2015年高考安徽文科数学试题及标准答案解析

2015年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（文科）第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．（1）【2015年安徽，文1】设i 是虚数单位，则复数()()1i 12i -+=（ ） （A ）33i + （B ）13i -+ （C ）3i + （D ）1i -+ 【答案】C【解析】()()21i 12i 12i i 2i 3i -+=+--=+，故选C ．（2）【2015年安徽，文2】设全集{}1,2,3,4,5,6U =，{}1,2A =，{}2,3,4B =，则()R A B ð（ ）（A ）{}1,2,5,6 （B ）{}1 （C ）{}2 （D ）{}1,2,3,4 【答案】B【解析】{}1,5,6U B =ð，(){}1R A B ∴=ð，故选B ．（3）【2015年安徽，文3】设:3p x <，:13q x -<<，则p 是q 成立的（ ）（A ）充分必要条件 （B ）充分不必要条件 （C ）必要不充分条件 （D ）既不充分也不必要条件【答案】C【解析】:3p x <，:13q x -<<，q p ∴⇒，但p q ，则p 是q 成立的必要不充分条件，故选C ．（4）【2015年安徽，文4】下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ）（A ）ln y x = （B ）21y x =+ （C ）sin y x = （D ）cos y x = 【答案】D【解析】选项A ： ln y x =的定义域为()0,+∞，故ln y x =不具备奇偶性，故A 错误；选项B ： 21y x =+是偶函数，但210y x =+=无解，即不存在零点，故B 错误；选项C ：sin y x =是奇函数，故C 错；选项D ： cos y x =是偶函数，且cos 0,2y x x k k zππ==⇒=+∈，故选D ．（5）【2015年安徽，文5】已知x ，y 满足约束条件0401x y x y y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =-+的最大值是（ ）（A ）-1 （B ）-2 （C ）-5 （D ）1 【答案】A【解析】根据题意作出约束条件确定的可行域，如下图：令22z x y y x z =-+⇒=--，可知在图中()1,1A 处，2z x y =-+取到最大值-1，故选A ．（6）【2015年安徽，文6】下列双曲线中，渐近线方程为2y x =±的是（ ）（A ）2214y x -= （B ）2214x y -= （C ）2212y x -= （D ）2212x y -= 【答案】A【解析】由双曲线的渐进线的公式可行选项A 的渐进线方程为2y x =±，故选A ．（7）【2015年安徽，文7】执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的n 为（ ） （A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6 【答案】B⇒/【解析】由题意，程序框图循环如下：①1a =，；1n =②131112a =+=+，2n =；③1713512a =+=+，3n =；④117171215a =+=+，4n =，此时，171.4140.0030.00512-≈<，所以输出4n =．故选B ．（8）【2015年安徽，文8】直线34x y b +=与圆222210x y x y +--+=相切，则b =（ ） （A ）-2或12 （B ）2或-12 （C ）-2或-12 （D ）2或12 【答案】D【解析】直线34x y b +=与圆心为()1,1，半径为1的圆相切，1b =⇒=2或12，故选D ．（9）【2015年安徽，文9】一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（ ）（A）1 （B）1+ （C）2 （D）【答案】C【解析】由题意，该四面体的直观图如下，ABD ∆，ACD ∆时直角三角形，ABC ∆，ACD ∆是等边三角形，则112BCD ABD S S ∆∆===，1602ABC ACD S S ∆∆==︒=，所以四面体的表面积2122BCD ABD ABC ACD S S S S S ∆∆∆∆=+++=⨯+=+C ．（10）【2015年安徽，文10】函数()32f x ax bx cx d=+++的图像如图所示，则下列结论成立的是（ ）（A ）0a >，0b <，0c >，0d > （B ）0a >，0b <，0c <，0d > （C ）0a <，0b <，0c <，0d > （D ）0a >，0b >，0c >，0d < 【答案】A【解析】由函数()f x 的图像可知0a >，令00x d =⇒>，又()232f x ax bx c '=++，可知1x ，2x是()0f x '=的两根，由图可知10x >，20x >，12122003003b x x b a c c x x a ⎧+=->⎪<⎧⎪∴⇒⎨⎨<⎩⎪=>⎪⎩，故选A ．第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡的相应位置． （11）【2015年安徽，文11】151lg 2lg2()22-+-= ． 【答案】-1【解析】151lg 2lg2()lg5lg22lg22lg5lg2212122-+-=-+-=+-=-=-．（12）【2015年安徽，文12】在ABC ∆中，AB =75A ∠=，45B ∠=，则AC = ．【答案】2【解析】由正弦定理可知：()2sin 45sin 45sin 1807545AB AC ACAC =⇒=⇒=︒︒︒-︒+︒⎡⎤⎣⎦． （13）【2015年安徽，文13】已知数列{}n a 中，11a =，11(2)2n n a a n -=+≥，则数列{}n a 的前9项和等于 ．【答案】27 【解析】2n ≥时，112n n a a -=+，且2112a a =+，{}n a ∴是以1a 为首项，12为公差的等差数列．9981919182722S ⨯∴=⨯+⨯=+=．（14）【2015年安徽，文14】在平面直角坐标系xOy 中，若直线2y a =与函数1y x a =--的图像只有一个交点，则a 的值为 ．【答案】12-【解析】在同一直角坐株系内，作出2y a =与1y x a =--的大致图像，如下图：由题意，可知1212a a =-⇒=-．（15）【2015年安徽，文15】ABC ∆是边长为2的等边三角形，已知向量a 、b 满足2AB a =，2AC a b =+，则下列结论中正确的是 ．（写出所有正确结论得序号） ①a 为单位向量；②b 为单位向量；③a b ⊥；④//b BC →；⑤(4)a b BC +⊥． 【答案】①④⑤【解析】∵等边三角形ABC 的边长为2，2AB a =，∴221AB a a ==⇒=，故①正确；2AC AB BC a BC =+=+，2BC b b ∴=⇒=，故②错误，④正确；由于2AB a =，BC b =⇒a 与b 夹角为120︒，故③错误；又()()21444412402a b BC a b b ab b⎛⎫+⋅=+⋅=+=⨯⨯⨯-+= ⎪⎝⎭()4a b BC ∴+⊥，故⑤正确．因此，正确的编号是①④⑤．三、解答题：本大题共6题，共75分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．解答写在答题卡上的指定区域内．（16）【2015年安徽，文16】（本小题满分12分）已知函数2()(sin cos )cos2f x x x x =++．（Ⅰ）求()f x 最小正周期；（Ⅱ）求()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值． 解：（Ⅰ）化简可得()214f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，即可求出()f x 的最小正周期22T ππ==．（Ⅱ）0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，52,444x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，sin 24x π⎡⎤⎛⎫∴+∈⎢⎥ ⎪⎝⎭⎣⎦，()max 1f x =，()min 0f x =． （17）【2015年安徽，文17】（本小题满分12分）某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示）， 其中样本数据分组区间为[]40,50，[]50,60，…，[]80,90，[]90,100． （Ⅰ）求频率分布图中a 的值；（Ⅱ）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；（Ⅲ）从评分在[]40,60的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在[]40,50的概率．解：（Ⅰ）因为()0.0040.0180.02220.028101a +++⨯+⨯=，所以0.006a =． （Ⅱ）由所给出频率分布直方图知，50名受访职工评分不低于80的频率为()0.0220.018100.4+⨯=，所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为0.4．（Ⅲ）受访职工中评分在[)50,60的有：500.006103⨯⨯=(人)，记为123,,A A A ；受访职工中评分在[)40,50的有：500.004102⨯⨯=(人)，记为12,B B ．从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，它们是{}12,A A ，{}13,A A ，{}11,A B ，{}12,A B ，{}23,A A ，{}21,A B ，{}22,A B ，{}31,A B ，{}32,A B，{}12,B B ，又因为所抽取2人的评分都在[)40,50的结果又1种，即{}12,B B ，故所求的概率为110p =．（18）【2015年安徽，文18】（本小题满分12分）已知数列{}n a是递增的等比数列，且149a a +=，238a a =．（Ⅰ）求数列{}n a的通项公式；（Ⅱ）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，11n n n n a b S S ++=，求数列{}n b的前n 项和n T ．解：（Ⅰ）由题设知：14238a a a a ⋅=⋅=，又149a a +=，可解得1418a a =⎧⎨=⎩或1481a a =⎧⎨=⎩（舍去）．由341a a q =得公比2q =，故1112n n n a a q --==． （Ⅱ）()111221112n n n n a q S q --===---，()()1121121212121n n n n n n b ++∴==-----，111111111111221133771521212121n n n n n n T ++++-∴=-+-+-++-=-=----．（19）【2015年安徽，文19】（本小题满分13分）如图，三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，1PA =，1AB =，2AC =，60BAC ∠=︒． （Ⅰ）求三棱锥P ABC -的体积；（Ⅱ）证明：在线段PC 上存在点M ，使得AC BM ⊥，并求PMMC 的值． 解：（Ⅰ）由题设1AB =，2AC =，60BAC ∠=︒，可得1sin 602ABC S AB AC ∆=⋅⋅⋅︒=．由PA ⊥平面ABC ，可知PA 是三棱锥P ABC -的高，又1PA =，所以三棱锥P ABC -的体积13ABC V S PA ∆=⋅⋅=． （Ⅱ）在平面ABC 内，过点B 作BN AC ⊥，垂足为N ．在平面PAC 内，过点N 作//MN PA交PC 于点M ，连接BM ．由PA ⊥平面ABC 知PA AC ⊥．由于BN MN N =，故AC ⊥平面MBN ，又BM ⊂平面MBN ，所以AC BM ⊥．在直角BAN ∆中，1cos 2AN AB BAC =⋅∠=，从而32NC AC AN =-=．由//MN PA ，得13PM AN MC NC ==． （20）【2015年安徽，文20】（本小题满分13分）设椭圆E 的方程为()222210x y a ba b +=>>，点O 为坐标原点，点A 的坐标为()0a ，，点B 的坐标为()0b ，，点M 在线段AB 上，满足2BM MA=，直线OM 的斜率为． （Ⅰ）求E 的离心率e ；（Ⅱ）设点C的坐标为()0b -，，N 为线段AC 的中点，证明MN AB ⊥．解：（Ⅰ）由题设条件知，点M的坐标为21(,)33a b ，又OM k =，从而2b a =， 进而得,2ac b ==，故c e a ==．（Ⅱ）由N 是AC 的中点知，点N 的坐标为,22a b ⎛⎫- ⎪⎝⎭，可得5,66a b NM ⎛⎫= ⎪⎝⎭．又(),AB a b =-， 从而有()22221515666AB NM a b b a ⋅=-+=-．由（Ⅰ）的计算结果可知225a b =，所以0AB NM ⋅=，故MN AB ⊥．（21）【2015年安徽，文21】（本题满分13分）已知函数2()(00)()axf x a r x r =>>+，．（Ⅰ）求()f x 的定义域，并讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）若400ar =，求()f x 在()0,+∞内的极值． 解：（Ⅰ）由题意知x r ≠-，所求的定义域为()(),,r r -∞--+∞．()()2222axaxf x x rx r x r ==+++，()()()()()()()2224222222a x rx r ax x r a r x x r f x x r xrx r ++-+-+'==+++，所以当x r <-或x r >时，()0f x '<，当r x r -<<时，()0f x '>．因此，()f x 的单调递减区间为(),r -∞-和(),r +∞，()f x 的单调递增区间为(),r r -．（Ⅱ）由（Ⅰ）的解答可知()0f r '=，()f x 在()0,r 上单调递增，在(),r +∞上单调递减，因此，x r =是()f x 的极大值点．所以()f x 在()0,+∞内的极大值为()()2400100442ar a f r r r ====．所以()f x 在()0,+∞内极大值为100，无极小值．。