剪应力的强度条件
梁的剪应力及其强度条件梁的弯曲应力与强度计算剪应力计算公式
8.1 梁弯曲时横截面上的正应力 8.2 弯曲正应力的强度条件 8.3 梁的剪应力及其强度条件 8.4 提高弯曲强度的措施
8.1 梁弯曲时横截面上的正应力
横截面上有弯矩又有剪力。 例如：AC和DB段。 称为横力弯曲(剪切弯曲)。 横截面上有弯矩没有剪力。 例如：CD段。 称为纯弯曲。
力 max 发生在弯矩最大的截面上，且离中性轴最远处。即
引用记号 则
max
M max ymax Iz
Wz
Iz ymax
max
M max Wz
Wz 称为弯曲截面模量。它与截面的几何形状有关，单位为m3。
8.2 弯曲正应力的强度条件
对于宽为 b ，高为 h 的矩形截面
Wz
Iz ymax
bh3 /12 h/2
A
A
M
E
Iz
式中1/ρ为梁弯曲后轴线的曲率。
EIz 称为梁的弯曲刚度。
8.1 梁弯曲时横截面上的正应力
E y
(b)
由上面两式，得纯弯曲时正应力的计算公式：
将弯矩 M 和坐标 y 按规定的正负代入，所得到的正应力若为 正，即为拉应力，若为负则为压应力。
一点的应力是拉应力或压应力，也可由弯曲变形直接判定。 以中性层为界，梁在凸出的一侧受拉，凹入的一侧受压。
8.1 梁弯曲时横截面上的正应力
E y
(b)
将式(b)代入式(d)，得
M y
z dA 0
A
(d)
M z
y dA M
A
(e)
z dA E y z dA 0
A
A
A y z dA I yz 0
(自然满足)
y 轴为对称轴，必然有Iyz=0。
剪切强度条件
在土木工程领域中，剪切强度是一项重要的材料性能指标，它关系到构件在使用过程中是否能够承受剪切力而不发生剪切破坏。
为了确保结构的稳定性和安全性，必须对材料的剪切强度进行严格的要求和控制。
剪切强度是指材料在剪切力作用下所能承受的最大应力，它反映了材料抵抗剪切破坏的能力。
在工程实践中，剪切强度通常由试验测定，并按照相关标准和规范进行评估。
对于不同类型的材料，如混凝土、钢材等，剪切强度测试方法不尽相同，但基本的测试原理是一致的。
剪切强度的决定因素有很多，包括材料的成分、微观结构、温度、湿度等。
例如，混凝土的剪切强度与其抗压强度、骨料类型、水灰比等因素密切相关。
同时，材料的剪切强度还受到剪切应变幅、有效围压、孔隙比等因素的影响。
这些因素相互关联，共同决定了材料的剪切强度性能。
在结构设计中，为了保证构件的剪切强度满足要求，通常需要采取一系列的措施。
例如，优化材料的选择和配合比设计、加强构造措施、增加配筋率等。
此外，对于一些特殊的环境和条件，如地震、爆炸等动载作用下的结构，还需要考虑材料的动剪切强度。
总的来说，剪切强度是衡量材料性能的重要指标之一，它关系到结构的安全性和稳定性。
为了确保工程的安全和质量，必须对材料的剪切强度进行科学合理的评估和控制。
剪切强度准则
剪切强度准则
剪切强度准则是用来判断材料或结构在剪切力作用下是否会发生破坏的标准。
它基于材料在剪切面上的极限强度，即剪切强度，来评估结构的稳定性。
剪切强度是指材料抵抗剪切滑动的能力，以剪切面上的切向应力值表示。
剪切强度准则有多种形式，如单剪和双剪。
在双剪情况下，破坏面积是试件横截面积的两倍。
此外，还有基于莫尔一库伦准则的剪切强度公式，该公式考虑了法向力和内摩擦角对剪切强度的影响。
莫尔一库伦准则指出，岩石的破坏强度是剪切面上的法向力所产生的摩擦力与岩石自身的抵抗摩擦力的黏结力之和。
剪切强度在结构工程和机械工程中具有重要意义。
例如，在钢筋混凝土梁中，钢筋环箍的主要目的是提高剪切强度。
对于不锈钢复合板，剪切强度是指在两种金属的复合界面上承受剪切力的能力。
剪切强度还分为不同类型的强度，如拉伸剪切强度、压缩剪切强度、扭转剪切强度和弯曲剪切强度等，其中拉伸剪切强度是最常用的。
为了保证结构在工作时不被剪断，必须使构件剪切面上的工作应力小于或等于材料的许用剪应力。
这是剪切强度条件的基本要求，用于确保结构的稳定性和安全性。
总之，剪切强度准则是评估材料或结构在剪切力作用下是否会发生破坏的重要依据。
通过了解剪切强度的概念、形式和应用，可以更好地理解结构工程和机械工程中剪切强度的重要性，并采取有效的措施确保结构的稳定性和安全性。
剪切计算及常用材料强度
2.剪切强度计算 (1) 剪切强度条件剪切强度条件就是使构件的实际剪应力不超过材料的许用剪应力。
[]sF A ττ=≤(5-6)这里[τ]为许用剪应力，单价为Pa 或MPa 。
由于剪应力并非均匀分布，式(5-2)、(5-6)算出的只是剪切面上的平均剪应力，所以在使用实验的方式建立强度条件时，应使试件受力尽可能地接近实际联接件的情况，以确定试样失效时的极限载荷τ0，再除以安全系数n ，得许用剪应力[τ]。
[]n ττ=(5-7)各种材料的剪切许用应力应尽量从相关规范中查取。
一般来说，材料的剪切许用应力[τ]与材料的许用拉应力[σ]之间，存在如下关系： 对塑性材料：[]0.60.8[]τσ=对脆性材料：[]0.8 1.0[]τσ=(2) 剪切实用计算剪切计算相应地也可分为强度校核、截面设计、确定许可载荷等三类问题，这里就不展开论述了。
但在剪切计算中要正确判断剪切面积，在铆钉联接中还要正确判断单剪切和双剪切。
下面通过几个简单的例题来说明。
例5-1 图5-12(a)所示电瓶车挂钩中的销钉材料为20号钢，[τ]＝30MPa ，直径d=20mm 。
挂钩及被连接板件的厚度分别为t ＝8mm 和t 1＝12mm 。
牵引力F=15kN 。
试校核销钉的剪切强度。
图5-12 电瓶车挂钩及其销钉受力分析示意图解：销钉受力如图5-12(b)所示。
根据受力情况，销钉中段相对于上、下两段沿m-m 和n-n 两个面向左错动。
所以有两个剪切面，是一个双剪切问题。
由平衡方程容易求出：2s F F =销钉横截面上的剪应力为：332151023.9MPa<[]2(2010)4s F A ττπ-⨯===⨯⨯故销钉满足剪切强度要求。
例5-2 如图5-13所示冲床，F max =400KN ，冲头[σ]=400MPa ，冲剪钢板的极限剪应力τb =360 MPa 。
试设计冲头的最小直径及钢板最大厚度。
图5-13 冲床冲剪钢板及冲剪部分受力示意图解：(1) 按冲头压缩强度计算dmax max2=[]4F F d Aσσπ=≤所以3max 644400100.034 3.4[]40010F d m cmπσπ⨯⨯≥===⨯⨯(2) 按钢板剪切强度计算t钢板的剪切面是直径为d 高为t 的柱表面。
剪切计算常用材料强度
2.剪切强度计算 (1) 剪切强度条件剪切强度条件就是使构件的实际剪应力不超过材料的许用剪应力。
[]sF A ττ=≤(5-6)这里[τ]为许用剪应力，单价为Pa 或MPa 。
由于剪应力并非均匀分布，式(5-2)、(5-6)算出的只是剪切面上的平均剪应力，所以在使用实验的方式建立强度条件时，应使试件受力尽可能地接近实际联接件的情况，以确定试样失效时的极限载荷τ0，再除以安全系数n ，得许用剪应力[τ]。
[]n ττ=(5-7)各种材料的剪切许用应力应尽量从相关规范中查取。
一般来说，材料的剪切许用应力[τ]与材料的许用拉应力[σ]之间，存在如下关系： 对塑性材料：[]0.60.8[]τσ=对脆性材料：[]0.8 1.0[]τσ=(2) 剪切实用计算剪切计算相应地也可分为强度校核、截面设计、确定许可载荷等三类问题，这里就不展开论述了。
但在剪切计算中要正确判断剪切面积，在铆钉联接中还要正确判断单剪切和双剪切。
下面通过几个简单的例题来说明。
例5-1 图5-12(a)所示电瓶车挂钩中的销钉材料为20号钢，[τ]＝30MPa ，直径d=20mm 。
挂钩及被连接板件的厚度分别为t ＝8mm 和t 1＝12mm 。
牵引力F=15kN 。
试校核销钉的剪切强度。
图5-12 电瓶车挂钩及其销钉受力分析示意图解：销钉受力如图5-12(b)所示。
根据受力情况，销钉中段相对于上、下两段沿m-m 和n-n 两个面向左错动。
所以有两个剪切面，是一个双剪切问题。
由平衡方程容易求出：2s FF =销钉横截面上的剪应力为：332151023.9MPa<[]2(2010)4s F A ττπ-⨯===⨯⨯故销钉满足剪切强度要求。
例5-2 如图5-13所示冲床，F max =400KN ，冲头[σ]=400MPa ，冲剪钢板的极限剪应力τb =360 MPa 。
试设计冲头的最小直径及钢板最大厚度。
图5-13 冲床冲剪钢板及冲剪部分受力示意图解：(1) 按冲头压缩强度计算dmax max2=[]4F F d Aσσπ=≤所以0.034 3.4d m cm ≥===(2) 按钢板剪切强度计算t钢板的剪切面是直径为d 高为t 的柱表面。
常用材料剪切许用应力
常用材料剪切许用应力在工程设计中，常常需要考虑材料在剪切加载下的极限应力，即许用应力。
剪切许用应力是指材料在剪切载荷作用下能够承受的最大剪切应力的值。
选择适当的剪切许用应力可以保证结构的稳定性和安全性。
下面介绍几种常用材料在剪切加载下的剪切许用应力。
1.钢材钢材广泛应用于各种结构和机械设备中，其剪切许用应力与材料牵引强度有关。
一般来说，许用应力为牵引强度的1/2到1/3、例如，碳素结构钢的牵引强度约为500MPa，那么其剪切许用应力为250-165MPa。
2.铝材铝材质轻、具有良好的加工性能，广泛应用于航空、汽车和建筑等领域。
剪切许用应力与材料抗拉强度有关，一般为抗拉强度的1/3到1/4、例如，6061铝合金的抗拉强度约为270MPa，那么其剪切许用应力为90-67.5MPa。
3.铜材铜材导电性好，热传导性能优秀，广泛应用于电子、电气和制冷设备等领域。
剪切许用应力与材料抗拉强度有关，一般为抗拉强度的1/3到1/4、例如，硬铜的抗拉强度约为210MPa，那么其剪切许用应力为70-52.5MPa。
4.木材木材在建筑、家具和工艺品等领域有着广泛的应用。
剪切许用应力与木材的强度有关，一般为强度的1/8到1/10。
例如，松木的剪切强度约为6.2MPa，那么其剪切许用应力为0.775-0.62MPa。
值得注意的是，材料的剪切许用应力除了与强度有关，还和应力集中因素有关。
当材料出现应力集中现象时，其剪切许用应力需要相应调整。
应力集中因素包括不平整表面、孔洞和切口等。
此外，不同的应用场景和设计要求也会影响剪切许用应力的选择。
对于要求极高的结构和设备，设计师可能会选择较低的剪切许用应力，以提高安全性。
而对于对成本和重量有较高要求的产品，设计师可能会选择较高的剪切许用应力。
综上所述，常用材料的剪切许用应力与材料强度有关，一般为强度的1/2到1/10。
选择适当的剪切许用应力可以保证结构的安全性和可靠性。
在实际设计中，还需要考虑应力集中因素和应用场景的要求。
剪应力强度条件.
2、材料的许用应力 ，是通过拉(压)试验或纯剪试 验测定试件在破坏时其横截面上的极限应力,以
此极限应力作为强度指标,除以适当的安全系数
而得。即根据相应的试验结果建立的强度条件。
二、 强度理论的概念
根据材料在复杂应力状态下破坏时的一些现象与
§9-1
强度理论的概念
N
一 、 前几章所用的强度验算公式
正应力强度条件 ： 拉、压
弯曲 剪应力强度条件 ： 剪切
max
max
A
σ max
M max σ W
τ
Q τ As
扭转
弯曲
max T max
Wt
Qmax Sz max max Iz b
形式 ,进行分析,提出破坏原因的假说,在这些假说的
基础上,可利用材料在单轴应力状态时的试验结果 ,
来建立材料在复杂应力状态下的强度条件。
基本观点：
构件受外力作用而发生破坏时，不论破坏的 表面现象如何复杂，其破坏形式总不外乎几种类 型而同一类型的破坏则可能是某一个共同因素所 引起的。 某一个共同因素正好对应某种强度理论。
材料破坏的两种类型
1. 脆性断裂:
无明显的变形下突然断裂。
2. 塑性屈服:
材料出现显著的塑性变形而丧
失其正常的工作能力。
结论
1、不同材料,破坏形式不同;
2、同种材料,不同应力状态下,即对于危险点处于 复杂应力状态的构件,三个主应力 1 ，2 ，3 间的比例不同，其破坏形式不同。
(1)
三向拉应力接近时，断裂破坏。
低
例 1 一钢质球体防入沸腾的热油
中,将引起爆裂，试分析原因。
混凝土剪切强度检测标准
混凝土剪切强度检测标准一、前言混凝土作为建筑材料的一种，其剪切强度是其物理力学性能的一个重要指标。
因此，混凝土剪切强度的检测是建筑工程中必须要进行的一个环节。
本文将详细介绍混凝土剪切强度检测的标准。
二、定义混凝土的剪切强度指的是混凝土在承受剪切力作用下的抵抗能力。
一般来说，混凝土的剪切强度是指混凝土在无约束状态下的剪切强度。
三、检测方法混凝土剪切强度的检测方法有许多种，其中比较常用的方法有以下几种：1. 直剪试验法直剪试验法是一种比较常用的混凝土剪切强度检测方法。
这种方法的原理是在混凝土试件中施加一定的剪切力，然后测量试件的剪切应变和剪切应力，以此计算出混凝土的剪切强度。
2. 平面剪切试验法平面剪切试验法是一种比较精确的混凝土剪切强度检测方法。
这种方法的原理是在混凝土试件的平面内施加一定的剪切力，然后测量试件的剪切位移和剪切应力，以此计算出混凝土的剪切强度。
3. 三轴试验法三轴试验法是一种比较复杂的混凝土剪切强度检测方法。
这种方法的原理是在混凝土试件中施加一定的三向应力，然后测量试件的应变和应力，以此计算出混凝土的剪切强度。
四、试验标准混凝土剪切强度的试验标准主要包括以下几个方面：1. 试验设备试验设备应具备相应的力学性能和精度，以确保试验数据的准确性和可靠性。
2. 试验样品试验样品应具有代表性，且应符合国家相关标准的要求。
3. 试验条件试验条件应符合国家相关标准的要求，包括试验室环境温度、湿度、压力等。
4. 试验方法试验方法应根据实际情况选择合适的方法，并按照相应的标准进行操作。
5. 数据处理试验数据应进行统计分析和处理，以确保试验结果的准确性和可靠性。
五、试验结果解读混凝土剪切强度的试验结果应根据实际情况进行解读，主要包括以下几个方面：1. 混凝土的剪切强度试验结果应反映出混凝土的剪切强度，其数值应符合国家相关标准的要求。
2. 试验误差试验误差应在一定范围内，并应符合国家相关标准的要求。
3. 结果分析试验结果应进行分析，以确定混凝土的物理力学性能和结构安全性。
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四、圆形截面梁的切应力 圆形截面梁横截面上的切应力比较复杂。 与中性轴等远处各点的切应力方 向汇交于该处截面宽度线两端切线的交点， 且与剪力平行的竖向分量沿截面宽 度方向均匀分布（图 9－33d） 。最大切应力发生在中性轴上，是截面平均切应 力的 4/3 倍。 其计算式为
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课 题 教 学 目 的 要 求 教 学 重 点 教 学 难 点 需 2 课时
§5.4 梁的弯曲切应力
掌握弯曲切应力的分布规律、计算公式，弯曲切应力强度条件及其应用。
弯曲切应力的计算公式，切应力强度条件及其应用
编写日期
弯曲切应力的计算公式。
年 月 日
教 学 内 容 与 教 学 过 程
矩形截面的最大切应力发生在中性轴各点上，是截面平
均切应力的 1.5 倍。其计算式为
FQ S Z max
max
式中
IZb
1.5
FQ A
（ 2 ）
3 ； SZ max ——中性轴以上（或以下）部分面积对中性轴的静矩（m ）
A ——矩形截面面积（m2） 。
二、工字形截面梁的切应力 工字形截面由腹板和翼缘两部分组成（图 9－33b） ，翼缘上的切应力情况 较复杂，其数值又较小，一般不必计算，也不必讨论。而腹板上的切应力其方 向和分布规律与矩形截面相同，即沿腹板宽度均匀分布，沿腹板高度按抛物线 规律分布。最大切应力出现在中性轴各点，在翼缘和腹板的交界处也存有较大 的切应力。其计算公式为
所以
max
满足切应力强度条件，因此选用 22a 工字钢。
提示与补充
1. 矩形截面梁弯曲切应力计算公式 2、圆形、圆环形、工字型梁弯曲切应力计算公式 3、切应力强度条件及其应用 例题 5—4、例题 5—5、例题 5—6.
第五章 弯曲应力 §5.4 弯曲切应力
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一、矩形截面梁的切应力 当矩形截面的高度 h 大于宽度 b 时，截面上的切应力情况如下： 1）切应力的方向与剪力的方向一致 2）切应力的分布规律：切应力沿截面宽度均匀分布，沿截面高度按抛物 线规律分布 3）切应力的计算式
IZ d
FQ IZ
SZ max
（ 4 ）
d
式中
（或以上） 至边缘部分面积对中性轴的静矩 （m3） ； SZ max ——中性轴以下
三、T 形截面梁的切应力 T 形截面也是由翼缘和腹板组成。翼缘部分切应力较复杂，且数值小，不 作分析。腹板部分切应力的分布规律、计算与工字形腹板部分的切应力相同。
六、切应力强度条件 梁内最大切应力发生在剪力最大的截面的中性轴上， 所以梁的切应力强度 条件为最大切应力不能超过许用切应力，即
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max
梁的强度必须同时满足正应力强度条件和切应力强度条件。 正应力强度起 着主要作用，但在以下几种情况下也需作切应力强度计算：① 跨度与横截面 高度比值较小的粗短梁，或在支座附近作用有较大的集中荷载，使梁内出现弯 矩较小而剪力很大的情况。② 木梁。 梁在剪切弯曲时，横截面中性轴上有较 大的切应力，根据切应力互等定理，梁在中性层上将产生与截面中性轴相等的 切应力。 由于木梁在顺纹方向的抗剪能力较差，有可能在中性层上发生剪切 破坏。③ 对于组合截面钢梁，当横截面的腹板厚度与高度之比小于型钢截面 的相应比值时，需校核切应力强度。 [ 例 5 － 5] 木梁的受力情况如图 9 － 35a 所示，已知材料的许用应力
max 2
式中
FQ A
（ 6 ）
A ——圆环形截面面积（m2） 。
[例 5－4] 计算例 5－1 中 C 截面上 a、 b、 c 各点的切应力及全梁的最大切应力。 [解]（1）画出梁的剪力图（图 9－34b） 。
FQc 2 kN， FQ max 6 kN
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式中
FQ S Z
I zb
（ 1 ）
； ——横截面上任一点处的切应力（N/m2） FQ——横截面上的剪力（N） ； ； I Z ——横截面对中性轴的惯性矩（m4）
b ——所求点处横截面的宽度（m） ；
——所求点处水平线以下 （或以上） 部分面积对中性轴的静矩 （m3） 。 SZ
4）最大切应力
图9－34
（2）计算 C 截面各点的切应力
a 0
2 103 b 1.5 (1.5 ) N/mm2=0.14MPa A 180 120 FQc
2 103 40 120 70 c ( ) N/mm2=0.096MPa 3 120 180 IZ d 120 12
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查型钢表，选用 22a 工字钢，其抗弯截面系数 WZ 309cm3，最接近而又大 于 300cm3。 （3）校核切应力强度 按型号 22a 查得有关数据为
IZ
SZ max
18.9 cm， d 7.5 mm
FQ max 24 103 ( ) N/mm2=16.9MPa＜ IZ 189 7.5 d SZ max
max
式中
4 FQ 3 A
（ 5 ）
A ——圆截面的面积（m2） ；
FQ——截面上的剪力（N） 。 五、圆环形截面梁的切应力 圆环形截面上各点处的切应力方向与该处的圆环切线方向平行， 且沿圆
环厚度方向均匀分布（图 9－33e）最大切应力也发生在中性轴上，是截面平 均切应力的 2 倍。其计算式为
160MΒιβλιοθήκη a， 100MPa。试选择工字钢的型号。
图）
· m
（M图）
· m
图9－36
[解]（1）画梁的剪力图和弯矩图 由图可知：
FQ max 24 kN，
M max 48 kN·m
（2）按正应力强度条件选择工字钢型号
WZ
M max
(
48 106 ) mm3=0.3×106mm3=300cm3 160
梁满足正应力强度条件。
· m
（a)
· m
图9－35
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（3）校核切应力强度。最大切应力发生在 A 偏右、B 偏左截面的中性轴 上。
max 1.5
FQ max A
(1.5
9 103 ) N/mm2=0.45MPa＜ 150 200
梁满足切应力强度条件。 [例 5－ 6] 图 9－ 36 所示的工字形截面外伸梁，已知材料的许用应力
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图9－33
式中
FQ S Z
IZ d
（ 3 ）
； I Z ——整个工字形截面对中性轴的惯性矩（m4）
——所求点处水平线以下（或以上）至边缘部分面积对中性轴的静 SZ
矩（m3） ；
d ——所求点处腹板的宽度（m） 。
最大切应力的计算式为
FQ S Z max
(3) 计算梁内最大切应力 最大切应力发生在 A 偏右、B 偏左截面的中性轴各点上，其值为
FQc S Z
max 1.5
FQ max A
6 103 (1.5 ) N/mm2=0.28MPa 180 120
max 1.5
FQ max A
(1.5
6 103 ) N/mm2=0.28MPa 180 120
12 MPa， 1.2 MPa。试校核梁的强度。
[解]（1）画梁的弯矩图和剪力图。由图可知
M max 11.25 kN·m，
FQ max 9 kN
（2）校核正应力强度。最大正应力发生在跨中截面的上、下边缘处。
max
M max 11.25 106 ( ) N/mm2=11.25MPa＜ 1 WZ 150 2002 6