2011中考二次函数总复习
中考复习必备-二次函数总复习
字母符号
a>0 a
a<0 b＝0 b b与a同号 b与a异号 c＝0
c>0
c c＜0 b2 b2－4ac＝0 － b2－4ac>0 4a c b2－4ac<0
图象的特征 开口向上 开口向下 对称轴为y轴 对称轴在y轴左侧 对称轴在y轴右侧 经过原点
与y轴正半轴相交 与y轴负半轴相交 与x轴有唯一交点(顶点) 与x轴有两个交点 与x轴没有交点
⑤解析式的求法： 确定二次函数的解析式，一般用待定系数法，由于二次函数解析式有三 个待定系数a，b，c(或a，h，k或a，x1，x2)，因而确定二次函数解析式需要 已知三个独立的条件： a．已知抛物线上任意三个点的坐标时，选用一般式比较方便． b．已知抛物线的顶点坐标时，选用顶点式比较方便． c．已知抛物线与x轴两个交点的坐标(或横坐标x1，x2)时，选用交点式比 较方便．
命题点4 二次函数的实际应用
3．(2016·丹东24题10分)某片果园有果树80棵，现准备多种一些果树提高果 园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每棵树所受光照就会减少，单 棵树的产量随之降低．若该果园每棵果树产果y(千克)，增种果树x(棵)，它们 之间的函数关系如图所示．
(1)求y与x之间的函数关系式； (2)在投入成本最低的情况下，增种果树多少棵时，果园可以收获果实6750 千克？ (3)当增种果树多少棵时，果园的总产量w(千克)最大？最大产量是多少？
命题点1 二次函数的图象与性质 1．(2015·锦州5题3分)在同一坐标系中，一次函数y＝ax＋2与二次函数y＝x2＋a 的图象可能是( C )
2．(2016·阜新10题3分)二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，下列选项中正 确的是( B ) A．a>0 B．b>0 C．c<0 D．关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0没有实数根
中考二次函数专题复习精编版
中考二次函数专题复习知识点归纳：一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质：2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。
3.y a x h =-的性质： 左加右减。
4.y a x h k =-+的性质：1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点. 六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a-．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大；⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小．2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba -<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧；当0b =时，02ba -=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧．⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即当0b >时，02ba ->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧；当0b =时，02ba -=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧．总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异”总结：3. 常数项c ⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正； ⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置． 总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的． 二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式． 九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+； ()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k=-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-=.② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2'当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <． 2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ； 3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； ⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；下面以0a >时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系知识梳理：练习：1.抛物线23(1)2y x =-+的对称轴是（ ） A ．1x =B ．1x =-C ． 2x =D ．2x =-2.要得到二次函数222y x x =-+-的图象，需将2y x =-的图象（ ）． A ．向左平移2个单位，再向下平移2个单位 B ．向右平移2个单位，再向上平移2个单位 C ．向左平移1个单位，再向上平移1个单位 D ．向右平移1个单位，再向下平移1个单位 最新考题1.(2009年四川省内江市)抛物线3)2(2+-=x y 的顶点坐标是（ ） A ．（2，3） B ．（－2，3） C ．（2，－3） D ．（－2，－3） 2.（2009年泸州）在平面直角坐标系中，将二次函数22x y =的图象向上平移2个单位，所得图象的解析式为A ．222-=x y B ．222+=x yC ．2)2(2-=x y D ．2)2(2+=x y 知识点2：二次函数的图形与性质例1：如图1所示，二次函数y=ax 2+bx+c 的图象开口向上，图象经过点（－1，2）和（1，0）且与y 轴交于负半轴.第（1）问：给出四个结论：①a>0；②b>0;③c>0；④a+b+c=0，其中正确的结论的序号是 .第（2）问：给出四个结论：①abc<0；②2a+b>0;③a+c=1;④a>1.其中正确的结论的序号是_______.例2：抛物线y=－x 2+（m －1）x+m 与y 轴交于（0，3）点，（1）求出m 的值并画出这条抛物线；（2）求它与x 轴的交点和抛物线顶点的坐标；（3）x 取什么值时，抛物线在x 轴上方?（4）x 取什么值时，y 的值随x 的增大而减小？思路点拨：由已知点（0，3）代入y=－x 2+（m －1）x+m 即可求得m 的值，即可知道二次函数解析式，并可画出图象，然后根据图象和二次函数性质可得（2）（3）（4）. 解：（1）由题意将（0，3）代入解析式可得m=3， ∴ 抛物线为y=－x 2+2x+3. 图象（图2）：（2）令y=0，则－x 2+2x+3=0，得x 1=－1，x 2=3； ∴ 抛物线与x 轴的交点为（－1，0），（3，0）. ∵ y=－x 2+2x+3=－（x －1）2+4， ∴ 抛物线顶点坐标为（1，4）；（3）由图象可知：当－1<x<3时，抛物线在x 轴上方；（4）由图象可知：当x>1时，y 的值随x 值的增大而减小. 练习：1.如图，直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，下列关系不正确．．．的是（ ） A ．h m =B ．k n =C ．k n >D ．00h k >>，2.函数y =ax ＋1与y =ax 2＋bx ＋1（a ≠0）的图象可能是（ ）最新考题1.（2009深圳）二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，若点A （1，y 1）、B （2，y 2）是它图象上的两点，则y 1与y 2的大小关系是（） A ． 21y y < B ．21y y = C ．21y y > D ．不能确定2.（2009北京）如图，C 为⊙O 直径AB 上一动点，过点C 的直线交⊙O 于D 、E 两点，且∠ACD=45°，DF ⊥AB 于点F,EG ⊥AB 于点G,当点C 在AB 上运动时，设AF=x ，DE=y ，下列中图象中，能表示y 与x 的函数关系式的图象大致是（ ）3.（2009年台州）已知二次函数c bx ax y ++=2的y 与x 的部分对应值如下表：A ．抛物线开口向上B ．抛物线与y 轴交于负半轴C ．当x ＝4时，y ＞0 D．方程02=++c bx ax 的正根在3与4之间 知识点3：二次函数的应用例1：如图，从地面垂直向上抛出一小球，小球的高度h （单位：米）与小球运动时间t （单位：秒）的函数关系式是29.8 4.9h t t =-，那么小球运动中的最大高度h =最大 ．A B C D随楼层数x （楼）的变化而变化（x =1，2，3，4，5，6，7，8）；已知点（x ，y ）都在一个二次函数的图像上（如图6所示），则6楼房子的价格为 元/平方米．思路点拨：观察函数图像得：图像关于x 4=对称， 当x 2y=2080=时，元.因为x=2到对称轴的距离 与x=6到对称轴的距离相等。
2011中考二次函数总复习(精品课件1)
•000 (0,0)
•(0,c)
xxx
第20页，共41页。
b y x=- b2ab y x=x-=2- ay2a
(3)a、b确定对称轴 x=- 2b的a 位置:
ab>0 ab=0
ab<0
x
• 0 (x,0)
第21页，共41页。
(4)Δ确定抛物线与x轴的交点个数：
y
Δ>0
Δ=0
Δ<0
x
• • 0 •• 0
1. 自变量的最高次数是2。
2. 二次项的系数a≠0。
3. 二次函数解析式必须是整式。
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二次函数的解析式y=ax²+bx+c
(其中a,b,c是常数，a≠0)
注意:当二次函数
表示某个实际问题时, 还必须根据题意确定 自变量的取值范围.
想一想:函数的自
变量x是否可以取 任何值呢?
第9页，共41页。
二次函数与一元二次方程
二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点有三
种情况:
(1)有两个交点
b2 – 4ac > 0
(2)有一个交点 (3)没有交点
b2 – 4ac= 0
b2 – 4ac< 0
若抛物线y=ax2+bx+c与x轴有交点,则
b2 – 4ac ≥0
第25页，共41页。
小结
(1) 一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根 为x1,x2 ,则抛物线 y=ax2+bx+c与x轴的 交点坐标是(x1,0),(x2,0)
二次,自变量x的取值范围是全体实数.
第10页，共41页。
二次函数复习总结归纳
y xO二次函数复习归纳（培优）1. 二次函数2()y a x h k =-+的图像和性质a ＞0a ＜0图 象 开 口 对 称 轴 顶点坐标最 值 当x ＝ 时，y 有最 值 当x ＝ 时，y 有最 值 增减性在对称轴左侧 y 随x 的增大而 y 随x 的增大而 在对称轴右侧y 随x 的增大而y 随x 的增大而2. 二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成()k h x a y +-=2的形式，其中h ＝ ， k＝ .3. 二次函数2()y a x h k =-+的图像和2ax y =图像的关系：； 4.用待定系数法求二次函数的解析式（1）一般式：c bx ax y ++=2.已知图像上三点或三对x 、y 的值，通常选择一般式. （2）顶点式：()k h x a y +-=2.已知图像的顶点或对称轴或最值，通常选择顶点式.求抛物线的顶点、对称轴的方法：a b ac a b x a c bx ax y 442222-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++=， ∴顶点是），（a b ac a b 4422--，对称轴是直线abx 2-=.（3）交点式：已知图像与x 轴交点的横坐标1x 、2x ，通常选用交点式：()()21x x x x a y --=（4）抛物线与x 轴两交点之间的距离：若抛物线c bx ax y ++=2与x 轴两交点为()()0021，，，x B x A ，由于1x 、知识要点2x 是方程02=++c bx ax 的两个根，故acx x a b x x =⋅-=+2121,()()aa acb a ca b x x x xx xx x AB ∆=-=-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-+=-=-=4442221221221215.抛物线c bx ax y ++=2中，c b a ,,的作用（1）a 决定开口方向及开口大小：a >0，开口向上；a <0，开口向下；α越大，开口越小 （2）b 和a 决定抛物线对称轴（左同右异）①0=b 时，对称轴为y 轴；②0>ab（即a 、b 同号）时，对称轴在y 轴左侧； ③0<ab（即a 、b 异号）时，对称轴在y 轴右侧. （3）c 决定抛物线与y 轴交点的位置.c ＞0时，与y 轴正半轴相交；c ＜0时，与y 轴负半轴相交。
(完整版)中考二次函数专题复习
中考二次函数专题复习知识点归纳：一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质：2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。
3.y a x h =-的性质： 左加右减。
4.y a x h k =-+的性质：1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下： 2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac ba-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2bx a=-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a >-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a=-时，y 有最大值244ac b a -．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大；⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小．2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba -<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧； 当0b =时，02ba -=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧．⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即当0b >时，02ba ->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧；当0b =时，02ba -=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧．总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异”总结：3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正；⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式． 九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k=-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-=.② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2' 当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <． 2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.⑸ 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a ++≠本身就是所含字母x 的二次函数；下面以0a >时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系师生共同学习过程：知识梳理： 练习：1.抛物线23(1)2y x =-+的对称轴是（ ） A ．1x =B ．1x =-C ．2x =D ．2x =- 2.要得到二次函数222y x x =-+-的图象，需将2y x =-的图象（ ）．A ．向左平移2个单位，再向下平移2个单位B ．向右平移2个单位，再向上平移2个单位C ．向左平移1个单位，再向上平移1个单位D ．向右平移1个单位，再向下平移1个单位 最新考题1.(2009年四川省内江市)抛物线3)2(2+-=x y 的顶点坐标是（ ）A ．（2，3）B ．（－2，3）C ．（2，－3）D ．（－2，－3） 2.（2009年泸州）在平面直角坐标系中，将二次函数22x y =的图象向上平移2个单位，所得图象的解析式为A ．222-=x y B ．222+=x y C ．2)2(2-=x y D ．2)2(2+=x y知识点2：二次函数的图形与性质例1：如图1所示，二次函数y=ax 2+bx+c 的图象开口向上，图象经过点（－1，2）和（1，0）且与y 轴交于负半轴.第（1）问：给出四个结论：①a>0；②b>0;③c>0；④a+b+c=0，其中正确的结论的序号是 .第（2）问：给出四个结论：①abc<0；②2a+b>0;③a+c=1;④a>1.其中正确的结论的序号是_______.抛物线与x 轴无交点 二次三项式的值恒为正一元二次方程无实数根.例2：抛物线y=－x 2+（m －1）x+m 与y 轴交于（0，3）点，（1）求出m 的值并画出这条抛物线；（2）求它与x 轴的交点和抛物线顶点的坐标；（3）x 取什么值时，抛物线在x 轴上方?（4）x 取什么值时，y 的值随x 的增大而减小？思路点拨：由已知点（0，3）代入y=－x 2+（m －1）x+m 即可求得m 的值，即可知道二次函数解析式，并可画出图象，然后根据图象和二次函数性质可得（2）（3）（4）.解：（1）由题意将（0，3）代入解析式可得m=3， ∴ 抛物线为y=－x 2+2x+3. 图象（图2）：（2）令y=0，则－x 2+2x+3=0，得x 1=－1，x 2=3； ∴ 抛物线与x 轴的交点为（－1，0），（3，0）. ∵ y=－x 2+2x+3=－（x －1）2+4， ∴ 抛物线顶点坐标为（1，4）；（3）由图象可知：当－1<x<3时，抛物线在x 轴上方； （4）由图象可知：当x>1时，y 的值随x 值的增大而减小. 练习：1.如图，直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，下列关系不正确．．．的是（ ） A ．h m = B ．k n = C ．k n > D ．00h k >>，2.函数y =ax ＋1与y =ax 2＋bx ＋1（a ≠0）的图象可能是（ ） 最新考题 1.（2009深圳）二次函数cbx ax y ++=2的图象如图所示，若点A （1，y 1）、B （2，y 2）是它图象上的两点，则y 1与y 2的大小关系是（）A ． 21y y <B ．21y y =C ．21y y >D ．不能确定 2.（2009北京）如图，C 为⊙O 直径AB 上一动点，过点C 的直线交⊙O 于D 、E 两点，且∠ACD=45°，DF ⊥AB 于点F,EG ⊥AB 于点G,当点C 在AB 上运动时，设AF=x ，DE=y ，下列中图象中，能表示y 与x 的函数关系式的图象大致是（ ）3.（2009年台州）已知二次函数c bx ax y ++=2的y 与x 的部分对应值如下表：F GO A C DB C D 1111xo y y o x y o x xo y… 0 1 3 … … 1 3 1…则下列判断中正确的是（ ）A ．抛物线开口向上B ．抛物线与y 轴交于负半轴C ．当x ＝4时，y ＞0 D ．方程02=++c bx ax 的正根在3与4之间知识点3：二次函数的应用例1：如图，从地面垂直向上抛出一小球，小球的高度h （单位：米）与小球运动时间t （单位：秒）的函数关系式是29.8 4.9h t t =-，那么小球运动中的最大高度h =最大 ．随楼层数x （楼）的变化而变化（x =1，2，3，4，5，6，7，8）；已知点（x ，y ）都在一个二次函数的图像上（如图6所示），则6楼房子的价格为 元/平方米．思路点拨：观察函数图像得：图像关于x 4=对称， 当x 2y=2080=时，元.因为x=2到对称轴的距离与x=6到对称轴的距离相等。
(完整版)二次函数知识点复习
二次函数知识点一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项．二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。
2. 2y ax c =+的性质：上加下减。
3. ()2y a x h =-的性质：左加右减。
4.()2y a x h k =-+的性质：三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k=-+与2y ax bx c =++的比较 从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 五、二次函数2y axbx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）.画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点.六、二次函数2y ax bx c =++的性质 1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a =-时，y 有最小值244ac b a -．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a -．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大； ⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小． 2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02b a -<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧；当0b =时，02ba-=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧． ⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即当0b >时，02ba->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧； 当0b =时，02b a -=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧． 总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab 3. 常数项c ⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正；⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0； ⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负． 总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置．二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-=.② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点. 1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2' 当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <． 2. 抛物线2y ax bx c =++的图象与y 轴一定相交，交点坐标为(0，)c ；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴ 求二次函数的图象与x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵ 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶ 根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c =++中a ，b ，c 的符号，或由二次函数中a ，b ，c 的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷ 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.下面以0a >时为例，揭示二次函数和一元二次方程之间的内在联系：十一、函数的应用二次函数应用⎧⎪⎨⎪⎩刹车距离何时获得最大利润最大面积是多少二次函数考查重点与常见题型1． 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如：已知以x 为自变量的二次函数2)2(22--+-=m m x m y 的图像经过原点， 则m 的值是2． 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如： 如图，如果函数b kx y +=的图像在第一、二、三象限内，那么函数12-+=bx kx y 的图像大致是（ ）3． 考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中档解答题和选拔性的综合题，如： 已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为35=x ，求这条抛物线的解析式。
二次函数(最全的中考二次函数知识点总结
二次函数(最全的中考二次函数知识点总结二次函数是中学数学中的一个重要内容，它在中考中也是一个常见的考点。
下面是一个最全的中考二次函数知识点总结。
1. 二次函数的定义：二次函数是形如y = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b、c为常数，且a≠0。
2.二次函数的图像：二次函数的图像是一条开口朝上或朝下的抛物线，a的符号决定了抛物线的开口方向。
3. 二次函数的顶点坐标：顶点坐标为(-b/2a, f(-b/2a))，其中f(x) = ax^2 + bx + c。
4.二次函数的对称轴：对称轴为x=-b/2a。
5. 二次函数的判别式：判别式Δ = b^2 - 4ac，可以用来判断二次函数的性质。
6.二次函数的零点：二次函数的零点是指函数图像与x轴的交点，即f(x)=0的解。
7.二次函数的单调性：当a>0时，二次函数是开口朝上的，是递增函数；当a<0时，二次函数是开口朝下的，是递减函数。
8. 定比分点：对于二次函数y = ax^2 + bx + c，若存在一点(x1,y1)，使得x1 = -b/2a + t 且 y1 = f(x1)，其中t为常数，则称(x1,y1)为定比分点。
9.定比分点与顶点的关系：二次函数的定比分点与顶点的横坐标之差等于m倍的a的倒数，即x1-(-b/2a)=m/a。
10. 二次函数的平移变换：对于二次函数y = ax^2 + bx + c，当a 不等于1时，二次函数的平移变换可以通过替换x变量来实现，平移后的函数为y = a(x-h)^2 + k。
11.二次函数与一次函数的关系：当a=0时，二次函数退化为一次函数。
12.二次函数的最值：当a>0时，二次函数的最小值为f(-b/2a)；当a<0时，二次函数的最大值为f(-b/2a)。
13.二次函数与根的关系：如果二次函数有两个不相等的根，那么函数图像必定与x轴有两个交点；如果二次函数有两个相等的根，那么函数图像必定与x轴有一个相切的交点；如果二次函数没有实数根，那么函数图像与x轴没有交点。
(完整版)中考考试二次函数专题复习
中考二次函数专题复习知识点归纳：一、二次函数概念：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。
这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征：⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质：2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。
3.y a x h =-的性质： 左加右减。
4.y a x h k =-+的性质：1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位2. 平移规律在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）四、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ，、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点. 六、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-．2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2b x a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a-．七、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）. 注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化.八、二次函数的图象与各项系数之间的关系 1. 二次项系数a二次函数2y ax bx c =++中，a 作为二次项系数，显然0a ≠．⑴ 当0a >时，抛物线开口向上，a 的值越大，开口越小，反之a 的值越小，开口越大；⑵ 当0a <时，抛物线开口向下，a 的值越小，开口越小，反之a 的值越大，开口越大．总结起来，a 决定了抛物线开口的大小和方向，a 的正负决定开口方向，a 的大小决定开口的大小．2. 一次项系数b在二次项系数a 确定的前提下，b 决定了抛物线的对称轴． ⑴ 在0a >的前提下，当0b >时，02ba -<，即抛物线的对称轴在y 轴左侧；当0b =时，02ba -=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba->，即抛物线对称轴在y 轴的右侧．⑵ 在0a <的前提下，结论刚好与上述相反，即当0b >时，02ba ->，即抛物线的对称轴在y 轴右侧；当0b =时，02ba -=，即抛物线的对称轴就是y 轴；当0b <时，02ba-<，即抛物线对称轴在y 轴的左侧．总结起来，在a 确定的前提下，b 决定了抛物线对称轴的位置．ab 的符号的判定：对称轴abx 2-=在y 轴左边则0>ab ，在y 轴的右侧则0<ab ，概括的说就是“左同右异”总结：3. 常数项c⑴ 当0c >时，抛物线与y 轴的交点在x 轴上方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为正；⑵ 当0c =时，抛物线与y 轴的交点为坐标原点，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为0；⑶ 当0c <时，抛物线与y 轴的交点在x 轴下方，即抛物线与y 轴交点的纵坐标为负．总结起来，c 决定了抛物线与y 轴交点的位置． 总之，只要a b c ，，都确定，那么这条抛物线就是唯一确定的． 二次函数解析式的确定：根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法．用待定系数法求二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便．一般来说，有如下几种情况：1. 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式；3. 已知抛物线与x 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式． 九、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---；2. 关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+； ()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++；3. 关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-； ()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180°）2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．5. 关于点()m n ，对称 ()2y a x h k=-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情况）：一元二次方程20ax bx c ++=是二次函数2y ax bx c =++当函数值0y =时的特殊情况. 图象与x 轴的交点个数：① 当240b ac ∆=->时，图象与x 轴交于两点()()1200A x B x ，，，12()x x ≠，其中的12x x ，是一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两根．这两点间的距离21AB x x =-=.② 当0∆=时，图象与x 轴只有一个交点； ③ 当0∆<时，图象与x 轴没有交点.1' 当0a >时，图象落在x 轴的上方，无论x 为任何实数，都有0y >； 2'当0a <时，图象落在x 轴的下方，无论x 为任何实数，都有0y <．2. 抛物线2y ax bx c=++的图象与y轴一定相交，交点坐标为(0，)c；3. 二次函数常用解题方法总结：⑴求二次函数的图象与x轴的交点坐标，需转化为一元二次方程；⑵求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式；⑶根据图象的位置判断二次函数2y ax bx c=++中a，b，c的符号，或由二次函数中a，b，c的符号判断图象的位置，要数形结合；⑷二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与x轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.⑸与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式2(0)ax bx c a++≠本身就是所含字母x的二次函数；下面以0a>时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系知识梳理：练习：1.抛物线23(1)2y x=-+的对称轴是（）A．1x= B．1x=-C．2x= D．2x=-2.要得到二次函数222y x x=-+-的图象，需将2y x=-的图象（）．A．向左平移2个单位，再向下平移2个单位B．向右平移2个单位，再向上平移2个单位C．向左平移1个单位，再向上平移1个单位D．向右平移1个单位，再向下平移1个单位最新考题1.(2009年四川省内江市)抛物线3)2(2+-=xy的顶点坐标是（）A．（2，3） B．（－2，3） C．（2，－3） D．（－2，－3）2.（2009年泸州）在平面直角坐标系中，将二次函数22xy=的图象向上平移2个单位，所得图象的解析式为A．222-=xy B．222+=xyC．2)2(2-=xy D．2)2(2+=xy知识点2：二次函数的图形与性质例1：如图1所示，二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上，图象经过点（－1，2）和（1，0）且与y轴交于负半轴.∆>抛物线与x轴有两个交点二次三项式的值可正、可零、可负一元二次方程有两个不相等实根∆=抛物线与x轴只有一个交点二次三项式的值为非负一元二次方程有两个相等的实数根∆<抛物线与x轴无交点二次三项式的值恒为正一元二次方程无实数根.第（1）问：给出四个结论：①a>0；②b>0;③c>0；④a+b+c=0，其中正确的结论的序号是 .第（2）问：给出四个结论：①abc<0；②2a+b>0;③a+c=1;④a>1.其中正确的结论的序号是_______.例2：抛物线y=－x 2+（m －1）x+m 与y 轴交于（0，3）点，（1）求出m 的值并画出这条抛物线；（2）求它与x 轴的交点和抛物线顶点的坐标；（3）x 取什么值时，抛物线在x 轴上方?（4）x 取什么值时，y 的值随x 的增大而减小？思路点拨：由已知点（0，3）代入y=－x 2+（m －1）x+m 即可求得m 的值，即可知道二次函数解析式，并可画出图象，然后根据图象和二次函数性质可得（2）（3）（4）. 解：（1）由题意将（0，3）代入解析式可得m=3，∴ 抛物线为y=－x 2+2x+3. 图象（图2）：（2）令y=0，则－x 2+2x+3=0，得x 1=－1，x 2=3； ∴ 抛物线与x 轴的交点为（－1，0），（3，0）.∵ y=－x 2+2x+3=－（x －1）2+4， ∴ 抛物线顶点坐标为（1，4）；（3）由图象可知：当－1<x<3时，抛物线在x 轴上方；（4）由图象可知：当x>1时，y 的值随x 值的增大而减小. 练习：1.如图，直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，下列关系不正确．．．的是（ ） A ．h m =B ．k n =C ．k n >D ．00h k >>，2.函数y =ax ＋1与y =ax 2＋bx ＋1（a ≠0）的图象可能是（ ）最新考题1.（2009深圳）二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，若点A （1，y 1）、B （2，y 2）是它图象上的两点，则y 1与y 2的大小关系是（） A ． 21y y < B ．21y y = C ．21y y > D ．不能确定2.（2009北京）如图，C 为⊙O 直径AB 上一动点，过点C 的直线交⊙O 于D 、E 两点，且∠ACD=45°，DF ⊥AB 于点F,EG ⊥AB 于点G,当点C 在AB 上运动时，设AF=x ，DE=y ，下列中图象中，能表示y 与x 的函数关系式的图象大致是（ ）3.（2009年台州）已知二次函数c bx ax y ++=2的y 与x 的部分对应值如下表：x … 1- 0 1 3 … y … 3- 1 3 1 …A ．抛物线开口向上B ．抛物线与y 轴交于负半轴C ．当x ＝4时，y ＞0D ．方程02=++c bx ax 的正根在3与4之间 知识点3：二次函数的应用例1：如图，从地面垂直向上抛出一小球，小球的高度h （单位：米）与小球运动时间t （单位：秒）的函数关系式是29.8 4.9h t t =-，那么小球运动中的最大高度h =最大 ．F G O ACDB C D1111x o y y o x y o x x o y随楼层数x（楼）的变化而变化（x=1，2，3，4，5，6，7，8）；已知点（x，y）都在一个二次函数的图像上（如图6所示），则6楼房子的价格为元/平方米．思路点拨：观察函数图像得：图像关于x4=对称，当x2y=2080=时，元.因为x=2到对称轴的距离与x=6到对称轴的距离相等。