高等几何试题(1).docx
高等几何试题及答案
高等几何试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 以下哪个选项是欧几里得几何的公理？A. 两点之间线段最短B. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行C. 任意两条直线都相交D. 圆的周长与直径的比值是一个常数答案：B2. 球面上的最短路径是：A. 直线B. 曲线C. 大圆D. 任意路径答案：C3. 以下哪个定理是球面几何中的定理？A. 勾股定理B. 泰勒斯定理C. 球面三角形的内角和大于180度D. 三角形内角和等于180度答案：C4. 以下哪个选项是双曲几何的特征？A. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行B. 过直线外一点有无数条直线与已知直线平行C. 过直线外一点没有直线与已知直线平行D. 过直线外一点有一条直线与已知直线平行答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 在欧几里得几何中，一个平面上任意两个点确定一条________。
答案：直线2. 球面几何中，球面上的两点之间的最短路径称为________。
答案：大圆3. 在双曲几何中，过直线外一点可以画出________条直线与已知直线平行。
答案：无数4. 根据球面几何的性质，球面上的三角形内角和________180度。
答案：大于三、解答题（每题15分，共30分）1. 证明：在球面几何中，任意两个大圆的交点最多有两个。
证明：假设球面上有两个大圆A和B，它们相交于点P和Q。
如果存在第三个交点R，则R必须位于大圆A和B上。
由于大圆A和B是球面上的最短路径，它们在球面上的交点必须是球面上的最短路径的端点，因此R不可能存在。
因此，任意两个大圆的交点最多有两个。
答案：证明完毕。
2. 已知球面上的三角形ABC，其内角分别为α、β、γ，且α+β+γ=180°+ε，其中ε为正数。
求证：三角形ABC的边长之和小于球面上的任意其他三角形的边长之和。
证明：设球面上的任意其他三角形为DEF，其内角分别为α'、β'、γ'。
高等几何试卷1
毕节学院课程试卷~ 学年度第 学期《高等几何》学院 级 专业 班 姓名 学号 得分主考教师： 试卷类型：（ 卷）阅卷须知：阅卷用红色墨水笔书写，得分用阿拉伯数字写在每小题题号前，用正分表示，不得分则在题号前写0；大题得分登录在对应的题号前；统一命题的课程应集体阅卷，流水作业；阅卷后要进行复核，发现漏评、漏记或总分统计错误应及时更正；对评定分数或统分记录进行修改时，修改人必须签名。
（1， 0， 0），则（ABC ）= ；2、若（),4321P P P P =4，则（),3421P P P P = ；（),4231P P P P = ； （),4132P P P P = ；3、设(AB,CD)=21，则点偶 调和分割点偶 ； 4、过点（1，－i ，2）的实直线的齐次方程为： ；5、无穷远线的方程为： ；6、两个射影点列成透视的充要条件是 ；7、直线04321=-+x x x 上的无穷远点的齐次坐标为： 。
5、设λ，λ'分别表示两个一维基本形B A λ+与B A λ'+的坐标的参数，则变换式06342=-'-+'λλλλ是一个一维射影变换。
（ ）二、作图题：（15分）已知A ，B ，C 三点，求作点D ，使()1,2AB DC =。
（要求：写出作法并予以证明）三、解答证明题：（共40分）1、直线AB 与CD 交于M,AC 与BD 交于N, MN 分别交AD,BC 于K, H, 直线BK 交AC 于L, 求证:LH,CK,AM 交于一点. （10分）ABMCDKNLH2、已知A(1,2,-1),B(2,-3,1),C(1,9,-4),D(8,-5,1).（10分） （1）证明D C B A ,,,共线（2）将D C ,的坐标表示为B A λ+的形式 （3）求交比（AB,CD ）3、求射影变换1122233x x xx x x x ρρρ⎧'=+⎪⎪'=⎨⎪'=⎪⎩的不变点和不变直线。
高等几何习题集[1]2
![高等几何习题集[1]2](https://img.taocdn.com/s3/m/946569ff846a561252d380eb6294dd88d0d23d08.png)
高等几何习题集习题1.11．证明：任一三角形都有一个内切椭圆，其切点为三边的中点，中心为三角形的重心；同时有一个外接椭圆以三角形的重心为中心。
2．平行于平行四边形ABCD 对角线AC 作一直线与AB 、BC 交于点E 、F ，证明：三角形AED 和CDF 的面积相等。
3．在椭圆的内接三角形的顶点作切线构成外切三角形，证明：如果这两上三角形有两对边平行，则第三对边也平行。
4．过三角形ABC 内任一点P 作DE//BC ，交AB 、AC 于E 、E ，作FG//CA 交BC 、BA 于F 、G ，作HK//AB 交BC 、CA 于H 、K ，证明：=++ABHK CA FG BC DE 常数。
5．设X 、Y 是三角形ABC 的边AB 、CA 上的动点，满足BX ：XA=CY ：Y A 。
证明：BY 与CX 的交点在一条定直线上。
6．设D 、E 、F 各是三角形ABC 的边BC 、CA 、AB 上的点，且DE//AB ，DF//CA ，证明：CD E BFD AEF S S S ∆∆∆⋅=2。
7．将三角形的每边三等分，将每个分点与三角形的对顶点相连，这六条直线构成一个六边形，证明：此六边形的三双对顶点的连线共点。
8．在三角形ABC 的边BC 、CA 、AB 上取点D 、E 、F 使BD ：DC = CE ：EA = AF ：FB = 1 ：n 。
设AD 交BE 于L ，BE 交CF 于K ，CF 交AD 于M ，证明：1122++-=n n n S S ABC LKM )(∆∆ 。
9．设点D 、E 、F 分别位于三角形ABC 的边BC 、CA 、AB 上，且BD ：DC=CE ：EA=AF ：FB ，三线AD 、BE 、CF 构成三角形PQR ，证明：三角形ABC 、DEF 和PQR 具有共同的重心。
10．过椭圆的弦AB 的中点C 任作二弦PQ 和ST ，PS 、QT 分别交AB 于M 、N ，证明：MC=CN 。
高等几何试题及答案
高等几何试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 已知直线l的方程为Ax+By+C=0，直线m的方程为Dx+Ey+F=0，若l与m平行，则以下哪个条件成立？A. A/D = B/E ≠ C/FB. A/D = B/E = C/FC. A/D = B/E ≠ C/FD. A/D ≠ B/E = C/F答案：A2. 已知平面α的方程为Ax+By+Cz+D=0，平面β的方程为Ex+Fy+Gz+H=0，若α与β垂直，则以下哪个条件成立？A. AE + BF + CG = 0B. AE + BF + CG ≠ 0C. AE + BF + CG = D + HD. AE + BF + CG = D - H答案：A3. 已知点P(x1, y1, z1)在平面α：Ax+By+Cz+D=0上，则以下哪个条件成立？A. Ax1+By1+Cz1+D=0B. Ax1+By1+Cz1+D≠0C. Ax1+By1+Cz1+D>0D. Ax1+By1+Cz1+D<0答案：A4. 已知直线l的参数方程为x=x0+at，y=y0+bt，z=z0+ct，其中a、b、c为直线的方向向量，若直线l与平面α：Ax+By+Cz+D=0平行，则以下哪个条件成立？A. Aa+Bb+Cc=0B. Aa+Bb+Cc≠0C. Aa+Bb+Cc=DD. Aa+Bb+Cc=-D答案：A二、填空题（每题5分，共20分）5. 已知直线l的方程为Ax+By+Cz+D=0，直线m的方程为Ex+Fy+Gz+H=0，若l与m相交，则它们的交点坐标为__________。
答案：（(BF-CE)/(AF-CD), (AG-CF)/(AF-CD), (AE-BF)/(AF-CD)）6. 已知平面α的方程为Ax+By+Cz+D=0，平面β的方程为Ex+Fy+Gz+H=0，若α与β相交，则它们的交线方程为__________。
答案：(Ax+By+Cz+D)(EF-GH) - (Ex+Fy+Gz+H)(AF-CD) = 07. 已知点P(x1, y1, z1)到平面α：Ax+By+Cz+D=0的距离为d，则d=__________。
高等几何试题.
高等几何试题一、填空题（每题 3 分，共 27分）1、两个三角形面积之比是（）。
2、相交于影消线的二直线必射影成（）。
3、如果两个三点形的对应顶点连线共点，则这个点叫做（）。
4 、一点x （x1,x2,x3）在一直线u u1,u2,u3 上的充要条件是（）。
5、已知（p1p2, p3p4） 3,则（p4p3,p2 p1）=（），（p1p3,p2 p4）=（）。
6、如果四直线p1, p2 , p3 , p4满足（ p1 p2 , p3 p4 ） 1 ，则称线偶p3,p4和p1,p2（）。
7、两个点列间的一一对应是射线对应的充要条件是（）。
8、不在二阶曲线上的两个点 P（p1p2p3），Q（q1q2q3）关于二阶曲线S aij xixj0 成共轭点的充要条件是（）。
9、仿射变换成为相似变换的充要条件是（）。
二、计算题（每题 8 分，共 56分）221、计算椭圆的面积（椭圆方程：x2 y2 1 a,b 0 ）ab2、求共点四线l1:y k1x，l2: y k2x，l3:y k3x，l4: y k4x的交比。
x1 x13、求射影变换x2x2 的不变元素。
x3 x34、求二阶曲线6x12x22 24x32 11x2x3 0经过点P (1,2,1)的切线方程。
5、求双曲线x2 2xy 3y2 2x 4y 0 的渐近线方程。
6、求抛物线2x2 4xy 2y2 4x 1 0 的主轴和顶点。
7、求使三点O(0, )，E(1,1)，P(1, 1)顺次变到点O (2,3) ，E(2,5) ，P(3, 7) 的仿射变换。
三、已知A(1,2,3) ，B(5, 1,2) ， C (11,0,7) ，D(6,1,5) ，验证它们共线并求(AB,CD) 的值。
(8 分)四、求证：两个不同中心的射影对应线束对应直线的交点构成一条二阶曲线。
(9 分)答案1、仿射不变量2、平行直线3、透视中心4、u1x1 u2x2 u3x3 05、3 26、调和分离7、任何四个对应点的交比相等8、S pq 0221、解：设在笛氏直角坐标系下椭圆的方程为x2y21 abxx经过仿射变换其对应图形为2 2 2 xya在仿射变换①之下， A A ， B B ，O O ，所以VAOB对应VAOB ，其中 A A ，根据定理 3.6 推论 2，有椭圆面积圆面积S V AOB S V AOB所以椭圆面积1ab12 a 2因此所给椭圆的面积为ab 。
高等几何习题参考答案
高等几何综合练习题参考答案一、（1）椭圆；（2）三角形；（3）三角形内切椭圆的中心；（4）两个等面积的平行四边形；（5）三角形的重心；（6）面积比相同但不必相似的三角形；（7）不是三角形的垂心；（8）平行四边形。
二、（2）、（3）、（6）、（9）经中心射影后不变。
三、过点(,,),(0,,)a b c b c -的直线为12300x x x ab c bc =-，即12320,bcx acx abx --= 因为1110,a b c ++=所以0bc ca ab ++=，取点1(,1,1)2--代入直线方程，得0bc ca ab ++=，故此直线必过定点1(,1,1)2--。
四、取XYZ 为坐标三点形：(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1),X Y Z 设(1,1,1),(1,1,1),(1,1,1),(1,1,1),(,,)A B C D P f g h ------，可以求得直线l 的方程为230gx hx -=，类似可以求出,m n 的方程。
五、只有恒等变换的群没有相应的几何学，理由是经过恒等变换图形的任何性质都没有改变，因为位置没有改变，就无法进行比较、推广，对任何图形都要一一研究，这是不可能的。
六、因无三点共线的五个点A,B,C,D,E 构成线束A(C,D,E)与B(C,D,E)的射影对应，由此三对对应直线唯一决定，故其对应线之交点唯一确定，因此唯一确定一条二次曲线。
其对偶命题为：非退化的二级曲线是由无三线共点的五条直线唯一决定。
七、设两个透视三点形111222,A B C A B C 的对应边的交点为L,M,N,非对应边之交点为123456,,,,,P P P P P P ,适当编排这六点的顺序，使这六点为定点的简单六点形之对应边交点为L,M,N ，因为L,M,N 共线，根据帕斯卡定理的逆定理知此六点形为二次曲线之内接六点形。
八、主轴为612110,220x y x y +-=--=。
《高等几何》考试练习题及参考答案
《高等几何》考试练习题及参考答案一、单选题1. 菱形的仿射对应图形是()A 、菱形B 、平行四边形C 、正方形D 、不等边四边形答案：B2. 圆经过中心射影之后的对应图形是()A 、圆B 、椭圆C 、二次曲线D 、二共点直线答案：C3. 射影平面上所有射影变换的集合构成群，称为射影变换群，它是()A 、8维群B 、6维群C 、4维群D 、3维群答案：A4. 正六边形经过中心射影后的对应图形是()A 、正六边形B 、二次曲线C 、二平行直线D 、内接于二次曲线的六边形答案：D5. 在射影平面上，两条相交直线可以把平面分成几个区域？()A 、1B 、2C 、3D 、4答案：B6. 欧式平面内所有正交变换的集合构成群，称为正交变换群，它是()A 、3维群B 、4维群C 、6维群D 、8维群答案：A7. 双曲型曲线与无穷远直线的关系是()A 、相交B 、相切C 、相离D 、相割答案：A8. 下面属于欧式几何学的是()A 、梯形B 、离心率C 、重心D 、塞瓦定理和麦尼劳斯定理答案：B9. 直角三角形经过中心射影后的对应图形是()A 、三角形B 、等腰三角形C 、直角三角形D 、四边形答案：A10. 共点的直线经过中心射影之后的对应图形是()A 、二直线B 、二垂直直线C 、共点的直线D 、二平行直线答案：C11. 在射影平面上二阶曲线可共分为（）类.A 、2B 、3C 、4D 、5答案：D12. 双曲线有几条主轴？()A 、1B 、2C 、3D 、4答案：B13. 已知两点A(2,-1,1),B(3,1,-2),下列哪一个点与它们共线？()A 、(7 ，-1 ，0)B 、（7 ，-1 ，1)C 、（5 ，0 ，2)D 、（0 ，0 ，1）答案：A14. 等腰梯形的仿射对应图形是：()A 、等腰梯形B 、梯形C 、四边形D 、平行四边形答案：B15. 对于非恒等二维射影变换下列说法错误的是()A 、是非奇线性对应B 、保持共线四点的交比不变C 、不变直线不能超过三条D 、不共线的不变点至多有三个答案：C16. 下列哪些图形具有射影性质？()A 、平行直线B 、三点共线C 、两点间的距离D 、两直线的夹角答案：B17. 圆的仿射对应图形是：()A 、梯形B 、四边形C 、椭圆D 、平行四边形答案：C18. 矩形的仿射对应图形是：()A 、四边形B 、平行四边形C 、梯形D 、圆答案：B19. 下列名称或者定理不属于仿射几何学的是A 、三角形的垂心B 、梯形C 、在平面内无三线共点的四条直线有六个交点D 、椭圆答案：A二、判断题1. 一维基本形间的射影对应不保持对应四元素的交比. ()A 、正确B 、错误答案：错误2. 两全等三角形经仿射对应后得两全等三角形()A 、正确B 、错误答案：错误3. 射影平面的不共点三直线将平面分成四部分.()A 、正确B 、错误答案：正确4. 一个角的内外角平分线调和分离角的两边()A 、正确B 、错误答案：正确5. 共线三点的单比经中心射影后不变. ()A 、正确B 、错误答案：错误6. 二直线所成角度是相似群的不变量.()A 、正确B 、错误答案：正确7. 射影平面上的一直线能将射影平面剖分成两部分. ()A 、正确B 、错误答案：错误8. 三点形经中心射影之后还是三点形.()A 、正确B 、错误答案：正确9. 在一维射影变换中，若已知一对对应元素（非自对应元素）符合对合条件，则此射影变换一定是对合. ()A 、正确B 、错误答案：正确10. 在仿射变换下，等腰三角形的对应图形是三角形. ()A 、正确B 、错误答案：正确11. 仿射变换的基本不变量是单比. ()A 、正确B 、错误答案：正确12. 抛物线有一对主轴. ()A 、正确B 、错误答案：错误13. 三角形的垂心属于仿射几何学的范畴()A 、正确B 、错误答案：错误14. 在仿射变换下，正方形的对应图形是正方形.()A 、正确B 、错误答案：错误15. 共线点的极线必共点，共点线的极点必共线()A 、正确B 、错误答案：正确16. 椭圆和双曲线的四个焦点中有二实点二虚点.()A 、正确B 、错误答案：正确17. 配极变换是一种非奇线性对应，()A 、正确B 、错误答案：正确18. 两个三角形的面积之比是仿射不变量. ()A 、正确B 、错误19. 德萨格定理属于射影几何学的范畴. ()A 、正确B 、错误答案：正确20. 二阶曲线上任一点向曲线上四定点作直线，四直线的交比为常数. ()A 、正确B 、错误答案：正确21. 菱形的仿射对应图形是四边形. ()A 、正确B 、错误答案：错误22. 两点列的底只要相交构成的射影对应就是透视对应. ()A 、正确B 、错误答案：错误23.A 、正确B 、错误答案：正确24. 两个不同的无穷远点所决定的直线上可以含有有穷远点.()A 、正确B 、错误答案：错误三、名词解释1. 图形的仿射性质答案：图形经过任何仿射变换后都不变的性质称为图形的仿射性质.2. 二次曲线的直径答案：无穷远点关于二次曲线的有穷极线称为此二次曲线的直径.3. 二次曲线的中心答案：无穷远直线关于二次曲线的极点称为此二次曲线的中心.4. 配极原则答案：如果P点的极线通过Q点，则Q点的极线也通过P点.5. 二阶曲线答案：在射影平面上，成射影对应的两个线束对应直线的交点的集合称为二阶曲线.6. 二次曲线的渐近线答案：二次曲线上的无穷远点的切线，如果不是无穷远直线，则称为二次曲线的渐近线.7. 对偶原则答案：在射影平面里，如果一个命题成立，则它的对偶命题也成立.8. 完全四点形答案：由四个点（其中无三点共线）以及连结其中任意两点的六条直线所组成的图形称为完全四点形.四、问答题1. 下列图形的仿射对应图形是什么？（1）圆；（2）等腰三角形；（3）三角形的内心；（4）两个合同的矩阵；（5）三角形的重心；（6）相似三角形；（7）三角形的垂心；（8）矩形。
高等几何练习题(附参考答案)
1.求一个二维射影变换，它使点（1,0,1）,（0,1,1）,（1,1,1）,（0,0,1）分别变为（1,0,0）,（0,1,0）,（0,0,1）,（1,1,1）。
2. 求通过点（1,0,1），（0,1,1），（0,-1,0）且以031=-x x ，032=-x x 为切线的二次曲线的方程。
3.已知一个一维射影变换的三对对应点的参数为：0→1/2，2→5/8，1→3/5，求出此射影变换的参数对应方程和自对应点的参数。
4.给定二次曲线C: 02223222121=++-x x x x x ， (1)求点P(1,1)关于二次曲线(C)的极线以及x 轴关于的二次曲线(C)极点。
(2) 判断二阶曲线(C)的类型，并求二阶曲线(C)的过点(1,0,0)的直径及其共轭直径。
5.设四直线4321,,,l l l l 的方程分别为,023,02321321=-+=+-x x x x x x,0721=-x x ,0531=-x x ，求),(4321l l l l 的值。
6. 一个一维射影对应，它使直线l 上的点)1(1P ，)2(2P，)3(3P 顺次对应直线l '上的点)1(1-'P ，)2(2-'P ，)3(3-'P，请写出该一维射影对应的非齐次表达式与齐次表达式。
7.求由两个射影线束031=-x x λ，032='-x x λ，12='+λλ所构成的二次曲线的方程。
8.已知二阶曲线c ：04228233231212221=+-++-x x x x x x x x x ， （1） 此二阶曲线什么类型的？其中心是什么？（2）试求此二阶曲线的渐近线。
9.求一仿射变换，使直线x+2y-1=0上的每一个点都不变，且使点（1,－1）变为点（－1,2）。
1．（15分）解：所求变换式为：3132121111x a x a x a x ++='ρ 3232221212x a x a x a x ++='ρ 3332321313x a x a x a x ++='ρ （3分） 将（1,0,1）→（1,0,0）,（0,1,1）→（0,1,0）,（1,1,1）→（0,0,1）,（0,0,1）→（1,1,1）代入上式可解得：1:1:1:1:0:1:1:1:0::::::::333231232221131211----=a a a a a a a a a （6分）∴所求变换式为：321x x x +-='ρ 312x x x +-='ρ 3213x x x x +--='ρ （6分）2.（15分）0222233332233113222221122111=+++++x a x x a x x a x a x x a x a过点（1,0,1） 02331311=++a a a过点（0,1,1） 02332322=++a a a过点（0,-1,0） 022=a （6分）02331311=++a a a ，023323=+a a ，022=a ， ∴02312=+a a ，)(33131311a a a a +-=+ （0,1,1）在曲线上，切线032=-x x ，0)()()(333232232211312=+++++x a a x a a x a a∴01312=+a a ，)(33232322a a a a +-=+∴曲线方程为023323121=+--x x x x x x x 。
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《高等几何》试题（１）1.试确定仿射变换，使y 轴，x轴的象分别为直线x y 1 0 ， x y 1 0 ，且点（1，1）的象为原点 .( 15 )2.利用仿射变换求椭圆的面积 .( 10 )3. 写出直线3x xx 轴,y10+2-3=0,轴 , 无穷远直线的齐次线坐标.()14.叙述笛沙格定理 , 并用代数法证之 .( 15 )5.已知A(1,2,3), B (5,-1,2), C (11,0,7), D (6,1,5),验证它们共线,并求(AB, CD)的值.( 8 )6.设P(1,1,1),P (1,-1,1),P (1,0,1)为共线三点,且(P P , P P)=2,求P的坐标.(12)124 1 2 3 437.叙述并证明帕普斯 (Pappus) 定理 .( 10 )8.一维射影对应使直线 l 上三点 P (-1),Q(0),R (1)顺次对应直线 l上三点P (0),Q(1), R (3),求这个对应的代数表达式.( 10 )9. 试比较射影几何、仿射几何、欧氏几何的关系.( 10 )《高等几何》试题（２）1. 求仿射变换x 7 x y 1, y4x 2 y 4 的不变点和不变直线. (15 )2.叙述笛沙格定理 , 并用代数法证之 .( 15 )3.求证 a (1,2,-1) ,b(-1,1,2), c (3,0,-5)共线 , 并求l的值 , 使c i la i mb i(i 1,2,3). (10)4.已知直线 l1 ,l 2 , l 4的方程分别为 2x1x2x3 0 ， x1x2 x3 0 ，x10 ，且 (l1 l2 , l3 l 4 )2l 2的方程.(15)，求35.试比较欧氏、罗氏、黎氏几何的关系. ( 10 )6.试证两个点列间的射影对应是透视对应的充要条件是它们底的交点自对应 . ( 10)7. 求两对对应元素 , 其参数为11,02, 所确定对合的参数方2程. ( 10 )8. 两个重叠一维基本形A B, A B 成为对合的充要条件是对应点的参数与满足以下方程:a b() d 0( ad b20) (15)《高等几何》试题（３）1.求仿射变换x 7 x y 1, y 4x 2 y 4的不变点和不变直线. (15 )2.求椭圆的面积 .( 10 )3.写出直线 2x1+3x2- x3=0, x 轴,y轴,无穷远直线的齐次线坐标.( 10 )4.叙述笛沙格定理 , 并用代数法证之 .( 15 )5.已知直线 l1 ,l 2 , l 4的方程分别为 2x1x2 x3 0 ， x1x2 x3 0 ，x1 0 ，且 (l1l 2 , l3 l 4 )2)，求 l 2的方程.(1536.在一维射影变换中，若有一对对应元素符合对合条件，则这个射影变换一定是对合. ( 15 )7.试比较射影几何、仿射几何、欧氏几何的关系, 试比较欧氏、罗氏、黎氏几何的关系. ( 20 )[2005 — 2006 第二学期期末考试试题]《高等几何》试题（ A）一、填空题（每题 3 分共 15 分）1、是仿射不变量，是射影不变量2、直线3x y0 上的无穷远点坐标为3、过点（ 1,i,0）的实直线方程为4、二重元素参数为 2 与 3 的对合方程为5、二次曲线6x2y211y 24 0 过点 P(1,2) 的切线方程二、判断题（每题 2 分共 10 分）1、两全等三角形经仿射对应后得两全等三角形（）2、射影对应保持交比不变，也保持单比不变（）3、一个角的内外角平分线调和分离角的两边（）4、欧氏几何是射影几何的子几何，所以对应内容是射影几何对应内容的子集（）5 、共线点的极线必共点，共点线的极点必共线（）三、 (7 分 ) 求一仿射变换，它使直线x 2 y 1 0 上的每个点都不变，且使点（1,-1 ）变为（ -1 ， 2）四、（ 8 分）求证 : 点A(1,2, 1), B( 1,1,2), C (3,0,5) 三点共线，并求t , s使 c i ta i sb i ,( i 1,2,3)五、 (10 分 ) 设一直线上的点的射影变换是x/3x 2证明变换有两个自对应点，且这两自x4对应点与任一对对应点的交比为常数。
六、（ 10 分）求证：两直线所成角度是相似群的不变量。
七、（ 10 分）（1）求点（ 5， 1， 7）关于二阶曲线2 x123x22x326x1 x2 2x1 x3 4x2 x30 的极线（2）已知二阶曲线外一点P求作其极线。
（写出作法，并画图）八、（ 10 分）叙述并证明德萨格定理的逆定理九、（ 10 分）求通过两直线a[1,3,1],b[1,5,1] 交点且属于二级曲线4u12u222u320 的直线十、（ 10 分）已知A, B, P,Q , R 是共线不同点，如果 ( PA, QB)1,(QR, AB)1,求 ( PR, AB)《高等几何》试题（ B）一、填空题（每题 3 分共 15 分）x/7x y11、仿射变换/4x 2 y的不变点为y42、两点决定一条直线的对偶命题为3、直线 [i ,2,1-i]上的实点为4、若交比( AB, CD ) 2 则 ( AD , BC )5、二次曲线中的配极原则二、判断题（每题 2 分共 10 分）1、不变直线上的点都是不变点（）2、在一复直线上有唯一一个实点（）3、两点列的底只要相交构成的射影对应就是透视对应（）4、射影群仿射群正交群（）5 、二阶曲线上任一点向曲线上四定点作直线，四直线的交比为常数（）三、 (7 分 )经过 A( 3,2) 和 B(6,1)的直线 AB 与直线x 3 y 6 0 相交于P，求 ( ABP)四、（ 8 分）试证：欧氏平面上的所有平移变换的集合构成一个变换群五、（ 10 分）已知直线L1 , L2, L3 , L4的方程分别为： 2x y 1 0,3x y 2 0,7 x y 0,5 x 10求证四直线共点，并求( L1 L2 , L3 L4 )六、 (10 分)利用德萨格定理证明：任意四边形各对对边中点的连线与二对角线中点的连线相交于一点七、（ 10分）求（ 1）二阶曲线x122x223x32x1x30过点 P(2,5,1) 的切线方程2（ 2）二级曲线u12u22 17u320在直线 L[1 ， 4， 1]上的切点方程八、（ 10分）叙述并证明德萨格定理定理（可用代数法）九、（ 10 分）已知二阶曲线（C）：2x124x1x26x1x3x320（1）求点P(1,2,1)关于曲线的极线（2）求直线3x1x26x30关于曲线的极点十、（ 10 分）试证：圆上任一点与圆内接正方形各顶点连线构成一个调和线束《高等几何》试题（ C）一、填空题（每题 3 分共 15 分）6、直线x y 20x/2x y1在仿射变换/x y下的像直线y37、X轴Y轴上的无穷远点坐标分别为8、过点（ 1,-i ,2）的实直线方程为9、射影变换'230 自对应元素的参数为10、二级曲线 u12u2217u320 在直线上[1,4,1]的切点方程三、判断题（每题 2 分共 10 分）1、仿射变换保持平行性不变（）2、射影对应保持交比不变，也保持单比不变（）3、线段中点与无穷远点调和分离两端点（）4、如果P点的极线过Q点，则Q点的极线也过P点（）5 、不共线五点可以确定一条二阶曲线（）三、 (7分 ) 已知OX轴上的射影变换x'2x 1，求坐标原点，无穷远点的对应点x3四、（ 8分）已知直线a,c, d 的方程分别为2x1 x2 x30, x1 x2 x3 0， x1 0且(ab, cd)2求直线 b 的方程。
3五、（ 10 分）已知同一直线上的三点A, B, C 求一射影变换使此三点顺次变为B, C , A 并判断变换的类型，六、（ 10 分）求证：两直线所成角度是相似群的不变量。
x1'x1x2七、（ 10 分）求射影变换x2'x2的不变点坐标x3'x3八、（ 10 分）叙述并证明帕斯卡定理九、（ 10 分）求通过两直线a[1,3,1],b[1,5,1] 交点且属于二级曲线4u12u222u320 的直线十、（ 10 分）试证 : 双曲型对合的任何一对对应元素P P',与其两个二重元素E,F 调和共轭即 ( PP', EF )=-1[ 参考答案 ]高等几何标准答案（ A）一、填空题：（每空 3 分共 15 分）1、单比，交比 2 、（ 1,-3,0 ） 3、 x30 4、 2' 5(' ) 12 05、 12x1 7x226 x3 0二、判断题（每题 2 分共 10 分）1、错，2、错，3、对，4、错，5、对三、解：在直线 x 2 y 10 上任取两点A(1,0), B(1,1)2分由 A(1,0)A(1,0), B(1,1)B( 1,1),(1, 1)(1,2)x' a x a y a设仿射变换为111213将点的坐标代入可解得y'a x a y a212223x'2x 2 y1y'3x 2 y37分22121四、证明：因为1120所以三点共线4分305由： t s3,2t s0,t2s5解得 t1, s2所以c i a i2b1,( i1,2,3)8分五、证明：令 x''3x2得 x2x 2 0解得 x11, x22 x由x x4即有两个自对应点4分设 k 与 k '3k2对应，有 ((1)( 2), kk ' )5 为常数 10 分k 42注：结果 有 2也对，不过顺序有别。
5六、证明：设两直线为：a : y k 1 xb 1, b : yk 2 x b 2相似变换为：x a x ' by ' ca 2b 2ybx 'ay 'd将变换代入直线a 的方程得： k 1'k 1ab同理可得 k 2 ' k 2 a b 5 分a k 1b a k 2b k 2 ' k 1'k 2 k 1即tana, btan ' '1 ''1 k2 k 1a ,b k 2 k 1即两直线的夹角是相似群的不变量10分七、解：（ 1）设（ 5， 1， 7）为 P 点坐标， 二阶曲线矩阵为23 1 A=3 3 2121所以点 P 的极线为 S P =0S P (5,1,7)231 x 1即332x 2得 x =05分21 2 1 x 3（ 2）略 八（在后边）九、解：通过直线 a[1,3,1], b[1,5, 1] 的交点的直线的线坐标为[1 k,3 5k,1 k ]2分若此直线属于二阶曲线则有4(1 k)2(35k )2 2(1 k) 2即 27k 242k11 0 解得 k1, k11 10分39 十、解：设 P Ak 1B, Q A k 2B, R Ak 3 B(PA,QB)得1 ( PQ, AB) 1,(PA, QB)由( PQ, AB) 2k1 , k2k(AB, PQ)2k21由 ( qr , ab)1,得 ( AB,QR)k21 k3k2 k3所以 ( PR, AB)( AB, PR)k1210分k3八、德萨格定理的逆定理：如果两个三点形的对应边的交点共线，则对应顶点的连线共点。