的花费为 W 元， 由题意可知，z≥ 1 （30﹣z），
3
数学答案 第 1 页（共 5 页）
∴z≥ 5 ，……………………………………………………………………………………………7 分 2
（1）若图象 M1 有最低点，且最低点到 x 轴距离为 3，求 a 的值；
（2）当 a＝1 时，若点（m， 5 ）在图象 M 上，求 m 的值； 2
（3）点 P、Q 的坐标分别为（﹣5，﹣1），（4，﹣1），连结 PQ．直接写出线段 PQ 与图 象 M 恰有三个共公点时 a 的取值范围．
数学试卷 第 5 页（共 6 页）
2020届江苏省南通市高三 三模数学试题(含附加题)(word版含解析)
6.设实数 x,y 满足 ⎨ x + y ≤ 1, 则 3x+2y 的最大值为____.⎪ x + 2 y ≥ 1, = 1 的左､右顶点为 A ､B,焦点在 y 轴上的椭圆以 A ､B 为顶点,且离心率为2 ，若 f (α ) = 212.△在 ABC 中,若 uu ur uuur = uuur uuur = uuur uuur , 则 cosC 的值为____.2020 届江苏省南通市高三年级第三次模拟考试高考全真冲刺模拟卷数学试题(含附加题)一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分｡请把答案填写在答题卡相应位置上.1.设集合 A={1,x},B={2,3,4},若 A∩B={4},则 x 的值为___2.已知复数 z 满足 zi=1+i(i 为虚数单位),则复数 z-i 的模为____.3.对一批产品的长度(单位:毫米)进行抽样检测,样本容量为 200,右图为检测结果的频率分布直方图,根据产品标准,单件产品长度在区间[25,30)的为一等品,在区间[20,25)和[30,35)的为二等品,其余均为三等品,则样本中三等品的件数为___.4.幂函数 f ( x ) = x -2 的单调增区间为____5.根据图中所示的伪代码,可知输出的结果 S 为____⎧ x - y ≥ 0, ⎪⎩7.已知双曲线 C : x 2 y2 -a 2b2 = 1(a > 0, b > 0) 的一条渐近线平行于直线 l:y=2x+10,且它的一个焦点在直线 l 上,则双曲线 C 的方程为___y 2 3 8.已知双曲线 x 2 -，42u u u r uuuur过 A 作斜率为 k 的直线 l 交双曲线于另一点 M,交椭圆于另一点 N,若 AN = NM , 则 k 的值为____.9.已知函数 f ( x ) = cos x(sin x + cos x)- 1π ，则 cos( - 2α ) 的值为_____.6 410.已知函数 f ( x ) =x + 2 | x | +2, x ∈R,则 f ( x 2 - 2 x ) < f (2 - x) 的解集是____.11.定义在[-1,1]上的函数 f(x)=sinx-ax+b(a>1)的值恒非负,则 a-b 的最大值为______.35 21 15 CA ⋅ AB AB ⋅ BC BC ⋅ C A3,1).13.△若ABC中,AB=2,BC=8,∠B=45°,D△为ABC所在平面内一点且满足uuur uuur uuur uuur(AB⋅AD)⋅(AC⋅AD)=4，则AD长度的最小值为___.14.已知偶函数y=f(x)满足f(x+2)=f(2-x),且在x∈[-2,0]时,f(x)=-x2+1,若存在x,x,L,x满足12n0≤x<x<L<x，且|f(x)-f(x)|+|f(x)-f(x)|+L+|f(x)-f(x)|=2017,则x 12n1223n-1n最小值为_____.二､解答题:本大题共6小题,共计90分｡n15.(本小题满分14分)已知函数f(x)=Asin(x+φ)(A>0,0<φ<π)的最小值是-2,其图象经过点M(ππ824(1)求f(x)的解析式;(2)已知α,β∈(0,),且f(α)=,f(β)=2513,求f(α-β)的值.16.(本小题满分14分)如图,在四棱锥P-ABCD中,∠BAD=90°,AD//BC,AD=2BC,AB⊥PA.(1)求证:平面P AD⊥平面ABCD;(2)若E为PD的中点,求证:CE//平面PAB.217.(本小题满分14分)有一块以点O为圆心,半径为2百米的圆形草坪,草坪内距离O点2百米的D 点有一用于灌溉的水笼头,现准备过点D修一条笔直小路交草坪圆周于A,B两点,为了方便居民散步,同时修建小路OA,OB,其中小路的宽度忽略不计(1)若要使修建的小路的费用最省,试求小路的最短长度;(2)若要在△ABO区域内(含边界)规划出一块圆形的场地用于老年人跳广场舞,试求这块圆形广场的最大面积.(结果保留根号和π)18.(16分)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C:x2y23+=1(a>b>0)的离心率为a b22,且过点(1,3).设P为椭圆C在第一象限上的点，A,B分别为椭圆C的左顶点和下顶点,且PA交y轴于点2E，PB交x轴于点F.(1)求a,b的值;(2)若F为椭圆C的右焦点，求点E的坐标;(3)求证:四边形ABFE 的面积为定值.； , 19.(16 分)已知数列{a } 的首项 a = a (a>0),其前 n 项和为 S , 设 b = a + an1nnnn +1(n ∈ N * ) .(1)若a = a + 1, a = 2a , 且数列{b } 是公差为 3 的等差数列,求 S (2)设数列{b } 的前 n 项和为 T , 满 2 32n2nnn足 T = n 2 . ①求数列{a } 的通项公式;②若对 n ∈N * 且 n≥2,不等式 (a - 1)(a nnn立,求 a 的取值范围.n +1- 1) ≥ 2(1- n) 恒成20.(本小题满分 16 分)已知函数 f ( x ) = x k ln x,k ∈ N * , g(x)=cx-1,c ∈R . (1)当 k=1 时,(i)若曲线 y=f(x)与直线 y=g(x)相切,求 C 的值;(ii)若曲线 y=f(x)与直线 y=g(x)有公共点,求 c 的取值范围.(2)当 k≥2 时,不等式 f ( x ) ≥ ax 2 + bx ≥ g ( x ) 对于任意正实数 x 恒成立,当 c 取得最大值时,求 a,b 的值,y ⎦ ⎣ y⎦ ⎣ 已知点 A 在变换 T : ⎢ ⎥ → ⎢ ⎥=⎢ ⎥ 作用后,再绕原点逆时针旋转 90°,得到点 B.若点 B 的坐 y ⎣ ⎦21.[选做题]本题包括 A ､B ､C 三小题,请选定其中两小题,并在相应的答题区域内作答.若多做,则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤.A.[选修 4--2:矩阵与变换](本小题满分 10 分)⎡ x ⎤ ⎡ x ' ⎤ ⎡ x + 2 y ⎤ '标为(-3,4),求点 A 的坐标.B.[选修 4--4:坐标系与参数方程](本小题满分 10 分)π在极坐标系中,设 P 为曲线 C:ρ=2上任意一点,求点 P 到直线 l: ρ sin(θ -) = 3 最大距离.3C.[选修 4--5:不等式选讲](本小题满分 10 分)已知正数 a,b,c 满足 2a+3b+6c=2,求 3 2 1+ + 的最小值.a b c[必做题]第22题､第23题,每题10分,共计20分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明､证明过程或演算步骤.22.(10分)如图,在直三棱柱ABC-A B C中,已知AB⊥AC,AB=2,AC=4,AA=3.D是线段BC的中1111点.(1)求直线DB与平面AC D所成角的正弦值;(2)求二面角B-A D-C的大小的余弦值.11111123.(本小题满分10分)(1)求证:kC kn-k=(n-k)C k-1n-k-11008；(2)求证:∑n=0(-1)n1C n=2017-n2017-n2017.。