2019年清华大学自主招生数学试题解析(一)
清华大学自主招生数学试题解析
清华大学自主招生数学试题解析一、引言近年来，自主招生考试逐渐成为高等教育选拔的重要方式之一。
作为中国顶尖的学府之一，清华大学在自主招生中具有极高的影响力和标准制定地位。
数学作为基础学科，是清华大学自主招生考试的重要科目。
本文将对清华大学自主招生数学试题进行解析，探讨其考察内容、特点及应对策略。
二、考察内容1、基础知识：清华大学自主招生数学试题中，基础知识考察占据较大比例。
包括但不限于高中数学中的函数、数列、三角函数、概率与统计等。
2、知识运用：除了基础知识外，试题还注重考察考生对数学知识的运用能力。
例如，通过实际应用题或几何题的形式，要求考生运用数学知识解决实际问题。
3、思维能力：清华大学自主招生数学试题注重考察考生的思维能力，包括逻辑推理、归纳分类、化归等能力。
这类题目通常需要考生灵活运用数学知识，通过猜想、归纳、推理等方式寻找解题思路。
4、创新精神：自主招生数学试题还注重考察考生的创新精神和实践能力。
这类题目通常以开放式问题的形式出现，要求考生从不同角度思考问题，寻找独特的解题方法。
三、特点分析1、覆盖面广：清华大学自主招生数学试题涉及的知识面较广，要求考生具备扎实的数学基础和广泛的知识储备。
2、难度适中：试题难度适中，既考察了考生的基础知识，又对其思维能力、创新能力进行了充分挑战。
3、突出重点：试题突出对重点知识的考察，如函数与方程、数列与不等式、平面几何等，要求考生对重点知识有深入理解和掌握。
4、强调应用：试题强调对数学知识的应用能力，通过设置实际应用题等方式，引导考生数学在实际生活中的应用价值。
四、应对策略1、巩固基础知识：针对清华大学自主招生数学试题中基础知识的考察，考生应注重巩固高中阶段的基础知识，尤其是函数、数列、三角函数等重点内容。
2、提高运用能力：在掌握基础知识的前提下，考生应注重提高对数学知识的运用能力。
通过练习实际应用题、几何题等类型，提高解决实际问题的能力。
3、培养思维能力：考生应在平时的学习中注重培养逻辑推理、归纳分类、化归等思维能力。
2019年清华大学自主招生数学试题解析(一)
年清华大学自主招生试题解析（部分）1.，求外接球的半径解：设半径为的外接圆的半径为设外接圆的圆心为，易知则外接球半径2.所以备注：听说真题是这一道：求值3.已知为单位圆上一动点，，，求的最大值解：设，在整理可得由三元均值不等式可知当且仅当4.为圆为）忘记解：设圆的半径为解得错误，选项正确而，选项正确，是到的映射，若满足称有序对为“好对”，求“好对”的个数最小值解：情形一：当只对应中个元素时，此时“好对”有对情形二：当只对应中个元素时，设有组，组，则此时“好对”有对，且则由柯西不等式可知情形三：当只对应中个元素时，设有组，组，组对，且则由柯西不等式可知依次可得，易知当对应中有个元素时，此时“好对”的最小值为，当且仅当中每个元素对应中一个元素时，等号成立则“好对”的个数的最小值为6.成立，则称函数满足性质，下列函数不满足性质的是（）解：，使得，则的值域是值域的子集选项:满足题意选项:，则当时，则由四元均值不等式可知当且仅当时，等号成立，所以，，满足题意因为为奇函数选项:，不满足题意选项，，，，不满足题意综上所述：选,7.，，若的最大值解：建立平面直角坐标系，且，，易知点的终点的轨迹方程为又8.椭圆过的直线交椭圆于两点，点在直线上，解：，，中点为，联立整理可得则而而所以9.圆处的切线交抛物线于两点，，其中为坐标原点，求解：，所以直线恒过定点，而切线方程为则解得10.设为各位数字和，是的各位数字之和，为的各位数字之和，求的值解：因为，则则情形一：当的位数为，则情形二：当的位数为小于，则由情形一和情形二可知情形三：当的位数为位时，则情形四：当的位数位位数时，则由情形三和情形四可知又则而所以11.实数满足，求解：情形一：当时，此时时，此时易知，令，则时，此时易知，则综上所述：的最小值为，最大值为12.数列满足：）单调递增无上界忘记解：易知，则，单调递增又（二次函数对称轴），则无上界，而则又正确13.若正实数的最小值为解：，由二元均值不等式可知解得再由三元均值不等式可知此时当且仅当时，等号成立14.设，求解：时，则此时易知情形二：当时，则此时情形三：当时，则此时综上所述：最小值为15.设，则方程的解的个数为解：不妨设，则易知，而则综上所述：总共解的个数为16.若实数满足，求的取值范围解：因为情形一：当时，由常见不等式可知所以时，此时令易知，所以17.，动点在线段的最小值解：将平面展开与平面弦定理可知所以。
近几年清华、北大自主招生数学试题
近年北大清华自主招生试题汇编———————————————————————————————— 2010北大自主招生（三校联招） 1．（仅文科做）02απ<<，求证：sin tan ααα<<．（25分）2．AB 为边长为1的正五边形边上的点．证明：AB ．（25分） 3．AB 为21y x =-上在y 轴两侧的点，求过AB 的切线与x 轴围成面积的最小值．（25分） 4．向量OA 与OB 已知夹角，1OA =，2OB =，(1)OP t OA =-，OQ tOB =，01t ≤≤．PQ在0t 时取得最小值，问当0105t <<时，夹角的取值范围．（25分）5．（仅理科做）存不存在02x π<<，使得sin ,cos ,tan ,cot x x x x 为等差数列．（25分）2009北大自主招生数学试题1 圆内接四边形ABCD ，AB=1，BC=2，CD=3，DA=4。
求圆半径。
2 已知一无穷等差数列中有3项：13，25，41。
求证：2009为数列中一项。
3 是否存在实数x 使tanx+（根3）与cotx+（根3）为有理数？4 已知对任意x 均有acosx+bcos2x>=-1恒成立，求a+b 的最大值5 某次考试共有333名学生做对了1000道题。
做对3道及以下为不及格，6道及以上为优秀。
问不及格和优秀的人数哪个多？3 已知123123122331122331123123123123min(,,)min(,,)max(,,)max(,,)a a ab b b a a a a a a b b b b b b a a a b b b a a a b b b ++=++++=++≤≤求证：4 排球单循坏赛 南方球队比北方球队多9支 南方球队总得分是北方球队的9倍 求证 冠军是一支南方球队（胜得1分 败得0分）5（理科）O-XYZ 坐标系内 xoy 平面系内202y x ≤≤-绕y 轴旋转一周构成一个不透光立体 在点(1,0,1)设置一光源 xoy 平面内有一以原点为圆心的圆C 被光照到的长度为2π 求C 上未被照到的长度2009年清华大学自主招生数学试题 的整数部分为a ，小数部分为b ()1求,a b ；()2求222ab a b ++； ()3求()2lim n n b b b →∞++ 2．()1,x y 为实数，且1x y +=，求证：对于任意正整数n ，222112n nn x y -+≥()2,,a b c 为正实数，求证：3a b cx y z++≥，其中,,x y z 为,,a b c 的一种排列 3．请写出所有三个数均为质数，且公差为8的等差数列，并证明你的结论4．已知椭圆22221x y a b+=，过椭圆左顶点(),0A a -的直线L 与椭圆交于Q ，与y 轴交于R ，过原点与L 平行的直线与椭圆交于P 求证：AQ ，AR 成等比数列5．已知sin cos 1t t +=，设cos sin s t i t =+，求2()1nf s s s s =+++6．随机挑选一个三位数I()1求I 含有因子5的概率；()2求I 中恰有两个数码相等的概率7．四面体ABCD 中，AB CD =，AC BD =，AD BC =()1求证：四面体每个面的三角形为锐角三角形；()2设三个面与底面BCD 所成的角分别为,,αβγ，求证：cos cos cos 1αβγ++=8．证明当,p q 均为奇数时，曲线222y x px q =-+与x 轴的交点横坐标为无理数 9．设1221,,,n a a a + 均为整数，性质P 为： 对1221,,,n a a a + 中任意2n 个数，存在一种分法可将其分为两组，每组n 个数，使得两组所有元素的和相等 求证：1221,,,n a a a + 全部相等当且仅当1221,,,n a a a + 具有性质P2009年清华大学自主招生数学试题（文科） 1．已知数列{}n a ，且()1n S na n n =+-()1求证：{}n a 是等差数列； ()2求,nn S a n⎛⎫⎪⎝⎭所在的直线方程 2．12名职员（其中3名为男性）被平均分配到3个部门()1求此3名男性被分别分到不同部门的概率； ()2求此3名男性被分到同一部门的概率；()3若有一男性被分到指定部门，求其他2人被分到其他不同部门的概率3．一元三次函数()f x 的三次项数为3a，()90f x x +<的解集为()1,2 ()1若()70f x a +=，求()f x 的解析式； ()2若()f x 在上单调增，求a 的范围4．已知PM PN -=()2,0M -，()2,0N ，求点P 的轨迹W ；直线()2y k x =-与W 交于点A 、B ，求S OAB （O 为原点） 5．设()12nx x x a n n++=∈()()()()()()12231n n n S x a x a x a x a x a x a -=--+--++--()1求证：30S ≤()2求4S 的最值，并给出此时1x ，2x ，3x ，4x 满足的条件()3若50S <，求1x ，2x ，3x ，4x ，5x 不符合时的条件2008届清华大学自主招生试题1. 已知,,a b c数；2. （1）一个四面体，证明：至少存在一个顶点，从其出发的三条棱组成一个三角形； （2）四面体一个顶点处的三个角分别是,,arctan 223ππ，求3π的面和arctan 2的面所成的二面角；3. 求正整数区间[],()m n m n <中，不能被3整除的整数之和；4. 已知sin cos αα+=α的取值范围；5. 若2lim ()(0)1,(2)()x f x f f x f x x →==-=，求()f x ；6. 证明：以原点为中心的面积大于4的矩形中，至少还有两个格点。
2019年高校自主招生考试数学真题分类Word版含解析精心整理(打包9套真题)
2019《名校自主招生》——高校自主招生考试数学真题专题试卷分类解析精心整理打包9套下载含详细答案目录2019年《高校自主招生考试》数学真题分类解析之1、不等式2019年《高校自主招生考试》数学真题分类解析之2、复数、平面向量2019年《高校自主招生考试》数学真题分类解析之3、三角函数2019年《高校自主招生考试》数学真题分类解析之4、创新与综合题2019年《高校自主招生考试》数学真题分类解析之5、概率2019年《高校自主招生考试》数学真题分类解析之6、数列与极限2019年《高校自主招生考试》数学真题分类解析之7、解析几何2019年《高校自主招生考试》数学真题分类解析之8、平面几何2019年《高校自主招生考试》数学真题分类解析之9、排列、组合与二项式定理2019年《高校自主招生考试》数学真题分类解析之专题之1、不等式一、选择题。
1．(2017年复旦大学)若实数x满足对任意实数a>0,均有x2<1+a,则x的取值范围是( ) A.(-1,1) B.[-1,1]C.(-错误!未找到引用源。
,错误!未找到引用源。
)D.不能确定2．(2018年复旦大学)已知点A(-2,0),B(1,0),C(0,1),如果直线y=kx将△ABC分割为两个部分,则当k= 时,这两个部分的面积之积最大. ( )A.-错误!未找到引用源。
B.-错误!未找到引用源。
C.-错误!未找到引用源。
D.-错误!未找到引用源。
3．(2018年复旦大学)将同时满足不等式x-ky-2≤0(k>0),2x+3y-6≥0,x+6y-10≤0的点(x,y)组成的集合D称为可行域,将函数z=错误!未找到引用源。
称为目标函数,所谓规划问题就是求解可行域内的点(x,y),使目标函数达到在可行域内的最小值.如果这个规划问题有无穷多个解,则( )A.k≥1B.k≤2C.k=2D.k=14．(2011年复旦大学)设n是一个正整数,则函数y=x+错误!未找到引用源。
清华大学自主招生数学试题解析
• 1・2017年清华大学自主招生暨领军计划试题解析已知-•根绳子放在数轴的[0・斗」区阳丄二线密度二皿-护.求绳子的质屋- 解答加解答 件先冇cos 単十 i iin 4?5二(cos 警cos 夸一 sin 警sin 弩: 二 cos + isin再I ] i 归纳法，可得3 警+ Tn 警,1 E.世到 ttJ -' = 1,则 cw 1 — w -' TW " - C4J _'：7W + ru _l —2 COS 〒 T tv ' + ⑴ 二 2cCrS 号.战/(tw )/(a/ )f( OJ ? )/(oi 1)/(w)/(w _1 )/(w 2 )/(«"*)(4?十 W 十 2)(^~2十 J 十 2)(^ 十 y + 2)(W _1 + 胪 + 2) (1 十洞十2^ + w -] + 1 + 2M + 2w a 十 2w l + 4)(1 十 4 2^ + OJ -2 + 1 + 2^ + 2^ + 2M _r + 4)(6 + Gcos^ + 4cos 警)(6 + g 警 + Seos 警)(6 + ficos y - 4tos yj(6 + 4cOH 弩- E 阮、(6 - 6孕y + isin ^,/(x) = x z 十龙+若则f (川)几』〉的值为+ i^cos ^sin 警 + sin 警cos 弩 5-75-l)(6 + ?5- 1、4• 1・《高校自主招生一数学》 贾广素工作室• 2 •=11.若 0「门 +flCOS （A ：-l ）= 0 有唯--解,则（A.厲的值唯• B. 口的值不唯一C 门的值不存在D.以上都不对解答选A.因为f （兀）=217 +acos （A ：-l ）关于x = l 对称,所以若f （x ）^唯一零点,则零点只 能为1.将兀=1彳弋入，得到a = T,此时f （x ） =2|x_11 -cos （x-l ）,^检验« = -1符合 题意"04已知皿1 *2 ,衍皿&€ ｛1、Z ，3,4：｝ ,口3皿4》为口I ■吐.心皿4中不同数字的种类哀如N （1J23） =3,N （122,1｝二2,求所有的256个（血心gg ）的排列所得 7V （"l 山2 ,如■心）的平均值为（）.解答选D-N 5\心、a 3心）为1的个数为4；N （心•如，為虫J 为2的个数为CS （CS+2Q ） = 84； N （尙0 心皿Q 为3的个数为二144*N （Q i *2 *麻3皿4 ）为球的个数为A] — 24.117^从而 iijfR^^6(4xi + 84X2+114X3 + 24X1) = ^.在△/WC 中 *sinZ/l + sinz^/?sinz^C 的最大值为(解答选E市积化和差公式得sin^A + sin^Bsm^C=sin^A + y (cost^B - ZC) - cos(^B + 乙CM-sin^A - -^COB ^A + ~|~cos(Z 百—乙 C) 冬 sin^A - -^-cosZ^/4 + 令Y I s + (_ 4)- Z 卩)+ YA - 32175 64A- iB.1 +75D.无报大值4《高校自主招生一数学》贾广素工作室在= = + j时取等号*四人做一道选项为A.B，C.D的选择题•四牛同学的对话知厂赵:我选A.钱:我选B,GD当屮的-个一孙古我选C李古我选6四个人毎人只选了…个选项川1' R倂不相同'我中貝有一个人说谥•则说谎的人町能是诽1 解答孙或李.用列衣法•只中O代表选该选项.X代表没有选该选项一如赵说谎•则无人选A（见表1八弟盾一表1A B C D赵XX孙0O如钱说谎,则赵、钱均选A（见表2）-矛曲.表2A H C赵O践O如孙说谎.则可得如表3所示的情况:成7..O _______X• 3 *《高校自主招生一数学》贾广素工作室如李说谎.则川'得in* 4所示的悄况•成立.表4A B C D赵O钱X OO0X已知2・ lvC?C, I 2 + IV I = 1 H, I z2 + H'2 I 二4?则I ZW I (解答选注意到1 - | z + w | - - | (z w)21 = \ z2w2+ 2zw | , 从【对冇1 | z2 + | - 21 ziv | 与I $ 21 砂| 一］护+ \沪从而（最小值可以取测例如辽二捋7.⑷二上尹,最大值亦可以取到’例如辽二今+寺人⑷二-3 +丄)2 21往四面体PABC ABC为等边三角形，边长为乳“二乳珂？二4./V二乳贝W四而体P/W0的体积为（）.A. 3B. 2屈C. /1TD. /10解答选C件先PC2= PB Z+ BC\故PB±反\设P到底而的高足PH.则BC± UH ZABH =30°设PH = h.AH =a^H^b,CH = c”山余弦定理得+ A2= 32・护+护二学,+ h2 -5\07A.有最大值普B有最大值号C有最小值另 D.有最小值号* 5 *如图［所示，已知曲线+ / = l 以及直线i lt y =弄仏；y = _yx,曲线E 与八交于A,B 两点“与h 交于C-D 两点.在E 上任找一点P (不与A^.C-D 重合几直线AP.M 分 别与仏交于M,N两点，则(A,B. C, D. 解答选BC•设P 的坐标为(利小八则乎+冗二I •此吋PA 的方程为v 42ya - -7—匕-找)・Xo - V2円?的方程为+ ©)•分别与方程尸-专工联立,可得_ 72 y a + ~2X ^尤 M 二-； -------_号-列+屈09二 yri .对于函数=e i (jt-l)a (x-2),H 下选项正确的是( A.冇2个极大值 B冇2个扱小值 U 1是极大值点 解答BC, 求导数：/"(x) = e^ECx - l)2(x -2) -- I)C A -2) +=c T (x + /3)(x -^/3)(JT - 1).则f 〔C 右2个极小值门是极大值点.D. 1是极小值点(x - I}2]10在椭圆上存在2个不同的点Q,使得丨021，二丨OM I 丨(釈 在椭圆上存在4个不同的点Q,使得丨％］—|OM| |QV| 在椭圆上存在2亍不同的点0使得住椭圆上存在4个不同的点0使得△NfAsAQMO rfl 对称性，不奶设A RC D 的塑标分别为-罟- - 72图!0M\ \ 0N\ - 0M - ON -\OM\\ON\ = \ 0A\\可^\OQ\2= \o^\ \o^\’可选Wt A/.C2四点.若△MXIsAQTfO.则只能选耽刈•觸足A + 2y + 3z- 100的非负整数解的组数为(A 883B 884 C. 885).D 886Zy种数00—5C5110—484920-474830—4546h・・h・・33u1表5解的组数为51 + 49 + 4W + 46 + 45 + - + 4 + 3 + 1 + 0 =百甘 4.{(x t y，z) | x +2y + 3z^l，JC,y T z>0} ■求V的体积+这是-个玄角呗休•三条玄角边丘是1以寺.故休积为春一已知f(x)=c2x +e -ax.^ X^).均右只站孑厶求a的取值范围一解答rtl f (X) = c21 + c1- m符/CO) = 2,又f (JC ) =2c^J + c J- ◎该导歯数在［th +«■)上递増‘故贾求 f (0)=3-^>0,即a<3.州图2所小』为闘山II屈心• f E在岡.11运动JL满出/AM-艸+则-W)* 6 ** 7・的中点E 的轨迹为（）-A.圆B.稱圆 U 双曲线的一支 D.线段解答选入 由E 为中点'得PE Z + QE& 二 BE 2 十 OE 2 BO-=厝.做动点到两疋点距离的平方和为足f （因此动点E 的轨迹为慎1 一15L_已知椭圜方程为为苴右准线上一点，过P 向椭圆作切蜒，切点分别为恻的左恆点対几则（ 人解答选AU汁先汴.意到结论:在椭圆准线上作取一点•过该点作椭•圆的两条切线*那么两切点的连 线必过该准线村应的倩点（虚明略）-应用结论•可知/XF/W 的周氏九定值•且越AH 乖胃于横轴吋它的值忌小.此时JT] Xi 码，骷"百€ （1,2,3,4,5,6? T 且 JC],x z T x 3T x 4，嘉■站各不相同，则禰足心一5忌+ 10x a - 10氐+ 5x s -x a = 0的解的组数为參少?解答6.首先心-应是5的倍数点x 产1皿之或机=6t x fi = L 考虑方程-+ 10的—10盟」5心 一 5 或-5x-i + 10氏 一 W 鹤 + 5嘉二一 5* 即-x 2 - 2X 3 - 2x x + A :5 = I或—X2 + 2^3 — 2也 + Jts - — 1注意到肌-乱不足2的倍数•战由上面的方服有也-耳厂乳軌-心一 -1或若砧-应一 -1心-占二]・或者X 5 _ X? = -3、心-心=1或若也-也二】* -工4二-1故这个方程有M+3二6纽解.已知 A e { - KOJ ZV e (2,3,4,5,映射 f ： A^B. li^ 足 x 十 f(x) +球J ）为壷数.求f 的个数. 解答50.A. \AB\的扯小值为1 C. AFA13的周艮为定值B. \AB\的毘小值师 D. A MB 的面积为定值' 8 -注意到 X + /(JC ) +xf(x) = <x + l)(f(x) +1)-1. + 十 1)为偶数. 故若x 为偶数，则f (巧为奇数•即f(0)二3或和N - “的取值任意，由乘法原 理可得,答案为2x5a ^50.解答选匚一注总到公式fm 二故dH 错误.另一方血M ©/? *从而川门币二0-故F (丽｝=- 最后•如 A 二 0•则 P(AB)>0.U 知实数厲』满足a 2+ a =3b 2 +2乩且 H 则C 解答a ACD若 a<b,则 / + a<h~ + b<2( b 2+ b)<3b~ + = 矛盾.另一方面■若3b 2 + 2b= a 2 + a^(2h)2 + 2b>3b 2 +2乩矛盾.最U 若 b^2a 侧 a 2a ~ 3b~ + 2b^3(2a¥ +4a^>a - + a * 矛盾. 故得选项为ACD1 + A ：| 4 1 + A2 +I + X t0]7 ~卿( hA.显窍有】个乩小于1 B 虽务有2个在小于2 C. mHx {, --■, x 2 di?} ^2 (J17D. max { x } T , JC 2 AU \ ^2 016解答ABD.如有2个绪小于】・则上式左边大于占 + j ])•矛盾一 如有3个摘小于厶则匕式左边大于占+出+占■不质. 再注意到x t =^=-= ^01T = 2O16是一组解点匚不陇立. 如 max{jt! ,Xi»***tX aM7 }<2 Olfii 则―-—+ ―1— + ■■■ + -------- ! ----- > --------- 1 --- + -------- - ---- + ■■■ + ------ ! -----1 + 利 h1 + X 2O I 7 1 +2 0161 +2 0161 +2 016矛质.已知事件月—n<P<l?)<lt!WiJ(A . /n = i -re/?)C, H 丽=0B . p(^|A)= i-r(B)D. P(J\B)=QA. b<aB a<bC a<2b D. b<2a已知严■，总期均为大于o 的实数.a故答案选AB6 ' 8 -《高校自主招生一数学》 贾广素工作室入｛和 + 几 + zd 是等比数列B.若存在 m .>1— y… - z m ,则 JCi = yi = Zi1 q 1U 若心二-才忌二才则= ( - 1)"亠尹D 以上均不正确解答选BC首先*当首项^i = ^i-zi= 0时・皿+几十為｝不是等比数列.其次，若存在啣>l,s = % =昭，解方程组可得x…L -i = y^-i = z^-t =2x Mt 从而递推 可得Xi 二力=巧，一 1 弓 ’ 1出次*由Xi = 一忑心二亍得｝■] + Zi - 2x2 + X] =2,则幷“*斗爲二3 •不，根据递推式用為=(-1)”十右.故答棗选BCA 3 n r., =0. 5 B. 3 H * r h =0,6 C. 3 M r fl = () 7 [>, 3 » < =0,8 解答选2假设不存在航’便得 仏=0 5.则山H =O^ioo =0. 85,必存亦「使得hVU •硏5.若k 是偶数•不妨设血二三⑴汀汕笆筈於3<*・不符令题意;若血是奇数"设氐二加T-l.f炭厂+，只能f 矛氐所以选项A 正确 4= 08同理可得选项D 正确. 如果此人第2、86次全部投中•排除B,C.一同学打球■记g 为投起次后的命中率，已知心—AsFL 版则一足有().。
清华大学2019年自主招生试题及答案
2019清华自主招生试题与答案(2018清华自主招生)1、如图的电路，闭合开关S ，当滑动变阻器滑片P 向右移动时，下列说法正确是 CA．电流表读数变小，电压表读数变大B．小电泡L 变暗C．电容器C 上电荷量减小D．电源的总功率变小(2018清华自主招生)2、如图，固定的倾斜光滑杆上套有一个质量为m的圆环，圆环与竖直放置的轻质弹簧一端相连，弹簧的另一端固定在地面上的A点，弹簧处于原长h。
让圆环沿杆滑下，滑到杆的底端时速度为零．则在圆环下滑过程中 CA．圆环机械能守恒B．弹簧的弹性势能先增大后减小C．弹簧的弹性势能变化了mgh D．弹簧的弹性势能最大时圆环的动能最大3、(2018清华自主招生)4、如图所示，有三个斜面a，b，c，底边的长分别为L、L 、2L高度分别为2h、h、h ，某物体与三个斜面间的动摩擦因数都相同，这个物体分别沿三个斜面从顶端由静止下滑到底端，忽略空气阻力，三种情况相比较，下列说法正确的是BDA．物体克服摩擦力做的功W c= 2W b= 4W aB．物体克服摩擦力做的功W c= 2W b= 2W aC．物体到达底端的动能E ka= 2E kb= 2E kcD ．物体到达底端的动能E ka >2E kb >2E kc解：克服摩擦力做的功 cos W mg x mgx =μθ=μ斜底则有 ::W 2:1:1c b a W W =动能定理 k mgx mgx E -μ=高底则有 E ka >2E kb >2E kc(2018清华自主招生)10、2013 年 12 月 6 日，“嫦娥三号”携带月球车“玉兔号”运动到地月转移轨道的P 点时做近月制动后被月球俘获，成功进入环月圆形轨道Ⅰ上运行，如图所示。
在“嫦娥三号”沿轨道Ⅰ经过 P 点时，通过调整速度使其进入椭圆轨道Ⅱ，在沿轨道Ⅱ经过Q 点时，再次调整速度后又经过一系列辅助动作，成功实现了其在月球上的“软着陆”。
对于“嫦娥三号”沿轨道Ⅰ和轨道Ⅱ运动的过程，若以月球为参考系，且只考虑月球对它的引力作用，下列说法中正确的是 ACA ．沿轨道Ⅱ经过 P 点时的速度小于经过Q 点时的速度B ．沿轨道Ⅱ经过 P 点时的机械能小于经过Q 点时的机械能C ．沿轨道Ⅰ经过 P 点时的速度大于沿轨道Ⅱ经过 P 点时的速度D ．沿轨道Ⅰ经过 P 点时的加速度大于沿轨道Ⅱ经过 P 点时的加速度1发射m 1前后动量守恒 0111()m m m m υυυ=+-由角动量守恒定律和机械能守恒守恒定律11()()m m m R m m R υυ-=-′(2018清华自主招生)11．下列说法中正确是 BEA ．一弹簧连接一物体沿水平方向做简谐运动，则该物体做的是匀变速直线运动B ．若单摆的摆长不变，摆球的质量增加为原来的4倍，摆球经过平衡位置时速度减 为原来的1/2，则单摆振动的频率将不变，振幅变小C ．做简谐运动的物体，当它每次经过同一位置时，速度一定相同D ．单摆在周期性的外力作用下做简谐运动，则外力的频率越大，单摆的振幅越大E ．机械波在介质中传播时，各质点将不会随波的传播而迁移，只在平衡位置附近振动(2018清华自主招生)15．两电荷量分别为q 1 和q 2 的点电荷放在 x 轴上的O 、M 两点，两电荷连线上各点电势φ 随x 变化的关系如图所示，其中A 、N 两点的电势为零， ND 段中C 点电势最高，则ADA ． C 点的电场强度大小为零B ． A 点的电场强度大小为零C ． NC 间场强方向向 x 轴正方向D ．将一负点电荷从 N 点移到 D 点，电场力先做正功后做负功拓展：（20届复赛）六、(23分)两个点电荷位于x轴上，在它们形成的电场中，若取无限远处的电势为零，则在正x 轴上各点的电势如图中曲线所示，当0x →时，电势U →∞：当x →∞时，电势0U →；电势为零的点的坐标0x , 电势为极小值0U -的点的坐标为 0ax （a ＞2）。
2019年大学自主招生考试数学模拟试题解析版
2019年大学自主招生考试数学模拟试题1.对于数列{u n }，若存在常数M >0，对任意的n ∈N*，恒有|u n +1－u n |+|u n －u n －1|+…+|u 2－u 1|≤M ，则称数列{u n }为B —数列.(1)首项为1，公比为q (|q |<1)的等比数列是否为B —数列?请说明理由；(2)设S n 是数列{x n }的前n 项和，给出下列两组判断：A 组：①数列{x n }是B —数列，②数列{x n }不是B —数列；B 组：③数列{S n }是B —数列，④数列{S n }不是B —数列.请以其中一组中的论断为条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题，判断所给出的命题的真假，并证明你的结论；(3)若数列{a n }、{b n }都是B —数列，证明：数列{a n b n }也是B —数列.【解析】(1)由题意，u n =q n －1，|u i +1－u i |=|q |i －1(1－q )， 于是：|u n +1－u n |+|u n －u n －1|+…+|u 2－u 1|=(1－q )·1－|q |n1－|q |≤1－|q |n≤1，由定义知，数列为B —数列.(2)命题1：数列{x n }是B —数列，数列{S n }是B —数列.此命题是假命题.取x n =1(n ∈N*)，则数列{x n }是B —数列；而S n =n ，|S n +1－S n |+|S n －S n －1|+…+|S 2－S 1|=n ，由于n 的任意性，显然{S n }不是B —数列.命题2：若数列{S n }是B —数列，则数列{x n }是B —数列.此命题是真命题.证明：|S n +1－S n |+|S n －S n －1|+…+|S 2－S 1|=|x n +1|+|x n |+…+|x 2|≤M ，又因为|x n +1－x n |+|x n －x n －1|+…+|x 2－x 1|≤|x n +1|+2|x n |+2|x n －1|+…+2|x 2|+|x 1|≤2M +|x 1|，所以：数列{x n }为B —数列.(3)若数列{a n }、{b n }均为B —数列，则存在正数M 1，M 2，对于任意的n ∈N*，有|a n +1－a n |+…+|a 2－a 1|≤M 1，|b n +1－b n |+…+|b 2－b 1|≤M 2，注意到：|a n |=|a n －a n －1+a n －1－a n －2+…+a 2－a 1+a 1|≤|a n +1－a n |+…+|a 2－a 1|+a 1≤M 1+a 1；同理：|b n |≤M 2+b 1；令k 1=M 1+a 1，k 2=M 2+b 1，则|a n +1b n +1－a n b n |=|a n +1b n +1－a n b n +1+a n b n +1－a n b n |≤|b n +1||a n +1－a n |+|a n ||b n +1－b n |≤k 2|a n +1－a n |+k 1|b n +1－b n |；从而：|a n +1b n +1－a n b n |+|a n b n －a n －1b n －1|+…+|a 2b 2－a 1b 1|≤k 2(|a n +1－a n |+|a n －a n －1|+…+|a 2－a 1|)+k 1(|b n +1－b n |+|b n －b n －1|+…+|b 2－b 1|)≤k 2M 1+k 1M 2.所以：数列{a n b n }是B —数列.2.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知F 1、F 2分别是椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点，A 、B 分别是椭圆E 的左、右顶点，D (1，0)为线段OF 2的中点，且AF 2→+5BF 2→=0.(1)求椭圆E 的方程；(2)若M 为椭圆上的动点(异于点A 、B )，连接MF 1并延长交椭圆E 于点N ，连接MD 、ND 并分别延长交椭圆E 于点P 、Q ，连接PQ .设直线MN 、PQ 的斜率存在且分别为k 1、k 2，试问是否存在常数λ，使得k 1+λk 2=0恒成立?若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由.【解析】(1)易知c =2，因为AF 2→+5BF 2→，即a +c =5(a －c )，解得：a =3，所以：b 2=a 2－c 2=5.所以：椭圆E 的方程为x 29+y 25=1. (2)设直线MN 的方程为x =ty －2，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，所以：直线MP 的方程为y =y 1x 1－1(x －1)，联立椭圆方程和直线方程可得： ⎩⎪⎨⎪⎧x 29+y 25=1，y 1x －(x 1－1)y －y 1=0，消去y 得：(5－x 1)x 2－(9－x 21)x +9x 1－5x 21=0，由根与系数的关系可得：x P =9－5x 15－x 1， 于是P ⎝ ⎛⎭⎪⎫9－5x 15－x 1，4y 15－x 1，同理可得：Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫9－5x 25－x 2，4y 25－x 2， 所以：k 2=－2825t =－2825k 1，即：k 1+2528k 2=0 所以：存在λ=2528满足题意. 3.已知函数f (x )=ln x －ax +a x，其中a 为常数. (1)若f (x )的图象在x =1处的切线经过点(3，4)，求a 的值；(2)若0<a <1，求证：f ⎝⎛⎭⎫a 22>0；(3)当函数f (x )存在三个不同的零点时，求a 的取值范围.【解析】(1)f ′(x )=1x －a －a x 2，所以f ′(1)=1－2a ， 因为切点坐标为(1，0)，所以k =2，所以：1－2a =2，解得：a =－12. (2)证明：原题即证2ln a －ln2－a 32+2a>0对任意的a ∈(0，1)成立. 令g (a )= 2ln a －ln2－a 32+2a ，所以：g ′(a )=2a －3a 22－2a 2=4a －3a 4－42a 2， 令h (a )=4a －3a 4－4，则h ′(a )=4－12a 3，则h (a )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，133单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫133，1上单调递减，而h (a )max =h ⎝ ⎛⎭⎪⎫133=39－4<0， 所以：g ′(a )<0，所以：g (a )在(0，1)上单调递减，所以：g (a )>g (1)=－ln2+32>0. (3)显然x =1是函数的一个零点，则只需a =x ln x x 2－1有两个不等的实数解即可. 令g (x )=x ln x x 2－1，x >0且x ≠1. 则g ′(x )=－(x 2+1)⎝⎛⎭⎫ln x －x 2－1x 2+1(x 2－1)2，令φ(x )=ln x －x 2－1x 2+1， 则φ′(x )=1x －4x (x 2+1)2=(x 2－1)2x (x 2+1)2>0， 于是φ(x )在(0，+∞)上单调递增，同时注意到φ(1)=0.所以g (x )在(0，1)上单调递增，在(1，+∞)单调递减.因为lim x →1x ln x x 2－1=lim x →1ln x x －1x =lim x →11x 1+1x 2=lim x →1x x 2+1=12， 又因为limx →0x ln x x 2－1=lim x →0ln x x －1x =lim x →0x 1+x 2=0，lim x →+∞x ln x x 2－1=lim x →01x +1x =0， 所以：0<a <12. 4.设非负实数x 、y 、z 满足xy +yz +zx =1，求证：1x +y +1y +z +1z +x ≥52. 【解析】证明：由于对称性，不妨设x ≥y ≥z ，设y +z =a ，则ax =1－yz ≤1，所以：x ≤1a， 令1x +y +1y +z +1z +x =2x +a x 2+1+1a=f (x )， 所以：f ′(x )=－2(x 2+1)2(x 2+ax －1)=2(yz －x 2)(x 2+1)2<0，即f (x )为单调递减函数， 所以：f (x )≥f ⎝⎛⎭⎫1a =2a +a 31+a 2+1a ，因为2a +a 31+a 2+1a －52=(a －1)2(2a 2－a +2)2a (a 2+1)≥0， 当且仅当a =1时等号成立，此时x =1，则y +z +yz =1，且yz =0，所以等号成立的条件为x =1，y =1，z =0(或者其轮换).变式题：设非负实数x 、y 、z 满足xy +yz +zx =1，求证：1x +y +1y +z +1z +x ≥12+2. 5.设函数f (x )是定义在区间(1，+∞)上的函数，其导函数为f ′(x )，如果存在实数a 和函数h (x )，其中，h (x )对任意的x ∈(1，+∞)都有h (x )>0，使得f ′(x )=h (x )(x 2－ax ++1)，则称函数f (x )具有性质P (a ).(1)设函数f (x )=ln x +b +2x +1(x >1)，其中b 为常数； ①求证函数f (x )具有性质P (a )；②求函数f (x )的单调区间；(2)已知函数g (x )具有性质P (2)，给定x 1，x 2∈(1，+∞)，x 1<x 2，α=mx 1+(1－m )x 2，β=mx 2+(1－m )x 1，且α>1，β>1，若|g (α)－g (β)|<|g (x 1)－g (x 2)|，求m 的取值范围.【解析】(1)①因为f ′(x )=x 2－bx +1x (x +1)2，显然对x 2－bx +1=t (x )，存在b 使得对x ∈(1，+∞)，t (x )>0恒成立，h (x )=1x (x +1)2>0恒成立. ②由①知，f ′(x )=x 2－bx +1x (x +1)2，当b ≤2时，f ′(x )≥0恒成立，此时f (x )在(0，+∞)单调递增，当b >2时，f ′(x )在(1，+∞)上有一个零点x 0=b +b 2－42， 函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1，b +b 2－42上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫b +b 2－42，+∞单调递增.。
一道二元函数最值题的解法探究与思考_孔志文 (1)
值为 1．
评注 解决多元最值问题的基本思想是
通过消元法 转 化 为 一 元 函 数 最 值 问 题，因 此
解法 1 具有一般性． 本题利用齐次式换元，需
要学生具备模型意识．
分析 2 联想二元函数的最值（值域） 问
题可通过方 程 思 想 求 解，本 题 利 用 换 元 法 可
使问题获解．
解法 2 同解法 1，可设 x + 槡3 y = u（ u 槡x2 + y2
求 x + 槡3 y 的最大值和最小值． 槡x2 + y2 本题是一道含约束条件的二元函数最值
问题，题目以解 析 几 何 中 的 圆 和 函 数 为 背 景 ， 考查数形结合、分 类 整 合、转 化 与 化 归 等 数 学 思想，同时 考 查 学 生 分 析 问 题 和 解 决 问 题 的
能力，具有很好的选拔功能． 本题的成功解决 要求学生具 有 一 定 的 思 维 深 度 和 广 度，难 点 在于如何根 据 条 件 合 理 转 化，将 二 元 函 数 问 题转化为一元函数问题．
综上，得 1 ≤ u2 ≤ 4．
又 u ＞ 0，所以 u 的最大值为 2，最小值为
1．
评注 函数与方程思想是高中数学基本
的数学思想之一，解法 2 与解法 1 的类似之处
是通过换元将二元问题一元化． 随后将函数
的最值问题转化为二次方程的实根分布问题
而获解，侧重基础知识的考查与运用完成． 分析 3 从结论入手，将目标函数分成两
第4 期
高中数学教与学
一道二元函数最值题的解法探究与思考
孔志文 刘 嘉
（ 北京市朝阳外国语学校，100012）
2019 年清华大学自主招生笔试第 11 题形 式新颖，内涵丰富，引 起 了 笔 者 深 入 的 探 究 和 思考．
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年清华大学自主招生试题解析（部分）
1.，求外接球的半径
解：设半径为
的外接圆的半径为
设外接圆的圆心为，易知
则外接球半径
2.
所以
备注：听说真题是这一道：求值
3.已知为单位圆上一动点，，，求的最大值
解：设，在
整理可得
由三元均值不等式可知
当且仅当
4.为圆为）
忘记
解：设圆的半径为
解得
错误
，选项正确
而，选项正确
，是到的映射，若满足
称有序对为“好对”，求“好对”的个数最小值
解：情形一：当只对应中个元素时，此时“好对”有
对
情形二：当只对应中个元素时，设有组，组，则此时“好对”有
对，且
则由柯西不等式可知
情形三：当只对应中个元素时，设有组，组，组
对，且
则由柯西不等式可知
依次可得，易知当对应中有个元素时，此时“好对”的最小值为，当且仅当中每个元素对应中一个元素时，等号成立
则“好对”的个数的最小值为
6.成立，则称函数满足性质，下列函
数不满足性质的是（）
解：，使得，则
的值域是值域的子集
选项:满足题意
选项:，则
当时，则由四元均值不等式可知
当且仅当时，等号成立，所以
，，满足题意
因为为奇函数
选项:，不满足题意
选项，，，，不满足题意
综上所述：选,
7.，，若的最大值
解：建立平面直角坐标系，且，，易知点的终点的轨迹方程为
又
8.椭圆过的直线交椭圆于两点，点在直线上，
解：，，中点为，联立
整理可得
则
而
而
所以
9.圆处的切线交抛物线于两点，，
其中为坐标原点，求
解：，所以直线恒过定点，而切线方程为
则
解得
10.设为各位数字和，是的各位数字之和，为的各位数字之和，求的值解：因为，则
则
情形一：当的位数为，则
情形二：当的位数为小于，则
由情形一和情形二可知
情形三：当的位数为位时，则
情形四：当的位数位位数时，则
由情形三和情形四可知
又
则
而
所以
11.实数满足，求
解：情形一：当时，此时
时，此时
易知，令，则
时，此时
易知，则
综上所述：的最小值为，最大值为
12.数列满足：）
单调递增无上界忘记
解：易知，则
，单调递增
又（二次函数对称轴），则无上界，而
则
又
正确
13.若正实数的最小值为
解：，由二元均值不等式可知
解得
再由三元均值不等式可知
此时
当且仅当时，等号成立
14.设，求
解：时，则
此时易知
情形二：当时，则
此时
情形三：当时，则
此时
综上所述：最小值为
15.设，则方程的解的个数为
解：不妨设，则易知，而
则
综上所述：总共解的个数为
16.若实数满足，求的取值范围
解：因为
情形一：当时，由常见不等式可知
所以
时，此时
令
易知，所以
17.，动点
在线段的最小值
解：将平面展开与平面
弦定理可知
所以。