中科院矩阵分析chapt3
中科院矩阵分析与应用大作业
中科院矩阵分析与应用大作业实现LU分解 QR分解 Householder reduction、Givens reductionMatlab 代码：function [] =juzhendazuoyeA=input('请输入一个矩阵A=');x=input('请输入序号 1 LU分解 2 Gram-Schmidt分解 3 Householder reduction 4 Givens reduction:' );if(x==1)%%*************LU分解*****************%%disp('PA=LU')m=size(A,1); % m等于矩阵A的行数n=size(A,2); % n等于矩阵A的列数if(m==n) % 判断矩阵A是不是方阵% 如果矩阵A不是方阵那么就输出“error”U=A; % 把矩阵A赋值给矩阵UL=zeros(n); % 先将L设为单位阵P=eye(n); % 首先将交换矩阵P设为单位矩阵for j=1:n-1for i=j+1:nif (U(j,j)~=0) %判断主元元素是否不为0L(i,j)=U(i,j)/U(j,j);U(i,:)=U(i,:)-U(j,:)*U(i,j)/U(j,j); % U(j,j)为主元元素elsea=j+1; % 令a等于j+1while((U(a,j)==0)&&(a<n)) % 判断主元元素所对的下一行元素是不是0，a是否小于na=a+1; % 寻找下一个元素endtemp=U(j,:); % 判断主元元素所在列（除主元元素外）第一个不为零的元素的所在行与主元元素所在行进行行交换U(j,:)=U(a,:); % U两行交换位置U(a,:)=temp ;m=L(j,:);L(j,:)=L(a,:); % L矩阵两行交换位置L(a,:)=m;q=P(j,:);P(j,:)=P(a,:); % 交换矩阵的两行交换P(a,:)=q;L(i,j)=U(i,j)/U(j,j);U(i,:)=U(i,:)-U(j,:)*U(i,j)/U(j,j);endendendfor k=1:nL(k,k)=1; % 把L矩阵的对角线赋值为1endL % 输出下三角矩阵LU % 输出上三角矩阵UP % 输出交换矩阵PA=inv(P)*L*Uelse disp('error')endendif(x==2) %% 判断如果x=2，那么将执行schmid分解%%**************Gram-Schmidt正交分解*****************%%disp('A=Q*R')Q=zeros(size(A,1),size(A,2)); %% 先把Q设为全零矩阵R=zeros(size(A,2)); %% R设置为全零矩阵a=A(:,1); %% 把第一列赋值给aR(1,1)=norm(a); %% 求第一列列向量的模值a=a/norm(a); %% 求第一列列向量的单位向量Q(:,1)=a; %% 把a赋值给Q的第一列for j=2:size(A,2)m=zeros(size(A,1),1); %% 取A的第一列for i=1:j-1R(i,j)=Q(:,i)'* A(:,j); %% q的转置乘以A的第j列向量m=m+R(i,j)*Q(:,i); %% q的转置乘以A的列向量endQ(:,j)=A(:,j)-m; %% A的第j列减去q(i)和A(:,j)的内积和R(j,j)=norm(Q(:,j)); %% 把Q的列向量的模值赋值给R(j,j)Q(:,j)=Q(:,j)/norm(Q(:,j)); %% 把Q的列向量的单位化endQ %% 输出正交矩阵QR %% 输出上三角矩阵Rendif(x==3) %% 判断如果x=3，那么将进行Householder reduction %%************Householder reduction***********%%disp('P*A=T')R=zeros(size(A,1)); %% 把R设置为矩阵维数等于矩阵的行数的全零方阵R1=zeros(size(A,1)); %% 把R1设为矩阵维数等于矩阵的行数的全零方阵M=A; %% 将A赋给MP=eye(size(M,1)); %% 先将P矩阵设为维数等于M的单位矩阵for i=1:(size(M,1)-1)U=A; %% 将A赋值给UU(1,1)=U(1,1)-norm(U(:,1)); %% 将U的第一列的第一行元素减去U的第一列列向量的模值R=eye(size(U,1))-2*U(:,1)*U(:,1)'/(U(:,1)'* U(:,1)); %%I-2*U(:,1)*U(:,1)'/(U(:,1)'* U(:,1)A=R*A; %% R乘以A赋值给AA=A(2:size(A,1),2:size(A,2)); %% 取A的子矩阵if(size(R,1)<size(M,1)) %% 判断矩阵R的行数是否小于矩阵M的行数，如果小于进行下步：S=eye(size(M,1)-size(R,1)); %% 将S设置为维数等于矩阵M的行数减去矩阵R的行数维的单位矩阵V=zeros(size(M,1)-size(R,1),size(R,1)); %% 将V设置为矩阵行数等于M 的行数减去R的行数，列数等于矩阵R的列数F=zeros(size(R,1),size(M,1)-size(R,1)); %% 将F矩阵设置行数等于R的行数，列数等于矩阵M的行数减去矩阵R的行数R1=[S V;F R]; %% 将 S V F D 合成矩阵R1else R1=R; %% 如果不满矩阵R的行数小于矩阵M 的行数，则把R赋值给R1endP=R1*P;endP %% 输出正交矩阵PT=P*M %% 输出矩阵T,如果矩阵M的行数等于列数的话，T为上三角矩阵endif(x==4) %% 判断x的值是否等于4，等于4则进行Givens reduction%%***********Givens reduction**********%%disp('P*A=R')U=A; %% 将A赋值给Uw=size(A,1); %% w等于矩阵A的行数r=eye(w); %% 将r设置为维数为w的单位矩阵for k=1:w-1m=eye(size(A,1)); %% 将m设置为维数等于A的行数单位矩阵for i=2:size(A,1)P=eye(size(A,1));a=0; %% 将a是设置为0，方便求第一列前i个元素的平方和for j=1:iu=sqrt(a);a=a+A(j,1)^2;ends=sqrt(a); %% 将第一列前i个元素的平方开根P(1,1)=u/s; %% 将u/s赋值给旋转矩阵P的第一行的第一列P(i,i)=u/s; %% 将u/s赋值给旋转矩阵P的第i行和第i列P(i,1)=-A(i,1)/s; %% 将 -A(i,1)赋值非P的第i行的第一列P(1,i)=A(i,1)/s; %% 将 A(i,i)赋值给P的第一行的第i列m=P*m; %% P乘以矩阵m并赋值给mendA=m*A; %% 矩阵m*A赋值给AA=A(2:size(A,1),2:size(A,2)); %% 取A的子矩阵if(size(m,1)<w) %% 如果矩阵m的行数小于wc=eye(w-size(m,1)); %% 将c设置为维数等于w-矩阵m的行数的单位矩阵d=zeros(w-size(m,1),size(m,1));v=zeros(size(m,1),w-size(m,1));p=[c,d;v,m]; %% 进行和并矩阵elsep=m; %% 如果不满足矩阵m的行数小于w，则把m赋值给pendr=p*r;endP=r %% 将r赋值给正交矩阵P，并输出PR=P*U %% 输出矩阵R，若R的行数等于列数的话，R为上三角矩阵endend。
矩阵分析方法及应用论文
矩阵分析方法及应用论文矩阵分析方法是一种应用矩阵论和线性代数的数学工具，用于研究和解决与矩阵相关的问题。
矩阵可以用于描述线性变换、矢量空间和方程组等数学对象。
矩阵分析方法可以应用于多个领域，包括数学、物理、工程、计算机科学等。
在以下回答中，我将简要介绍矩阵分析方法的基本原理和一些应用，并提供一些相关论文的例子。
首先，让我们来了解一下矩阵分析的基本原理。
矩阵是一个由数值排列成的矩形数组，可以表示为一个m×n的矩阵，其中m表示行数，n表示列数。
矩阵的元素可以是实数或复数。
通过矩阵分析，我们可以研究矩阵的性质、运算规则和应用。
矩阵乘法是矩阵分析中最基本的操作之一。
当两个矩阵相乘时，第一个矩阵的列数必须等于第二个矩阵的行数。
矩阵乘法的结果是一个新的矩阵，其行数等于第一个矩阵的行数，列数等于第二个矩阵的列数。
矩阵乘法可以表示线性变换和矢量的线性组合等概念。
另一个重要的矩阵分析方法是特征值和特征向量的计算。
矩阵的特征值是矩阵与一个非零向量之间的一个简单乘法关系。
特征向量是与特征值对应的非零向量。
特征值和特征向量在物理、工程和计算机科学等领域中有广泛的应用，例如图像处理、机器学习和数据压缩等。
矩阵分析方法在多个领域有着广泛的应用。
下面是一些矩阵分析方法的应用领域及相应的论文例子：1. 图像处理：矩阵分析方法在图像处理中被广泛应用，例如图像压缩和恢复。
论文例子：《基于矩阵分解的图像压缩算法研究》、《基于矩阵分析方法的图像恢复技术研究》。
2. 数据处理：矩阵分析方法在数据挖掘和机器学习中起着重要作用，例如矩阵分解和矩阵推荐系统。
论文例子：《基于矩阵分解的矩阵推荐系统研究》、《基于矩阵分析的数据挖掘技术研究》。
3. 信号处理：矩阵分析方法在信号处理中具有广泛的应用，例如语音信号处理和音频编码。
论文例子：《基于矩阵分析方法的语音信号处理技术研究》、《基于矩阵分解的音频编码算法研究》。
4. 控制系统：矩阵分析方法在控制系统设计和分析中具有重要作用，例如状态空间表示和线性二次型控制器设计。
中科院矩阵分析与应用大作业
中科院矩阵分析与应用大作业1. 研究背景矩阵是数学领域中的重要概念之一，它在各个领域中都有广泛的应用。
在计算机科学中，矩阵常常用于图像处理、计算机视觉等领域；在数据分析中，矩阵则被用来描述数据之间的关系。
因此，深入研究矩阵的相关算法和应用，对于提高计算机科学和数据分析领域的研究水平具有重要意义。
2. 研究目的本次研究的主要目的是掌握矩阵分析的基本概念和相关算法，并将其应用于实际问题中，进一步提高对于矩阵分析的理解和应用能力。
3. 研究内容3.1 矩阵分解矩阵分解是矩阵分析中的一项重要任务，它将一个矩阵分解成为多个小的矩阵，从而更方便的进行处理。
常见的矩阵分解算法有：1.奇异值分解（SVD）2.QR分解3.LU分解4.特征值分解3.2 矩阵重构矩阵重构是指将矩阵进行转换、组合等操作，旨在从不同的角度探索和发现矩阵的内在规律。
常见的矩阵重构算法有：1.矩阵乘法2.矩阵转置3.矩阵拼接4.矩阵切片3.3 矩阵应用矩阵在各个领域的应用非常广泛，下面列举几个常见的应用场景：1.图像处理：将图像转化成为矩阵，对其进行矩阵分解、矩阵重构等操作，从而实现图像降噪、图像识别等功能。
2.推荐系统：利用矩阵分解的方法将原始数据转化为矩阵，再对其进行推荐系统的处理，从而为用户提供更好的推荐服务。
3.聚类分析：将大量数据转化为矩阵，从而利用聚类算法对其进行分析，发现数据之间的关系，进一步深入研究数据的内在规律。
4. 研究通过对于矩阵分解、矩阵重构、矩阵应用等领域的研究，我们可以得到以下：1.奇异值分解、QR分解、LU分解、特征值分解等矩阵分解算法各有优缺点，在实际应用中应该根据具体情况选用不同的算法。
2.矩阵乘法、矩阵转置、矩阵拼接、矩阵切片等矩阵重构算法可以帮助我们从不同的角度分析和处理矩阵，从而深入研究矩阵的内在规律。
3.矩阵在图像处理、推荐系统、聚类分析等领域有着广泛的应用，掌握矩阵分析算法可以帮助我们更好地解决实际问题。
中科院学习课件 矩阵分析与应用 9 Determinants
Since σ (1, 2) = +1 and σ (2, 1) = −1, we obtain the familiar formula a11 a12 a21 a22 = a11 a22 bin | UCAS
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Determinants | Determinants
Li Bao bin | UCAS 2 / 23
Determinants | Introduction
These men had something else in common — their ideas concerning the solution of linear systems were never adopted by the mathematical community of their time, and their discoveries quickly faded into oblivion. Eventually the determinant was rediscovered, and much was written on the subject between 1750 and 1900. During this era, determinants became the major tool used to analyze and solve linear systems, while the theory of matrices remained relatively undeveloped. The study and use of determinants eventually gave way to Cayley.s matrix algebra, and today matrix and linear algebra are in the main stream of applied mathematics, while the role of determinants has been relegated to a minor backwater position. Nevertheless, it is still important to understand what a determinant is and to learn a few of its fundamental properties. Our goal is not to study determinants for their own sake, but rather to explore those properties that are useful in the further development of matrix theory and its applications.
中科院矩阵分析_第一章
矩阵的代数性质1•矩阵是线性映射的表示：线性映射的相加表示为矩阵的相加线性映射的复合表示为矩阵的相乘2•矩阵是一种语言，它是表示复杂系统的有力工具。
学习矩阵理论的重要用途之一就是学会用矩阵表示复杂系统的关系，培养根据矩阵推演公式的能力是学习矩阵论的目的之一。
定义一个矩阵有几种方式：可以通过定义矩阵的每一个元素来定义一个矩阵，也可以通过矩阵具有的性质来定义一个矩阵。
如：对称矩阵可以定义为：a ij=a ji也可以定义为：(x, Ay)=(Ax,y),还可以定义为：Ax= f(x),其中f(x)=x T Ax/2,即它对向量x的作用相当于函数f(x)在x处的梯度。
3. 矩阵可以表示为图像矩阵的大小可以表示为图像。
反之，一幅灰度图像本身就是矩阵。
图像压缩就是矩阵的表示问题•这时矩阵相邻元素间有局部连续性，既相邻的元素的值大都差别不大。
4. 矩阵是二维的(几何性质)矩阵能够在二维的纸张和屏幕等平面媒体上表示，使得用矩阵表示的问题显得简单清楚，直观，易于理解和交流。
很多二元关系很直观的就表示为矩阵，如关系数据库中的属性和属性值，随机马尔科夫链的状态转移概率矩阵，图论中的有向图或无向图的矩阵表示等。
第一章：线性空间和线性变换1. 线性空间集合与映射集合是现代数学最重要的概念，但没有严格的定义。
集合与其说是一个数学概念，还不如说是一种思维方式，即用集合(整体)的观点思考问题。
整个数学发展的历史就是从特殊到一般，从个体到整体的发展历程。
集合的运算及规则，两个集合的并、交运算以及一个集合的补；集合中元素没有重合，子集，元素设S, S'为集合映射：为一个规则：S S',使得S中元素a和S'中元素对应，记为a'= (a)，或：a a'.映射最本质的特征在于对于S中的任意一个元素在S'中仅有唯一的一个元素和它对应。
映射的原象，象；映射的复合。
满射，单射,—映射。
若S'和S相同，则称为变换。
中科院矩阵分析课件.doc
矩阵分析及其应用3.1矩阵序列定义3.1设矩阵序列｛应)｝,其中A«)=(#))£Cms,当k—oo, 佝时，称矩阵序列｛A00｝收敛，并称矩阵A=(佝)为矩阵序列｛A00｝的极限,或称｛A00｝收敛于A,记为lim A a)= A或A,k)-> A ks不收敛的矩阵序列称为发散的。
由定义，矩阵序列A(k)发散的充要条件为存在ij使得数列站发散。
类似地，我们可以定义矩阵收敛的Cauchy定义定义31矩阵序列｛A00｝收敛的充要条件为对任给£>0存在N(E),当k,l> N(E)时有IIA(k)-A(/)ll < £其中11.11为任意的广义矩阵范数。
例 1 A(n)e~nsin(-)n y，sin(R) k=l K 7如果直接按定义我们因为求不出A㈤的极限从而很难应用定义3.1证明收敛。
相反，由于t^< t^<v 1/m从而只要/充分大，则当m, n > /时就有nz sin(A)这样A")收定理3.1 A(k)->A的充要条件为HA'10-AII T O证明：利用广义矩阵范数的等价性定理，仅对co范数可以证明。
即ci IIA(k) -AIL < IIA(k) -All< c2 IIA(k) -AIL性质 1.设A(k,—> A mxn, B,k,—> B mxn>则a- A(k)+P • B(k) -> a- A+P B, V a,PeC性质2.设A(k)—> A mxn, B,k)—> B nx/,则A(k)由如一A B证明：由于矩阵范数地等价性，我们E以只讨论相容的矩阵范数。
IIA(k).B(k)-A-BII < II A(k) -B(k) -A-B(k)ll+IIAB(k)- A-BII<IIA(k)-AII-IIB(k)ll+IIAIMIB(k)-BII注意IIB(k)||_||BII,则结论可得。
中科院学习课件 矩阵分析与应用 6lineartransform
Li Bao bin | UCAS
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Linear Transformations | Introduction
If V is the space of all continuous functions from R into R, then the x mapping defined by T(f ) = 0 f (t)dt is a linear operator on V because
Li Bao bin | UCAS
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Linear Transformations | Introduction
For T ∈ L(U , V ) and L ∈ L(V , W ), the composition of L with T is defined to be the function C : U → W such that C(x) = L (T(x)). This composition denoted by C(x) = LT, is also a linear transformation because C(αx + y) = L (T(αx + y)) = L (αT(x) + T(y)) = αL (αT(x)) + L (T(y)) = αC(x) + C(y). If B, B and B are bases for U , V and W , respectively, then C must have a coordinate matrix representation with respect to (B, B ). So it’s only natural to ask how [C]BB is related to [L]B B and [T]BB : [C]BB = [L]/ 34
中科院矩阵分析_第二章
第 2 章范数理论及其应用2.1向量范数及I p范数定义：如果V 是数域K 上的线性空间，且对于V的任一向量x，对应一个实数值ixil,它满足以下三个条件：1）非负性：||x|| 0,且||x||=0 x=0; 2）齐次性：iikxii=iki iixii，k K；3）三角不等式：||x+y|| ||x||+||y||.则称||x|为V上向量x的范数，简称为向量范数。
可以看出范数||||为将V映射为非负数的函数。
注意：2）中|k|当K为实数时为绝对值，当K 为复数域时为复数的模。
虽然向量范数是定义在一般的线性空间上的，但是由于前面的讨论，我们知道任何n 维线性空间在一个基下都代数同构于常用的n维复（或实）列向量空间, 因此下面我们仅仅讨论n 维复（或实）列向量空间就足够了下面讨论如下：1•设||||为线性空间V n的范数，任取它的一个基X i,X2,…,X n,则对于任意向量X,它可以表示为x= 1X1+ 2X2+ …+ n X n其中，（1, 2,…,n）T为X的坐标。
由此定义C n（或R n）中的范数如下：|| ||C = （） = || 1X1+ 2X2+ …+ n X n||则容易验证|| ||C确实为C n中的范数.2•反之，若|| |C为C n中的范数，定义V n的范数如下：||X||= （X）=|| ||c其中X= 1X1+ 2X2+ …+ n X n。
则容易验证（X）确实为V n的范数。
这个例子充分说明了一般线性空间的范数和n维复（或实）列向量空间的范数之间的关系。
这也是为我们只讨论n 维复（或实）列向量空间的范数的理由.范数首先是一个函数，它将线性空间的任意向量映射为非负实数。
范数与函数性质 1. 范数是凸函数，即|| （1 ）X+ y|| （1 ）||X||+ ||y||其中0向量的范数类似于向量长度。
性质 2. (范数的乘法) 若|| ||为线性空间V 上的向量范数，则k|||| 仍然为向量范数, 其中k > 0.性质3.设||||comp为R m上的范数，且对x (R+)m为单调增加的(即，若x,y (R+)m, 且X i y那么IXI Comp lyil comp 成立•),那么，对于给定的m个n维线性空间V上的范数||||i,i=1,2,…,m，我们可以定义一个复合范数为llxll=llU(x)ll comp , 其中，U(X)=( ||X||1,||X|2,…,||x||m)T. 证明：非负性和齐次性是显然的，仅需证明三角不等式。
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矩阵分析及其应用 3.1矩阵序列定义3.1设矩阵序列｛A (k )｝,其中A(k)=( a (k )) C m n ,当k a j" a u 时，称矩阵序列｛A (k)｝收敛，并称矩阵 A=( a ij )为矩 阵序列｛A (k)｝的极限，或称｛A (k)｝收敛于A,记为lim A (k)A 或 A (k) Ak不收敛的矩阵序列称为发散的。
由定义，矩阵序列 A (k )发散的充要条件为存在 j 使得数列a (k)发散。
类似地，我们可以定义矩阵收敛的 Cauchy 定义 定义3.1'矩阵序列｛A (k)｝收敛的充要条件为 对任给>0存在N()，当k, l N()时有 ||A (k) A (l)|| <其中||.|为任意的广义矩阵范数。
sin 』)n nsin(k)如果直接按定义我们因为求不出 A (n)的极限从而从而只要I 充分大，则当m, n > l 时就有sin(k)k 2这样A (l)收敛。
定理3.1 A (k) A 的充要条件为 ||A (k) A|| 0证明：利用广义矩阵范数的等价性定理，仅对 范数可以证明。
即c 1ILA (k) A||||A (k) AII C 2 ||A (k) AII 性质 0 若 A (k)A ，则 ||A (k) II IIAII 成立。
性质 1. 设 A (k)A m n ，B (k) B m n , 则A (k)+ B(k) A+ B ， ,C 性质 2. 设 A (k)A m n ，B (k )B n l ,贝UA (k)B (k)A B证明：由于矩阵范数地等价性，我们可以只讨论相容的 矩阵范数。
||A (k )B (k) A B|| || A (k) B (k) A B (k)||+||AB (k)A B|||| A (k) A|| ||B (k)||+||A||||B (k) B||例 1 A (n)k m 1k(k 1)相反，由于注意||B(k)|| ||B||，则结论可得。
特别地有性质2'. A(k) A 的充要条件为A (k) x Ax, 对任意x 成立或者y H A(k) x y HAx, 对任意x,y 成立.(在无穷维空间中称为弱收敛，但在有限维空间中和一般收敛性定义是等价的) 对于Hermite( 对称)矩阵我们有如下的定理：设A(k), k=1,2,…，和A都为Hermite矩阵，那么A(k) A的充要条件为x H A(k) x x H Ax, 对任意x 成立推论：A(k)，k=1,2, … , 为Hermite 矩阵，且单调减少，即A(k+1) A(k)为半正定Hermite矩阵，那么A(k)有极限.性质3设A(k)和A都为可逆矩阵，且A(k)A，则(A (k))1A1证明：因为A 1 (A(k)) I.所以存在K,当k >K时有||I A 1 (A (k))||<1/2 我们有(A(k)) 1= A 1+( I A 1 (A(k))) (A (k)) 1从而ll(A(k)) 1|| ||A 1||+||( I A 1 (A(k)))|| || (A(k)) 1|| 当k>K 时，有||(A(k))1|| ||A1||+1/2|| (A(k))1||即||(A(k)) 1|| 2 ||A 1||因为 A 1(A(k))1= A1(A(k)A) (A(k))1从而|| A1 (A(k)) 1|| ||A1||||A(k) A||||(A(k)) 1||(当k>K 时)||A 1||||A(k) A||2||A 1||(当k 时) 0由定理3.1有(A(k)) 1 A 1定义 3.2 矩阵序列{A (k)} 称为有界的，如果存在常数M>0 ，使得对一切k 都有| a i(j k) |<M 或等价的|| A(k)||<M'定理：有界的矩阵序列{A (k)} 一定有收敛的子列。
定义 3.3 设 A 为方阵，且当k 时有 A k 0，则称A 为收敛矩阵。
定理 3.2(迭代法基本定理) A k 0 的充要条件为谱半径(A)<1.证明：必要性：设A k 0，证明(A)<1. 对A 的任意特征值和相应的特征向量x 有x=Ax.这样我们有 A k x= k x从而有| |k ||x||=||A k x|| ||A k||||x||从而有| |k ||A k|| 0这样有| |<1，由于为 A 的任意特征值，所以(A)<1, 即必要性得证。
充分性。
已知(A)<1 ，证明A k0.取=(1 (A))/2 >0, 由定理 2.10 有,存在某种相容的矩阵范数||.||M 使得||A||M< (A)+ <1从而||A k|| M (||A||M)k<( (A)+ )k 所以当k 有||A k|| M 0,从而A k 0.定理3.3 A k 0的充分条件为存在矩阵范数||.|M使得||A||M <1 3.2 矩阵级数定义3.4设矩阵序列｛A (k)｝,其中A(k)=( a(k)) C n n,由它们形成的无穷和A(0) +A⑴+…+A(k)+…称为矩阵级数，记为A(k)，即有k0A(k)= A(0)+A⑴+ …+A(k)+…k0N定义3.5记S(N)= A(k)，称其为矩阵级数A(k)的部分和.k 0 k0如果矩阵序列｛S(N)｝收敛，且有极限S,即有S(N) S那么称矩阵级数A(k)收敛，且和为S, 记为k0S=k0不收敛的矩阵级数称为发散的。
显然A(k) =S 是指a i(j k)s ij，i,jk 0 k 0即矩阵级数收敛是指它的每个分量所构成的数项级数收敛。
性质：矩阵级数A(k)收敛的充要条件为对任意向量x,k0向量级数A(k)x 收敛。
k0定义3.6设矩阵级数A(k)的每个分量a(k)所构成的数项k0级数a i(j k)绝对收敛，则称矩阵级数A(k)绝对收敛。
k 0 k0关于绝对收敛，我们有如下的定理：性质 1. 绝对收敛的A(k)交换求和次序不改变其绝对k0收敛性和极限值。
性质 2. 矩阵级数A(k)绝对收敛的充要条件为正项级数||A(k)||收敛。
k0性质 3. 如果矩阵级数A(k) (绝对)收敛,那么PA(k)Qk0 k 0 也是(绝对)收敛,且有PA (k)Q=P( A(k))Qk0 k 0性质 4. 设C n n的两个矩阵级数(k)k0S1： A⑴+A(2)+ …+A(k)+ …S2： B ⑴+B⑵+ …+B(k)+ …都绝对收敛，其和分别为A和B.则矩阵级数S3： A⑴ B(1)+ [A ⑴ B(2)+ A⑵ B⑴]+ …+[ A ⑴ B(k)+ A ⑵ B(k 1) + …+A(k) B ⑴]+ … 绝对收敛且和为AB.证明：由于S i： A⑴+A(2)+…+A(k)+…绝对收敛的充要条件为正项级数||A⑴||+||A⑵||+…+||A(k)||+…收敛且与排列无关。
我们证明的思路是证明正项级数：||A⑴B⑴||+ ||A⑴B⑵+ A⑵B⑴||+…+ ||A ⑴ B(k)+ A⑵ B(k 1) + …+A(k) B^ “11+… 收敛。
引用魏氏定理，我们仅需验证下列正项级数：IIA⑴||||B⑴||+ { ||A ⑴ ||||B(2)||+ ||A⑵ IIIIB⑴11}+…+{||A ⑴ ||||B(k)||+ ||A⑵ ||||B(k 1)||+…+||A(k) ||||B⑴||}+ … 收敛。
这由题设正项级数||A⑴||+||A(2)||+…+||A(k)||+… 和正项级数||B⑴||+||B⑵||+…+||B(k)||+… 的收敛性可得。
定理3.4幕级数I+A+A 2+・.・+A k+…收敛的充要条件为A 的谱半径(A)<1, 收敛时其和为(I A) 1。
若有矩阵范数||.|使得||A||<1,则||(I A) 1 (I+A+A 2+ …+A k)|| ||A||k+1/(1 ||A||) 证明：必要性.由于I+A+A 2+…+A k+…收敛，从而S(k)= I+A+A 2+ …+A k收敛。
记T(k)= I+A+A 2+ …+A k+1, A k+1=T(k) S(k)收敛，且T(k) S(k)0,这样我们有A k 0，从而(A)<1.充分性：设(A)<1 , (I A) 1存在,由于I+A+A 2+…+A k=(I A) 1 (I A) 1 A k+1因 A k 0,所以I+A+A 2+…+A k+…(I A) 1.又因为(I A) 1 (I+A+A 2+ …+A k)= (I A) 1 A k+1从而||(I A) 1 (I+A+A 2+…+A k)||=|| (I A) 1 A k+1||设B=(I A) 1A k+1,从而(I A)B=A k+1即B=AB+ A k+1，从而||B|| ||A||||B||+ ||A k+1|| ||A||||B||+ ||A||k+1因为矩阵范数||.|使得||A||<1,所以||B|| ||A||k+1/(1 ||A||)成立。
定理 3.6 设幂级数f(z) c k z k的收敛半径为r,k0如果方阵 A 满足(A)< r, 则矩阵幂级数kf (A) c k A k是绝对收敛的；如果(A) > r,k0c k A 是发散的。
k0证明：利用绝对收敛的性质。
反之，设 A 的特征值满足| |= (A)，x 为相应的n n n特征向量c k(A k x) = c k( k x)=( c k k)x,k 0 k 0 k 0n由于(A) > r ,那么(C k k)x发散(注意x为非零向量)k0n从而c k(A k x) 发散，这样c k A k发散。
k 0 k 0矩阵函数定义：设一元函数f(z)能展开为z的幕级数kf(z) c k z k (|z|<r)k0其中r>0表示该幕级数的收敛半径。
当n阶矩阵A的谱半径(A) < r时，把收敛的矩阵幕级数c k A k的和k0为 f (A), 即 f (A)= c k A k .k0性质1(代入规则)：若f⑵能展开为z的幕级数，且f (z)=g(z), 对|z| < r 成立，则当(A)< r 时，f (A)=g(A).矩阵函数举例：sin(z)=z Z3/3!+Z5/5!…则sin(A)= I A3/3!+A5/5!… cos(z)=1 z2/2!+z4/4! …cos(A)= I A2/2!+A4/4! …z 2 3e z=1+z+z2/2!+z3/3!+… e A=l+A+A2/2!+A3/3!+…sin2(z)+ cos2(z)=1可得：sin2(A)+cos2(A)= I性质2二元函数f (x,y)能展开为x,y的幕级数,f (x,y)=g(x,y). 若AB = BA,则f (A,B)=g(A,B)(二元函数的代入规则).矩阵函数值的求法1. 待定系数法设n 阶矩阵 A 的特征多项式( )=det( I A). 如果首 1 多项式()=m+b l m口…+b m 1 +b m (1 m n)满足:(1) (A)=0;(2) ( )整除( )(矩阵 A 的最小多项式与特征多项式均满足这些条件). 那么, ( )的零点都是 A 的特征值.记( )的互异零点为i , 2,…,s ,相应的重数为 门,…,r s (r i +r 2+…+r s =m),则有 (l)( i )=0 (1=0,1，…,r i -1;i=1,2,…,s)这里，(l)()表示()的I 阶导数(下同).k设f(z)=C k Z = (z)g(z)+r(z).其中r(z)是次数低于 m 的k0多项式，于是可由 f (I)( i ) = r (I)( i ) 确定 r(z). 利用 f(A)= (A)g(A)+r(A)=r(A).因此我们的问题就是给定函数 f(z),由约束条件 r (l)( i )=f (l)( i ) 1=0,1,…「-1;i=1,2,…,s确定 r(z)。