高一数学(人教A版)必修4课件：1-5-2 函数y=Asin(ωx+φ)的性质及应用
1．5.2 函数 y＝Asin(ωx＋φ)的性质及应用
4
第一章 三角函数
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课前自主预习 课堂典例讲练 课后强化作业
第一章 1.5 1.5.2
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课前自主预习
第一章 1.5 1.5.2
第一章 1.5 1.5.2
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[解析]
A＝1－2－3， 由图象知k＝1－2 3，
－1π2ω＋φ＝0， 152πω＋φ＝π，
故选 D.
A＝2， k＝－1， 解得φ＝π6， ω＝2.
第一章 1.5 1.5.2
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第一章 1.5 1.5.2
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名师辨误作答
相位、初相概念理解错误 函数 y＝2sin(－2x＋3π)的相位和初相分别是( )
A．－2x＋π3，3π B．2x－3π，－π3 C．2x＋23π，23π D．2x＋23π，3π
第一章 1.5 1.5.2
第一章 1.5 1.5.2
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(2012 全国高考新课标卷)已知 ω>0，函数 f(x)＝sin(ωx＋4π)
在(2π，π)上单调递减．则 ω 的取值范围是(
)
A.12，54 C.0，12
B.12，34 D.0，2
第一章 1.5 1.5.2
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②对于函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象，相邻的两 个对称中心或两条对称轴相距半个周期；相邻的一个对称中 心和一条对称轴相距周期的四分之一．
③讨论函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质，要善于采用整体策 略，即把ωx＋φ看成一个整体，将问题化归为正弦函数的性质 来解决．
＝
π 12
时，取得最大值2；当x＝
7π 12
时，取得最小值－2，则函数
f(x)＝________.
[答案] 2sin2x＋π3
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[解析] T＝2172π－1π2＝π，A＝2. 又π＝2ωπ，∴ω＝2. ∴函数f(x)＝2sin2x＋π3.
第一章 1.5 1.5.2
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(2011～2012·临沂高一检测)设函数 f(x)＝sin(2x ＋φ)(－π<φ<0)，y＝f(x)图象的一条对称轴是直线 x＝8π.
(1)求 φ； (2)求函数 y＝f(x)的单调区间及最值； [分析] 本题关键是对图象的对称轴为 x＝π8这一条件的利 用，由图象一对称轴为 x＝8π得：当 x＝8π时 2x＋φ＝kπ＋2π(k∈ Z)进而可求 φ 值．
第一章 1.5 1.5.2
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[kπ＋8π，kπ＋58π](k∈Z)． 同理可得函数的单调递减区间是 [kπ＋58π，kπ＋98π](k∈Z)． 当 2x－34π＝2kπ＋π2(k∈Z)，即 x＝kπ＋58π(k∈Z)时函数有最 大值 1； 当 2x－34π＝2kπ－π2(k∈Z)，即 x＝kπ＋8π(k∈Z)时函数有最 小值－1.
第一章 1.5 1.5.2
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函数y＝6sin3x－8π的最大值是(
)
A．6
B．7
C．8
D．18
[答案] A
第一章 1.5 1.5.2
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已知函数f(x)＝Asin ωx＋π3 (>0，ω>0)在一个周期内，当x
第一章 1.5 1.5.2
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[解析] (1)由 2x＋φ＝kπ＋π2，k∈Z 得 x＝k2π＋π4－φ2， 令k2π＋π4－φ2＝π8，解得 φ＝kπ＋4π，k∈Z. ∵－π<φ<0，∴φ＝－34π. (2)由(1)知，f(x)＝sin(2x－34π)． 由 2kπ－π2≤2x－34π≤2kπ＋2π(k∈Z) 解得 kπ＋π8≤x≤kπ＋58π(k∈Z) 故函数的单调递增区间是
第一章 1.5 1.5.2
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1．简谐运动 简谐运动 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，x∈[0，＋∞))中， _A__叫振幅，T＝2ωπ叫__周__期__，f＝2ωπ叫__频__率__，_ω_x_＋__φ__叫相位， __φ__叫初相．
用方法有： (1)代入法：把图象上的一个已知点代入(此时，A、ω已
知)或代入图象与x轴的交点求解．(此时要注意交点在上升区 间还是在下降区间上)
第一章 1.5 1.5.2
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(2)五点法：确定φ的值时，往往以寻找“五点”中的第一
个“零点”(－
[答案] A
第一章 1.5 1.5.2
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[解析] ω＝2⇒(ωx＋4π)∈54π，94π不合题意，排除(D) ω＝1⇒(ωx＋π4)∈34π，54π合题意 排除(B)(C) 另：ω(π－2π)≤π⇔ω≤2， (ωx＋4π)∈2πω＋4π，πω＋π4⊂π2，32π 得：π2ω＋4π≥π2，πω＋4π≤32π⇔12≤ω≤54
第一章 1.5 1.5.2
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命题方向 2 函数 y＝Asin(ωx＋φ)性质的运用 (1)函数 y＝Asin(ωx＋φ)的性质较为综合，在历年高考题中
都有所体现和考查．围绕着函数单调性、最值、奇偶性，图象 的对称性等都有所体现和考查．
(2)有关函数 y＝Asin(ωx＋φ)的性质运用问题，要特别注意 整体代换思想的运用．
成才之路·数学
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路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
1
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第一章
三角函数
2
第一章 三角函数
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第一章
1．5 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象
3
第一章 三角函数
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2kπ＋π2－φ 当 x＝_____ω______(k∈Z)时，y 取最大值 A；当 x＝ 2kπ－π2－φ ____ω______(k∈Z)时，y 取最小值－A.
2π (3)周期性：周期函数，周期为 ω .
第一章 1.5 1.5.2
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温故知新
1．用五点法作 y＝2sin3x＋1 的图象时，首先应描出的五
点的横坐标可以是( )
A．0，2π，π，32π，2π
B．0，π4，2π，34π，π
C．0，π，2π，3π，4π
D．0，π6，3π，π2，23π
[答案] D
第一章 1.5 1.5.2
[解析] 由于最小值为－2，所以 A＝2. 又相邻的最高点与最低点横坐标之差为 3π. 得：T＝2×3π＝6π，从而 ω＝2Tπ＝26ππ＝13， ∴y＝2sin(13x＋φ)，又图象过点(0,1)， 所以 sinφ＝12. 因为|φ|<π2，所以 φ＝π6. 故所求解析式为 y＝2sin(13x＋π6)．
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函数 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π2)的最小值为－2， 其图象相邻的最高点与最低点横坐标差是 3π，又图象过点 (0,1)，求函数解析式．
第一章 1.5 1.5.2
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3．函数 y＝sin(2x＋3π)的图象是由 y＝sin2x的图象沿 x 轴 ()
A．向左平移3π个单位而得到的 B．向右平移π3个单位而得到的 C．向左平移π6个单位而得到的 D．向左平移23π个单位而得到的 [答案] D
第一章 1.5 1.5.2
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(4)奇偶性：当且仅当 φ＝kπ(k∈Z)时，函数 y＝Asin(ωx＋φ) 是 奇 函数；当且仅当 φ＝kπ＋2π(k∈Z)时，函数 y＝Asin(ωx＋φ) 是 偶 函数．
(5)单调性：单调递增区间是
第一章 1.5 1.5.2
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[拓展]①对称性：函数图象与x轴的交点是对称中心，即 对称中心是 kπω－φ，0 ，对称轴与函数图象的交点的纵坐标是 函数的最值，即对称轴是直线x＝kπ＋ω2π－φ，其中k∈Z.
如图所示，为函数 y＝Asin(ωx＋φ)＋k 在一个周期 内的图象，则这个函数的一个解析式为( )
第一章 1.5 1.5.2
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A．y＝2sin(2x＋π6)－1 B．y＝2sin(2x＋3π)－1 C．y＝2sin(2x＋3π)－1 D．y＝2sin(2x＋6π)－1 [分析] 由“五点法”列表的对应关系建立 φ 的方程，求 φ、ω，再根据平衡位置确定 A，k.
高中数学人教A版必修4课件：1-5函数y=Asin(ωx φ)的图象
1 1 π
1
π
.
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四、函数y=Asin(ωx+φ)的图象的作法 【问题思考】 1.作出函数y=Asin(ωx+φ)的图象可有哪些方法?如果用图象变换 法,那么是先平移后伸缩还是先伸缩后平移呢? 提示:作函数y=Asin(ωx+φ)的图象,可以用“五点法”,也可根据图 象间的关系通过变换法得到;如果用图象变换法,那么既可以先平 移后伸缩,也可以先伸缩后平移.
������
即 y=sin(x+φ)的图象 的图象.
y=sin(ωx+φ)
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3.做一做:函数y=sin 4x的图象可由函数y=sin x的图象经过怎样 的变换得到( ) A.所有点的横坐标变为原来的 4 倍
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2.填空:如图,函数y=sin(ωx+φ)的图象,可以看作是把y=sin(x+φ) 的图象上所有点的横坐标缩短(当ω>1时)或伸长(当0<ω<1时)到原 1 来的 倍(纵坐标不变)而得到.
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三、A(A>0)对函数y=Asin(ωx+φ)的图象的影响 【问题思考】 1 1.在同一平面直角坐标系中,用“五点法”作出函数y=4sin x与y= 2 sin x的图象,从列表中变量的值以及画出的图象两个方面进行观察 分析,y=Asin(ωx+φ)的图象与y=sin(ωx+φ)的图象之间有什么关系? 提示:y=Asin(ωx+φ)的图象可以由函数y=sin(ωx+φ)的图象经过 上下伸缩变换得到.
高中数学第一章三角函数1.5.2函数y=Asin(ωxφ)的性质及应用课件新人教A版必修4
− 2, 则函数������ (������) = 解析 :T=2
2π 又 π= , 则 ω=2.故函数 ������ π 答案 :2sin 2������ + 3 7π π 12 12
. = π, ������ = 2. f(x)=2sin 2������
π + 3
.
由图象求函数的解析式 剖析:若已知函数图象求它对应的解析式,一般是仔细地观察图 象,从它已表达出的特征,如一个或半个周期,最高点与最低点,与x 轴或y轴的交点或其他特殊点等来求. 若所求的解析式为y=Asin(ωx+φ),则此时最大值与最小值互为相 反数.A由最高点与最低点确定,ω由周期T确定,φ由已知点的坐标确 定,常用五点中的一个求得. 知识拓展利用零点法确定φ的值,需要将已知函数的图象形状与 函数y=sin x在相应的一个周期内的图象相比较,认清该零点为三个 零点中的第几个零点.第一个零点为图象上升时与x轴的交点,即 ωx+φ=0;第二个零点为图象下降时与x轴的交点,即ωx+φ=π;第三个 零点为ωx+φ=2π.但是最高点与最低点都只有一个,因此将最值点 代入,一般不易出错.
(������ ∈Z) .
1
2
知识拓展 1.对称性 :函数图象与 x 轴的交点是对称中心 ,即对称 中心是
������π-������ ,0 ������
( ������∈ Z),对称轴与函数图象的交点的纵坐标是函数
������π+2 -������ ������
π
的最值 ,即对称轴是直线 x=
, 其中k∈ Z.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型一
图象对称问题
π 3
高一数学人教A版必修4课件：1.5 函数y=Asin(ωx+φ)的图象(二)
当堂测·查疑缺
1234
1.要得到函数 y＝sin－12x的图象，只需将函数 y＝sin－12x＋π6的图
象( )
A.向左平移π3个单位
B.向右平移π3个单位
C.向左平移π6个单位
D.向右平移π6个单位
明目标、知重点
1234
解析 提取 x 的系数－12得 y＝sin－12x－π3，于是可知向左平移π3个 单位.
φ＝ kπ (k∈Z) 时是奇函数；φ＝π2＋kπ (k∈Z) 时是偶 奇偶性 函数；当φ≠kπ (k∈Z)时是 非奇非偶 函数.
2 单调增区间可由 2kπ－π2≤ωx＋φ≤2kπ＋π2 (k∈Z) 得到， 单调性 单调减区间可由 2kπ＋π2≤ωx＋φ≤2kπ＋32π(k∈Z) 得到.
明目标、知重点
答案 A
明目标、知重点
1234
2.已知函数 f(x)＝sinωx＋π3(ω>0)的最小正周期为 π，则该函数的图
象( A )
A.关于点π3，0对称
B.关于直线 x＝π4对称
C.关于点π4，0对称
D.关于直线 x＝π3对称
明目标、知重点
1234
3.函数y＝sin(ωx＋φ)(x∈R，ω>0,0≤φ<2π)的部分图象如图，则( ) A.ω＝π2，φ＝π4 B.ω＝π3，φ＝π6 C.ω＝π4，φ＝π4 D.ω＝π4，φ＝54π
(2)由图象确定系数ω，φ通常采用两种方法： ①如果图象明确指出了周期的大小和初始值x1(第一个零点的横 坐标)或第二，第三(或第四，第五)点横坐标，可以直接解出ω 和φ，或由方程(组)求出. ②代入点的坐标，通过解最简单的三角函数方程，再结合图象 确定ω和φ. (3)A的求法一般由图象观察法或代入点的坐标通过解A的方程 求出.
高中数学人教A版必修4第一章1.5《函数y=Asin(wx φ)的图象》(第1课时)课件
一个周期(T
2
1
6 )内的图象.
3
令X 1 x ,则x 3( X ).
36
6
当X取0, , , 3 ,2时,可求得相对应的x和y
22
的值, 得到"五点", 再描点作图.
X
0
2
.3
2
x
2 7 5
2
2
y
0
2
0 2
然. 后 将 简 图再, "描 点五"作点图得, 到 的y 值和x
2
13
2
0
纵坐标不变
向左>0 (向右<0) 平移||/个单位
ysi n(x )si nx ()
横坐标不变
y=Asin(x+)
纵坐标伸长A>1 (缩短0<A<1)到原来的A倍
易错点
y s in x y s in (x )
1、若先平移再伸缩，则平移的单位：
2、若先伸缩再平移，则平移的单位：
由 y sin x 到 y A sin( x )的 图 象 变 换 步 骤
的图象?
π
解 : y sin x 图象向左平移 4 个单位 y sin( x π4) 的图象
1
各点的横坐标缩短到原来的 (纵坐标不变)
2
倍 y sin(2x π4) 的图象
各点的纵坐标伸长到原来的 (横坐标不变)
2 倍y
sin(2
x
π) 4
的图象
例2.如何由 y=sin x 的图象得到 y
沿x轴
扩展
得 到 y A sin( x )在 R上 的 图 象
练习1 画出函数y 2sin(1 x )的简图.
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π π 个单位长度，可以得到函数 y＝sinx＋6的图象； 6
(2)把
π 1 x＋ 的图象上各点的横坐标缩短到原来的 ， y＝sin 6 2 π y＝sin2x＋6的图象；
而纵坐标不变，可以得到函数 (3)将函数
π y＝sin 2x＋6的图象上的各点的纵坐标缩短到
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②对于函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象，相邻的两 个对称中心或两条对称轴相距半个周期；相邻的一个对称中 心和一条对称轴相距周期的四分之一． ③讨论函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质，要善于采用整体策 略，即把ωx＋φ看成一个整体，将问题化归为正弦函数的性质 来解决．
π 7π ＝ 12 时，取得最大值2；当x＝ 12 时，取得最小值－2，则函数 f(x)＝________.
π 2sin2x＋3
[答案]
第一章
1.5
1.5.2
Hale Waihona Puke 成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
[解析]
7π π T＝212－12＝π，A＝2.
2π 又π＝ ω ，∴ω＝2.
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第一章
三角函数
第一章 三角函数
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第一章
1．5 函数 y＝Asin(ωx＋φ)的图象
第一章 三角函数
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第一章
1．5.2 函数 y＝Asin(ωx＋φ)的性质及应用
的图象，那么
第一章
高一数学人教A版必修4课件：1.5 函数y=Asin(ωx+φ)的图象(一)
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13
探究点二 ω(ω>0)对y＝sin(ωx＋φ)的图象的影响
思考 1 作出函数 y＝sin2x＋π3的图象并与 y＝sinx＋π3的图象的
形状和位置做比较，你有什么发现？
答
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14
函数 y＝sin2x＋π3的图象，可以看作是把 y＝sinx＋π3的图象上所有 的点横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)而得到的.
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4
2.ω(ω>0)对y＝sin(ωx＋φ)的图象的影响
函数y＝sin(ωx＋φ)的图象，可以看作是把y＝sin(x＋φ)的图象
上所有点的横坐标 缩短 (当ω>1时)或 伸长 (当0<ω<1时)到原来
1
的 ω 倍(纵坐标 不变 )而得到.
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15
思考 2 用“五点法”作出函数 y＝sin12x＋π3在一个周期内的图象，
比较它与函数 y＝sinx＋π3的图象的形状和位置，你又有什么发现？
答
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16
函数 y＝sin12x＋π3的图象，可以看作是把 y＝sinx＋π3的图象上所有 的点横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)而得到的.
0<ω<1时)到原来的ω1 倍(纵坐标不变)而得到的.
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18
探究点三 A(A>0)对y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响
思考 1 作出函数 y＝2sin2x＋π3的图象并与函数 y＝sin2x＋π3的图
高中数学人教A版必修4：第一章 1(1).5 第二课时 函数y=Asin(ωx+φ)的性质
2019年7月10日
你是我今生最美的相遇遇上你是我的缘
16
[一题多变]
1．[变条件，变设问]将本例中对称中心改为对称轴，其他条
件不变，求离y轴最近的一条对称轴方程． 解：由4x＋23π＝kπ＋π2，得x＝k4π－2π4，
取k＝0时，x＝－2π4满足题意． 2．[变条件]将本例中“sin”改为“cos”，其他条件不变，结果
2019年7月10日Fra bibliotek你是我今生最美的相遇遇上你是我的缘
13
给出y＝Asin(ωx＋φ)的图象的一部分，确定A，ω，φ的方法 (1)第一零点法：如果从图象可直接确定A和ω，则选取
“第一零点”(即“五点法”作图中的第一个点)的数据代入 “ωx＋φ＝0”(要注意正确判断哪一点是“第一零点”)求得φ.
(2)特殊值法：通过若干特殊点代入函数式，可以求得相 关待定系数A，ω，φ.这里需要注意的是，要认清所选择的点 属于五个点中的哪一点，并能正确代入列式．
(× )
2019年7月10日
你是我今生最美的相遇遇上你是我的缘
5
2．函数y＝13sin13x＋π6的周期、振幅、初相分别是 (
)
A．3π，13，π6
B．6π，13，π6
C．3π，3，－π6
D．6π，3，π6
答案：B
2019年7月10日
你是我今生最美的相遇遇上你是我的缘
6
3．函数y＝Asin(ωx＋φ)＋1(A＞0，ω＞0)的最大值为5，则A＝
第二课时 函数 y＝Asin(ωx＋φ)的性质
预习课本P54～55，思考并完成以下问题
(1)在简谐运动中，y＝Asin(ωx＋φ)的初相、振幅、周期分别 为多少？
(2)函数 y＝Asin(ωx＋φ)有哪些性质？
高一数学人教A版必修4课件：1.5 函数y=Asin(ωx+φ)的图象(二)
跟踪训练2 如图，函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)的图象， 根据图中条件，写出该函数解析式.
解 由图象知A＝5. 由T2＝52π－π＝32π， 得T＝3π，
明目标、知重点
∴ω＝2Tπ＝23.∴y＝5sin(23x＋φ). 下面用两种方法求φ：
方法一 (单调性法)
明目标、知重点
思考2 利用“五点法”作出函数y＝Asin(ωx＋φ) (A>0，ω>0)在一 个周期上的图象，要经过“取值、列表、描点、连线”这四个步 骤.请完成下面的填空.
ωx＋φ 0
π 2
3
π
2π
2π
x
－ωφ
－ωφ＋2πω －ωφ＋ωπ －ωφ＋23ωπ －ωφ＋2ωπ
y
0
A
0
－A
0
明目标、知重点
明目标、知重点
方法二 由图象知 A＝ 3，
以 Mπ3，0为第一个零点，P56π，0为第二个零点.
ω·π3＋φ＝0， 列方程组ω·56π＋φ＝π，
ω＝2， 解得φ＝－23π.
∴所求解析式为 y＝ 3sin2x－23π.
明目标、知重点
明目标、知重点
(2)由图象确定系数ω，φ通常采用两种方法： ①如果图象明确指出了周期的大小和初始值x1(第一个零点的横 坐标)或第二，第三(或第四，第五)点横坐标，可以直接解出ω 和φ，或由方程(组)求出. ②代入点的坐标，通过解最简单的三角函数方程，再结合图象 确定ω和φ. (3)A的求法一般由图象观察法或代入点的坐标通过解A的方程 求出.
明目标、知重点
例 3 已知函数 f(x)＝a2sin 2x＋(a－2)cos 2x 的图象关于点π2，0 中心对称，求 a 的值. 解 根据函数 f(x)＝a2sin 2x＋(a－2)cos 2x 的图象关于π2，0中心 对称，∴fπ2＝2－a＝0，∴a＝2.
高一数学(人教A版)必修4课件：1-5-1 画函数y=Asin(ωx+φ)的图象
第一章 1.5 1.5.1
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思路方法技巧 命题方向 1 函数 y＝Asin(ωx＋φ)图象的作法
作出函数 y＝3sin(2x＋π3)的图象． [分析] 解析式 或五―变―点换→法法 图象
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[答案] C
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[解析] 分清对横坐标还是纵坐标所作的变换，左、右平 移是对 x 变化，并且是对单个的 x 进行变化，把 y＝sin(2x＋π4) 的图象向右平移π8个单位长度，用(x－8π)代换原解析式中的 x， 即得函数式 y＝sin[2(x－8π)＋π4]，即 y＝sin2x，再把 y＝sin2x 的 图象上的各点的横坐标缩短到原来的12，就得到解析式 y＝ sin2(2x)，即 y＝sin4x 的图象．
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温故知新 1．“五点法”作图是正余弦函数作图中一种非常重要的方 法，通常在正弦函数y＝sinx，x∈[0,2π]的图象上，起关键作用 的“五点”为 (0,0)、(π2，1)、(π，0)、(32π，－1)、(2π，1) ；在余 弦函数y＝cosx，x∈[0,2π]的图象上，起关键作用的“五点”为 (0,1)、(π2，0)、(π－1)、(32π，0)、(2π，1) ．
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[拓展]函数y＝Af(x)(A>0，且A≠1)的图象，可以看作是把 函数y＝f(x)的图象上的点的纵坐标伸长(A>1)或缩短(0<A<1)到 原来的A倍(横坐标不变)而得到的．
人教版高中数学必修4讲义 1.5 函数y=Asin(ωxφ)的图象
1.5 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象1.理解参数A ，ω，φ对函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的影响；能够将y ＝sin x 的图象进行交换得到y ＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈R 的图象.(难点)2.会用“五点法”画函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的简图；能根据y ＝A sin(ωx ＋φ)的部分图象，确定其解析式.(重点)3.求函数解析式时φ值的确定.(易错点)[基础·初探]教材整理1 φ对函数y ＝sin(x ＋φ)的图象的影响 阅读教材P 49～P 50“探索二”以上内容，完成下列问题. y ＝sin x ――→φ>0时，向左平移|φ|个单位长度φ<0时，向右平移|φ|个单位长度y ＝sin(x ＋φ).将函数y ＝sin x 的图象向右平移π3个单位长度，所得图象的解析式是________.【解析】 将函数y ＝sin x 的图象向右平移π3个单位长度，所得图象的解析式是y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3. 【答案】 y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3 教材整理2 ω(ω>0)对函数y ＝sin(ωx ＋φ)的图象的影响阅读教材P 50“探索二”以下至P 51第六行以上内容，完成下列问题.y ＝sin(x ＋φ)ω>1时，所有点的横坐标缩短到原来1ω,0<ω<1时，所有点的横坐标伸长到原来1ω倍y ＝sin(ωx ＋φ).要得到函数y ＝sin 2x 的图象，只需将函数y ＝sin x 图象上所有点的横坐标________.【解析】 要得到函数y ＝sin 2x 的图象，只需将函数y ＝sin x 图象上所有点的横坐标缩短为原来的12倍.【答案】 缩短为原来的12倍教材整理3 A (A >0)对y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的影响阅读教材P 51第六行以下至P 53“例1”以上内容，完成下列问题. 1.y ＝sin(ωx ＋φ)――→A >1时，所有点纵坐标伸长到原来的A 倍0<A <1时，所有点纵坐标缩短到原来的A 倍 y ＝A sin(ωx ＋φ).2.正弦曲线到函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的变换过程： y ＝sin x 的图象――→向左(φ>0)或向右(φ<0)平移|φ|个单位长度y ＝sin(x ＋φ)的图象――→横坐标变为原来的1ω纵坐标不变y ＝sin(ωx ＋φ)的图象――→纵坐标变为原来的A 倍横坐标不变y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)y ＝sin x 的图象上所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍所得到的图象的解析式为y ＝12sin x .( )(2)把y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π3的图象上所有点的横坐标不变，纵坐标变为原来的12，所得图象的解析式为y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3.( ) 【答案】 (1)× (2)×教材整理4 A ，ω，φ的物理意义阅读教材P 54“例2”以上内容，完成下列问题.在y ＝A sin(ωx ＋φ)，x ∈[0，＋∞)(A >0，ω>0)中，各参数的物理意义.振幅 A 它是做简谐运动的物体离开平衡位置的最大距离周期 T ＝2πω它是物体往复运动一次所需要的时间 频率 f ＝1T ＝ω2π 它是单位时间内往复运动的次数相位ωx ＋φ其中φ为初相已知函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫15x ＋π7，则该函数的最小正周期、振幅、初相分别是________，________，________.【解析】 由函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫15x ＋π7的解析式知，振幅为3，最小正周期为T ＝2πω＝10π，初相为π7.【答案】 10π 3 π7[小组合作型]“五点法”作函数图象及相关问题作出函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，x ∈R 的简图，并说明它与y ＝sin x 的图象之间的关系. 【导学号：00680024】【精彩点拨】 列表、描点、连线、成图是“五点法”作图的四个基本步骤，令2x ＋π3取0，π2，π，3π2，2π即可找到五点.【自主解答】 列表：x －π6 π12 π3 7π12 5π6 2x ＋π30 π2 π 3π2 2π 3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3 03－3利用函数的周期性，可以把上述简图向左、右扩展，就得到y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3，x ∈R 的简图.从图可以看出，y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象是用下面方法得到的. 法一：⎝⎛⎭⎫x →x ＋π3→2x ＋π3， y ＝sin x的图象――→向左平移π3个单位长度y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3的图象――→横坐标缩短为原来的12纵坐标不变y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象――→横坐标不变纵坐标伸长到原来的3倍 y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象. 法二：⎝⎛⎭⎫x →2x →2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝2x ＋π3， y ＝sin x 的图象――→横坐标缩短为原来的12倍纵坐标不变y ＝sin 2x的图象――→向左平移π6个单位长度y ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫x ＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象――→横坐标不变纵坐标伸长为原来的3倍y＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的图象.1.用五点法作函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象，五个点应是使函数取得最大值、最小值以及曲线与x 轴相交的点.2.图象变换方法一是先平移，后伸缩；方法二是先伸缩，后平移.表面上看，两种变换方法中的平移|φ|和⎪⎪⎪⎪φω是不同的，但由于平移时的对象已有变化，所以得到的结果都是一致的.[再练一题]1.作出函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4在x ∈⎣⎡⎦⎤π8，3π4上的图象. 【解】 令X ＝2x －π4，列表如下：X 0 π2 π 3π2 2π xπ83π85π87π89π8y 0 2 0－2三角函数图象之间的变换(1)要得到y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图象，只需将y ＝3sin 2x 的图象( ) A.向左平移π4个单位B.向右平移π4个单位C.向左平移π8个单位D.向右平移π8个单位(2)把函数y ＝sin x 的图象上所有点的横坐标都缩小到原来的一半，纵坐标保持不变，再把图象向左平移π4个单位，则所得图象的解析式为( )A.y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4 B.y ＝－sin 2x C.y ＝cos 2xD.y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4 (3)已知函数y ＝f (x )的图象上的每一点的纵坐标扩大到原来的4倍，横坐标扩大到原来的2倍，然后把所得的图象沿x 轴向左平移π2个单位，这样得到的曲线和y ＝2sin x 的图象相同，则函数y ＝f (x )的解析式为________.【精彩点拨】 (1)可利用左右平移时“左加右减”，自变量“x ”的加减来判断； (2)可利用横坐标伸缩到1ω(ω>0)倍时，解析式中“x ”换为“ωx ”；(3)可利用纵坐标变为A (A >0)倍时，解析式中在原表达式前应乘以A . 【自主解答】 (1)y ＝3sin 2x 的图象――→向左平移π8个单位长度y ＝3sin2⎝⎛⎭⎫x ＋π8的图象，即y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4的图象.(2)由题意y ＝sin x 的图象――→各点横坐标缩小为原来的12纵坐标不变y ＝sin 2x 的图象――→向左平移π4个单位长度y ＝sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π4的图象， 即y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝cos 2x 的图象. (3)y ＝2sin x 的图象――→向右平移π2个单位长度y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π2――→图象上各点横坐标缩小为原来的12纵坐标不变y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2――→图象上各点纵坐标缩小为原来的14横坐标不变y ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x －π2的图象，即f (x )＝－12cos 2x 的图象. 【答案】 (1)C (2)C (3)f (x )＝－12cos 2x三角函数图象平移变换问题的分类及解题策略：(1)确定函数y ＝sin x 的图象经过平移变换后图象对应的解析式，关键是明确左右平移的方向，按“左加右减”的原则进行.(2)已知两个函数解析式判断其图象间的平移关系时，首先要将解析式化为同名三角函数形式，然后再确定平移方向和单位.[再练一题]2.为了得到函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x 3＋π6，x ∈R 的图象，只需把函数y ＝sin x ，x ∈R 的图象上所有的点：①向左平移π6个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原来的13倍(纵坐标不变)；②向右平移π6个单位，再把所得各点的横坐标缩短到原来的13倍(纵坐标不变)；③向左平移π6个单位，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)；④向右平移π6个单位，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变).其中正确的是________.【解析】 y ＝sin x ――→向左平移π6个单位长度y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π6――→横坐标伸长到原来的3倍纵坐标不变y ＝sin ⎝⎛⎭⎫13x ＋π6.【答案】 ③求y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式如图1-5-1所示的是函数y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫|φ|<π2的图象，确定其中一个函数解析式.图1-5-1【精彩点拨】 解答本题可由最高点、最低点确定A ，再由周期确定ω，然后由图象所过的点确定φ.【自主解答】 法一：由图象知振幅A ＝3. 又T ＝5π6－⎝⎛⎭⎫－π6＝π， ∴ω＝2πT ＝2.又过点⎝⎛⎭⎫－π6，0， 则得sin ⎝⎛⎭⎫－π6×2＋φ＝0，得φ＝π3， ∴y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 法二：由图象知A ＝3，且图象过点⎝⎛⎭⎫π3，0和⎝⎛⎭⎫5π6，0， 根据五点作图法原理，有⎩⎨⎧π3·ω＋φ＝π，5π6·ω＋φ＝2π，解得ω＝2，φ＝π3，∴y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. 法三：由图象，知A ＝3，T ＝π，又图象过点A ⎝⎛⎭⎫－π6，0， ∴所求图象由y ＝3sin 2x 的图象向左平移π6个单位得到，∴y ＝3sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π6，即y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3.确定函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的解析式的关键是φ的确定，常用方法有：(1)代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A ，ω已知)或代入图象与x 轴的交点求解(此时要注意交点在升区间上还是在下降区间上).(2)五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点⎝⎛⎭⎫－φω，0作为突破口.“五点”的ωx ＋φ的值具体如下：“第一点”(即图象上升时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝0； “第二点”(即图象的“峰点”)为ωx ＋φ＝π2；“第三点”(即图象下降时与x 轴的交点)为ωx ＋φ＝π； “第四点”(即图象的“谷点”)为ωx ＋φ＝3π2；“第五点”为ωx ＋φ＝2π.[再练一题]3.已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎫A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2在一个周期内的部分函数图象如图1-5-2所示.求此函数的解析式.图1-5-2【解】 由图象可知A ＝2，T 2＝43－13＝1，∴T ＝2，∴T ＝2πω＝2，∴ω＝π，∴y ＝2sin(πx ＋φ).代入⎝⎛⎭⎫13，2得2sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝2， ∴sin ⎝⎛⎭⎫π3＋φ＝1.∵|φ|＜π2，∴φ＝π6，∴y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫πx ＋π6. [探究共研型]函数y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的对称性探究1 如何求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)与y ＝A cos(ωx ＋φ)的对称轴方程？【提示】 与正弦曲线、余弦曲线一样，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)的图象的对称轴通过函数图象的最值点且垂直于x 轴.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)对称轴方程的求法：令sin(ωx ＋φ)＝±1，得ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，则x ＝(2k ＋1)π－2φ2ω(k ∈Z )，所以函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象的对称轴方程为x ＝(2k ＋1)π－2φ2ω(k ∈Z )；函数y ＝A cos(ωx ＋φ)对称轴方程的求法：令cos(ωx ＋φ)＝±1，得ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )，则x ＝k π－φω(k ∈Z )，所以函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的图象的对称轴方程为x ＝k π－φω(k ∈Z ).探究2 如何求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)与y ＝A cos(ωx ＋φ)的对称中心？【提示】 与正弦曲线、余弦曲线一样，函数y ＝A sin(ωx ＋φ)和y ＝A cos(ωx ＋φ)图象的对称中心即函数图象与x 轴的交点.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)对称中心的求法：令sin(ωx ＋φ)＝0，得ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )，则x ＝k π－φω(k ∈Z )，所以函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－φω，0(k ∈Z )成中心对称； 函数y ＝A cos(ωx ＋φ)对称中心的求法：令cos(ωx ＋φ)＝0，得ωx ＋φ＝k π＋π2(k ∈Z )，则x ＝(2k ＋1)π－2φ2ω(k ∈Z )，所以函数y ＝A cos(ωx ＋φ)的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫(2k ＋1)π－2φ2ω，0(k ∈Z )成中心对称.设函数y ＝cos 12πx 的图象位于y 轴右侧的所有对称中心从左依次为A 1，A 2，…，A n ，…，则A 1 009的坐标是________.【精彩点拨】 利用y ＝A cos(ωx ＋φ)的对称中心的坐标即可解出.【尝试解答】 因为函数y ＝cos ωx 的图象的对称中心是点⎝⎛⎭⎫π2ω＋k πω，0(k ∈Z )，所以y＝cos 12πx 的图象的对称中心为(2k ＋1,0)(k ∈Z )，所以A 1(1,0)，A 2(3,0)，…，A n (2(n －1)＋1,0)，…，故A 1 009的坐标为(2 017,0).【答案】 (2 017,0)对于y ＝A cos (ωx ＋φ)的图象的对称轴可由ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )解出，对称中心的横坐标由ωx ＋φ＝k π±\f(π,2)(k ∈Z )解出.[再练一题]4.函数f (x )＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的图象为C ，则以下结论中正确的是________.(写出所有正确结论的编号)①图象C 关于直线x ＝π12对称；②图象C 关于点⎝⎛⎭⎫2π3，0对称；③函数f (x )在区间⎝⎛⎭⎫－π12，5π12内是增函数； ④由y ＝3sin 2x 的图象向右平移π3个单位长度可以得到图象C .【解析】 f ⎝⎛⎭⎫π12＝3sin ⎝⎛⎭⎫2×π12－π3＝3sin ⎝⎛⎭⎫－π6＝－32. f ⎝⎛⎭⎫23π＝3sin ⎝⎛⎭⎫43π－π3＝0， 故①错，②正确.令－π2＋2k π≤2x －π3≤π2＋2k π，k ∈Z ，解得－π12＋k π≤x ≤512π＋k π，k ∈Z ，故③正确.函数y ＝3sin 2x 的图象向右平移π3个单位长度，得到函数y ＝3sin 2⎝⎛⎭⎫x －π3＝3sin ⎝⎛⎭⎫2x －23π的图象，故④错.【答案】 ②③1.函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π2x ＋π4的振幅和周期分别为( ) A.3,4 B.3，π2C.π2，4 D.π2，3 【解析】 由于函数y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫π2x ＋π4，∴振幅是3，周期T ＝2ππ2＝4. 【答案】 A2.将函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再将所得图象向左平移π3个单位，则所得函数图象对应的解析式为( ) 【导学号：00680025】A.y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π3 B.y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6 C.y ＝sin 12xD.y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π6【解析】 函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫x －π3的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得y ＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π3的图象，再将此图象向左平移π3个单位，得y ＝sin ⎣⎡⎦⎤12⎝⎛⎭⎫x ＋π3－π3＝sin ⎝⎛⎭⎫12x －π6的图象，选D.【答案】 D3.已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的最大值是3，最小正周期是2π7，初相是π6，则这个函数的表达式是( )A.y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫7x －π6 B.y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫7x ＋π6 C.y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫7x ＋π42 D.y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫7x －π42 【解析】 由已知得A ＝3，T ＝2π7，φ＝π6，ω＝2πT ＝7，所以y ＝3sin ⎝⎛⎭⎫7x ＋π6.故选B. 【答案】 B4.函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3图象的一条对称轴是____.(填序号) ①x ＝－π2；②x ＝0；③x ＝π6；④x ＝－π6.【解析】 由正弦函数对称轴可知.x ＋π3＝k π＋π2，k ∈Z ，x ＝k π＋π6，k ∈Z ，k ＝0时，x ＝π6. 【答案】 ③5.已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π6，x ∈R . (1)写出函数f (x )的对称轴方程、对称中心的坐标及单调区间；(2)求函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值. 【导学号：70512016】 【解】 (1)由2x －π6＝k π＋π2，k ∈Z ，解得f (x )的对称轴方程是x ＝π3＋k2π，k ∈Z ；由2x－π6＝k π，k ∈Z 解得对称中心是⎝⎛⎭⎫π12＋k 2π，0，k ∈Z ；由2k π－π2≤2x －π6≤2k π＋π2，k ∈Z 解得单调递增区间是⎣⎡⎦⎤－π6＋k π，π3＋k π，k ∈Z ；由2k π＋π2≤2x －π6≤2k π＋32π，k ∈Z ，解得单调递减区间是⎣⎡⎦⎤π3＋k π，5π6＋k π，k ∈Z . (2)∵0≤x ≤π2，∴－π6≤2x －π6≤56π，∴当2x －π6＝－π6，即x ＝0时，f (x )取最小值为－1；当2x －π6＝π2，即x ＝π3时，f (x )取最大值为2.。