高等数学 一元微积分的应用共60页文档
一元微积分应用 共62页
(3) 计算面积
A2A1 2 0 31 2(1 co )2d s 3 21 2(3 co )2d s
3(12co s1co 2s )d
0
2
2
3
9(1cos2)d
2
5
4
平面图形的面.积 由对,称 求性 出上半部 A1,则 分 A2 的 A1. 面积
r3co s (1)求积分区 联间 立方程组
3
O
r1co s
x
r3co s
r1co s
cos 1
2
3
(2) 微分元素
当 0 3 时 ,曲r 边 1 c为 o ,dsA11 2(1co)s2d. 当 3 2时 ,曲边 r 3 c为 o , sdA11 2(3co)s2d.
(3) 计算面积
A 1 ( 2 x x )d x 2 ( 2 x x 2 )d x 7 .
0
1
6
如 何 判 定 积 分 变 量
1.用平行与y轴的直线穿过所求区域[a,b]，若与边界线的 焦点有且仅有2个时，选择积分变量x，这时我们把该区域 称为x型区域，若超过两个时需要分区域进行求解.
A 2 O
(2 )微分 d A 元 [2 ( x ) 素 x 2 ]d x.
y x2 B xy2
1
x
(3) 计算面积
A 1 [2 (x ) x 2 ] d x [ 2 x x 2 x 3 ]1 4 1 .
2
23 2 2
例1 求曲y 线 x2与直x线 y2所围成的平积 面 . 图
于是, 所求面积为
b
一元微积分应用(物理)资料
2
2 3 2 2
例1 求曲线 y x2 与直线 x y 2 所围成的平面图形的面积.
y
解 (1) 求积分区间
联立方程组 y x2 x y2
求得交点: A(2, 4), B(1, 1) .
A
y x2
B xy2
2 O 1
x
(2) 微分元素 d A [(2 x) x2 ]d x .
0
0
a2 2 (1 2 cost cos2 t) d t 3 a2. 0
3 极坐标系中平面图形的面积
r r( ) d
O
x
求由曲线r r( ) 及射线r , r ( ) 所围成的平面图 形的面积时, 取 为积分变量, 则积分区间为[, ]. 剩下的问
(3) 计算面积
A 1 [(2 x) x2 ]d x [2x x2 x3 ] 1 4 1 .
2
2 3 2 2
例1 求曲线 y x2 与直线 x y 2 所围成的平面图形的面积.
解 (1) 求积分区间
联立方程组 y x2 x y2
求得交点: A(2, 4), B(1, 1) .
相关变化率和最大、最小值的应用问题。 知道平面曲线的弧微分、曲率和曲率半径的概念，并能计算
平面曲线的弧微分、曲率、曲率半径和曲率中心。 掌握建立与定积分有关的数学模型的方法。 熟练掌握“微分元素法”，能熟练运用定积分表达和计算一
些几何量与物理量：平面图形的面积、旋转曲面的侧面积、 平行截面面积为已知的几何体的体积、平面曲线的弧长、变 力作功、液体的压力等。 能利用定积分定义式计算一些极限。
题是求微分元素和计算积分值.
一元微积分应用三
回忆泰勒中值定理的构建过程
设 f (x) 在 U(x0 )内有直到 (n 1) 阶的导数, 则
f (x)
n k 0
f
(k ) ( x0 k!
)
(
x
x0
)k
Rn (x) ,
其中
Rn (x)
f (n (n
1) ( )
1) !
(
x
x0
)n
1为拉格朗日余项
.
由级数的部分和及收敛性 质看出一点什么没有 ?
2
在收敛区间内对幂级数逐项求导、逐项 积分后, 得到一个新得幂级数, 且她与原幂级 数具有相同得收敛半径 、 如有必要,可对她连 续进行逐项求导和逐项积分、
就就是说, 在收敛区间内幂级数得和函数 有任具意阶得导数及任意次得可积性、
幂级数得性质多好啊 ！
如何将函数表示为幂级数?
怎么做？
二、泰勒级数
x2n2 ) d
x
n1
x 0
2n 2n
1
x
2n
2
d
x
n1
x 2 n 1 2n
1 x
n1
x2 2
n
2
x x2
故
n1
2n 1 2n
x2n2
d dx
2
x x2
2 x2 (2 x2)2
取 x 1, 得
n1
2n 1 2n
2 x2 (2 x2 )2
3.
x1
幂级数的解析运算
由幂级数在其收敛区间内得逐项可导性, 得
n1
x 2 n 1
2n 1
n1
x 2 n 1
2n 1
n0
x 2n2
1
高等数学 第4章 一元函数积分学及其应用
x
10
水平渐近线: 若 lim f x c，则直线y c是y f x 的图形 x x x
的水平渐近线。
y
y
1
y ex
y thx
O
O
x
-1
x
x ，y 0.
x ，y 1; x ，y 1.
y 0是y e x的水平渐近线。 y 1是y thx的水平渐近线。
11
5.当x 时, f x A与两个单边极限的关系：
成立, 则称x x0时, f x有右极限A.记作:
f
x0
0
lim
xx0 0
f
x
A.
极限存在的充要条件(38
题)
定理3：
lim
x x0
f x
A
f x0
0
f x0
0
A
注：定理3经常用于判断极限不存在的情况。
8
4. x 时函数 f (x) 的极限
自变量的绝对值x 无限增大x 时, 函数值f x无限接近 于确定的数值A f x A, 则A就叫做函数f x当x 时的
存在点x0的某一去心邻域,在该邻域内f x 0,
这与f x 0的假设矛盾. 故A 0.
问题：比较定理1、2，注意“＞”和“≥”，为什么？
6
3. 左、右极限，函数极限存在的充分必要条件 左、右极限：
x x0意味着点x从x0的左右两侧都无限趋近于x0 .
如果只考虑点x从x0的左侧无限趋近于x0 ,记作x x0 0.
注3: 正数与x无关，仅依赖于，但不是唯一的,
比小的任何正数都可以。
3
几何解释： lim f x A x x0
y
A
A
。
一元函数微积分的应用及算法
f ( x)
＋
0
－
0
＋
f ( x)
单调增加区间为(, 1)和(3, ), 单调减少区间为(1,3).
二、函数的极值
概念引入
y f ( x)在点c1 , c4处的函数值f (c1 ), f (c4 )比它们 左右邻近各点的函数值大, 而在C2 , C5处的函数 值f (c2 ), f (c5 )比它们邻近各点的函数值都小.
2
1 x 1 (15) (arct anx) dx. 2 1 x
dx.
(14) (arccosx)
1
dx.
一、导数的应用
定理 设函数f(x)在区间(a,b)内可导.
f ( x) 0 ，则函数f(x)在(a,b)内单调增加; (1)如果在(a,b)内， f ( x) 0 ，则函数f(x)在(a,b)内单调减少. (2)如果在(a,b)内，
练习：求下列函数的导数
例1 求 y x3 2 的导数.
解 y ( x3 2) ( x3 ) (2) 3x2 .
例2 求 y x 2 sin x 的导数. 解 y ( x2 sin x) ( x2 ) sin x x2 (sin x) 2x sin x x2 cos x.
解 设截去的小正方形边长为xcm，铁盒容积为Vcm 得
3
函数最大值和最小值
V x(24 2 x) 2 (0 x 12) V (24 2 x) 2 x 2(24 2 x)(2)
(24 2 x)(24 6 x) 12(12 x)(4 x). 令V ' 0 ,得 x1 12, x2 4.
如果当x x0 (或x )时,函数f ( x)的绝对值无限增大,
一元微积分几何应用
x [a, a].
y
h
微分元素:
d V h a 2 x 2 d x.
y
a
O
x
a a
a
a2 x2 d x
x
计算体积:
令 x a cos
V h
正劈锥的体积等于 同底、同高的圆柱 体体积的一半.
1 h a 2 sin 2 d h a 2 . 0 2
绕 x 轴旋转一周所产生的旋 转体的体积 . 类似于上面的作法可得 :
积分区间:
y [c, d ] .
微分元素: d V x 2 d y. d V ( ( y )) 2 d y. 计算体积:
V d V y 2 d x.
a a b b
例8 解
x2 y2 求椭圆 2 2 1 绕 x 轴, 绕 y 轴旋转一周所生成的 a b
a
(1 2 cos t cos 2 t ) d t 3 a 2 .
二、旋转体的体积
y A
O
1
计算连续曲线 y f ( x) 在区间
[a, b] 上的一段弧 AB 与直线 x a,
y f ( x)
B
x b 以及 x 轴所围成的平面图形 绕 x 轴旋转一周所产生的旋 转体的
6.4 一元微积分的几何应用
----面积、体积、弧长
一、平面图形的面积
二、旋转体的体积
三、平行截面面积为已知的几何体的体积 四、弧长及其计算方法
五、旋转体的侧面积
注意 在应用微分元素法时 , 要求所计算的量 A 具有可加性 :
即在区间 [a , b] 上, 量 A 总等于它在该区间的各 个子区间上部 分量 A 的和 .
一元微积分物理应用
x (a, b], x 0.
当x 很小时, 可视物体在区间
f (x)
O
[ x, x x] 上, 以变力在点 x 处的值
x x x b x
f ( x) 按常力 作功, 其值为
a
W f ( x)x.
于是, 变力沿直线作功问题的微分元素为: d W f ( x) d x.
1 b a f ( x) d x. ba
[ xi 1 , xi ] 的长度 ba xi n
f ( x) R([a, b]), 则 f ( x) 在[a, b] 上的平均值为
y
b a
f ( x) d x ba .
若 f ( x) C ([a, b]), 则
y
b a
?
O
取 x 0, 在 [ x, x x] 上, 视压
1
x 0 .5 x x
x
力 F ( x) 不变, 则在该小区间上压缩气
体作的功为 W F ( x)x .
由已知条件, 当 x 0 时, 气体的压强 P(0) 9.8 105 , 故
k PV
x 0
9.8 10 5 (0.1) 2 9800 .
由于功对区间具有可加性, 故变力 f ( x) 沿直线移动物体所做
y
y f (x)
的功为:
积分区间: x [a, b].
微分元素: d W f ( x) d x.
b b
W
O a
b x
变力作功的几何表示
功的计算 : W d W f ( x) d x.
a a
例1
直径为0.20 (m), 长为1 (m) 的气缸内 充满了压强 ,
第五章 一元函数微积分的应用
第五章 一元微积分的应用5.1 函数图象的几何性质一 基本概念定义1 极值点与极值： （1）极大值点（极小值点）：函数()y f x =在0x 的某邻域内有定义，若0()x U x ∀∈有0()()f x f x <（0()()f x f x >）， 则称0x 为()f x 的极大值点（极小值点）；函数值0()f x 为()f x 的极大值（极小值）．（2）极大值点和极小值点统称为极值点；极大值和极小值统称为极值． 定义2 凸凹函数： 函数()f x 在I 上有定义，若对任意的12,x x I ∈，有1212()()()22x x f x f x f ++<1212()()()22x x f x f x f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭（1）则称()f x 在区间I 上是凹函数（凸函数）．公式（1）可以改写为：1212()()()f x x f x f x αβαβ+<+1212()()()f x x f x f x αβαβ+>+ （2） 其中,(0,1)αβ∈，且1αβ+=．定义3 拐点： 如果函数()f x 在点0x 的左右邻域的凸凹性不同，则称点00(,())x f x 是函数()f x 的拐点； 定义4 渐近线： 若曲线()y f x =上的点M ，沿曲线无限远离原点时，它与定直线L 的距离趋于零，则称直线L 就是曲线()y f x =的渐近线。
注1 极值点和最值点的区别和联系：（1）极值点未必是最值点，最值点也未必是极值点； （2）最值点若是在区间内部，最值点就是极值点；（3）若函数在定义域区间内仅有唯一极值点，则此极值点就是最值点． 注2 拐点是曲线上的点00(,())x f x ，并非是数轴上的点0x x =．二 基本方法1 求极值点有两类点可能成为极值点：导数等于0的点和导数不存在的点（仅仅可能是极值点）． 判断上述两类点是否为极值点的具体方法：（1）几何方法：若0x 的左右邻域的单调性不同，则0x 是极值点，0()f x 是极值； 在0x 的左邻域00(,)x x δ-上，()0f x '>；在0x 的右邻域00(,)x x δ+上，()0f x '<，0x 为极大值点．在0x 的左邻域00(,)x x δ-上，()0f x '<；在0x 的右邻域00(,)x x δ+上，()0f x '>，0x 为极小值点．（2）代数方法：求0x 的导数，若0()f x '=(1)00()()0n f x f x -''===L ，而()0()0n fx ≠，则(a) 如果n 是偶数，0x 是极值点，若()0()0n f x >,0x 是极小值点，若()0()0n f x <,0x 是极大值点；(b) 如果n 是奇数，0x 不是极值点． 2 求函数()y f x =的单调区间（1）求函数()f x 的定义域；（2）在定义域内求出一阶导函数()f x '等于零的点和一阶导函数不存在的点； （3）用上述两类点将定义域分成若干区间，并判断导函数()f x '在每个区间的符号，从而得到单调区间．3 求函数()y f x =在区间[,]a b 或(,)a b 上的最值：具体方法：求函数()f x 在闭区间[,]a b 上一阶导函数等于0点和一阶导函数不存在的点：令12,,,n x x x L ，则函数()y f x =在[,]a b 的最大值与最小值分别为12max{(),(),,(),(),()}n M f x f x f x f a f b =L ；12m in{(),(),,(),(),()}n m f x f x f x f a f b =L 。