2009年清华大学自主招生数学试卷(理综)〔精品解析版〕

，
得整系数多项式 f（x）＝x6﹣6x4+12x2﹣8，
∴f（
）＝
﹣6
+12
﹣8
3．有限条抛物线及其内部能否覆盖整个坐标平面？证明你的结论． 【解答】解：不能． 取一条直线，使它不平行于任一抛物线的对称轴， 根据抛物线的图象和性质知直线上的点不能被完全覆盖．如图：
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（因一条直线若被抛物线覆盖，它必须是抛物线对称轴） 故有限条抛物线及其内部不能覆盖整个坐标平面．
大家拿到 考卷后 ，先看 是不是 本科考 试的试 卷，再 清点试 卷页码 是否齐 全，检 查试卷 有无破 损或漏 印、重 印、字 迹模糊 不清等 情况。 如果发 现问题 ，要及 时报告 监考老 师处理 。：1． 从前向 后，先 易后难 。通常 试题的 难易分 布是按 每一类 题型从 前向后 ，由易 到难。 因此， 解题顺 序 也宜按试 卷题号 从小到 大，从 前至后 依次解 答。当 然，有 时但也 不能机 械地按 部就班 。中间 有难题 出现时 ，可先 跳过去 ，到最 后攻它 或放弃 它。先 把容易 得到的 分数拿 到手， 不要“ 一条胡 同走到 黑”， 总的原 则是先 易后难 ，先选 择、填 空题， 后解答 题。2． 规范答 题，分 分计较 。 数学分 I 、II 卷， 第 I 卷 客观性 试题， 用计算 机阅读 ，一要 严格按 规定涂 卡，二 要认真 选择答 案。 第 II 卷为 主观性 试题， 一般情 况下， 除填空 题外， 大多解 答题一 题设若 干小题 ，通常 独立给 分。解 答时要 分步骤 （层次 ）解答 ，争取 步步得 分。 解题中 遇到困 难时， 能做几 步做几 步， 一分地争 取，也 可以跳 过某一 小
5．A，B 两人轮流向黑板上写正整数，规则是：若 a1，a2，…an 出现在黑板上，则形如
的数都不能写（其中 xi（i＝1，2，…，n）是自然数），不得不写 1 的人算输．初始状态
黑板上写着 5，6，问先写的人还是后写的人有必胜策略？
【解答】解：∵初始状态黑板上写着 5，6，而形如
的数都不能写，
其中 10＝5×2+6×0，11＝5×1+6×1，12＝5×0+6×2，15＝5×3+6×0，16＝5×2+6 ×1，17＝5×1+6×2，18＝5×0+6×3， 故此时能填的数据只能从 1，2，3，4，7，8，9，13，14，19 中选择 如果第一个人填 2，第二个人只能选 3，则自己必要填 1，此时先填者必输 如果第一个人填 3，则第二个人还有 1，2，4，7 共 4 个数据可选，如果第二个人选 2， 则自己必要填 1，此时先填者必输 如果第一个人填 7，则第二个人还有 1，2，3，4，8，9 共 6 个数据可选，如果第二个人
的数都不能写（其中 xi（i＝1，2，…，n）是自然数），不得不写 1 的人算输．初始状态 黑板上写着 5，6，问先写的人还是后写的人有必胜策略？ 6．从 0，1，2，3，4，5，6，7 七个数中任取两个数相乘，使所得的积为偶数，这样的偶数 共有几个？ 7．A，B 两人玩一个游戏，A 提供若干硬币，B 可以任意将这些硬币全部摆放在顶点上，并 确定一个目标顶点 u．规则是：A 可以选择一个上面至少有两枚硬币的顶点 v，并选择一 个与它相邻的顶点 w，将 v 上的两枚硬币取走，并放回一枚硬币在 w 上．A 若在有限步 内根据规则在 u 上放上一个硬币则获胜．已知 B 不想让 A 赢且他很聪明，试问在这两种 情况下 A 各需要至少几个硬币才能保证自己能赢．
4．现有 100 个集装箱，每个集装箱装两件货物．在取出来的过程中货物的顺序被打乱了， 现在按一定的规则将货物依次放入集装箱中．集装箱体积都是 1，且每个集装箱最多放两 件货物，若装了一个货物后装不下第二个，那么就将这个集装箱密封，把这个货物装到 下个集装箱中．问在最坏情况下需要多少个集装箱． 【解答】解：根据题意，设所有货物的体积从小到大依次为：a1，a2，a3，…a200； 在最坏情况下， 顺序被打乱之前，货物顺序为：a1，a200；a2，a199；a3，a198；…a100，a101， 两个一组，装在同一个箱子里； 顺序被打乱之后，最坏的顺序为 a200，a2，a199，a3，a198，…a100，a101，a1； 此时，除 a101，a1；可以装在同一个箱子里之外，其他的货物均是单独放在一个箱子里； 共需要 199 个集装箱．
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2009 年清华大学自主招生数学试卷（理综）
参考答案与试题解析
一、解答题（共 7 小题，满分 0 分）
1．求值：
．
【解答】解：原式＝|2+2（cos +isin ）+
|
＝
＝
＝ ＝
∵
＝
∴
所以，
＝
2．请写出一个整系数多项式 f（x），使得
是其一个根．
【解答】解：由 f（x）＝（x2﹣2）3＝
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选 4，则自己必要填 1，此时先填者必输 如果第一个人填 8，则第二个人还有 1，2，3，4，7，9 共 6 个数据可选，如果第二个人 选 4，则自己必要填 1，此时先填者必输 如果第一个人填 9，则第二个人还有 1，2，3，4，7，8 共 6 个数据可选，如果第二个人 选 7，则自己必要填 1，此时先填者必输 如果第一个人填 13，则第二个人还有 1，2，3，4，7，8，9 共 7 个数据可选，此时 B 无 论选任意数，都必要填 1，此时先填者必胜 故选填 13 者有必胜的策略． 6．从 0，1，2，3，4，5，6，7 七个数中任取两个数相乘，使所得的积为偶数，这样的偶数 共有几个？ 【解答】解：∵乘积是奇数的个数比较好求，两个数都为质数 1，3，5，7，乘积不会重 复． 所以先求奇数个数为：4 个数字 1，3，5，7 中任意选 2 个有 6 个结果 而总乘积个数为 8 个数字中任意选 2 个有 28 个结果， ∵0 乘以任何数都是 0，有 6 个多余重复的 0 ∴28﹣6＝22 个 ∵乘积除了奇数就是偶数，那么总个数减去奇数个数，以及 1×6 和 2×3，2×6 与 3×4， 就可以得到偶数个数 22﹣6﹣2＝14 个 7．A，B 两人玩一个游戏，A 提供若干硬币，B 可以任意将这些硬币全部摆放在顶点上，并 确定一个目标顶点 u．规则是：A 可以选择一个上面至少有两枚硬币的顶点 v，并选择一 个与它相邻的顶点 w，将 v 上的两枚硬币取走，并放回一枚硬币在 w 上．A 若在有限步 内根据规则在 u 上放上一个硬币则获胜．已知 B 不想让 A 赢且他很聪明，试问在这两种 情况下 A 各需要至少几个硬币才能保证自己能赢．
2009 年清华大学自主招生数学试卷（理综）求值：
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2．请写出一个整系数多项式 f（x），使得
是其一个根．
3．有限条抛物线及其内部能否覆盖整个坐标平面？证明你的结论． 4．现有 100 个集装箱，每个集装箱装两件货物．在取出来的过程中货物的顺序被打乱了，
现在按一定的规则将货物依次放入集装箱中．集装箱体积都是 1，且每个集装箱最多放两 件货物，若装了一个货物后装不下第二个，那么就将这个集装箱密封，把这个货物装到 下个集装箱中．问在最坏情况下需要多少个集装箱． 5．A，B 两人轮流向黑板上写正整数，规则是：若 a1，a2，…an 出现在黑板上，则形如