考研高等数学教学计划

考研《高等数学》教学计划（共32学时）（第一轮）高等数学内容是考研数学中占的比重最多的部分，几乎占整个卷面分值的56%左右。

为了使同学们迅速有效地掌握高等数学基本知识，吃透考研大纲，特制定以下教学计划。

参考教材：《高等数学》，同济版第一部分函数、极限与连续考纲要求：1、理解函数的概念、掌握函数的表示法，了解函数的有界性、奇偶性、周期性、单调性。

2、理解复合函数及分段函数的概念，了解反函数及隐函数的概念。

3、掌握基本初等函数的性质及图形，了解初等函数的概念4、理解极限、左（右）极限的概念及函数极限存在与左（右）极限之间的关系5、掌握极限的性质及四则运算、极限的存在两个准则、并会利用两个准则求极限，掌握利用两个重要极限公式求极限。

6、理解无穷小（大）的概念，掌握无穷小的比较，利用等价无穷小求极限方法。

7、理解函数连续性（左、右）连续的概念，会判断间断点类型。

8、了解连续函数的性质和初等函数的性质，理解闭区间上连续函数的性质（最值、有界、介值定理），并会运用这些性质。

教学安排：约6学时第一讲 2学时函数的概念、常见的函数（有界性、奇偶性、周期性、单调性）。

数列（函数）极限的定义及性质（唯一性、有界性、保号性）。

函数极限与数列极限的关系等。

（课后的相关习题）第二讲 2学时极限的运算法则（6个定理及一些推论）；无穷小与无穷大的定义，无穷小的比较，以及与极限的关系；两个重要极限公式及等价形式；极限存在准则（夹逼定理、单调有界数列必有极限），利用函数极限求数列极限，利用两个准则求极限。

（课后的相关习题）第三讲 2学时无穷小的阶的概念（同阶无穷小、高阶无穷小、K阶无穷小、等价无穷小）和确定方法。

函数的连续性、间断点的分类；判断函数的连续性和间断点类型；闭区间上连续函数的性质：有界性定理、最值定理、零点定理、介值定理（零点定理是证明根的存在性的一种重要方法）（课后的相关习题）第二部分一元函数微分学考纲要求：1、理解导数与微分的概念、关系，导数的几何意义，会求平面曲线的切线和法线方程，了解导数的物理意义，理解函数可导性和连续性关系。

2、掌握导数的四则运算和复合函数求导法则，基本初等函数的求导公式，了解微分的四则运算和一阶微分形式的不变性，会求函数的微分。

了解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数。

3、会求分段函数、隐函数、参数方程所确定的函数以及反函数的导数。

4、理解并会用洛尔定理、拉格朗日中值定理和泰勒定理、了解并会用柯西中值定理。

5、掌握用罗比达法则求不定式的极限；理解函数极值的概念、掌握用导数判断函数单调性和极值的方法；掌握求函数最大（小）值的方法及应用。

6、会用导数判断函数的凹凸性，会求函数的拐点、渐近线以及描绘函数图像。

7、了解曲率、曲率圆和曲率半径。

会计算曲率及曲率半径。

教学安排约4学时第一讲 2学时导数与微分的概念、关系，导数的几何意义，平面曲线的切线和法线方程，函数可导性和连续性关系；导数的四则运算和复合函数求导法则，基本初等函数的求导公式，微分的四则运算，函数的微分。

高阶导数。

分段函数、隐函数、参数方程所确定的函数以及反函数的求导（课后的相关习题）第二讲 2学时中值定理（洛尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理），罗比达法则求不定式的极限、函数极值的概念、用导数判断函数单调性和极值的方法；掌握求函数最大（小）值的方法及应用，函数的凹凸性、拐点、渐近线，曲率、曲率圆和曲率半径。

（课后的相关习题）第三部分一元函数的积分学考纲要求：1、理解原函数的概念，不定积分和定积分的概念，掌握不定积分的基本公式、不定积分和定积分的性质及定积分的中值定理，换元法与分部积分法。

2、会求有理函数和三角函数有理式和简单无理函数的积分。

3、理解积分上限函数，会求它的导数、掌握微积分基本公式，了解反常积分的概念，会计算反常积分。

4、掌握用定积分表达和计算一些几何和物理量及函数的平均值。

教学安排约4学时第一讲 2学时不定积分和定积分的概念、性质、换元法与分部积分法，有理函数的积分三角函数有理式和简单无理函数的积分。

（课后的相关习题）第二讲 2学时积分上限函数、微积分基本公式、反常积分，定积分表达和计算一些几何和物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积、侧面积、平行截面为已知的立体的体积、功、引力、压力、形心等）。

（课后的相关习题）第四部分向量代数和空间解析几何考纲要求：1、理解空间直角坐标系，向量的概念及表示。

掌握向量的运算(线性运算、数量积、向量积、混合积)，了解两向量垂直和平行的条件。

理解单位向量、方向数、方向余弦、向量的坐标表达式，掌握用向量的坐标表达式进行向量运算。

2、掌握平面方程和直线方程及其求法，会求平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角，并会利用平面、直线的相互关系解决有关问题。

3、会求点到直线和平面的距离，了解空间曲线和曲面方程的概念、常用二次曲面的方程及其图形，会求简单的柱面及其旋转曲面的方程。

4、了解空间曲线的参数方程和一般方程，了解空间曲线在坐标面的投影，并会求该投影曲线方程。

教学安排 2学时将本部分内容串讲归纳总结，讲解相关例题，练习课后习题，加以巩固。

（课后的相关习题）第五部分多元函数微分学考纲要求：1、理解多元函数的概念、二元函数的几何意义，了解二元函数的极限与连续的概念及有界闭区域上连续函数的性质，理解多元函数的偏导数和全微分，会求偏导数和全微分，了解偏导数存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性。

2、理解方向导数和梯度的概念，掌握其计算方法，掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法，了解隐函数的存在定理，会求多元隐函数的偏导数。

3、了解空间曲线的切线与法平面及曲面的切平面与法线方程，会求它们的方程，了解二元函数的泰勒公式。

4、了解多元函数的极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解极值存在的充分条件，会求多元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大（小）值，并会解决简单的实际应用问题。

教学安排约4学时第一讲 2学时多元函数的概念、极限和连续性，偏导数和全微分，方向导数和梯度。

多元复合函数的求导（链式法则）。

（课后的相关习题）第二讲 2学时多元隐函数，空间曲线和曲面二元函数的泰勒公式，多元函数的极值和条件极值、拉格朗日乘数法。

（课后的相关习题）第六部分多元函数积分学考纲要求:1、理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质、二重积分的中值定理，掌握二重积分的计算方法（直角坐标系、极坐标系），会计算三重积分（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）2、理解两类曲线积分的概念，了解两类曲线积分的性质及其关系，掌握计算两类曲线积分的方法，掌握格林公式并会运用平面曲线积分和路径无关的条件，会求二元函数全微分的原函数。

3、了解两类曲面积分的概念、性质及其关系，掌握两类曲面积分的计算方法，用高斯公式计算曲面积分、斯托克斯公式计算曲线积分的方法。

4、了解散度和旋度的概念，并会计算，会用重积分、曲线积分及曲面积分求一些几何量和物理量。

教学安排约4学时第一讲 2学时二重积分、三重积分的概念及性质，二重积分及三重积分的计算。

两类曲线积分的概念、性质及其关系及其计算方法。

（课后的相关习题）第二讲 2学时格林公式，求二元函数全微分的原函数，两类曲面积分的概念、性质及其关系，两类曲面积分的计算，高斯公式、斯托克斯公式。

散度和旋度、计算一些几何量和物理量等。

（课后的相关习题）第七部分无穷级数考纲要求；1、理解常数项级数收敛、发散及收敛级数和的概念，掌握级数收敛的性质及收敛的必要条件，几何级数，p级数收敛与发散的条件。

正项级数收敛性的比较判别法和比值判别法，会用根值判别法，掌握交错计算收敛的莱布尼茨判别法，了解任意项级数的绝对收敛和条件收敛的概念及其关系。

2、理解幂级数的收敛半径的概念、收敛半径、收敛域、收敛区间的求法，了解幂级数在其收敛区间内的性质（和函数的连续性、逐项求导，逐项求积分），会求幂级数收敛区间内的和函数，并由此求一些数项级数的和，了解函数展开成泰勒级数的充要条件。

3、掌握几个基本函数的马克劳林展开式，会用它们将一些简单函数展开成幂级数，了解傅立叶级数的概念和收敛定理，会将定义在[-l,l]的函数展开成付氏级数，会将定义在[0,l]的函数展开成正弦级数和余弦级数，会写出付氏级数的和函数。

教学安排约4课时第一讲 2课时常数项级数、几何级数，p级数收敛与发散的条件。

正项级数（比较判别法、比值判别法、根值判别法），任意项级数的绝对收敛与条件收敛、幂级数收敛半径、收敛域、收敛区间的求法，和函数的性质（连续性、逐项求导性，逐项求积分）（课后的相关习题）第二讲 2学时泰勒级数，基本函数的马克劳林展开式，将一些简单函数展开成幂级数，傅立叶级数。

（课后的相关习题）第八部分常微分方程考纲要求：1、了解微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解的概念，掌握可分离变量和一阶微分方程的解法，会解齐次方程、贝努利方程和全微分方程、简单的变量代换解某些微分方程，降阶法、理解线性微分方程解的性质及其解的结构。

2、掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会求某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程，3、会解自由项为多项式、指数函数、正弦（余弦）函数以及它们的和与积的常系数非齐次线性微分方程。

会解欧拉方程、会运用微分方程解决实际问题。

教学安排约4学时第一讲 2学时微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解的概念，可分离变量和一阶微分方程，齐次方程、贝努利方程和全微分方程，降阶法、线性微分方程解的性质及其解的结构。

（课后的相关习题）第二讲 2学时二阶常系数（非）齐次线性微分方程，欧拉方程，微分方程的应用。

（课后的相关习题）（注：本资料素材和资料部分来自网络，仅供参考。

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