高等数学C成长练习册教师版2
高等数学c教材课后答案
高等数学c教材课后答案一、多项式函数与有理函数1. 题目：设函数f(x) = x^3 - 2x^2 + 5x - 6，求f(x)的根及其相应的代数重数。
解答：首先，我们将函数f(x) = x^3 - 2x^2 + 5x - 6进行因式分解，得到 f(x) = (x - 3)(x - 1)(x + 2)。
根的求解：将f(x) = 0代入上式，得到三个根x = 3，x = 1，x = -2。
代数重数（重根）的求解：由于(x - 3)(x - 1)(x + 2)的三个因式次数都是1，因此各个根的代数重数都是1。
2. 题目：求函数f(x) = x^3 - 3x^2 - 4x + 12的零点。
解答：首先，我们可以根据有理根定理来估算函数f(x) = x^3 - 3x^2 - 4x + 12的有理根。
有理根的估算：根据有理根定理，我们可以得到所有可能的有理根。
首先，列举出所有可能的因子：±1，±2，±3，±4，±6，±12。
然后，将这些因子分别代入f(x) = 0，判断是否有根。
得到x = 2时f(x) = 0，因此x = 2是函数f(x)的一个有理根。
根的求解：通过带入因子x = 2，我们可以使用综合除法来求得剩余的二次方程，进而解得函数f(x)的其他两个根。
通过综合除法，我们可以得到f(x) = (x - 2)(x^2 + x - 6)。
将x^2 + x - 6 = 0分解为(x + 3)(x - 2) = 0，得到x = -3，x = 2为函数f(x)的其他两个根。
因此，函数f(x) = x^3 - 3x^2 - 4x + 12的零点为x = -3，x = 2。
二、向量代数与空间解析几何1. 题目：已知向量A = 3i - 2j + k，向量B = 2i + j - 4k，求向量A与向量B的点积与叉积。
解答：向量A与向量B的点积的计算：向量A与向量B的点积可以使用坐标表示法求解，即 A·B = 3 * 2 + (-2) * 1 + 1 * (-4)。
高等数学c教材答案同济大学
高等数学c教材答案同济大学高等数学C教材答案 - 同济大学导言高等数学C是同济大学在数学系开设的一门课程，旨在帮助学生深入理解高等数学的概念、原理和应用。
本文将提供同济大学高等数学C教材的答案，以供学生参考和学习。
第一章导数与微分1.1 函数、极限与连续题目1：计算极限$\lim\limits_{x\to 2}(x^2+3x-4)$。
解答：将$x$代入函数中，得到$\lim\limits_{x\to 2}(2^2+3\cdot2-4)$，计算得$\lim\limits_{x\to 2}(4+6-4)=6$。
题目2：判断函数$f(x)=\begin{cases} x^2-1, & \text{如果 }x<0\\ 2, & \text{如果 }x=0\\ \sqrt{x}, & \text{如果 }x>0 \end{cases}$在$x=0$处是否连续。
解答：由定义，函数在$x=0$处连续，当且仅当$\lim\limits_{x\to 0^-}f(x)=f(0)=\lim\limits_{x\to 0^+}f(x)$。
代入函数并计算可得$-1=2=0$，显然不成立，因此函数在$x=0$处不连续。
1.2 导数与微分题目1：计算函数$f(x)=3x^2+5x-2$在$x=1$处的导数。
解答：根据导数的定义，函数$f(x)$在$x=1$处的导数为$f'(1)=\lim\limits_{h\to 0}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}$。
代入函数并计算可得$f'(1)=\lim\limits_{h\to 0}\frac{3(1+h)^2+5(1+h)-2-(3-5-2)}{h}$，进一步计算可得$f'(1)=\lim\limits_{h\to 0}\frac{3h+3}{h}=3$。
题目2：判断函数$f(x)=\begin{cases} x^2, & \text{如果 }x\neq 0\\ 0,& \text{如果 }x=0 \end{cases}$在$x=0$处是否可导。
高等数学c教材习题
高等数学c教材习题高等数学是大学数学的重要组成部分，它深入探讨了微积分、数学分析和线性代数等内容。
对于学习该学科的学生来说，掌握相关习题是提高数学水平的关键之一。
在本文中，将为大家介绍一些高等数学C教材中的习题，并逐一解答。
1. 函数的极限与连续1.1 求函数f(x)=x^2-x在点x=1处的极限。
解：根据函数的极限定义，当x无限趋近于1时，f(x)=x^2-x无限趋近于1^2-1=0。
因此，函数f(x)在点x=1处的极限为0。
1.2 设函数f(x)在点x=a处连续，求证f(x)在点x=a处的左极限等于右极限。
解：根据函数连续的定义，当x趋近于a时，f(x)的极限存在且等于f(a)。
根据极限的性质，函数f(x)在点x=a处的左极限等于右极限。
2. 微分与导数2.1 求函数f(x)=3x^2-4x+1的导函数。
解：对f(x)=3x^2-4x+1进行求导，得到f'(x)=6x-4。
因此，函数f(x)=3x^2-4x+1的导函数为f'(x)=6x-4。
2.2 求函数f(x)=x^3的二阶导数。
解：对f(x)=x^3进行一次求导，得到f'(x)=3x^2。
再对f'(x)进行一次求导，得到f''(x)=6x。
因此，函数f(x)=x^3的二阶导数为f''(x)=6x。
3. 微分中值定理与泰勒公式3.1 利用微分中值定理证明函数f(x)=sinx在区间(0, π/2)内存在唯一的根。
解：根据微分中值定理，对于任意一个连续函数f(x)，如果在区间[a, b]上满足f(a)与f(b)异号，那么在区间(a, b)内至少存在一个点c，使得f'(c)=0。
在函数f(x)=sinx的情况下，f(0)=0，f(π/2)=1，且f'(x)=cosx≠0。
因此，在区间(0, π/2)内，函数f(x)=sinx存在唯一的根。
3.2 利用泰勒公式求函数f(x)=e^x在x=0处展开的带有误差项的二阶泰勒多项式。
《高等数学C》2020-2021学年第一学期期末试卷
浙江大学2020——2021学年第1学期《高等数学C 》（I ）期末考试试卷复核教师：______________一、填空（3分×6=18分） 1. 设arctan(cos ),yx x =+则0x dy==。
2．设()(sin )f x y f x e=，()f u 可微，则dydx= 。
3.曲线2(1arcsin )yx x=+的斜渐近线方程为 。
4.=⎰dx 。
5.设()arcsin =+⎰xf x dx x c ，则1()dx f x =⎰。
6．当0x +→时，下列无穷小量中：2sin 1cos 2.(1),.ln(1,.sin ,.,-- ⎰⎰⎰⎰xxxt A e dt B dt C t dt D最高阶的是 。
二、计算（6分×12=72分） 1．求2011lim()tan x x x x→-2．求2sin 0lim 1+3x x x →（）。
3．求函数()(1)(2)xxf x e x =--的全部间断点并判断类型。
4．求曲线tan()4y πx y e ++=在点(0,0)处的切线方程。
5．设函数)(x y y =由参数方程sin t x t e y t⎧=+⎨=⎩确定，求202=t d ydx 。
6. 求函数43341y x x =-+的凹凸区间及拐点。
7.计算⎰。
8.计算2⎰π。
9．设2,0(),1,101cosxxe xf xxx-⎧≥⎪=⎨-<<⎪+⎩计算41(2)-⎰f x dx。
10. 计算 2ln(1)(1)+∞++⎰x dx x 。
11. 已知3,0()2,0x x x f x x x ⎧>=⎨+≤⎩，求()f x 的极值。
12.设某商品的需求函数为800()2,3Q P P =-+成本为()10013,C Q Q =+其中Q 为产量，P 为单价，求工厂获得最大利润时的产量。
三、解答与证明题（5分×2=10分） 1.设 1()(),(0)0,(0)1,'===⎰φx f xt dt f f 求（1）()φx '及(0)φ'，（2）讨论()φx '在0x =处的连续性。
高等数学c教材答案及解析
高等数学c教材答案及解析由于《高等数学C教材》是一本用于高等教育的数学教材，因此并没有相应的标准格式来撰写答案及解析。
然而，我将按照一种常见的格式来为您提供答案及解析，以确保信息的清晰传达。
【第一章：函数与极限】1. 函数的基本概念1.1 定义域和值域在函数的定义中，我们首先要确定函数的定义域和值域。
定义域是指函数能够接受的输入值的范围，值域则是函数输出值的范围。
1.2 奇偶性奇函数和偶函数是函数的重要性质。
奇函数满足$f(x)=-f(-x)$，偶函数满足$f(x)=f(-x)$。
2. 极限的概念与性质2.1 无穷大与无穷小当函数在某一点趋于无穷大或无穷小时，我们可以使用极限的概念来进行描述和计算。
无穷大可以分为正无穷大和负无穷大。
2.2 极限的运算法则极限的运算法则包括四则运算法则、复合函数的极限法则、函数的极限存在准则等。
【第二章：导数与微分】1. 导数的定义与性质1.1 导数的定义导数可以理解为函数的变化率。
在某一点$x=a$处的导数可以通过求取该点的切线的斜率来定义。
1.2 导数的性质导数具有线性性、乘积法则、商法则和复合函数的导数法则等性质。
2. 微分的概念与性质2.1 微分的定义微分是函数在某一点处的局部线性逼近，可以通过导数来计算。
微分可以用于近似计算函数值和函数的增量。
2.2 微分的性质微分具有线性性、微分法则和函数逼近的性质。
【第三章：高阶导数与微分】1. 高阶导数的定义与性质1.1 高阶导数的定义高阶导数可以理解为导数的导数。
一阶导数是函数的变化率，而高阶导数则是函数变化率的变化率。
1.2 高阶导数的性质高阶导数具有线性性、乘积法则、商法则和复合函数的导数法则等性质。
2. 泰勒公式与应用2.1 泰勒公式的定义泰勒公式是一种通过用多项式逼近函数的方法，可以将函数在某一点展开成无穷级数的形式。
2.2 泰勒公式的应用泰勒公式可以用于函数值的近似计算、函数的图像绘制以及函数在某一点处的性质分析。
高等数学c类第二册教材答案
高等数学c类第二册教材答案一、导论高等数学C类第二册是大学高等数学的进阶教材，主要涵盖了多元函数微分学、多元函数积分学和无穷级数三个部分。
本教材的答案旨在帮助学生更好地理解和掌握课本内容，提供一种参考和辅助学习的工具。
以下是高等数学C类第二册教材的答案。
二、多元函数微分学答案1. 多元函数的极限与连续1.1 多元函数极限概念及性质(1) 定义和性质练习题1. 将以下多元函数的极限求出：(1) lim(x,y)→(0,0) (x^2+y^2)/(x+y)(2) lim(x,y)→(2,3) (3x^2+4y^2)/(x^2-y^2)解答：(1) 这是一个两个变量的极限问题，我们可以使用直接代入法：lim(x,y)→(0,0) (x^2+y^2)/(x+y) = 0/0 (无法直接代入)为了解决这个问题，我们可以进行坐标轴变换：令x = rcosθ，y = rsinθ，其中 r>0，0≤θ<2π。
根据坐标轴变换的性质，当(x,y)→(0,0) 时，可得r→0。
将坐标变换后的表达式代入原函数：(x^2+y^2)/(x+y) = [(rcosθ)^2+(rsinθ)^2]/(rcosθ+rsinθ) =(r^2cos^2θ+r^2sin^2θ)/(rcosθ+rsinθ)= [r^2(cos^2θ+sin^2θ)]/(rcosθ+rsinθ) =r([r(cos^2θ+sin^2θ)]/[rcosθ+rsinθ])= r，当r → 0 时，此极限为lim(r)→0 r = 0。
所以，该极限的解为 0。
(2) 类似地，根据直接代入法：lim(x,y)→(2,3) (3x^2+4y^2)/(x^2-y^2) = (3(2)^2+4(3)^2)/((2)^2-(3)^2) = 33/7。
所以，该极限的解为 33/7。
1.2 多元函数连续概念及性质(1) 定义和性质练习题2. 判断函数 f(x,y) = (3x^2+y^2)/(x^2-y^2) 在点 (2,3) 处是否连续。
高等数学C作业参考答案
)f f f x((()))极限n−−−x→∞)时是无穷小；)时是无穷大.时是无穷小；0x +→以及）既不是无穷小，又不是无穷大；）前者是无穷小，后者是无穷大n x b <<连续，由最值定理知，在和最小值m ，即有,,(M m f ≤()()2n x f x n++由介值定理可知，在1[,]n x x 上至少存在一点)()2n f x ++e 2xx -=-上连续，且()0(0)F f =40>，由零点定理可知，()10f =()2arctan x =整理变形即可. 证毕2.71(1)!n +-函数的单调性与曲线的凹凸性1当(,)x ∈-∞+∞时，()0f x '<. 故函数()f x 在区间(,)-∞+∞内单调减少 证毕 2、解：2()3693(1)(3)f x x x x x '=--=+-令()0f x '=得：121,3x x =-=. 列表解析：3、22[,]33-单调增, 2(,]3-∞-,2[,)3+∞单调减. 4、证略5、凸区间(,1]-∞，凹区间[1,)+∞, 拐点11(1,)9-6、39,22a b =-=2.10 函数的极值与最值1、单调增区间为()(),1,3,-∞-+∞； 单调减区间为()1,3-极小值(3)47f =-；极大值(1)17f -=. 2、2,05x x == 3、最大值为2,最小值为 -2.4、最小值327x y =-=5、储油罐底半径325Vr π=，高为3254Vh π= 6、43R 2.11 函数图形的描绘1. 水平渐近线0y =.2. 水平渐近线0y =；垂直渐近线0x =.2.12 曲率1. 曲率2K =,曲率半径12ρ=. 2. 2x π=处曲率最大,为1.综合练习题二1. （1）)(sec 25sin 5123cos 322x x xxx y ⋅+-=' （2）3e (cos sin )s ec tan xy x x x x '=--（3）22222(1)sin 4cos (1)cos x x x xy x x +-'=+(4)2sec (12)x y x -'=- (5)211y x'=-+(6)()1ln ln ln y x x x '=(7)'=++-y x x x x xx x 3222212123ln ()ln cos(8)arcsin2xy '==y xe ''=+ y x( (4)(=+ y x。
高等数学c教材课后答案详解
高等数学c教材课后答案详解1. 一元函数、多元函数与极限在高等数学C教材中的第一章中，我们学习了一元函数、多元函数与极限的概念和性质。
以下是课后习题的答案详解：1.1 一元函数1.1.1 定义域和值域对于一元函数f(x)，定域是指使函数f(x)有意义的x的取值范围。
而值域是指函数f(x)在定域上所能取到的所有值。
例如，对于函数f(x) = √(x-2)，我们需要满足x-2≥0，即x≥2。
因此，定域为[2, +∞)。
而在这个定域上，函数f(x)能够取到的值域为[0, +∞)。
1.1.2 奇偶性与周期性对于一元函数f(x)，奇偶性指的是函数图像关于y轴对称还是关于原点对称。
周期性指的是函数图像在一定区间内重复出现的性质。
例如，对于函数f(x) = sin(x)，它是奇函数，因为f(-x) = -f(x)；而它是周期函数，因为f(x+2π) = f(x)。
1.2 多元函数1.2.1 偏导数和全微分对于多元函数z = f(x, y)，它的偏导数指的是在变量x或y固定时，函数z对于x或y的变化率。
例如，对于函数z = x^2 + 2y^2，其关于x的偏导数为∂z/∂x = 2x，关于y的偏导数为∂z/∂y = 4y。
1.2.2 隐函数与显函数对于多元函数z = f(x, y)，如果可以通过一个显式的等式z = g(x, y)来表示，则称为显函数。
如果无法通过显式等式表示，而是通过一条方程F(x, y, z) = 0来定义，则称为隐函数。
例如，对于方程x^2 + y^2 - z^2 = 1，可以解出z = √(x^2 + y^2 - 1)，因此可以表示为显函数。
1.3 极限1.3.1 定义和性质在一元函数中，我们讨论了函数在某点的左极限、右极限以及极限存在的条件。
同时，我们也介绍了无穷大极限和无穷小极限的概念。
在多元函数中，我们引入了二重极限的概念，即函数在二元变量(x, y)逼近某一点时，同时有两个变量趋于该点的极限存在。
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f ( x) f ( x) 存在，则 lim = x→0 x x
.
难
解：∵ f ( x) 在 x=1 处可导∴ f ( x) 在 x=1 处连续，可得
x →1+ 0
lim f ( x) = lim f ( x) 即 a + b = 1
x →1− 0
(1)
02010401
x 2 , 设函数 f ( x) = ax + b ,
x ≤1 x >1
又∵ f ( x) 在 x=1 处可导, 可得 在处 x=1 可导，求 a 和 b.
x →1+ 0
lim
f ( x ) − f (1) f ( x) − f (1) = lim 即 x →1− 0 x −1 x −1
(2)
稍难
ax + b − 1 x2 −1 = lim =2 x →1+ 0 x →1− 0 x − 1 x −1 lim
x → x0
解答
× ×
难度 易 易 稍难
√
设 f ( x) 可导且下列极限均存在，则 ( A. lim
) 成立.
∆x → 0
f ( x0 + 2∆x) − f ( x0 ) 1 = f ′( x 0 ) ∆x 2
02010201
B. lim
x→0
f ( x) − f (0) = f ′(0) x f ( x0 − ∆x) − f ( x0 ) = f ′( x0 ) ∆x f (a + 2h) − f (a ) = f ′(a ) h
高等数学 C 成长练习册
第 2 章 1 节: 导数概念 命题教师: 岳玲
题目编号 02010101 02010102 02010103
题目 若函数 f ( x) 在 x0 点可导，则 f ′( x0 ) = [ f ( x0 )]′ . 若 f ( x ) 在 x0 点不可导，则 f ( x ) 在 x0 不连续. 若 f ( x) 在 x0 处可导，则 lim f ( x ) 一定存在.
x 求 lim . x →0 f ( x − 2 x ) − f ( x − x ) 0 0
02010402
则 lim
x→ 0
x f ( x0 − 2 x) − f ( x0 − x)
难
=
1 f ( x0 − 2 x) − f ( x0 ) f ( x0 − x) − f ( x0 ) ] + lim −2lim[ x→0 − x →0 −2 x −x
题目
y ′′ = 2 e 2 f ( x ) f ′′( x ) .
解答
×
难度 稍难 稍难 易
若 f ( x ) = x n , 则 f ( n ) (0) = n ! .
√ √
设 y = xe x ，则 y '' = 2e x + xe x . 已知函数 f ( x) 任意阶可导， 且 f ′( x ) = [ f ( x)]2 ， 则 f ( x) 的
B
稍难
C. lim
∆x→0
D. lim
h→ 0
函数 f ( x) 在 x = x 0 处连续，是 f ( x) 在 x0 处可导的（ ）. 02010202 A.充分不必要条件 C.充分必要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 B 易
1 − x, 已知函数 f ( x) = − x e , 02010203 A. 导数 f ′(0) = −1 C. 导数 f ′(0) =1 02010301 设 f(x)可导，则 lim
1 ( x − 1) 2
B. −
C.
1 x +1
D. −
1 x −1
A
稍难
设 y = ln( x + x 2 + 1) ，则 y′= ( 02020202 A.
). C.
1 x + x2 +1
B.
2x x + x2 +1
1 x2 +1
D.
x x2 +1
C
稍难
02020203
已知 y = ln
1 , 则 y′= ( u ( x)
Q2 ，则边际成本为 4
√ 易
1 c '(Q) = Q . 2
函数 f ( x ) 在点 x 处的弹性 幅度的大小. 某商品的需求函数为 Q = 100− 2 p ，则当价格 p = 10 时降价 1%总收益( 02030201
).
02030103
Ey 是反映随 x 的变化 f ( x ) 变化 Ex
).
A
稍难
A. −
u′( x) u ( x)
B.
1 u′( x )
C. u(x)
D. u′( x)
02020301
曲线 y = x −
1 与 x 轴交点的切线方程是 x
.
y = 2( x ± 1)
易
02020302 02020303 02020401
设y=
1 − ln x ，则 y ' = 1 + ln x
稍难
p =3
（2） P = 3 , P = 5 , P = 6 时的需求弹性.
(2)
EQ EP
=−
3 EQ 5 EP
p=5
= −1 ，
EQ EP
p =6
=−
6 5
高等数学 C 成长练习册
第 2 章 4 节: 高阶导数 命题教师: 岳玲
题目编号 02040101 02040102 02040103
已知 y = e 2 f ( x ) , 则
02040201
n（n≥ 2）阶导数 f A. n![ f ( x)]n
(n)
( x) = （ ）. C. [ f ( x )]2 n D. n![ f ( x)]2n
B
难
B. n![ f ( x )]n +1
函数 y = e f ( x ) ，则 y" = （ ）. 02040202 A. e f ( x ) C. e f ( x ) [ f ' ( x)]2 02040203 B. e f ( x ) f " ( x ) D. e f ( x ) {[ f ' ( x)]2 + f " ( x)} C 稍难 D 稍难
Q = 30
=
−P 10 − P
Q = 30
=−
2 3
解： (1) L( x) = R( x) − C ( x)
= (7 x + 0.01x 2 ) − (100 + 2 x + 0.02 x 2 ) = −0.01x 2 + 5 x − 100
设某糕点加工厂生产 A 类糕点的总成本函数和总收入函 数分别是
，
）. D . 59
A
易
P 为价格，则需求弹性值
-2 稍难
EQ EP
= _________.
P =2
02030302
已知成本函数为 C ( x ) = x 2 + 2 x + 500 ，当产量为 1000 时， 边际成本为 _______. 某产品的收益函数和总成本函数分别是 R( x ) = 7 x + 0.01x 2
√
易
A .增加约 0.75%
C .增加约 0.25%
B .减少约 0.75% D .减少约 0.25%
C
难
某产品价格与销量的关系为 P = 10 − Q 5 （ Q 为销量） ，则 02030202 销量为 30 的边际收益为（ ）. D .3 B 易
2 A. 10 − Q 5
B. -2
C. 2
某商品的需求函数为 Q = 75 − P 2 （ P 为价格， Q 为需求 02030203 量） ， P = 4 时的边际需求（ A .-8 B. 8 C. −2P 设 需 求 函 数 Q = p(8 − 3P) 02030301
解答
×
难度 稍难 易
√
02020103
u ( x) u ' ( x )v ( x ) − u ( x ) v ' ( x ) ]′ = 则[ . v( x ) [v( x )]2
设 f ( x + 2) =
1 x +1
√
易
，则 f ′( x ) = （ ）.
1 ( x + 1) 2
02020201 A. −
=
e arcsin
x
2 x − x2
. 稍难
02020402
x y = x arcsin + 4 − x 2 .求 y′ . 2
解： = arcsin
x x x 2 2 + ( − ) = arcsin . 2 2 4 − x2 2 4 − x2
难
解：令 u = 已知 y = f (
3x − 2 , 5x + 2
02030402
R( x) = 7 x + 0.01x 2
（1）求边际利润函数； （2）当产量分别是 200 公斤，250 公斤和 300 公斤时的 边际利润，并说明其经济意义.
设某商品的需求函数 Q = e 02030403 （1）需求弹性函数；
−p
5
，求
解：(1)
EQ P 1 −P P P = Q ' ( P) ⋅ = − e 5 ⋅ −P = − EP Q( P ) 5 5 e 5
dy dx
x =0
= 4arctg1 = π .
高等数学 C 成长练习册
第 2 章 3 节: 导数的应用 命题教师: 岳玲