经济学中边际与弹性的数学定义及实际意义
高等数学在经济学中的边际、弹性分析及应用
⾼等数学在经济学中的边际、弹性分析及应⽤2019-09-03【摘要】边际与弹性是⾼等数学中的重要概念，是微分学在经济分析中的有效应⽤。
本⽂从经济理论中的“边际”和“弹性”出发，对⽬前经济学中⼏个常见问题进⾏了数学化探讨，阐述了⾼等数学在经济学中的相关应⽤。
【关键词】边际弹性应⽤边际与弹性分析是经济数量分析的重要组环节，是⾼数微分法的重要应⽤之⼀。
在分析经济量的之间关系时，不仅要知道因变量依赖于⾃变量变化的函数关系，还要进⼀步了解这个函数值随⾃变量的变化的速率，函数的变化率，即它的边际函数；不仅要了解相应函数的绝对变化率，⽽且还要了解它的相对变化率，即它的弹性函数；经过进⼀步的分析，就可以探求如何取得最佳经济效益，达到理想应⽤的⽬的。
⼀、边际概念及其在经济学中的应⽤（⼀）边际概念边际作为⼀个数学概念，是指函数y=f（x）中变量x的某⼀值的“边缘”上y的变化。
它是瞬时变化率，也就是y对x的导数。
⽤数学语⾔表达为：设函数y=f（x）在[α，b]内可导，则称导数f'（x）为y=f（x）在[α，b]内的边际函数；在x0处的导数值f'（x0）称为y=f（x）在x0处的边际值。
根据不同的经济函数，边际函数有不同的称呼，如边际成本、边际产值、边际消费、边际储蓄、边际收益、边际利润等。
（1）边际成本。
在经济学中，把产量增加（或减少）⼀个单位时所增加（或减少）的⽣产总成本，定义为边际成本，边际成本就是总成本函数在所给定点的导数，记作MC=C′（q）。
（2）边际收益。
是指销售量增加（或减少）⼀个单位时所增加（或减少）的销售产品总收⼊，是总收⼊函数在给定点的导数，记作MR=R′（q）。
（3）边际利润。
对于利润函数 L（q）=R（q）-C（q），边际利润为 ML=L′（q）=R′（q）CC′（q）=MR-MC，其指销售量增加（或减少）⼀个单位销售量时所增加（或减少）的利润。
（⼆）边际理论在经济学中的应⽤边际分析理论可⽤来预测商品价格需求量或供给量，确定企业内部⽣产资料同劳动数量之间最合理的配置。
经济数学微积分导数在经济学中的简单应用
总成本函数TR=TR(Q)对产量Q的导数称 为边际收益（函数）.
3.边际利润
总利润函数π=π(Q)对产量Q的导数称为 边际收益（函数）.
由于π(Q)=TR(Q)-TC(Q),所以
即边际利润为边际收益与边际成本之差.
边际利润的情形分析 >0,表示再销售1个单位 产品，总利润的增加量.
=0,表示再销售1个单位 产品，总利润不再增加.
很小时）的关
即 当需求价格弹性大于1时，应降价增加收益.
当需求价格弹性小于1时，应提价增加收益.
当需求价格弹性等于1时，当价格变化时， 总收益不变．
例9 某商品的需求量Q关于价格P的函数为 Q=50-5P
求P=2,5,6时的需求的价格弹性，并说明其 经济意义以及相应增加销售收益的策略.
解
经济意义： P=2时，价格上涨1%，需求量将下降0.25% P=5时，价格上涨1%，需求量将下降1% P=6时，价格上涨1%，需求量将下降1.5%
销售策略： 当0<P<5时，宜采取提高价格，增加收益
当5<P<10时，宜采取降低价格，增加收益
3. 供给弹性
例10 设某产品的供给函数
，求供给
弹性函数及
的供给弹性.
解
4. 收益弹性
三、小结
边际的基本概念
1、边际成本 3、边际利润
边际函数的计算
2、边际收益 4、边际需求
弹性的基本概念
1、需求弹性 3、收益弹性
弹性函数的计算
2、供给弹性
<0,表示再销售1个单位 产品,总利润的减少量.
例3 设某产品生产单位的总成本为，
求：(1)生产900个单位的总成本和平均成本； (2)生产900个单位到1000个单位时的总成
西方经济学-第3章弹性理论
需求弹性的类型
需求完全无弹性
需求弹性为0，表示无论价格如何变化，需求量都 不会发生改变。
需求单位弹性
需求弹性等于1，表示需求量与价格变化相同。
需求缺乏弹性
需求弹性小于1，表示需求量对价格的变动反应较 小。
需求富有弹性
需求弹性大于1，表示需求量对价格的变动反应较 大。
需求弹性的影响因素
商品的性质
生活必需品的需求弹性较小，奢侈品的需求 弹性较大。
市场结构的差异可能导致弹性理论的适用性受限，需要具体情况具体分析。
弹性理论的假设条件
完全竞争市场假设
弹性理论通常基于完全竞争市 场的假设，但在现实中完全竞 争市场并不常见。
需求和供给曲线不变
弹性理论假设需求和供给曲线 在一定时期内保持不变，但实 际情况并非如此。
无外部效应
弹性理论假设市场中的外部效 应不存在，但现实中外部效应 是普遍存在的。
政策制定
政府可以通过分析商品的需求弹性和供给弹性，制 定相应的经济政策，以实现宏观经济的稳定和增长 。
02
需求弹性
需求弹性的定义与计算
敏感程度，通常用需求量变化 的百分比与价格变化的百分比之 比来表示。
02
计算公式为：需求弹性 = (需求量 变化的百分比) / (价格变化的百分 比)。
供给弹性的影响因素
生产周期
生产成本
生产周期较长的商品，其供给弹性通常较 小；生产周期较短的商品，其供给弹性通 常较大。
生产成本与价格直接相关，生产成本较高 的商品，其供给弹性通常较小；生产成本 较低的商品，其供给弹性通常较大。
生产技术
市场需求
生产技术的改进可以提高生产效率，从而 增加供给弹性。
市场需求的变化会影响供给量的变化，从 而影响供给弹性。
关于经济分析中弹性分析的几点说明
摘要：弹性，是经济学中的一个重要概念。
它在经济活动分析中起着极其重要的作用。
本文先从弹性的概念入手，以经营管理活动中的需求对价格的弹性为主要研究对象，来讨论利用弹性去定量地分析经济问题时，需要注意的问题，并给出三点说明。
关键词：导数；弹性分析；需求弹性；供给弹性弹性是就两个经济变量而言的，是研究两个变量之间相互联系和相互影响的，它是一个与被衡量对象计量单位无关的数，即是一个无量纲的数。
正因为如此，弹性可以单独作为一种定量分析法而存在。
弹性分析是相关分析与动态分析相结合的一种统计方法，在相互联系中分析其间变动的规律性。
在经济管理中，弹性分析对于我们认识和掌握微观调控机制，达到最佳效益目标进行最优决策能发挥重大作用。
所以为了能够在经济分析中进行正确的弹性分析，对弹性的相关概念和内容做以下三点 说明。
一、弹性概念的正确理解弹性，意指反应。
函数的弹性，是指自变量变动时，函数(因变量)变动的反应性。
即弹性指的是因变量的变化率与自变量的变化率的比值：E ===∆→∆→lim lim x x 00∆∆xyyx ∆∆y x xy x y y'，也叫做y 对x 的弹性系数(或叫弹性)。
所以，弹性系数指当变量之间存在依存关系(即相对关系)时，一变量对另一变量变动的反应程度。
它是一个相对数，衡量某变量相对 变动所引起的另一相关变量的相对变动，其大小是两个变量变动相对数(增减率)之比的相对量，习惯上称之为弹性 系数。
综上所述，对于弹性我们还可以通俗地理解一下，如果自变量增加1%，导致因变量增加3%，那么弹性即为3；如果自变量增加1%，因变量减少2%，那么弹性即为-2。
二、弹性分析有如下几种考察情况(一)需求的价格弹性E p =−dQ P dP Q，其Q =Q (p )为需求函数。
需求的价格弹性是指一种商品的需求量变动对于该商品价格变动的反应程度。
也就是说价格和需求量的变动，是反向变动的关系。
分子分母反向变动，整个公式其实是一个负值。
西方经济学名词解释
第一章稀缺性：资源相对于人们的需求总是少于人们能免费或自由取用的情形。
因为存在资源这一特性，才需要经济学研究如何最有效的配置资源，使人们的福利达到最大程度。
经济物品：是人们必须付出代价方可得到的服务或产品，即必须借助生产资源通过人类加工出来的物品，数量有限。
相对于人类社会的无限欲望而言，经济物品或者是说生产这些物品的资源总是不足的。
自由物品：又称免费物品，是指人们无须付出代价就可得到的产品或服务。
在这个稀缺的世界上，自由物品是一种例外，它们是大自然的恩赐。
不幸的是，因为人们不加珍惜，这种恩赐正在一样一样减少。
空气曾被认为是自由物品，但是随着污染侵入世界每个角落，自由地呼吸清洁空气似乎越来越变成人们的一种奢望。
机会成本：指因选择而放弃其他机会而造成的代价。
一般用这一资源在其他用途上可以得到的最高收益来衡量。
OR是指生产一单位的某种商品的生产者所放弃的使用相同的生产要素在其他生产用途中所能得到的最高收入。
生产可能性曲线：也可称为转换线，是指在一定的资源条件下，利用现有的资源和技术条件下可能生产的最大产量组合。
它的假设包括：固定的资源。
充分就业。
生产技术既定，仅生产两种产品。
主要是用来考察一个国家怎样分配其相对稀缺的生产资源问题。
生产可能性曲线还可以用来说明潜力与过度的问题。
生产可能性曲线内的任何一点，说明生产还有潜力，资源未得到充分利用，存在资源闲置；生产可能性曲线外的任何点，则是现有资源和技术条件达不到的的；只有在生产可能性曲线上的点，才是资源配置最有效率的点。
OR：表示在技术知识和投入品数量决定的条件下，一个经济体系所能得到的最大产量。
PPF 代表可供社会利用的物品和劳务的不同组合。
实证经济学：研究实际经济体系是怎样运行的，它对经济行为做出有关假设，根据假设分析和陈述经济行为及其后果，并试图对结论进行检验。
简言之，是回答“是什么”的问题。
规范经济学：从一定的社会价值判断标准出发，根据这些标准，对一个经济体系的运行进行评价，并进一步说明一个经济体系应当怎样运行，以及为此提出相应的经济政策。
ap微观经济学知识点
微观经济学是研究个体经济主体、市场和资源分配等方面的经济学分支。
它涉及了一系列重要的知识点，下面将介绍一些常见的微观经济学知识点。
1.供求关系：供求关系是微观经济学的基础概念之一。
供给是指厂商愿意以一定价格生产和出售商品或服务的数量，需求则是消费者愿意以一定价格购买商品或服务的数量。
供求关系决定了市场的均衡价格和数量。
2.弹性：弹性是衡量商品或服务对价格变动的敏感度。
需求弹性和供给弹性对市场的运作至关重要。
如果需求或供给的弹性很高，价格变动会导致数量的大幅度变化；如果弹性较低，价格变动对数量的影响则相对较小。
3.效用理论：效用是指个体从消费中得到的满足程度。
效用理论研究了消费者如何在有限的预算下做出最优的消费选择。
边际效用是指增加或减少一单位产品所带来的额外满足感，边际效用递减则说明消费者对同一产品的满足感会逐渐减少。
4.生产函数和成本理论：生产函数描述了输入要素与产出之间的关系。
成本理论则研究了企业在不同生产要素价格下如何选择最优的生产组合。
边际成本是指增加或减少一单位生产所需要的额外成本，边际成本递增则说明企业在生产更多产品时需要投入更多的成本。
5.市场结构：市场结构指的是某个行业中企业数量、产品差异程度以及市场进入和退出的难易程度等因素。
常见的市场结构包括完全竞争市场、垄断市场、寡头垄断市场和垄断竞争市场。
不同市场结构下企业的定价和利润水平有所不同。
6.外部性和公共物品：外部性是指某个经济主体的行为对其他经济主体产生的未能通过市场适当反映的影响，可以分为正外部性和负外部性。
公共物品是一种无法排除非支付者使用且一个人使用不减少其他人使用量的商品或服务，例如道路和国防。
外部性和公共物品的存在可能导致市场失灵，需要政府干预。
7.市场失灵：市场失灵是指市场无法有效配置资源，导致社会福利不最大化。
常见的市场失灵包括外部性、公共物品的提供、信息不对称和市场势力等。
政府可以通过政策干预来纠正市场失灵，例如征税、补贴和监管等。
边际与弹性
解
dP Q ( P ) 2 P , 当P 4时 的 边 际 需 求 为 dQ Q ( P ) P 4 8
它的经济意义时价格为4时，价格上涨（或下 降）1个单位，需求量将减少（或增加）8个单位.
三、弹性的概念
1. 弹性的定义
定义 设函数 y f ( x ) 在点 x0 处可导，且 x0 0 ，
例1 设函数 y x 2，试求 y 在 x 5 时的边际函数值． 解 因为 y 2 x ，所以 y x5 10．
该值表明：当 x 5 时，x 改变 1 个单位（增加 或减少 1 个单位） ，y 改变 10 个单位（增加或 减少 10 个单位） ．
二、 经济学中常见的边际函数
设在点 x x0 处， x 从 x0 改变一个单位时 y 的增量 y 的准确值为 y x 1 ，当 x 改变量很小时，则由微分的应用 知道， y 的近似值为
x x0
y x 1 dy f ( x )x
x x0
x x0 x 1
f ( x 0 )
当 x 1时，标志着 x 从 x0 减小一个单位.
3 弹性的四则运算
f1 ( x) E f 2 ( x) Ef1 ( x) Ef 2 ( x) (3) Ex Ex Ex
4 函数弹性的图解方案
即 tan( m ) tan m (图2 2)
边际函数 y f ( x )的 几 何 意 义 为 所 示 曲 上 线各 点 的 切 线 斜 率 ，
Ef1 ( x) Ef 2 ( x) f ( x ) f ( x ) 1 2 E f1 ( x) f 2 ( x) Ex Ex (1) Ex f1 ( x) f 2 ( x) (2) E f1 ( x) f 2 ( x) Ex Ef1 ( x) Ef 2 ( x) Ex Ex
导数在经济学中的应用
导数在经济学中的应用一、边际和弹性（一）边际与边际分析边际概念是经济学中的一个重要概念，通常指经济变量的变化率，即经济函数的导数称为边际。
而利用导数研究经济变量的边际变化的方法，确实是边际分析方法。
1、总成本、平均成本、边际成本总成本是生产一定量的产品所需要的成本总额，通常由固定成本和可变成本两部分构成。
用c(x)表示，其中x 表示产品的产量，c(x)表示当产量为x 时的总成本。
不生产时，x=0，这时c(x)=c(o)，c(o)确实是固定成本。
平均成本是平均每个单位产品的成本，若产量由x 0变化到x x ∆+0，则：xx c x x c ∆-∆+)()(00称为c(x)在)(00x x x ∆+，内的平均成本，它表示总成本函数c(x)在)(00x x x ∆+，内的平均变化率。
而x x c /)(称为平均成本函数，表示在产量为x 时平均每单位产品的成本。
例1，设有某种商品的成本函数为：x x x c 30135000)(++=其中x 表示产量（单位：吨），c(x)表示产量为x 吨时的总成本（单位：元），当产量为400吨时的总成本及平均成本分别为：（元）1080040030400135000)(400=⨯+⨯+==x x c 吨）（元/2740010800)(400===x xx c 假如产量由400吨增加到450吨，即产量增加x ∆=50吨时，相应地总成本增加量为：4.686108004.11468)400()450()(=-=-=∆c c x c 728.13504.686)()(500400==∆∆+=∆∆=∆=x x xx x c x x c 这表示产量由400吨增加到450吨时，总成本的平均变化率，即产量由400吨增加到450吨时，平均每吨增加成本13.728元。
类似地运算可得：当产量为400吨时再增加1吨，即x ∆=1时，总成本的变化为：7495.13)400()401()(=-=∆c c x c 7495.1317495.13)(1400=∆∆=∆=x x xx c表示在产量为400吨时，再增加1吨产量所增加的成本。
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经济学中边际与弹性的数学定义及实际意义
摘要：边际与弹性是导数在经济学中的一个重要应用，是微分学在经济分析中一种有效可行的方法。
文章从经济数学中边际和弹性的数学定义出发，结合实际通俗的解释了边际和弹性的意义。
关键词：边际；弹性；定义
1 整体分析
2 从实例来解释边际和弹性
先看边际，比如可以研究产品的边际成本，边际受益来衡量工厂合适的生产量，还有边际效用也是解决实际问题或解释实际问题常用的方法。
比如农民一年收获了袋谷子，第一袋谷子用来维持一个月的生活，效用为10，第二袋谷子可以卖掉使他生活水平提高，效用为8，第三袋谷子可以用来酿酒，效用为4，第四袋谷子可以用来喂宠物，效用为2。
第一袋谷子的效用最高，后面依次递减。
很多实际的问题都用到了边际分析法，比如长途汽车即将出站出发时，有一名乘客要求以票价的一半价格上车，售票员考虑之后还是让他上车了。
咋一看，我们会觉得长途车车主亏了，但实际上我们应该考虑的是边际成本和边际收益这两个概念。
在这个例子中，增加这一名乘客，所需汽油费、工作人员工资、过路费和汽车的磨损等几乎都不会增加，即长途车所增加的成本几乎为0，即边际成本约等于0元。
但是增加这一名乘客，长途车车主的收入增加了乘客所付的钱（票价的一半），即边际收益为票价的一半。
这样分析的话长途车车主还是得利了。
又比如在食品保鲜技术还不是非常发达的上世纪，乳品商面对当日无法全部售完的新鲜牛奶，是选择极低价促销还是全部掉入阴沟？众多的商家选择了后者。
这与以上所提到的坐车案例处理方法截然不同。
难道那时的商人不懂得边际分析？可想而知不是。
在商人的算盘中，并不仅是计算着今天的收益，他们所要考虑的是最为重要的：今天的极低价促销对于日后的牛奶价格会产生什么影响！因为今日的低价促销所获得的较少收益足不以弥补日后由于牛奶单价的降低所带来的亏损（原本购买正价牛奶的消费者亦选择在低价促销时购买）。
可见，关于边际分析法应用讨论还需继续。
弹性使用的范围也非常广，商品可分为弹性商品和非弹性商品，弹性商品是指商品的价格变动会带动需求量跟着会发生很大的变化，比如奢侈品就是弹性商品。
非弹性商品是指商品的价格变动几乎不会改变人们对此商品的需求量，比如生活必需品（大米、油、盐等）都是非弹性商品。
下面看一个具体的例子，1979年我国政府决定把猪肉的价格提高30%，在传统体制下，猪肉价格长达20多年几乎没有改变，这是改革之初的一个重大事件，政府为了使城市居民的生活水平不因此而受到大的影响，给每个在职职工每月增发副食品补贴5元。
这一涨价和补贴将对猪肉的需求产生怎样的影响呢？武汉大学的学者利用武汉市的季度数据估计了猪肉的需求函数如下：
Q=0.3313P-0.8176Y0.9635 （P为价格，Y为收入）
从以上边际和弹性的定义以及意义来看，边际和弹性都是讨论的函数自变量改变时，函数值相应的会如何改变。
但边际所涉及的函数改变量与函数变化率是绝对改变量与绝对变化率，弹性所涉及的函数改变量与函数变化率是相对改变量与相对变化率。
通俗的来讲边际分析只适合同类产品之间的比较分析，而弹性可以把不同类型的产品拿来分析比较。
参考文献：
[1] 李明远.经济学中的需求弹性与总收益弹性的关系[J].江南学院学报，2000，（2）.
[2] 李素芳.浅谈弹性分析在企业经济管理中的影响[J].中国商贸，2010，（14）.
[3] 刘玉红.经济数学在经济管理管理中的应用[J].山西统计，2002，（5）.。