数列应用题专题训练

an=60-(n-1) 0.·5
所以 {a n} 是以 60 为首项， -0.5 为公差的等差数列，
故 a10=60-9 ×0.5=55.5 元
20 次分期付款总和
60 50.5
S20=
×20=1105 元，
2
实际付款 1105+150=1255( 元 )
答：第 10 个月该付 55.5 元，全部付清后实际共付额 1255 元。
2.经 6 次倒出后，一共倒出多少 kg 盐？此时加 1 kg 水后容器内盐水的盐的质量分数为多
少？
解： 1.每次倒出的盐的质量所成的数列为 { an} ，则：
a1= 0.2 kg ,
1
a2= ×0.2 kg ,
2
a3 = ( 1 )2×0.2 kg 2
由此可见： an= ( 1 )n 1×0.2 kg , 2
P 元，每期利率为 r，经过 n 期，按
单利计算的本利和公式为 Sn=P(1+nr) 。
复利是一种计算利率的方法， 即把前一期的利息和本金加在一起做本金， 再计算下一期的利息。 设本金为 P，每期利率为 r，设本利和为 y，存期为 x ，则复利函数式为 y=P(1+r) x。
例 1、（储蓄问题） 某家庭为准备孩子上大学的学费，每年
分析： 这两种存款的方式区别在于计复利与不计复利， 但由于利率不同， 因此最后的本利也不同。
解：若不计复利， 5 年的零存整取本利是 2000(1+5×0.065)+2000(1+4 ×0.065)+ …+2000(1+0.065)=1195；0
若计复利，则 2000(1+5%) 5+2000(1+5%) 4+… +2000(1+5%) ≈ 1186元0 。 所以 ,第一种存款方式到期的全部本利较高。
30 人，到 11 月 30 日止，
该市在这 30 天内感染该病毒的患者共有 8670 人，问 11 月几日，该市感染此病毒的新患者人数最
多？并求这一天的新患者人数。
分析： 设 11 月 n 日这一天新感染者最多， 则由题意可知从 11 月 1 日到 n 日，每天新感染者人
数构成一等差数列；从 n+1 日到 30 日，每天新感染者构成另一个等差数列。这两个等差数列的和
即为这个月总的感染人数。
略解：由题意， 11 月 1 日到 n 日，每天新感染者人数构成一等差数列
an， a1=20,d1 =50,11 月 n
日新感染者人数 an=50n— 30；从 n+1 日到 30 日，每天新感染者人数构成等差数列 bn,b1=50n-60,d 2=
— 30， bn=(50n-60)+(n-1)(-30)=20n-30,11 月 30 日新感染者人数为 b30-n=20(30-n)-30=-20n+570.
b
构成等比
2n
数列，对于这类问题一般有以下两种方法求解：
bb b
b
1
解法一、直接列式：由题， s=b+ 2 + 2 2 + 23 +… + 2 n =b(2- 2n )
b
bb
bb b
b
（广告费为 1 千元时，s=b+ 2 ；2 千元时，s=b+ 2 + 2 2 ；… n 千元时 s=b+ 2 + 2 2 + 23 +… + 2 n ）
解法二、（累差叠加法）设 s0 表示广告费为 0 千元时的销售量，
s1 s0 由题： s2 s1
b
2
b
22
bb b
b
，相加得 Sn-S0= 2 + 22 + 2 3 +…+ 2n ,
b sn sn 1 2n
bb b
b
1
即
s=b+
+
2
22
+
23
+…+
2n
=b(2-
2n
)。
1
1
（ 2） b=4000 时， s=4000(2- 2n ),设获利为 t,则有 t=s· 10-1000n=40000(2- 2 n )-1000n
∴ 2000 年底该城市人均住房面积为： 点评： 实际问题中提炼出等差、等比数列。
3270 5.98 m2 546.8
例 5 （浓度问题） 从盛有盐的质量分数为 20%的盐水 2 kg 的容器中倒出 1 kg 盐水，然后加入 1 kg
水，以后每次都倒出 1 kg 盐水，然后再加入 1 kg 水，
问： 1.第 5 次倒出的的 1 kg 盐水中含盐多少 g？
二、等差、等比数列问题
等差、等比数列是数列中的基础，若能转化成一个等差、等比数列问题，则可以利用等差、等
比数列的有关性质求解。 例 2、（分期付款问题） 用分期付款的方式购买家用电器一件，价格为
1150 元。购买当天先付
150 元，以后每月这一天都交付 50 元，并加付欠款的利息，月利率为 1%。若交付 150 元以后的第
甲方案：一次性贷款 10 万元，第一年便可获得利润 1 万元，以后每年比上年增加 30％的利润；
乙方案：每年贷款 1 万元，第一年可获得利润 1 万元，以后每年比前一年多获利 5000 元．
两种方案的期限都是 10 年，到期一次行归还本息．若银行贷款利息均以年息
10％的复利计算，
试 比较 两个方案 哪个获得存利润 更多 ？ （计 算精 确 到千 元，参考数 据：
一个月开始算分期付款的第一日，问分期付款的第
10 个月该交付多少钱？全部货款付清后，买这
件家电实际花了多少钱？
解：购买时付出 150 元，余欠款 1000 元，按题意应分 20 次付清。
设每次所付欠款顺次构成数列 {a n} ，则
a1=50+1000 ×0.01=60 元， a2=50+(1000-50) 0×.01=59.5 元， a3=50+(1000-50 2×) ×0.01=59 ， ……
例 3、（疾病控制问题） 流行性感冒（简称流感）是由流感病毒引起的急性呼吸道传染病。某
市去年 11 月份曾发生流感，据资料记载， 11 月 1 日，该市新的流感病毒感染者有 20 人，以后，
每天的新感染者平均比前一天的新感染者增加
50 人。由于该市医疗部门采取措施，使该种病毒的
传播得到控制，从某天起，每天的新感染者平均比前一天的新感染者减少
Tn Tn 1
n5
欲使 T n 最大，则：
，得
，故 n=5, 此时 s=7875。
Tn Tn 1
n5
即该厂家应生产 7875 件产品，做 5 千元的广告，能使获利最大。
四、 an= C·an-1 +B，其中 B、C 为非零常数且 C≠ 1
数列应用题专题训练
高三数学备课组
以数列知识作为背景的应用题是高中应用题中的常见题型， 在理解题意的基础上，正确处理数列中的递推关系。
要正确快速地求解这类问题， 需要
一、储蓄问题
对于这类问题的求解，关键是要搞清： (1)是单利还是复利； (2) 存几年。
单利是指本金到期后的利息不再加入本金计算。设本金为
（ 2）当 a=10,b=4000 时厂家应生产多少件这种产品，做几千元广告，才能获利最大？
分析：对于 (1)中的函数关系， 设广告费为 n 千元时的销量为 sn,则 sn-1 表示广告费为 (n-1)元时的
b 销量，由题意， sn—— sn-1= 2 n ，可知数列 {s n} 不成等差也不成等比数列，但是两者的差
8
解：（ 1）由题意得，当 n 1 时， a1 a ，当 n 2 时， an a( 2 )n 1 b( 3 )n 2 ，
3
2
a
(n 1)
∴ an
a(
2 )
n
1
b(
3 )
n
2
(n
．
2)
3
2
（ 2）由已知 b
8a
，
27
当 n 2 时， an a( 2 )n 1 3
8a ( 3 )n 2 27 2
2[a( 2 )n 1
点评： 掌握浓度问题中的数列知识。
例 6．（减员增效问题） 某工厂在 1999 年的“减员增效”中对部分人员实行分流，规定分流人员第
一年可以到原单位领取工资的 100％，从第二年起，以后每年只能在原单位按上一年的
2
领取工
3
资，该厂根据分流人员的技术特长， 计划创办新的经济实体， 该经济实体预计第一年属投资阶段，
1
1.1 1
∴乙方案扣除本息后的净获利为： 32.50 17.53 15.0 （万元）
17.53 （万元）
所以，甲方案的获利较多．
三、 an- a n-1=f(n),f(n) 为等差或等比数列
有的应用题中的数列递推关系， an 与 an-1 的差（或商）不是一个常数，但是所得的差 构成一个等差或等比数列，这在一定程度上增加了递推的难度。
故共感染者人数为：
( 20
50n
30)n
[ 50n
60
( 20n
570)]( 30
n)
=8670 ，化简得：
2
2
n2-61n+588=0, 解得 n=12 或 n=49( 舍 )，即 11 月 12 日这一天感染者人数最多，为 570 人。
例 4（住房问题） 某城市 1991 年底人口为 500 万，人均住房面积为 6 m2，如果该城市每年人口 平均增长率为 1%，每年平均新增住房面积为 30 万 m2，求 2000 年底该城市人均住房面积为多 少 m2？ (精确到 0.01)