中科院矩阵分析chapt3

矩阵分析及其应用 3.1矩阵序列

定义3.1设矩阵序列｛A (k )｝,其中A(k)=( a (k )

) C m n ,当k a j" a u 时，称矩阵序列｛A (k)｝收敛，并称矩阵 A=( a ij )为矩 阵序列｛A (k)｝的极限，或称｛A (k)｝收敛于A,记为

lim A (k)

A 或 A (k) A

k

不收敛的矩阵序列称为发散的。

由定义，矩阵序列 A (k )发散的充要条件为存在 j 使

得数列a (k)发散。

类似地，我们可以定义矩阵收敛的 Cauchy 定义 定义3.1'矩阵序列｛A (k)｝收敛的充要条件为 对任给>0存在N()，当k, l N()时有 ||A (k) A (l)|| <

其中||.|为任意的广义矩阵范数。

sin 』)

n n

sin(k)

如果直接按定义我们因为求不出 A (n)的极限从而

从而只要I 充分大，则当m, n > l 时就有

sin(k)

k 2

这样A (l)收敛。

定理3.1 A (k) A 的充要条件为 ||A (k) A|| 0

证明：利用广义矩阵范数的等价性定理，仅对 范数可以证

明。

即c 1

IL

A (k) A||

||A (k) AII C 2 ||A (k) AII 性质 0 若 A (k)

A ，则 ||A (k) II IIAII 成立。

性质 1. 设 A (k)

A m n ，

B (k) B m n , 则

A (k)+ B

(k) A+ B ， ,C 性质 2. 设 A (k)

A m n ，

B (k )

B n l ,贝U

A (k)

B (k)

A B

证明：由于矩阵范数地等价性，我们可以只讨论相容的 矩阵范数。 ||A (k )B (k) A B|| || A (k) B (k) A B (k)||+||AB (k)

A B||

|| A (k) A|| ||B (k)||+||A||||B (k) B||

例 1 A (n)

k m 1

k(k 1)

相反，由于

注意||B(k)|| ||B||，则结论可得。

特别地有

性质2'. A(k) A 的充要条件为

A (k) x Ax, 对任意x 成立或者y H A(k) x y H

Ax, 对任意x,y 成立.

(在无穷维空间中称为弱收敛，但在有限维空间中和一般收敛性定义是等价的) 对于Hermite( 对称)矩阵我们有如下的定理：设A(k), k=1,2,…，和A都为Hermite矩阵，那么A(k) A的充要条件为x H A(k) x x H Ax, 对任意x 成立

推论：A(k)，k=1,2, … , 为Hermite 矩阵，且单调减少，即A(k+1) A(k)为半正定Hermite矩阵，那么A(k)有极限.

性质3设A(k)和A都为可逆矩阵，且A(k)A，则

(A (k)

)

1

A

1

证明：因为A 1 (A(k)) I.所以存在K,当k >K时有||I A 1 (A (k))||<1/2 我们有(A(k)) 1= A 1+( I A 1 (A(k))) (A (k)) 1

从而ll(A(k)) 1|| ||A 1||+||( I A 1 (A(k)))|| || (A(k)) 1|| 当k>K 时，有||(A(k))1|| ||A1||+1/2|| (A(k))1||

即||(A(k)) 1|| 2 ||A 1||

因为 A 1(A(k))1= A1(A(k)A) (A(k))1

从而|| A1 (A(k)) 1|| ||A1||||A(k) A||||(A(k)) 1||

(当k>K 时)||A 1||||A(k) A||2||A 1||

(当k 时) 0

由定理3.1有(A(k)) 1 A 1

定义 3.2 矩阵序列{A (k)} 称为有界的，如果存在常数

M>0 ，使得对一切k 都有

| a i(j k) |

定理：有界的矩阵序列{A (k)} 一定有收敛的子列。

定义 3.3 设 A 为方阵，且当k 时有 A k 0，则称A 为收敛矩阵。

定理 3.2(迭代法基本定理) A k 0 的充要条件为谱半径(A)<1.

证明：必要性：设A k 0，证明(A)<1. 对A 的任意特征值和相应的特征向量x 有x=Ax.

这样我们有 A k x= k x

从而有| |k ||x||=||A k x|| ||A k||||x||

从而有| |k ||A k|| 0

这样有| |<1，由于为 A 的任意特征值，

所以(A)<1, 即必要性得证。

充分性。已知(A)<1 ，证明A k0.

取=(1 (A))/2 >0, 由定理 2.10 有,存在某种相容的矩阵范数||.||M 使得||A||M< (A)+ <1

从而||A k|| M (||A||M)k<( (A)+ )k 所以当k 有||A k|| M 0,从而A k 0.

定理3.3 A k 0的充分条件为存在矩阵范数||.|M使得

||A||M <1 3.2 矩阵级数

定义3.4设矩阵序列｛A (k)｝,其中A(k)=( a(k)) C n n,由它们形成的无穷和A(0) +A⑴+…+A(k)+…称为矩阵级数，记为A(k)，即有k0

A(k)= A(0)+A⑴+ …+A(k)+…

k0

N

定义3.5记S(N)= A(k)，称其为矩阵级数A(k)的部分和.

k 0 k0

如果矩阵序列｛S(N)｝收敛，且有极限S,即有

S(N) S

那么称矩阵级数A(k)收敛，且和为S, 记为

k0

S=

k0

不收敛的矩阵级数称为发散的。

显然A(k) =S 是指a i(j k)s ij，i,j

k 0 k 0

即矩阵级数收敛是指它的每个分量所构成的数项级数收敛。

性质：矩阵级数A(k)收敛的充要条件为对任意向量x,

k0

向量级数A(k)x 收敛。

k0

定义3.6设矩阵级数A(k)的每个分量a(k)所构成的数项

k0

级数a i(j k)绝对收敛，则称矩阵级数A(k)绝对收敛。

k 0 k0

关于绝对收敛，我们有如下的定理：

性质 1. 绝对收敛的A(k)交换求和次序不改变其绝对

k0

收敛性和极限值。

性质 2. 矩阵级数A(k)绝对收敛的充要条件为正项级数

||A(k)||收敛。

k0

性质 3. 如果矩阵级数A(k) (绝对)收敛,那么PA(k)Q

k0 k 0 也是(绝对)收敛,且有

PA (k)

Q=P( A

(k)

)Q

k0 k 0

性质 4. 设C n n的两个矩阵级数

(k)

k0