精品《初等几何研究》练习题
初等几何研究综合考试题五
３．已知:如图，过正方形ABＣD的顶点A作直线交ＢD于Ｅ,交CD于F,交BC的延长线于Ｇ，若H是ＦＧ的中点
5.有一边对应相等的两个等边三角形全等。( )
三、填空题（本题共4小题,每小题4分,共１6分)
１.一个角的补角和它的余角的3倍的和等于它的周角的 ,则这个角的度数是＿＿_____＿_.
2.如图,铁路上A、Ｂ两站(视为直线上两点)相距25ｋm,C、D为两村庄(视为两个点)，DＡ⊥AＢ于Ａ，CB⊥AＢ于B,已知DA=15km,CB＝１0km，现在要在铁路AＢ上建设一个土特产品收购站E，使C、D两村到E站的距离相等,则Ｅ站应建在距A站＿__＿＿__km处
求证：EC⊥CH
分析：这道题主要是利用正方形的性质，证明两条线段互相垂直，只要能证明∠EＣH是90即可,此题可先间接证出∠4+∠5=90，从而推出 =90，通过∠AＢＥ CBE,及Rt FCＧ的斜边中线CＨ可证得
六、探究题(１５分)
附：参考答案
一、选择题（本题共8小题，每小题3分,共2４分)
1;2;3;4；5；6；7;8.
二、判断题（本题共5小题,每小题２分，共1０分）
１×;２√;3×;4×;5√．
三、填空题(本题共4小题,每小题４分，共16分）
1.30°;2.10 ;3．相等;4. 。
四、计算题（8分)
设 ABC是等腰直角三角形,AＢ＝ＡC，Ｄ是斜边BC的中点,E，F分别是AB、AC边上的点，且DE⊥DF，若BE=12，CＦ＝5,求：线段EF的长？
初等几何研究答案
《初等几何研究》作业一、填空题1、对直线a 上任意两点A 、B ，把B 以及a 上与B 在A 同侧的点的集合称作 射线（或半直线），； ，并记作 AB 。
2、在绝对几何中，外角定理的内容是： 三角形的外角大于任一不相邻的内角 。
3、第四组公理由 两 条公理组成，它们的名称分别是 度量公理（或阿基米德公理）和康托儿公理 。
4、欧氏平行公理是：对任意直线a 及其外一点A ，在a 和A 决定的平面上，至多有一条过A 与a 不相交的直线 。
5、罗氏几何公理系统与欧氏几何公理系统的共同之处是 前4组公理（或绝对几何） ，不同之处是 平行公理 。
6、几何证明的基本方法，从推理形式上分为 演绎 法与归纳法；从思维方向上分为 综合 法与分析法；从命题结构上分为 直接 证法与间接证法，其中间接证法包括 反证 法与 同一 法。
7、过反演中心的圆，其反演图形是 不过 （过或不过）反演中心的 直线 。
8、锐角三角形的所有内接三角形中，周长最短的是 垂足三角形。
9、锡瓦定理：设⊿ABC 的三边（所在直线）BC 、CA 、AB 上分别有点X 、Y 、Z ，则AX 、BY 、CZ 三线共点（包括平行）的充要条件是1=⋅⋅ZBAZYA CY XC BX 。
10、解作图问题的常用方法有： 交轨法 、三角奠基法、 代数法 、 变换法 等。
11、数学公理系统的三个基本问题是 相容性、 独立性和 完备 性.33．①答案不惟一.34．①（0，+∞），②，（0，π/2），③连续，④单调递减. 35．①平移，②旋转，③轴对称.36． ①1=⋅⋅ZB AZYA CY XC BX （或－1）37．①写出已知与求作，②分析，③作法，④证明，⑤讨论.12、对于共面的直线a和a外两点A、B，若a与(AB)相交，则称A、B在a的异侧，否则称A、B在a的同侧.13、命题：“过直线外一点，至少有一条直线与已知直线共面但不相交”是外角定理的推论.14、证明直线和圆的连续性时，主要依据了戴德金分割原理.15、罗氏平行公理是：对任意直线a及其外一点A，在a和A决定的平面上，至多有一条过A与a不相交的直线.，16、在罗氏几何中，共面的两条直线有3种关系，它们分别是平行，相交，分散.17、几何证明的通用方法一般有化归法、类比法、构造法、数形结合法、变换法、模型法等.18、等边三角形外接圆周上任一点到三顶点的连线段中，最长线段与另两条线段之和具有相等的关系.19、尺规可作图的充要条件是所求的量可用已知量的有理式或只含平方根的无理式表出.20．由公理可以证明，线段的合同关系具有反身性、对称性、传递性和可加性.21．如果线段与角对应，那么线段的中点与角的角平分线对应.22．命题：“线段小于任意一条连接其两个端点的折线”是外角定理的推论.23．绝对几何包括有四组公理，它们分别是结合公理、顺序公理、合同公理、连续公理. 24．写出一条与欧氏平行公理等价的命题：.25．在罗氏几何中，两条直线为分散线的充要条件是.26、．常用的几何变换有合同变换、相似变换、射影变换、反演变换等27．托勒密定理：四边形ABCD是圆内接四边形，则1=⋅⋅ZBAZYACYXCBX（或－1）.28．请写出两条作图公法：过两点可作一条直线（或其部分）。
初等几何研究综合测试题(十八)
《初等几何研究》综合测试题（十八）适用专业：数学教育专业 考试时间：120分钟一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分）1．下列命题是假命题的是（ ）A ．直角的补角是直角；B ．钝角的补角是锐角;C ．两直线被第三条直线所截,同旁内角互补;D ．过直线外的一点到直线上点的连线中，垂线段最短。
2．命题“同角的余角相等”的题设是（ ）A ．同角；B ．余角；C ．等角的余角；D ．同角的余角3．举反例说明“一个角的余角大于这个角”是假命题，错误．．的是（ ） A ．设这个角是045，则它的余角为045，但045=045； B ．设这个角为030，则它的余角为060，但030<060; C ．设这个角为050，则它的余角为040，但050>040; D ．设这个角为060，则它的余角为030，但060>030. 4．下列说法错误．．的是（ ） A ．到已知角两边距离相等的点都在同一条直线上；B ．一条直线上有一点到已知角的两边的距离相等，这条直线平分已知角；C ．到已知角两边距离相等的点与角的顶点的连线平分已知角；D ．已知角内有两点各自到两边的距离相等，经过这两点的直线平分已知角。
5．用反证法证明“三角形中必有一个内角不小于060”，先应假设这个三角形中有（ ） A ．每一个内角都小于060；B ．有一个内角小于060； C ．有一个内角大于060； D ．每一个内角都大于060。
6．如图1所示，直线BD 与直线CE 相交于点O ，且∠AOE=090，则∠AOB 的余角是（ ） A ．∠BOC ；B ．∠AOE ； C ．∠AOD ； D ．∠BOC 与∠EOD 。
7．一学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向 相同，这两次拐弯的角度是（ ）Ａ．第一次向左拐030，第二次向右拐030； Ｂ．第一次向右拐050，第二次向左拐0130；Ｃ．第一次向右拐050，第二次向右拐0130； Ｄ．第一次向左拐050，第二次向左拐0130．8．如图2所示，在平行四边形ABCD 中，E 是AD 上一点，连结CE 并延长交BA 的延长线于点F ，则下列结论中错误的是（ ） A ．∠AEF=∠DEC; B ．ＦＡ：ＣＤ＝ＡＥ：ＢＣ； Ｃ．ＦＡ：ＡＢ＝ＦＥ：ＥＣ； Ｄ．ＡＢ＝ＡＣ． 二、判断题（本题5小题，每小题2分，共101．如果两个相等的角有公共顶点，且有一条边互为反向延长线，则 这两个角一定是对顶角（ ）2．一个角的余角的2倍和它的补角的1/2互为补角，则这个角的度数是36°。
初等几何研究综合测试题(十六)
《初等几何研究》综合测试题（十六）适用专业：数学教育专业 考试时间：120分钟一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分）1.已知ABCD 为平行四边形，下列判断正确的是__________。
A.若∠A=90°，则ABCD 为正方形；B.若AB=BC ，则ABCD 为菱形；C.对角线互相平分垂直；D.以上都不对。
2. 下列判断正确的是_________。
A.任意两个等腰三角形都相似；B.任意两个直角三角形都相似； C ．有一个角相等且有两边对应成比例的两个三角形都相似； D.任意两个等腰直角三角形都相似。
3.如图，Rt AB C 中，CD 是斜边AB 上的高，DE ⊥AC 于E,AC:CB=4:5,则AE:EC 等于_______。
A.4:5；C.16:25；D.以上都不对。
4.等腰三角形一腰上的高与底边所成的角等于__________。
A.顶角的一半；B.底角的一半； C.90°减去顶角的一半；D. 90°减去底角的一半。
5.如图，圆锥的底面半径OA=3cm ，高SO=4cm ，则它的侧面积 为__________2cm .A.12π；B.15π；C.16π；D.20π.6. 6.下列命题中能用来判断一条线段是半径的命题是__________。
A.过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；B.过切点且垂直于切线的直线必经过圆心；C.圆的切线垂直于过切点的半径；D.过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
7.下列图形中，不一定为轴对称图形的是_________。
A.直角；B.线段；C.直角三角形；D.等腰直角三角形。
8.如图，有A 、B 、C 三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在_________。
A.在AC 、BC 两边高线的交点处； B.在AC 、BC 两边中线的交点处；C.在AC 、BC 两边垂直平分线的交点处；D.在∠A 、∠B 两内角平分线的交点处。
初等几何研究试题
初等几何研究试题一、选择题 （5分⨯4=20分）1. 如图,CD EF AB ||||,已知20=AB ,,80=CD 100=BC 那么，EF 的值是____. A. 10, B.12, C.16, D.20第1题图 第2题图 2. 如图,在ABC ∆中,P 是AC 上的点,取BP 的中点Q ,连结CQ 并延长与AB 交于D ,则ABP S ∆与ACD S ∆的关系是_____.A. ABP ACD S S ∆∆<B. ABP ACD S S ∆∆=C. ABP ACD S S ∆∆>D. 不能确定.3. 如图，在ABC ∆中，BE 、CF 分别是AC 、AB 边上的高，o A 45=∠，那么，FBCE AEF S S :=______.A 1:1B 2:1C 3:1D 4:1第3题图 第4题图4. 如图，ABCD 是面积为1的正方形，PCB ∆是正三角形，PBD ∆的面积为_____.A.213- B. 8132- C. 43D. 413-二、填空题 （5分⨯4=20分）1．如图,已知正方形ABCD 的边长为1,E 为AD 的中点，P 为CE 的中点，F 为BP 的中点，则BFD S =_____.第1题图 第2题图 2．如图,AB 是圆O 直径，4=AB ，弦3=BC ，ABC ∠的平分线交半圆于D ,BC AD ,的延长线交于E ,DCE ABCD S S :=______.3．已知圆O 是ABC ∆的外接圆，半径为r ,CO BO AO ,,分别交对边于F E D ,,, 则：CF BE AD 111++=______.(用r 表示)4．ABC ∆的三条高分别为c b a h h h ,,,又ABC ∆内任一点P 到三边距离分别为c b a p p p ,,，则=++c c b b a a h p h p h p ______.三、证明题(12分⨯5=60分)1. 在ABC ∆中，过点A 作直线BC l ||，B ∠的平分线交AC 于D ,交直线l 于E ,C ∠的平分线交AB 于F ,交直线l 于G ,且FG DE =,求证: ABC ∆是等腰三角形.2．M是以AB为直径的上不同于BA、的任一点，C是直径AB上的定点，过M作CM 垂直的直线交过处BD、,求证：A、的切线于E（1）ED,成等比数列；BM,EC（2）BEAD⋅是定值.3．三条中线把ABC∆分成6个三角形，若这6个三角开的内切圆中有4个相等，求ABC∆是正三角形.4．从等腰ABC ∆的底边AC 上的中点M 作BC 边的垂线MH ，点P 为线段MH 的中点，求证：BP AH ⊥.5．已知： ABC ∆内接于圆O ，N M L ,,分别是弧AB CA BC ,,的中点，连结LM NM ,分别交BC AB ,于E D ,；I 是ABC ∆的内心，求证： (1)BC DE ||;(2)IE DI DE +=.。
初等几何研究综合测试题(三)
初等几何研究综合测试题(三)《初等几何研究》综合测试题（三）适用专业：数学教育专业考试时间：120分钟一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分）1.两个三角形有两边和一角对应相等，则两个三角形__________。
A.一定全等；B.一定不全等；C.可能全等，可能不全等；D.以上都不是。
2.在在正三角形、等腰梯形、矩形和圆这四种图__________。
第3题图A.1种；B.2种；C.3种；D.4种。
3.如图，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，AC与BD 相交于点O，则图中面积相等的三角形共有___________。
A.1对；B.2对；C.3对；D.4对。
4. 在正三角形、等腰梯形、矩形和圆这四种图形中是轴对称图形，又是中心对称图形的有__________。
A.1种；B.2种；C.3种；D.4种。
5.如图，在V ABC中，DE//BC，如果AE:EC=3:2, 那么DE:BC等于________。
A．3:5；B．3:2; C．2:3；D．2:5。
6.⊙O中，AB、CD是两条平行弦，位于圆心的两侧，AB=40cm，CD=48cm，AB、CD的距离为22cm，则⊙O的半径是__________。
A.15cm；B.20cm；C.25cm；D.30cm。
7.在平移过程中，对应线段A.互相平行且相等；B.互相垂直且相等；C.互相平行（或在同一条直线上）且相等；D.以上都不对。
8.下列关于平移的说法中正确的是___________。
A.原图形中两个顶点连成的线段长是平移的距离；B.平移后的两个图形中两个顶点连成的线段长是平移的距离；C.以对应点中的一点为端点的射线是平移的方向。
D.以原图形中的一点为端点，且经过它的对应点的射线的方向是平移的方向；二、判断题（本题共5小题，每小题2分，共10分）1.角的大小与边的长短有关。
（）2.一个钝角减去一个直角，其差必为一个锐角。
（）3.两直线被第三条直线所截，同位角相等，内错角不相等。
初等几何研究试卷4
第 1 页 （共 2 页）4一、填空题（本大题共 8 题，每空 2 分，共 20分）1、当结论的反面只有一款时，否定了这一款便完成证明，这种较单纯的反证法叫做； 2、设CM 是ABC ∆的中线，则当12CM AB >时，C ∠是 角； ３、两个平行平面的距离等于12cm ，一条直线和它们相交成60，则这条直线夹在两平面间的线段长为 ；4、一些作图题中，往往可先作成图形的一个三角形，其余部分可由此三角形陆续作出，这种作图方法称为 ，此三角形称为 ；5、在ABC ∆中，若AB AC >，CD BE 、分别是C ∠和B ∠的平分线，则CD 与BE 的大小关系是 ；6、已知ABC ∆的三边分别为3cm ，5cm ，6cm ，则ABC ∆的内切圆半径r= ；7、到两定点A 、B 的距离之比为定比k 的点的轨迹是 和 ；8、设圆内接正五、六、十边形的边长分别为5a 、6a 、10a ，则它们之间的关系为 。
二、计算题（本大题共 2 题，每题8 分，共 16 分）1、在直二面角的棱上有两点A 、B ，AC 和BD 各在这个二面角的一个面内，并且都垂直于棱AB ，设8,6,24AB cm AC cm BD cm ===，求CD 的长。
2、设正方形ABCD 内接于O ，P 为DC 上一点，2PA PC ==，求P B P D ⋅的值。
三、证明题（本大题共 4 题，每小题10 分，共40 分）1、四边形ABCD 中，设AB CD =，M ，N 分别是AD 、BC的中点，证明直线MN 与AB 、CD 所成的交角相等。
2、证明：梯形两腰的中点，两对角线的中点，四点共线。
C第 2 页 （共 2 页）3、设BE 、CF 是ABC ∆的高，在射线BE 上截取BP AC =，在射线CF 上截取CQ AB =，证明AP 与AQ 相等且垂直。
4、在圆内接四边形ABCD 中，BC CD =，求证：22AB AD BC =AC ⋅+四、轨迹（本大题共 1 题， 12 分）1、设定圆中互相垂直的两弦的平方和是常数，则此两弦所在直线交点的轨迹是一圆。
初等几何研究综合测试题(十四)
《初等几何研究》综合测试题（十四）适用专业：数学教育专业 考试时间：120分钟一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分）1.等腰三角形的两条边的长为___________。
A.B. ；C.D.或 2.等腰三角形底边长为5cm ，一腰上的中线把其周长分为两部分之差为3cm ，则腰长为__________。
A.2cm ；B.8cm ；C.2cm 或8cm ；D.以上结论都不对。
3.下列四组图形中，是相似形的一组是_________。
A.各有一个角是30°的两个等腰三角形；B.底角为40°的两个等腰三角形；C.各有一个角是120°的两个等腰三角形；D.邻边之比都等于2的两个平行四边形。
4.三条线段长度分别是3，4，6，则以此三条线段为边___________。
A.能构成锐角三角形；B.能构成钝角三角形；C.能构成直角三角形；D.不能构成三角形。
5.扇形的面积为S ，弧长为l ，则扇形中心角的度数为________。
A.2180()l S π ；B. 2180()S l π ；C. 290()l Sπ；D. 290()S l π 。
6.下列命题中能用来判断一条线段是半径的命题是__________。
A.过圆心且垂直于切线的直线必经过切点；B.过切点且垂直于切线的直线必经过圆心；C.圆的切线垂直于过切点的半径；D.过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
7下列图形中，轴对称图形有__________。
①角 ② 三角形 ③ 圆 ④线段 ⑤正方形 ⑥扇形 ⑦平行四边形 ⑧等腰梯形 A.3个；B.4个；C.5个；D.6个。
8.如图，有A 、B 、C 三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在_________。
A.在AC 、BC 两边高线的交点处； B.在AC 、BC 两边中线的交点处；C.在AC 、BC 两边垂直平分线的交点处；D.在∠A 、∠B 两内角平分线的交点处。
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《初等几何研究》作业
一、填空题
1、对直线a上任意两点A、B，把B以及a上与B在A同侧的点的集合称作，并记作。
2、在绝对几何中，外角定理的内容是：。
3、第四组公理由条公理组成，它们的名称分别是。
4、欧氏平行公理是：。
5、罗氏几何公理系统与欧氏几何公理系统的共同之处是，不同之处是。
6、几何证明的基本方法，从推理形式上分为法与归纳法；从思维方向上分为法与分析法；从命题结构上分为证法与间接证法，其中间接证法包括法与法。
7、过反演中心的圆，其反演图形是（过或不过）反演中心的。
8、锐角三角形的所有内接三角形中，周长最短的是三角形。
9、锡瓦定理：设⊿ABC的三边（所在直线）BC、CA、AB上分别有点X、Y、Z，则AX、BY、CZ三线共点（包括平行）的充要条件是。
10、解作图问题的常用方法有：、、、等。
11、数学公理系统的三个基本问题是性、性和性.
12、对于共面的直线a和a外两点A、B，若a与(AB)相交，则称A、B在a的，否则称A、B在a的 .
13、命题：“过直线外一点，至少有一条直线与已知直线共面但不相交”是定理的推论.
14、证明直线和圆的连续性时，主要依据了原理.
15、罗氏平行公理是： .
16、在罗氏几何中，共面的两条直线有种关系，它们分别是
17、几何证明的通用方法一般有法、法、法、法、法、法等.
18、等边三角形外接圆周上任一点到三顶点的连线段中，最长线段与另两条线段之和具有
的关系.
19、尺规可作图的充要条件是 .
20．由公理可以证明，线段的合同关系具有性、性、性
和性.
21．如果线段与角对应，那么线段的中点与角的对应.
22．命题：“线段小于任意一条连接其两个端点的折线”是定理的推论.
23．绝对几何包括有组公理，它们分别是 .
24．写出一条与欧氏平行公理等价的命题： .
25．在罗氏几何中，两条直线为分散线的充要条件是 .
26、．常用的几何变换有等
27．托勒密定理：四边形ABCD是圆内接四边形，则 .
28．请写出两条作图公法： .
29．在希尔伯特给出的欧几里得公理系统中，三角形的定义是：。
30．巴士公理：设A、B、C三点不共线，a是A、B、C所在平面上的一条直线，但不通过A、B、C中任一点，若a通过线段AB上一点，则。
31．命题“过圆内一点的直线必与该圆相交于两点”是由公理保证的。
32．欧氏几何公理系统共有组公理，它们分别是。
33．写出一条与罗氏平行公理等价的命题：。
34．罗氏函数的定义域是，值域是，其性质有和。
35．合同变换包括变换、变换和变换。
36．梅内劳斯定理：设⊿ABC的三边（所在直线）BC、CA、AB被一直线分别截于X、Y、Z点，则X、Y、Z共线的充要条件是。
37．解作图问题的步骤一般分为：、、、、。
二、问答题：
1、在数学公理系统中，模型指的是什么？
2、巴士公理刻划了直线和三角形的那些特性？
3、定义线段长度的两个条件是什么？
4、以下四个命题：“过不共线的三点恒有一圆”、“三角形的内角和不大于两个直角”、“存在两个三角形，它们相似但不合同”、“同一平面上，一条直线的垂线与其斜线必相交”，哪一个命题与欧氏平行公理不等价？
5、欧氏几何公理系统中，不加定义的原始概念有哪些？对它们为什么不加定义？
6、试给第一组公理一个模型.
7、第三组公理一共有几条？这组公理的名称与我们以前熟悉的哪些概念有关？ 8、定义两个线段的大、小关系用到了哪些关系？
9．欧氏几何公理系统中，不加定义的原始的关系概念有哪些？请解释它们的含义. 10．数学公理系统的三个基本问题是什么？其含义分别是什么？ 11．公理系统中的“合同”概念涉及到中学平面几何中哪些名词、术语？ 12．由欧几里得《几何原本》中的第五公设引出了什么问题？产生了什么结果？ 13．原始关系概念“结合”的通常说法有哪些？
14．数学公理系统的三个基本问题中哪个最重要，必须首先满足？
15．在欧氏几何公理系统中，线段“合同”的概念与线段“长度”的概念分别是以什么形式引出来的？ 16．在绝对几何公理系统中，命题“三角形内角和等于两个直角”用下列方法证明可否？若有问题，问题出在哪一步？为什么？
在⊿ABC 中，过A 作AD 交BC 于D ，如图所示。
设⊿ABC 的内角和为x ，用ω表示直角， 则∠1+∠3+∠5=x ，∠2+∠4+∠6=x ； ∵∠3+∠4=2ω，且∠1+∠2+∠5+∠6=x ， ∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=2x ， 即x +2ω= 2x ，因此x =2ω，得证。
三、轨迹问题：
1、 若三角形底边固定，其顶点在过底边一端的定直线上移动，则该三角形外心的轨迹是底边的垂直平分线。
2、 ⊿ABC 的底边BC 固定,∠A=α是定角，延长BA 至D ，使BD=BA+AC ，求D 点的轨迹．（只作分析，并指出轨迹的图形即可）
3、 到两定点A 、B 的距离之比为正实数m （m ≠1）之点的轨迹是一个圆.
若三角形底边固定，其顶点在过底边一端的定直线上移动，则该三角形外心的轨迹是底边的垂直平分线。
四、作图问题
A B
C
D
1 2
3 4 5
6
1、给定直线XY 及其同侧两点A 、B ， 在XY 上求作一点P ，使得∠APX=∠BPY. （只写作图过程并证明）
2、从已知圆外一点作一割线，使其圆外部分和圆内部分长度相等.（只写作图过程并讨论）
3、已知直线x 、y 平行，其外侧各有一点A 、B （如图），求作从A 到B 的最短路线，其中在x 、y 之间的一段要求与x 垂直.（只写作图过程并证明）
4、已知一边和该边的对角及此角的角平分线，求作三角形.
5．给定直线XY 及其同侧两点A 、B ， 在XY 上求作一点P ，使得∠APX=∠BPY. （只写作图过程并证明）
6．求作一圆，使该圆过两定点，并与一定直线相切.（只写作图过程）
7．已知直线x 、y 平行，其外侧各有一点A 、B （如图），求作从A 到B 的最短路线，其中在x 、y 之间的一段要求与x 垂直。
（只写作图过程并证明）
8．给定锐角三角形ABC ，求作其内接正方形， 使其两个相邻顶点在BC 边上，
另两个顶点分别在AB 和AC 边上。
（只写作图过程） 五、证明题
1、证明线段的合同关系满足反身性和对称性.
2、已知正方形ABCD ，作BF ∥AC ，
使AF=AC ，（如右图）， 则3∠CAF=2∠CAB.
X Y
B
A
D C
x y
A
B
X
Y
B
A
3、用同一法证明命题：已知P 为正方形ABCD 内一点，若∠PAB=∠PBA=15o
，则⊿PCD 是等边三角形. 4、过圆中AB 弦的中点M 任作两弦CD 、EF ，设CF 、DE 与AB 分别交于P 、Q ，求证：PM=MQ .
5．利用前两组公理证明定理7：对于A 、C 两点, 直线AC 上至少有一点B 在A 、C 之间.
6．在⊿ABC 边AB 的同侧
作三个正方形ACEF 、 CBGH 、BAIJ （如右图）， 求证：FJ ∥AG ， 且FJ=AG .
7．利用第一组公理和第二组公理的前三条，证明每条直线上至少有5个不同的点。
8．已知⊿ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C = 4∶2∶1，求证：
E H
I
J
A
B
C
F
G
.1
11c
b a =+。