(完整版)巩固练习_解三角形的应用举例_提高
14【精品讲义】高中数学 必修五_解三角形的应用举例_知识点讲解+巩固练习(含答案)提高
解三角形的应用举例【学习目标】1. 能够利用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的问题；2. 提高运用所学知识解决实际问题的能力，并初步掌握数学建模的思想方法；3. 掌握运用正弦定理、余弦定理解决几何计算问题的方法.【要点梳理】要点一：解三角形应用题的步骤解三角形在实际中应用非常广泛，如测量、航海、几何、物理等方面都要用到解三角形的知识. 实际应用中，首先要弄清题意，画出直观示意图，将实际问题转化为解三角形的问题，再确定是哪类解三角形问题，即应用哪个定理来解决. 其解题的一般步骤是：(1) 准确理解题意，尤其要理解应用题中的有关名词和术语；明确已知和所求，理清量与量之间的关系；(2) 根据题意画出示意图，并将已知条件在图形中标出，将实际问题抽象成解三角形模型；(3) 分析与所研究的问题有关的一个或几个三角形，正确运用正弦定理和余弦定理，有顺序的求解；(4) 将三角形的解还原为实际问题，注意实际问题中的单位及近似计算要求，回答实际问题.解题时应认真分析题意，做到算法简练，算式工整，计算正确.要点二：解三角形应用题的基本思路要点三：实际问题中的一些名词、术语仰角和俯角与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角，如图所示：坡角和坡度坡面与地平面所成的角度，叫做坡角；坡面的铅直高度和水平宽度的比叫做坡度或者坡比，常用字母i表示.坡比是坡角的正切值.方位角与方向角：方位角：一般指正北方向线顺时针旋转到到目标方向线的水平角. 方位角的取值范围为0°～360°.如图，点B的方位角是0α=.135方向角：一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角(一般指锐角)，通常表达成北(南)偏东(西)多少度.如图为南偏西060）；60方向（指以正南方向为始边，向正西方向旋转0如图为北偏东030）：30方向（指从正北开始向正东方向旋转0东南方向：指经过目标的射线是正东与正南的夹角平分线.依此可类推西南方向、西北方向等；要点四：解三角形应用中的常见题型用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型有：1. 测量距离问题：这类问题的情景一般属于“测量有障碍物相隔的两点间的距离”，在测量过程中，要根据实际需要选取合适的基线长度，测量工具要有较高的精确度.2. 测量高度问题：这类问题的情景属于“测量底（顶）部不能到达的物体的高度”.测量过程中，要注意选取适量不同的测量点，使测量有较高的精确度.3. 测量角度问题：这类问题的情景属于“根据需要，对某些物体定位”.测量数据越精确，定位精度越高.【典型例题】 类型一：距离问题例1. 如图，A B 、两点都在河的对岸（不可到达），测量者在河岸边选定两点C D 、，测得40CD m =，并且在C D 、两点分别测得060ACB ∠=，060ADB ∠=，030BCD ∠=，045ADC ∠=，求河的对岸的两点A B 、间的距离.【思路点拨】这是一道关于研究两个不可到达的两点之间的距离测量问题. 题目条件告诉了边CD 的长以及以C D 、为顶点的四个角，根据三角形的内角和定理、正弦定理很容易算出AC AD BC 、、或BD ；然后选择恰当的三角形，再利用余弦定理可以计算出AB 的距离.【解析】在ADC ∆中， 030BCD ∠=，060ACB ∠=，045ADC ∠=000603090ACD ACB BCD ∠=∠+∠=+=，在Rt ADC ∆中，0402cos sin 45CD AD ADC （m ）===∠ 在BDC ∆中，060ADB ∠=，030BCD ∠=，045ADC ∠=，0006045105BDC ADB ADC ∠=∠+∠=+=，045DBC ∠=由正弦定理得：0sin 40sin30202m sin sin 45CD BCD BD DBC （）∠===∠ 在ABD ∆中，由余弦定理得：()2202cos60206m AB AD BD AD BD =+-⨯= 故A B 、间的距离为206m.【总结升华】此题虽为解三角形问题的简单应用，但关键是把未知边所处的三角形找到，在转换过程中应注意排除题目中非数学因素的干扰，将数量关系从题目准确地提炼出来.举一反三：【变式1】如图，设A B 、两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在A 的同侧，在所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离是42 m ， 45BAC =瘡，75ACB =︒¯.求A B 、两点的距离.【答案】180457560ABC ∠=︒-︒-︒=︒根据正弦定理，得sin sin AB ACACB ABC=∠∠， ∴sin 42sin 42sin 7521276(m)sin sin sin 60AC ACB ACB AB ABC ABC ∠∠︒====+∠∠︒答: A B 、两点间的距离为21276m +.【变式2】为了开凿隧道，要测量隧道上D E 、间的距离，为此在山的一侧选取适当点C ，如图，测得400m 600m 60CA CB ACB ，，==∠=︒，又测得A B 、两点到隧道口的距离80m AD =，40m BE =(A D E B 、、、在一条直线上)，计算隧道DE 的长.【答案】在△ABC 中，400m 600m 60CA CB ACB ，，==∠= ，由余弦定理得2222cos60AB AC BC AC BC =+-⋅⋅︒∴22140060024006002007529.2(m)2AB =+-⨯⨯⨯=≈ ∴409.2(m)DE AB AD BE =--≈. 答：隧道长约为409.2 m.类型二：测量高度问题【高清课堂：解三角形应用举例377493 例2】例2 某人在塔的正东沿着南偏西60︒的方向前进40米后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔的最大仰角为30︒，求塔高.【思路点拨】找出“当看到塔的最大仰角时，某人的位置”是解决本题的关键. 先画出空间图形，再将空间问题转化为平面问题，利用正、余弦定理求解..【解析】由右图所示，过B 做BE CD ⊥于点E ，由题意知在E 点测得塔的最大仰角030，在在△0040,30,135BCD CD BCD DBC 中，=∠=∠=. 由正弦定理，得sin sin CD BDDBC BCD =∠∠ ∴040sin 30202sin135BD ==在Rt BED ∆中，00001801353015BDE ∠=--=， ∴062sin1520210(31)BE BD -==⨯=-， 在Rt ABE ∆中，030,AEB ∠=∴010tan30(33)3AB BE ==-（米）. 故所求塔高为10(33)3-米. 【总结升华】 测量高度是在与地面垂直的竖直平面内构造三角形，在依条件结合正弦定理和余弦定理来解，解决测量高度的问题时，常出现仰角与俯角的问题，要注意它们的区别与联系.举一反三：【变式】在某点B 处测得建筑物AE 的顶端A 的仰角为θ，沿BE 方向前进30m ，至点C 处测得顶端A 的仰角为2θ，再继续前进103m 至D 点，测得顶端A 的仰角为4θ，求θ的大小和建筑物AE 的高.【答案】所求角15θ=，建筑物高度为15m . 类型三：方位角问题例3 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路南侧远处一山顶D 在西偏北030的方向上，行驶82km 后到达B 处，测得此山顶在西偏北075的方向上，仰角为015，求此山的高度CD .【思路点拨】欲求出CD ，只需在BCD ∆中求出BD 或BC ，而在BCD ∆中先求BC 边比较适合；或设CD x =，列方程解答.【解析】方法一：在ABC ∆中， 030CAB ∠=，000753045ACB ∠=-=，82AB =根据正弦定理：sin BC A= sin ABC ，有0sin 82sin 308sin AB CAB BC ACB ∠==，∴ 00tan tan158tan151683(km)CD CB DBC CB =∠===-. 方法二：设CD=x ，则0(23)tan tan15CD CDCB x DBC ===∠，根据正弦定理：sin BC A= sin ABC ，有0sin 82sin 308sin AB CAB BC ACB ∠==，∴(23)8x =，解得1683()x km =-，即1683(km)CD =-. 答：此山的高度为83km .【总结升华】正确地画出其空间示意图、将空间问题转化为平面问题是解题的关键. 举一反三：【变式1】两灯塔A 、B 与海洋观察站C 的距离都等于 km a ，灯塔A 在观察站C 的北偏西30︒，灯塔B 在观察站C 南偏西60︒，则A 、B 之间的距离为 .【答案】2km a如图，AC BC a ==，0000180306090ACB ∠=--=，2km AB a =.【变式2】如图所示，已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离都等于akm ，灯塔A 在观察站C 的北偏东20°，灯塔B 在观察站C 的南偏东40°，则灯塔A 与灯塔B 的距离为( )A.akmB.3akmC.2akmD.2akm【答案】B类型四：航海问题【高清课堂：解三角形的应用举例377493 例3】例4. 如图所示，在海岸A 处，发现北偏东45°方向，距A 为(31-)km 的B 处有一艘走私船.在A 处北偏西75°方向，距A 为2 km 的C 处的缉私船奉命以103km/h 的速度追截走私船.此时走私船正以10 km/h 的速度从B 处向北偏东30°方向逃窜,则缉私船沿什么方向能最快追上走私船?并求出所需要的时间.【思路点拨】仔细审题，画出示意图，即可求出CD 的方位角及由C 到D 所需航行的时间. 这里必须弄清楚三个概念：(1)方位角；(2)沿什么方向追，即按什么方位角航行；(3)最快追上，即应理解为按直线航行，且两船所用时间相等.【解析】设缉私船追上走私船需h t ，则103CD t =，10BD t =. 由余弦定理，得222cos BC AB AC AB AC BAC+-⋅⋅∠82322(31)cos(4575)=--⨯-+ 6(km)=，由正弦定理，得sin1202sin AC ABC BC ⋅∠==， ∴45ABC ∠=，而120CBD ∠=， ∴sin 1sin 2103BD CBD BCD CD t⋅∠∠===∴30BCD ∠=，30BDC ∠=. ∴6()BD BC km ==，即106t =， ∴ 6(h).t =答：缉私船向东偏北30方向，只需6h 便能追上走私船. 【总结升华】航海问题中关键是方向角的表示，最好要参照方向坐标，准确的画出图形. 举一反三：【变式1】如图A ，B 是海面上位于东西方向相距5(3＋3)海里的两个观测点，现位于A 点北偏东45°，B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60°且与B 点相距203海里的C 点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里/小时，求该救援船到达D 点需要多长时间？【答案】 由题意知()533AB ＝＋海里， 906030904545DBA DAB ＝－＝，＝－＝∠∠弿弿弿，∴180(4530)105ADB ＝－＋＝∠弿弿， 在△DAB 中，由正弦定理得sin sin DB ABDAB ADB=∠∠∴sin sin AB DABDB ADB⋅∠=∠0533sin 45+0533sin 45+3.又∠30(9060)60DBC DBA ABC ＝＋＝＋－＝∠∠弿弿，203BC ＝， 在△BCD 中，由余弦定理得2222cos 30012002103CD BD BC BD BC DBC ＝＋－＝－⋅⋅∠+⨯3×12＝900，∴30CD ＝ (海里)，则需要的时间30130t ＝=(小时). 答：救援船到达D 点需要1小时．【高清课堂：解三角形应用举例377493 变式演练3】【变式2】如图所示，海中小岛A 的周围38海里内有暗礁，某船正由北向南航行，在B 处测得小岛A 在船的南偏东30 ，航行30海里后，在C 处测得小岛A 在船的南偏东045，如果此船不改变航向，继续向南航行，有无触礁危险？【答案】船继续向南航行，有无触礁的危险，取决于A 到直线BC 的距离与38海里的大小.于是，只要先算出AC (或AB )，再算出A 到BC 所在直线的距离，将它与38海里比较即得问题的解.在ABC ∆中，30BC =，030ABC ∠=，00018045135ACB ∠=-=， ∴015A ∠=， 由正弦定理知：sin sin BC AC A B =，∴30sin15sin30AC=︒︒， ∴30sin3060cos1515(62)sin15AC ︒==︒=︒. 于是A 到BC 所在直线的距离为sin 4515(31)40.98AC ⋅︒=≈(海里). 它大于38海里，所以继续向南航行无触礁危险.【巩固练习】一、选择题1．如图，设A，B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在A所在的河岸边选定一点∠＝105°后，就可以计算出A，B两点的距离∠＝45°，CABC，测出AC的距离为50 m，ACB为()A．502mB．503mC．252mD. 252m2．如图所示，为测一树的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A，B两点之间的距离为60 m，则树的高度为()A．(15＋33) mB．(30＋153) mC．(30＋303) mD．(15＋303) m3．某海上有A，B两个小岛相距10海里，从A岛望C岛和B岛成60°角，从B岛望C岛和A岛成75°角，则B，C两岛之间的距离是()A．103海里 B. 106海里C．52海里 D.56海里4．如右图，为了测量隧道口AB的长度，给定下列四组数据，测量时应当用数据()A．a bα，，B．aαβ，，C．a bγ，，D．bαβ，，5. 有一长为10 m的斜坡，倾斜角为075，在不改变坡高和坡顶的前提下，要通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为030，则坡底要延长（）A.5mB.10mC.102mD.103m6. 某海上缉私小分队驾驶缉私艇以40 km/h的速度由A处出发，沿北偏东60°方向航行，进行海面巡逻，当行驶半小时到达B处时，发现北偏西45°方向有一艘船C，若C船位于A处北偏东30°方向上，则缉私艇B与船C的距离是()A．()562km-562km+B．()C．()1062km-+D．()1062km二、填空题7. 一艘船以20km/h的速度向正北方向航行，船在A处看见灯塔B在船的东北方向上，1h 后船在C处看见灯塔B在船的北偏东75的方向上，这时，船与灯塔的距离BC=.8. 为测量某塔AB的高度，在一幢与塔AB相距20m的楼的楼顶处测得塔顶A的仰角为45，则塔AB的高度为.30，测得塔基B的俯角为09. 江崖边有一炮台江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45和30，炮台顶部到江面高30m，而且两条船与炮台底部连线成30，则两条船相距.三、解答题10．如图所示，已知A，B两点的距离为100海里，B在A的北偏东30°处，甲船自A以50海里/小时的速度向B航行，同时乙船自B以30海里/小时的速度沿方位角150°方向航行．问航行几小时，两船之间的距离最短？11．为保障高考的公平性，高考时每个考点都要安装手机屏蔽仪，要求在考点周围1千米处不能收到手机信号，检查员抽查某市一考点，在考点正西约1.732千米有一条北偏东60°方向的公路，在此处检查员用手机接通电话，以每小时12千米的速度沿公路行驶，问最长需要多少分钟，检查员开始收不到信号，并至少持续多长时间该考点才算合格？12．一辑私艇发现在北偏东45°方向，距离12海里的海里上有一走私船正以10海里/小时的速度沿南偏东75°方向逃窜，若辑私艇的速度为14海里，辑私艇沿北偏东45α︒+的方向追去，若要在最短的时间内追上该走私船，求追及所需的时间和α角的正弦值．13. 如图，A，B是水平面上的两个点，相距800m，在A点测得山顶C的仰角为25°，BAD∠=40°，其中D是点C在水平面上的垂足，求山高CD(精确到∠=110°，又在B点测得ABD1m).14. 如图，一艘海轮从A出发，沿北偏东0105的方向航行60n mile后到达海岛B，然后从B 出发，沿北偏东030的方向航行602n mile后达到海岛C. 如果下次航行直接从A出发到达C，此船应该沿怎样的方向航行，需要航行多少距离?15. 如图所示，已知半圆的直径2AB=，点C在AB的延长线上，1BC=，点P为半圆上的一个动点，以PC为边作等边△PCD，且点D与圆心O分别在PC的两侧，求四边形OPDC面积的最大值.16. 一个人在建筑物的正西A 点，测得建筑物顶的仰角是，这个人再从A 点向南走到45点，再测得建筑物顶的仰角是β，设30，B 间的距离是a ．证明：建筑物的高是()()sin sin αβαβ+-．【答案与解析】1．答案： A解析：在△ABC 中，AC ＝50，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105° ∴∠ABC ＝30°，由正弦定理：sin sin AB ACBCA ABC=∠∠ ∴AB ＝0sin 50sin 45sin sin30AC BCA ABC ∠⨯=∠＝502m ．故选A. 2. 答案： C解析： 由正弦定理可得00060sin(4530)sin 30PB=-， 00160302sin15sin15PB ⨯==，h ＝PBsin 45°＝(30＋303) m.故选C. 3. 答案： D解析： 如图所示，在△ABC 中，A ＝60°，B ＝75°，所以C ＝45°，由正弦定理sin sin BC ABA C=，得00sin 10sin 6056sin sin 45AB A BC C ⋅=== (海里)．4. 答案： C解析： 由A 与B 不可到达，故不易测量α，β，故选C.A’5. 答案： C解析：在△ABB’中由正弦定理，得0'210sin 4521021sin 302AB BB⨯===6. 答案： D解析： 如图，由题意得∠BAC ＝30°，∠ACB ＝75°， ∴00sin 75sin30AB BC=，∴BC ＝10sin 75＝()1062km -.7. 答案：202()km ； 如图所示：20AC =km ，030CAB ∠=，000754530ABC ∠=-=，在ABC ∆中，根据正弦定理0sin 20sin 45202()sin sin30AC BAC BC ABC ⋅∠===∠km .8. 答案：20320()+m ；如图20BD =，045MCB ∠=，030MCA ∠=，则20BM BD ==，0203tan 30AM CM ==， 所以20320)AB AM MB =+=m .9. 答案：30m ； 如图所示：30AB m =，030ACB ∠=，045ADB ∠=，030CAD ∠=，则在ACD ∆中，303AC =，30AD =，根据余弦定理，222cos 30CD AD AC AD AC CAD =+-⨯⨯∠=(m).10. 解析：设航行x 小时后甲船到达C 点，乙船到达D 点，在△BCD 中，BC=(100-50x)海里，BD=30x 海里(02x ≤≤)， ∠CBD=60°，由余弦定理得：2222(10050)(30)2(10050)30cos 6049001300010000CD x x x x x x =-+-⋅-⋅⋅︒=-+∴当1300065161249004949x ===⨯(小时)时，CD 2最小，从而得CD 最小∴航行16149小时，两船之间距离最近． 11．解析： 如图所示，考点为A ，检查开始处为B ，设公路上C 、D 两点到考点的距离为1千米．在△ABC 中，AB 3，AC ＝1，∠ABC ＝30°，由正弦定理sin ∠ACB ＝0sin 30AC·AB 3∴∠ACB ＝120°(∠ACB ＝60°不合题意)， ∴∠BAC ＝30°，∴BC ＝AC ＝1， 在△ACD 中，AC ＝AD ，∠ACD ＝60°， ∴△ACD 为等边三角形，∴CD ＝1. ∵12BC×60＝5，∴在BC 上需5分钟，CD 上需5分钟．答：最长需要5分钟检查员开始收不到信号，并持续至少5分钟才算合格．12. 解析：如图所示，A 、C 分别表示辑私艇，走私船的位置，设经x 小时后在B 处追上．则AB=14x ，BC=10x ，∠ACB=120° 由222(14)12(10)240cos120x x x =+-⋅⋅︒得x=2. 故AB=28，BC=2020sin12053sin 2814α︒==即所需时间2小时，sin α为5314. 13. 解析：在△ABD 中，∠ADB=180°-110°-40°=30°， 由正弦定理得sin 800sin 401028.5()sin sin 30AB B AD m ADB ⨯==≈∠.在Rt △ACD 中，CD=ADtan25°≈480(m). 答：山高约为480m.14、解析：在ABC ∆中， 000018010530105ABC ∠=-+=， 根据余弦定理，222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⨯⨯∠ 2260(602)260602cos105︒=+-⨯⨯⨯602330(26)=+=+根据正弦定理，sin sin BC ACCAB ABC=∠∠ ， 有0602sin105sin 2sin 230(26)BC ABC CAB AC ∠∠===+，∵BC AC < ∴0105CAB ABC ∠<∠= 所以045CAB ∠= ，0010560CAB -∠=答:此船应该沿北偏东060的方向航行，需要航行30(26)+n mile 15. 解析：设∠POB=θ，四边形面积为ｙ，则在△POC 中，由余弦定理得：PC 2=OP 2+OC 2-2OP·OCcos θ=5-4cos θ∴ｙ=Ｓ△OPC +Ｓ△PCD =112sin 2θ⨯⨯+3(5-4cos θ)=2sin(θ-3π∴当θ-3π=2π即θ=56π时，ｙmax16. 证明：设建筑物的同度是h ，建筑物的底部是C ，则tan tan h hAC BC αβ==，． ABC △是直角三角形，BC 是斜边，所以222tan tan b h a αβ⎛⎫⎛⎫+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，222211tan tan a h βα⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦， 222222tan tan tan tan a h αβαβ=- 2222222sin sin sin cos cos sin a αβαβαβ=- ()()222sin sin sin sin a αβαβαβ=--． 所以，h =．αABDCβah。
八年级数学上学期《三角形》全章复习与巩固—知识讲解(提高)——含课后作业与答案
《三角形》全章复习与巩固（提高）知识讲解1.认识三角形并能用符号语言正确表示三角形，理解并会应用三角形三边之间的关系.2.理解三角形的高、中线、角平分线的概念，通过作三角形的三条高、中线、角平分线，提高学生的基本作图能力，并能运用图形解决问题．3.能够运用三角形内角和定理及三角形的外角性质进行相关的计算，证明问题.4.通过观察和实地操作知道三角形具有稳定性，知道四边形没有稳定性，了解稳定性与没有稳定性在生产、生活中的广泛应用．5.了解多边形、多边形的对角线、正多边形以及镶嵌等有关的概念；掌握多边形内角和及外角和，并能灵活运用公式解决有关问题，体验并掌握探索、归纳图形性质的推理方法，进一步培养说理和进行简单推理的能力.【知识网络】【要点梳理】要点一、三角形的有关概念和性质1.三角形三边的关系：定理：三角形任意两边之和大于第三边；三角形任意两边的之差小于第三边.要点诠释：（1）理论依据：两点之间线段最短.（2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形．当已知三角形两边长，可求第三边长的取值范围．2.三角形按“边”分类：⎧⎪⎧⎨⎨⎪⎩⎩不等边三角形三角形 底边和腰不相等的等腰三角形等腰三角形 等边三角形 3.三角形的重要线段：（1）三角形的高从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高．要点诠释：三角形的三条高所在的直线相交于一点的位置情况有三种：锐角三角形交点在三角形内；直角三角形交点在直角顶点；钝角三角形交点在三角形外.（2）三角形的中线三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线，要点诠释：一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点，叫做三角形的重心．中线把三角形分成面积相等的两个三角形.（3）三角形的角平分线三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.要点诠释：一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点，这一点叫做三角形的内心.要点二、三角形的稳定性如果三角形的三边固定，那么三角形的形状大小就完全固定了，这个性质叫做三角形的稳定性．要点诠释：(1)三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变，大小固定指三条边长不改变．(2)三角形的稳定性在生产和生活中很有用．例如，房屋的人字梁具有三角形的结构，它就坚固而稳定；在栅栏门上斜着钉一条(或两条)木板，构成一个三角形，就可以使栅栏门不变形．大桥钢架、输电线支架都采用三角形结构，也是这个道理．(3)四边形没有稳定性，也就是说，四边形的四条边长确定后，不能确定它的形状，它的各个角的大小可以改变．四边形的不稳定性也有广泛应用，如活动挂架，伸缩尺．有时我们又要克服四边形的不稳定性，如在窗框未安好之前，先在窗框上斜着钉一根木板，使它不变形．要点三、三角形的内角和与外角和1.三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．推论：1.直角三角形的两个锐角互余2.有两个角互余的三角形是直角三角形2.三角形外角性质：（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．（2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．3.三角形的外角和：三角形的外角和等于360°.要点四、多边形及有关概念1. 多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.要点诠释：多边形通常还以边数命名，多边形有n条边就叫做n边形．三角形、四边形都属于多边形，其中三角形是边数最少的多边形.2.正多边形：各个角都相等、各个边都相等的多边形叫做正多边形.如正三角形、正方形、正五边形等．要点诠释：各角相等、各边也相等是正多边形的必备条件，二者缺一不可. 如四条边都相等的四边形不一定是正方形，四个角都相等的四边形也不一定是正方形，只有满足四边都相等且四个角也都相等的四边形才是正方形.3.多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线.要点诠释：(1)从n边形一个顶点可以引(n－3)条对角线，将多边形分成(n－2)个三角形；(2)n边形共有(3)2n n-条对角线．要点五、多边形的内角和及外角和公式1.内角和公式：n边形的内角和为(n－2)·180°(n≥3，n是正整数) ．要点诠释：（1）一般把多边形问题转化为三角形问题来解决；(2)内角和定理的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和，求其边数.2.多边形外角和：n边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少无关.要点诠释：(1)外角和公式的应用：①已知外角度数，求正多边形边数；②已知正多边形边数，求外角度数.(2)多边形的边数与内角和、外角和的关系：①n边形的内角和等于(n－2)·180°(n≥3，n是正整数)，可见多边形内角和与边数n有关，每增加1条边，内角和增加180°.要点六、镶嵌的概念和特征1.定义：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面(或平面镶嵌)．这里的多边形可以形状相同，也可以形状不相同.要点诠释：（1）拼接在同一点的各个角的和恰好等于360°；相邻的多边形有公共边.(2)用正多边形实现镶嵌的条件：边长相等；顶点公用；在一个顶点处各正多边形的内角之和为360°.(3)只用一种正多边形镶嵌地面，当围绕一点拼在一起的几个正多边形的内角加在一起恰好组成一个周角360°时，就能铺成一个平面图形.事实上，只有正三角形、正方形、正六边形的地砖可以用.【典型例题】类型一、三角形的三边关系1.（2016•长沙模拟）一个三角形的三边长分别是3，2a-1，6,则整数a的值可能是( )．A．2,3 B．3,4 C．2,3，4 D．3,4，5【思路点拨】直接利用三角形三边关系，得出a的取值范围.【答案】B【解析】解：∵一个三角形的三条边长分别为3，2a-1，6,∴21 219 aa-⎧⎨-⎩＞3＜解得：2＜a＜5，则整数a的值可能是3,4，故选B.【总结升华】主要考察了三角形三边关系，正确得出a的取值范围是解题关键. 举一反三：【变式】（2014秋•孝感月考）已知a、b、c是三角形三边长，试化简：|b+c-a|+|b-c-a|+|c-a-b|﹣|a-b+c|．【答案】解：∵a、b、c是三角形三边长，∴b+c-a＞0，b-c-a＜0，c-a-b＜0，a-b+c＞0，∴|b+c-a|+|b-c-a|+|c-a-b|-|a-b+c|，=b+c-a-b+c+a-c+a+b-a+b-c=2b．2.如图，O是△ABC内一点，连接OB和OC．(1)你能说明OB+OC＜AB+AC的理由吗?(2)若AB＝5，AC＝6，BC＝7，你能写出OB+OC的取值范围吗?【答案与解析】解：(1)如图，延长BO交AC于点E，根据三角形的三边关系可以得到，在△ABE中，AB+AE＞BE；在△EOC中，OE+EC＞OC，两不等式相加，得AB+AE+OE+EC＞BE+OC．由图可知，AE+EC＝AC，BE＝OB+OE．所以AB+AC+OE＞OB+OC+OE，即OB+OC＜AB+AC．(2)因为OB+OC＞BC，所以OB+OC＞7．又因为OB+OC＜AB+AC，所以OB+OC＜11，所以7＜OB+OC＜11．【总结升华】充分利用三角形三边关系的性质进行解题．【高清课堂：与三角形有关的线段例1】类型二、三角形中的重要线段3.在△ABC中，AB＝AC，AC边上的中线BD把△ABC的周长分为12cm和15cm两部分，求三角形的各边长．【思路点拨】因为中线BD的端点D是AC边的中点，所以AD＝CD，造成两部分不等的原因是BC边与AB、AC边不等，故应分类讨论．【答案与解析】解：如图(1)，设AB＝x，AD＝CD＝12 x．(1)若AB+AD＝12，即1122x x+=，所以x＝8，即AB＝AC＝8，则CD＝4．故BC＝15-4＝11．此时AB+AC＞BC，所以三边长为8，8，11．(2)如图(2)，若AB+AD＝15，即1152x x+=，所以x＝10．即AB＝AC＝10，则CD＝5．故BC＝12-5＝7．显然此时三角形存在，所以三边长为10，10，7．综上所述此三角形的三边长分别为8，8，11或10，10，7．【总结升华】BD把△ABC的周长分为12cm和15cm两部分，哪部分是12cm，哪部分是15cm，问题中没有交代，因此，必须进行分类讨论．【高清课堂：与三角形有关的线段例5、】举一反三：【变式】有一块三角形优良品种试验田，现引进四个品种进行对比试验，需将这块土地分成面积相等的四块，请你制定出两种以上的方案供选择.【答案】解：方案1：如图（1），在BC上取D、E、F，使BD=ED=EF=FC，连接AE、AD、AF．方案2：如图(2)，分别取AB、BC、CA的中点D、E、F，连接DE、EF、DF．方案3：如图(3)，取AB中点D，连接AD，再取AD的中点E，连接BE、CE．方案4：如图(4)，在 AB取点 D，使DC＝2BD，连接AD，再取AD的三等分点E、F，连接CE、CF．类型三、与三角形有关的角4.（2015春•石家庄期末）已知△ABC中，AE平分∠BAC（1）如图1，若AD⊥BC于点D，∠B=72°，∠C=36°，求∠DAE的度数；（2）如图2，P为AE上一个动点（P不与A、E重合，PF⊥BC于点F，若∠B＞∠C，则∠EP F=是否成立，并说明理由．【思路点拨】（1）利用三角形内角和定理和已知条件直接计算即可；（2）成立，首先求出∠1的度数，进而得到∠3的度数，再根据∠EPF=180°﹣∠2﹣∠3计算即可．【答案与解析】证明：（1）如图1，∵∠B=72°，∠C=36°，∴∠A=180°﹣∠B﹣∠C=72°；又∵AE平分∠BAC，∴∠1==36°，∴∠3=∠1+∠C=72°，又∵AD⊥BC于D，∴∠2=90°，∴∠DAE=180°﹣∠2﹣∠3=18°．（2）成立．如图2，∵AE平分∠BAC，∴∠1===90°﹣，∴∠3=∠1+∠C=90°﹣+，又∵PF⊥BC于F，∴∠2=90°，∴∠EPF=180°﹣∠2﹣∠3=．【总结升华】本题考查了三角形的内角以及角平分线的性质，准确识别图形是解题的关键．举一反三：【高清课堂：与三角形有关的角练习（3）】【变式】如图，AC⊥BC,CD⊥AB,图中有对互余的角？有对相等的锐角？【答案】3,2．类型四、三角形的稳定性5. 如图是一种流行的衣帽架，它是用木条（四长四短）构成的几个连续的菱形（四条边都相等），每一个顶点处都有一个挂钩（连在轴上），不仅美观，而且实用，你知道它能收缩的原因和固定方法吗？【答案与解析】解：这种衣帽架能收缩是利用四边形的不稳定性，可以根据需要改变挂钩间的距离。
《解直角三角形》全章复习与巩固-- 巩固练习(提高)
《解直角三角形》全章复习与巩固--巩固练习（提高）【巩固练习】一、选择题1. 计算tan 60°+2sin 45°－2cos 30°的结果是( )．A ．2B ．12．如图所示，△ABC 中，AC ＝5，cos 2B =，3sin 5C =，则△ABC 的面积是( )A ．212B ．12C ．14D ．21 3．如图所示，A 、B 、C 三点在正方形网格线的交点处，若将△ACB 绕着点A 逆时针旋转得到△AC B ''， 则tan B '的值为( )A ．12 B ．13 C ．14 D ．4第2题图 第3题图4．（2016•金华）一座楼梯的示意图如图所示，BC 是铅垂线，CA 是水平线，BA 与CA 的夹角为θ．现要在楼梯上铺一条地毯，已知CA=4米，楼梯宽度1米，则地毯的面积至少需要（ ）A ．米2B ．米2C ．（4+）米2 D ．（4+4tanθ）米25．如图所示，将圆桶中的水倒入一个直径为40 cm ，高为55 cm 的圆口容器中，圆桶放置的角度与水平线的夹角为45°．要使容器中的水面与圆桶相接触，则容器中水的深度至少应为( )． A ．10 cm B ．20 cm C ．30 cm D ．35 cm6．如图所示，已知坡面的坡度1i =α为( )． A ．15° B ．20° C ．30° D ．45°第5题图 第6题图 第7题图7．如图所示，在高为2 m ，坡角为30°的楼梯上铺地毯，则地毯的长度至少应为( )．A ．4 mB ．6 m C．．(2+ 8．如图，若△ABC 和△DEF 的面积分别为S 1、S 2，则（ ）A ．S 1=S 2B ． S 1=S 2C ． S 1=S 2D ． S 1=S 2二、填空题9．如图，若AC 、BD 的延长线交于点E ，511CD AB =，则cos CEB ∠= ；tan CEB ∠= ． 10．如图，AD ⊥CD ，AB=10，BC=20，∠A=∠C=30°，则AD 的长为 ；CD 的长为 .A B第9题图 第10题图 第11题图11．如图所示，已知直线1l ∥2l ∥3l ∥4l ，相邻两条平行直线间的距离都是1，如果正方形ABCD 的四个顶点分别在四条直线上，则sin α=________．12．如果方程2430x x -+=的两个根分别是Rt △ABC 的两条边，△ABC 最小的角为A ，那么tanA 的值 为__ ______．13.（2016•西宁）如图，为保护门源百里油菜花海，由“芬芳浴”游客中心A 处修建通往百米观景长廊BC 的两条栈道AB ，AC ．若∠B=56°，∠C=45°，则游客中心A 到观景长廊BC 的距离AD 的长约为 米．（sin56°≈0.8，tan56°≈1.5）14. 在△ABC 中，AB ＝8，∠ABC ＝30°，AC ＝5，则BC ＝____ ____．15. 如图，直径为10的⊙A 经过点C (0,5)和点O (0,0)，B 是y 轴右侧⊙A 优弧上一点,则∠OBC 的余弦值为 .第15题图第16题图16. 如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠DBC=45°，翻折梯形ABCD，使点B重合于点D，折痕分别交边AB、BC于点F、E，若AD=2，BC=8.则(1)BE的长为 . (2)∠CDE的正切值为 .三、解答题17．如图，三沙市一艘海监船某天在黄岩岛P附近海域由南向北巡航，某一时刻航行到A处，测得该岛在北偏东30°方向，海监船以20海里/时的速度继续航行，2小时后到达B处，测得该岛在北偏东75°方向，求此时海监船与黄岩岛P的距离BP的长．（参考数据：≈1.414，结果精确到0.1）18. 如图所示，要在木里县某林场东西方向的两地之间修一条公路MN，已知C点周围200米范围内为原始森林保护区，在MN上的点A处测得C在A的北偏东45°方向上，从A向东走600米到达B处，测得C 在点B的北偏西60°方向上．(1)MN是否穿过原始森林保护区?为什么?( 1.732)(2)若修路工程顺利进行，要使修路工程比原计划提前5天完成，需将原定的工作效率提高25％，则原计划完成这项工程需要多少天?19．如图所示，圆O的直径为5，在圆O上位于直径AB的异侧有定点C和动点P，已知BC:CA＝4:3，点P 在半圆弧AB上运动(不与A、B重合)，过C作CP的垂线CD交PB的延长线于D点．(1)求证：AC·CD＝PC·BC；(2)当点P运动到AB弧中点时，求CD的长；(3)当点P运动到什么位置时，△PCD的面积最大？并求这个最大面积S．20. 如图所示，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，AC＝8，D，E分别是边AB，AC的中点，点P从点D出发沿DE方向运动，过点P作PQ⊥BC于Q，过点Q作QR∥BA交AC于R，当点Q与点C重合时，点P 停止运动．设BQ＝x，QR＝y．(1)求点D到BC的距离DH的长；(2)求y关于x的函数关系式(不要求写出自变量的取值范围)；(3)是否存在点P，使△PQR为等腰三角形?若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由．【答案与解析】一、选择题1.【答案】C；【解析】tan 60°+2sin 45°－2cos 302222⨯-⨯==．2.【答案】A；【解析】过A作AD⊥BC于D，因为cos B=，所以∠B＝45°，所以AD＝BD，因为3 sin5ADCAC==，所以3535AD =⨯=，∴ BD ＝AD ＝3，所以4DC ==，所以BC ＝BD+DC ＝7， 112173222ABCS BC AD ==⨯⨯=△.3.【答案】B ；【解析】旋转后的三角形与原三角形全等，得∠B ′＝∠B ，然后将∠B 放在以BC 为斜边，直角边在网格线上的直角三角形中，∠B 的对边为1，邻边为3，tan B ′＝tanB ＝13． 4.【答案】D【解析】在Rt △ABC 中，BC=AC•tanθ=4tanθ（米），∴AC+BC=4+4tanθ（米），∴地毯的面积至少需要1×（4+4tanθ）=4+4tanθ（米2）；故选：D ． 5.【答案】D ；【解析】如图，△ABD 是等腰直角三角形，过A 点作AC ⊥BD 于C ，则∠ABC ＝45°，AC ＝BC ＝140202⨯=，则所求深度为55－20＝35(cm)．6.【答案】C ；【解析】tanBC AC α===，∴ 30α=°． 7．【答案】D ；【解析】地毯长度等于两直角边长之和，高为2 m ，宽为2tan 30=°，则地毯的总长至少为(2+m ．8．【答案】C ；【解析】过A 点作AG⊥BC 于G ，过D 点作DH⊥EF 于H ．在Rt△ABG 中，AG=AB•sin40°=5sin40°， ∠DEH=180°﹣140°=40°，在Rt△DHE 中，DH=DE•sin40°=8sin40°，S 1=8×5sin40°÷2=20sin40°， S 2=5×8sin40°÷2=20sin40°． 则S 1=S 2． 故选：C ．二、填空题9．【答案】cos ∠CEB=511；tan ∠CEB=5【解析】如图，连结BC ，则∠ACB=90°，易证△ECD ∽△EBA ，∴CE CD 5=EB AB 11=，cos ∠CEB=5.11CE =EB tan ∠CEB=5BC =CE第9题答案图 第10题答案图 10．【答案】5+10；10+5.【解析】过B 点分别作BE ⊥AD ，BF ⊥CD ，垂足分别为E 、F ，则得BF=ED ，BE=DF. ∵在Rt △AEB 中，∠A=30°，AB=10， ∴AE=AB ·cos30°=10×=5，BE=AB ·sin30°=10×=5.又∵在Rt △BFC 中，∠C=30°，BC=20， ∴BF=BC=×20=10，CF=BC ·cos30°=20×=10.∴AD=AE+ED=5+10， CD=CF+FD=10+5.11． 【解析】设AB 边与直线2l 的交点为E ，∵ 1l ∥2l ∥3l ∥4l ，且相邻两条平行直线间的距离都是1，则E 为AB 的中点，在Rt △AED 中，∠ADE ＝α，AD ＝2AE ．设AE ＝k ，则AD ＝2k ，DE =．∴ sin sin5AE ADE ED α=∠===12．【答案】13或4； 【解析】由2430x x -+=得x 1＝1，x 2＝3．①当1，3为直角边时，则tan A ＝13；②当3=．∴ tanA ==． 13．【答案】60；【解析】解：∵∠B=56°，∠C=45°，∠ADB=∠ADC=90°，BC=BD+CD=100米，∴BD=，CD=，∴+=100，解得，AD≈60.14．【答案】3或3；【解析】因△ABC 的形状不是唯一的，当△ABC 是锐角三角形时，如图所示，作AH ⊥BC 于H ，在Rt △ABH 中．AH ＝AB ·sin ∠ABC ＝8×sin30°＝4，BH =在Rt △AHC 中，HC 3==．∴ BC ＝3．当△ABC 是钝角三角形时，如图所示，同上可求得BC ＝3．15．【答案】2；16．【答案】（1）BE=5；（2）tan ∠CDE=【解析】（1）由题意得△BFE ≌△DFE ，∴DE=BE. 又∵在△BDE 中，∠DBE=45°， ∴∠BDE=∠DBE=45°，即DE ⊥BC. ∵在等腰梯形ABCD 中，AD=2，BC=8， ∴EC=(BC-AD)=3，BE=5.(2)由(1)得DE=BE=5，在△DEC 中，∠DEC=90°，DE=5，EC=3， ∴tan ∠CDE==.三、解答题17.【答案与解析】解：过B 作BD ⊥AP 于D ，由已知条件得：AB=20×2=40，∠P=75°﹣30°=45°， 在Rt △ABD 中，∵AB=40，∠A=30， ∴BD=AB=20，在R t △BDP 中，∵∠P=45°， ∴PB=BD=20≈28.3（海里）．答：此时海监船与黄岩岛P 的距离BP 的长约为28.3海里．18.【答案与解析】(1)过C 点作CH ⊥AB 于H ．设CH=x ． 由已知有∠EAC ＝45°，∠FBC ＝60°，则∠CAH ＝45°，∠CBA ＝30°． 在Rt △ACH 中，AH ＝CH ＝x ，在Rt △HBC 中，tan ∠HBC ＝CHHB．∴tan30CHHB===°，∵AH+HB＝AB，∴600x=，解得x=≈220(米)＞200(米)．∴ MN不会穿过森林保护区．(2)设原计划完成这项工程需要y天，则实际完成工程需要(y-5)天．根据题意得：11(125%)5y y=+⨯-，解得：y＝25．经检验知：y＝25是原方程的根．答：原计划完成这项工程需要25天．19.【答案与解析】(1)∵AB为直径，∴∠ACB＝90°．又∵ PC⊥CD，∴∠PCD＝90°．而∠CAB＝∠CPD，∴△ABC∽△PDC．∴AC BCCP CD=．∴AC·CD＝PC·BC．(2)当点P运动到AB弧中点时，过点B作BE⊥PC于点E．∵P是AB中点，∴∠PCB＝45°，CE＝BE=．又∠CAB＝∠CPB，∴tan∠CPB＝tan∠CAB＝43．∴3tan422BEPE BCCPB⎛⎫===⎪⎪∠⎝⎭．从而PC＝PE+EC．由(1)得CD＝43PC=(3)当点P在AB上运动时，12PCDS PC CD=△．由(1)可知，CD＝43PC．∴223PCDS PC=△．故PC最大时，PCDS△取得最大值；而PC为直径时最大，∴PCDS△的最大；∴PCDS△的最大值2250533S=⨯=．20.【答案与解析】(1)∵∠A ＝90°，AB ＝6，AC ＝8，∴BC ＝10．∵点D 为AB 中点，∴BD ＝12AB ＝3．∵∠DHB ＝∠A ＝90°，∠B ＝∠B ． ∴△BHD ∽△BAC ，∴DH BD AC BC =，∴3128105BD DH AC BC ==⨯=． (2)∵QR ∥AB ，∴△RQC ∽△ABC ， ∴RQ QC AB BC =，∴10610y x-=， 即y 关于x 的函数关系式为：365y x =-+． (3)存在，分三种情况：①当PQ ＝PR 时，过点P 作PM ⊥QR 于M ，如图所示，则QM ＝RM ．∵∠1+∠2＝90°．∠C+∠2＝90°，∴∠1＝∠C ．∴84cos 1cos 105C ∠===，∴45QM QP =，∴1425QR DH =， ∴1364251255x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭=，∴185x =． ②当PQ ＝RQ 时，如图28—46所示，则有312655x -+=，∴x ＝6．③当PR ＝QR 时，则R 为PQ 中垂线上的点，如图所示．于是点R 为EC 的中点，∴11224CR CE AC ===． ∵tan QR BA C CR CA ==，∴366528x -+=，∴152x =．18 5或6或152时，△PQR为等腰三角形．综上所述，当x为。
数学高三复习解三角形的实际应用举例专项训练(带答案)
数学高三复习解三角形的实际应用举例专项训练（带答案）由不在同不时线上的三条线段首尾依次衔接所组成的封锁图形叫做三角形，下面是查字典数学网整理的解三角形的实践运用举例专项训练，希望对考生温习有协助。
一、测量中的距离效果1.有一长为10 m的斜坡,倾斜角为60,在不改动坡高和坡顶的前提下,经过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30,那么坡底要延伸的长度(单位:m)是()A.5B.5C.10D.10答案:D解析:如图,在Rt△ABC中,AC=10,ACB=60.AB=5,BC=5,在Rt△A BD中,ADB=30,BD=15.CD=BD-BC=10.2.(2021福建宁德五校联考,14)一艘船以15 km/h的速度向东飞行,船在A处看到灯塔B在北偏东60行驶4 h后,船抵达C处,看到灯塔B在北偏东15处,这时船与灯塔的距离为km.答案:30解析:依据题意画出图形,如下图,可得B=75-30=45,在△ABC中,依据正弦定理得,,即,BC=30 km,即此时船与灯塔的距离为30 km.3.(2021福建厦门高二期末,15)如图,某观测站C在A城的南偏西20,一条蜿蜒公路AB,其中B在A城南偏东40,B与C相距31千米.有一人从B动身沿公路向A城走去,走了20千米后抵达D处,此时C,D之间的距离为21千米,那么A,C之间的距离是千米.答案:24解析:由得CD=21,BC=31,BD=20,在△BCD中,由余弦定理得cosBDC==-.设ADC=,那么cos =,sin =.在△ACD中,由正弦定理,得AC==24.二、测量中的高度与角度效果4.如图,D,C,B三点在空中同不时线上,DC=a,从C,D两点测得A点的仰角区分是,(),那么A点距离空中的高度AB等于() A. B.C. D.答案:A解析:在△ACD中,DAC=-,DC=a,ADC=,由正弦定理得AC=,在Rt△ACB中,AB=ACsin =.5.运动会开幕式上举行升旗仪式,在坡度15的看台上,同一列上的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角区分为60和30,第一排和最后一排的距离为10 m(如下图),那么旗杆的高A.10 mB.30 mC.10 mD.10 m答案:B解析:如下图,由题意知AEC=45ACE=180-60-15=105,EAC=180-45-105=30,由正弦定理知,AC==20(m),在Rt△ABC中,AB=ACsinACB=30(m).旗杆的高度为30 m.6.当甲船位于A处时得知,在其正西方向相距20 n mile的B 处有一艘渔船遇险等候营救,甲船立刻前往营救,同时把音讯告知在甲船的南偏西30,相距10 n mile C处的乙船,乙船立刻朝北偏东角的方向沿直线前往B处救援,那么sin 的值等于()A. B. C. D.答案:D解析:依据标题条件可作图如图:在△ABC中,AB=20,AC=10,CAB=120,由余弦定理有BC2=AB2+AC2-2ABACcosCAB=202+102-22021cos 120=700, BC=10.再由正弦定理得,sinACB=无触礁的风险.8.如图,在一个特定时段内,以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域.点E正北55海里处有一个雷达观测站A.某时辰测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A北偏东45且与点A相距40海里的位置B,经过40分钟又测得该船已行驶到点A北偏东45+且与点A相距10海里的位置C.(1)求该船的行驶速度(单位:海里/小时);(2)假定该船不改动飞行方向继续行驶,判别它能否会进入警戒水域,并说明理由.解:(1)由于AB=40,AC=10,BAC=,sin =,090,所以cos =.由余弦定理得BC==10,所以该船的行驶速度为v==15(海里/小时).(2)设直线AE与BC的延伸线相交于点Q.在△ABC中,由余弦定理得cosABC=所以sinABC=.在△ABQ中,由正弦定理得AQ==40.由于AE=5540=AQ,所以点Q位于点A和点E之间,且QE=AE-AQ=15.过点E作EPBC于点P,那么EP为点E到直线BC的距离.在Rt△QPE中,PE=QEsinPQE=QEsinAQC=QEsin(45ABC)=15=37.故该船会进入警戒水域.(建议用时:30分钟)1.如图,两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等,灯塔A 在观察站C的北偏东40,灯塔B在观察站C的南偏东60,那么灯塔A在灯塔B的()的位置.A.北偏东10B.北偏西10C.南偏东10D.南偏西10答案:B解析:由图可知,ACB=180-(40+60)=80.又AC=BC,CBA=(180-80)=50.∵CE∥BD,CBD=BCE=60,ABD=60-50=10.灯塔A在灯塔B的北偏西10的位置.2.如下图,为测一树的高度,在空中上选取A,B两点(点A,B 与树根部在同不时线上),从A,B两点区分测得树尖的仰角为30,45,且A,B两点之间的距离为60 m,那么树的高度为()A.(30+30) mB.(30+15) mC.(15+30) mD.(15+3) m答案:A解析:设树高为h,那么由题意得h-h=60,h==30(+1)=(30+30)(m).3.一艘客船上午9:30在A处,测得灯塔S在它的北偏东30,之后它以32 n mile/h的速度继续沿正南方向匀速飞行,上午10:00抵达B处,此时测得船与灯塔S相距8 n mile,那么灯塔S在B处的()A.北偏东75B.东偏南75C.北偏东75或东偏南75D.以上方位都不对答案:C解析:依据题意画出表示图,如图,由题意可知AB=32=16,BS=8,A=30.在△ABS中,由正弦定理得,sin S=,S=45或135,B=105或15,即灯塔S在B处的北偏东75或东偏南75.4.一货轮飞行到M处,测得灯塔S在货轮的北偏东15方向,与灯塔S相距20 n mile,随后货轮按北偏西30的方向飞行3 h后,又测得灯塔在货轮的西南方向,那么货轮的速度为()A.) n mile/hB.) n mile/hC.) n mile/hD.) n mile/h答案:B解析:如图,设货轮的时速为v,那么在△AMS中,AMS=45SAM=105ASM=30,SM=20,AM=3v.由正弦定理得,即v==)(n mile/h).解三角形的实践运用举例专项训练分享到这里，更多内容请关注高考数学试题栏目。
2025年高考数学一轮复习-三角函数、解三角形(基础巩固卷)【含答案】
三角函数、解三角形(基础巩固卷)题号123456789101112答案一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知＝12，且θ()A.0B.12C.32D.12.黄金分割数5－12的近似值为0.618，这一数值也可表示为a＝2sin18°，若a2＋b＝4，则a2b1－cos72°＝()A.1 2B.2C.5＋12D.43.△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足a＝23，B＝45°，C ＝75°，则b＝()A.2B.6C.22D.324.我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即在△ABC 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则△ABC的面积S＝根据此公式，若a cos B＋(b－2c)cos A＝0，且b2＋c2－a2＝4，则△ABC的面积为()A.6B.23C.3D.325.为得到函数f(x)＝sin2x＋cos2x的图象，只需将函数g(x)＝sin2x－cos2x的图象()A.向左平移π4个单位长度B.向左平移π2个单位长度C.向右平移π4个单位长度D.向右平移π2个单位长度6.已知αα＝－17，则sin2α－cos2α1＋cos2α的值是()A.－32B.－1 C.1 D.327.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a sin A＋2c sin C＝2b sin C cos A，则角A的最大值为()A.π6B.π4C.π3D.2π38.故宫是世界上现存规模最大、保存最为完整的木质结构古建筑群.故宫宫殿房檐设计恰好使北房在冬至前后阳光满屋，夏至前后屋檐遮阴.已知北京地区夏至前后正午太阳高度角约为75°，冬至前后正午太阳高度角约为30°，图1是顶部近似为正四棱锥、底部近似为正四棱柱的宫殿，图2是其示意图，则其出檐AB的长度(单位：米)约为()A.3B.4C.6(3－1)D.3(3＋1)二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知函数f(x)＝sin x2，则以下结论恒成立的是()A.f(－x)＝－f(x)B.f(－x)＝f(x)C.f(2π－x)＝f(x)D.f(π＋x)＝f(π－x)10.已知函数f(x)＝cos2x1＋sin x，则()A.f(x＋π)＝f(－x)B.f(x)的最大值为4－22C.f(x)是奇函数D.f(x)的最小值为－1211.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，B＝π4，BC边上的高等于a3，则以下四个结论正确的有()A.cos C＝255B.sin∠BAC＝31010C.tan∠BAC＝3D.b2－c2＝a2312.已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜π)的部分图象如图所示，关于此函数的描述下列选项正确的是()A.ω＝2B.φ＝π3C.若x 1＋x 2＝π3，则f (x 1)＝f (x 2)D.若x 1＋x 2＝π3，则f (x 1)＋f (x 2)＝0三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知α是第三象限角，且cos ＝35，则tan α＝________，sin （π－α）cos （π＋α）＝________.14.某设计师为天文馆设计科普宣传图片，其中有一款设计图如图所示.QRT 是一个以点O 为圆心、QT 长为直径的半圆，QT ＝23dm.QST 的圆心为P ，PQ ＝PT ＝2dm.QRT 与QST 所围的灰色区域QRTSQ 即为某天所见的月亮形状，则该月亮形状的面积为________dm 2.15.对任意两实数a ，b ，定义运算“*”：a *b a －2b ，a ≥b ，b －2a ，a ＜b ，则函数f (x )＝sin x *cosx 的值域为________.16.[2022·江西红色七校联考]在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，△ABC 的面积为S ，若4S ＝b 2＋c 2－a 2，b ＝6，2cos 2B ＋cos 2B ＝0，则S ＝________.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)下面给出有关△ABC 的四个论断：①S △ABC ＝32；②b 2＋ac ＝a 2＋c 2；③a c ＝2或12；④b ＝3.以其中的三个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若________，则________(用序号表示)；并给出证明过程.18.(12分)如图，在平面直角坐标系xOy 中，角φ的终边与单位圆的交点为A ，圆C ：x 2＋y 2＝3与x 轴正半轴的交点是P 0.若圆C 上一动点从P 0开始，以πrad/s 的角速度逆时针做圆周运动，t s 后到达点P .设f (t )＝|AP |2.(1)若φ＝π3且t ∈(0，2)，求函数f (t )的单调递增区间；(2)若2，π3＜φ＜5π6，求19.(12分)已知a ，b ，c 分别是△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边，3c sin A ＝4b sin C ，再从下面条件①与②中任选一个作为已知条件，完成以下问题.(1)证明：△ABC 为等腰三角形；(2)若△ABC 的面积为25，点D 在线段AB 上，且BD ＝2DA ，求CD 的长.条件①：cos C ＝23；条件②：cos A ＝19.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答给分.20.(12分)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ＞0，ω＞0，|φ|.(1)求f (x )的最小正周期及解析式；(2)设g(x)＝f(x)－cos2x，求函数g(x)在区间0，π2上的单调性.21.(12分)已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，从以下三个条件中选取一个解答该题.①2b－ca＝cos Ccos A；②4cos(B＋C)＋2cos2A＝－3；③a3cos A＝bsin（A＋C）.(1)求角A的大小；(2)若a＝14，b＋c＝42，求△ABC的面积.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.22.(12分)已知f(x)＝x＋12sinx－34.(1)求f(x)的单调递增区间；(2)若2对任意的x∈π4，π3恒成立，求实数a的取值范围.参考答案1.D [由θ，得－π6＜θ－π6＜π3，又＝12，所以θ－π6＝π6，解得θ＝π3，故cos 0＝1，故选D.]2.B[把a ＝2sin 18°代入a 2＋b ＝4，得b ＝4－a 2＝4－4sin 218°＝4cos 218°，a 2b 1－cos 72°＝4sin 218°·4cos 218°1－cos 72°4sin 236°1－（1－2sin 236°）＝2.故选B.]3.C[由题意A ＝180°－45°－75°＝60°，由正弦定理b sin B ＝a sin A ，得b ＝a sin Bsin A＝23×sin 45°sin 60°＝22，故选C.]4.C[因为a cos B ＋(b －2c )cos A ＝0，所以由余弦定理可得a ×a 2＋c 2－b 22ac＋(b －2c )×b 2＋c 2－a 22bc ＝0，即b 2＋c 2－a 2＝bc ，又b 2＋c 2－a 2＝4，所以bc ＝4，由△ABC的面积公式得S 1216－4＝3，故选C.]5.A [f (x )＝2sinx g (x )＝2sin x g (x )的图象→f (x )的图象，即g (x )的图象向左平移π4个单位长度.故选A.]6.B [由α＝－17，可得tan 2α＋11－tan 2α＝－17，解得tan 2α＝－43，又由2tan α1－tan 2α＝－43，解得tan α＝－12，或tan α＝2(舍去)，则sin 2α－cos 2α1＋cos 2α＝2sin αcos α－cos 2α2cos 2α＝tan α－12＝－1.故选B.]7.A[由正弦定理可得a 2＋2c 2＝2bc cos A ，根据余弦定理得b 2＋c 2－2bc cos A ＋2c 2＝2bc cos A ，整理得4bc cos A ＝b 2＋3c 2≥23bc ，当且仅当b ＝3c 时等号成立，所以cos A ≥32，又A ∈(0，π)，所以0＜A ≤π6，故选A.]8.C[如图，根据题意得∠ACB ＝15°，∠ACD ＝105°，∠ADC ＝30°，CD ＝24，所以∠CAD ＝45°，所以在△ACD 中，由正弦定理得CD sin ∠CAD ＝ACsin ∠ADC，即24sin 45°＝ACsin 30°，解得AC ＝122，所以在Rt △ACB 中，sin ∠ACB ＝ABAC ，即sin 15°＝AB 122，解得AB ＝122sin 15°＝122sin(60°－45°)＝122×22－12×122×6－24＝32(6－2)＝63－6.故选C.]9.ACD [对于A ，B ，f (－x )＝sin x2＝－f (x )，所以A 正确，B 错误；对于C ，f (2π－x )＝sin 2π－x 2＝sin x2＝f (x )，所以C 正确；对于D ，因为f (π＋x )＝sin π＋x 2＝cos x2，f (π－x )＝sin π－x 2＝＝cos x2，所以f (π＋x )＝f (π－x )，所以D 正确，故选ACD.]10.AB [由题意，函数f (x )＝cos 2x 1＋sin x ，可得f (x ＋π)＝cos[2（x ＋π）]1＋sin （x ＋π）＝cos 2x1－sin x ，f (－x )＝cos （－2x ）1＋sin （－x ）＝cos 2x1－sin x，所以A 正确；f(x)＝cos2x1＋sin x＝1－2sin2x 1＋sin x＝4＋2sin x4－22，当且仅当sin x＝22－1时等号成立，故B正确；由f(－x)＝cos（－2x）1＋sin（－x）＝cos2x1－sin x，得f(－x)≠－f(x)，所以C不正确；1＋＝－121－32＝－2－3＜－12，所以D不正确.故选AB.]11.ABD[∵sin B＝a3c＝a3c＝22，∴c＝23a.由余弦定理知，cos B＝a2＋c2－b22ac＝＝22，解得b＝53a，b2－c2＝13a2，选项D正确；b＝53a，由正弦定理得sin B＝53sin∠BAC＝22，则sin∠BAC＝31010，选项B 正确；易知c＝105b，B＝π4，则C＜π4⇒∠BAC＞π2，tan∠BAC＝－3，选项C错误；sin C＝105sin B＝105×22＝55⇒cos C＝255，选项A正确.故选ABD.]12.AC[对于A，由题图知，f(x)的最小正周期T＝25π12－π，所以ω＝2πT ＝2，故A正确；对于B，由A知f(x)＝2sin(2x＋φ)，－π12，得2＋φ＝2kπ(k∈Z)，结合|φ|＜π解得φ＝π6，故B错误；对于C 、D ，由B 知f (x )＝x令2x ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π2＋π6(k ∈Z )，所以直线x ＝π6是函数f (x )图象的一条对称轴，由x 1＋x 2＝π3，知x 1，x 2关于直线x ＝π6对称，所以f (x 1)＝f (x 2)，故C 正确，D 错误.综上所述，正确的结论为A 、C.]13.34－45[因为＝35，所以－sin α＝35，所以sin α＝－35.又因为α是第三象限角，所以cos α＝－1－sin 2α＝－45，所以tan α＝sin αcos α＝34，sin （π－α）cos （π＋α）＝－sin αcos α－sin α＝cos α＝－45.]14.3＋π6[连接PO ，可得PO ⊥QT ，因为sin ∠QPO ＝QO PQ ＝32，所以∠QPO ＝π3，∠QPT ＝2π3，所以月牙的面积为S ＝12×π×(3)222×2π3－12×23×2.故答案为3＋π6.]15.[0，22][由题知a *b ＝2|a －b |，则f (x )＝sin x *cos x ＝2|sin x －cos x |＝22|∈[0，22].]16.3＋32[在△ABC 中，由余弦定理得，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc，因为4S ＝b 2＋c 2－a 2，S ＝12bc sin A ，所以cos A ＝4S 2bc ＝4×12bc sin A 2bc＝sin A ，所以tan A＝1.又AA ＝π4由2cos 2B ＋cos 2B ＝0得2cos 2B ＋2cos 2B －1＝0，即cos 2B ＝14，又BB ＝π3，由正弦定理a sin A ＝b sin B 得，a ＝b sin A sin B ＝6×2232＝2.因为sin C ＝sin[π－(A ＋B )]＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝22×12＋22×32＝6＋24，所以S ＝12ab sin C ＝3＋32.]17.解方案一若①②③，则④.由②得b 2＝a 2＋c 2－ac ，得cos B ＝12，又B ∈(0°，180°)，即B ＝60°.由①S △ABC ＝32，得12ac sin B ＝32，又B ＝60°，故ac ＝2.由③a c ＝2或12，不妨取a c＝2，与ac ＝2联立，得a ＝2，c ＝1.故b 2＝a 2＋c 2－ac ＝4＋1－2＝3，得b ＝3，④成立.方案二若①②④，则③.由②得b 2＝a 2＋c 2－ac ，得cos B ＝12，又B ∈(0°，180°)，即B ＝60°.由①S △ABC ＝32，得12ac sin B ＝32，又B ＝60°，故ac ＝2.由④b ＝3，且b 2＝a 2＋c 2－ac ，可得a 2＋c 2－ac ＝3，从而(a ＋c )2＝9，a ＋c ＝3，与ac ＝2联立，＝2，＝1＝1，＝2，故a c ＝2或12，③成立.方案三若①③④，则②.(错误选择，零分)由①S △ABC ＝32，得12ac sin B ＝32，由③a c ＝2或12，不妨取a c ＝2，得c 2sin B ＝32，即sin B ＝32c2.由④b ＝3，且b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ，a c＝2，可得5c 2－4c 2cos B ＝3，从而cos B ＝5c 2－34c 2.又sin 2B ＋cos 2B ＝1，得3c 4－10c 2＋7＝0，得c ＝1或73，当c ＝1时，得a ＝2，由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B 及b ＝3，得cos B ＝12，又B ∈(0°，180°).即B ＝60°，即b 2＝a 2＋c 2－ac 成立，②成立；当c ＝73时，得a ＝273，由余弦定理b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B 及b ＝3，得cos B ＝1314，故B ＝60°不成立，即b 2＝a 2＋c 2－ac 不成立，②不成立.方案四若②③④，则①.由②得b 2＝a 2＋c 2－ac ，得cos B ＝12，又B ∈(0°，180°)，即B ＝60°.由④b ＝3，且b 2＝a 2＋c 2－ac ，得a 2＋c 2－ac ＝3.由③a c ＝2或12，不妨取a c＝2，代入a 2＋c 2－ac ＝3中可得，3c 2＝3，得c ＝1，a ＝2，从而得12ac sin B ＝32，即S △ABC ＝32，①成立.18.解由已知条件和三角函数的定义得，A (cos φ，sin φ)，P (3cos πt ，3sin πt )，∴f (t )＝|AP |2＝(cos φ－3cos πt )2＋(sin φ－3sin πt )2＝4－23cos(πt －φ).(1)若φ＝π3，则f (t )＝4－23cos t 令2k π≤πt －π3≤π＋2k π(k ∈Z )，得13＋2k ≤t ≤43＋2k (k ∈Z ).又t ∈(0，2)，∴函数f (t )的单调递增区间是13，43.(2)由2，及π3＜φ＜5π6，得＝33，－π2＜π3－φ＜0，∴＝－63，∴4－23cos＝4＋23sin 4－2 2.19.解选择条件①cos C ＝23.(1)证明由3c sin A ＝4b sin C 和正弦定理得3a ＝4b ，由cos C ＝23和余弦定理得23＝a 2＋b 2－c 22ab ＝25b 2－9c 224b 2，∴b ＝c ，∴△ABC 为等腰三角形.(2)由(1)得3a ＝4b ，b ＝c ，∵cos ∠ACB ＝23，且∠ACB 为△ABC 一内角，∴sin ∠ACB ＝53，∴S △ABC ＝12ab sin ∠ACB ＝259c 2＝25，∴c ＝b ＝3，a ＝4.∵BD ＝2DA ，∴BD ＝2，DA ＝1，∴CD 2＝a 2＋BD 2－2a ·BD cos B ＝42＋22－2×4×2×23＝283，∴CD ＝2213.选择条件②cos A ＝19.(1)证明由3c sin A ＝4b sin C 和正弦定理得3a ＝4b ，由cos A ＝19和余弦定理得19＝b 2＋c 2－a 22bc ＝9c 2－7b 218bc ，∴b ＝c 或b ＝－97c (舍去)，∴△ABC 为等腰三角形.(2)由(1)得3a ＝4b ，b ＝c ，∵cos A ＝19，且A ∈(0，π).∴sin A ＝459，∴S △ABC ＝12bc sin A ＝259b 2＝25，∴c ＝b ＝3，a ＝4.∵BD ＝2DA ，∴BD ＝2，DA ＝1，∴CD 2＝b 2＋AD 2－2b ·AD cos A ＝283，∴CD ＝2213.20.解(1)由图可得A ＝1，T 2＝2π3－π6＝π2，则T ＝π，ω＝2，当x ＝π6时，f (x )＝1，可得2×π6＋φ＝π2＋2k π(k ∈Z )，而|φ|＜π2，于是有φ＝π6，所以f (x )的解析式为f (x )＝x π.(2)g (x )＝f (x )－cos 2x ＝x cos 2x ＝sin 2x cos π6＋cos 2x sin π6－cos 2x ＝32sin 2x －12cos 2x ＝x 由0≤x ≤π2，得－π6≤2x －π6≤5π6，当－π6≤2x －π6≤π2有0≤x ≤π3，g (x )单调递增，当π2＜2x －π6≤5π6有π3＜x ≤π2，g (x )单调递减，所以g (x )在0，π3单调递增，在，π2单调递减.21.解若选①，(1)根据正弦定理知，2b －c a ＝2sin B －sin C sin A＝cos C cos A ，即2sin B ·cosA ＝cos C ·sin A ＋sin C ·cos A ，即2sinB ·cos A ＝sin(A ＋C )，因为A ＋C ＝π－B ，所以2sin B ·cos A ＝sin B ，又B ∈(0，π)，故sin B ≠0，解得cos A ＝12.又A ∈(0，π)，所以A ＝π3.(2)因为a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A＝(b ＋c )2－2bc －2bc cos A ，a ＝14，b ＋c ＝42，A ＝π3，所以(14)2＝(42)2－2bc －2bc ×12，得bc ＝6，所以S △ABC ＝12bc ·sin A ＝12×6×sin π3＝332.若选②，(1)由题意可得4cos(B ＋C )＋2(2cos 2A －1)＝－3，又cos(B ＋C )＝－cos A ，所以－4cos A ＋2(2cos 2A －1)＝－3，所以4cos 2A －4cos A ＋1＝0，解得cos A ＝12，又A ∈(0，π)，所以A ＝π3.(2)因为a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A＝(b ＋c )2－2bc －2bc cos A ，a ＝14，b ＋c ＝42，A ＝π3，所以(14)2＝(42)2－2bc －2bc ×12，得bc ＝6，所以S △ABC ＝12bc ·sin A ＝12×6×sin π3＝332.若选③，(1)由正弦定理及a 3cos A ＝b sin （A ＋C ），得sin A 3cos A ＝sin B sin （A ＋C ），又sin(A ＋C )＝sin(π－B )＝sin B ，所以sin A 3cos A ＝sin B sin B ，得tan A ＝ 3.又A ∈(0，π)，所以A ＝π3.(2)因为a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A＝(b ＋c )2－2bc －2bc cos A ，a ＝14，b ＋c ＝42，A ＝π3，所以(14)2＝(42)2－2bc －2bc ×12，得bc ＝6，所以S △ABC ＝12bc ·sin A ＝12×6×sin π3＝332.22.解(1)化简得f (x )＝cosx ＋32cos2x ＋32cos 2－34＝14sin 2x ＋32×1＋cos 2x 2＋14sin 2x ＋34cos 2x －34＝12sin 2x ＋32cos 2x ＝x 令2k π－π2≤2x ＋π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，解得k π－5π12≤x ≤k π＋π12，k ∈Z ，所以单调递增区间为－512π＋k π，π12＋k π，k ∈Z .(2)由(1)可得a sin x －cos x ≥2，即a ≥2＋cos x sin x，对任意的x ∈π4，π3恒成立，只需要amax 即可，2＋cos x sin x＝2sin x 2cos x 22sin x 2cos x 2令t＝sin x2cos x2＝tanx2，因为x∈π4，π3，则x2∈π8，π6，所以t＝tan x2∈2－1，33，所以2＋cos xsin x＝3＋t22t＝32t＋t2，由对勾函数性质可得，当t∈2－1，33时，y＝32t＋t2为减函数，所以当t＝2－1max＝22＋1，所以实数a的取值范围是[22＋1，＋∞).。
巩固练习_解三角形的应用举例_提高
【巩固练习】 一、选择题1．如图，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧，在A 所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ， ACB ∠＝45°，CAB ∠＝105°后，就可以计算出A ，B 两点的距离为( )A ．mB ．mC ．mD.2．如图所示，为测一树的高度，在地面上选取A ，B 两点，从A ，B 两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A ，B 两点之间的距离为60 m ，则树的高度为( )A ．(15＋) mB ．(30＋) mC ．(30＋) mD ．(15＋3．某海上有A ，B 两个小岛相距10海里，从A 岛望C 岛和B 岛成60°角，从B 岛望C 岛和A 岛成75°角，则B ，C 两岛之间的距离是( )A ．海里 B.海里C ． D.4．如右图，为了测量隧道口AB 的长度，给定下列四组数据，测量时应当用数据( )A ．a b α，，B ．a αβ，，C ．a b γ，，D ．b αβ，，5. 有一长为10 m 的斜坡，倾斜角为075，在不改变坡高和坡顶的前提下，要通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为030，则坡底要延长（ ）A.5mB.10mC. D.6. 某海上缉私小分队驾驶缉私艇以40 km/h 的速度由A 处出发，沿北偏东60°方向航行，进行海面巡逻，当行驶半小时到达B 处时，发现北偏西45°方向有一艘船C ，若C 船位于A 处北偏东30°方向上，则缉私艇B 与船C 的距离是( )A ．5kmB ．5kmC ． 10kmD ．10km二、填空题7. 一艘船以20km/h 的速度向正北方向航行，船在A 处看见灯塔B 在船的东北方向上，1h 后船在C 处看见灯塔B 在船的北偏东75的方向上，这时，船与灯塔的距离BC = .8. 为测量某塔AB 的高度，在一幢与塔AB 相距20m 的楼的楼顶处测得塔顶A 的仰角为030，测得塔基B 的俯角为045，则塔AB 的高度为 .9. 江崖边有一炮台江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45和30，炮台顶部到江面高30m ，而且两条船与炮台底部连线成30，则两条船相距 .三、解答题10．如图所示，已知A ，B 两点的距离为100海里，B 在A 的北偏东30°处，甲船自A 以50海里/小时的速度向B 航行，同时乙船自B 以30海里/小时的速度沿方位角150°方向航行．问航行几小时，两船之间的距离最短？11．为保障高考的公平性，高考时每个考点都要安装手机屏蔽仪，要求在考点周围1千米处不能收到手机信号，检查员抽查某市一考点，在考点正西约1.732千米有一条北偏东60°方向的公路，在此处检查员用手机接通电话，以每小时12千米的速度沿公路行驶，问最长需要多少分钟，检查员开始收不到信号，并至少持续多长时间该考点才算合格？12．一辑私艇发现在北偏东45°方向，距离12海里的海里上有一走私船正以10海里/小时的速度沿南偏东75°方向逃窜，若辑私艇的速度为14海里，辑私艇沿北偏东45α︒+ 的方向追去，若要在最短的时间内追上该走私船，求追及所需的时间和α角的正弦值．13. 如图，A ，B 是水平面上的两个点，相距800m ，在A 点测得山顶C 的仰角为25°，BAD ∠=110°，又在B 点测得ABD ∠=40°，其中D 是点C 在水平面上的垂足，求山高CD (精确到1m).14. 如图，一艘海轮从A 出发，沿北偏东0105的方向航行60n mile 后到达海岛B ，然后从B 出发，沿北偏东030的方向航行n mile 后达到海岛C . 如果下次航行直接从A 出发到达C ，此船应该沿怎样的方向航行，需要航行多少距离?15. 如图所示，已知半圆的直径2AB =，点C 在AB 的延长线上，1BC =，点P 为半圆上的一个动点，以PC 为边作等边△PCD ，且点D 与圆心O 分别在PC 的两侧，求四边形OPDC 面积的最大值.16. 一个人在建筑物的正西A 点，测得建筑物顶的仰角是，这个人再从A 点向南走到45点，再测得建筑物顶的仰角是β，设30，B 间的距离是a ．【答案与解析】1．答案： A解析：在△ABC 中，AC ＝50，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105° ∴∠ABC ＝30°，由正弦定理：sin sin AB ACBCA ABC=∠∠∴AB ＝0sin 50sin 45sin sin30AC BCA ABC ∠⨯=∠＝．故选A. 2. 答案： C解析： 由正弦定理可得0060sin(4530)sin 30PB=-，00160302sin15sin15PB ⨯==，h ＝PBsin 45°＝(30＋) m. 故选C. 3. 答案： D解析： 如图所示，在△ABC 中，A ＝60°，B ＝75°，所以C ＝45°， 由正弦定理sin sin BC AB A C =，得0sin 10sin 60sin sin 45AB A BC C ⋅===(海里)．4. 答案： C解析： 由A 与B 不可到达，故不易测量α，β，故选C.5. 答案： C解析：在△ABB’中由正弦定理，得0'010sin 4521sin 302AB BB ===6. 答案： D解析： 如图，由题意得∠BAC ＝30°，∠ACB ＝75°， ∴00sin 75sin30AB BC=， ∴BC ＝10sin 75＝10km .7.答案：)km ； 如图所示：20AC =km ，030CAB ∠=，000754530ABC ∠=-=，在ABC ∆中，根据正弦定理0sin 20sin 45)sin sin30AC BAC BC ABC ⋅∠===∠km .8.答案：20)+m ； 如图20BD =，045MCB ∠=，030MCA ∠=，则 20BM BD ==，0tan 30AM CM ==，所以20)AB AM MB =+=m . 9. 答案：30m ； 如图所示：30AB m =，030ACB ∠=，045ADB ∠=，030CAD ∠=，则在ACD ∆中，AC =30AD =，根据余弦定理，30CD =(m).AB ’B10. 解析：设航行x 小时后甲船到达C 点，乙船到达D 点，在△BCD 中，BC=(100-50x)海里，BD=30x 海里(02x ≤≤)， ∠CBD=60°，由余弦定理得：∴当1300065161249004949x ===⨯(小时)时，CD 2最小，从而得CD 最小∴航行16149小时，两船之间距离最近． 11．解析： 如图所示，考点为A ，检查开始处为B ，设公路上C 、D 两点到考点的距离为1千米．在△ABC 中，AB ≈1.732，AC ＝1，∠ABC ＝30°，由正弦定理sin ∠ACB ＝0sin30AC·AB∴∠ACB ＝120°(∠ACB ＝60°不合题意)， ∴∠BAC ＝30°，∴BC ＝AC ＝1， 在△ACD 中，AC ＝AD ，∠ACD ＝60°， ∴△ACD 为等边三角形，∴CD ＝1. ∵12BC×60＝5，∴在BC 上需5分钟，CD 上需5分钟． 答：最长需要5分钟检查员开始收不到信号，并持续至少5分钟才算合格．12. 解析：如图所示，A 、C 分别表示辑私艇，走私船的位置，设经x 小时后在B 处追上．则AB=14x ，BC=10x ，∠ACB=120° 由222(14)12(10)240cos120x x x =+-⋅⋅︒得x=2. 故AB=28，BC=20即所需时间2小时，sin α. 13. 解析：在△ABD 中，∠ADB=180°-110°-40°=30°，由正弦定理得sin 800sin 401028.5()sin sin30AB B AD m ADB ⨯==≈∠.在Rt △ACD 中，CD=ADtan25°≈480(m). 答：山高约为480m.14、解析：在ABC ∆中， 000018010530105ABC ∠=-+=，根据余弦定理，AC 根据正弦定理，sin sin BC ACCAB ABC=∠∠ ，有sin sin BC ABC CAB AC ∠∠===∵BC AC < ∴0105CAB ABC ∠<∠= 所以045CAB ∠= ，0010560CAB -∠=答:此船应该沿北偏东060的方向航行，需要航行n mile 15. 解析：设∠POB=θ，四边形面积为ｙ，则在△POC 中，由余弦定理得：PC 2=OP 2+OC 2-2OP·OCcos θ=5-4cos θ∴ｙ=Ｓ△OPC +Ｓ△PCD =112sin 2θ⨯⨯θ)=2sin(θ-3π∴当θ-3π=2π即θ=56π时，ｙmax .16. 证明：设建筑物的同度是h ，建筑物的底部是C ， 则tan tan h hAC BC αβ==，． ABC △是直角三角形，BC 是斜边，所以222tan tan b h a αβ⎛⎫⎛⎫+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 222211tan tan a h βα⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦， ()()222sin sin sin sin a αβαβαβ=--． 所以，h =．。
新教材：《解三角形应用举例》能力提升训练
A． 40 3 米
B． 20 3 米
C．40 米
D．20 米
9．D【解析】 Rt ABC 中,设 AB x ,则由 ACB 45 可知 AC x ,在 Rt△ABD 中,
AD x 20 3 1 ,ADB 30 ,所以
x
x 20 3 1
tan 30,
3,
x 20 3 1
2ac
a
即 2bc b2 c2 a2 2ac a2 c2 b2 即 a2 b2 c a b ，即 a b c a b 0，因为三角
形中，两边之和大于第三边，所以 a b 0 ，即 a b ，故 ABC 是等腰三角形.
16．海上一艘轮船以 60 nmile / h 的速度向正东方向航行，在 A 处测得小岛 C 在北偏西 30 的方向上，小
BD 上，则山高 AB 等于（ ）
A．100 米
B． 50 3 米
C． 50 3 1 米 D． 50 2 米
2．C【解析】设 AB h ， ABC 中，ACB 45 ， BC h ， ADB 中， tan ADB h 3 ， h 100 3
解得： h 50 3 1 米.故选 C.
AB 30 40 20n, BAD 30 , DAP 10 , CBP 70 PBA 40 易得 60
PBA 90 30 90 70 80 ,P 80 由正弦定理得
AB AP AP AB sin 80 22.7 n mile
sin 60 sin 80
sin 60
6．D【解析】由题意可知： DAC 30, DBC 45, ABC 120 .在 RtDCA中，
tan DAC CD AC 3h .在 RtDBC 中， tan DBC CD BC h.在 BCA 中，由余弦
巩固练习_解三角形应用举例_提高
【巩固练习】一、选择题1．在ABC ∆中，已知=4a ，6b =，C =120°，则sin A ＝( )A B C D2．设a ，b ，c 为ABC ∆的三条边长，且关于x 的方程22()10a bc x +++=有两个相等的实数根，则A 的大小是( )A ． 120°B ．90°C ．60°D ．30°3．ABC ∆的三边分别为a ，b ，c ，且a ＝1，B ＝45°，2ABC S =△，则ABC ∆外接圆的直径为( )A ．B ．5C ．D ．4．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a 、b ，c ．若∠C ＝120°，c =，则( )A ．b >cB ．b <cC ．b =cD ．a 与b 的大小关系不能确定5．已知ABC ∆中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，且a ＝4，b +c ＝5，tan tan tan B C B C +=，则ABC ∆的面积为( )A B ． C D ．34 6．某观察站C 与两灯塔A 、B 的距离分别为300米和500米，测得灯塔A 在观察站C 北偏东30°处，灯塔B 在观察站C 南偏东30°处，则两灯塔A 、B 间的距离为 ( )A ．400米B ．500米C ．800米D ．700米7．已知ABC ∆中，2222sin()sin()c b C B c b C B ++=--，那么ABC ∆的形状是( ) A ．等腰三角形 B ．等腰直角三角形C ．等边三角形D ．直角三角形8．在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边长分别为a 、b ，c ．已知8b ＝5c ，C ＝2B ，则cos C ＝( )A ．725B ．725-C ．725±D ．2425 二、填空题9． 在ABC ∆中，已知a =1cos 3C =，ABC S =△b ＝________．10．在ABC ∆中，已知sin A :sin B ，22c b =，则三内角A ，B ，C 的度数依次是________．11．要测量对岸A ，B 的C D 、两点，并测得∠ACB ＝75°，∠BCD ＝45°，∠ADC ＝30°，∠ADB ＝45°，则A 、B 之间的距离为________．12. 下面是一道选择题的两种解法，两种解法看似都对，可结果并不一致，问题出在哪儿？【题】在ABC ∆中，a ＝x ，b ＝2，B ＝45，若ABC ∆有两解，则x 的取值范围是（ ）A.()2,+∞B.（0，2）C.(2,D.)2【解法1】ABC ∆有两解，sin a B b a <<，sin 2x x <<, 即2x << 故选C.【解法2】,sin sin abA B = sin sin 452sin .24a Bx A b ===ABC ∆有两解，sin a B b a <<， 22,4x ⨯<< 即0<x <2, 故选B.你认为 是正确的（填“解法1”或“解法2”）.三、解答题13．ABC ∆的内角A ，B ，C 所对的边长分别为a 、b ，c ，已知cos()cos 12A C B a c -+＝，＝，求C ．14. 某港口O 要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口O 北偏西30°且与该港口相距20海里的A 处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶．假设该小艇沿直线方向以v 海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t 小时与轮船相遇．若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？15. 设ABC ∆是锐角三角形，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，并且22sin sin sin sin 33A B B B ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ππ． (1)求角A 的值；(2)若12ABAC =，a =b ，c （其中b <c )．【答案与解析】1．【答案】 A【解析】2222cos 76c a b ab C =+-=，c =或c =-（舍去），又sin sin c a C A=，4sin A =，∴ sin A = 2．【答案】C【解析】 ∵ △＝4(b 2+C 2)-4(a 2+bc)＝0，∴ b 2+c 2-a 2＝bc ，∴ 2cosA ＝1，∴ A ＝60°．3．【答案】C【解析】 ∵ 1s i n 22ABC S ac B ==△，∴ c = 由余弦定理，得2222cos 25b a c ac B =+-=，所以b ＝5或b ＝-5(舍去)．由正弦定理，得2sin b R B ==为△ABC 外接圆的半径)，故选C ． 4．【答案】A【解析】由余弦定理得2222cos c a b ab C =+-，又∠C ＝120°，c =，∴ 2222a a b a b =++，∴ 222a b a b b =+>，∴ a b >，故选A ．5．【答案】C【解析】∵ t a n a n 33tB BC +=，tan tan tan()1tan tan B C B C B C++=-，∴ t a n ()3B C += B+C ＝120°，A ＝60°． ∵ 2222c o s a b c b A =+-，而5b c +=， ∴ 22252b c bc +=-，∴ 16＝25-2bc-2bc cos60°＝25-3bc ，∴ bc ＝3．∴ 1s i n 2ABC S bc A ==△． 6．【答案】D【解析】由题意知∠ACB ＝120°，AC ＝300米，BC ＝500米，在△ABC 中，cos AB BC ACB =∠=＝700(米)．故选D ．7．【答案】D【解析】 由已知条件及正弦定理得2222sin sin sin()sin sin sin()C B C B C B C B ++=-- sin cos cos sin sin cos cos sin C B C B C B C B+=-， ∴ 3223s i n c o s s i n c o s s i n s i n s i n c o s c o s s i n C B C C B C B B C B +-- 3223sin cos sin cos sin sin sin cos cos sin C B C C B B C B C B =-+-，∴ sin2C ＝sin2B ．又由题设可知，B≠C ，．∴ 2C ＝π－2B ，∴ 2B C π+=．∴ △ABC 为直角三角形．8．【答案】A【解析】由正弦定理得sin sin b c B C =，将8b ＝5c 及C ＝2B 代入得85sin sin 2b b B B=， 化简得815sin 2sin cos B B B=，则4cos 5B =． 所以2247cos cos 22cos 121525C B B ⎛⎫==-=⨯-= ⎪⎝⎭，故选A ． 9．【答案】【解析】sin 3C ==1sin 2ABC S ba C =△， ∴2sin ABC S b a C==△ 10．【答案】 45°，30°，105°【解析】由已知条件可得a =，又∵ 2222c o s a b c b A =+-， ∴ 22222c o s b b c b c A =+-，又22c b =， ∴c o s 2A =，A ＝45°，1sin 2B =，B ＝30°，∴C ＝105°． 11．【解析】 如下图所示，在△ACD 中，∠ACD ＝120°．∠CAD ＝∠ADC ＝30°，∴ AC ＝CD．在△BCD 中，∠BCD ＝45°，∠BDC ＝75°，∠CBD ＝60°，∴2BC == △ABC 中，由余弦定理，得2222cos75AB=+-⎝⎭°325=+．∴AB=．∴A、B．12. 【答案】解法1【解析】已知a，b和B，用正弦定理求A时出现两解得情况是a sin B<b<a，而不是b sin A<a<b.13．【解析】由B＝π－(A+C)，得cos B＝-cos(A+C)．于是cos(A-C)+cos B＝cos(A-C)-cos(A+C)＝2sin A sin C，由已知得sinA sin C＝12．①又由a＝2c及正弦定理得sin A＝2sin C．②由①、②得21sin4C=，于是1sin2C=-(舍去)或1sin2C=．又a＝2c，所以6Cπ=．14. 【解析】解法一：设相遇时小艇航行的距离为S海里，则3020cos(90S t=-°400==．故当13t=时，minS=此时13v==即小艇以330海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．解法二：若相遇时小艇的航行距离最小，又轮船沿正东方向匀速行驶，则小艇航行方向为正北方向．设小艇与轮船在C处相遇．在Rt△OAC中，20cos3010OC==AC ＝20 sin30°＝10．又AC ＝30t ，OC ＝vt ．此时，轮船航行时间313010==t ． 33031310==v ． 即，小艇以330海里/小时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小．15．【解析 】(1)因为2211sin sin sin sin 2222A B B B B B ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭ 222313cos sin sin 444B B B =-+=，所以sin A =．又因为△ABC 为锐角三角形，所以3A π=． (2)由12ABAC =可得cos 12cb A =． 由(1)知3A π=，所以cb ＝24． ②由余弦定理知2222cos a c b cb A =+-，将a =2252c b +=， ③③+②×2，得2()100c b +=，所以c+b ＝10或c+b ＝-10(舍去)．因此，c ，b 是一元二次方程210240t t -+=的两个根．解此方程并由c ＞b 知c ＝6，b ＝4．。
解三角形 巩固练习(含解析)
解三角形 巩固练习一、选择题1.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若60B =︒，1a =，2b =，则sin A =（ ）B.14C.4D.122.△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c，且tanC cos cos c B A =+，若c =4a =，则b 的值为（ ）A. 6B. 2C. 53.材料一：已知三角形三边长分别为a 、b 、c，则三角形的面积为S =，其中2a b c p ++=．这个公式被称为海伦-秦九韶公式材料二：阿波罗尼奥斯（Apollonius ）在《圆锥曲线论》中提出椭圆定义：我们把平面内与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数（大于12F F ）的点的轨迹叫做椭圆．根据材料一或材料二解答：已知△ABC 中，4BC =，6AB AC +=，则△ABC 面积的最大值为（ ）B. 3C. D. 64.在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若()(sin sin )(sin sin ),1,2a b A B c C B b c +-=+==，则△ABC 的面积为（ ）A.12C. 15.已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离都等于5km ，灯塔A 在观察站C 的北偏东20°，灯塔B 在观察站C 的南偏东40°，则灯塔A 与灯塔B 的距离为（ ）A.B. kmC. 5 kmD. 10 km6.已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，△ABC 的外接圆的面积为3π，且222cos cos cos 1sin sin A B C A C -+=+，则△ABC 的最大边长为（ ）A. 3B. 4C. 5D. 67.△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若2sin sin cos 2a A B b A a +=，则ba =( )A 1D. 28.在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，其面积()22213S a c b =+-，则tan B 的值为（ ）A.43B. 1C.32D. 29.在△ABC 中，角A 、B 、C 对边分别为a 、b 、c ，若23b =，cos 3sin 20B B +-=，且sin 2sin C A =，则△ABC 的周长是（ ）A. 1223+B. 63C. 43D. 623+10.在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c 成等比数列，且22+=+a ac c ab ，则C =( ) A.3π B.6π C.23π D.56π 二、填空题11.在△ABC 中，若3B π=，3AC =，则2AB BC +的最大值为__________．12.在△ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若tan tan 1,3cos A C b c A ⋅==，则cos C __________．13.如图所示，位于东海某岛的雷达观测站A ，发现其北偏东45°，与观测站A 距离202海里的B 处有一货船正匀速直线行驶，半小时后，又测得该货船位于观测站A 东偏北(045)θθ<<的C 处，且4cos 5θ=，已知A 、C 两处的距离为10海里，则该货船的船速为海里／小时___________．14. △ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．若3sin A =，2226b c a +=+，则△ABC 的面积为______．15.在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若2b =4c =，且cos 3cos a B b A =，则△ABC的面积为______.三、解答题16.在一带一路战略引领下，某企业打算从生产基地A ，将货物经过公路运输到仓储点D ，然后再由列车运输到目的地点C （如图），已知50AB km =，60ABC ∠=︒，1025BC km =，记BDA θ∠=.（1）试用θ表示AD 与CD ；（2）设从A 到D 汽车的速度为50km /h ，从D 到C 火车的速度为100km /h ，求由A 经D 到C 所用的最短时间.17.△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，已知(2)sin (2)sin 2sin a b A b a B c C +++=． （1）求C 的大小； （2）若3c =ABC 周长的最大值．18.△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c .已知3cos )cos a C c A =．（1）求b a； （2）求cos A 的最小值．19.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知2cos (cos cos )C a B b A c +=. （1）求角C ；（2）若7c =33ABC S ∆=，求△ABC 的周长.试卷答案1.C2.A 值．【详解】解：∵tan cos cos c C B A =， ∴由正弦定理可得：)()sin tan sin cos sin cos C C A B B A A B C =+=+=，∵sin 0C ≠，∴可得tan C = ∵()0,C π∈， ∴3C π=，∵c =4a =，∴由余弦定理2222cos c a b ab C =+-，可得212816242b b =+-⨯⨯⨯，可得24120b b --=， ∴解得6b =，（负值舍去）． 故选：A ． 3.C【详解】由材料二可得点A 的轨迹为椭圆，其焦距24c =，长轴26a =，短轴2b = 当点A 运动到椭圆短轴的顶点时，可得ABC 的面积取得最大值，∴max 142S =⋅= 故选：C. 4.B【详解】根据正弦定理知()(sin sin )(sin sin )a b A B c C B +-=+化为为()()()a b a b c c b +-=+，即222a b c bc =++，故2221cos 22b c a A bc +-==-，故23A π=，则sin 2A =．因为1,2b c ==，ABC 的面积1sin 22S bc A ==． 故选:B 5.B【详解】如图所示，5,120AC BC ACB ==∠=︒,2222cos120=75AB AC AB AC AB =+-⋅⋅︒，53AB km =，选B. 6.A【详解】因为222cos cos cos 1sin sin A B C A C -+=+，所以222sin sin sin sin sin A C B A C +-=-，由正弦定理得222a cb ac +-=-，所以2221cos 22a cb B ac +-==-，120B =︒，所以b 边最大，设△ABC 外接圆半径为R ，则23R ππ=，3R =， 由2sin bR B=得2sin 233b R B ==︒=． 故选：A ． 7.D【详解】由正弦定理得22sin sin sin cos 2sin A B B A A +=， 所以22sin (sin cos )2sin B A A A ⋅+=，即sin 2sin B A =，所以sin 2sin b B a A==. 故选：D. 8.A【详解】由1sin 2S ac B =，222cos 2a c b B ac+-=，由()22213S a c b =+-，可得12sin cos 23ac B ac B =，整理得4sin cos 3B B =， 因此，4tan 3B =. 故选：A.【详解】cos 2sin 26B B B π⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭，sin 16B π⎛⎫∴+= ⎪⎝⎭，0B π<<，7666B πππ∴<+<，则62B ππ+=，3B π∴=，sin 2sin C A =，2c a ∴=，由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-，即2312a =，2a ∴=，24c a ==，因此，△ABC 的周长是6a b c ++=+故选：D. 10.A【详解】解：a 、b 、c 成等比数列，所以2b ac =， 所以222a b c ab +=+，由余弦定理可知222cos 122a b c C ab +-==，又0C π<<，所以3C π=.故选A ． 11.【详解】设22sin sin 3AB BC A θθπθ====⎛⎫- ⎪⎝⎭22sin ,3AB πθ⎛⎫∴=- ⎪⎝⎭2sin BC θ=()222sin 4sin 3AB BC πθθθϕ⎛⎫∴+=-+=+ ⎪⎝⎭，最大值为12.3【详解】sin sin tan tan 1cos cos A CA C A C⋅==∴cos cos sin sin cos()cos 0A C A C A C B -=+=-=又B 为ABC ∆的内角.∴2B π=，即ABC ∆为直角三角形，则222b a c =+①由余弦定理可知，2222223333cos 322b c a b c a b c A c bc b+-+-===整理的222330b c a +-=②①②联立解得a =，b =.由余弦定理可知，222222cos23a b c C ab +-===.13.由已知，03sin ,45,5BAC θθ=∠=-所以，0cos cos(45cos BAC sin θθθ∠=-+=））， 由余弦定理得，2222cos(45BC AB AC AB AC θ=+-⋅⋅-）=800+100-210340⨯=,故BC =该货船的船速为/小时．【详解】因为sin A =，所以1cos 2A =±.由题得22212cos 6,cos 0,2662b c a bc A A bc bc -+==∴>⨯=∴=，.所以△ABC 的面积为162⨯=.故答案为：215.2【详解】由余弦定理得222222322a c b b c a a b ac bc+-+-⋅=⋅，即()221623216a a+-=+-，解得a =，∴2222cos 22224b c a A bc +-===⨯， ∴22sin 1cos 2A A =-=， 故112sin 242222ABC S bc A ∆==⨯⨯⨯=. 故答案为：216.（1）253sin AD θ=，253cos 1000sin CD θθ=-（2）10.75h 【详解】（1）在ABD ∆中，由正弦定理得sin 60sin AD AB θ=253AD ∴=， 50sin(120)sin BD θθ=︒-，253cos 25BD θ∴= 253cos 253cos 1025(251000CD θθ∴=-+=-（2）设333(2cos )()1010501002sin 4sin 4sin AD CD t θθθθθθ-=+=+-=+2312cos ()4sin t θθθ-'∴=⋅， 令()0t θ'=，得1cos 2θ= 因为2(0,)3πθ∈，3πθ∴= 当(0,)3π∈θ时，()0t θ'<，函数()t θ在0,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减当2(,)33ππθ∈时，()0t θ'>，函数()t θ在2(,)33ππθ∈上单调递增所以当3πθ=时，所用的最短时间为10.cos 7)3()103354sin t h πππ=-=+17.（1）23C π=；（2）2． 【详解】解：（1）ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，(2)sin (2)sin 2sin a b A b a B c C +++=. ∴由已知，得(2)(2)2222a b c a b b a c R R R+⋅++⋅=⋅， 即222a b c ab +-=-，2221cos 22a b c C ab +-∴==-，由0C π<<，23C π∴=. （2）3c =，sin sin a bA B∴==2sin a A ∴=，2sin b B =.设ABC ∆的周长为l ，则l a b c =++2sin 2sin A B =+2sin 2sin 3A A π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭2sin 2sincos 2cossin 33A A A ππ=+-sin A A =++2sin 3A π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭03A π<<，2sin 3A π⎛⎫∴<+⎪⎝⎭2≤+ 故ABC ∆周长的最大值为2. 18.（12.【详解】（1）在△ABC 中，由正弦定理，得sin sin sin a b cA B C==，从而由cos )cos a C c A =，可得sin cos )sin cos A C C A =，sin cos cos sin A A C A C =+sin()A A C =+，又因为πA B C ++=，所以sin B A =，所以ba=（2）由（1）不妨设b ==11c <<，在△ABC 中，由余弦定理，得222cos 2b c a A bc+-=，所以22222cos ()3A c c===+，当2c c =即c =cos A ． 19.试题解析：（1）由已知可得2cos (sin cos sin cos )sin C A B B A C +=12cos sin()sin cos 23C A B C C C π∴+=⇒=⇒=（2）11sin 622ABC S ab C ab ab ∆=⇒=⇒= 又2222cos a b ab C c +-=2213a b ∴+=，2()255a b a b ∴+=⇒+=ABC ∆∴的周长为5+。
巩固练习_解三角形应用举例_基础
则船的航行速度 。
故答案为 。
8.【答案】 ；
【解析】
过A点作AD垂直于CB的延长线，垂足为D，
则Rt△ACD中，∠C＝30°，AD＝46m
∴ ．
又∵Rt△ABD中，∠ABD＝67°，可得
∴BC＝CD－BD＝79.58－19.5＝60.08≈60m
故答案为：60m
9.【答案】150．
【解析】△ABC中，∵∠BAC＝45°，∠ABC＝90°，BC＝100，
∴AC＝ ＝100 ．
△AMC中，∵∠MAC＝75°，∠MCA＝60°，
∴∠AMC＝45°，由正弦定理可得 ，
即 ，解得AM＝100 ．
Rt△AMN中，MN＝AM•sin∠MAN＝100 ×sin60°＝150(m)，
故答案为：150．
10.【解析】设航行x小时后甲船到达C点，乙船到达D点，在△BCD中，BC=(100-50x)海里，BD=30x海里( )，∠CBD=60°，由余弦定理得：
12．一辑私艇发现在北偏东45°方向，距离12海里的海里上有一走私船正以10海里/小时的速度沿南偏东75°方向逃窜，若辑私艇的速度为14海里，辑私艇沿北偏东 的方向追去，若要在最短的时间内追上该走私船，求追及所需的时间和 角的正弦值．
13.（2016武汉校级模拟）为了应对日益严重的气候问题，某气象仪器科研单位研究出一种新的“弹射型”气象仪器，这种仪器可以弹射到空中进行气象观测。如图所示，A，B，C三地位于同一水平面上，这种仪器在C地进行弹射实验，观测点A，B两地相距100米，∠BAC=60°在A地听到弹射声音的时间比B地晚 秒。在A地测得该仪器至最高点H的仰角为30°。
5．【答案】A
【解析】 在△ABC中，AC＝50，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°
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【巩固练习】 一、选择题1．如图，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧，在A 所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ， ACB ∠＝45°，CAB ∠＝105°后，就可以计算出A ，B 两点的距离为( )A ．502 mB ．503 mC ．252 m D.252m 2．如图所示，为测一树的高度，在地面上选取A ，B 两点，从A ，B 两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且A ，B 两点之间的距离为60 m ，则树的高度为( )A ．(15＋33) mB ．(30＋153) mC ．(30＋303) mD ．(15＋303) m3．某海上有A ，B 两个小岛相距10海里，从A 岛望C 岛和B 岛成60°角，从B 岛望C 岛和A 岛成75°角，则B ，C 两岛之间的距离是( )A ．103海里 B.106海里 C ．52海里 D.56海里4．如右图，为了测量隧道口AB 的长度，给定下列四组数据，测量时应当用数据( )A ．a b α，，B ．a αβ，，C ．a b γ，，D ．b αβ，，5. 有一长为10 m 的斜坡，倾斜角为075，在不改变坡高和坡顶的前提下，要通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为030，则坡底要延长（ ）A.5mB.10mC.102mD.103m6. 某海上缉私小分队驾驶缉私艇以40 km/h 的速度由A 处出发，沿北偏东60°方向航行，进行海面巡逻，当行驶半小时到达B 处时，发现北偏西45°方向有一艘船C ，若C 船位于A 处北偏东30°方向上，则缉私艇B 与船C 的距离是( )A ．()562km +B ．()562km - C ． ()1062km +D ．()1062km -二、填空题7. 一艘船以20km/h 的速度向正北方向航行，船在A 处看见灯塔B 在船的东北方向上，1h 后船在C 处看见灯塔B 在船的北偏东75o 的方向上，这时，船与灯塔的距离BC = .8. 为测量某塔AB 的高度，在一幢与塔AB 相距20m 的楼的楼顶处测得塔顶A 的仰角为030，测得塔基B 的俯角为045，则塔AB 的高度为 .9. 江崖边有一炮台江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45o 和30o ，炮台顶部到江面高30m ，而且两条船与炮台底部连线成30o ，则两条船相距 .三、解答题10．如图所示，已知A ，B 两点的距离为100海里，B 在A 的北偏东30°处，甲船自A 以50海里/小时的速度向B 航行，同时乙船自B 以30海里/小时的速度沿方位角150°方向航行．问航行几小时，两船之间的距离最短？11．为保障高考的公平性，高考时每个考点都要安装手机屏蔽仪，要求在考点周围1千米处不能收到手机信号，检查员抽查某市一考点，在考点正西约1.732千米有一条北偏东60°方向的公路，在此处检查员用手机接通电话，以每小时12千米的速度沿公路行驶，问最长需要多少分钟，检查员开始收不到信号，并至少持续多长时间该考点才算合格？12．一辑私艇发现在北偏东45°方向，距离12海里的海里上有一走私船正以10海里/小时的速度沿南偏东75°方向逃窜，若辑私艇的速度为14海里，辑私艇沿北偏东45α︒+ 的方向追去，若要在最短的时间内追上该走私船，求追及所需的时间和α角的正弦值．13. 如图，A ，B 是水平面上的两个点，相距800m ，在A 点测得山顶C 的仰角为25°，BAD ∠=110°，又在B 点测得ABD ∠=40°，其中D 是点C 在水平面上的垂足，求山高CD (精确到1m).14. 如图，一艘海轮从A 出发，沿北偏东0105的方向航行60n mile 后到达海岛B ，然后从B 出发，沿北偏东030的方向航行n mile 后达到海岛C . 如果下次航行直接从A 出发到达C ，此船应该沿怎样的方向航行，需要航行多少距离?15. 如图所示，已知半圆的直径2AB =，点C 在AB 的延长线上，1BC =，点P 为半圆上的一个动点，以PC 为边作等边△PCD ，且点D 与圆心O 分别在PC 的两侧，求四边形OPDC 面积的最大值.16. 一个人在建筑物的正西A 点，测得建筑物顶的仰角是o ，这个人再从A 点向南走到45o 点，再测得建筑物顶的仰角是β，设30o ，B 间的距离是a ．【答案与解析】1．答案： A解析：在△ABC 中，AC ＝50，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105° ∴∠ABC ＝30°，由正弦定理：sin sin AB ACBCA ABC=∠∠∴AB ＝0sin 50sin 45sin sin30AC BCA ABC ∠⨯=∠＝m ．故选A. 2. 答案： C解析： 由正弦定理可得00060sin(4530)sin 30PB=-，00160302sin15sin15PB ⨯==，h ＝PBsin 45°＝(30＋303) m. 故选C. 3. 答案： D解析： 如图所示，在△ABC 中，A ＝60°，B ＝75°，所以C ＝45°， 由正弦定理sin sin BC AB A C=，得00sin 10sin 6056sin sin 45AB A BC C ⋅=== (海里)． 4. 答案： C解析： 由A 与B 不可到达，故不易测量α，β，故选C.5. 答案： C解析：在△ABB’中由正弦定理，得0'0210sin 4521021sin 302AB BB ⨯===6. 答案： D解析： 如图，由题意得∠BAC ＝30°，∠ACB ＝75°， ∴sin 75sin30AB BC=， ∴BC ＝10sin 75＝()1062km -.7. 答案：202()km ； 如图所示：20AC =km ，030CAB ∠=，000754530ABC ∠=-=，在ABC ∆中，根据正弦定理0sin 20sin 45202()sin sin30AC BAC BC ABC ⋅∠===∠km .8. 答案：20320()+m ； 如图20BD =，045MCB ∠=，030MCA ∠=，则 20BM BD ==，0203tan 30AM CM ==， 所以20320()AB AM MB =+=+m . 9. 答案：30m ； 如图所示：30AB m =，030ACB ∠=，045ADB ∠=，030CAD ∠=，则在ACD ∆中，303AC =，30AD =，根据余弦定理，222cos 30CD AD AC AD AC CAD =+-⨯⨯∠=(m).AB ’ B10. 解析：设航行x 小时后甲船到达C 点，乙船到达D 点，在△BCD 中，BC=(100-50x)海里，BD=30x 海里(02x ≤≤)， ∠CBD=60°，由余弦定理得：∴当1300065161249004949x ===⨯(小时)时，CD 2最小，从而得CD 最小∴航行16149小时，两船之间距离最近． 11．解析： 如图所示，考点为A ，检查开始处为B ，设公路上C 、D 两点到考点的距离为1千米． 在△ABC 中，AB ＝3≈1.732，AC ＝1，∠ABC ＝30°， 由正弦定理sin ∠ACB ＝0sin 30AC·AB ＝3，∴∠ACB ＝120°(∠ACB ＝60°不合题意)， ∴∠BAC ＝30°，∴BC ＝AC ＝1， 在△ACD 中，AC ＝AD ，∠ACD ＝60°， ∴△ACD 为等边三角形，∴CD ＝1. ∵12BC×60＝5，∴在BC 上需5分钟，CD 上需5分钟． 答：最长需要5分钟检查员开始收不到信号，并持续至少5分钟才算合格．12. 解析：如图所示，A 、C 分别表示辑私艇，走私船的位置，设经x 小时后在B 处追上． 则AB=14x ，BC=10x ，∠ACB=120° 由222(14)12(10)240cos120x x x =+-⋅⋅︒得x=2. 故AB=28，BC=20 即所需时间2小时，sin α为53. 13. 解析：在△ABD 中，∠ADB=180°-110°-40°=30°， 由正弦定理得sin 800sin 401028.5()sin sin 30AB B AD m ADB ⨯==≈∠oo.在Rt △ACD 中，CD=ADtan25°≈480(m). 答：山高约为480m.14、解析：在ABC ∆中， 000018010530105ABC ∠=-+=， 根据余弦定理，222cos AC AB BC AB BC ABC =+-⨯⨯∠ 根据正弦定理，sin sin BC ACCAB ABC=∠∠ ， 有0602sin105sin 2sin 30(26)BC ABC CAB AC ∠∠===+，∵BC AC < ∴0105CAB ABC ∠<∠= 所以045CAB ∠= ，0010560CAB -∠=答:此船应该沿北偏东060的方向航行，需要航行30(26)+n mile 15. 解析：设∠POB=θ，四边形面积为ｙ，则在△POC 中，由余弦定理得：PC 2=OP 2+OC 2-2OP·OCcos θ=5-4cos θ∴ｙ=Ｓ△OPC +Ｓ△PCD =112sin 2θ⨯⨯3(5-4cos θ) =2sin(θ-3π53∴当θ-3π=2π即θ=56π时，ｙmax 5316. 证明：设建筑物的同度是h ，建筑物的底部是C ， 则tan tan h hAC BC αβ==，． ABC △是直角三角形，BC 是斜边，所以222tan tan b h a αβ⎛⎫⎛⎫+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 222211tan tan a h βα⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎣⎦， ()()222sin sin sin sin a αβαβαβ=--． 所以，h =()()sin sin αβαβ+-．。