辽宁省沈阳东北育才双语学校2014年高三上一模数学(理)试题

辽宁省沈阳东北育才双语学校2014年高三上一模数学（理）试题答题时间：120分钟 满分：150分一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 已知全集{}1,2,3,4U =，集合{}=12A ，，{}=23B ，，则()=U A B ð（ ） A.{}134，， B.{}34， C. {}3 D. {}4 2. 在复平面内，复数20123i i-（i 为虚数单位）对应的点位于 （ ）A.第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限 3.给出下列命题：①若命题“p 或q 为真命题，则命题p 或命题q 均为真命题” ②命题1sin ,:≤∈∀x R x p ．则R x p ∈∃⌝0:，使1sin 0>x ；③已知函数'()f x 是函数()f x 在R 上的导数，若()f x 为偶函数，则'()f x 是奇函数； ④已知x R Î，则“1x >”是“2x >”的充分不必要条件； 其中真命题的个数是（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个4. 用0,1,,9十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为（ ）A.243B.252C.261D ．2795. 函数0.5()2|log |1xf x x =-的零点个数为（ ）A. 1B.2C. 3D.46.已知二次函数2y ax bx c =++如果c b a >>，且0a b c ++=，则它的图像只能是（ ）7.函数22)24()2cos x x xf x x xπ+++=+的最大与最小值分别为M 、N ，则（ ） A ．2M N -= B ．2M N += C ．4M N -= D ．4M N +=8.已知函数()[)()232,0,32,,0x x f x x a a x ⎧∈+∞⎪=⎨+-+∈-∞⎪⎩在区间(),-∞+∞上是增函数,则常数a 的取值范围是（ ）A. ()1,2B.(][),12,-∞+∞ C. []1,2 D.()(),12,-∞+∞9. 已知函数2()log (2)2x f x a x =-+- ，若()f x 存在零点，则实数a 的取值范围是（ ） A.[4,)+∞ B.[1,)+∞C.[2,)+∞D. (,4][4,)-∞-∞10．曲线x y e =在点2(2)e ，处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）A.294e B.22eC.22eD.2e11.当0<a<b<1时,下列不等式正确的是()A.()()111b ba a ->-B.()()11aba b +>+ C.()()211b ba a ->-D.()()11aba b ->-12.设函数)(x f 的定义域为实数集R ，且)()1()2(x f x f x f -+=+，若2)4(-=f ，则函数1)2011(2)(++=x x e f e x g 的最小值是A.1B.3C.3lnD.2ln 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

把答案填在题中的横线上13.1-=⎰.14.当(12)x ∈，时，不等式240x mx ++<恒成立，则m 的取值范围是 15. ()5223++x x 的展开式中3x 的系数是_______.16. 函数()331f x ax x =-+对于[]1,1x ∈-总有()f x ≥0 成立，则a = ．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17.（本小题满分12分）已知函数()f x=的定义域集合是A,函数22()lg[(21)]g x x a x a a=-+++的定义域集合是B（1）求集合A、B（2）若A B B⋃=,求实数a的取值范围．18.（本小题满分12分）某食品厂为了检查甲乙两条自动包装流水线的生产情况，随即在这两条流水线上各抽取40件产品作为样本称出它们的重量（单位：克），重量值落在(495,510]的产品为合格品，否则为不合格品．图1是甲流水线样本的频率分布直方图，表1是乙流水线样本频数分布表．（Ⅰ）若以频率作为概率，试估计从甲流水线上任取5件产品，求其中合格品的件数X的数学期望；（Ⅱ）从乙流水线样本的不合格品中任意取2件，求其中超过合格品重量的件数Y的分布列；（Ⅲ）由以上统计数据完成下面22⨯列联表，并回答有多大的把握认为“产品的包装质量与两条附：下面的临界值表供参考： (参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++)19.（本小题满分12分）设函数)10()1()(≠>--=-a a a k a x f x x 且是定义域为R 的奇函数．（1）求k 的值； （2）若23)1(=f ，且)(2)(22x f m a a x g x x ⋅-+=-在),1[∞+上的最小值为2-，求m 的值．20.（本小题满分12分）已知函数2()axf x x e =，其中0a ≤，e 为自然对数的底数 （1）讨论函数()f x 的单调性（2）求函数()f x 在区间[0,1]上的最大值21.已知函数()()2ln f x x x ax a R =+-∈.（1）若()f x 在其定义域上为增函数，求a 的取值范围；（2）若()f x 存在极值，试求a 的取值范围，并证明所有极值之和小于13ln 2-+； （3）设()11n a n N n*=+∈，求证：()()()22212123ln 12n n a a a a a a n n +++-+++<++.请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图所示，AB 是⊙O 的直径，G 为AB 延长线上的一点，GCD 是⊙O 的割线，过点G 作AB 的垂线，交AC 的延长线于点E ，交AD 的延长线于点F ，过G 作⊙O 的切线，切点为H . 求证： （Ⅰ）C 、D 、F 、E 四点共圆； （Ⅱ）2GH GE GF =⋅.23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系的x 轴的正半轴重合． 直线l 的参数方程是315415x t y t⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数），曲线C的极坐标方程为)4πρθ=+．（Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程；A BCDEFGH O（Ⅱ）设直线l 与曲线C 相交于M 、N 两点，求M 、N 两点间的距离．24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()f x x a =-.（Ⅰ）若不等式()3f x ≤的解集为{}|15x x -≤≤，求实数a 的值；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若()f x +(5)f x m +≥对一切实数x 恒成立，求实数m 的取值范围. 答案17.解：（1）A ＝{}|12x x x ≤->或 B ＝{}|1x x a x a <>+或（2）由A B ＝B 得A ⊂B ，因此112a a >-⎧⎨+≤⎩所以11a -<≤,所以实数ａ的取值范围是(]1,1-18.解：（Ⅰ）由图１知，甲样本中合格品数为(0.060.090.03)54036++⨯⨯=，则Y的取值为2,1,0；且246210()(0,1,2)k kC C P Y k k C -===，于是有：182(0),(1),(2)31515P Y P Y P Y ====== ∴Y 的分布列为……………………8分（Ⅲ）22⨯列联表如下：∵22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++＝280(360120) 3.11766144040⨯-≈⨯⨯⨯ 2.706> ∴ 有90％的把握认为产品的包装质量与两条自动包装流水线的选择有关．………12分19.解：（1）由题意，对任意R ∈x ，)()(x f x f -=-， 即x x x x a k a a k a ---+-=--)1()1(，即0)())(1(=+-+---x x x x a a a a k ，0))(2(=+--x x a a k ， 因为x 为任意实数，所以2=k ． （2）由（1）x x a a x f --=)(，因为23)1(=f ，所以231=-a a ， 解得2=a ．故x x x f --=22)(，)22(222)(22x x x x m x g ----+=，令x x t --=22，则222222+=+-t x x ，由),1[∞+∈x ，得⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+∈,23t ，所以2222)(22)()(m m t mt t t h x g -+-=+-==，⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+∈,23t当23<m 时，)(t h 在⎪⎭⎫⎢⎣⎡∞+,23上是增函数，则223-=⎪⎭⎫⎝⎛h ，22349-=+-m ，解得1225=m （舍去）．当23≥m 时，则2)(-=m f ，222-=-m ，解得2=m ，或2-=m （舍去）．综上，m 的值是2．20.21.22. （1）函数的定义域为()0,+∞.()12f x x a x'=+-. 法一：∵函数在定义域上单调递增，∴120x a x +->12a x x⇔<+，而min12x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以只需a ≤法二：()21212x ax f x x a x x-+'=+-=，∵函数在定义域上单调递增，∴只需2210x ax -+≥对任意()0,x ∈+∞恒成立.设函数()221g x x ax =-+考虑函数函数的图像得：①04a≤或②040a⎧>⎪⎨⎪∆≤⎩⇒a ≤（2）若()f x 存在极值，则只需()221g x x ax =-+在()0,+∞上有变号零点，即040aa ⎧>⎪⇒>⎨⎪∆>⎩.设函数的零点为12,x x ，则12121,22a x x x x +=⋅=. ()()2212111222ln ln f x f x x x ax x x ax +=+-++-()()212121212ln 2x x x x x x a x x =++--+221ln 1242a a =+--21ln 124a =--由28a a >>得2111ln 1ln 123ln 2422a --<--=-+.（3）分析：不等式的左边无法求和，转向对式子整体的观察：()()()22212123ln 12n n a a a a a a n n +++-+++<++右边可否拆成n 项？答案是肯定的——()12ln 12ln ln ln 222n n n n a a a ++=+++++++个所以考虑能否证明不等式23ln 2n n n a a a -<+之后在利用同向相加原理证明所要证明的不等式成立. 证明：设函数()2ln 32F x x x x =+-+，(]1,2x ∈则当(]1,2x ∈时，()22312123148230x x x F x x x x x⎛⎫-- ⎪-+⎝⎭'=+-==>所以函数()F x 在(]1,2上为单调递增函数，故()()10F x F >=. 即23ln 2x x x -<+，(]1,2x ∈.因为(]1,2n a ∈，所以23ln 2n n n a a a -<+. 于是21113ln 2a a a -<+，22223ln 2a a a -<+，……，23ln 2n n n a a a -<+. 由不等式同向相加原理得证()()()22212123ln 12n n a a a a a a n n +++-+++<++成立.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 解：（Ⅰ）连接BC∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB =90°. ∵AG ⊥FG ，∴∠AGE =90°. 又∠EAG =∠BAC ，∴∠ABC =∠AEG . 又∠FDC =∠ABC ，∴∠FDC =∠AEG . ∴∠FDC +∠CEF =180°.∴C ，D ，F ，E 四点共圆. …………5分（Ⅱ）∵GH 为⊙O 的切线，GCD 为割线，∴GH 2=GC ·GD .由C ，D ，F ，E 四点共圆， 得∠GCE =∠AFE ，∠GEC =∠GD F. ∴△GCE ∽△GFD .∴GFGC =GDGF ，即GC ·GD =GE ·GF ，∴CH 2=GE ·GF . ………… 10分23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 解：（Ⅰ）由)4πρθ=+得，sin cos ρθθ=+，两边同乘ρ得，2cos sin 0ρρθρθ--=，再由222x y ρ=+，cos x ρθ=，sin y ρθ=，得曲线C 的直角坐标方程是220x y x y +--= ………… 5分（Ⅱ）将直线参数方程代入圆C 方程得，2521200t t -+=，AB CDEFG H O12215t t +=，124t t =， MN 12t t =-=5=．………… 10分 24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 解：（Ⅰ）由3)(≤x f 得3||≤-a x ，解得33a x a -≤≤+又已知不等式3)(≤x f 的解集为{}51|≤≤-x x ，所以⎩⎨⎧=+-=-5313a a ，解得a =2. ………………………………5分（Ⅱ）（法一）当a =2时，|2|)(-=x x f ，设)5()()(++=x f x f x g ，于是⎪⎩⎪⎨⎧>+≤≤--<--=++-=.2,12,23,5,3,12|3||2|)(x x x x x x x x g所以当3-<x 时，5)(>x g ； 当23≤≤-x 时，5)(=x g ； 当x >2时，5)(>x g 。