数学核心素养之直观想象：特征、层次与培养策略(上)
数学核心素养之直观想象与培养
数学核心素养之直观想象与培养数学核心素养是指学生在数学学习中所需具备的基本素养，包括数学思维能力、数学方法运用能力、数学问题解决能力和数学表达能力等。
直观想象能力是数学核心素养中的重要组成部分，对于学生的数学学习和数学思维能力的培养具有至关重要的作用。
本文将从直观想象的重要性、直观想象与数学学习的关系以及直观想象能力的培养几个方面展开讨论。
一、直观想象的重要性直观想象是指在没有实际对象的情况下，通过心智的构象，构成内在的感觉形象。
数学领域中，直观想象能力是指学生通过观察、感知、形象化地思维来进行数学问题的思考与解决的能力。
直观想象能力的高低不仅关系到学生的数学学习成绩，更关系到学生对数学的兴趣和热情。
培养学生的直观想象能力对于提高学生数学核心素养具有重要意义。
直观想象能力对于数学问题的理解和解决至关重要。
数学问题往往抽象难懂，而直观想象可以使抽象的概念有具体的形象表现，帮助学生更加深入地理解数学问题。
对于几何问题，学生如果能够通过直观想象将抽象的几何图形具象化，那么对于该几何问题的理解和解决就会更加得心应手。
又如，对于代数问题，学生如果能够通过直观想象将代数式具象化，那么就会更容易发现代数问题的规律和特点，从而更好地解决代数问题。
直观想象能力对于学生的数学学习兴趣和自信心的培养也有积极作用。
学生在数学学习中常常会遇到抽象、难懂的概念和问题，如果他们缺乏直观想象能力，则容易对数学产生畏难情绪，从而导致数学学习的被动。
而如果学生具备了较强的直观想象能力，对于数学问题的理解和解决就会更加得心应手，从而增强学生对数学的兴趣和自信心，激发学生对数学的热爱。
二、直观想象与数学学习的关系直观想象能力是数学学习的重要基础。
数学是一门以符号和抽象概念为主要内容的学科，而直观想象能力可以帮助学生将抽象的数学概念和问题具象化，从而更好地理解和掌握数学知识。
在数学学习过程中，培养学生的直观想象能力是十分重要的。
可以说直观想象能力与数学学习有着密切的关系，它是数学学习的重要基础和保障。
数学核心素养之直观想象与培养
数学核心素养之直观想象与培养数学核心素养是指学生具备的基本数学能力，包括数学基本概念的理解、数学问题的解决能力、数学思维的培养等。
直观想象是数学核心素养中非常重要的一部分，它指的是通过感觉、直觉和形象想象来理解和解决数学问题的能力。
直观想象的培养对于提高学生的数学素养具有非常重要的意义。
一、直观想象在数学学习中的重要性1.1 直观想象是数学思维的基础直观想象是一种对物体、关系和运动的形象化思维方式。
在数学学习中，很多概念和问题都需要依靠直观想象来理解和解决。
在几何学中，理解和绘制几何图形，推导和证明几何定理，都需要依靠直观想象。
在代数学习中，理解变量和函数的关系、解方程、画函数图像等，也需要借助于直观想象。
可以说直观想象是数学思维的基础，是数学学习的重要支撑。
1.2 直观想象是解决实际问题的重要手段数学不仅仅是一门抽象的学科，它更多的是应用在现实生活和实际问题中。
而直观想象能够帮助学生更好地理解和解决实际问题。
在解决空间中的几何问题时，直观想象能够帮助学生更加清晰地感受空间关系，更好地解决问题。
在解决实际实际应用问题时，数学模型的建立和求解也需要依靠直观想象。
直观想象是解决实际问题的重要手段。
1.3 直观想象是培养创造力和发现能力的重要途径数学学习并不是仅仅掌握一些固定的方法和技巧，更重要的是培养学生的创造力和发现能力。
而直观想象正是培养学生创造力和发现能力的重要途径。
通过自己的直观想象，学生能够发现并提出新的问题或者解决新的问题，从而培养出创造性的思维。
正是这种创造性思维让数学学科不断发展，不断产生新的发现和成果。
二、培养直观想象的策略和方法2.1 从感性认识到符号记号的过渡直观想象的培养需要从学生最基本的感性认识开始。
在幼儿园和小学阶段，应该注重培养学生对于物体、空间、关系和运动的感性认识。
通过观察、操作和体验，让学生形成对于这些物体、空间、关系和运动的直观印象。
在此基础上，逐渐引导学生将感性认识转化为符号记号，形成数学概念和方法。
数学核心素养之直观想象：特征、层次与培养策略（上）
数学核心素养之直观想象：特征、层次与培养策略（上）龙源期刊网 /doc/1013074803.html,数学核心素养之直观想象：特征、层次与培养策略（上）作者：邓友祥来源：《湖南教育·C版》2019年第06期《普通高中数学课程标准（2017年版）》（以下简称《标准》）提出直观想象是六大核心素养之一，并对直观想象的内涵作出了明确界定：“直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用空间形式特别是图形，理解和解决数学问题的素养。
”其主要包括：借助空间认识事物的位置关系、形态变化与运动规律；利用图形描述、分析数学问题；建立数与形的联系，构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路。
直观想象是发现和提出问题、分析和解决问题的重要手段，是探索和形成解题思路、进行数学推理、构建抽象结构的思维基础。
为有效落实直观想象这一核心素养的培养要求，改变传统数学教学过于关注学生具体数学知识、技能的形成，以切实提高数学教学效率，有必要深入探讨直观想象的基本特征与水平层次，并采取行之有效的教学策略。
鲍建生教授在“高中数学课程标准修订中的若干问题”的讲座中谈及“聚焦数学核心素养”，介绍了作为核心素养的直观想象的四个方面表现形式：利用图形描述数学问题；利用图形理解数学问题；利用图形探索和解决数学问题；构建数学问题的直观模型。
在此基础上，《标准》提出直观想象主要表现为：建立数与形的联系，利用几何图形描述问题，借助几何直观理解问题，运用空间想象认识事物。
这在一定程度上体现了直观想象的基本特征。
结合直观想象的内涵，其主要有如下基本特征。
（一）经验性直观想象必须基于已有的知识经验和活动经验，所运用的知识组块和形象直感都是经验的积累和升华，并不断地组合老经验、形成新经验，从而不断提高直观想象的水平。
[1]这一特征要求，平时数学教学要重视引导学生获得基本活动经验，并以此为基础帮助学生直观地理解数学。
（二）整体性具有良好直观想象能力的学生，往往善于借助直观，从结构、关系、类别、层次及系统等各个角度看待事物，并将所获取信息有机整合为一个完整体系，这是一种整体思维观。
高中生数学直观想象素养的培养策略
高中生数学直观想象素养的培养策略摘要：新课程改革背景下，核心素养能力的提升成为了学生主要的数学学习目标。
高中数学教师从核心素养直观想象能力着手，通过教学活动中直观想象意识培养，可引导高中生通过观察生活，奠定直观想象素养基础，借助信息技术演示培养直观想象能力，依托数形结合，可加强学生直观想象学习效果。
本文对高中生数学直观想象素养的培养展开了探究，并提出几点策略和建议，以期达成高中生数学直观想象素养的培养目标。
关键词：高中生；数学直观想象素养；培养策略前言：新课程改革为高中生设定了全新的培养目标，这其中包括直观想象素养的培养。
由此，高中数学教学应着重培养高中生的这一能力，通过直观想象力的培养策略明确的培养目标，利用数学学科抽象性特点以及几何知识，提高学生直观想象能力。
那么，运用什么样的培养策略，可以有效培养高中生直观想象能力素养呢？笔者结合多年教学经验，提出几个策略，以供大家参考。
一、观察生活策略，培养高中生直观想象意识由于数学与生活的千丝万缕联系，高中数学教学时，教师就可运用观察生活策略，培养高中生的直观想象意识，使其在具备良好意识基础上，调动叙述数学学习活动的参与性，以此不断提升直观想象能力。
基于这样的数学学习目标，教师可针对高中生自主生活、自主学习能力较强的特点，引导高中生意识到直观想象力的重要性，以实现直观想象意识与能力的培养。
如，《集合》教学时，教师引导高中生从生活中探寻集合的相关知识，培养数学直观想象意识，这样的培养模式，对高中生来十分必要的。
由于高中阶段的数学知识和习题考察思路呈现形式越来越抽象，逻辑性也越来越强，这就使得学生对数学知识的理解能力也应提升到一个新的高度。
所以学生除了要具备学习力外，还应具备超强的直观想象力。
由此，针对《集合》知识进行学习时，高中生就可从直观想象的角度，将这部分内容与生活进行衔接，从生活实际观察中，通过直观想象认知，完成对集合知识的理解。
同时，由于集合这部分内容以高中生初步理解集合概念为主，培养他们的发现问题与解决问题的能力，以及独立思考的分析能力。
直观想象素养内涵、价值与培养策略
直观想象素养：内涵、价值与培养策略刘国文直观想象是建构数学模型的常用方式、探索解题思路的思维基础、理解数学意义的基本途径、提升思维品质的重要手段。
通过具体的教学案例展开探究，对直观想象素养的内涵、价值进行分析，并探究培养学生直观想象素养的策略，尝试分析在几何与图形领域之外多方面运用直观想象的价值。
直观想象核心素养空间表象几何直观基础教育阶段，学生数学素养的培养，必然要结合具体的内容和学习领域来讨论。
《义务教育数学课程标准（2011年版）》中明确涉及“图形与几何”领域的核心词是“空间观念”与“几何直观”。
其中，空间观念与学生的知觉、表象、想象紧密联系，学生对数学的理解也需要借助几何直观，通过想象进一步对表象加工改造。
因此，直观想象是学生感知、理解数学的基本方式，更是进一步发展抽象和理性思维的基础。
《普通高中数学课程（2017年版）》则将学生在直观想象方面的素养列为六大数学学科核心素养之一，称为“直观想象素养”。
虽然小学生的直观想象方式与水平不同于高中生，但“直观想象素养”的总体内涵是相近的。
本文试通过具体的教学案例展开探究，对直观想象素养的内涵、价值进行分析,并探究培养学生直观想象素养的策略。
一、直观想象素养的内涵概述直观想象包含了“直观”和“想象”两个方面。
直观是通过操作、观察等方式直接感知客观事物而获得的认识，可以是直接观察得到的感性认识（感性直观），也可以是通过某种理性认识对事物本质的整体把握（理性直观）；想象是通过加工、改造、重构已有表象，产生新表象或概念的心理过程，这一过程中包含了学生提取记忆表象、借助学习经验进行推想、联想等思维活动。
直观想象素养是长期形成的运用直观想象进行观察、操作、思考、表达的能力、方式和习惯，是一种融于身心的较为稳定的思维品格、价值取向。
关于几何直观，有几点值得注意。
其一，学生学习中的几何直观常常带有某种程度的抽象性和理性，除了现实生活中具体的实物、模型，他们看到的更多是具有某种几何形状、结构的抽象数学图形。
高中数学直观想象核心素养的内涵与培养方法浅析
264高中数学直观想象核心素养的内涵与培养方法浅析★曾俊琳为了打破传统教学模式的局限性，国家教育部门推行了新课程改革标准，并多次强调了学生核心素养的培养，要求教师必须要以学生的全面发展为根本教学目标。
为了提高教学目标的针对性，教育部门在结合了实际学科特点的基础上将核心素养进行了细化。
在数学核心素养中，直观想象核心素养是其重要的内涵之一，对学生的全面发展也具有较为突出的教育意义。
因此，本文将以高中数学教学为对象，针对如何直观想象核心素养的内涵以及具体的培养方法进行深入研究。
数学学科核心素养是学生在数学学习的过程中慢慢养成的思维习惯和思想方法，体现了学生的综合素质，在数学学习的过程中起着重要的作用。
直观想象素养作为普通高中数学课程标准六大核心之一，是学生在数学学习的过程中必不可少的一种素养在普通高中数学课程的学习中，直观想象素养可以帮助学生更好的理解数学知识的本质，这就要求教师要在高中数学课堂教学的过程中将直观想象素养渗透其中，提升学生的直观想象素养。
因此，针对直观想象核心素养的内涵以及培养方法进行研究具有较为明确的现实意义。
一、什么是直观想象核心素养直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用空间形式特别是图形理解和解决数学问题的素养。
主要包括：借助空间认识事物的位置关系、形态变化与运动规律；利用图形描述、分析数学问题；建立数与形的联系，构建数学问题直观模型，探索解决问题的思路。
对于直观想象，不能单纯的认为就是几何直观与空间想象的结合。
几何直观是借助图形将数学符号表达出来；空间想象则是结合生活情景，对几何图形的运动、变换以及位置关系进行加工、改造，甚至创造新的空间形象。
应该更多的关注两者交融之后价值取向的拓展，比如在寻找问题的解决方式时，就可以借助图形的直观去拓展思维的空间。
在解决问题的过程中，要掌握好直观与想象的关系，直观是具体的，想象是抽象的，不能片面的去思考解决问题的思路，结合两者才能更加具体的分析问题，进而解决问题。
数学核心素养之直观想象与培养
数学核心素养之直观想象与培养数学是一门让许多人望而却步的学科，因为它需要艰深的逻辑思维和抽象的数学概念。
数学并不仅仅是一门冷冰冰的学科，它也包含了丰富的想象和直观的视觉。
数学核心素养之直观想象与培养，正是要引导学生在学习数学的过程中培养直观的思维和想象力，从而更好地理解数学，提高数学的学习兴趣和能力。
一、直观想象在数学中的重要性直观想象是指通过感官来感知事物、现象并形成对其的直观印象。
在数学中，直观想象是非常重要的，因为许多数学问题需要通过图像、图形等形象化的变换来解决。
对于几何学中的平移、旋转、反射等概念，如果没有直观想象的能力，就很难理解和运用这些概念。
在代数学中，对于方程、函数等抽象概念的理解也需要借助直观想象来形象化问题，并通过思维的变化来解决。
直观想象也是激发学生数学兴趣和创造力的重要途径。
数学不仅是一门学科，更是一种思维方式和解决问题的工具。
通过培养直观想象，可以让学生在数学学习中更加享受解决问题的乐趣，激发他们的求知欲和探索精神。
直观想象也可以激发学生的创造力，在解决数学问题时，学生可以通过直观想象来构思和创造各种解题方法，从而培养他们的创造性思维能力。
二、培养直观想象的方法1. 通过视觉化的学习方式：在教学中，可以通过图形、图像、模型等形象化的教学方式来帮助学生理解数学概念。
可以通过画图的方式来讲解几何学中的平移、旋转、反射等概念，通过数学模型来解释代数学中的方程、函数等概念，从而让学生更加直观地理解数学问题。
2. 多进行思维实验：在解题过程中，可以通过思维实验的方式来激发学生的直观想象。
可以给学生一些有趣的数学问题，让他们通过思维实验的方式来想象解题过程，从而培养他们的直观想象能力。
3. 多进行互动式的学习活动：在课堂教学中，可以通过小组讨论、互动游戏等方式来激发学生的直观想象。
通过师生互动、学生之间的互动，可以让学生更加直观地理解数学概念，从而提高他们的学习兴趣和能力。
目前，随着信息技术的发展和教育改革的不断深化，培养学生的直观想象已经成为数学教育的重要任务。
核心素养引领，培养直观想象
环境中更为直接快捷地分析与处理问题．
三、图形深入，挖掘本质
在破解一些数学问题时，经常要在题目所给图形或
根据已知条件所建立图形的基础上，进一步加以深入分
析，挖掘本质，进行直观想象，再加工，再生成，从而再次
利用所挖掘的本质图形加以直观分析，有效破解．
例３ （江 苏 省 七 市 （南 通、扬 州、泰 州、徐 州、淮
的中点，则（ ）．
图２
Ａ．犅犕 ＝犈犖，且直线犅犕，犈犖 是相交直线
Ｂ．犅犕 ≠犈犖，且直线犅犕，犈犖 是相交直线
Ｃ．犅犕 ＝犈犖，且直线犅犕，犈犖 是异面直线
Ｄ．犅犕 ≠犈犖，且直线犅犕，犈犖 是异面直线
分析：结合题 目 条 件，把 对 应 的 立 体 几 何 图 形 放
在特殊的几何背景中，以长方体为特殊背景来分析相
＝犗犉→２， 结 合 题 目 条 件
犿 －犪 ＋ 犿 ＋犪 ＝４，可知
点 犘 的轨迹是以犉１，犉２ 为焦
图１
点且２犪＝４的椭圆．而犮＝１，犪＝２，可得犫＝ 槡２２ －１２
＝槡３，数形结合，利用椭圆的几 何 性 质，直 观 可 知槡３ ＝
犫 ≤ 犿 ≤犪＝２，所以 犿 的取值范围为［槡３，２］，故
填答案：［槡３，２］． 点评：巧妙利用题目中的平面向量的关系式来回归
教学 参谋 解法探究 ２０２０年１２月
核心素养引领，培养直观想象
? 江苏省西亭高级中学 李小波
直观想象作 为《普 通 高中数 学课程标准（２０１７年 版）》在“课程基本理念”中创新性地提出的六大“数学学 科核心素养”之一，是借助几何直观、空间想象来感知事 物的形态与变化等，利用图形直观来理解和解决数学问 题的思维过程和素养的．在实际数学教学过程中，合理引 导，巧妙运用，直观想象，既可以用来解决一些抽象的数 学问题，也可以更有效地用来解决一些直观数学问题，可 起到事半功倍的效果，达到“以形助数”、“以形助形”，从 而发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度．
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数学核心素养之直观想象：特征、层次与培养策略（上）
作者：邓友祥
来源：《湖南教育·C版》2019年第06期
《普通高中数学课程标准（2017年版）》（以下简称《标准》）提出直观想象是六大核心素养之一，并对直观想象的内涵作出了明确界定：“直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用空间形式特别是图形，理解和解决数学问题的素养。
”其主要包括：借助空间认识事物的位置关系、形态变化与运动规律；利用图形描述、分析数学问题；建立数与形的联系，构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路。
直观想象是发现和提出问题、分析和解决问题的重要手段，是探索和形成解题思路、进行数学推理、构建抽象结构的思维基础。
为有效落实直观想象这一核心素养的培养要求，改变传统数学教学过于关注学生具体数学知识、技能的形成，以切实提高数学教学效率，有必要深入探讨直观想象的基本特征与水平层次，并采取行之有效的教学策略。
鲍建生教授在“高中数学课程标准修订中的若干问题”的讲座中谈及“聚焦数学核心素养”，介绍了作为核心素养的直观想象的四个方面表现形式：利用图形描述数学问题；利用图形理解数学问题；利用图形探索和解决数学问题；构建数学问题的直观模型。
在此基础上，《标准》提出直观想象主要表现为：建立数与形的联系，利用几何图形描述问题，借助几何直观理解问题，运用空间想象认识事物。
这在一定程度上体现了直观想象的基本特征。
结合直观想象的内涵，其主要有如下基本特征。
（一）经验性
直观想象必须基于已有的知识经验和活动经验，所运用的知识组块和形象直感都是经验的积累和升华，并不断地组合老经验、形成新经验，从而不断提高直观想象的水平。
[1]这一特征要求，平时数学教学要重视引导学生获得基本活动经验，并以此为基础帮助学生直观地理解数学。
（二）整体性
具有良好直观想象能力的学生，往往善于借助直观，从结构、关系、类别、层次及系统等各个角度看待事物，并将所获取信息有机整合为一个完整体系，这是一种整体思维观。
这一特征要求，平时数学教学要确立整体联系观，引导学生借助直观了解数学知识之间的相同、相似、差异、不同等区别和联系，形成网络清晰、融会贯通的数学知识结构。
（三）逻辑性
既然直观想象借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，强调分析、综合与探索，建立数与形的联系，那么其必然表现出一定的逻辑性。
这一特征要求，平时数学教学引导学生得出（发现、猜测）相关结论后，还必须要求学生做出合理的数学思考，依据已有数学知识经验和相关程序步骤，通过严格的逻辑推理得出科学结论，以逐步发展学生的逻辑结构。
（四）预見性
直观想象的结果通常会表现出新的突破，得到新的结论，或发现问题解决的思路、途径或方法，因此带有极强的创造性。
这一特征要求，平时数学教学要向学生提供具有探索性和思考性的数学学习任务，引发学生深度的数学思考，拓展学生的想象空间，加强学生数学联想和猜想能力的培养，促使学生自觉或不自觉地运用组块与直觉，直接预测问题的结论。
目前中学数学教育界关于直观想象的教学与研究，更多仍停留在操作层面，对学生直观想象能力的培养缺乏应有的深度和效度。
究其原因，实际教学中不少教师无法弄清学生的直观想象究竟处于何种水平，因而所采用的教学方法不能保证学生的思维水平能向更高水平进阶。
因此，有必要对直观想象的水平层次做出深度的层次划分，其前提是必须要对直观和想象的分类有所了解。
关于直观的分类，康德从哲学视角给出权威的解释：“一类是经验直观，一类是纯粹直观。
”[2]孔凡哲等人结合中学数学教学实际，认为几何直观具体可表现为实物直观、简约符号直观、图形直观、替代物直观等四种表现形式。
[3]
数学想象有着各种不同的表现形式，按照想象的特点来分，可以分成图形想象和图式想象两类；按照想象的深度来分，则可以分成联想（包括回忆、追想等）和猜想两类。
图形想象是以空间形象直感为基础的对数学图形表象的加工与改造，是对几何图形的形象建构；图式想象是以数学直感为基础的对数学图式（数量关系的解析表现）表象的加工与改造。
[4]
直观想象能力的发展具有一定的年龄规律，与之有关的几何学习理论主要有赫尔
（P.H.Van.Hiele）的几何思维发展模型和杜瓦尔（Duval）的几何认知关系模型。
1959年，荷兰数学教育家赫尔（P.H.Van. Hiele）经过研究，提出学生的几何思维发展可分为逐级升高的五个层次[5]（110-111）：只能按图形形状来区分———能对认识的图形形状加以分析———逻辑地认识几何图形———整体上理解演绎法的意义———超出对理论的任何具体解释而发展理论。
综上，并结合我国实际，笔者认为学生的直观想象必须经历直观到抽象、有形到无形、外在到内在、非逻辑到逻辑的过程。
具体可将学生的直观想象水平分为如下五个层次（由低到高）：
第一层次：视觉水平。
学生只能认识有形实物或直观模型，不能正确判断概念间的逻辑关系。
此时，几何图形的认识仅凭视觉整体观察，只会按其形状（尚未加以分析）来区分。
第二层次：描述分析水平。
学生能依据已有知识和经验，对认识的实物（或图形）形状加以分析，能描述这些形状的性质。
但仍不能理解数学知识之间的逻辑关系，不能得到数学的逻辑结构。
第三层次：抽象关系水平。
学生理解数学知识有时仍需一定的直观经验，能认识几何图形等知识之间的逻辑关系，并能进行简单的非正式推理，局部地实现了数学知识的逻辑整理，但不能从整体上理解演绎法的意义。
第四层次：推理水平。
学生不再仅凭直观经验观察得出结论，习惯于强调概念思维，能综合分析和运用已有知识，通过逻辑推理构建数学知识，探索解决问题的思路和方法，在整体上理解演绎法的意义。
第五层次：公理化水平。
学生能理解数学知识体系及抽象性，合理评判并舍弃对象的具体性质和其间关系的具体含义，在不同的公理系统下严谨地建立数与形的联系，构建数学问题的直观模型，超出对理论的任何具体解释而发展理论。
值得注意的是，上述各水平层次的发展是循序渐进的，任何教学法都不可能让学生跳过某一水平层次而直接达到下一水平层次，但过渡之后有时仍需回到较低水平以便更好地理解它们，这就是思维过程中的“返祖”现象。
直观想象水平层次的进步，往往依赖于教学而非年龄的增长。
（未完待续）
（作者单位：江苏泰州学院）。