1989年考研数学试题详解及评分参考(数一,数二,数三通用)

1989考研数二真题及解析

精心整理1989年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、填空题(每小题3分,满分21分.把答案填在题中横线上.) (1) 0lim cot 2x x x →=＿＿＿＿＿＿.(2)sin t tdt π=⎰＿＿＿＿＿＿.(3) 曲线(1)(2)xy t t dt =--在点(0,0)处的切线方程是＿＿＿＿＿＿.()2x x =+(1) 设0x >时,曲线1siny x x= ( ) (A) 有且仅有水平渐近线 (B) 有且仅有铅直渐近线(C) 既有水平渐近线,也有铅直渐近线 (D) 既无水平渐近线,也无铅直渐近线(2) 若2350a b -<,则方程532340x ax bx c +++= ( )(A) 无实根 (B) 有唯一实根(C) 有三个不同实根 (D) 有五个不同实根 (3) 曲线cos ()22y x x ππ=-≤≤与x 轴所围成的图形,绕x 轴旋转一周所成的旋转体的体积为 ( )(A) 2π (B) π (C) 22π (D) 2π(4) 设两函数()f x 及()g x 都在x a =处取得极大值,则函数()()()F x f x g x =在x a =处( )七、(本大题满分11分)对函数21x y +=,填写下表：八、(本题满分10分)设抛物线2y ax bx c =++过原点,当01x ≤≤时,0y ≥,又已知该抛物线与x 轴及直线1x =所围图形的面积为13,试确定,,a b c 使此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积V最小.1989年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析由y '在其定义域内的连续性,可知0(01)(02)2x y ='=--=.所以,所求切线方程为02(0)y x -=-,即2y x =. (4)【答案】!n【解析】方法一：利用函数导数的概念求解,即lim(1)(2)()12!x x x x n n n →=++⋅⋅+=⋅⋅⋅=.方法二：利用其导数的连续性,由复合函数求导法则可知, (1)(2)(1)1x x x x n ++⋅⋅+-⋅,所以 (0)(01)(02)(0)00f n '=++⋅⋅++++12!n n =⋅⋅⋅=.(5)【答案】1x -【解析】由定积分的性质可知,1()f t dt ⎰和变量没有关系,且()f x 是连续函数,故1()f t dt ⎰为一常数,为简化计算和防止混淆,令1()f t dt a =⎰,则有恒等式()2f x x a =+,两边0到1积分得11(1)【解析】令u e=,v =则arcsin arcsin y e u ==,由复合函数求导法则,(arcsin )v v y u u e v e ''''===⋅=即 y e '=【相关知识点】复合函数求导法则：(())y f x ϕ=的导数(())()y f x f x ϕ'''=.(2)【解析】利用不定积分的换元积分法,22ln 1ln ln ln dx d x C x x x x ==-+⎰⎰.(3)【解析】可将函数转化称为熟悉的形式来求其极限,12sin cos 12sin cos 10lim[1(2sin cos 1)]x x x x xx x x +-⋅+-→=++-,令 2sin cos 1x x t +-=,则当0x →时,0t →, 则 112sin cos 1lim[1(2sin cos 1)]lim[1]x x tx t x x t +-→→++-=+,这是个比较熟悉的极限,即10lim(1)tt t e →+=.把1(2),(2)02f f '==及20()1f x dx =⎰代入上式,得1111101022222=⋅-⋅+⋅⋅=. 三、选择题(每小题3分,满分18分.)(1)【答案】(A) 【解析】函数1siny x x=只有间断点0x =.1lim lim sin x x y x x++→→=,其中1sin x 是有界函数.当0x +→时,x 为无穷小,无穷小量和一个有界函数的乘积仍然是无穷小,所以1lim lim sin 0x x y x x++→→==, 故函数没有铅直渐近线.01sin1sin lim limlim 11x x x t x y t x t x+→+∞→+∞→=== , 又 53lim ()lim (234)x x f x x ax bx c →-∞→-∞=+++=-∞所以利用连续函数的介值定理可知,在(,)-∞+∞内至少存在一点0(,)x ∈-∞+∞使得0()0f x =,又因为()y f x =是严格的单调函数,故0x 是唯一的.故()0f x =有唯一实根,应选(B). (3)【答案】(C)【解析】如图cos (22y x x ππ=-≤≤的图像,则当cos y x =绕x 轴旋转一周,在x 处取微增dx ,则微柱体的体积2cos dV xdx π=,所以体积V 有[][]22222sin 20()422222x x ππππππππππ--=-+=++=. 因此选(C).(4)【答案】(D) 【解析】题中给出的条件中,除了一处极值点外均未指明函数其它性质,为了判定的方便,如 1cos ,00,0x y xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在0x =处不连续,因而不可导,但是 0001111cos(0)cos(0)cos cos()()lim lim lim 0222h h h f a h f a h h h h h h h h→→→+---+--===,001111cos()cos(0)cos cos (2)()2222limlim lim 0h h h f a h f a h h h h h hh h→→→---+-+===均存在；(D)是充分的：00()()()()lim limx h x h f a x f a f a f a h x h ∆=-∆→→+∆---=∆存在0()()()lim h f a f a h f a h→--'⇒=存在,应选(D).四、(本题满分6分)【解析】所给方程为一阶线性非齐次微分方程,先写成标准形式211(x 征根,因此非齐次方程有特解sin cos Y xa x xb x =+.代入方程并比较系数,得10,2a b ==,故cos 2xY x =,所以12()cos sin cos 2xf x c x c x x =++.又因为(0)0,(0)1f f '==,所以1210,2c c ==,即 1()sin cos 22xf x x x =+.六、(本题满分7分)【解析】方法一：判定方程()0f x =等价于判定函数()y f x =与x 的交点个数.令()ln x f x x e π=-+⎰,其中π⎰是定积分,为常数,且被积函数1cos2x -在(0,)π非负,故0π>⎰,为简化计算,令00k π=>⎰,即()ln xf x x k e=-+,则其导数11()f x x e'=-,令()0f x '=解得唯一驻点x e =, 即 ()0,0f x x e'><<⎧⎨,()0,+∞,4362x x =+2212(1)0,(2,0),12(1)0,(,2)(0,),y x x xy x x x⎧'=-->∈-⎪⎪⎨⎪'=--<∈-∞-+∞⎪⎩故2x =-为极小值点.令0y ''=,得3x =-,即y ''在3x =-处左右变号,所以23,(3)9x y =--=-为函数的拐点.又 20011lim lim(),x x y x x →→=+=∞故0x =是函数的铅直渐近线；211lim lim(0,x x y x x→∞→∞=+=故0y =是函数的水平渐近线. 填写表格如下：的体积2dV y dx π=,所以令其等于0得唯一驻点54a =-,dVda在该处由负变正,此点为极小值点,故体积最小,这时32b =,故所求函数225342y ax bx c x x =++=-+.。

1989考研数二真题及解析

1989考研数二真题及解析1989年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、填空题(每小题3分,满分21分.把答案填在题中横线上.)(1) 0lim cot 2x x x →=＿＿＿＿＿＿.(2) 0sin t tdt π=⎰＿＿＿＿＿＿.(3) 曲线0(1)(2)x y t t dt=--⎰在点(0,0)处的切线方程是＿＿＿＿＿＿.(4) 设()(1)(2)()f x x x x x n =++⋅⋅+L ,则(0)f '=＿＿＿＿＿＿.(5) 设()f x 是连续函数,且1()2()f x x f t dt=+⎰,则()f x =＿＿＿＿＿＿. (6) 设2,0()sin ,0a bx x f x bxx x⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩在0x =处连续,则常数a 与b 应满足的关系是＿＿＿＿＿. (7) 设tan y x y =+,则dy =＿＿＿＿＿＿.二、计算题(每小题4分,满分20分.) (1) 已知arcsin xy e -=求y '.(2) 求2ln dxx x⎰. (3) 求1lim(2sin cos )xx x x →+.(4) 已知2ln(1),arctan ,x t y t ⎧=+⎨=⎩求dy dx及22d y dx . (5) 已知1(2),(2)02f f '==及20()1f x dx =⎰,求12(2)xf x dx''⎰.三、选择题(每小题3分,满分18分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1) 设x >时,曲线1siny x x=( )(A) 有且仅有水平渐近线 (B) 有且仅有铅直渐近线(C) 既有水平渐近线,也有铅直渐近线 (D) 既无水平渐近线,也无铅直渐近线 (2) 若2350a b -<,则方程532340x ax bx c +++=( )(A) 无实根(B) 有唯一实根(C)有三个不同实根(D) 有五个不同实根(3) 曲线cos ()22y x x ππ=-≤≤与x 轴所围成的图形,绕x轴旋转一周所成的旋转体的体积为( )π(B) π(A)2π (D) 2π(C) 22(4) 设两函数()g x都在x a=处取得极大值,则f x及())(A) 必取极大值(B) 必取极小值(C) 不可能取极值(D) 是否取极值不能确定(5) 微分方程1x''-=+的一个特解应具有形式y y e(式中,a b为常数) ( )(A) x ae b+ (B) x axe b+ (C)x+ (D) x axe bx+ae bx(6) 设()f x在f x在x a=的某个领域内有定义,则()x a=处可导的一个充分条件是( ) (A) 1lim [()()]h h f a f a h→+∞+-存在 (B) 0(2)()lim h f a h f a h h →+-+存在(C) 0()()lim 2h f a h f a h h →+--存在(D) 0()()lim h f a f a h h →--存在四、(本题满分6分)求微分方程2(1)xxy x y e'+-=(0)x <<+∞满足(1)0y =的解.五、(本题满分7分)设0()sin ()()x f x x x t f t dt =--⎰,其中f 为连续函数,求()f x .六、(本题满分7分)证明方程0ln 1cos 2xx xdxe π=--⎰在区间(0,)+∞内有且仅有两个不同实根.七、(本大题满分11分)对函数21x y x +=,填写下表：单调减少区间单调增加区间极值点极值凹(U )区间凸(I )区间拐点渐近线八、(本题满分10分)设抛物线2y axbx c=++过原点,当01x ≤≤时,0y ≥,又已知该抛物线与x 轴及直线1x =所围图形的面积为13,试确定,,a b c 使此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积V 最小.1989年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、填空题(每小题3分,满分21分.) (1)【答案】12【解析】这是个0⋅∞型未定式,可将其等价变换成00型,从而利用洛必达法则进行求解. 方法一： 0cos 2lim cot 2lim lim cos 2sin 2sin 2x x x x x x x x x x x→→→==⋅ 0011limlim sin 22cos 22x x x x x →→==洛.方法二： 0cos 2lim cot 2lim sin 2x x x x x x x→→= 0012121lim cos 2lim .2sin 22sin 22x x x x x x x →→=⋅==【相关知识点】0sin lim x xx→是两个重要极限中的一个,0sin lim 1x x x→=. (2)【答案】π【解析】利用分部积分法和牛顿-莱布尼茨公式来求解,sin t tdt π=⎰[]000(cos )cos (cos )td t t t t dt πππ-=---⎰⎰分部法[]00sin (00)t ππππ=++=+-=.(3)【答案】2y x =【解析】要求平面曲线的切线,首先应求出该切线的斜率,即0()f x '.这是一个积分上限函数,满足积分上限函数的求导法则,即(1)(2)y x x '=--.由y '在其定义域内的连续性,可知0(01)(02)2x y ='=--=.所以,所求切线方程为02(0)y x -=-,即2y x =.(4)【答案】!n【解析】方法一：利用函数导数的概念求解,即0()(0)(1)(2)()0(0)limlim x x f x f x x x x n f x x→→-++⋅⋅+-'==Llim(1)(2)()12!x x x x n n n →=++⋅⋅+=⋅⋅⋅=L L .方法二：利用其导数的连续性,由复合函数求导法则可知,()(1)(2)()1(2)()f x x x x n x x x n '=++⋅⋅++⋅⋅+⋅⋅+++L L L (1)(2)(1)1x x x x n ++⋅⋅+-⋅L , 所以 (0)(01)(02)(0)00f n '=++⋅⋅++++L L 12!n n =⋅⋅⋅=L . (5)【答案】1x -【解析】由定积分的性质可知,1()f t dt⎰和变量没有关系,且()f x 是连续函数,故1()f t dt ⎰为一常数,为简化计算和防止混淆,令10()f t dt a=⎰,则有恒等式()2f x x a =+,两边0到1积分得11()(2)f x dx x a dx=+⎰⎰,即[]111112000001(2)222a x a dx xdx a dx x a x ⎡⎤=+=+=+⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰122a=+,解之得12a =-,因此()21f x x a x =+=-. (6)【答案】a b =【解析】如果函数在0x 处连续,则函数在该点处的左右极限与该点处函数值必然相等, 由函数连续性可知(0)(0)0f f a b a -==+⋅=.而 000sin sin sin (0)lim lim lim x x x bx bx bxf b b b x bx bx++++→→→==⋅=⋅=, 如果()f x 在0x =处连续,必有(0)(0)f f -+=,即a b =.(7)【答案】2()dx x y + 【解析】这是个隐函数,按照隐函数求导法,两边微分得2secy dy dx dy⋅=+,所以 222sec 1tan ()dx dx dxdy y y x y ===++,(0x y +≠).二、计算题(每小题4分,满分20分.) (1)【解析】令xu e =,v x =则arcsin arcsin xy eu-==,由复合函数求导法则,222(arcsin )2111v v y u u e v e xuuu''''===⋅=---即 221x xy e xe-'=-【相关知识点】复合函数求导法则：(())y f x ϕ=的导数(())()y f x f x ϕ'''=.(2)【解析】利用不定积分的换元积分法,22ln 1ln ln ln dx d x Cx x x x ==-+⎰⎰.(3)【解析】可将函数转化称为熟悉的形式来求其极限,110lim(2sin cos )lim[1(2sin cos 1)]xxx x x x x x →→+=++-12sin cos 12sin cos 10lim[1(2sin cos 1)]x x x x xx x x +-⋅+-→=++-,令 2sin cos 1x x t +-=,则当0x →时,0t →,则 112sin cos 1lim[1(2sin cos 1)]lim[1]x x tx t x x t +-→→++-=+,这是个比较熟悉的极限,即10lim(1)tt t e→+=.所以 012sin cos 1lim0lim(2sin cos )x x x xx x x x e→+-→+=,而 002sin cos 12cos sin lim lim 21x x x x x x x →→+--=洛,所以 012sin cos 1lim2lim(2sin cos )x x x xxx x x ee →+-→+==.(4)【解析】这是个函数的参数方程,22111221dy dy dt t dx t dx tdt t+===+,2222321111211()()()2222(2)41d y d d dt d t dx t dx dx t dt t dx dt t t tdt t -+==⋅=⋅=⋅=-+.【相关知识点】参数方程所确定函数的微分法：如果()()x t y t φϕ=⎧⎨=⎩,则()()dy t dx t ϕφ'='. (5)【解析】利用定积分的分部积分法求解定积分,111122220000111(2)(2)(2)(2)222x f x dx x df x x f x f x dx '''''⎡⎤==⋅-⎣⎦⎰⎰⎰分部法[]1011(2)0(2)2f xf x dx''=⋅--⎰1011(2)(2)22f xdf x '=-⎰()1100111(2)(2)(2)222f xf x f x dx ⎡⎤'=--⎢⎥⎣⎦⎰1111(2)(2)(2)222f f f x dx '=-+⎰,令2t x =,则11,22x t dx dt ==, 所以 1201(2)()2f x dx f t dt =⎰⎰.把1(2),(2)02f f '==及2()1f x dx =⎰代入上式,得1120111(2)(2)(2)(2)222xf x dx f f f x dx '''=-+⎰⎰21111(2)(2)()2222f f f t dt '=-+⋅⎰1111101022222=⋅-⋅+⋅⋅=.三、选择题(每小题3分,满分18分.) (1)【答案】(A)【解析】函数1sin y x x=只有间断点0x =. 001lim lim sin x x y x x ++→→=,其中1sin x是有界函数.当0x +→时,x 为无穷小,无穷小量和一个有界函数的乘积仍然是无穷小,所以1lim lim sin 0x x y x x++→→==,故函数没有铅直渐近线.01sin1sin lim limlim 11x x x t x y t x t x+→+∞→+∞→=== ,所以1y =为函数的水平渐近线,所以答案为(A). 【相关知识点】铅直渐近线：如函数()y f x =在其间断点0x x =处有0lim ()x x f x →=∞,则0x x =是函数的一条铅直渐近线；水平渐近线：当lim (),(x f x a a →∞=为常数）,则y a =为函数的水平渐近线. (2)【答案】(B)【解析】判定方程()0f x =实根的个数,其实就是判定函数()y f x =与x 有几个交点,即对函数图形的描绘的简单应用,令 53()234f x xax bx c=+++,则 42()563f x x ax b'=++.令 2t x =,则422()563563()f x x ax b t at b f t ''=++=++=,其判别式22(6)45312(35)0a b a b ∆=-⋅⋅=-<,所以 2()563f t tat b'=++无实根,即()0f t '>.所以 53()234f x xax bx c=+++在(,)x ∈-∞+∞是严格的单调递增函数.又 53lim ()lim (234)x x f x x ax bx c →-∞→-∞=+++=-∞53lim ()lim (234)x x f x xax bx c →+∞→+∞=+++=+∞所以利用连续函数的介值定理可知,在(,)-∞+∞内至少存在一点0(,)x ∈-∞+∞使得0()0f x =,又因为()y f x =是严格的单调函数,故0x 是唯一的.故()0f x =有唯一实根,应选(B). (3)【答案】(C)【解析】如图cos ()22y x x ππ=-≤≤的图像,则当cos y x=绕x 轴旋转一周,在x 处取微增dx ,则微柱体的体积2cosdV xdxπ=,所以体积V 有222cos V xdxπππ-=⎰222222cos 21cos 22242x dx xd x dxπππππππππ---+==+⎰⎰⎰[][]22222sin 20()422222x x ππππππππππ--=-+=++=.因此选(C). (4)【答案】(D)【解析】题中给出的条件中,除了一处极值点外均未指明函数其它性质,为了判定的方便,可以举出反例而排除.若取2()()()f x g x x a ==--,两者都在x a =处取得极大值0, 而4()()()()F x f x g x x a ==-在x a =处取得极小值,所以(A)、(C)都不正确.若取2()()1()f x g x x a ==--,两者都在x a =处取得极大值1, 而22()()()1()F x f x g x x a ⎡⎤==--⎣⎦在x a =处取得极大值1,所以(B)也不正确,从而选(D). (5)【答案】(B)【解析】微分方程1xy y e ''-=+所对应的齐次微分方程的特征方程为210r-=,它的两个根是121,1r r==-.而形如xy y e ''-=必有特解1xY x ae =⋅；1y y ''-=必有特解1Y b=.由叠加得原方程必有特解xY x ae b=⋅+,应选(B).(6)【答案】(D)【解析】利用导数的概念判定()f x 在x a =处可导的充分条件.(A)等价于0()()lim t f a t f a t →++-存在,所以只能保证函数在x a =右导数存在；(B)、(C)显然是()f x 在x a =处可导的必要条件,而非充分条件, 如 1cos ,00,0x y x x ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在0x =处不连续,因而不可导,但是0001111cos(0)cos(0)cos cos()()lim lim lim 0222h h h f a h f a h h h h h h h h→→→+---+--===,0001111cos()cos(0)cos cos(2)()2222lim lim lim 0h h h f a h f a h h h h h h h h→→→---+-+===均存在； (D)是充分的：00()()()()lim lim x h x h f a x f a f a f a h x h∆=-∆→→+∆---=∆存在0()()()lim h f a f a h f a h →--'⇒=存在,应选(D).四、(本题满分6分)【解析】所给方程为一阶线性非齐次微分方程,先写成标准形式211(1)xy y e x x'+-=,通解为 11(1)(1)21()dxdx x xxy e e e dx C x ---⎰⎰=+⎰211()()x x x x x x e e e dx C e C x x e x=+=+⎰.代入初始条件(1)0y =,得C e=-,所求解为()x xe y e e x=-.【相关知识点】一阶线性非齐次微分方程的标准形式为()()y p x y q x '+=,其通解公式为()()(())p x dxp x dxy e q x e dx C -⎰⎰=+⎰,其中C 为常数.五、(本题满分7分)【解析】先将原式进行等价变换,再求导,试着发现其中的规律, 0()sin ()()sin ()()xx xf x x x t f t dt x x f t dt tf t dt=--=-+⎰⎰⎰,所给方程是含有未知函数及其积分的方程,两边求导,得()cos ()()()cos ()xxf x x f t dt xf x xf x x f t dt'=--+=-⎰⎰,再求导,得()sin ()f x x f x ''=--,即 ()()sin f x f x x ''+=-,这是个简单的二阶常系数非齐次线性微分方程,对应的齐次方程的特征方程为210r+=,此特征方程的根为r i =±,而右边的sin x 可看作sin x e xαβ,0,1,i i αβαβ==±=±为特征根,因此非齐次方程有特解sin cos Y xa x xb x =+.代入方程并比较系数,得10,2a b ==,故cos 2xY x =,所以 12()cos sin cos 2xf x c x c x x=++.又因为(0)0,(0)1f f '==,所以1210,2c c ==,即1()sin cos 22xf x x x=+.六、(本题满分7分)【解析】方法一：判定方程()0f x =等价于判定函数()y f x =与x 的交点个数. 令 0()ln 1cos 2x f x x xdxe π=-+-⎰,其中01cos 2xdxπ-⎰是定积分,为常数,且被积函数1cos2x-在(0,)π非负,故1cos 20xdx π->⎰,为简化计算,令01cos 20xdx k π-=>⎰,即()ln xf x x ke=-+,则其导数11()f x x e'=-,令()0f x '=解得唯一驻点x e =, 即()0,0()0,f x x ef x e x '><<⎧⎨'<<<+∞⎩,所以,x e =是最大点,最大值为()ln 0e f e e k k e=-+=>.又因为00lim ()lim (ln )lim ()lim (ln )x x x x x f x x k e x f x x k e ++→→→+∞→+∞⎧=-+=-∞⎪⎪⎨⎪=-+=-∞⎪⎩,由连续函数的介值定理知在(0,)e 与(,)e +∞各有且仅有一个零点(不相同),故方程0ln 1cos 2xx xdxe π=--⎰在(0,)+∞有且仅有两个不同实根. 方法二：201cos 2sin xdx xdxππ-=⎰⎰,因为当0x π≤≤时,sin 0x ≥,所以]2002sin 2sin 2cos 220xdx xdx x πππ==-=>⎰.其它同方法一.七、(本大题满分11分)【解析】函数21x y x +=的定义域为()(),00,-∞+∞U ,将函数化简为211,y x x=+ 则 32243321126216(1),(2)y y x xx x x x x x '''=--=--=+=+.令0y '=,得2x =-,即2212(1)0,(2,0),12(1)0,(,2)(0,),y x x x y x x x⎧'=-->∈-⎪⎪⎨⎪'=--<∈-∞-+∞⎪⎩U 故2x =-为极小值点.令0y ''=,得3x =-,即3316(2)0,(3,0)(0,),16(2)0,(,3)y x x x y x x x⎧''=+>∈-+∞⎪⎪⎨⎪''=+<∈-∞-⎪⎩U 为凹，，为凸，y ''在3x =-处左右变号,所以23,(3)9x y =--=-为函数的拐点.又 211lim lim(),x x y x x→→=+=∞故0x =是函数的铅直渐近线；211lim lim()0,x x y x x→∞→∞=+=故0y =是函数的水平渐近线.填写表格如下：单调减少区间 (,2)(0,)-∞-+∞U单调增加区间 (2,0)- 极值点 2x =- 极值 14y =-凹区间 (3,0)(0,)-+∞U 凸区间 (,3)-∞- 拐点 2(3,)9-- 渐近线 0,0x y ==Born to win八、(本题满分10分)【解析】由题知曲线过点(0,0),得0c =,即2y ax bx =+. 如图所示,从x x dx →+的面积dS ydx =,所以 11123200011()32S ydx ax bx dx ax bx ⎡⎤==+=+⎢⎥⎣⎦⎰⎰32a b =+, 由题知 1323a b +=,即223a b -=. 当2y ax bx =+绕x 轴旋转一周,则从x x dx →+的体积2dV y dx π=,所以旋转体积 1254232211222000()()523523a x abx b x a ab b V y dx ax bx dx ππππ⎡⎤==+=++=++⎢⎥⎣⎦⎰⎰,b 用a 代入消去b ,得224(1)(1)5273a a a a V π⎡⎤--=++⎢⎥⎣⎦,这是个含有a 的函数,两边对a 求导得4(1)275dV a da π=+,令其等于0得唯一驻点54a =-,dV da在该处由负变正,此点为极小值点,故体积最小, 这时32b =,故所求函数225342y ax bxc x x =++=-+.。

历年考研数学一真题及答案解析1989~1999

1989年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.) (1) 已知(3)2f '=,则 0(3)(3)lim2h f h f h→--=_______.(2) 设()f x 是连续函数,且1()2()f x x f t dt =+⎰,则()f x =_______.(3) 设平面曲线L 为下半圆周21,y x =--则曲线积分22()Lx y ds +=⎰_______.(4) 向量场22(,,)ln(1)zu x y z xy i ye j x z k =+++在点(1,1,0)P 处的散度divu =_______.(5) 设矩阵300140003A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 100010001E ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,则逆矩阵1(2)A E --=_______.二、选择题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.) (1) 当0x >时,曲线1siny x x= ( ) (A) 有且仅有水平渐近线 (B) 有且仅有铅直渐近线(C) 既有水平渐近线,也有铅直渐近线 (D) 既无水平渐近线,也无铅直渐近线(2) 已知曲面224z x y =--上点P 处的切平面平行于平面2210x y z ++-=,则点P 的坐标是 ( ) (A) (1,-1,2) (B) (-1,1,2) (C) (1,1,2) (D) (-1,-1,2)(3) 设线性无关的函数1y 、2y 、3y 都是二阶非齐次线性方程()()()y p x y q x y f x '''++=的解,1C 、2C 是任意常数,则该非齐次方程的通解是 ( ) (A) 11223C y C y y ++ (B) 1122123()C y C y C C y +-+ (C) 1122123(1)C y C y C C y +--- (D) 1122123(1)C y C y C C y ++-- (4) 设函数2(),01,f x x x =≤<而1()sin ,,nn S x bn x x π∞==-∞<<+∞∑其中102()sin ,1,2,3,n b f x n xdx n π==⎰…,则1()2S -等于 ( )(A) 12-(B) 14- (C) 14 (D) 12(5) 设A 是n 阶矩阵,且A 的行列式||0A =,则A 中 ( )(A) 必有一列元素全为0(B) 必有两列元素对应成比例(C) 必有一列向量是其余列向量的线性组合 (D) 任一列向量是其余列向量的线性组合三、(本题满分15分,每小题5分.)(1) 设(2)(,)z f x y g x xy =-+,其中函数()f t 二阶可导,(,)g u v 具有连续的二阶偏导数,求2z x y∂∂∂. (2) 设曲线积分2()Cxy dx y x dy ϕ+⎰与路径无关,其中()x ϕ具有连续的导数,且(0)0ϕ=,计算(1,1)2(0,0)()xy dx y x dy ϕ+⎰的值.(3) 计算三重积分()x z dV Ω+⎰⎰⎰,其中Ω是由曲面22z x y =+与221z x y =--所围成的区域.四、(本题满分6分.)将函数1()arctan 1xf x x+=-展为x 的幂级数.五、(本题满分7分.)设0()sin ()()xf x x x t f t dt =--⎰,其中f 为连续函数,求()f x .六、(本题满分7分.)证明方程0ln 1cos 2x x xdx e π=--⎰在区间(0,+∞)内有且仅有两个不同实根.七、(本题满分6分.)问λ为何值时,线性方程组131231234226423x x x x x x x x λλλ+ =⎧⎪++=+⎨⎪++=+⎩ 有解,并求出解的一般形式.八、(本题满分8分.)假设λ为n 阶可逆矩阵A 的一个特征值,证明： (1)1λ为1A -的特征值； (2)Aλ为A 的伴随矩阵A *的特征值.九、(本题满分9分.)设半径为R 的球面∑的球心在定球面2222(0)x y z a a ++=>上,问当R 为何值时,球面∑在定球面内部的那部分的面积最大？十、填空题(本题满分6分,每小题2分.)(1) 已知随机事件A 的概率()P A =0.5,随机事件B 的概率()P B =0.6及条件概率()P B A |=0.8,则和事件A B 的概率()P A B =_______.(2) 甲、乙两人独立地对同一目标射击一次,其命中率分别为0.6和0.5.现已知目标被命中,则它是甲射中的概率为_______. (3) 若随机变量ξ在(1,6)上服从均匀分布,则方程210x x ξ++=有实根的概率是______.十一、(本题满分6分.)设随机变量X 与Y 独立,且X 服从均值为1、标准差(均方差)2,而Y 服从标准正态分布.试求随机变量23Z X Y =-+的概率密度函数.1989年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、填空题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】1- 【解析】原式=01(3)(3)1lim (3)122h f h f f h -→--'-=-=--. (2)【答案】1x -【解析】由定积分的性质可知,1()f t dt ⎰和变量没有关系,且()f x 是连续函数,故1()f t dt ⎰为一常数,为简化计算和防止混淆,令10()f t dt a =⎰,则有恒等式()2f x x a =+,两边0到1积分得11()(2)f x dx x a dx =+⎰⎰,即 []111112000001(2)222a x a dx xdx a dx x a x ⎡⎤=+=+=+⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰122a =+,解之得 12a =-,因此()21f x x a x =+=-. (3)【答案】π【解析】方法一：L 的方程又可写成221(0)x y y +=≤,被积分函数在L 上取值,于是原积分=1Lds π=⎰(半径为1的的半圆周长).方法二：写出L 的参数方程,cos sin x ty t=⎧⎨=⎩,(0)t π-≤≤ 则00222222()(cos sin )(sin )cos 1Lx y ds t t t tdt dt πππ--+=+-+=⋅=⎰⎰⎰.(4)【答案】2【解析】直接用散度公式22[()()(ln(1))]z PP divuxy ye x z x y z∂∂∂=+++∂∂∂ 220(1,1,0)22220()10112110z zy e x e z =++⋅=++⋅=+=++.(5)【答案】10011022001⎛⎫ ⎪ ⎪-⎪ ⎪⎝⎭【解析】由于3002001002140020120003002001A E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,为求矩阵的逆可有多种办法,可用伴随,可用初等行变换,也可用分块求逆.方法一：如果对(2)A E E -作初等行变换,则由1(2)((2))A E E E A E --→-可以直接得出1(2)A E --.本题中,第一行乘以()1-加到第二行上;再第二行乘以12,有 10010010010010010011120010020110010022001001001001001001⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ → -→ - ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 从而知 110011(2)022001A E -⎛⎫⎪ ⎪-=-⎪ ⎪⎝⎭. 方法二：对于2阶矩阵的伴随矩阵有规律：a b A c d ⎛⎫=⎪⎝⎭,则求A 的伴随矩阵 *a b d b A c d c a *-⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭.如果0A ≠,这样111a b d b d b c d c a c a A ad bc ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 再利用分块矩阵求逆的法则：1110000A AB B ---⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,本题亦可很容易求出110011(2)022001A E -⎛⎫⎪ ⎪-=-⎪ ⎪⎝⎭.二、选择题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】(A)【解析】函数1siny x x =只有间断点0x =. 001lim lim sin x x y x x ++→→=,其中1sin x是有界函数,而当0x +→时,x 为无穷小,而无穷小量和一个有界函数的乘积仍然是无穷小, 所以 001lim lim sin 0x x y x x++→→==,故函数没有铅直渐近线.01sin1sin lim limlim 11x x x t x y t x tx+→+∞→+∞→===令, 所以1y =为函数的水平渐近线,所以答案为(A).【相关知识点】铅直渐近线：如函数()y f x =在其间断点0x x =处有0lim ()x x f x →=∞,则0x x =是函数的一条铅直渐近线；水平渐近线：当lim (),(x f x a a →∞=为常数）,则y a =为函数的水平渐近线.(2)【答案】(C)【解析】题设为求曲面:(,,)0S F x y z =(其中22(,,)4F x y z z x y =++-)上点P 使S 在该点处的法向量n 与平面2210x y z ++-=的法向量{}02,2,1n =平行.S 在(,,)P x y z 处的法向量{},,2,2,1F F F n x y x y z ⎧⎫∂∂∂==⎨⎬∂∂∂⎩⎭,若0//,n n 则0,n n λλ=为常数,即22,22,1x y λλλ===.即1,1x y ==. 又点(,,)P x y z S ∈,所以2222(,)(1,1)44112x y z x y ==--=--=,故求得(1,1,2)P .因此应选(C).(3)【答案】(D)【解析】由二阶常系数非齐次微分方程解的结构定理可知,1323,y y y y --为方程对应齐次方程的特解,所以方程()()()y p x y q x y f x '''++=的通解为1132233()()y C y y C y y y =-+-+,即1122123(1)y C y C y C C y =++--,故应选D. (4)【答案】(B)【解析】()S x 是函数()f x 先作奇延拓后再作周期为2的周期延拓后的函数的傅式级数的和函数,由于()S x 是奇函数,于是11()()22S S -=-.当12x =时,()f x 连续,由傅式级数的收敛性定理,21111()()()2224S f ===.因此, 11()24S -=-.应选(B).(5)【答案】(C)【解析】本题考查||0A =的充分必要条件,而选项(A) 、(B)、(D)都是充分条件,并不必要.因为对矩阵A 来说,行和列具有等价性,所以单说列或者单说行满足什么条件就构成了||0A =的必要条件,但是不具有任意性,只需要存在一列向量是其余列向量的线性组合.以3阶矩阵为例,若 112123134A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,条件(A)必有一列元素全为0,(B)必有两列元素对应成比例均不成立,但有||0A =,所以(A)、 (B)不满足题意,不可选.若123124125A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,则||0A =,但第三列并不是其余两列的线性组合,可见(D)不正确.这样用排除法可知应选(C).三、(本题满分15分,每小题5分.)(1)【解析】由于混合偏导数在连续条件下与求导次序无关,可以先求zx∂∂,也可以先求z y ∂∂.方法一：先求zx∂∂,由复合函数求导法,1212(2)()()2z f x y g x g xy f g yg x x x x∂∂∂∂''''''=-++=++∂∂∂∂, 再对y 求偏导,得212(2)2(2)z f g yg f x y x y y y∂∂∂'''''=++=-∂∂∂∂ 111222122()()()()g x g xy g yg x yg xy y y y y ⎡⎤⎡⎤∂∂∂∂'''''''''+++++⎢⎥⎢⎥∂∂∂∂⎣⎦⎣⎦111222122200f g xg g yg xyg '''''''''''=-+⋅+++⋅+ 212222f xg g xyg '''''''=-+++. 方法二：先求zy∂∂, 122(2)()()z f x y g x g xy f xg y y y y∂∂∂∂'''''=-++=-+∂∂∂∂, 再对x 求偏导数,得222()z z f xg x y y x x∂∂∂''==-+∂∂∂∂∂ 22122(2)()()f x y g xg x xg xy x x x∂∂∂'''''''=--+++∂∂∂221222f g xg xyg '''''''=-+++. 【相关知识点】复合函数求导法则：若(,)u u x y =和(,)v v x y =在点(,)x y 处偏导数存在,函数(,)z f u v =在对应点(,)u v 具有连续偏导数,则复合函数[(,),(,)]z f u x y v x y =在点(,)x y 处的偏导数存在,且,z f u f v z f u f v x u x v x y u y v y∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+=+∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂. (2)【解析】方法一：先求出()x ϕ,再求曲线积分.设(,),(,)P x y Q x y 有连续偏导数,在所给的单连通区域D 上,LPdx Qdy +⎰与路径无关,则在D 上有Q P x y∂∂=∂∂,所以()2,y x xy ϕ'=即2()2,()x x x x C ϕϕ'==+.由(0)ϕ=0,得0C =,即2()x x ϕ=,因此(1,1)(1,1)(1,1)2222222(0,0)(0,0)(0,0)1()2I xy dx y x dy xy dx yx dy y dx x dy ϕ=+=+=+⎰⎰⎰ (1,1)(0,0)(1,1)2222(0,0)111()()222d x y x y ===⎰. 或取特殊路径如图：11222001LI xy dx yx dy dx y dy =+=+⎰⎰⎰1201122y ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦. 方法二：不必求出()x ϕ,选取特殊的路径,取积分路径如图,则(1,1)2(0,0)()I xy dx y x dy ϕ=+⎰11011(0)022y dy xdx ϕ=+=+=⎰⎰. (3)【解析】利用三重积分的性质,Ω关于yz 平面对称,x 对x 为奇函数,所以0xdV Ω=⎰⎰⎰,即()x z dV zdV ΩΩ+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰.Ω是由球心在原点半径为1的上半球面与顶点在原点、对称轴为z 轴、半顶角为4π的锥面所围成.故可选用球坐标变换,则020014πθπϕρΩ≤≤≤≤≤≤：，，,所以 2cos sin I zdV d d d ρϕρϕρϕθΩΩ==⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 2113344000001cos sin 2sin 22d d d d d πππθϕϕϕρρπϕϕρρ==⎰⎰⎰⎰⎰1440011cos 2248πππϕρ⎡⎤⎡⎤=-⋅=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.四、(本题满分6分.)【解析】直接展开()f x 相对比较麻烦,可()f x '容易展开,2222211(1)(1)21()1(1)(1)(1)11()1x x f x x x x x x x--+⋅-'=⋅==+--++++-. 由2011(1)(1),(||1)1n nn n n t t t t t t∞==-+-+-+=-<+∑,令2t x =得242222111(1)(1),(1)11nnn n n x x x x x t x ∞===-+-+-+=-<++∑即 221()(1),(||1)1n n n f x x x x ∞='==-<+∑ 所以()()(0)xf x f u du f '=+⎰,22000010(1)arctan(1)104x x nnnn n n u du u du π∞∞==+=-+=+--∑∑⎰⎰ 210(1)421n nn x n π+∞==+-+∑,(||1)x <当1x =±时,式210(1)21n nn x n +∞=-+∑均收敛,而左端1()arctan 1xf x x +=-在1x =处无定义.因此 2101(1)()arctan,[1,1)1421n n n x f x x x x n π∞+=+-==+∈--+∑.五、(本题满分7分.)【解析】先将原式进行等价变换,再求导,试着发现其中的规律, 0()sin ()()sin ()()xx xf x x x t f t dt x x f t dt tf t dt =--=-+⎰⎰⎰,所给方程是含有未知函数及其积分的方程,两边求导,得()cos ()()()cos ()xxf x x f t dt xf x xf x x f t dt '=--+=-⎰⎰,再求导,得()sin ()f x x f x ''=--,即 ()()sin f x f x x ''+=-.这是个简单的二阶常系数非齐次线性微分方程,对应的齐次方程的特征方程为210r +=, 此特征方程的根为r i =±,而右边的sin x 可看作sin xe x αβ,i i αβ±=±为特征根,因此非齐次方程有特解sin cos Y xa x xb x =+.代入方程并比较系数,得10,2a b ==,故cos 2xY x =,所以 12()cos sin cos 2xf x c x c x x =++,又因为(0)0,(0)1f f '==,所以1210,2c c ==,即1()sin cos 22xf x x x =+.六、(本题满分7分.)【解析】方法一：判定方程()0f x =等价于判定函数()y f x =与x 的交点个数.令 0()ln 1cos 2x f x x xdx e π=-+-⎰,其中1cos 2xdx π-⎰是定积分,为常数,且被积函数1cos2x -在(0,)π非负,故1cos 20xdx π->⎰,为简化计算,令01cos 20xdx k π-=>⎰,即()ln xf x x k e=-+,则其导数11()f x x e'=-,令()0f x '=解得唯一驻点x e =, 即 ()0,0()0,f x x ef x e x '><<⎧⎨'<<<+∞⎩,所以x e =是最大点,最大值为()ln 0ef e e k k e=-+=>. 又因为00lim ()lim (ln )lim ()lim (ln )x x x x x f x x k ex f x x k e ++→→→+∞→+∞⎧=-+=-∞⎪⎪⎨⎪=-+=-∞⎪⎩,由连续函数的介值定理知在(0,)e 与(,)e +∞各有且仅有一个零点(不相同),故方程0ln 1cos 2x x xdx e π=--⎰在(0,)+∞有且仅有两个不同实根.方法二：201cos 2sin xdx xdx ππ-=⎰⎰,因为当0x π≤≤时,sin 0x ≥,所以]2002sin 2sin 2cos 220xdx xdx x πππ==-=>⎰,其它同方法一.七、(本题满分6分.)【解析】对方程组的增广矩阵作初等行变换.第一行分别乘以有()4-、()6-加到第二行和第三行上,再第二行乘以()1-加到第三行上, 有1011011014122012320123261423012430001λλλλλλλλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪+→--+→--+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+--+-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 由于方程组有解的充要条件是()()r A r A =,故仅当10λ-+=,即1λ=时,方程组有解.此时秩()()23r A r A n ==<=,符合定理的第二种情况,故方程组有无穷多解.由同解方程组 1323 1,21,x x x x +=⎧⎨-=-⎩令3,x t =解得原方程组的通解1231,21,,x t x t x t =-+⎧⎪=-⎨⎪=⎩ (其中t 为任意常数). 【相关知识点】1.非齐次线性方程组有解的判定定理：设A 是m n ⨯矩阵,线性方程组Ax b =有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵()A A b =的秩,即是()()r A r A =(或者说,b 可由A 的列向量12,,,n ααα线表出,亦等同于12,,,n ααα与12,,,,n b ααα是等价向量组)设A 是m n ⨯矩阵,线性方程组Ax b =,则（1）有唯一解 ⇔ ()().r A r A n == （2）有无穷多解 ⇔ ()().r A r A n =< （3）无解 ⇔ ()1().r A r A +=⇔ b 不能由A 的列向量12,,,n ααα线表出.八、(本题满分8分.)【解析】(1)由λ为A 的特征值可知,存在非零向量α使A αλα=,两端左乘1A -,得1A αλα-=.因为0α≠,故0λ≠,于是有11A ααλ-=.按特征值定义知1λ是1A -的特征值.(2)由于逆矩阵的定义1||A A A *-=,据第(1)问有1||||A A A A ααααλλ**=⇒=,按特征值定义,即||A λ为伴随矩阵A *的特征值.【相关知识点】矩阵特征值与特征向量的定义：设A 是n 阶矩阵,若存在数λ及非零的n 维列向量X 使得AX X λ=成立,则称λ是矩阵A 的特征值,称非零向量X 是矩阵A 的特征向量.九、(本题满分9分.)【解析】由球的对称性,不妨设球面∑的球心是(0,0,)a , 于是∑的方程是2222()x y z a R ++-=.先求∑与球面2222x y z a ++=的交线Γ：2222222222(),22,x y z a R a R z a x y z a ⎧++-=-⎪⇒=⎨++=⎪⎩. 代入上式得Γ的方程 422224R x y R a+=-.它在平面xOy 上的投影曲线4222222,(02),40,R x y b b R R a az ⎧+==-<<⎪⎨⎪=⎩相应的在平面xOy 上围成区域设为xy D ,则球面∑在定球面内部的那部分面积22()1xyx y D S R z z dxdy ''=++⎰⎰.将∑的方程两边分别对,x y 求偏导得,z x z y x z a y z a∂∂=-=-∂-∂-, 所以 2222()11()()xyxyx y D D x y S R z z dxdy dxdy a z a z''=++=++--⎰⎰⎰⎰ 222221()()xyxyD D x y dxdy dxdy a z a z R x y =++=----⎰⎰⎰⎰.利用极坐标变换(02,0)b θπρ≤≤≤≤有222222()xybD S R dxdy d R x yR πθρρ=---⎰⎰⎰⎰极坐标变换2222200()2b R d R R πθρρ=---⎰⎰ 222202()2()b R R R R b R πρπ=--=--代入42224R b R a =-,化简得32()2R S R R aππ=-.这是一个关于R 的函数,求()S R 在(0,2)a 的最大值点,()S R 两边对R 求导,并令()0S R '=,得23()40R S R R a ππ'=-=,得43aR =. 且 4()0,034()0,23S R R a S R a R a ⎧'><<⎪⎪⎨⎪'<<<⎪⎩,故43aR =时()S R 取极大值,也是最大值. 因此,当43aR =时球面∑在定球面内部的那部分面积最大.十、填空题(本题满分6分,每小题2分.) (1)【解析】方法一：()()()()P A B P A P B P AB =+-()()()(|)0.7P A P B P A P B A =+-=. 方法二：()()()P AB P B P AB =+()()(|)0.60.50.20.7P B P A P B A =+=+⨯=.(2)【解析】设事件A =“甲射中”,B =“乙射中”,依题意,()0.6P A =,()0.5P B =,A 与B 相互独立,()()()0.60.50.3P AB P A P B =⋅=⨯=.因此,有 ()()()()P AB P A P B P AB =+-0.60.50.30.8=+-=. (())()(|)0.75()()P A A B P A P A AB P A B P A B ===.(3)【解析】设事件A =“方程有实根”,而方程210x x ξ++=有实根的充要条件是其判别式240ξ∆=-≥,即{}{}22404A ξξ=-≥=≥.随机变量ξ在(1,6)上服从均匀分布,所以其分布函数为0, 1,1(), 16,611, 6.x x F x x x <⎧⎪-⎪=≤<⎨-⎪≥⎪⎩由分布函数的定义()()P x k F k ≤=,{}{}21210.20.8.P P ξξ≥=-<=-= 而{}20.P ξ≤-=所以由概率的可加性,有{}{}{}2()422P A P P ξξξ=≥=≥+≤-0.800.8=+=.【相关知识点】广义加法公式：()()()()P AB P A P B P AB =+-.条件概率：()(|)()P BA P B A P A =,所以()()(|)()P AB P BA P B A P A ==. 十一、(本题满分6分.)【解析】~(1,2)X N ,~(0,1)Y N ,由独立的正态变量X 与Y 的线性组合仍服从正态分布,且235,EZ EX EY =-+=44219DZ DX DY =+=⨯+=,得 ~(5,9)Z N .代入正态分布的概率密度公式,有Z 的概率密度函数为 2(5)18()32z Z f z π--=.【相关知识点】对于随机变量X 与Y 均服从正态分布,则X 与Y 的线性组合亦服从正态分布.若X 与Y 相互独立,由数学期望和方差的性质,有()()()E aX bY c aE X bE Y c ++=++, 22()()()D aX bY c a D X b D Y ++=+,其中,,a b c 为常数.1991年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题(本题满分15分,每小题3分.)(1) 设21,cos ,x t y t ⎧=+⎨=⎩则22d y dx =__________.(2) 由方程2222xyz x y z ++=(,)z z x y =在点(1,0,1)-处的全微分dz =__________.(3) 已知两条直线的方程是1123:101x y z L ---==-；221:211x y zL +-==,则过1L 且平行于2L 的平面方程是__________.(4) 已知当0x →时,123(1)1ax +-与cos 1x -是等价无穷小,则常数a =__________.(5) 设4阶方阵 5 2 0 02 1 0 00 0 1 20 0 1 1A ⎛⎫ ⎪⎪= ⎪- ⎪⎝⎭,则A 的逆阵1A -=__________.二、选择题(本题满分15分,每小题3分.) (1) 曲线2211x x e y e--+=- ( )(A) 没有渐近线 (B) 仅有水平渐近线(C) 仅有铅直渐近线 (D) 既有水平渐近线又有铅直渐近线 (2) 若连续函数()f x 满足关系式20()ln 22xt f x f dt ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎰,则()f x 等于 ( ) (A) ln 2xe (B) 2ln 2xe(C) ln 2xe + (D) 2ln 2xe +(3) 已知级数11(1)2n n n a ∞-=-=∑,2115n n a ∞-==∑,则级数1n n a ∞=∑等于 ( )(A) 3 (B) 7 (C) 8 (D) 9(4) 设D 是xOy 平面上以(1,1)、(-1,1)和(-1,-1)为顶点的三角形区域,1D 是D 在第一象限的部分,则(cos sin )Dxy x y dxdy +⎰⎰等于 ( )(A) 12cos sin D x ydxdy ⎰⎰ (B) 12D xydxdy ⎰⎰(C) 14(cos sin )D xy x y dxdy +⎰⎰ (D) 0(5) 设n 阶方阵A 、B 、C 满足关系式ABC E =,其中E 是n 阶单位阵,则必有 ( ) (A) ACB E = (B) CBA E =(C) BAC E = (D) BCA E =三、(本题满分15分,每小题5分.)(1) 求0)x x x π+→. (2) 设n 是曲面222236x y z ++=在点(1,1,1)P 处的指向外侧的法向量,求函数2268x y u +=P 处沿方向n 的方向导数.(3) 22()x y z dV Ω++⎰⎰⎰,其中Ω是由曲线22,0y z x ⎧=⎨=⎩绕z 轴旋转一周而成的曲面与平面4z =所围成的立体.四、(本题满分6分)在过点(0,0)O 和(,0)A π的曲线族sin (0)y a x a =>中,求一条曲线L ,使沿该曲线从O 到A 的积分3(1)(2)Ly dx x y dy +++⎰的值最小.五、(本题满分8分.)将函数()2||(11)f x x x =+-≤≤展开成以2为周期的傅立叶级数,并由此求级数211n n ∞=∑的和.六、(本题满分7分.)设函数()f x 在[0,1]上连续,(0,1)内可导,且1233()(0)f x dx f =⎰,证明在(0,1)内存在一点c ,使()0f c '=.七、(本题满分8分.)已知1(1,0,2,3)α=,2(1,1,3,5)α=,3(1,1,2,1)a α=-+,4(1,2,4,8)a α=+,及(1,1,3,5)b β=+.(1) a 、b 为何值时,β不能表示成1234αααα、、、的线性组合？(2) a 、b 为何值时,β有1234αααα、、、的唯一的线性表示式？并写出该表示式.八、(本题满分6分)设A 为n 阶正定阵,E 是n 阶单位阵,证明A E +的行列式大于1.九、(本题满分8分)在上半平面求一条向上凹的曲线,其上任一点(,)P x y 处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ 长度的倒数(Q 是法线与x 轴的交点),且曲线在点(1,1)处的切线与x 轴平行.十、填空题(本题满分6分,每小题3分.)(1) 若随机变量X 服从均值为2,方差为2σ的正态分布,且{}240.3P X <<=,则{}0P X <=_______.(2) 随机地向半圆202y ax x <<-(a 为正常数)内掷一点,点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比,则原点和该点的连线与x 轴的夹角小于4π的概率为_______.十一、(本题满分6分)设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为(2)2, 0,0(,)0, x y e x y f x y -+⎧>>=⎨⎩其他, 求随机变量2Z X Y =+的分布函数.1991年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、填空题(本题满分15分,每小题3分.) (1)【答案】3sin cos 4t t tt -【解析】这是个函数的参数方程,满足参数方程所确定函数的微分法,即如果 ()()x t y t φϕ=⎧⎨=⎩, 则 ()()dy t dx t ϕφ'='.所以 sin 2dydy tdt dx dx tdt-==, 再对x 求导,由复合函数求导法则得22sin 1()()22d y d dy dt d t dx dt dx dx dt t t-=⋅=⋅232cos 2sin 1sin cos 424t t t t t tt t t-+-=⋅=. (2)【答案】2dx dy -【解析】这是求隐函数在某点的全微分,这里点(1,0,1)-的含义是(1,0)1z z ==-. 将方程两边求全微分,由一阶全微分形式不变性得222222()02d xyz x y z+=++,再由全微分四则运算法则得222()()xy dz ydx xdy z x y z++=++,令1,0,1x y z ===-,得2dy =,即2dz dx dy =. (3)【答案】320x y z -++=【解析】所求平面∏过直线1L ,因而过1L 上的点(1,2,3)；因为∏过1L 平行于2L ,于是∏平行于1L 和2L 的方向向量,即∏平行于向量1(1,0,1)l =-和向量2(2,1,1)l =,且两向量不共线,于是平面∏的方程1231010211x y z ----=, 即320x y z -++=. (4)【答案】32-【解析】因为当0x →时,11sin ,(1)1nxx x x n+-, 当0x →时20ax →,所以有122223111(1)1,cos 1sin ,322ax ax x x x +--=--所以 12230021(1)123lim lim 1cos 132x x axax a x x →→+-==---. 因为当0x →时,123(1)1ax +-与cos 1x -是等价无穷小,所以213a -=,故32a =-. (5)【答案】12002500120033110033-⎛⎫⎪- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪-⎪⎝⎭. 【解析】为求矩阵的逆可有多种办法,可用伴随,可用初等行变换,也可用分块求逆.根据本题的特点,若知道分块求逆法,则可以简单解答.注意： 1110000A AB B ---⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,111000A B B A---⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 对于2阶矩阵的伴随矩阵有规律：a b A c d ⎛⎫=⎪⎝⎭,则求A 的伴随矩阵*a b d b A c d c a *-⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭.如果0A ≠,这样111a b d b d b c d c a c a A ad bc---⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 再利用分块矩阵求逆的法则：1110000A AB B ---⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,易见 112002500120033110033A --⎛⎫⎪- ⎪ ⎪= ⎪⎪⎪-⎪⎝⎭.二、选择题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.)(1)【答案】(D)【解析】由于函数的定义域为0x ≠,所以函数的间断点为0x =,222211lim limlim11x x x x x x x e e y ee --→→→++===∞--,所以0x =为铅直渐近线,222211lim limlim111x x x x x x x e e y ee --→∞→∞→∞++====--,所以1y =为水平渐近线.所以选(D).【相关知识点】铅直渐近线：如函数()y f x =在其间断点0x x =处有0lim ()x x f x →=∞,则0x x =是函数的一条铅直渐近线；水平渐近线：当lim (),(x f x a a →∞=为常数）,则y a =为函数的水平渐近线.(2)【答案】(B) 【解析】令2tu =,则2,2t u dt du ==,所以 20()ln 22()ln 22x x t f x f dt f u du ⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭⎰⎰,两边对x 求导,得()2()f x f x '=,这是一个变量可分离的微分方程,即[()]2()d f x dx f x =.解之得2()xf x Ce =,其中C 是常数.又因为0(0)2()ln 2ln 2f f u du =+=⎰,代入2()x f x Ce =,得0(0)ln 2f Ce ==,得ln 2C =,即2()ln 2x f x e =⋅.(3)【答案】(C) 【解析】因为112342121(1)n n n n n a a a a a a a ∞--=-=-+-++-+∑1234212()()()n n a a a a a a -=-+-++-+212212111()n n n n n n n aa a a ∞∞∞--====-=-∑∑∑(收敛级数的结合律与线性性质),所以1221111(1)523n nn n n n n aa a ∞∞∞--====--=-=∑∑∑.而12342121()()()nn n n aa a a a a a ∞-==+++++++∑212212111()n n n n n n n aa a a ∞∞∞--====+=+∑∑∑538=+=,故应选(C).(4)【答案】(A)【解析】如图,将区域D 分为1234,,,D D D D 四个子区域. 显然,12,D D 关于y 轴对称,34,D D 关于x 轴对称.令 12cos sin DDI xydxdy I x ydxdy ⎧=⎪⎨=⎪⎩⎰⎰⎰⎰,由于xy 对x 及对y 都是奇函数,所以12340,0D D D D xydxdy xydxdy ++==⎰⎰⎰⎰.而cos sin x y 对x 是偶函数,对y 是奇函数,故有34121cos sin 0,cos sin 2cos sin D D D D D x ydxdy x ydxdy x ydxdy ++==⎰⎰⎰⎰⎰⎰,所以 112(cos sin )2cos sin DD xy x y dxdy II x ydxdy +=+=⎰⎰⎰⎰,故选(A).(5)【答案】(D)【解析】矩阵的乘法公式没有交换律,只有一些特殊情况可以交换.由于A 、B 、C 均为n 阶矩阵,且ABC E =,对等式两边取行列式,据行列式乘法公式||||||1A B C =,得到0A ≠、0B ≠、0C ≠,知A 、B 、C 均可逆,那么,对于ABC E =,先左乘1A -再右乘A 有 1ABC E BC A BCA E -=→=→=,故应选(D).其实,对于ABC E =先右乘1C -再左乘C ,有1ABC E AB C CAB E -=→=→=.三、(本题满分15分,每小题5分.) (1)【解析】这是1∞型未定式求极限.1(cos 1)cos 1lim (cos )lim (1(cos 1))x xx x x x x x ππ++-⋅-→→=+-令1x t =,则0x +→时0t -→,所以1cos 100lim(11))lim(1)x tx t x t e +--→→+=+=, 所以 01(cos 1)(cos 1)(cos 1)limcos 1lim (1lim x x x x xx x x x e e πππ→++---⋅-→→+==.因为当0x →时,sin x x ,所以220002sin 21)limlim lim 2x x x x x x x x x ππππ+++→→→--⎝⎭⎝⎭===-,故 0(cos 1)lim2lim )x x xx x e eπππ→+--→==.(2)【解析】先求方向n 的方向余弦,再求,,u u ux y z∂∂∂∂∂∂,最后按方向导数的计算公式 cos cos cos u u u u n x y zαβγ∂∂∂∂=++∂∂∂∂求出方向导数. 曲面222236x y z ++=在点(1,1,1)P 处的法向量为{}{}{}(1,1,1)4,6,24,6,222,3,1Px y z x y z ±==±,在点(1,1,1)P 处指向外侧,取正号,并单位化得}}{}222,3,12,3,1cos ,cos ,cos .14231n αβγ===++ 又 222222222222226614686888146868686814P P P u x x x z x y z x y u y y y z x y z x y x y x y u z z z ⎧∂⎪===⎪∂++⎪⎪∂⎪===⎨∂++⎪⎪⎪++∂===⎪∂⎪⎩, 所以方向导数cos cos cos u u u u n x y z αβγ∂∂∂∂=++∂∂∂∂ 62831111471414141414=⋅+⋅-⋅=. (3)【解析】由曲线22,0y z x ⎧=⎨=⎩绕z 轴旋转一周而围成的旋转面方程是222x y z +=.于是,Ω是由旋转抛物面221()2z x y =+与平面4z =所围成.曲面与平面的交线是 228,4x y z +==.选用柱坐标变换,令cos ,sin ,x r y r z z θθ===,于是:02,04,02z r z θπΩ≤≤≤≤≤≤,因此 22()I x y z dV Ω=++⎰⎰⎰ 42220()zdz d r z rdr πθ=+⎰⎰⎰24240242r z r r r z dz π==⎡⎤⎛⎫⎢⎥=+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎰42025643z dz ππ==⎰.四、(本题满分6分)【解析】曲线sin ,([0,])y a x x π= ∈,则cos dy a xdx =,所以 3(1)(2)LI y dx x y dy =+++⎰3[1(sin )(2sin )cos ]a x x a x a x dx π=+++⋅⎰23301sin 2cos sin 22a a x ax x x dx π⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭⎰233sin 2cos sin 22a axdx a x xdx xdx ππππ=+++⎰⎰⎰232(cos 1)cos 2sin sin 224a ax d x a xd x xd x ππππ=+-++⎰⎰⎰[][]2330001cos cos 2sin cos cos 234a a x x a x x x x ππππ⎡⎤=+-+++-⎢⎥⎣⎦3443a a π=+-. 对关于a 的函数3443I a a π=+-两边对a 求导数,其中0a >,并令0,I '=得2440I a '=-=.所以1a =, 且 0,010,1I a I a '<<<⎧⎨'><<+∞⎩.故1a =为函数344,(0)3I a a a π=+->的极小值点,也是最小值点.故所求的曲线为 sin ,([0,])y x x π= ∈.五、(本题满分8分.)【解析】按傅式级数公式,先求()f x 的傅式系数n a 与n b .因()f x 为偶函数,所以1()sin 0(1,2,3,)l n l n b f x xdx n l l π-== =⎰, 012()cos ()cos l l n l n n a f x xdx f x xdx l l l l ππ-==⎰⎰11100022(2)cos 4cos sin x n xdx n xdx xd n x n ππππ=+=+⎰⎰⎰122022(cos 1)sin (1,2,3,)n n xdx n n n ππππ-=-= =⎰, 1002(2)5a x dx =+=⎰.因为()2||f x x =+在区间(11)x -≤≤上满足狄利克雷收敛定理的条件,所以01()2||cos sin 2n n n a n n f x x a x b x l l ππ∞=⎛⎫=+=++ ⎪⎝⎭∑ 22152(cos 1)cos 2n n n x n πππ∞=-=+∑221541cos(21)(11)2(21)n n x x n ππ∞==-- -≤≤-∑. 令0x =,有221541(0)20cos 02(21)n f n π∞==+=--∑,所以,2211(21)8n n π∞==-∑.又 222221111111111(21)(2)(21)4n n n n n n n n n ∞∞∞∞====⎡⎤=+=+⎢⎥--⎣⎦∑∑∑∑, 所以, 2213148n n π∞==∑,即 22116n n π∞==∑.六、(本题满分7分.)【解析】由定积分中值定理可知,对于123()f x dx ⎰,在区间2(,1)3上存在一点ξ使得12321()()(1)()33f x dx f f ξξ=-=⎰,即1233()()(0)f x dx f f ξ==⎰.由罗尔定理可知,在区间(0,1)内存在一点(01)c c ξ<<<,使得()0f c '=.七、(本题满分8分)【解析】设11223344x x x x ααααβ+++=,按分量写出,则有123423341234123412123(2)4335(8)5x x x x x x x x x a x x b x x x a x α+++=⎧⎪-+=⎪⎨++++=+⎪⎪++++=⎩. 对方程组的增广矩阵作初等行变换:第一行分别乘以有()2-、()3-加到第三行和第四行上,再第二行乘以()1-、()2-加到第三行和第四行上,有1111111*********11212324301213518502252A a b a b a a ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪--⎪ ⎪=→ ⎪ ⎪+++ ⎪ ⎪+-+⎝⎭⎝⎭ 11111011210010010a b a ⎛⎫ ⎪- ⎪→ ⎪+ ⎪+⎝⎭, 所以,当1,0a b =-≠时,()1()r A r A +=,方程组无解.即是不存在1234x ,x ,x ,x 使得11223344x x x x ααααβ+++=成立,β不能表示成1234αααα、、、的线性组合；当1a ≠-时,()() 4.r A r A ==方程组有唯一解21,,,0111Tb a b b a a a ++⎛⎫- ⎪+++⎝⎭,故β有唯一表达式,且1234210111b a b b a a a βαααα++=-+++⋅+++. 【相关知识点】非齐次线性方程组有解的判定定理：设A 是m n ⨯矩阵,线性方程组Ax b =有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵()A A b =的秩,即是()()r A r A =(或者说,b 可由A 的列向量12,,,n ααα线表出,亦等同于12,,,n ααα与12,,,,n b ααα是等价向量组).设A 是m n ⨯矩阵,线性方程组Ax b =,则 (1) 有唯一解 ⇔ ()().r A r A n == (2) 有无穷多解 ⇔ ()().r A r A n =< (3) 无解 ⇔ ()1().r A r A +=⇔ b 不能由A 的列向量12,,,n ααα线表出.八、(本题满分6分)【解析】方法1：因为A 为n 阶正定阵,故存在正交矩阵Q ,使121T N Q AQ Q AQ λλλ-⎛⎫⎪⎪==Λ= ⎪ ⎪⎝⎭, 其中0(1,2,)i i n λ>=,i λ是A 的特征值.因此 ()TTTQ A E Q Q AQ Q Q E +=+=Λ+两端取行列式得 |||||||||()|||(1)TTiA E Q A E Q Q A E Q E λ+=+=+=Λ+=+∏,从而 ||1A E +>.方法2：设A 的n 个特征值是12n ,,,.λλλ由于A 为n 阶正定阵,故特征值全大于0.由λ为A 的特征值可知,存在非零向量α使A αλα=,两端同时加上α,得()()1A E αλα+=+.按特征值定义知1λ+是A E +的特征值.因为A E +的特征值是12111n ,,,.λλλ+++它们全大于1,根据i A λ=∏,知||(1)1i A E λ+=+>∏.【相关知识点】阵特征值与特征向量的定义：设A 是n 阶矩阵,若存在数λ及非零的n 维列向量X 使得AX X λ=成立,则称λ是矩阵A 的特征值,称非零向量X 是矩阵A 的特征向量.九、(本题满分8分)【解析】曲线()y y x =在点(,)P x y 处的法线方程为1()Y y X x y -=--'(当0y '≠时), 它与x 轴的交点是(,0)Q x yy '+,从而12222||()(1)PQ yy y y y ''=+=+.当0y '=时,有(,0),||Q x PQ y =,上式仍然成立. 因此,根据题意得微分方程3122221(1)(1)y y y y ''=''++,即21yy y '''=+.这是可降阶的高阶微分方程,且当1x =时,1,0y y '==.令()y P y '=,则dP y Pdy ''=,二阶方程降为一阶方程21dP yP P dy =+,即21PdP dyP y=+. 即21y P =+C 为常数.因为当1x =时,1,0y P y '===,所以1C =,即2211y P y '=+=+所以21y y '=-分离变量得21dx y =±-.令sec y t =,并积分,则上式左端变为2sec tan ln sec tan tan 1t tdtt t C ty ==++-⎰22ln sec sec 1ln 1t t C y y C =-+=+-.因曲线在上半平面,所以210y y +->,即(2ln 1y y C x -=±.故 21x y y Ce ±-=.当1x =时,1,y = 当x 前取+时,1C e -=,211x y y e --=, 2211222111(1)(1)1x x y y y y e e y y y y y y -----====+---+-；当x 前取-时,C e =,211x y y e -+-=, 2211222111(1)(1)1x xy y y y e e y y y y y y ------====+---+-；所以 (1)(1)1()2x x y e e ---=+.十、填空题(本题满分6分,每小题3分.)(1)【解析】一般说来,若计算正态分布随机变量在某一范围内取值的概率,应该已知分布的两个参数μ和2σ,否则应先根据题设条件求出μ,2σ,再计算有关事件的概率,本题可从2()0.8σΦ=,通过查()x Φ表求出σ,但是注意到所求概率(0)P x <即是2()σ-Φ与2()σΦ之间的关系,可以直接由2()σΦ的值计算出2()σ-Φ.因为2(2,)X N σ,所以可标准化得2(0,1)X N σ-,由标准正态分布函数概率的计算公式,有4222(24)()()P x σσ--<<=Φ-Φ,2()(24)(0)0.8P x σΦ=<<+Φ=.由正态分布函数的对称性可得到 0222(0)()()1()0.2P x σσσ-<=Φ=Φ-=-Φ=.(2)【解析】设事件A =“掷的点和原点的连线与x 轴的夹角小于4π”, 这是一个几何型概率的计算问题.由几何概率公式()D S P A S =半圆,而 212S a π=半圆, 22141124D OACS SS a a π=+=+圆,yOABDC故 222111124()122a aP A a πππ+==+.十一、(本题满分6分)【解析】二维连续型随机变量的概率等于对应区域的二重积分,所以有{}{}2()2(,)x y zF z P Z z P X Y z f x y dxdy +≤=≤=+≤=⎰⎰.当0z ≤时,()0F z =.因为2x y z +=在直线20x y +=的下方与0,0x y >>(即第一象限)没有公共区域,所以()0F z =.当0z >时,2x y z +=在直线20x y +=的上方与第一象限相交成一个三角形区域D ,此即为积分区间.(2)20()2()1z x zzx y x z z z F z dx e dy e e dx e ze --+----==-=--⎰⎰⎰.所以2Z X Y =+的分布函数 0, 0,()1, 0. z zz F z e ze z --<⎧=⎨--≥⎩1992年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分,把答案填在题中横线上.) (1) 设函数()y y x =由方程cos()0x yexy ++=确定,则dydx=____________. (2) 函数222ln()u x y z =++在点(1,2,2)M -处的梯度M gradu =____________.(3) 设21, <0,()1, 0<,x f x x x ππ--≤⎧=⎨+≤⎩则其以2π为周期的傅里叶级数在点x π=处收敛于____________.(4) 微分方程tan cos y y x x '+=的通解为y =____________.yO20x y +=zD(5) 设111212122212n n n n n n a b a b a b a b a b a b A a b a b a b ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,其中0,0,1,2.i i a b i n ≠≠=则矩阵A 的秩()r A =____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1) 当1x →时,函数12111x x e x ---的极限 ( ) (A) 等于2 (B) 等于0 (C) 为∞ (D) 不存在但不为∞ (2) 级数1(1)(1cos )n n n α∞=--∑(常数0α>) ( ) (A) 发散 (B) 条件收敛 (C) 绝对收敛 (D) 收敛性与α有关 (3) 在曲线23,,x t y t z t ==-=的所有切线中,与平面24x y z ++=平行的切线 ( ) (A) 只有1条 (B) 只有2条 (C) 至少有3条 (D) 不存在(4) 设32()3||f x x x x =+,则使(0)nf 存在的最高阶数n 为 ( )(A) 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3(5) 要使121 00, 121ξξ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦都是线性方程组0Ax =的解,只要系数矩阵A 为 ( ) (A) ()2 1 1- (B) 2 0 1 0 1 1-⎛⎫⎪⎝⎭(C) 1 0 2 0 1 1-⎛⎫ ⎪-⎝⎭ (D) 011422011-⎛⎫⎪-- ⎪ ⎪⎝⎭三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分.) (1) 求 211x x x→--.。

1989考研数一真题及解析

1989年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题一、填空题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.) (1) 已知(3)2f '=,则 0(3)(3)lim2h f h f h→--=_______.(2) 设()f x 是连续函数,且1()2()f x x f t dt =+⎰,则()f x =_______.(3) 设平面曲线L 为下半圆周21,y x =--则曲线积分22()Lx y ds +=⎰_______.(4) 向量场22(,,)ln(1)zu x y z xy i ye j x z k =+++在点(1,1,0)P 处的散度divu =_______.(5) 设矩阵300140003A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭, 100010001E ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,则逆矩阵1(2)A E --=_______.二、选择题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.) (1) 当0x >时,曲线1siny x x= ( ) (A) 有且仅有水平渐近线 (B) 有且仅有铅直渐近线(C) 既有水平渐近线,也有铅直渐近线 (D) 既无水平渐近线,也无铅直渐近线(2) 已知曲面224z x y =--上点P 处的切平面平行于平面2210x y z ++-=,则点P 的坐标是 ( ) (A) (1,-1,2) (B) (-1,1,2) (C) (1,1,2) (D) (-1,-1,2)(3) 设线性无关的函数1y 、2y 、3y 都是二阶非齐次线性方程()()()y p x y q x y f x '''++=的解,1C 、2C 是任意常数,则该非齐次方程的通解是 ( ) (A) 11223C y C y y ++ (B) 1122123()C y C y C C y +-+ (C) 1122123(1)C y C y C C y +--- (D) 1122123(1)C y C y C C y ++-- (4) 设函数2(),01,f x x x =≤<而1()sin ,,nn S x bn x x π∞==-∞<<+∞∑其中102()sin ,1,2,3,n b f x n xdx n π==⎰…,则1()2S -等于 ( )(A) 12-(B) 14- (C) 14 (D) 12(5) 设A 是n 阶矩阵,且A 的行列式||0A =,则A 中 ( )(A) 必有一列元素全为0(B) 必有两列元素对应成比例(C) 必有一列向量是其余列向量的线性组合 (D) 任一列向量是其余列向量的线性组合三、(本题满分15分,每小题5分.)(1) 设(2)(,)z f x y g x xy =-+,其中函数()f t 二阶可导,(,)g u v 具有连续的二阶偏导数,求2z x y∂∂∂. (2) 设曲线积分2()Cxy dx y x dy ϕ+⎰与路径无关,其中()x ϕ具有连续的导数,且(0)0ϕ=,计算(1,1)2(0,0)()xy dx y x dy ϕ+⎰的值.(3) 计算三重积分()x z dV Ω+⎰⎰⎰,其中Ω是由曲面22z x y =+与221z x y =--所围成的区域.四、(本题满分6分.)将函数1()arctan 1xf x x+=-展为x 的幂级数.五、(本题满分7分.)设0()sin ()()xf x x x t f t dt =--⎰,其中f 为连续函数,求()f x .六、(本题满分7分.)证明方程0ln 1cos 2x x xdx e π=--⎰在区间(0,+∞)内有且仅有两个不同实根.七、(本题满分6分.)问λ为何值时,线性方程组131231234226423x x x x x x x x λλλ+ =⎧⎪++=+⎨⎪++=+⎩ 有解,并求出解的一般形式.八、(本题满分8分.)假设λ为n 阶可逆矩阵A 的一个特征值,证明： (1)1λ为1A -的特征值； (2)Aλ为A 的伴随矩阵A *的特征值.九、(本题满分9分.)设半径为R 的球面∑的球心在定球面2222(0)x y z a a ++=>上,问当R 为何值时,球面∑在定球面内部的那部分的面积最大？十、填空题(本题满分6分,每小题2分.)(1) 已知随机事件A 的概率()P A =0.5,随机事件B 的概率()P B =0.6及条件概率()P B A |=0.8,则和事件A B 的概率()P A B =_______.(2) 甲、乙两人独立地对同一目标射击一次,其命中率分别为0.6和0.5.现已知目标被命中,则它是甲射中的概率为_______. (3) 若随机变量ξ在(1,6)上服从均匀分布,则方程210x x ξ++=有实根的概率是______.十一、(本题满分6分.)设随机变量X 与Y 独立,且X 服从均值为1、标准差(均方差)2,而Y 服从标准正态分布.试求随机变量23Z X Y =-+的概率密度函数.1989年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、填空题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】1- 【解析】原式=01(3)(3)1lim (3)122h f h f f h -→--'-=-=--. (2)【答案】1x -【解析】由定积分的性质可知,1()f t dt ⎰和变量没有关系,且()f x 是连续函数,故1()f t dt ⎰为一常数,为简化计算和防止混淆,令10()f t dt a =⎰,则有恒等式()2f x x a =+,两边0到1积分得11()(2)f x dx x a dx =+⎰⎰,即 []111112000001(2)222a x a dx xdx a dx x a x ⎡⎤=+=+=+⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰122a =+,解之得 12a =-,因此()21f x x a x =+=-. (3)【答案】π【解析】方法一：L 的方程又可写成221(0)x y y +=≤,被积分函数在L 上取值,于是原积分=1Lds π=⎰(半径为1的的半圆周长).方法二：写出L 的参数方程,cos sin x ty t=⎧⎨=⎩,(0)t π-≤≤ 则00222222()(cos sin )(sin )cos 1Lx y ds t t t tdt dt πππ--+=+-+=⋅=⎰⎰⎰.(4)【答案】2【解析】直接用散度公式22[()()(ln(1))]z PP divuxy ye x z x y z∂∂∂=+++∂∂∂ 220(1,1,0)22220()10112110z zy e x e z =++⋅=++⋅=+=++.(5)【答案】10011022001⎛⎫ ⎪ ⎪-⎪ ⎪⎝⎭【解析】由于3002001002140020120003002001A E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,为求矩阵的逆可有多种办法,可用伴随,可用初等行变换,也可用分块求逆.方法一：如果对(2)A E E -作初等行变换,则由1(2)((2))A E E E A E --→-可以直接得出1(2)A E --.本题中,第一行乘以()1-加到第二行上;再第二行乘以12,有 10010010010010010011120010020110010022001001001001001001⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ → -→ - ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, 从而知 110011(2)022001A E -⎛⎫⎪ ⎪-=-⎪ ⎪⎝⎭. 方法二：对于2阶矩阵的伴随矩阵有规律：a b A c d ⎛⎫=⎪⎝⎭,则求A 的伴随矩阵 *a b d b A c d c a *-⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭.如果0A ≠,这样111a b d b d b c d c a c a A ad bc ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 再利用分块矩阵求逆的法则：1110000A AB B ---⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,本题亦可很容易求出110011(2)022001A E -⎛⎫⎪ ⎪-=-⎪ ⎪⎝⎭.二、选择题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.) (1)【答案】(A)【解析】函数1siny x x =只有间断点0x =. 001lim lim sin x x y x x ++→→=,其中1sin x是有界函数,而当0x +→时,x 为无穷小,而无穷小量和一个有界函数的乘积仍然是无穷小, 所以 001lim lim sin 0x x y x x++→→==,故函数没有铅直渐近线.01sin1sin lim limlim 11x x x t x y t x tx+→+∞→+∞→===令, 所以1y =为函数的水平渐近线,所以答案为(A).【相关知识点】铅直渐近线：如函数()y f x =在其间断点0x x =处有0lim ()x x f x →=∞,则0x x =是函数的一条铅直渐近线；水平渐近线：当lim (),(x f x a a →∞=为常数）,则y a =为函数的水平渐近线.(2)【答案】(C)【解析】题设为求曲面:(,,)0S F x y z =(其中22(,,)4F x y z z x y =++-)上点P 使S 在该点处的法向量n 与平面2210x y z ++-=的法向量{}02,2,1n =平行.S 在(,,)P x y z 处的法向量{},,2,2,1F F F n x y x y z ⎧⎫∂∂∂==⎨⎬∂∂∂⎩⎭,若0//,n n 则0,n n λλ=为常数,即22,22,1x y λλλ===.即1,1x y ==. 又点(,,)P x y z S ∈,所以2222(,)(1,1)44112x y z x y ==--=--=,故求得(1,1,2)P .因此应选(C).(3)【答案】(D)【解析】由二阶常系数非齐次微分方程解的结构定理可知,1323,y y y y --为方程对应齐次方程的特解,所以方程()()()y p x y q x y f x '''++=的通解为1132233()()y C y y C y y y =-+-+,即1122123(1)y C y C y C C y =++--,故应选D. (4)【答案】(B)【解析】()S x 是函数()f x 先作奇延拓后再作周期为2的周期延拓后的函数的傅式级数的和函数,由于()S x 是奇函数,于是11()()22S S -=-.当12x =时,()f x 连续,由傅式级数的收敛性定理,21111()()()2224S f ===.因此, 11()24S -=-.应选(B).(5)【答案】(C)【解析】本题考查||0A =的充分必要条件,而选项(A) 、(B)、(D)都是充分条件,并不必要.因为对矩阵A 来说,行和列具有等价性,所以单说列或者单说行满足什么条件就构成了||0A =的必要条件,但是不具有任意性,只需要存在一列向量是其余列向量的线性组合.以3阶矩阵为例,若 112123134A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,条件(A)必有一列元素全为0,(B)必有两列元素对应成比例均不成立,但有||0A =,所以(A)、 (B)不满足题意,不可选.若123124125A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,则||0A =,但第三列并不是其余两列的线性组合,可见(D)不正确.这样用排除法可知应选(C).三、(本题满分15分,每小题5分.)(1)【解析】由于混合偏导数在连续条件下与求导次序无关,可以先求zx∂∂,也可以先求z y ∂∂.方法一：先求zx∂∂,由复合函数求导法,1212(2)()()2z f x y g x g xy f g yg x x x x∂∂∂∂''''''=-++=++∂∂∂∂, 再对y 求偏导,得212(2)2(2)z f g yg f x y x y y y∂∂∂'''''=++=-∂∂∂∂ 111222122()()()()g x g xy g yg x yg xy y y y y ⎡⎤⎡⎤∂∂∂∂'''''''''+++++⎢⎥⎢⎥∂∂∂∂⎣⎦⎣⎦111222122200f g xg g yg xyg '''''''''''=-+⋅+++⋅+ 212222f xg g xyg '''''''=-+++. 方法二：先求zy∂∂, 122(2)()()z f x y g x g xy f xg y y y y∂∂∂∂'''''=-++=-+∂∂∂∂, 再对x 求偏导数,得222()z z f xg x y y x x∂∂∂''==-+∂∂∂∂∂ 22122(2)()()f x y g xg x xg xy x x x∂∂∂'''''''=--+++∂∂∂221222f g xg xyg '''''''=-+++. 【相关知识点】复合函数求导法则：若(,)u u x y =和(,)v v x y =在点(,)x y 处偏导数存在,函数(,)z f u v =在对应点(,)u v 具有连续偏导数,则复合函数[(,),(,)]z f u x y v x y =在点(,)x y 处的偏导数存在,且,z f u f v z f u f v x u x v x y u y v y∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+=+∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂. (2)【解析】方法一：先求出()x ϕ,再求曲线积分.设(,),(,)P x y Q x y 有连续偏导数,在所给的单连通区域D 上,LPdx Qdy +⎰与路径无关,则在D 上有Q P x y∂∂=∂∂,所以()2,y x xy ϕ'=即2()2,()x x x x C ϕϕ'==+.由(0)ϕ=0,得0C =,即2()x x ϕ=,因此(1,1)(1,1)(1,1)2222222(0,0)(0,0)(0,0)1()2I xy dx y x dy xy dx yx dy y dx x dy ϕ=+=+=+⎰⎰⎰ (1,1)(0,0)(1,1)2222(0,0)111()()222d x y x y ===⎰. 或取特殊路径如图：11222001LI xy dx yx dy dx y dy =+=+⎰⎰⎰1201122y ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦. 方法二：不必求出()x ϕ,选取特殊的路径,取积分路径如图,则(1,1)2(0,0)()I xy dx y x dy ϕ=+⎰11011(0)022y dy xdx ϕ=+=+=⎰⎰. (3)【解析】利用三重积分的性质,Ω关于yz 平面对称,x 对x 为奇函数,所以0xdV Ω=⎰⎰⎰,即()x z dV zdV ΩΩ+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰.Ω是由球心在原点半径为1的上半球面与顶点在原点、对称轴为z 轴、半顶角为4π的锥面所围成.故可选用球坐标变换,则020014πθπϕρΩ≤≤≤≤≤≤：，，,所以 2cos sin I zdV d d d ρϕρϕρϕθΩΩ==⋅⎰⎰⎰⎰⎰⎰ 2113344000001cos sin 2sin 22d d d d d πππθϕϕϕρρπϕϕρρ==⎰⎰⎰⎰⎰1440011cos 2248πππϕρ⎡⎤⎡⎤=-⋅=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.四、(本题满分6分.)【解析】直接展开()f x 相对比较麻烦,可()f x '容易展开,2222211(1)(1)21()1(1)(1)(1)11()1x x f x x x x x x x--+⋅-'=⋅==+--++++-. 由2011(1)(1),(||1)1n nn n n t t t t t t∞==-+-+-+=-<+∑,令2t x =得242222111(1)(1),(1)11nnn n n x x x x x t x ∞===-+-+-+=-<++∑即 221()(1),(||1)1n n n f x x x x ∞='==-<+∑ 所以()()(0)xf x f u du f '=+⎰,22000010(1)arctan(1)104x x nnnn n n u du u du π∞∞==+=-+=+--∑∑⎰⎰ 210(1)421n nn x n π+∞==+-+∑,(||1)x <当1x =±时,式210(1)21n nn x n +∞=-+∑均收敛,而左端1()arctan 1xf x x +=-在1x =处无定义.因此 2101(1)()arctan,[1,1)1421n n n x f x x x x n π∞+=+-==+∈--+∑.五、(本题满分7分.)【解析】先将原式进行等价变换,再求导,试着发现其中的规律, 0()sin ()()sin ()()xx xf x x x t f t dt x x f t dt tf t dt =--=-+⎰⎰⎰,所给方程是含有未知函数及其积分的方程,两边求导,得()cos ()()()cos ()xxf x x f t dt xf x xf x x f t dt '=--+=-⎰⎰,再求导,得()sin ()f x x f x ''=--,即 ()()sin f x f x x ''+=-.这是个简单的二阶常系数非齐次线性微分方程,对应的齐次方程的特征方程为210r +=, 此特征方程的根为r i =±,而右边的sin x 可看作sin xe x αβ,i i αβ±=±为特征根,因此非齐次方程有特解sin cos Y xa x xb x =+.代入方程并比较系数,得10,2a b ==,故cos 2xY x =,所以 12()cos sin cos 2xf x c x c x x =++,又因为(0)0,(0)1f f '==,所以1210,2c c ==,即1()sin cos 22xf x x x =+.六、(本题满分7分.)【解析】方法一：判定方程()0f x =等价于判定函数()y f x =与x 的交点个数.令 0()ln 1cos 2x f x x xdx e π=-+-⎰,其中1cos 2xdx π-⎰是定积分,为常数,且被积函数1cos2x -在(0,)π非负,故1cos 20xdx π->⎰,为简化计算,令01cos 20xdx k π-=>⎰,即()ln xf x x k e=-+,则其导数11()f x x e'=-,令()0f x '=解得唯一驻点x e =, 即 ()0,0()0,f x x ef x e x '><<⎧⎨'<<<+∞⎩,所以x e =是最大点,最大值为()ln 0ef e e k k e=-+=>. 又因为00lim ()lim (ln )lim ()lim (ln )x x x x x f x x k ex f x x k e ++→→→+∞→+∞⎧=-+=-∞⎪⎪⎨⎪=-+=-∞⎪⎩,由连续函数的介值定理知在(0,)e 与(,)e +∞各有且仅有一个零点(不相同),故方程0ln 1cos 2x x xdx e π=--⎰在(0,)+∞有且仅有两个不同实根.方法二：201cos 2sin xdx xdx ππ-=⎰⎰,因为当0x π≤≤时,sin 0x ≥,所以]2002sin 2sin 2cos 220xdx xdx x πππ==-=>⎰,其它同方法一.七、(本题满分6分.)【解析】对方程组的增广矩阵作初等行变换.第一行分别乘以有()4-、()6-加到第二行和第三行上,再第二行乘以()1-加到第三行上, 有1011011014122012320123261423012430001λλλλλλλλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪+→--+→--+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+--+-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 由于方程组有解的充要条件是()()r A r A =,故仅当10λ-+=,即1λ=时,方程组有解.此时秩()()23r A r A n ==<=,符合定理的第二种情况,故方程组有无穷多解.由同解方程组 1323 1,21,x x x x +=⎧⎨-=-⎩令3,x t =解得原方程组的通解1231,21,,x t x t x t =-+⎧⎪=-⎨⎪=⎩ (其中t 为任意常数). 【相关知识点】1.非齐次线性方程组有解的判定定理：设A 是m n ⨯矩阵,线性方程组Ax b =有解的充分必要条件是系数矩阵的秩等于增广矩阵()A A b =的秩,即是()()r A r A =(或者说,b 可由A 的列向量12,,,n ααα线表出,亦等同于12,,,n ααα与12,,,,n b ααα是等价向量组)设A 是m n ⨯矩阵,线性方程组Ax b =,则（1）有唯一解 ⇔ ()().r A r A n == （2）有无穷多解 ⇔ ()().r A r A n =< （3）无解 ⇔ ()1().r A r A +=⇔ b 不能由A 的列向量12,,,n ααα线表出.八、(本题满分8分.)【解析】(1)由λ为A 的特征值可知,存在非零向量α使A αλα=,两端左乘1A -,得1A αλα-=.因为0α≠,故0λ≠,于是有11A ααλ-=.按特征值定义知1λ是1A -的特征值.(2)由于逆矩阵的定义1||A A A *-=,据第(1)问有1||||A A A A ααααλλ**=⇒=,按特征值定义,即||A λ为伴随矩阵A *的特征值.【相关知识点】矩阵特征值与特征向量的定义：设A 是n 阶矩阵,若存在数λ及非零的n 维列向量X 使得AX X λ=成立,则称λ是矩阵A 的特征值,称非零向量X 是矩阵A 的特征向量.九、(本题满分9分.)【解析】由球的对称性,不妨设球面∑的球心是(0,0,)a , 于是∑的方程是2222()x y z a R ++-=.先求∑与球面2222x y z a ++=的交线Γ：2222222222(),22,x y z a R a R z a x y z a ⎧++-=-⎪⇒=⎨++=⎪⎩. 代入上式得Γ的方程 422224R x y R a+=-.它在平面xOy 上的投影曲线4222222,(02),40,R x y b b R R a az ⎧+==-<<⎪⎨⎪=⎩相应的在平面xOy 上围成区域设为xy D ,则球面∑在定球面内部的那部分面积22()1xyx y D S R z z dxdy ''=++⎰⎰.将∑的方程两边分别对,x y 求偏导得,z x z y x z a y z a∂∂=-=-∂-∂-, 所以 2222()11()()xyxyx y D D x y S R z z dxdy dxdy a z a z''=++=++--⎰⎰⎰⎰ 222221()()xyxyD D x y dxdy dxdy a z a z R x y =++=----⎰⎰⎰⎰.利用极坐标变换(02,0)b θπρ≤≤≤≤有222222()xybD S R dxdy d R x yR πθρρ=---⎰⎰⎰⎰极坐标变换2222200()2b R d R R πθρρ=---⎰⎰ 222202()2()b R R R R b R πρπ=--=--代入42224R b R a =-,化简得32()2R S R R aππ=-.这是一个关于R 的函数,求()S R 在(0,2)a 的最大值点,()S R 两边对R 求导,并令()0S R '=,得23()40R S R R a ππ'=-=,得43aR =. 且 4()0,034()0,23S R R a S R a R a ⎧'><<⎪⎪⎨⎪'<<<⎪⎩,故43aR =时()S R 取极大值,也是最大值. 因此,当43aR =时球面∑在定球面内部的那部分面积最大.十、填空题(本题满分6分,每小题2分.) (1)【解析】方法一：()()()()P A B P A P B P AB =+-()()()(|)0.7P A P B P A P B A =+-=. 方法二：()()()P AB P B P AB =+()()(|)0.60.50.20.7P B P A P B A =+=+⨯=.(2)【解析】设事件A =“甲射中”,B =“乙射中”,依题意,()0.6P A =,()0.5P B =,A 与B 相互独立,()()()0.60.50.3P AB P A P B =⋅=⨯=.因此,有 ()()()()P AB P A P B P AB =+-0.60.50.30.8=+-=. (())()(|)0.75()()P A A B P A P A AB P A B P A B ===.(3)【解析】设事件A =“方程有实根”,而方程210x x ξ++=有实根的充要条件是其判别式240ξ∆=-≥,即{}{}22404A ξξ=-≥=≥.随机变量ξ在(1,6)上服从均匀分布,所以其分布函数为0, 1,1(), 16,611, 6.x x F x x x <⎧⎪-⎪=≤<⎨-⎪≥⎪⎩由分布函数的定义()()P x k F k ≤=,{}{}21210.20.8.P P ξξ≥=-<=-= 而{}20.P ξ≤-=所以由概率的可加性,有{}{}{}2()422P A P P ξξξ=≥=≥+≤-0.800.8=+=.【相关知识点】广义加法公式：()()()()P AB P A P B P AB =+-.条件概率：()(|)()P BA P B A P A =,所以()()(|)()P AB P BA P B A P A ==. 十一、(本题满分6分.)【解析】~(1,2)X N ,~(0,1)Y N ,由独立的正态变量X 与Y 的线性组合仍服从正态分布,且235,EZ EX EY =-+=44219DZ DX DY =+=⨯+=,得 ~(5,9)Z N .代入正态分布的概率密度公式,有Z 的概率密度函数为 2(5)18()32z Z f z π--=.【相关知识点】对于随机变量X 与Y 均服从正态分布,则X 与Y 的线性组合亦服从正态分布.若X 与Y 相互独立,由数学期望和方差的性质,有()()()E aX bY c aE X bE Y c ++=++, 22()()()D aX bY c a D X b D Y ++=+,其中,,a b c 为常数.。

考研数二真题及解析

1989年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、填空题(每小题3分,满分21分.把答案填在题中横线上.) (1)0lim cot 2x x x →=＿＿＿＿＿＿.(2)sin t tdt π=⎰＿＿＿＿＿＿.(3)曲线0(1)(2)xy t t dt =--⎰在点(0,0)处的切线方程是＿＿＿＿＿＿.(4)设()(1)(2)()f x x x x x n =++⋅⋅+,则(0)f '=＿＿＿＿＿＿.(5)设()f x 是连续函数,且1()2()f x x f t dt =+⎰,则()f x =＿＿＿＿＿＿.(6)设2,0()sin ,0a bx x f x bx x x⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩在0x =处连续,则常数a 与b 应满足的关系是＿＿＿＿＿.(7)设tan y x y =+,则dy =＿＿＿＿＿＿. 二、计算题(每小题4分,满分20分.) (1)已知arcsin y e =,求y '.(2)求2ln dx x x ⎰.(3)求10lim(2sin cos )xx x x →+.(4)已知2ln(1),arctan ,x t y t ⎧=+⎨=⎩求dy dx 及22d ydx . (5)已知1(2),(2)02f f '==及20()1f x dx =⎰,求120(2)x f x dx ''⎰.三、选择题(每小题3分,满分18分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.) (1)设0x >时,曲线1sin y x x=()(A)有且仅有水平渐近线 (B)有且仅有铅直渐近线(C)既有水平渐近线,也有铅直渐近线 (D)既无水平渐近线,也无铅直渐近线 (2)若2350ab -<,则方程532340x ax bxc +++=()(A)无实根(B)有唯一实根(C)有三个不同实根(D)有五个不同实根 (3)曲线cos ()22y x x ππ=-≤≤与x 轴所围成的图形,绕x 轴旋转一周所成的旋转体的体积为()(A)2π(B)π(C)22π(D)2π(4)设两函数()f x 及()g x 都在x a =处取得极大值,则函数()()()F x f x g x =在x a =处()(A)必取极大值(B)必取极小值(C)不可能取极值(D)是否取极值不能确定(5)微分方程1xy y e ''-=+的一个特解应具有形式(式中,a b 为常数)()(A)xae b +(B)xaxe b +(C)xae bx +(D)xaxe bx +(6)设()f x 在x a =的某个领域内有定义,则()f x 在x a =处可导的一个充分条件是()(A)1lim [()()]h h f a f a h→+∞+-存在 (B)0(2)()lim h f a h f a h h→+-+存在(C)0()()lim 2h f a h f a h h→+--存在(D)0()()lim h f a f a h h→--存在四、(本题满分6分)求微分方程2(1)xxy x y e '+-=(0)x <<+∞满足(1)0y =的解.五、(本题满分7分)设0()sin ()()xf x x x t f t dt =--⎰,其中f 为连续函数,求()f x .六、(本题满分7分)证明方程0ln x x e π=-⎰在区间(0,)+∞内有且仅有两个不同实根. 七、(本大题满分11分)对函数21x y +=,填写下表： ((八、(本题满分10分)设抛物线2y ax bx c =++过原点,当01x ≤≤时,0y ≥,又已知该抛物线与x 轴及直线1x =所围图形的面积为13,试确定,,a b c 使此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积V 最小.1989年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、填空题(每小题3分,满分21分.) (1)【答案】12【解析】这是个0⋅∞型未定式,可将其等价变换成0型,从而利用洛必达法则进行求解. 方法一：000cos 2lim cot 2lim lim cos 2sin 2sin 2x x x x xx x xx x x→→→==⋅0011lim lim sin 22cos 22x x x x x →→==洛. 方法二：00cos 2lim cot 2lim sin 2x x xx x x x→→=【相关知识点】0sin lim x x x →是两个重要极限中的一个,0sin lim 1x xx→=.(2)【答案】π【解析】利用分部积分法和牛顿-莱布尼茨公式来求解,[]00sin (00)t ππππ=++=+-=.(3)【答案】2y x =【解析】要求平面曲线的切线,首先应求出该切线的斜率,即0()f x '. 这是一个积分上限函数,满足积分上限函数的求导法则,即(1)(2)y x x '=--. 由y '在其定义域内的连续性,可知0(01)(02)2x y ='=--=.所以,所求切线方程为02(0)y x -=-,即2y x =. (4)【答案】!n【解析】方法一：利用函数导数的概念求解,即lim(1)(2)()12!x x x x n n n →=++⋅⋅+=⋅⋅⋅=.方法二：利用其导数的连续性,由复合函数求导法则可知,(1)(2)(1)1x x x x n ++⋅⋅+-⋅,所以(0)(01)(02)(0)00f n '=++⋅⋅++++12!n n =⋅⋅⋅=.(5)【答案】1x -【解析】由定积分的性质可知,1()f t dt ⎰和变量没有关系,且()f x 是连续函数,故1()f t dt ⎰为一常数,为简化计算和防止混淆,令1()f t dt a =⎰,则有恒等式()2f x x a =+,两边0到1积分得11()(2)f x dx x a dx =+⎰⎰,即[]111112000001(2)222a x a dx xdx a dx x a x ⎡⎤=+=+=+⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰122a =+, 解之得12a=-,因此()21f x x a x =+=-.(6)【答案】a b =【解析】如果函数在0x 处连续,则函数在该点处的左右极限与该点处函数值必然相等, 由函数连续性可知(0)(0)0f f a b a -==+⋅=. 而00sin sin sin (0)lim lim lim x x x bx bx bxf b b b x bx bx++++→→→==⋅=⋅=, 如果()f x 在0x =处连续,必有(0)(0)f f -+=,即a b =.(7)【答案】2()dx x y + 【解析】这是个隐函数,按照隐函数求导法,两边微分得2sec y dy dx dy ⋅=+, 所以222sec 1tan ()dx dx dxdy y y x y ===++,(0x y +≠). 二、计算题(每小题4分,满分20分.) (1)【解析】令u e=,v =,则arcsin arcsin y e u ==,由复合函数求导法则,(arcsin )v v y u u e v e ''''===⋅=即y e '=. 【相关知识点】复合函数求导法则：(())y f x ϕ=的导数(())()y f x f x ϕ'''=. (2)【解析】利用不定积分的换元积分法,22ln 1ln ln ln dx d x C x x x x ==-+⎰⎰.(3)【解析】可将函数转化称为熟悉的形式来求其极限,12sin cos 12sin cos 10lim[1(2sin cos 1)]x x x x xx x x +-⋅+-→=++-,令2sin cos 1x x t +-=,则当0x →时,0t →,则112sin cos 1lim[1(2sin cos 1)]lim[1]x x tx t x x t +-→→++-=+,这是个比较熟悉的极限,即10lim(1)tt t e →+=.所以012sin cos 1limlim(2sin cos )x x x xx x x x e→+-→+=,而002sin cos 12cos sin limlim 21x x x x x x x →→+--=洛,所以012sin cos 1lim20lim(2sin cos )x x x xxx x x ee →+-→+==.(4)【解析】这是个函数的参数方程,22111221dy dy dt t dx t dx tdt t+===+, 2222321111211()()()2222(2)41d y d d dt d t dx t dx dx t dt t dx dt t t tdt t-+==⋅=⋅=⋅=-+. 【相关知识点】参数方程所确定函数的微分法：如果()()x t y t φϕ=⎧⎨=⎩,则()()dy t dx t ϕφ'='.(5)【解析】利用定积分的分部积分法求解定积分,1111(2)(2)(2)222f f f x dx '=-+⎰, 令2t x =,则11,22x t dx dt ==,所以12001(2)()2f x dx f t dt =⎰⎰.把1(2),(2)02f f '==及20()1f x dx =⎰代入上式,得1111101022222=⋅-⋅+⋅⋅=. 三、选择题(每小题3分,满分18分.) (1)【答案】(A)【解析】函数1sin y x x =只有间断点0x =.001lim lim sinx x y x x++→→=,其中1sin x 是有界函数.当0x +→时,x 为无穷小,无穷小量和一个有界函数的乘积仍然是无穷小,所以1lim lim sin 0x x y x x++→→==, 故函数没有铅直渐近线.01sin1sin lim limlim 11x x x t x y t x t x+→+∞→+∞→=== , 所以1y =为函数的水平渐近线,所以答案为(A).【相关知识点】铅直渐近线：如函数()y f x =在其间断点0x x =处有0lim()x x f x →=∞,则0x x =是函数的一条铅直渐近线；水平渐近线：当lim(),(x f x a a →∞=为常数）,则y a =为函数的水平渐近线. (2)【答案】(B)【解析】判定方程()0f x =实根的个数,其实就是判定函数()y f x =与x 有几个交点,即对函数图形的描绘的简单应用,令53()234f x x ax bx c =+++, 则42()563f x x ax b '=++.令2t x =,则422()563563()f x x ax b t at b f t ''=++=++=, 其判别式22(6)45312(35)0a b a b ∆=-⋅⋅=-<, 所以2()563f t t at b '=++无实根,即()0f t '>.所以53()234f x x ax bx c =+++在(,)x ∈-∞+∞是严格的单调递增函数. 又53lim ()lim (234)x x f x x ax bx c →-∞→-∞=+++=-∞所以利用连续函数的介值定理可知,在(,)-∞+∞内至少存在一点0(,)x ∈-∞+∞使得0()0f x =,又因为()y f x =是严格的单调函数,故0x 是唯一的.故()0f x =有唯一实根,应选(B). (3)【答案】(C)【解析】如图cos ()22y x x ππ=-≤≤的图像,则当cos y x =绕x 轴旋转一周,在x 处取微增dx ,则微柱体的体积2cos dV xdx π=,所以体积V 有[][]22222sin 20()422222x x ππππππππππ--=-+=++=. 因此选(C).(4)【答案】(D)【解析】题中给出的条件中,除了一处极值点外均未指明函数其它性质,为了判定的方便,可以举出反例而排除.若取2()()()f x g x x a ==--,两者都在x a =处取得极大值0,而4()()()()F x f x g x x a ==-在x a =处取得极小值,所以(A)、(C)都不正确.若取2()()1()f x g x x a ==--,两者都在x a =处取得极大值1,而22()()()1()F x f x g x x a ⎡⎤==--⎣⎦在x a =处取得极大值1,所以(B)也不正确,从而选(D).(5)【答案】(B)【解析】微分方程1xy y e ''-=+所对应的齐次微分方程的特征方程为210r -=,它的两个根是121,1r r ==-.而形如xy y e ''-=必有特解1x Y x ae =⋅；1y y ''-=必有特解1Y b =.由叠加得原方程必有特解xY x ae b =⋅+,应选(B). (6)【答案】(D)【解析】利用导数的概念判定()f x 在x a =处可导的充分条件. (A)等价于0()()limt f a t f a t→++-存在,所以只能保证函数在x a =右导数存在；(B)、(C)显然是()f x 在x a =处可导的必要条件,而非充分条件,如1cos ,00,0x y xx ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩在0x =处不连续,因而不可导,但是 0001111cos(0)cos(0)cos cos()()lim lim lim 0222h h h f a h f a h h h h h h h h→→→+---+--===, 0001111cos()cos(0)cos cos(2)()2222lim lim lim 0h h h f a h f a h h h h h h h h→→→---+-+===均存在； (D)是充分的：00()()()()lim limx h x h f a x f a f a f a h x h ∆=-∆→→+∆---=∆存在0()()()lim h f a f a h f a h→--'⇒=存在,应选(D). 四、(本题满分6分)【解析】所给方程为一阶线性非齐次微分方程,先写成标准形式211(1)x y y e x x'+-=,通解为11(1)(1)21()dxdx x xxy ee e dx C x---⎰⎰=+⎰211()()x x x x x x e e e dx C e C x x e x =+=+⎰.代入初始条件(1)0y =,得C e =-,所求解为()x xe y e e x=-. 【相关知识点】一阶线性非齐次微分方程的标准形式为()()y p x y q x '+=,其通解公式为()()(())p x dx p x dxy e q x e dx C -⎰⎰=+⎰,其中C 为常数.五、(本题满分7分)【解析】先将原式进行等价变换,再求导,试着发现其中的规律,()sin ()()sin ()()xxxf x x x t f t dt x x f t dt tf t dt =--=-+⎰⎰⎰,所给方程是含有未知函数及其积分的方程,两边求导,得()cos ()()()cos ()x xf x x f t dt xf x xf x x f t dt '=--+=-⎰⎰,再求导,得()sin ()f x x f x ''=--,即()()sin f x f x x ''+=-,这是个简单的二阶常系数非齐次线性微分方程,对应的齐次方程的特征方程为210r +=, 此特征方程的根为r i =±,而右边的sin x 可看作sin xe x αβ,0,1,i i αβαβ==±=±为特征根,因此非齐次方程有特解sin cos Yxa x xb x =+.代入方程并比较系数,得10,2a b ==,故cos 2xY x =,所以12()cos sin cos 2xf x c x c x x =++.又因为(0)0,(0)1f f '==,所以1210,2c c ==,即1()sin cos 22xf x x x =+.六、(本题满分7分)【解析】方法一：判定方程()0f x =等价于判定函数()y f x =与x 的交点个数.令()ln x f x x e π=-+⎰,其中π⎰是定积分,为常数,且被积函数1cos2x -在(0,)π非负,故0π>⎰,为简化计算,令00k π=>⎰,即()ln xf x x k e=-+,则其导数11()f x x e'=-,令()0f x '=解得唯一驻点x e =, 即()0,0()0,f x x e f x e x '><<⎧⎨'<<<+∞⎩,所以,x e =是最大点,最大值为()ln 0ef e e k k e=-+=>.又因为00lim ()lim(ln )lim ()lim (ln )x x x x x f x x k e x f x x k e ++→→→+∞→+∞⎧=-+=-∞⎪⎪⎨⎪=-+=-∞⎪⎩, 由连续函数的介值定理知在(0,)e 与(,)e +∞各有且仅有一个零点(不相同),故方程0ln x x e π=-⎰在(0,)+∞有且仅有两个不同实根.方法二：ππ=⎰⎰,因为当0x π≤≤时,sin 0x ≥,所以]00sin cos 0xdx x πππ==-=>⎰.其它同方法一.七、(本大题满分11分) 【解析】函数21x y x+=的定义域为()(),00,-∞+∞,将函数化简为211,y x x=+则32243321126216(1),(2)y y x xx x x x x x '''=--=--=+=+.令0y '=,得2x =-,即2212(1)0,(2,0),12(1)0,(,2)(0,),y x x x y x x x⎧'=-->∈-⎪⎪⎨⎪'=--<∈-∞-+∞⎪⎩故2x =-为极小值点. 令0y ''=,得3x =-,即y ''在3x =-处左右变号,所以23,(3)9x y =--=-为函数的拐点.又20011lim lim(),x x y x x→→=+=∞故0x =是函数的铅直渐近线； 211lim lim()0,x x y x x→∞→∞=+=故0y =是函数的水平渐近线. 填写表格如下：八、(本题满分10分)【解析】由题知曲线过点(0,0),得0c =,即2y ax bx =+. 如图所示,从x x dx →+的面积dS ydx =,所以32a b =+, 由题知1323a b +=,即223a b -=.当2y ax bx =+绕x 轴旋转一周,则从x x dx →+的体积2dV y dx π=,所以旋转体积1254232211222000()()523523a x abx b x a ab b V y dx ax bx dx ππππ⎡⎤==+=++=++⎢⎥⎣⎦⎰⎰, b 用a 代入消去b ,得224(1)(1)5273a a a a V π⎡⎤--=++⎢⎥⎣⎦,这是个含有a 的函数,两边对a 求导得 4(1)275dV a da π=+,令其等于0得唯一驻点54a=-,dVda在该处由负变正,此点为极小值点,故体积最小,这时32b=,故所求函数225342y ax bx c x x=++=-+.。

1989数学三真题答案解析(试卷四)

于是
X
(E
A)1
B
1
2/3
1/
3
2
0
2
0
.
0 1/ 3 1/ 35 3 1 1
„„ 5 分
八、（本题满分 6 分）
设1 1, 1, 1 ， 2 1, 2, 3 ， 3 1, 3, t ，
(1) 问当 t 为何值时，向量组1,2 ,3 线性无关？（3 分）
(2) 问当 t 为何值时，向量组1,2 ,3 线性相关？（1 分）
(4)设.A 和 B 均为 n n 矩阵 , 则必有
(C)
(A) A B A B
( B) AB BA
(C) AB BA
(D) (A B)1 A1 B1
(5) 以 A 表示事件 “甲种产品畅销，乙种产品滞销”，则其对立事件 A 为
(D)
(A)“甲种产品滞销，乙种产品畅销” (B)“甲，乙产品均畅销”
(2) 令 t x 2 ，则 S1
4 f (x 2)exdx
2
2 0
f
(t )et 2 dt
S0e2
.
(3) 令 t x 2n ，则 Sn
2 0
f
(t )et 2 n dt
S0e2n
.
(4) S Sn S0e2n S0 (e2 )n
n0
n0
n0
S0 1 e2
e 1
.
„„ 2 分 „„ 3 分 „„ 4 分
从而，所给微分方程的通解为 y(x) C1e2x C2e3x ex .
„„ 5 分
四、（本题满分 9 分）
设某厂家打算生产一批商品投放市场，已知该商品的需求函数为
x
p p(x) 10e 2 且最大需求量为 6，其中 x 表示需求量，p 表示价格.

1989年考研数学一真题及答案解析

1989年全国硕士研究生入学统一考试真题试卷数学(一)试题一、填空题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.) (1) 已知(3)2f '=,则 0(3)(3)lim2h f h f h→--=_______.(2) 设()f x 是连续函数,且1()2()f x x f t dt =+⎰,则()f x =_______.(3) 设平面曲线L 为下半圆周y =则曲线积分22()Lx y ds +=⎰_______.(4) 向量场22(,,)ln(1)zu x y z xy i ye j x z k =+++在点(1,1,0)P 处的散度divu =_______.(5) 设矩阵300140003A ⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭, 100010001E ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,则逆矩阵1(2)A E --=_______.二、选择题(本题共5个小题,每小题3分,满分15分.) (1) 当0x >时,曲线1siny x x= ( ) (A) 有且仅有水平渐近线 (B) 有且仅有铅直渐近线(C) 既有水平渐近线,也有铅直渐近线 (D) 既无水平渐近线,也无铅直渐近线(2) 已知曲面224z x y =--上点P 处的切平面平行于平面2210x y z ++-=,则点P 的坐标是 ( ) (A) (1,-1,2) (B) (-1,1,2) (C) (1,1,2) (D) (-1,-1,2)(3) 设线性无关的函数1y 、2y 、3y 都是二阶非齐次线性方程()()()y p x y q x y f x '''++=的解,1C 、2C 是任意常数,则该非齐次方程的通解是 ( )(A) 11223C y C y y ++ (B) 1122123()C y C y C C y +-+ (C) 1122123(1)C y C y C C y +--- (D) 1122123(1)C y C y C C y ++--。

1989考研数学三【解析版】【无水印】

1989年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、填空题(本题满分15分,每小题3分.) (1)【答案】1y x =+【解析】对函数2sin y x x =+两边对x 求导,得12cos y sin x x,'=+ 令2x π=得212sincos122x y .πππ='=+=所以该曲线在点122,ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭处的切线的斜率为1,所以切线方程是122y x ,ππ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭即1y x =+为所求. (2)【答案】[1,1)-【解析】因系数1n n a a +==,从而1lim1,n n n n a a +→∞== 即幂级数的收敛半径1R =,当11x -<<时幂级数绝对收敛. 当1x =-时得交错级数n n ∞=(条件收敛)；当1x =时得正项级数0n ∞=(发散). 于是,幂级数的收敛域是[1,1)-. (3)【答案】1λ≠【解析】n 个方程n 个未知数的齐次方程组0Ax =有非零解的充分必要条件是0A =, 因为此时未知数的个数等于方程的个数,即A 为方阵时,用0A =判定比较方便.而 21110011010(1),111111A λλλλλ-==-=- 所以当0A ≠时1λ≠.所以此题应填:1λ≠. (4)【答案】1,12【解析】由于任何随机变量X 的分布函数()F x 是右连续函数,因此对任何x ,有()(0)F x F x =+.对于2x π=,有()sin,(0) 1.222F A A F πππ==+= 令 ()2F π=(0)2F π+,得到1A =,其中0(0)lim ()x F x F x +→+=.又 666P X P X ,πππ⎧⎫⎧⎫<=-<<⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭因()F x 在6x π=处连续,连续函数在任何一个点上的概率为0,因此06P X .π⎧⎫==⎨⎬⎩⎭所以 666P X P X πππ⎧⎫⎧⎫<=-<≤⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭66F F ππ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭162sin .π== (5)【答案】19【解析】由切比雪夫不等式2{}DXP X EX εε-≥≤,有221{3}(3)9P X σμσσ-≥≤=.二、选择题(本题满分15分,每小题3分.) (1)【答案】(B)【解析】由洛必达法则有()0002322ln23ln3lim lim lim ln2ln31x x x x x x x f x x x →→→+-+===+. 所以()f x 与x 是同阶但非等价无穷小量. (2)【答案】(C)【解析】由不定积分的概念和性质可知,()()()()df x dx f x dx f x .dx'==⎰⎰()()()f x dx df x f x C,'==+⎰⎰C 为常数.()()d f x dx f x dx.=⎰故应选(C).(3)【答案】(C)【解析】本题考查||0A =的充分必要条件,而选项(A)、(B)、(D)都是充分条件,并不必要.因为对矩阵A 来说,行和列具有等价性,所以单说列或者单说行满足什么条件就构成了||0A =的必要条件,但是不具有任意性,只需要存在一列向量是其余列向量的线性组合.以3阶矩阵为例,若 112123134A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,条件(A)必有一列元素全为0,(B)必有两列元素对应成比例均不成立,但有||0A =,所以(A)、 (B)不满足题意,不可选.若123124125A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,则||0A =,但第三列并不是其余两列的线性组合,可见(D)不正确.这样用排除法可知应选(C).(4)【答案】(C) 【解析】当行列式的一行(列)是两个数的和时,可把行列式对该行(列)拆开成两个行列式之和,拆开时其它各行(列)均保持不变.对于行列式的这一性质应当正确理解.因此,若要拆开n 阶行列式A B +,则应当是2n 个n 阶行列式的和,所以(A)错误.矩阵的运算是表格的运算,它不同于数字运算,矩阵乘法没有交换律,故(B)不正确.若1010,0102A B ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,则 ()111111020020102,1310301000223A B A B ----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥+==+=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦. 而且()1A B -+存在时,不一定11,A B --都存在,所以选项(D)是错误的. 由行列式乘法公式AB A B B A BA =⋅=⋅=知(C)正确.注意,行列式是数,故恒有A B B A ⋅=⋅.而矩阵则不行,故(B)不正确. (5)【答案】D【解析】设事件B =“甲种产品畅销”,事件C =“乙种产品滞销”,则 A 事件“甲种产品畅销,乙种产品滞销”可表示为A BC,=则_____A BCBC ===“甲种产品滞销或乙种产品畅销”,应选(D).三、计算题(本题满分15分,每小题5分.) (1)【解析】这是1∞型未定式求极限.设1u x=,则当x →∞时,0u →.于是 1011lim(sin cos )lim(sin cos )xux u u u x x→∞→+=+ 1sin cos 1sin cos 10lim(1sin cos 1)u u u u uu u u +-⋅+-→=++-,令sin cos 1u u t +-=,则0u →时0t →, 所以 11sin cos 1lim(1sin cos 1)lim(1)u u tu t u u t e +-→→++-=+=,所以 01sin cos 1sin cos 1sin cos 1limsin cos 10lim(1sin cos 1)lim u u u u u u u u u uuuu u u u ee→+-+-+-⋅+-→→++-==,由洛必达法则得00sin cos 1cos sin limlim 11u u u u u uu →→+--==,所以 111lim(sin cos )x x e e x x→∞+==.(2)【解析】方法一：先求zx∂∂,再求2z x y ∂∂∂.由复合函数求导法则,z f u f v f fy ,x u x v x u v∂∂∂∂∂∂∂=+=+∂∂∂∂∂∂∂ 故2()z f fy x y y u v∂∂∂∂=+∂∂∂∂∂ 222222f u f v ff u f v y u y u v y v v u y v y ⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂∂∂=++++ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭222222f f f f f x y xy u u v v u v v ∂∂∂∂∂=++++∂∂∂∂∂∂∂ 22222()f f f fx y xy u u v v v∂∂∂∂=++++∂∂∂∂∂. 方法二：利用一阶全微分形式不变性,可得1212()()()()dz f d x y f d xy f dx dy f ydx xdy ''''=++=+++1212()()f yf dx f xf dy ''''=+++.于是有 12x z f yf '''=+. 再对y 外求偏导数,即得122111221222()()()xy y y z f y f f f xf y f xf f ''''''''''''''''=++=++++1112222()f x y f xyf f '''''''=++++. 【相关知识点】复合函数求导法则：若(,)u u x y =和(,)v v x y =在点(,)x y 处偏导数存在,函数(,)z f u v =在对应点(,)u v 具有连续偏导数,则复合函数[(,),(,)]z f u x y v x y =在点(,)x y 处的偏导数存在,且,z f u f v z f u f vx u x v x y u y v y∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+=+∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂. (3)【解析】微分方程562xy y y e -'''++=对应的齐次方程560y y y '''++=的特征方程为2560r r ++=,特征根为122,3r r =-=-,故对应齐次微分方程的通解为2312xx C eC e --+.设所给非齐次方程的特解为*()xy x Ae -=,代入方程562xy y y e-'''++=,比较系数,得1A =,故所求方程的通解为231212,,x x x y C e C e e C C ---=++ 为常数.【相关知识点】关于微分方程特解的求法:如果()()xm f x P x e λ=,则二阶常系数非齐次线性微分方程()()()y p x y q x y f x '''++=具有形如*()k xm y x Q x e λ=的特解,其中()m Q x 与()m P x 同次(m 次)的多项式,而k 按λ不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取为0、1或2.四、(本题满分9分) 【解析】(1)收益函数2()10,06x R x xP xe x -==≤≤.边际收益函数25(2)x dRMR x e dx-==-.(2)由 25(2)0x dRx e dx-=-=,得2x =.又2222255(4)02x x x d Rx e dx e-===-=-<.因此()R x 在2x =取极大值.又因为极值点惟一,故此极大值必为最大值,最大值为20(2)R e=. 所以,当生产量为2时,收益取最大值,收益最大值为20e .而相应的价格为10e. (3)五、(本题满分9分)【解析】(1)()f x 为分段函数,由定积分的性质, 212001()()()xxx S f x e dx f x e dx f x e dx ---==+⎰⎰⎰1201(2)x x xe dx x e dx --=+-⎰⎰ 121(2)x x xde x de --=-+-⎰⎰12120101(2)x xxxxe edx x e e dx ----⎡⎤⎡⎤=-++--⎣⎦⎣⎦⎰⎰1220111101()x xe e e e e --⎡⎤⎡⎤=+---=-+--+⎣⎦⎣⎦2121e e=-+. (2)用定积分换元法,令2x t -=,则2,x t dx dt =+=,所以 422(2)212(2)()()x t t S f x e dx f t e dt e f t e dt --+--=-==⋅⎰⎰⎰,而 202012()1x S f x e dx e e-==-+⎰, 故 2222102012()(1)t S e f t e dt S e e e e----=⋅==-+⎰. (3) 用定积分换元法,令2x n t -=,则2,x t n dx dt =+=,所以2222(2)220(2)()()n xt n nt n nS f x n e dx f t edt ef t e dt +--+--=-==⋅⎰⎰⎰而 20212()1x S f x e dx e e-==-+⎰, 故 22220212()(1)nt n n n S ef t e dt S e e e e----=⋅==-+⎰. (4)利用以上结果,有2002001nnn n n n S S S e S e ∞∞∞-===⎛⎫=== ⎪⎝⎭∑∑∑()22002221111111e S e S e e e e e--====--+-.六、(本题满分6分) 【解析】对1()()xa F x f t dt x a=-⎰两边对x 求导,得 22()()()()()()()()xxa a f t dtx a f x f t dtf x F x x a x ax a ---'=+=---⎰⎰.证法一：由积分中值定理知,在(,)a x 内存在一点ξ使得()()()xaf t dt f x a ξ=-⎰,所以 22()()()()()()()()()()()()xa x a f x f t dtx a f x f x a f x f F x x a x a x aξξ------'===---⎰. 又因为()0,f x a x ξ'≤<<,故有()()0f x f ξ-≤,所以()0F x '≤. 证法二：令()()()()xag x x a f x f t dt =--⎰,则()()()()()()()g x f x x a f x f x x a f x '''=+--=-.因为,()0x a f x '>≤,所以()0g x '≤, 即()()()()xag x x a f x f t dt =--⎰在(,)a b 上为减函数,所以()()0g x g a ≤=,所以 2()()0()g x F x x a '=≤-.七、(本题满分5分)【解析】方法一：本题可采用一般的解法如下：由X AX B,=+得()E A X B.-=因为 ()1111002111013213102011E A ,---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦所以 ()102111311321202030115311X E A B .---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 方法二：本题还可用由()E A X B -=作初等行变换()()E A B E X -→,此解法优点是少算一次矩阵乘法,可以适当减少计算量.()110111012010253E A B --⎡⎤⎢⎥-=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦, 第一行乘以()1-分别加到第二行和第三行上,再第三行乘以()1-加到第三行上,得110110111100333--⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦第三行自乘13,再加到第二行上,第二行再加到第一行上,有100310102000111-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦, 所以312011X .-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦八、(本题满分6分) 【解析】m 个n 维向量12m ,,,ααα线性相关的充分必要条件是齐次方程组.()12120m m x x x ααα⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦有非零解.特别地,n 个n 维向量12,,,n ααα线性相关的充分必要条件是行列式12,,,0n ααα=.由于123111,,123513t tααα==-,故当5t ≠时,向量组123,,ααα线性无关；5t =时向量组123,,ααα线性相关. 当5t =时,设11223x x ααα+=将坐标代入有1212121,23,3 5.x x x x x x +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩解出121, 2.x x =-=即3122ααα=-+.九、(本题满分5分)【解析】(1) 矩阵A 的特征方程为122212221E A λλλλ+---=-+-+, 经过行列式一系列的初等行变换和初等列变换,有122122112034021021E A λλλλλλλλ-------=-+=+++ ()()()234115021λλλλλ+=-=-+=+,故矩阵A 的特征值为：115,,-.(2)由λ为A 的特征值可知,存在非零向量α使A αλα=,两端左乘1A -,得1A αλα-=.因为0α≠,故0λ≠,于是有11Aααλ-=.按特征值定义知1λ是1A -的特征值.由A 的特征值是115,,,-可知1A -的特征值为1115,,.-又因为()11(1)E A ααλ-+=+, 那么1E A -+的特征值是4225,,.【相关知识点】矩阵特征值与特征向量的定义：设A 是n 阶矩阵,若存在数λ及非零的n 维列向量X 使得AX X λ=成立,则称λ是矩阵A 的特征值,称非零向量X 是矩阵A 的特征向量.十、(本题满分7分)【解析】(1) 由二维连续型随机变量的概率求法,概率等于对应区域上的二重积分()0{}(,)yx y x yP X Y f x y dxdy dy e dx +∞-+<<==⎰⎰⎰⎰y y x e dy e dx +∞--=⎰⎰0()x y y x x e e dy +∞=--==-⎰201(1)2y y y y e e dy e e +∞+∞----⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭⎰1.2=(2) 由二维连续型随机变量的数学期望定义得()0()(,)x y E XY xyf x y dxdy xye dxdy +∞+∞+∞+∞-+-∞-∞==⎰⎰⎰⎰x y xe dx ye dy +∞+∞--=⎰⎰.因为由分部积分法有y y y y ye dy yde ye e d y +∞+∞+∞----+∞=-=-+⎰⎰⎰yyye e --+∞+∞=--,由洛必达法则,对∞∞型极限,有1lim lim 0yy y y ye e -→∞→∞==.所以有() 1.E XY =十一、(本题满分8分)【解析】以A 表示事件“对X 的观测值大于3”,依题意,X 的概率密度函数为1,25,()30,x f x ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它. 因此 5312(){3}.33P A P X dx p =>==⎰设随机变量Y 表示三次独立观测中观测值大于3的次数(即在三次独立试验中事件A 出现的次数).显然, Y 服从参数23,3n p ==的二项分布,因此,所求概率为 {2}{2}{3}P Y P Y P Y ≥==+=223321220()()()33327C =+=.【相关知识点】二项分布的概率计算公式：若(,)Y B n p ~,则{}(1)k kn k n P Y k C p p -==-, 0,1,,k n =.。

考研数学三真题(1989年)

1989 年全国硕士研究生入学统一考试真题试卷《数学三》试题
一、填空题(本题满分 15 分,每小题 3 分.把答案填在题中横线上.)
(1) 曲线 y x sin 2 x 在点 ,1 处的切线方程是__ 2 2
(2) 幂级数
n 0
_
.
xn n 1
的收敛域是__
3
四、(本题满分 9 分) 设某厂家打算生产一批商品投放市场.已知该商品的需求函数为
P P ( x ) 10e
x 2
,
且最大需求量为 6,其中 x 表示需求量, P 表示价格. (1) 求该商品的收益函数和边际收益函数.(2 分) (2) 求使收益最大时的产量、最大收益和相应的价格.(4 分) (3) 画出收益函数的图形.(3 分)
1 1 (1) 求极限 lim sin cos . x x x
x
2
(2) 已知 z f (u , v ), u x y , v xy , 且 f (u , v) 的二阶偏导数都连续.求
2 z . xy
(3) 求微分方程 y 5 y 6 y 2e x 的通解.
6
八、(本题满分 6 分) 设 1 (1,1,1), 2 (1, 2,3), 3 (1,3, t) . (1) 问当 t 为何值时,向量组 1 , 2 , 3 线性无关?(3 分) (2) 问当 t 为何值时,向量组 1 , 2 , 3 线性相关?(1 分) (3) 当向量组 1 , 2 , 3 线性相关时,将 3 表示为 1 和 2 的线性组合.(2 分)
证明在 (a, b) 内, F ( x ) 0 .
七、(本题满分 5 分)
0 1 0 1 1 已知 X AX B, 其中 A 1 1 1 , B 2 0 , 求矩阵 X . 1 0 1 5 3 _ Nhomakorabea.

1989考研数三真题及解析

1989年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题一、填空题(本题满分15分,每小题3分.把答案填在题中横线上.) (1) 曲线2sin y x x =+在点122,ππ⎛⎫+⎪⎝⎭处的切线方程是__ _ .(2)幂级数nn ∞=的收敛域是__ _ . (3) 齐次线性方程组1231231230,0,0x x x x x x x x x λλ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩ 只有零解,则λ应满足的条件是__ _ . (4) 设随机变量X 的分布函数为()00sin 0212,x ,F x A x,x ,,x ,ππ⎧⎪<⎪⎪=≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩则A =__________,6P X π⎧⎫<=⎨⎬⎩⎭ . (5) 设随机变量X 的数学期望()E X μ=,方差2()D X σ=,则由切比雪夫(Chebyshev)不等式,有{3}P X μσ-≥≤__ _ .二、选择题(本题满分15分,每小题3分.每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内.)(1) 设()232xxf x ,=+-则当0x →时 ( )(A) ()f x 与x 是等价无穷小量 (B) ()f x 与x 是同阶但非等价无穷小量 (C) ()f x 是比x 较高阶的无穷小量 (D) ()f x 是比x 较低阶的无穷小量 (2) 在下列等式中,正确的结果是 ( )(A)()()f x dx f x '=⎰ (B) ()()df x f x =⎰(C)()()df x dx f x dx =⎰(D) ()()d f x dx f x =⎰ (3) 设A 为n 阶方阵且0A =,则 ( ) (A) A 中必有两行(列)的元素对应成比例(B) A 中任意一行(列)向量是其余各行(列)向量的线性组合 (C) A 中必有一行(列)向量是其余各行(列)向量的线性组合 (D) A 中至少有一行(列)的元素全为0(4) 设A 和B 均为n n ⨯矩阵,则必有 ( )(A) A B A B +=+ (B)AB BA = (C) AB BA = (D) ()111A B A B ---+=+(5) 以A 表示事件“甲种产品畅销,乙种产品滞销”,则其对立事件A 为 ( )(A) “甲种产品滞销,乙种产品畅销” (B) “甲、乙两种产品均畅销”(C) “甲种产品滞销” (D) “甲种产品滞销或乙种产品畅销”三、计算题(本题满分15分,每小题5分)(1) 求极限11lim sin cos xx .x x →∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭(2) 已知(,),,,z f u v u x y v xy ==+=且(,)f u v 的二阶偏导数都连续.求2zx y∂∂∂.(3) 求微分方程562xy y y e-'''++=的通解.四、(本题满分9分)设某厂家打算生产一批商品投放市场.已知该商品的需求函数为2()10x P P x e -==,且最大需求量为6,其中x 表示需求量,P 表示价格.(1) 求该商品的收益函数和边际收益函数.(2分)(2) 求使收益最大时的产量、最大收益和相应的价格.(4分) (3) 画出收益函数的图形.(3分)五、(本题满分9分)已知函数,01,()2,1 2.x x f x x x ≤≤⎧=⎨-≤≤⎩试计算下列各题：(1) 200();xS f x e dx -=⎰(4分) (2) 412(2);x S f x e dx -=-⎰(2分)(3) 222(2)(2,3,);n xn nS f x n e dx n +-=-=⎰(1分) (4) 0n n S S ∞==∑.(2分)六、(本题满分6分)假设函数()f x 在[,]a b 上连续,在(,)a b 内可导,且()0f x '≤,记1()(),xa F x f t dt x a=-⎰ 证明在(,)a b 内,()0F x '≤.七、(本题满分5分)已知X AX B,=+其中010111101A ,⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦112053B ,-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦求矩阵X .八、(本题满分6分)设123(1,1,1),(1,2,3),(1,3,)t ααα===. (1) 问当t 为何值时,向量组123,,ααα线性无关?(3分) (2) 问当t 为何值时,向量组123,,ααα线性相关?(1分)(3) 当向量组123,,ααα线性相关时,将3α表示为1α和2α的线性组合.(2分)九、(本题满分5分)设122212221A .-⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦(1)试求矩阵A 的特征值；(2分)(2)利用(1)小题的结果,求矩阵1E A -+的特征值,其中E 是三阶单位矩阵.(3分)十、(本题满分7分)已知随机变量X 和Y 的联合密度为(),,,(,)0,x y e x y f x y -+⎧<<+∞<<+∞=⎨⎩ 00其它.试求：(1) {}P X Y <；(5分) (2) ()E XY .(2分)十一、(本题满分8分)设随机变量X 在[2,5]上服从均匀分布,现在对X 进行三次独立观测,试求至少有两次观测值大于3的概率.1989年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题解析一、填空题(本题满分15分,每小题3分.) (1)【答案】1y x =+【解析】对函数2sin y x x =+两边对x 求导,得12cos y sin x x,'=+ 令2x π=得212sincos122x y .πππ='=+=所以该曲线在点122,ππ⎛⎫+ ⎪⎝⎭处的切线的斜率为1,所以切线方程是122y x ,ππ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭即1y x =+为所求. (2)【答案】[1,1)-【解析】因系数1n n a a +==,从而1lim1,n n n n a a +→∞== 即幂级数的收敛半径1R =,当11x -<<时幂级数绝对收敛. 当1x =-时得交错级数nn ∞=(条件收敛)；当1x =时得正项级数0n ∞=(发散).于是,幂级数的收敛域是[1,1)-. (3)【答案】1λ≠【解析】n 个方程n 个未知数的齐次方程组0Ax =有非零解的充分必要条件是0A =, 因为此时未知数的个数等于方程的个数,即A 为方阵时,用0A =判定比较方便.而 21110011010(1),111111A λλλλλ-==-=- 所以当0A ≠时1λ≠.所以此题应填:1λ≠.(4)【答案】1,12【解析】由于任何随机变量X 的分布函数()F x 是右连续函数,因此对任何x ,有()(0)F x F x =+.对于2x π=,有()sin,(0) 1.222F A A F πππ==+= 令 ()2F π=(0)2F π+,得到1A =,其中0(0)lim ()x F x F x +→+=.又 666P X P X ,πππ⎧⎫⎧⎫<=-<<⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭因()F x 在6x π=处连续,连续函数在任何一个点上的概率为0,因此06P X .π⎧⎫==⎨⎬⎩⎭所以 666P X P X πππ⎧⎫⎧⎫<=-<≤⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭66F F ππ⎛⎫⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭162sin .π== (5)【答案】19【解析】由切比雪夫不等式2{}DXP X EX εε-≥≤,有221{3}(3)9P X σμσσ-≥≤=.二、选择题(本题满分15分,每小题3分.) (1)【答案】(B)【解析】由洛必达法则有()0002322ln23ln3lim lim lim ln2ln31x x x x x x x f x x x →→→+-+===+. 所以()f x 与x 是同阶但非等价无穷小量. (2)【答案】(C)【解析】由不定积分的概念和性质可知,()()()()df x dx f x dx f x .dx'==⎰⎰()()()f x dx df x f x C,'==+⎰⎰C 为常数.()()d f x dx f x dx.=⎰故应选(C). (3)【答案】(C)【解析】本题考查||0A =的充分必要条件,而选项(A)、(B)、(D)都是充分条件,并不必要.因为对矩阵A 来说,行和列具有等价性,所以单说列或者单说行满足什么条件就构成了||0A =的必要条件,但是不具有任意性,只需要存在一列向量是其余列向量的线性组合.以3阶矩阵为例,若 112123134A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,条件(A)必有一列元素全为0,(B)必有两列元素对应成比例均不成立,但有||0A =,所以(A)、 (B)不满足题意,不可选.若123124125A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,则||0A =,但第三列并不是其余两列的线性组合,可见(D)不正确.这样用排除法可知应选(C).(4)【答案】(C) 【解析】当行列式的一行(列)是两个数的和时,可把行列式对该行(列)拆开成两个行列式之和,拆开时其它各行(列)均保持不变.对于行列式的这一性质应当正确理解.因此,若要拆开n 阶行列式A B +,则应当是2n个n 阶行列式的和,所以(A)错误.矩阵的运算是表格的运算,它不同于数字运算,矩阵乘法没有交换律,故(B)不正确.若1010,0102A B ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦,则()111111020020102,1310301000223A B A B ----⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥+==+=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦. 而且()1A B -+存在时,不一定11,A B --都存在,所以选项(D)是错误的. 由行列式乘法公式AB A B B A BA =⋅=⋅=知(C)正确.注意,行列式是数,故恒有A B B A ⋅=⋅.而矩阵则不行,故(B)不正确.(5)【答案】D【解析】设事件B =“甲种产品畅销”,事件C =“乙种产品滞销”,则 A 事件“甲种产品畅销,乙种产品滞销”可表示为A BC,=则_____A BCBC ===“甲种产品滞销或乙种产品畅销”,应选(D).三、计算题(本题满分15分,每小题5分.) (1)【解析】这是1∞型未定式求极限.设1u x=,则当x →∞时,0u →.于是 1011lim(sin cos )lim(sin cos )xux u u u x x→∞→+=+ 1sin cos 1sin cos 10lim(1sin cos 1)u u u u uu u u +-⋅+-→=++-,令sin cos 1u u t +-=,则0u →时0t →, 所以 11sin cos 1lim(1sin cos 1)lim(1)u u tu t u u t e +-→→++-=+=,所以 01sin cos 1sin cos 1sin cos 1limsin cos 10lim(1sin cos 1)lim u u u u u u u u u uuuu u u u ee→+-+-+-⋅+-→→++-==,由洛必达法则得00sin cos 1cos sin limlim 11u u u u u uu →→+--==,所以 111lim(sin cos )x x e e x x→∞+==.(2)【解析】方法一：先求z x ∂∂,再求2zx y∂∂∂.由复合函数求导法则,z f u f v f fy ,x u x v x u v∂∂∂∂∂∂∂=+=+∂∂∂∂∂∂∂ 故 2()z f fy x y y u v∂∂∂∂=+∂∂∂∂∂222222f u f v ff u f v y u y u v y v v u y v y ⎛⎫∂∂∂∂∂∂∂∂∂=++++ ⎪∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂⎝⎭222222f f f f f x y xy u u v v u v v ∂∂∂∂∂=++++∂∂∂∂∂∂∂ 22222()f f f fx y xy u u v v v∂∂∂∂=++++∂∂∂∂∂. 方法二：利用一阶全微分形式不变性,可得1212()()()()dz f d x y f d xy f dx dy f ydx xdy ''''=++=+++1212()()f yf dx f xf dy ''''=+++.于是有 12x z f yf '''=+. 再对y 外求偏导数,即得122111221222()()()xy y y z f y f f f xf y f xf f ''''''''''''''''=++=++++1112222()f x y f xyf f '''''''=++++. 【相关知识点】复合函数求导法则：若(,)u u x y =和(,)v v x y =在点(,)x y 处偏导数存在,函数(,)z f u v =在对应点(,)u v 具有连续偏导数,则复合函数[(,),(,)]z f u x y v x y =在点(,)x y 处的偏导数存在,且,z f u f v z f u f vx u x v x y u y v y∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂=+=+∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂. (3)【解析】微分方程562xy y y e-'''++=对应的齐次方程560y y y '''++=的特征方程为2560r r ++=,特征根为122,3r r =-=-,故对应齐次微分方程的通解为2312xx C eC e --+.设所给非齐次方程的特解为*()xy x Ae -=,代入方程562xy y y e-'''++=,比较系数,得1A =,故所求方程的通解为231212,,x x x y C e C e e C C ---=++ 为常数.【相关知识点】关于微分方程特解的求法:如果()()xm f x P x e λ=,则二阶常系数非齐次线性微分方程()()()y p x y q x y f x '''++=具有形如*()k xm y x Q x e λ=的特解,其中()m Q x 与()m P x 同次(m 次)的多项式,而k 按λ不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取为0、1或2.四、(本题满分9分) 【解析】(1)收益函数2()10,06x R x xP xe x -==≤≤.边际收益函数25(2)x dR MR x e dx-==-.(2)由 25(2)0x dRx e dx-=-=,得2x =. 又2222255(4)02x x x d Rx e dx e-===-=-<.因此()R x 在2x =取极大值.又因为极值点惟一,故此极大值必为最大值,最大值为20(2)R e=. 所以,当生产量为2时,收益取最大值,收益最大值为20e .而相应的价格为10e. (3)五、(本题满分9分)【解析】(1)()f x 为分段函数,由定积分的性质, 212001()()()x x x S f x e dx f x e dx f x e dx ---==+⎰⎰⎰1201(2)xx xe dx x e dx --=+-⎰⎰121(2)xx xdex de --=-+-⎰⎰1212011(2)x x x xxe e dx x e e dx ----⎡⎤⎡⎤=-++--⎣⎦⎣⎦⎰⎰1220111101()x xe e e e e --⎡⎤⎡⎤=+---=-+--+⎣⎦⎣⎦2121e e=-+. (2)用定积分换元法,令2x t -=,则2,x t dx dt =+=,所以 422(2)212(2)()()x t t S f x e dx f t e dt e f t e dt --+--=-==⋅⎰⎰⎰,而 20212()1x S f x e dx e e-==-+⎰,故 2222102012()(1)t S e f t e dt S e e e e----=⋅==-+⎰. (3) 用定积分换元法,令2x n t -=,则2,x t n dx dt =+=,所以 2222(2)220(2)()()n x t n n t n nS f x n e dx f t e dt e f t e dt +--+--=-==⋅⎰⎰⎰而 202012()1x S f x e dx e e-==-+⎰, 故 22220212()(1)nt n n n S ef t e dt S e e e e----=⋅==-+⎰. (4)利用以上结果,有2002001nnn n n n S S S eS e ∞∞∞-===⎛⎫=== ⎪⎝⎭∑∑∑()22002221111111e S e S e e e e e--====--+-.六、(本题满分6分)【解析】对1()()xa F x f t dt x a=-⎰两边对x 求导,得 22()()()()()()()()xxa a f t dtx a f x f t dtf x F x x a x ax a ---'=+=---⎰⎰.证法一：由积分中值定理知,在(,)a x 内存在一点ξ使得()()()xaf t dt f x a ξ=-⎰,所以 22()()()()()()()()()()()()xa x a f x f t dtx a f x f x a f x f F x x a x a x aξξ------'===---⎰.又因为()0,f x a x ξ'≤<<,故有()()0f x f ξ-≤,所以()0F x '≤. 证法二：令()()()()xag x x a f x f t dt =--⎰,则()()()()()()()g x f x x a f x f x x a f x '''=+--=-.因为,()0x a f x '>≤,所以()0g x '≤, 即()()()()xag x x a f x f t dt =--⎰在(,)a b 上为减函数,所以()()0g x g a ≤=,所以 2()()0()g x F x x a '=≤-.七、(本题满分5分)【解析】方法一：本题可采用一般的解法如下：由X AX B,=+得()E A X B.-=因为 ()1111002111013213102011E A ,---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-=-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦所以 ()102111311321202030115311X E A B .---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 方法二：本题还可用由()E A X B -=作初等行变换()()E A B E X -→,此解法优点是少算一次矩阵乘法,可以适当减少计算量.()110111012010253E A B --⎡⎤⎢⎥-=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦, 第一行乘以()1-分别加到第二行和第三行上,再第三行乘以()1-加到第三行上,得110110111100333--⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦第三行自乘13,再加到第二行上,第二行再加到第一行上,有100310102000111-⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦, 所以312011X .-⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦八、(本题满分6分) 【解析】m 个n 维向量12m ,,,ααα线性相关的充分必要条件是齐次方程组.()12120m m x x x ααα⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦有非零解.特别地,n 个n 维向量12,,,n ααα线性相关的充分必要条件是行列式12,,,0n ααα=.由于123111,,123513t tααα==-,故当5t ≠时,向量组123,,ααα线性无关；5t =时向量组123,,ααα线性相关. 当5t =时,设11223x x ααα+=将坐标代入有1212121,23,3 5.x x x x x x +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩解出121, 2.x x =-=即3122ααα=-+.九、(本题满分5分)【解析】(1) 矩阵A 的特征方程为122212221E A λλλλ+---=-+-+, 经过行列式一系列的初等行变换和初等列变换,有122122112034021021E A λλλλλλλλ-------=-+=+++ ()()()234115021λλλλλ+=-=-+=+,故矩阵A 的特征值为：115,,-.(2)由λ为A 的特征值可知,存在非零向量α使A αλα=,两端左乘1A -,得1A αλα-=.因为0α≠,故0λ≠,于是有11Aααλ-=.按特征值定义知1λ是1A -的特征值.由A 的特征值是115,,,-可知1A -的特征值为1115,,.-又因为 ()11(1)E A ααλ-+=+, 那么1E A -+的特征值是4225,,.【相关知识点】矩阵特征值与特征向量的定义：设A 是n 阶矩阵,若存在数λ及非零的n 维列向量X 使得AX X λ=成立,则称λ是矩阵A 的特征值,称非零向量X 是矩阵A 的特征向量.十、(本题满分7分)【解析】(1) 由二维连续型随机变量的概率求法,概率等于对应区域上的二重积分()0{}(,)yx y x yP X Y f x y dxdy dy e dx +∞-+<<==⎰⎰⎰⎰yy x e dy e dx +∞--=⎰⎰0()x y y x x e e dy +∞=--==-⎰201(1)2yy y y e e dy e e +∞+∞----⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭⎰1.2=(2) 由二维连续型随机变量的数学期望定义得()0()(,)x y E XY xyf x y dxdy xye dxdy +∞+∞+∞+∞-+-∞-∞==⎰⎰⎰⎰xy xe dx ye dy +∞+∞--=⎰⎰.因为由分部积分法有yyyy ye dy ydeyee dy +∞+∞+∞----+∞=-=-+⎰⎰⎰yyye e --+∞+∞=--,由洛必达法则,对∞∞型极限,有1lim lim 0yy y y ye e -→∞→∞==.所以有() 1.E XY =十一、(本题满分8分)【解析】以A 表示事件“对X 的观测值大于3”,依题意,X 的概率密度函数为1,25,()30,x f x ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩其它. 因此 5312(){3}.33P A P X dx p =>==⎰设随机变量Y 表示三次独立观测中观测值大于3的次数(即在三次独立试验中事件A 出现的次数).显然, Y 服从参数23,3n p ==的二项分布,因此,所求概率为 {2}{2}{3}P Y P Y P Y ≥==+=223321220()()()33327C =+=.【相关知识点】二项分布的概率计算公式：若(,)Y B n p ~,则{}(1)k kn k n P Y k C p p -==-, 0,1,,k n =.。