(完整)2017清华大学自主招生暨领军计划数学试题[精校版,带解析]_历年自主招生考试数学试题大全,推荐文档
江苏省淮阴中学2017高三清华北大自主招生数学训练题4Word版含答
江苏省淮阴中学2017高三清华北大自主招生数学训练题4Word版含答数学自主招生训练题(4)1。
图中显示了一个几何图形的三个视图。
那么几何图形的表面积是()a . 54b . 60c . 66d . 725 234侧视图前视图顶视图2年，当三个歌舞节目、两个小品节目和一个相声节目被安排在一起时，个类似节目的不相邻安排的数量是()a.72bABC的内角a，b，c满足sin2A？原罪(一？b？c)？罪恶？a。
b)？1，表面2产品s符合1？s？2.如果a，b和c分别是a，b和c的对边，那么下面的不等式成立。
c)？8B.ab(a？b)？162C.6？abc？公元12年？abc？244。
图中显示了一个几何图形的三个视图，则该几何图形的体积为A.5。
在平面直角坐标系xOy中，矢量A，B，|a|？|b|？1，a b？0，点q满足1212？？b？？c？2？d。
2？3333OQ？2(a？b)，曲线c？{P|OP？acos？？bsin？，0？？？2？}，地区？？{P|0？r。
PQ？r，r？R}，如果c？？如果是两段分离曲线，那么(A)1？r。
r？3 (B)1？r。
3？R (C) r？1？r？3 (D)1？r。
3？ryqroxc6。
如果在r上定义的函数f(x)满足f(0)=﹣1，它的导数函数f(x)满足f(x )> k > 1。
如果a和b是函数f (x) = x-px+q (p > 0，q > 0)和a，b，65123的两个不同的零，那么这三个数字可以正确地分为算术级数或几何级数。
那么p+q的值等于()a.6b.7c.8d.98。
如果已知，则a.1362r。
如果p点是△ABC平面上的一个点，并且的最大值等于()c.19d.21b.1511？？2x9。
进去？x？在的展开式中，的系数是。
？4x？？10.进去？在A，B，C中，内角A，B和C的边分别是A，B和C，这是已知的？中航的面积是1315，b？c？2、cosA？？在等腰梯形中，AB//DC，AB？公元前2年？1，？美国广播公司？移动点e和f分别在线段BC和DC上，BE？？不列颠哥伦比亚省？因为。
江苏省淮阴中学2017高三清华北大自主招生数学训练题4
数学自主招生训练题（4）1. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）A.54B.60C.66D.722. 某次联欢会要安排3个歌舞类节目、2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是（ ）A.72B.120C.144D.3 3. 已知ABC ∆的内角A 、B 、C 满足1sin 2sin()sin()2A ABC C A B +-+=--+，面积S 满足12S ≤≤，记a 、b 、c 分别为A 、B 、C 所对的边，则下列不等式成立的是（ ） A.()8bc b c +>B.()ab a b +>C.612abc ≤≤D.1224abc ≤≤4.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A.π+31 B.π+32 C.π231+ D.π232+5.在平面直角坐标系xOy 中，已知向量a ，b ，|a |=|b |1=，a ·b 0=，点Q 满足(2=a +b )，曲线==P C |{a +θcos b }20,sin πθθ≤≤，区域=Ω正视图 侧视图 俯视图},0|{R r R r P <≤≤<，若Ω C 为两段分离的曲线，则（A ）31<<<R r （B ）R r ≤<<31（C ） 31<<≤R r （D ）R r <<<316.若定义在R 上的函数f （x ）满足f （0）=﹣1，其导函数f ′（x ）满足f ′（x ）＞k ＞1，则下．8.已知，若P 点是△ABC 所在平面内一点，且，则的最大值等于（ ）9.在614x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭ 的展开式中，2x 的系数为 .10.在ABC ∆ 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知ABC ∆的面积为，12,cos ,4b c A -==- 则a 的值为 .11.在等腰梯形ABCD 中,已知//,2,1,60AB DC AB BC ABC ==∠= ,动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上, 且1,9BE BC DF DC λλ==，则A E A F 的最小值为 .12.平面直角坐标系xOy 中，双曲线C 1：﹣=1（a ＞0，b ＞0）的渐近线与抛物线C 2：x 2=2py （p ＞0）交于点O ，A ，B ，若△OAB 的垂心为C 2的焦点，则C 1的离心率为 ．13．如图，在三棱台DEF ﹣ABC 中，AB=2DE ，G ，H 分别为AC ，BC 的中点． （Ⅰ）求证：BD∥平面FGH ； （Ⅱ）若CF⊥平面ABC ，AB⊥BC，CF=DE ，∠BAC=45°，求平面FGH 与平面ACFD 所成的角（锐角）的大小．14．设数列{a n}的前n项和为S n，已知2S n=3n+3．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}，满足a n b n=log3a n，求{b n}的前n项和T n．15.若n是一个三位正整数，且n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”（如137，359，567等）．在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次，得分规则如下：若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分，若能被5整除，但不能被10整除，得﹣1分，若能被10整除，得1分．（Ⅰ）写出所有个位数字是5的“三位递增数”；（Ⅱ）若甲参加活动，求甲得分X的分布列和数学期望EX．16．平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，左、右焦点分别是F1，F2，以F1为圆心以3为半径的圆与以F2为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C上．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设椭圆E：+=1，P为椭圆C上任意一点，过点P的直线y=kx+m交椭圆E于A，B两点，射线PO交椭圆E于点Q．（i）求||的值；（ii）求△ABQ面积的最大值．17．设函数f（x）=ln（x+1）+a（x2﹣x），其中a∈R，（Ⅰ）讨论函数f（x）极值点的个数，并说明理由；（Ⅱ）若∀x＞0，f（x）≥0成立，求a的取值范围．18.已知函数()n ,nf x x x x R =-∈，其中*n ,n 2N ∈≥.(I)讨论()f x 的单调性；(II)设曲线()y f x =与x 轴正半轴的交点为P ，曲线在点P 处的切线方程为()y g x =,求证：对于任意的正实数x ，都有()()f x g x ≤；(III)若关于x 的方程()=a(a )f x 为实数有两个正实根12x x ，，求证：21|-|21ax x n<+-.数学自主招生训练题（4）答案1-8.BBAAACDA 9.1516 10.8 11. 2918 12.为平面，则：，则：；=|cos；14.===+++﹣=﹣（Ⅱ）由题意知，全部“三位递增数”的个数为个进行组合，即进行组合，即进行组合，即=，=，=0 ﹣1 1EX=0×）×+1×．=的方程为+y的方程为+=1，由于+y，即（|=2﹣，所以，|m|•|x|=|m|•，设在（，6．时，△≤0，时，1+x2=，0≤a时，函数）当＜a≤1＞＞18 （I ）解：由()f x =n nx x -，可得'()f x =1n n nx --=()11n n x --，其中n N *∈，且2n ≥. 下面分两种情况讨论： （1）当n 为奇数时.令'()f x =0，解得1x =，或1x =-.当x 变化时，'()f x ，()f x 的变化情况如下表：所以，()f x 在(),1-∞-，()1,+∞上单调递减，在()1,1-内单调递增。
清华等17所高校自主招生笔试真题
清华等17所高校自主招生笔试真题清华等17所高校2017年自主招生笔试真题2017年全国各大高校自主招生工作开始了，以下店铺搜索整理的关于清华等17所高校2017年自主招生笔试真题，供参考借鉴，希望对大家有所帮助!想了解更多相关信息请持续关注我们店铺!南开大学6月10日、11日，南开大学2017年自主招生考试顺利举行，533名考生参加了现场测试。
笔试题量很大，涵盖了语文、数学知识的学科能力测试，更多地考查学生的思辨能力和平时知识的积累。
1、“祝考生考得都会，蒙得都对”是一个什么命题并证明清华大学2017年6月10日，清华大学率先开始了自主选拔测试，2017年有近6000多人参加清华初试，2017年清华自主招生、领军计划、自强计划笔试采用同一套试卷进行测试。
清华大学初试采用笔试形式，考试科目为：数学与逻辑、理科综合(物化)、文科综合(文史)，学生依据填报的专业类参加其中两个科目的考试。
初试结果将在报名系统内公布。
据悉，2017年清华笔试在全国44个城市设有61考点，相比去年增加25个考点，其中，每个城市还设有多个考点。
考试安排：初试时间：2017年6月10日上午9：00-12：00复试时间：2017年6月16日-18日，(具体测试时间以报名系统内公布为准)。
笔试题型：理科：数学30题，物理20题，化学18题，一共68题，180分钟合在一起考的。
文科：数学35题，语文12题，历史20题。
众多考生表示，本次数学试题较易，物理难度较大，化学正常。
刘震介绍，今年，清华自主选拔的初试依旧采取机考形式，全部为客观选择题，直接在计算机上做答。
根据去年的探索经验，机考不仅能保证阅卷及时准确，而且也大大降低了纸质试卷作弊的可能性，分发和回收考卷更为安全高效。
笔试试题文科综合(文史)类笔试试题：考题有明清时的自然经济瓦解、抗日战争、诗词等内容，不是考知识点记忆，主要考查阅读面、逻辑思维深度等，数学与逻辑难度较大。
今年的语文试题对语文基础知识与运用能力提出了更高要求，材料多出自社会热点或经典著作，注重对知识联系实际、学以致用能力的考查;注重考查对经典或常识的精准理解，注重对独立思考与批判思维的考查。
清华大学2017年领军计划试题
清华大学2017年自主招生与领军计划数学试题（1）设函数2()xx f x ee ax =+-，若对0,()2xf x ∀≥≥，则实数a 的取值范围是()(,3]A -∞ ()[3,)B +∞ ()(,2]C -∞ ()[2,)D +∞解答：问题等价于22x x e e ax +≥+在[0,)+∞上恒成立；记2()xx g x e e =+，()2h x ax =+，两函数均过(0,2)，且(0)3g '=，可知(,3]a ∈-∞.答案A.（2）设,A B 为两个随机事件，且,0()1A B P A ⊂<<，则()()1()A P AB P B =- ()()1()B P AB P B =-()(|)()C P B A P B = ()(|)()D P B A P B =解答：（A ）()1()1()P AB P AB P A =-=-，所以A 错；（B ）()()1()1()P AB P A B P A B P B ==-=-，所以B 对；（C ）()()(|)1()()P AB P A P B A P A P A ===，所以C 错； （D ）()()()(|)1()1()P B A P B P A P B A P A P A --==--，所以D 错；答案B.（3）从0,1,2,,9中选出三个不同数字组成四位数（其中的一个数字用两次），如5242，这样的四位数共有()1692A 个 (B)3672个 (C)3708个 (D)3888个解答：十个数中先选出3个数，再从中选出一个作为用两次的，再选出两个位置放这个数，剩下两个数再排列一下，共有32104324320C C ⨯⨯⨯=个.下面考虑0被排在了首位的情况：1°0在后三位还出现了一次：则在剩下9个数中再选两个，于是有293!216C ⨯=个.2°0只出现在首位：则在剩下9个数中再选两个，其中一个重复两次，于是有2923216C ⨯⨯=个.于是符合题目要求的四位数共有43202162163888--=个. 答案D.（4）已知集合{1,0,1}M =-，{2,3,4,5,6}N =，设映射:f M N →满足：对任意的,()()x M x f x xf x ∈++是奇函数，这样的映射f 的个数()25A (B)45 (C)50 (D)100解答：设()()()g x x f x xf x =++则(1)1g -=-，(0)(0)g f =，(1)12(1)g f =+，(1),(1)g g -均为奇数，所以只需令(0)f 为奇数，所以共有52550⨯⨯=种选择. 答案C.（5）若关于x 的方程12cos(1)0x a x -+-=只有一个实数解，则实数a 的值()1A -等于 (B)1等于 (C)2等于 (D)不唯一解答：显然12x -与cos(1)a x -均关于1x =对称，若有1x =之外的解，则均成对出现，所以要只有一个解，则只能在1x =处，此时1a =- 当1a =-时，1x ≠时121x ->，1cos(1)1a x -≤-≤，确实只有1x =一个解.答案A.（6）设,a b 为非零向量，且2b a =，则b 与b a -夹角的最大值为（B ）()12A π(B)6π(C)4π(D)3π 解答：因为2b a =，取OD b =，则平移向量a 的起点到点O ，则向量a 的终点在以O 为圆心，以2b 为半径的圆上，则b 与b a -夹角为COD ∠，根据几何意义可知，当CD 与圆O相切时，夹角最大，此时，OC CD ⊥，则1sin 2OC COD OD ∠==,则6COD π∠=. 所以0,6πα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦. 答案B.（7）已知三棱锥P ABC -的底面为边长为3的正三角形，且3,4,5,PA PB PC ===则P ABC -的体积为（C ）()3A解答：因为3AB AC AP ===,过点A 向面PBC 作垂线PH ，因为斜边长相等，则射影相等，可知H 到顶点,,P B C 距离相等，因此H 为PBC 的外心，因为PBC 为直角三角形，所以H 为PC 的中点.AH ⊥平面PBC，则2AH ==,所以113432P ABC A PBC V V --==⋅⋅⋅=答案C.（8）设函数432()2(2)2(12)41f x x x m x m x m =-++-+++，若对任意的实数,()0,x f x ≥则实数m 的取值范围是（A ）()[0,)A +∞ 1()[,)2B +∞ ()[0,1]C 1()[,1]2D解答：：()4322()02221440f x x x x x m x x ≥⇔-+-++-+≥即()()()()()2224322442221211m x x x x x x m x x x-+≥--+-+⇔-≥--+则，题目等价于对任意的实数,x ()()()222211m x x x-≥--+恒成立，当2x =时，不等式显然成立，当2x ≠时，题目等价于对任意的实数,x ()()()222112x x m x -+≥--恒成立， 因为()()()2221102x x x -+-≤-，而且0能取到，所以()()()222112x x x -+--的最大值为0， 因此0m ≥. 答案A.（9）设正实数,,,x y z w 满足22020x y z w yz wx z y --+=⎧⎪-=⎨⎪≥⎩，则z y 的最小值为 D()62A + ()622B + ()632C + ()642D +解答：设z t z yt y =⇒=，则22(2)21x w y t y t wx t +=+⎧⎪=⎨⎪≥⎩，由均值不等式可得，22(2)22(2)8y t xw y t xw +≥⇔+≥， 又因为22y t wx =，所以222(2)16y t y t +≥，则2(2)16642,642t t t t +≥⇔≥+≤-，又因为1t ≥，所以642t ≥+， 答案D.（10）给定圆O 及圆内一点P ，设,A B 是圆O 的两个动点，满足90APB ︒∠=，则AB 的中点的轨迹为 (A)()A 一个圆 ()B 一个椭圆 ()C 一段双曲线 ()D 一段抛物线解答：如图，建立平面直角坐标系，不妨假设圆O 的方程为222,x y R +=()(),00P m m R ≤<，则OM AB ⊥,所以222AM OA OM =-,因为AM PM =，所以222PM OA OM =-， 设(),M x y ，则22222()x m y R x y -+=--化简得：2222m x y mx 22R +-+=，即2222x y 224m R m ⎛⎫-+=-⎪⎝⎭， 所以轨迹为一个圆. 答案A.（11）方程23100x y z ++=的非负整数解的个数是()883A ()884B ()885C ()886D 解答：令2x y t +=，先研究3100t z +=的解的个数，然后对于t 的每一个可能的取值0t ，分别研究02x y t +=的解的个数.将未知问题（三元）转化为已知问题（二元）去解决。
2017年北大自主招生数学试题及答案
5
13
）
A. 锐角三角形
B. 钝角三角形
C. 无法确定
D. 前三个答案都不对
答案 A．
5
B.
20 5,
Å3 ã
3
C.
20 , 20
D. 前三个答案都不对
3
解析 C．
13. 正方形 ABCD 与点 P 在同一平面内，已知该正方形的边长为 1 ，且 |P A|2 + |P B|2 = |P C|2 ，则 |P D|
的最大值为（ ） √
A. 2 + 22 2 D. 前三个答案都不对
答案 A．
） B. −1.5 D. 前三个答案都不对
19. 动圆与两圆 x2 + y2 = 1 和 x2 + y2 − 6x + 7 = 0 都外切，则动圆的圆心轨迹是（ ）
A. 双曲线
B. 双曲线的一支
C. 抛物线
D. 前三个答案都不对
答案 B．
4
20.
在
△ABC
中， sin A = 4 ， cos B = 4 ，则该三角形是（
√ B. 2 6 D. 前三个答案都不对
答案 D．
6. 已知三角形三条中线长度分别为 9, 12, 15 ，则该三角形面积为（ ）
A. 64
B. 72
C. 90
D. 前三个答案都不对
答案 B．
7. 已知 x 为实数，使得 2, x, x2 互不相同，且其中有一个数恰为另一个数的 2 倍，则这样的实数 x 的个
3π
ã
的值为（
）
5
5
A.
1 1+ √
5
C.
1+
1 √
清华大学自主招生数学试题解析
• 1・2017年清华大学自主招生暨领军计划试题解析已知-•根绳子放在数轴的[0・斗」区阳丄二线密度二皿-护.求绳子的质屋- 解答加解答 件先冇cos 単十 i iin 4?5二(cos 警cos 夸一 sin 警sin 弩: 二 cos + isin再I ] i 归纳法，可得3 警+ Tn 警,1 E.世到 ttJ -' = 1,则 cw 1 — w -' TW " - C4J _'：7W + ru _l —2 COS 〒 T tv ' + ⑴ 二 2cCrS 号.战/(tw )/(a/ )f( OJ ? )/(oi 1)/(w)/(w _1 )/(w 2 )/(«"*)(4?十 W 十 2)(^~2十 J 十 2)(^ 十 y + 2)(W _1 + 胪 + 2) (1 十洞十2^ + w -] + 1 + 2M + 2w a 十 2w l + 4)(1 十 4 2^ + OJ -2 + 1 + 2^ + 2^ + 2M _r + 4)(6 + Gcos^ + 4cos 警)(6 + g 警 + Seos 警)(6 + ficos y - 4tos yj(6 + 4cOH 弩- E 阮、(6 - 6孕y + isin ^,/(x) = x z 十龙+若则f (川)几』〉的值为+ i^cos ^sin 警 + sin 警cos 弩 5-75-l)(6 + ?5- 1、4• 1・《高校自主招生一数学》 贾广素工作室• 2 •=11.若 0「门 +flCOS （A ：-l ）= 0 有唯--解,则（A.厲的值唯• B. 口的值不唯一C 门的值不存在D.以上都不对解答选A.因为f （兀）=217 +acos （A ：-l ）关于x = l 对称,所以若f （x ）^唯一零点,则零点只 能为1.将兀=1彳弋入，得到a = T,此时f （x ） =2|x_11 -cos （x-l ）,^检验« = -1符合 题意"04已知皿1 *2 ,衍皿&€ ｛1、Z ，3,4：｝ ,口3皿4》为口I ■吐.心皿4中不同数字的种类哀如N （1J23） =3,N （122,1｝二2,求所有的256个（血心gg ）的排列所得 7V （"l 山2 ,如■心）的平均值为（）.解答选D-N 5\心、a 3心）为1的个数为4；N （心•如，為虫J 为2的个数为CS （CS+2Q ） = 84； N （尙0 心皿Q 为3的个数为二144*N （Q i *2 *麻3皿4 ）为球的个数为A] — 24.117^从而 iijfR^^6(4xi + 84X2+114X3 + 24X1) = ^.在△/WC 中 *sinZ/l + sinz^/?sinz^C 的最大值为(解答选E市积化和差公式得sin^A + sin^Bsm^C=sin^A + y (cost^B - ZC) - cos(^B + 乙CM-sin^A - -^COB ^A + ~|~cos(Z 百—乙 C) 冬 sin^A - -^-cosZ^/4 + 令Y I s + (_ 4)- Z 卩)+ YA - 32175 64A- iB.1 +75D.无报大值4《高校自主招生一数学》贾广素工作室在= = + j时取等号*四人做一道选项为A.B，C.D的选择题•四牛同学的对话知厂赵:我选A.钱:我选B,GD当屮的-个一孙古我选C李古我选6四个人毎人只选了…个选项川1' R倂不相同'我中貝有一个人说谥•则说谎的人町能是诽1 解答孙或李.用列衣法•只中O代表选该选项.X代表没有选该选项一如赵说谎•则无人选A（见表1八弟盾一表1A B C D赵XX孙0O如钱说谎,则赵、钱均选A（见表2）-矛曲.表2A H C赵O践O如孙说谎.则可得如表3所示的情况:成7..O _______X• 3 *《高校自主招生一数学》贾广素工作室如李说谎.则川'得in* 4所示的悄况•成立.表4A B C D赵O钱X OO0X已知2・ lvC?C, I 2 + IV I = 1 H, I z2 + H'2 I 二4?则I ZW I (解答选注意到1 - | z + w | - - | (z w)21 = \ z2w2+ 2zw | , 从【对冇1 | z2 + | - 21 ziv | 与I $ 21 砂| 一］护+ \沪从而（最小值可以取测例如辽二捋7.⑷二上尹,最大值亦可以取到’例如辽二今+寺人⑷二-3 +丄)2 21往四面体PABC ABC为等边三角形，边长为乳“二乳珂？二4./V二乳贝W四而体P/W0的体积为（）.A. 3B. 2屈C. /1TD. /10解答选C件先PC2= PB Z+ BC\故PB±反\设P到底而的高足PH.则BC± UH ZABH =30°设PH = h.AH =a^H^b,CH = c”山余弦定理得+ A2= 32・护+护二学,+ h2 -5\07A.有最大值普B有最大值号C有最小值另 D.有最小值号* 5 *如图［所示，已知曲线+ / = l 以及直线i lt y =弄仏；y = _yx,曲线E 与八交于A,B 两点“与h 交于C-D 两点.在E 上任找一点P (不与A^.C-D 重合几直线AP.M 分 别与仏交于M,N两点，则(A,B. C, D. 解答选BC•设P 的坐标为(利小八则乎+冗二I •此吋PA 的方程为v 42ya - -7—匕-找)・Xo - V2円?的方程为+ ©)•分别与方程尸-专工联立,可得_ 72 y a + ~2X ^尤 M 二-； -------_号-列+屈09二 yri .对于函数=e i (jt-l)a (x-2),H 下选项正确的是( A.冇2个极大值 B冇2个扱小值 U 1是极大值点 解答BC, 求导数：/"(x) = e^ECx - l)2(x -2) -- I)C A -2) +=c T (x + /3)(x -^/3)(JT - 1).则f 〔C 右2个极小值门是极大值点.D. 1是极小值点(x - I}2]10在椭圆上存在2个不同的点Q,使得丨021，二丨OM I 丨(釈 在椭圆上存在4个不同的点Q,使得丨％］—|OM| |QV| 在椭圆上存在2亍不同的点0使得住椭圆上存在4个不同的点0使得△NfAsAQMO rfl 对称性，不奶设A RC D 的塑标分别为-罟- - 72图!0M\ \ 0N\ - 0M - ON -\OM\\ON\ = \ 0A\\可^\OQ\2= \o^\ \o^\’可选Wt A/.C2四点.若△MXIsAQTfO.则只能选耽刈•觸足A + 2y + 3z- 100的非负整数解的组数为(A 883B 884 C. 885).D 886Zy种数00—5C5110—484920-474830—4546h・・h・・33u1表5解的组数为51 + 49 + 4W + 46 + 45 + - + 4 + 3 + 1 + 0 =百甘 4.{(x t y，z) | x +2y + 3z^l，JC,y T z>0} ■求V的体积+这是-个玄角呗休•三条玄角边丘是1以寺.故休积为春一已知f(x)=c2x +e -ax.^ X^).均右只站孑厶求a的取值范围一解答rtl f (X) = c21 + c1- m符/CO) = 2,又f (JC ) =2c^J + c J- ◎该导歯数在［th +«■)上递増‘故贾求 f (0)=3-^>0,即a<3.州图2所小』为闘山II屈心• f E在岡.11运动JL满出/AM-艸+则-W)* 6 ** 7・的中点E 的轨迹为（）-A.圆B.稱圆 U 双曲线的一支 D.线段解答选入 由E 为中点'得PE Z + QE& 二 BE 2 十 OE 2 BO-=厝.做动点到两疋点距离的平方和为足f （因此动点E 的轨迹为慎1 一15L_已知椭圜方程为为苴右准线上一点，过P 向椭圆作切蜒，切点分别为恻的左恆点対几则（ 人解答选AU汁先汴.意到结论:在椭圆准线上作取一点•过该点作椭•圆的两条切线*那么两切点的连 线必过该准线村应的倩点（虚明略）-应用结论•可知/XF/W 的周氏九定值•且越AH 乖胃于横轴吋它的值忌小.此时JT] Xi 码，骷"百€ （1,2,3,4,5,6? T 且 JC],x z T x 3T x 4，嘉■站各不相同，则禰足心一5忌+ 10x a - 10氐+ 5x s -x a = 0的解的组数为參少?解答6.首先心-应是5的倍数点x 产1皿之或机=6t x fi = L 考虑方程-+ 10的—10盟」5心 一 5 或-5x-i + 10氏 一 W 鹤 + 5嘉二一 5* 即-x 2 - 2X 3 - 2x x + A :5 = I或—X2 + 2^3 — 2也 + Jts - — 1注意到肌-乱不足2的倍数•战由上面的方服有也-耳厂乳軌-心一 -1或若砧-应一 -1心-占二]・或者X 5 _ X? = -3、心-心=1或若也-也二】* -工4二-1故这个方程有M+3二6纽解.已知 A e { - KOJ ZV e (2,3,4,5,映射 f ： A^B. li^ 足 x 十 f(x) +球J ）为壷数.求f 的个数. 解答50.A. \AB\的扯小值为1 C. AFA13的周艮为定值B. \AB\的毘小值师 D. A MB 的面积为定值' 8 -注意到 X + /(JC ) +xf(x) = <x + l)(f(x) +1)-1. + 十 1)为偶数. 故若x 为偶数，则f (巧为奇数•即f(0)二3或和N - “的取值任意，由乘法原 理可得,答案为2x5a ^50.解答选匚一注总到公式fm 二故dH 错误.另一方血M ©/? *从而川门币二0-故F (丽｝=- 最后•如 A 二 0•则 P(AB)>0.U 知实数厲』满足a 2+ a =3b 2 +2乩且 H 则C 解答a ACD若 a<b,则 / + a<h~ + b<2( b 2+ b)<3b~ + = 矛盾.另一方面■若3b 2 + 2b= a 2 + a^(2h)2 + 2b>3b 2 +2乩矛盾.最U 若 b^2a 侧 a 2a ~ 3b~ + 2b^3(2a¥ +4a^>a - + a * 矛盾. 故得选项为ACD1 + A ：| 4 1 + A2 +I + X t0]7 ~卿( hA.显窍有】个乩小于1 B 虽务有2个在小于2 C. mHx {, --■, x 2 di?} ^2 (J17D. max { x } T , JC 2 AU \ ^2 016解答ABD.如有2个绪小于】・则上式左边大于占 + j ])•矛盾一 如有3个摘小于厶则匕式左边大于占+出+占■不质. 再注意到x t =^=-= ^01T = 2O16是一组解点匚不陇立. 如 max{jt! ,Xi»***tX aM7 }<2 Olfii 则―-—+ ―1— + ■■■ + -------- ! ----- > --------- 1 --- + -------- - ---- + ■■■ + ------ ! -----1 + 利 h1 + X 2O I 7 1 +2 0161 +2 0161 +2 016矛质.已知事件月—n<P<l?)<lt!WiJ(A . /n = i -re/?)C, H 丽=0B . p(^|A)= i-r(B)D. P(J\B)=QA. b<aB a<bC a<2b D. b<2a已知严■，总期均为大于o 的实数.a故答案选AB6 ' 8 -《高校自主招生一数学》 贾广素工作室入｛和 + 几 + zd 是等比数列B.若存在 m .>1— y… - z m ,则 JCi = yi = Zi1 q 1U 若心二-才忌二才则= ( - 1)"亠尹D 以上均不正确解答选BC首先*当首项^i = ^i-zi= 0时・皿+几十為｝不是等比数列.其次，若存在啣>l,s = % =昭，解方程组可得x…L -i = y^-i = z^-t =2x Mt 从而递推 可得Xi 二力=巧，一 1 弓 ’ 1出次*由Xi = 一忑心二亍得｝■] + Zi - 2x2 + X] =2,则幷“*斗爲二3 •不，根据递推式用為=(-1)”十右.故答棗选BCA 3 n r., =0. 5 B. 3 H * r h =0,6 C. 3 M r fl = () 7 [>, 3 » < =0,8 解答选2假设不存在航’便得 仏=0 5.则山H =O^ioo =0. 85,必存亦「使得hVU •硏5.若k 是偶数•不妨设血二三⑴汀汕笆筈於3<*・不符令题意;若血是奇数"设氐二加T-l.f炭厂+，只能f 矛氐所以选项A 正确 4= 08同理可得选项D 正确. 如果此人第2、86次全部投中•排除B,C.一同学打球■记g 为投起次后的命中率，已知心—AsFL 版则一足有().。
()2017清华大学自主招生暨领军计划数学试题[精校版,带解析]历年自主招生考试数学试题大全,文档
![()2017清华大学自主招生暨领军计划数学试题[精校版,带解析]历年自主招生考试数学试题大全,文档](https://img.taocdn.com/s3/m/58b1bfe3844769eae109ed57.png)
. WORD格式.资料.2021年清华大学自主招生暨领军方案试题1．函数f(x)(x2a)e x有最小值，那么函数g(x)x22xa的零点个数为〔〕A．0B．1C．2D．取决于a的值【答案】C【解析】注意f/(x)e x g(x)，答案C．2．ABC的三个内角A,B,C所对的边为a,b,c．以下条件中，能使得ABC的形状唯一确定的有〔〕A．a1,b2,cZB．A1500,asinA csinC2asinC bsinB C．cosAsinBcosC cos(B C)cosBsinC0,C600 D．a3,b1,A600【答案】AD．3．函数f(x) x21,g(x) lnx，以下说法中正确的有〔〕A．f(x),g(x)在点(1,0)处有公切线B．存在f(x)的某条切线与g(x)的某条切线平行C．f(x),g(x)有且只有一个交点D．f(x),g(x)有且只有两个交点专业.整理.WORD 格式.资料 .【答案】BD【解析】注意到y x1为函数g(x)在 (1,0)处的切线，如图，因此答案BD ．4．过抛物线y 2 4x 的焦点F 作直线交抛物线于A,B 两点，M 为线段AB 的中点．以下说法中正确的有〔〕3一定相离A ．以线段AB 为直径的圆与直线x2B ．|AB|的最小值为 4C ．|AB|的最小值为2D ．以线段BM 为直径的圆与y 轴一定相切【答案】AB【解析】对于选项A ，点M 到准线x1的距离为1(|AF||BF|)1|AB|，于是以线段AB 为直径3 2212, 1的圆与直线x1一定相切，进而与直线x一定相离；对于选项B ，C ，设A(4a 2,4a)，那么B( )，124aa于是 |AB| 4a22，最小值为4AB中点到准线的距离的 2倍去得到最小值；．也可将|AB|转化为4a 2对于选项D ，显然BD 中点的横坐标与1|BM|不一定相等，因此命题错误．2225．F 1,F 2是椭圆C:x 2y21(ab0)的左、右焦点，P 是椭圆C 上一点．以下说法中正确的有a b〔〕A ．a 2b 时，满足 F 1PF 2 900的点P 有两个B ．a2b 时，满足F 1PF 2900的点P 有四个C ． PF 1F 2的周长小于4aa 2D ． PF 1F 2的面积小于等于2专业.整理.WORD格式.资料.【答案】ABCD．【解析】对于选项A，B，椭圆中使得F1PF2最大的点P位于短轴的两个端点；对于选项C，F1PF2的周|PF1||PF2|sinF1PF21|PF1|2长为2a2c4a；选项D，F1PF2的面积为1|PF2|1a2．2222 6．甲、乙、丙、丁四个人参加比赛，有两花获奖．比赛结果揭晓之前，四个人作了如下猜测：甲：两名获奖者在乙、丙、丁中；乙：我没有获奖，丙获奖了；丙：甲、丁中有且只有一个获奖；丁：乙说得对．四个人中有且只有两个人的猜测是正确的，那么两个获奖者是〔〕A．甲B．乙C．丙D．丁【答案】BD【解析】乙和丁同时正确或者同时错误，分类即可，答案：BD．7．AB为圆O的一条弦〔非直径〕，OC AB于C，P为圆O上任意一点，直线PA与直线OC相交于点M，直线PB与直线OC相交于点N．以下说法正确的有〔〕A．O,M,B,P四点共圆B．A,M,B,N四点共圆C．A,O,P,N四点共圆D．以上三个说法均不对【答案】AC【解析】对于选项A，OBM OAM OPM即得；对于选项B，假设命题成立，那么MN为直径，必然有MAN为直角，不符合题意；对于选项C，MBN MOP MAN即得．答案：AC．8．sinA sinB sinC cosA cosB cosC是ABC为锐角三角形的〔〕A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B专业.整理.WORD格式.资料.【解析】必要性：由于sinB sinC sinB sin(B)sinB cosB1，2类似地，有sinC sinA1,sinB sinA1，于是sinA sinB sinC cosA cosBcosC．不充分性：当A,B C4时，不等式成立，但ABC不是锐角三角形．29．x,y,z为正整数，且x y z，那么方程1111的解的组数为〔〕x y z2A．8B．10C．11D．12【答案】B【解析】由于11113，故3x6．2x y z x假设x3，那么(y6)(z6)36，可得(y,z)(7,42),(8,24),(9,18),(10,15),(12,12)；假设x4，那么(y4)(z4)16，可得(y,z)(5,20),(6,12),(8,8)；假设x 5，那么3112,y20,y5,6，进而解得(x,y,z)(5,5,10)；10y z y3假设x6，那么(y3)(z3)9，可得(y,z)(6,6))．答案：B．10．集合A{a1,a2, ,a n}，任取1 i j k n,a i a j A,a j a k A,a k a i A这三个式子中至少有一个成立，那么n的最大值为〔〕A．6B．7C．8D．9【答案】B11．10,610,1210，那么以下各式中成立的有〔〕A．tan tan tan tan tan tan3B．tan tan tan tan tan tan3专业.整理.WORD格式.资料.C．tan tan tan3tan tan tanD．tan tan tan3tan tan tan【答案】BD【解析】令x tan,y tan,z tan，那么yx z y x z3，所以1xy1yz1zxyz3(1xy),z y3(1yz),x z3(1zx)，以上三式相加，即有xyyzzx3．类似地，有113(11),113(11),113(11)，以上三式相加，即有x y xy y z yz z x zx111x y z3．答案BD．xy yz zx xyz12．实数a,b,c满足a bc 1，那么4a14b14c1的最大值也最小值乘积属于区间〔〕A．(11,12)B．(12,13)C．(13,14)D．(14,15)【答案】B【解析】设函数f(x)4x1，那么其导函数f/(x)2，作出f(x)的图象，函数f(x)的图象在x14x13处的切线y221(x1)21，以及函数f(x)的图象过点(1,0)和(3,7)的割线73342y4x1，如图，于是可得4x14x1221(x1)21，左侧等号当x1或77777334x3右侧等号当x121，当a b1时取得；最小值为时取得；时取得．因此原式的最大值为c2337，当a b1,c3时取得，从而原式的最大值与最小值的乘积为73(144,169)．答案B．42专业.整理. WORD 格式.资料 .13．, ,z,yz1, x 2 y 221，那么以下结论正确的有〔 〕x y Rx zA ．xyz 的最大值为B ．xyz 的最大值为427C ．z 的最大值为2D ．z 的最小值为133【答案】ABD14．数列{a n }满足a 11,a 2 2,a n26a n1 a n (nN*)，对任意正整数n ，以下说法中正确的有〔〕A ．a n 2 1a n2a n 为定值B．a n1(mod9) 或a n 2(mod9)C ．4a n1a n 7为完全平方数D．8a n1a n 7为完全平方数【答案】ACD【解析】因为a n22a n3a n1a n22(6an2a n 1)an1a n226a n2an1a n 2 1a n 2(an26a n 1)a n 2 1 a n 21a n2a n ，选项A 正确；由于a 311，故a n 2 1 a n2a n a n 2 1 (6a n1a n )a na n 2 16a n 1a n a n 27，又对任意正整数恒成立，所以4a n1a n 7(a n1a n )2,8a n1a n7(a n1a n )2，应选项C 、D 正确．计算前几个数可判断选项B 错误．说明：假设数列{a n }满足a n 2 pa n 1a n ，那么a n 21a n2a n 为定值．15．假设复数z 满足z11，那么z 可以取到的值有〔 〕zA ．1B ． 1C ．51 D ．512222【答案】CD专业.整理.WORD格式.资料.【解析】因为|z|1z11，故51|z|51，等号分别当z51i和z51i时|z|z2222取得．答案CD．16．从正2021边形的顶点中任取假设干个，顺次相连构成多边形，假设正多边形的个数为〔〕A．6552B．4536C．3528D．2021【答案】C【解析】从2021的约数中去掉1，2，其余的约数均可作为正多边形的边数．设从2021个顶点中选出k个构成正多边形，这样的正多边形有2021个，因此所求的正多边形的个数就是2021的所有约数之和减去2021 k和1008．考虑到202125327，因此所求正多边形的个数为(12481632)(139)(17)202110083528．答案C．17．椭圆x2y21(a b0)与直线l1:y1x,l2:y1x，过椭圆上一点P作l1,l2的平行线，a2b222a分别交l1,l2于M,N两点．假设|MN|为定值，那么〔〕bA．2B．3C．2D．5【答案】C【解析】设点P(x,y)，可得111111，成心M(x0y0,x0y0),N(x0y0,x0y0)00224242|MN|1x024y02为定值，所以a2416,a2，答案：C．4b21b4说明：〔1〕假设将两条直线的方程改为ya1M,N，使得|MN| kx，那么；〔2〕两条相交直线上各取一点b k为定值，那么线段MN中点Q的轨迹为圆或椭圆．18．关于x,y的不定方程x21652y的正整数解的组数为〔〕A．0B．1C．2D．3【答案】B专业.整理.WORD格式.资料.19．因为实数的乘法满足交换律与结合律，所以假设干个实数相乘的时候，可以有不同的次序．例如，三个实数a,b,c相乘的时候，可以有(ab)c,(ba)c,c(ab),b(ca),等等不同的次序．记n个实数相乘时不同的次序有I n种，那么〔〕A．I22B．I312C．I496D．I5120【答案】B【解析】根据卡特兰数的定义，可得I n C n1A n n 1Cnn1n!n1．答案：AB．2n2(n1)!C2n1关于卡特兰数的相关知识见?卡特兰数——计数映射方法的伟大胜利?．20．甲乙丙丁4个人进行网球淘汰赛，规定首先甲乙一组、丙丁一组进行比赛，两组的胜者争夺冠军．4个人相互比赛的胜率如表所示：表中的每个数字表示其所在的选手击败其所在列的选手的概率，例如甲击败乙的概率是，乙击败丁的概率是．那么甲刻冠军的概率是．【答案】【解析】根据概率的乘法公式，所示概率为0.3(0.5 0.3 0.5 0.8)．21．在正三棱锥P ABC中，ABC的边长为1．设点P到平面ABC的距离为x，异面直线AB,CP的距离为y．那么limy．x3【答案】2【解析】当x时，CP趋于与平面ABC垂直，所求极限为ABC中AB边上的高，为3．2专业.整理. WORD 格式.资料 .22．如图，正方体 ABCDA 1B 1C 1D 1的棱长为1，中心为O,BF1BC,A 1E 1A 1A ，那么四面体OEBF2 4的体积为 ．1【答案】96【解析】如图，V OEBF V OEBF1V GEBF1V EGBF11V EBCC 1B 1 1 ．2 22 16 962sin 2nx)dx23．(x )2n1(1．【答案】02)2n 1(1 sin 2nx)dxx2n1(1 sin 2nx)dx 0．【解析】根据题意，有 (x24．实数x,y 满足(x 2 y 2)3 4x 2y 2，那么x 2 y 2的最大值为．【答案】1【解析】根据题意，有(x 2y 2)34x 2y 2(x 2 y 2)2，于是x 2y 2 1，等号当x 2y 21 时取得，2因此所求最大值为 1．25．x,y,z 均为非负实数，满足(x 1)2 (t 1)2 (z 3)227 ，那么xy z 的最大值与最小值分别22 4为．【答案】22 32【解析】由柯西不等式可知，当且仅当(x,y,z)(1,1,0)时，xy z 取到最大值3．根据题意，有22专业.整理. WORD 格式.资料 .x 2 y 2 z 2 x2y3z 13 ，于是 13 (x yz)23(x yz)y,解得xy z223 ．于是4 42x y z 的最小值当(x,yz)(0,0,223)时取得，为22 3．2226．假设O 为ABC 内一点，满足S AOB :S BOC :S COA4:3:2 ，设AOABAC ，那么．【答案】23【解析】根据奔驰定理，有2 4 299 ．327．复数zcos2isin2，那么z 3z 2z 2 2．33z1 3【答案】2i2【解析】根据题意，有z3z 2z 221 z 2zcos5isin51 3i ．z3 32228．z 为非零复数，z ,40的实部与虚部均为不小于1的正数，那么在复平面中，z 所对应的向量OP 的10 z端点P 运动所形成的图形的面积为.【答案】2001003 3003x y1,R)，由于401,【解析】设zxyi(x,y 40z ，于是 10 1040y如图，弓形面积为z|z|2 40x1, 1,x 2y 2 x 2 y 21202(sin 6)100 100，四边形ABCD 的面积为21(10 3 10)101003100.2632专业.整理.WORD 格式.资料 .于是所示求面积为2(100100)(1003100)200 1003300.333，那么sin4xsin2xsinxsinx 29．假设tan4xcos4xcos2xcos2xcosx．3cos8xcos4x cosx【答案】3【解析】根据题意，有sin4x sin2xsinx sinxcos8xcos4xcos4xcos2x cos2xcosx cosx(tan8x tan4x) (tan4x tan2x) (tan2xtanx)tanxtan8x3．30．将16个数：4个1，4个2，4个3，4个4填入一个 4 4的数表中，要求每行、每列都恰好有两个偶数，共有种填法．【答案】44100031．设A 是集合{1,2,3, ,14}的子集，从A 中任取 3个元素，由小到大排列之后都不能构成等差数列，那么A中元素个数的最大值为 ．【答案】8【解析】一方面，设A {a 1,a 2, ,a k }，其中kN *,1 k 14．不妨假设a 1 a 2a k ．假设k 9，由题意，a 3 a 1 3,a 5 a 37，且a 5a 3 a 3 a 1，故a 5a 17．同理a 9a 5 7．又因为a 9 a 5 a 5 a 1，所以a 9a 1 15，矛盾！故k8．另一方面，取 A {1,2,4,5,10,11,13,14}，满足题意．综上所述， A 中元素个数的最大值为8．专业.整理。
XXX2017年自主招生考试数学试题 Word版含答案
XXX2017年自主招生考试数学试题 Word版含答案1.XXX2017年面向全省自主招生考试《科学素养》测试数学试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1.已知$a=\frac{5+35-3}{5-35+3}$，$b=$，则二次根式$a^3b+ab^3+19$的值是（）A、6.B、7.C、8.D、92.有9张卡片，分别写有1～9这九个数字，将它们背面朝上洗匀后，任意抽取一张，记卡片上的数字为a，则使关于x的不等式组有解的概率为（）begin{cases}4x\geq3(x+1)\\2x-<a\end{cases}$A、$\frac{3}{452}$B、$\frac{1}{993}$C、$\frac{1}{452}$ D、$\frac{1}{165}$3.已知一次函数$y=kx+b$的图像经过点（3,0），且与坐标轴围成的三角形的面积为6，满足条件的函数有（）A、2个B、3个C、4个D、5个4.若实数$a\neq b$，且a、b满足$a^2-8a+5=0$，$b^2-8b+5=.$则A、-20.B、2.C、2或20.D、2或205.对于每个非零自然数n，抛物线$y=x-\frac{b-1}{a-1}$的值为$\frac{2n+1}{n(n+1)}$，其中$x+$与x轴交于A$_n$、B$_n$以及A$_{2017}$、B$_{2017}$的值是（）表示这两点间的距离，则A、$\frac{2017}{2016}+\frac{2018}{2017}$B、$\frac{2016}{2017}+\frac{2018}{2017}$ C、$\frac{2016}{2017}+\frac{2017}{2016}$ D、$\frac{2017}{2016}+\frac{2017}{2016}$6.已知$a,b,c$是$\triangle ABC$的三边，则下列式子一定正确的是（）A、$a^2+b^2+c^2>ab+bc+ac$B、$\frac{a+bc}{a+b+1c+1}c$ D、$a^3+b^3>c^3$7.如图，从$\triangle ABC$各顶点作平行线$AD\parallel EB\parallel FC$，各与其对边或其延长线相交于D，E，F.若$\triangle ABC$的面积为1，则$\triangle DEF$的面积为（）A、3.B、3C、D、28.半径为2.5的圆$\odot O$中，直径AB的不同侧有定点C和动点P，已知$A、$\frac{169}{25}$B、$\frac{32}{43}$C、$\frac{3}{4}$ D、$\frac{5}{6}$二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，共35分）9.若分式方程$\frac{x-a}{x+1}=a$无解，则$a$的值为_________满足$a<1$，则方程$\frac{x-a}{x+1}=a$的解为$x=\frac{a}{1-a}$，当$a\geq1$时，分母$x+1$始终大于分子$x-a$，方程无解。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
4．过抛物线 y2 4x 的焦点 F 作直线交抛物线于 A, B 两点， M 为线段 AB 的中点 ． 下列说法中正确的有
（）
A．以线段 AB 为直径的圆与直线 x B． | AB |的最小值为 4
3
一定相离
2
C． | AB |的最小值为 2
D．以线段 BM 为直径的圆与 y 轴一定相切
【答案】 AB
答案： B．
10．集合 A { a1, a 2 , , an} ，任取 1 i j k n, ai a j A, a j ak A, ak ai A 这三个式子中至
少有一个成立，则 n 的最大值为（
A． 6
.
WORD 格式 .资料
.
2016 年清华大学自主招生暨领军计划试题
1．已知函数 f ( x) ( x2 a)ex 有最小值，则函数 g( x) x2 2 x a 的零点个数为（
）
A． 0
B
．1
C
．2
D
【答案】 C
【解析】 注意 f / (x) ex g ( x) ，答案 C．
．取决于 a 的值
2． 已知 ABC 的三个内角 A, B,C 所对的边为 a, b, c ． 下列条件中，能使得 ABC 的形状唯一确定的有
2 ，最小值为 4．也可将 | AB | 转化为 AB 中点到准线的距离的
2 倍去得到最小值；
对于选项 D，显然 BD 中点的横坐标与 1 | BM | 不一定相等，因此命题错误 ． 2
x2 5．已知 F1 , F2 是椭圆 C : a 2
y2 b2 1(a b 0) 的左、右焦点， P 是椭圆 C 上一点 ．下列说法中正确的有
,B C
时，不等式成立，但 ABC 不是锐角三角形 ．
2
4
9．已知 x, y, z 为正整数，且 x
y
z ，那么方程 1
1
1
1
的解的组数为（
）
xyz2
A． 8
【答案】 B
B． 10
C． 11
D． 12
1 111 3
【解析】 由于
，故 3 x 6．
2xyzx
若 x 3，则 ( y 6)( z 6) 36 ，可得 ( y, z) (7,42), (8,24), (9,18), (10,15), (12,12) ；
交于点 M ，直线 PB 与直线 OC 相交于点 N ． 以下说法正确的有（
）
A． O, M , B, P 四点共圆
B． A, M , B, N 四点共圆
C． A, O, P, N 四点共圆
D．以上三个说法均不对
【答案】 AC
【解析】 对于选项 A， OBM OAM OPM 即得；对于选项 B，若命题成立，则 MN 为直径，必然
【解析】 对于选项 A，点 M 到准线 x
1 的距离为
1 (| AF |
| BF |)
1 | AB | ，于是以线段 AB 为直径
2
2
的圆与直线 x 1 一定相切， 进而与直线 x
3
一定相离； 对于选项
2
B，C，设
A( 4a 2 , 4a )
，则
B(
1 4a2
,
1 )，
a
于是 | AB | 4a2
1 4a2
丙：甲、丁中有且只有一个获奖；
丁：乙说得对 ．
已知四个人中有且只有两个人的猜测是正确的，那么两个获奖者是（
）
A．甲
B．乙
C．丙
D．丁
【答案】 BD
【解析】 乙和丁同时正确或者同时错误，分类即可，答案：
BD．
7．已知 AB 为圆 O 的一条弦（非直径） ， OC AB 于 C ， P 为圆 O 上任意一点，直线 PA 与直线 OC 相
若 x 4 ，则 ( y 4)( z 4) 16 ，可得 ( y, z) (5,20), (6,12),(8,8) ；
若 x 5 ，则 3
1
1
2 ,y
20 , y 5,6 ，进而解得 ( x, y, z)
(5,5,10) ；
10 y z y
3
若 x 6 ，则 ( y 3)( z 3) 9 ，可得 ( y, z) (6,6)) ．
（）
A． a 2b 时，满足 F1PF2 900 的点 P 有两个
B． a 2b 时，满足 F1PF2 900 的点 P 有四个
C． PF1F2的周长小于 4a
a2 D． PF1F2的面积小于等于
2
专业 .整理
.
WORD 格式 .资料
.
【答案】 ABCD．
【解析】 对于选项 A，B，椭圆中使得 F1PF2 最大的点 P 位于短轴的两个端点；对于选项 C， F1PF2的周
.
WORD 格式 sin B sin C sin B sin( B ) sin B cosB 1 ， 2
类似地，有 sin C sin A 1, sin B sin A 1，于是 sin A sin B sin C cos A cosB cosC ．
不充分性：当 A
1 长为 2a 2c 4a ；选项 D， F1PF2 的面积为 | PF1 | | PF2 | sin F1PF2
2
2
1 | PF1 | | PF2 |
2
2
1 a2 ． 2
6．甲、乙、丙、丁四个人参加比赛，有两花获奖
． 比赛结果揭晓之前，四个人作了如下猜测：
甲：两名获奖者在乙、丙、丁中；
乙：我没有获奖，丙获奖了；
（）
A． a 1,b 2,c Z
B． A 1500 , a sin A c sin C 2a sin C b sin B C． cos A sin B cosC cos(B C ) cos B sin C 0, C 60 0 D． a 3,b 1, A 600
【答案】 AD．
3．已知函数 f ( x) x2 1, g (x) ln x ，下列说法中正确的有（
）
A． f ( x), g ( x) 在点 (1,0) 处有公切线
B．存在 f ( x) 的某条切线与 g( x) 的某条切线平行
C． f ( x), g ( x) 有且只有一个交点
D． f ( x), g ( x) 有且只有两个交点
专业 .整理
.
WORD 格式 .资料
.
【答案】 BD
【解析】 注意到 y x 1为函数 g( x) 在 (1,0) 处的切线，如图，因此答案 BD．
有 MAN 为直角，不符合题意；对于选项 C， MBN MOP MAN 即得 ． 答案： AC．
8． sin A sin B sin C cos A cosB cosC 是 ABC 为锐角三角形的（
）
A．充分非必要条件
B．必要非充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】 B
专业 .整理