辽宁省沈阳市东北育才学校2018-2019学年高二上学期期中考试数学试题(解析版)

2018-2019学年度上学期高二年级期中考试数学试卷一、选择题：（每题5分，满分60分）1.已知命题p：∀x∈R，sinx≤1，则（）A. ¬p：∃x R，sinx≥1B. ¬p：∃x R，sinx>1C. ¬p：∃x∈R，sinx＞1D. ¬p：∃x∈R，sinx≥1【答案】C【解析】【分析】根据¬p是对p的否定，故有：∃x∈R，sinx＞1．从而得到答案．【详解】∵¬p是对p的否定∴¬p：∃x∈R，sinx＞1故选：C．【点睛】本题主要考查全称命题与特称命题的转化问题．2.是"方程""表示焦点在轴上的椭圆的( )A. 充分不必要条件B. 充要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】将方程mx2+ny2=1转化为，然后根据椭圆的定义判断．【详解】将方程mx2+ny2=1转化为，根据椭圆的定义，要使焦点在y轴上必须满足，且，即m＞n＞0反之，当m＞n＞0，可得出＞0，此时方程对应的轨迹是椭圆综上证之，”m＞n＞0”是”方程mx2+ny2=1表示焦点在y轴上的椭圆”的充要条件故选：B．【点睛】本题考查椭圆的定义，难度不大，解题认真推导．3.如图是谢宾斯基三角形，在所给的四个三角形图案中，黑色的小三角形个数构成数列的前4项，则的通项公式可以是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】着色的小三角形个数构成数列{a n}的前4项，分别得出，即可得出{a n}的通项公式．【详解】着色的小三角形个数构成数列{a n}的前4项，分别为：a1=1，a2=3，a3=3×3=32，a4=32×3，因此{a n}的通项公式可以是：a n=3n﹣1．故选：A．【点睛】本题考查了等比数列的通项公式，考查了观察分析猜想归纳推理能力与计算能力，属于中档题．4.已知双曲线的中心在坐标原点,离心率,且它的一个顶点与抛物线的焦点重合,则此双曲线的方程为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】此题考查双曲线标准方程的求法；可以利用定义或待定系数法求，首先要搞清楚焦点所在的位置，然后在求解，如果不清楚焦点位置，首先要讨论；由已知得到：，因为抛物线的焦点是，所以双曲线的顶点是，所以双曲线焦点在轴上，且，所以，所以标准方程是，所以选D5.数列……的前项的和为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析：设前项和为，则有，解得.考点：数列的求和.6.函数取得最小值时的的值为（）A. B. 2 C. D.【答案】B【解析】【分析】先将函数配成（x+1）+的形式，再运用基本不等式最值，根据取等条件得到函数的单调区间，从而确定x的值．【详解】y=x+=（x+1）+﹣1，∵（x+1）+≥2，∴当且仅当：x=﹣1时，取得最小值，所以，函数y在x∈[﹣1，+∞）上单调递增，x∈（﹣1，﹣1）上递减，由于x≥2，所以，函数y=x+在区间[2，+∞）上单调递增，因此，当x=2时，函数取得最小值，故选：B．【点睛】本题主要考查了运用基本不等式求函数的最值，以及取等条件和单调性的分析，属于基础题．7.如图所示，F为双曲线C：﹣=1的左焦点，双曲线C上的点P i与P7﹣i（i=1，2，3）关于y轴对称，则|P1F|+|P2F|+|P3F|﹣|P4F|﹣|P5F|﹣|P6F|的值是（）A. 9B. 16C. 18D. 27【答案】C【解析】【分析】首先设右焦点为F′，由点P i与P7﹣i（i=1，2，3）关于y轴对称以及双曲线的对称性得出|FP1|=|F′P6|，|FP2|=|F′P5|，|FP3|=|F′P4|，然后根据双曲线的定义得出|F′P6|﹣|P6F|=2a=6，|F′P5|﹣|P5F|=2a=6，|F′P4|﹣|P4F|=2a=6，进而求出结果．【详解】设右焦点为F′，∵双曲线C上的点P i与P7﹣i（i=1，2，3）关于y轴对称∴P1和P6，P2和P5，P3和P4分别关于y轴对称∴|FP1|=|F′P6|，|FP2|=|F′P5|，|FP3|=|F′P4|，∵|F′P6|﹣|P6F|=2a=6，|F′P5|﹣|P5F|=2a=6，|F′P4|﹣|P4F|=2a=6，∴|P1F|+|P2F|+|P3F|﹣|P4F|﹣|P5F|﹣|P6F|=（|F′P6|﹣|P6F|）+（|F′P5|﹣|P5F|）+（|F′P4|﹣|P4F|）=18故选：C．【点睛】本题考查了双曲线的性质，灵活运用双曲线的定义，正确运用对称性是解题的关键，属于中档题．8.已知AB=3，A、B分别在x轴和y轴上滑动，O为坐标原点，=+，则动点P的轨迹方程是（）A. x2+=1B. x2+=1C. +y2=1D. +y2=1【答案】D【分析】设A（a，0），B（O，b），P（x，y）．由|AB|=3，可得a2+b2=9．由于=+，可得．消去a，b即可得出．【详解】设A（a，0），B（O，b），P（x，y）．∵|AB|=3，∴=3，化为a2+b2=9．∵=+，∴（x，y）==．∴．∴，化为=1．∴动点P的轨迹方程是=1．故选：D．【点睛】本题考查了向量的线性运算、向量相等、两点之间的距离公式，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．9.已知点P是椭圆=1上一点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，M为△PF1F2的内心，若成立，则λ的值为（）A. 2B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据三角形的内心到三边的距离相等，利用三角形的面积公式，将条件化简，结合椭圆的定义，即可求得【详解】设△PF1F2的内切圆的半径为r，∵M为△PF1F2的内心，S△MPF1=λS△MF1F2﹣S△MPF2，∴|PF1|=λ×|F1F2|﹣|PF2|，∴|PF1|=λ|F1F2|﹣|PF2|，∴|PF1|+|PF2|=λ|F1F2|，∵点P是椭圆上一点，F1F2分别为椭圆的左、右焦点，∴2a=λ×2∴λ===2，故选：A．【点睛】本题考查三角形内心的性质，考查三角形面积的计算，考查椭圆的定义，正确运用三角形内心的性质是关键．10.已知两点M（﹣3，0），N（3，0），点P为坐标平面内一动点，且，则动点P（x，y）到两点A（﹣3，0）、B（﹣2，3）的距离之和的最小值为（）A. 4B. 5C. 6D.【答案】B【解析】【分析】首先利用向量数量积的运算求出抛物线的方程，然后根据抛物线的定义再将动点P（x，y）到点A（﹣3，0）的距离转化为到焦点的距离，进而转化为到准线的距离，如图．再由抛物线的性质知：当B，C和P三点共线的时候距离之和最小，从而得到答案．【详解】设P（x，y），因为M（﹣3，0），N（3，0），所以，，=（6，0），由，则，化简整理得y2=﹣12x，其焦点坐标为（﹣3，0），所以点A是抛物线y2=﹣12x的焦点，过P作准线x=3的垂线，垂足为C，则动点P（x，y）到两点A（﹣3，0）、B（﹣2，3）的距离之和等于动点P（x，y）到点B（﹣2，3）和到直线x=3的距离之和，依题意可知当B，C和P三点共线的时候，距离之和最小，如图，最小值为：3﹣（﹣2）=5．故选：B．【点睛】本题在向量与圆锥曲线交汇处命题，考查了向量的数量积、曲线方程的求法、抛物线的定义以及等价转化能力．11.已知双曲线的左、右焦点分别为、,是直线上一点,且,则双曲线的离心率为( )A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】题意，△PF1F2为直角三角形，利用勾股定理与双曲线的定义，结合|PF1|•|PF2|=4ab，即可求得双曲线的离心率．【详解】∵PF1⊥PF2，|F1F2|=2c，∴点P（，m）在以原点为圆心，半径为c的圆上，∴+m2=c2，①又|PF1|•|PF2|=|F1F2|•m=2cm=4a b，②联立①②得：m2=c2﹣=，整理可得：e4﹣4e2+3=0，解得：e2=3或e2=1（舍去）∴双曲线的离心率e=．故选：B．【点睛】本题考查双曲线的简单性质，通过方程组求得b=2a是关键，考查通过分析与转化解决问题的能力，属于中档题．12.已知点为抛物线的焦点，为原点，点是抛物线准线上一动点，点在抛物线上，且，则的最小值为( )A. 6B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用抛物线的定义由得到到准线的距离为4 ，即可求出点的坐标,根据:“”相当于在准线上找一点，使得它到两个定点的距离之和最小，最后利用平面几何的方法即可求出距离之和的最小值. 【详解】，准线方程为，设，则，即，代入，得，不妨取，即，设关于准线的对称点为，可得，故，故选C.【点睛】与焦点、准线有关的问题一般情况下都与拋物线的定义有关，解决这类问题一定要注意点到点的距离与点到直线的距离的转化：（1）将抛线上的点到准线距离转化为该点到焦点的距离；(2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，使问题得到解决.二、填空题：（每题5分，满分20分）13.椭圆的焦距为2，则m=__________【答案】5或3【解析】【分析】由题意可得：c=1，再分别讨论焦点的位置进而求出m的值．【详解】由题意可得：c=1．①当椭圆的焦点在x轴上时，m﹣4=1，解得m=5．②当椭圆的焦点在y轴上时，4﹣m=1，解得m=3．故答案为：3或5．【点睛】本题只要考查椭圆的标准方程，以及椭圆的有关性质．14.给出下列四个结论：①当a为任意实数时，直线（a﹣1）x﹣y+2a+1=0恒过定点P，则过点P且焦点在y轴上的抛物线的标准方程是；②已知双曲线的右焦点为（5，0），一条渐近线方程为2x﹣y=0，则双曲线的标准方程是；③抛物线的准线方程为.④已知双曲线，其离心率e∈（1，2），则m的取值范围是（﹣12，0）．其中正确命题的序号是___________．（把你认为正确命题的序号都填上）【答案】①②③④【解析】【分析】对于①，先救出直线恒过的定点，再求出符合条件的抛物线方程，判断得①正确；②中根据渐近线方程求得a和b的关系进而根据焦距求得a和b，椭圆方程可得．③把抛物线方程整理成标准方程，进而根据抛物线的性质可得抛物线的准线方程．④根据离心率的范围求得m的取值范围判断④正确．【详解】①整理直线方程得（x+2）a+（1﹣x﹣y）=0，可知直线（a﹣1）x﹣y+2a+1=0恒过定点P（﹣2，3），故符合条件的方程是，则①正确；②依题意知=2，a2+b2=25，得a=，b=2 ，则双曲线的标准方程是，故可知结论②正确．③抛物线方程得x2=y，可知准线方程为，故③正确．④离心率1＜e=＜2，解得﹣12＜m＜0，又m＜0，故m的范围是﹣12＜m＜0，④正确，故其中所有正确结论的个数是：4故选：D．【点睛】本小题主要考查抛物线的标准方程及性质、双曲线的标准方程及性质、不等式的解法等基础知识，考查数形结合思想．属于基础题．15.已知F1是椭圆5x2+9y2=45的左焦点，P为椭圆上半部分任意一点，A（1，1）为椭圆内一点，则|PA|+|PF1|的最小值_______________【答案】【解析】【分析】由椭圆5x2+9y2=45的方程化为，可得F1（﹣2，0），F2（2，0），由椭圆的定义可得：|PF1|+|PF2|=2a，可得|PA|+|PF1|=|PA|+2a﹣|PF2|=2a﹣（|PF2|﹣|PA|）≥2a﹣|AF2|．【详解】由椭圆5x2+9y2=45的方程化为，可得F1（﹣2，0），F2（2，0），∴|AF2|==．如图所示．∵|PF1|+|PF2|=2a=6，∴|PA|+|PF1|=|PA|+6﹣|PF2|=6﹣（|PF2|﹣|PA|）≥6﹣|AF2|=6．当且仅当三点P，A，F2共线时取等号．∴|PA|+|PF1|的最小值为．故答案为：．【点睛】本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、两点之间的距离公式、三角形三边大小关系、三点共线，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．16.已知数列的通项公式是，数列的通项公式是，令集合，，．将集合中的元素按从小到大的顺序排列构成的数列记为．则数列的前28项的和___________．【答案】820【解析】【分析】由题意可知两集合中无公共项，{c n}的前28项由{a n}中的前7项及{b n}中的前21项构成．进而根据等比和等差数列的求和公式即可得到答案．【详解】两集合中无公共项，{c n}的前28项由{a n}中的前7项及{b n}中的前21项构成．所以．【点睛】本题主要考查了数列的求和问题．熟练掌握等比和等差数列的求和公式，是正确解题的前提．三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.已知函数（Ⅰ）若对于，不等式成立，求实数的取值范围；（Ⅱ）若，使得不等式成立，求实数的取值范围.【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）【解析】【分析】（1）不等式m+f（x）＞0可化为m＞﹣f（x），求出右边的最大值，即可求得m的范围；（2）m+f（x0）＞0可化为m＞-f（x0），求出右边的最小值，即可求实数m的取值范围．【详解】当时，（Ⅰ）依题意，即对恒成立故∴（Ⅱ）依题意，即对能成立故∴【点睛】本题考查恒成立和有解问题，考查函数的最值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．18.已知集合，集合.（Ⅰ）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围；（Ⅱ）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.【答案】（Ⅰ）或;（Ⅱ）【解析】【分析】（1）先求出M、N、C R N，结合条件，得到不等式，解出即可；（2）问题转化为集合N集合M，得到不等式，解出即可．【详解】，（Ⅰ）依题意，∴或∴或（Ⅱ）依题意，即∴∴【点睛】本题考查了元素和集合的关系，集合和集合的关系，考查充分必要条件，是一道基础题．19.已知在等差数列中，，.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）设，求数列的前项和.【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）见解析.【解析】【分析】（Ⅰ）由题意列出关于首项与公差的方程组，直接解出即可.（Ⅱ），利用裂项求和求得结果.【详解】（Ⅰ）设等差数列的公差为，由可得解得，所以的通项公式为（Ⅱ）,所以【点睛】考查了等差数列的通项公式、裂项求和，考查学生的计算能力，属于基础题.20.已知中心在原点的椭圆的一个焦点为，且过点.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过点作倾斜角互补的两条不同直线，分别交椭圆于另外两点，，求证：直线的斜率是定值.【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）见解析.【解析】【分析】（1）设椭圆C的方程为：，利用已知条件，求出a，b，即可得出椭圆C的方程；（2）设出直线PA、PB的方程与椭圆方程联立，求出A，B的坐标，利用斜率公式，即可证明直线AB的斜率为定值．【详解】（Ⅰ）设椭圆方程为（）则有又∴∴解得∴∴椭圆的方程为或解：椭圆的另一焦点为由得又∴∴椭圆的方程为（Ⅱ）依题意，直线，都不垂直于轴设直线方程为，则直线方程为由得∵∴同理∴=故直线的斜率是定值【点睛】本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查直线的斜率公式，考查学生的计算能力，正确运用韦达定理是关键．21.在各项均为正数的等比数列中，，且，，成等差数列.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）若数列满足，为数列的前项和. 设，当最大时，求的值.【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）或【解析】【分析】（Ⅰ）根据等比数列的通项公式，结合等差中项的定义列式，得2q4=2 q2+3×q3，解之得q=2（舍负），由此算出a1的值，即可得到数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）根据对数的运算法则，结合a n=2n﹣2算出b n=2n，从而得到{b n}构成等差数列，得出{b n}的前n项和S n=n2-n，由此化简c n得c n=．利用与0的大小，得到n≤5时c6＞c5＞…＞c1，当n=6时，c6=c7；当n≥7时，c7＞c8＞…＞c n，由此即可得到当c n最大时，求n的值为6或7．【详解】（Ⅰ）设等比数列的公比为，则由得，依题意，∴即解得或（舍）所以的通项公式为（Ⅱ）∵∴成等差数列∴（法一）∵当时，即当时，即当时，即∴∴ 当最大时，或（法二）由得解得∴ 当最大时，或【点睛】本题给出等比数列中2a3、a5、3a4成等差数列，求数列{a n}的通项公式并依此求数列{c n}取最大值项时n的取值．着重考查了等差数列、等比的通项公式，等差数列的前n项公式，考查了数列单调性的探讨和最大项或最小项的求法等知识，属于中档题．22.已知点和点，记满足的动点的轨迹为曲线.（Ⅰ）求曲线的方程；（Ⅱ）已知直线：与曲线有两个不同的交点、，且与轴相交于点. 若，为坐标原点，求面积.【答案】（Ⅰ）（）;（Ⅱ）.【解析】【分析】（1）设P（x，y），将条件坐标化即可得到轨迹方程；（2）根据题意将向量关系转为纵坐标的关系，联立直线方程和曲线方程，消去x，根据根与系数的关系建立关于k的方程，从而求得面积．【详解】（Ⅰ）设点为曲线上任意一点由得整理得（）为所求（Ⅱ）设，，且由得∴依题意，直线显然不平行于坐标轴，且不经过点或点故可化为由得且又∴消去，整理得即∴的面积.【点睛】本题考查轨迹方程的求法：注意检验不满足条件的点，考查直线方程和曲线方程联立，考查了直线和圆锥曲线的关系，训练了一元二次方程的根与系数关系，特别是考查了学生的计算能力，属有一定难度题目．。