数字信号处理练习题

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数字信号处理习题集

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《数字信号处理》习题集一. 填空题1、一线性时不变系统,输入为 x〔n〕时,输出为y〔n〕;则输入为2x〔n〕时,输出为;输入为x〔n-3〕时,输出为。

2、从奈奎斯特采样定理得出,要使实信号采样后能够不失真复原,采样频率fs与信号最高频率f max关系为:。

3、已知一个长度为N的序列x(n),它的离散时间傅立叶变换为X〔e jw〕,它的N点离散傅立叶变换X〔K〕是关于X〔e jw〕的点等间隔。

4、有限长序列x(n)的8点DFT为X〔K〕,则X〔K〕= 。

5、用脉冲响应不变法进行IIR数字滤波器的设计,它的主要缺点是频谱的所产生的现象。

6、δ(n)的z变换是。

7、用窗函数法设计FIR数字滤波器时,加矩形窗比加三角窗时,所设计出的滤波器的过渡带比较,阻带衰减比较。

8、用双线性变法进行IIR数字滤波器的设计,从s平面向z平面转换的关系为s= 。

9、假设正弦序列x(n)=sin(30nπ/120)是周期的,则周期是N= 。

10、序列x1〔n〕的长度为4,序列x2〔n〕的长度为3,则它们线性卷积的长度是,5点圆周卷积的长度是。

11.DFT与DFS有密切关系,因为有限长序列可以看成周期序列的,而周期序列可以看成有限长序列的。

12.对长度为N的序列x(n)圆周移位m位得到的序列用x m(n)表示,其数学表达式为x m(n)= 。

13、无限长单位冲激响应〔IIR〕滤波器的结构是型的。

14.线性移不变系统的性质有、和分配律。

15.用DFT近似分析模拟信号的频谱时,可能出现的问题有、和。

16.无限长单位冲激响应滤波器的基本结构有型,型和。

17.如果通用电脑的速度为平均每次复数乘需要5μs,每次复数加需要1μs,则在此电脑上计算210点的基2 FFT需要级蝶形运算,总的运算时间是______μs。

18.用窗函数设计FIR滤波器时,滤波器频谱波动由什么决定 _____________,滤波器频谱过渡带由什么决定_______________。

数字信号处理习题集

数字信号处理习题集

一、单项选择题1.数字信号的特征是( )A.时间离散、幅值连续B.时间离散、幅值量化C.时间连续、幅值量化D.时间连续、幅值连续2.若一线性移不变系统当输入为x(n)=δ(n)时,输出为y(n)=R 2(n),则当输入为u(n)-u(n-2)时,输出为( )A.R 2(n)-R 2(n-2)B.R 2(n)+R 2(n-2)C.R 2(n)-R 2(n-1)D.R 2(n)+R 2(n-1)3.下列序列中z 变换收敛域包括|z|=∞的是( )A.u(n+1)-u(n)B.u(n)-u(n-1)C.u(n)-u(n+1)D.u(n)+u(n+1)4.下列对离散傅里叶变换(DFT )的性质论述中错误的是( )A.DFT 是一种线性变换B.DFT 具有隐含周期性C.DFT 可以看作是序列z 变换在单位圆上的抽样D.利用DFT 可以对连续信号频谱进行精确分析5.若序列的长度为M ,要能够由频域抽样信号X(k)恢复原序列,而不发生时域混叠现象,则频域抽样点数N 需满足的条件是( )A.N ≥MB.N ≤MC.N ≥M/2D.N ≤M/2 6.基-2 FFT 算法的基本运算单元为( )A.蝶形运算B.卷积运算C.相关运算D.延时运算7.以下对有限长单位冲激响应(FIR )滤波器特点的论述中错误的是( )A.FIR 滤波器容易设计成线性相位特性B.FIR 滤波器的单位冲激抽样响应h(n)在有限个n 值处不为零C.系统函数H(z)的极点都在z=0处D.实现结构只能是非递归结构8.下列结构中不属于IIR 滤波器基本结构的是( )A.直接型B.级联型C.并联型D.频率抽样型9.下列关于用冲激响应不变法设计IIR 滤波器的说法中错误的是( )A.数字频率与模拟频率之间呈线性关系B.能将稳定的模拟滤波器映射为一个稳定的数字滤波器C.使用的变换是s 平面到z 平面的多值映射D.可以用于设计低通、高通和带阻等各类滤波器10.离散时间序列x (n )=cos(n 73π-8π)的周期是( ) A.7 B.14/3 C.14 D.非周期 11.下列系统(其中y(n)是输出序列,x(n)是输入序列)中______属于线性系统。

数字信号处理基础练习题

数字信号处理基础练习题

数字信号处理基础练习题数字信号处理是一门涉及众多领域的重要学科,它在通信、音频处理、图像处理等方面都有着广泛的应用。

为了帮助大家更好地掌握数字信号处理的基础知识,下面为大家准备了一些练习题。

一、离散时间信号与系统1、已知一个离散时间信号$xn = 2^n un$,其中$un$ 是单位阶跃序列,求其前 10 个样本值。

2、给定系统的差分方程为$yn 05yn 1 = xn$,求系统的单位脉冲响应$hn$。

3、判断下列系统是否线性、时不变:(1)$yn = 2xn + 1$(2)$yn = xn 2$二、Z 变换1、求信号$xn =(05)^n un$ 的 Z 变换$X(z)$及其收敛域。

2、已知$X(z) =\frac{1}{1 05z^{-1}}$,求其逆 Z 变换$xn$。

3、利用 Z 变换求解差分方程$yn 05yn 1 = xn$,已知输入$xn = un$,初始条件$y-1 = 0$。

三、离散傅里叶变换(DFT)1、对序列$xn =\{1, 2, 3, 4\}$进行 DFT 变换,计算其频谱。

2、已知一个长度为 8 的序列$xn$ 的 DFT 为$Xk =\{1, 0, -1, 0, 1, 0, -1, 0\}$,求原序列$xn$。

3、利用快速傅里叶变换(FFT)算法计算长度为 16 的序列的 DFT。

四、数字滤波器设计1、设计一个巴特沃斯低通滤波器,截止频率为$\omega_c =04\pi$,阶数为 4。

2、给定数字滤波器的系统函数$H(z) =\frac{1 + z^{-1}}{1 05z^{-1}}$,判断其是 IIR 还是 FIR 滤波器,并画出其零极点图。

3、用窗函数法设计一个线性相位 FIR 高通滤波器,截止频率为$\omega_c = 06\pi$,窗函数选择汉宁窗。

五、信号的采样与重构1、已知模拟信号$x(t) = 5\sin(10\pi t)$,以采样频率$f_s =20Hz$ 对其进行采样,求采样后的离散时间信号。

数字信号处理试题及答案

数字信号处理试题及答案

数字信号处理试题及答案一、填空题:(每空1分,共18分)1、 数字频率ω是模拟频率Ω对采样频率s f 的归一化,其值是 连续 (连续还是离散?)。

2、 双边序列z 变换的收敛域形状为 圆环或空集 。

3、 某序列的DFT 表达式为∑-==10)()(N n knMW n x k X ,由此可以看出,该序列时域的长度为 N ,变换后数字频域上相邻两个频率样点之间的间隔是Mπ2 。

4、 线性时不变系统离散时间因果系统的系统函数为252)1(8)(22++--=z z z z z H ,则系统的极点为 2,2121-=-=z z ;系统的稳定性为 不稳定 。

系统单位冲激响应)(n h 的初值4)0(=h ;终值)(∞h 不存在 。

5、 如果序列)(n x 是一长度为64点的有限长序列)630(≤≤n ,序列)(n h 是一长度为128点的有限长序列)1270(≤≤n ,记)()()(n h n x n y *=(线性卷积),则)(n y 为 64+128-1=191点 点的序列,如果采用基FFT 2算法以快速卷积的方式实现线性卷积,则FFT 的点数至少为 256 点。

6、 用冲激响应不变法将一模拟滤波器映射为数字滤波器时,模拟频率Ω与数字频率ω之间的映射变换关系为Tω=Ω。

用双线性变换法将一模拟滤波器映射为数字滤波器时,模拟频率Ω与数字频率ω之间的映射变换关系为)2tan(2ωT =Ω或)2arctan(2TΩ=ω。

7、当线性相位FIR 数字滤波器满足偶对称条件时,其单位冲激响应)(n h 满足的条件为)1()(n N h n h --= ,此时对应系统的频率响应)()()(ωϕωωj j e H eH =,则其对应的相位函数为ωωϕ21)(--=N 。

8、请写出三种常用低通原型模拟滤波器 巴特沃什滤波器 、 切比雪夫滤波器 、 椭圆滤波器 。

二、判断题(每题2分,共10分)1、 模拟信号也可以与数字信号一样在计算机上进行数字信号处理,只要加一道采样的工序就可以了。

数字信号处理习题

数字信号处理习题

C.冲激响应不变法不适合设计高通滤波器
D.双线性变换法只适合设计低通、带通滤波器
下列对 IIR 滤波器特点的论述中错误的是(
)。
A.系统的单位冲激响应 h(n)是无限长的
为(

A.宽度为 N+M+1 的有限宽度序列
B.宽度为 N+M-1 的有限宽度序列
C.宽度为 N+M 的有限宽度序列 D.不一定是有限宽度序列
序列 x1(n)的长度为 4,序列 x2(n)的长度为 3,则它们线性卷积的长度是
A. 3
B. 4
C. 6
D. 7
()
9、若一线性移不变系统当输入为 x(n)=δ(n)时输出为 y(n)=R3(n),则当输入为 u(n)-u(n-2)
D.时域为离散周期序列,频域也为离散周期序列 下 面 描 述 中 最 适 合 离 散 傅 立 叶 变 换 DFT 的 是
()
A.时域为离散序列,频域为连续信号 B.时域为离散周期序列,频域也为离散周期序列 C.时域为离散无限长序列,频域为连续周期信号 D.时域为离散有限长序列,频域也为离散有限长序列

(A) X (e j ) x(n)e jn n
N 1
(B) X (k ) x(n)e j2 nk / N n0
(C) X (z) x(n)z n n
N 1
(D) X (zk ) x(n) AnW kn n0
15、设 x(n)=R4(n), x(n) x((n))6 , x(n) 的 DFS 记为 X (k) ,则 X (0) 为(
)。
A. H(ejω)=ejω+ej2ω+ej5ω C. H(ejω)=e-jω+e-j2ω+e-j5ω

数字信号处理练习题

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13.为了反映随机过程不同时刻之间的内在统计特性,采用方差函数 C(t1,t2)和_______函数。 14.与基带传输不同,频带传输是一种_______频谱的传输方式。
15.位同步就是使收端定时信号的间隔与接收信号码元间隔完全_______,且定时信号与接收信号码元
保持固定的最佳关系。
16.码重是码组中_______的个数。
6.下列描述不正确的是( )
a.D 触发器具有两个有效状态,当 Q=0 时触发器处于 0 态 b.移位寄存器除具有数据寄存功能外还
可构成计数器
c.主从 JK 触发器的主触发器具有一次翻转性
d.边沿触发器具有前沿触发和后沿触发两种方式,能有效克服同步触发器的空翻现象
7、下列描述不正确的是( )
a.译码器、数据选择器、EPROM 均可用于实现组合逻辑函数。b.寄存器、存储器均可用于存储数
四、化简下列逻辑函数,写出最简与或表达式(共 12 分)
1. Y1 A(A B) B(B C D)
2. Y2=Y 2(A,B,C,D) =m (0,1,8,9,10,11) 3. Y3=Y3(A,B,C,D) = Σm(1,3,5,7,9)+Σd(10,11,12,13,14,15) 五.应用题 3---8 译码器 74LS138 的真值表如下:
17.对线性分组码,如果找到了码的_______,那么编码方法就完全确定了。
18.一个完整的 DTE/DCE 接口标准应包括四个特性,其中_______特性规定了接口两侧为建立、维持、
拆除物理连接,以及传送比特电流而在各信号线上采用的动作序列。
ITT(ITU-T)V.24 建议中的_______接口适用于 DTE 与自动呼叫设备之间的接口。

数字信号处理试题及答案

数字信号处理试题及答案

数字信号处理试题及答案一、选择题1. 数字信号处理中的离散傅里叶变换(DFT)是傅里叶变换的______。

A. 连续形式B. 离散形式C. 快速算法D. 近似计算答案:B2. 在数字信号处理中,若信号是周期的,则其傅里叶变换是______。

A. 周期的B. 非周期的C. 连续的D. 离散的答案:A二、填空题1. 数字信号处理中,______是将模拟信号转换为数字信号的过程。

答案:采样2. 快速傅里叶变换(FFT)是一种高效的______算法。

答案:DFT三、简答题1. 简述数字滤波器的基本原理。

答案:数字滤波器的基本原理是根据信号的频率特性,通过数学运算对信号进行滤波处理。

它通常包括低通滤波器、高通滤波器、带通滤波器和带阻滤波器等类型,用于选择性地保留或抑制信号中的某些频率成分。

2. 解释什么是窗函数,并说明其在信号处理中的作用。

答案:窗函数是一种数学函数,用于对信号进行加权,以减少信号在离散化过程中的不连续性带来的影响。

在信号处理中,窗函数用于平滑信号的开始和结束部分,减少频谱泄露效应,提高频谱分析的准确性。

四、计算题1. 给定一个信号 x[n] = {1, 2, 3, 4},计算其 DFT X[k]。

答案:首先,根据 DFT 的定义,计算 X[k] 的每个分量:X[0] = 1 + 2 + 3 + 4 = 10X[1] = 1 - 2 + 3 - 4 = -2X[2] = 1 + 2 - 3 - 4 = -4X[3] = 1 - 2 - 3 + 4 = 0因此,X[k] = {10, -2, -4, 0}。

2. 已知一个低通滤波器的截止频率为0.3π rad/sample,设计一个简单的理想低通滤波器。

答案:理想低通滤波器的频率响应为:H(ω) = { 1, |ω| ≤ 0.3π{ 0, |ω| > 0.3π }五、论述题1. 论述数字信号处理在现代通信系统中的应用及其重要性。

答案:数字信号处理在现代通信系统中扮演着至关重要的角色。

数字信号处理教程试题及答案

数字信号处理教程试题及答案

数字信号处理教程试题及答案一、单项选择题(在每小题的四个备选答案中,选出一个正确答案,并将正确答案的序号填在括号内。

1.若一模拟信号为带限,且对其抽样满足奈奎斯特采样定理,则只要将抽样信号通过( )即可完全不失真恢复原信号。

A.理想低通滤波器B.理想高通滤波器C.理想带通滤波器D.理想带阻滤波器2.下列系统(其中y(n)为输出序列,x(n)为输入序列)中哪个属于线性系统?( )A.y(n)=x 3(n)B.y(n)=x(n)x(n+2)C.y(n)=x(n)+2D.y(n)=x(n 2) 3..设两有限长序列的长度分别是M 与N ,欲用圆周卷积计算两者的线性卷积,则圆周卷积的长度至少应取( )。

A .M+NB.M+N-1C.M+N+1D.2(M+N) 4.若序列的长度为M ,要能够由频域抽样信号X(k)恢复原序列,而不发生时域混叠现象,则频域抽样点数N 需满足的条件是( )。

A.N ≥MB.N ≤MC.N ≤2MD.N ≥2M5.直接计算N 点DFT 所需的复数乘法次数与( )成正比。

A.NB.N 2C.N 3D.Nlog 2N6.下列各种滤波器的结构中哪种不是FIR 滤波器的基本结构( )。

A.直接型B.级联型C.并联型D.频率抽样型7.第二种类型线性FIR 滤波器的幅度响应H(w)特点( ):A 关于0=w 、π、π2偶对称B 关于0=w 、π、π2奇对称C 关于0=w 、π2偶对称关于=w π奇对称D 关于0=w 、π2奇对称关于=w π偶对称8.适合带阻滤波器设计的是:( )A )n N (h )n (h ---=1 N 为偶数B )n N (h )n (h ---=1 N 为奇数C )n N (h )n (h --=1 N 为偶数D )n N (h )n (h --=1 N 为奇数9.以下对双线性变换的描述中不正确的是( )。

A.双线性变换是一种非线性变换B.双线性变换可以用来进行数字频率与模拟频率间的变换C.双线性变换把s 平面的左半平面单值映射到z 平面的单位圆内D.以上说法都不对10.关于窗函数设计法中错误的是:A 窗函数的截取长度增加,则主瓣宽度减小;B 窗函数的旁瓣相对幅度取决于窗函数的形状,与窗函数的截取长度无关;C 为减小旁瓣相对幅度而改变窗函数的形状,通常主瓣的宽度会增加;D 窗函数法不能用于设计高通滤波器;二、填空题(每空2分,共20分)1. 用DFT 近似分析连续信号频谱时, _________效应是指DFT 只能计算一些离散点上的频谱。

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1、把200~240之间的能被7整除的整数输出。

2、给定两个实数,按代数值的大小输出其中大的。

3、编写一个函数文件,函数文件和函数名均为datfunction.m,对输入的两个数进行加、减运算。

4、求1+2+3+…+200的和。

5、输入一个数,小于20就输出这个数,否则没有输出。

6、将百分制的学生成绩转化为五级制输出,大于等于90分,输出A; 80~89分,输出B; 70~79分,输出C; 60~69分,输出D; 小于60分,输出E.
7、输出100~120之间第一个能被9整除的整数。

8、计算3.14的余弦函数、自然对数、以e 为底的指数、朝零方向取整和朝正无穷方向取整运算后的数值。

9、有一数列: 求这些项的
和。

10、某商场对顾客所购买的商品实行打折销售,标准如下(商品价格用price 来表示) price<500 没有打折 500≤price<1000 3%折扣 1000 ≤ price<2000 5%折扣 2000 ≤ price<3000 8%折扣 3000 ≤ price<5000 10%折扣 5000 ≤ price 14%折扣
(1)输入某件商品的价格,求所售商品的实际销售价格。

(2)若商品价格分别为:200元、800元、1500元、4000元、6000元,它们的实际价格分别是多少?
11、计算分段函数的值 22
2
1
121x x y x x x x x ⎧ <⎪=- 1≤<2
⎨⎪-+ ≥2

12、求一个3*3矩阵a=[1 2 3;4 5 6 ;7 8 9]对角线元素之和
1
2
3
10
1
2
3
10
1
2
3
10
111...1222...2333...3++++++++++++++
13、求
20
1!
n
n =

14、输出100~1000之间的所有“水仙花数”。

分析:“水仙花数”是一个三位数,其各位数字的立方和等于该数本身。

需要用循环语句得到100~1000之间的所有三位数,再逐个判断;把每三个数的百位、十位、个位提取出来,是程序的关键,可以使用取整函数,例如要把345的百位3取出,可将345/100=3.45,再将小数部分舍弃即可,取十位4可以用(345-3*100)/10=4.5,再舍去小数部分。

15、有6个人坐在一起,问第6个人多少岁?他说比第5个人大两岁;问第5个人多少岁?他说比第4个人大两岁;问第4个人多少岁?他说比第3个人大两岁;问第3个人多少岁?他说比第2个人大两岁;问第2个人多少岁?他说比第1个人大两岁;最后问第1个人,他说是14岁。

问第2个人多大?
16、已知y =e−0.5x sinx,x 从0 取到2π,步长Δx=0.1π.
(1)计算y 的平均值和方差.
(2)求y 的最大值、最小值.
(3)找出y 的中位数.
(4)做出
0.5sin
x
y e x
-
=在[0, 2π]上的函数图形.
17、某次考试学生成绩优秀的占8%、良好占20%、中等占36%、及格占24%、不及格占12%。

分别用饼形、条形图表示。

18、在同一坐标内,画出一条正弦曲线和一条余弦曲线,要求正弦曲线用红色实线、数据点用“+”号显示;余弦曲线用黑色点线、数据点用“*”号显示。

并给图形加入网格和标注。

19、编辑一个M文件,画出正弦函数图形,图形上包括坐标轴标题“x轴”和“y轴”图形标题“this is a example 0→2\pi
,并在曲线的过零点处做文字标示“(sinπ,0)”。

20、在同一窗口,使用两次plot函数绘制出两条曲线。

21、把当前窗口分割成四个区域,绘制四条函数曲线。

22、绘制正弦函数曲线,并用黑色填充。

23、对同一向量y=[0,0.55,2.5,6.1,8.5,12.1,14.6,17,20,22.1 ],分别绘制线性
坐标图和三种对数坐标图,即x 轴对数坐标图、y 轴对数坐标图、双对数坐标图。

24、使用极坐标函数绘制ρ=8sin(10θ/3)的曲线。

25、猴子在第一天摘下一些桃子,当天就吃掉一半,感觉不过瘾,于是又吃掉一个。

以后每天如此,到第6天再想吃时,发现最后剩下一个桃子了。

编程计算第一天猴子摘的桃子数。

(提示:利用函数的递归调用实现) 26
x=[-2 2],y=[-1 1]区间的图形
27、对表达式f=x(x(x-8)+6)t ,分别将自变量x 和t 的同类项合并 28
、绘制函数Z =
四种三维网格曲面。

29、求解一元六次方程654331247810x x x x x +++++=的根。

30、绘制出1000个点的正态分布随机矩阵概率分布图。

31、绘制函数
22
()
x y z xe
--=的立体图形。

33、从键盘输入一个四位整数,按规则加密后输出。

加密规则:每位数字都加上7,然后用除以10的余数取代该整数,例如整数5381,加密后为2058.再编写一个解密的程序,即输入2058,输出5381.
34、有一组测量数据满足y = e-a t ,t 的变化范围为0~10,用不同的线型和标记点,画出a=0.1、a=0.2 和a=0.5 三种情况下的曲线. 35、做出0.5sin x
y e
x -=在[0, 2π]上的函数图形.
36、绘制方程sin()cos()x t
y t z t =⎧⎪
=⎨⎪=⎩
在t=[0 2π]区间的三维曲线。

37、sin 展开三角函数表达式(a+b)
124123412341
2342328
522
3742212
x x x x x x x x x x x x x x x -+=⎧⎪
+++=⎪⎨
-+-=⎪⎪+++⎩32、求解线性方程组
38、 39、
40、
41、
42、
43、 44、 45、 46、
47、某商场的电脑销售如表所示,用直方形表示销售情况。

48、
49、
50、求级数之和2
11111 (4)
9
16
s n
=+
++++
51、建立一个3*5阶随机矩阵,求矩阵的最大值、最小值、方差和标准差。

22f sin x x 化简表达式=()+cos ()。

f x y y
x
对表达式=- 进行通分。

22
2
31x 1
x x x +-+求表达式在=1处的代数值。

000
011sin()1lim lim lim lim lim e x x
x x x x x x x
x
x
x
+
-
-
-→→→→∞
→分别计算表达式、、、(1+)和。

2
3
2
1
3;(2);(2);
x x x x dx dy x y
x y
-++⎰
⎰⎰
分别计算表达式的积分。

(1)(4)2
x y e -=求函数的傅里叶变换及其逆变换3y x =-计算的拉普拉斯变换及其逆变换23x y e =求数列的Z 变换及其逆变换2a 0x bx c ++=求解代数方程22234
3
23x y z x z x y z ⎧+-=⎪
+=⎨⎪-=⎩求解代数方程组:2dy 2y xy dx
=求微分方程的通解和当(0)=1时的特解。

52、求函数bx
ax x f cos sin )(=的一阶导数. 并求.
1
⎪⎭

⎝⎛+'b a f
53、2
2
y
x xe
z --=
,当x 和y 的取值范围均为-2到2时,用建立子窗口的方法在同一个
图形窗口中绘制出三维线图、网线图、表面图和带渲染效果的表面图。

54、在MATLAB 中建立多项式()3f x 25x x =+-,并求出f(x)=0时的根及多项式
2
()1f x x =-的乘积。

55、在同一图上分别用红色实线和绿色虚线绘制y1=sin(x)和y2=cos(x)在区间[0,4*pi]的曲线,并用星号*标出两条曲线的交点以及建立图例。

56、请编写一个M-函数,用来实现级数和
1
25
3
13
2
-+
++
+
+=n x
x
x
x S n
57、编写一个学生成绩管理的程序,完成下列功能:
(1) 构造一个学生结构,包括学生的姓名,课程名称(限M 门),考试成绩和平均值等域;
(2) 从键盘上,连续输入N 个学生的情况,分别将这些学生的情况填入到相应的域,若域中没有值即为空或0,并分别计算其平均值写入到其平均值域。

(3) 根据平均值排序(由高到低),并输出学生的姓名和平均值。

58、有一组测量数据满足-at e =y ,t 的变化范围为0~10,用不同的线型和标记点画出a=0.1、a=0.2和a=0.5三种情况下的曲线,并加入标题和图列框(用代码形式生成) 59、编制m 文件,等待键盘输入,输入密码20120520,密码正确,显示输入密码正确,程序结束;否则提示,重新输入。

60、建立三个输入窗口的输入对话框,如图所示。

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