结构力学 平面体系的机动分析

W = 2j-(b+r) = 2×5-(4+6) = 0
【另解】试求图示体系的计算自由度。
1
2
3
4
5
解：把24杆和25杆看成长支杆。在该体系中，链杆端点只 有1、2、3点，支杆端点4、5两处不能再计入结点数。因 此，该体系的铰结点数j=3，链杆数b=2，支杆数r=4。故由 公式(2-4)，可得
W = 2j-(b+r) = 2×3-(2+4) = 0
（a）三根链杆交于同一点，两钢片可绕交点o转动， 但发生微小转动后三杆不交于一点，几何瞬变体系。
（b）三杆件平行但不等长时，两钢片发生微小相对 移动后三杆件不再全平行，因此属瞬变体系。 （c）三杆件平行且等长，运动可以一直继续下去， 故为常变体系。
2－5 机动分析
判断体系是机构还是结构 例题2－1
对给定的一个结构，计算结果不因选取计算方式而改变。
总结
（1）W＞0，肯定是几何可变体
（2）W＝0，无多余约束，看约束的布置
（3）W＜0,有多余约束，但还是要看约束的布置。
W≤0是几何不变体系的必要条件，不是充分条件
2－3几何不变体系的基本组成规则
1.三钢片规则
三个钢片用不同在一直线上的三个单铰两两铰联，组 成的体系是几何不变的，而且没有多余联系。
W=2j-(b+r)
其中：
j 为体系的铰结点数(坐标系内 铰所在位置对应点的个数) ；
b为链杆数； r为支杆数 注意：1）在计算j 时，凡是链杆的端点，都应当算作结点， 而且无论一个铰结点上连接几根链杆，都只以1计入j中； 2）在计算b和r时，链杆与支杆应当区别开来，因为链杆是内 部约束，而支杆则是外部约束，二者不可混淆。
如何使体系成为几何不变体？
三 联系—约束 限制运动的装置称为联系（或约束），体系的自 由度可因加入联系而减少，能减少一个自由度的装置 称为一个联系。
多余约束——多加一根竖向支座链杆，体系仍然为几 何不变，自由度仍然为零而不会再减少。
四.平面体系的计算自由度 体系怎样才能成为几何不变呢？ 1.要有足够数量的联系
2.要布置得当
平面体系有钢片、铰、链杆组成 设钢片数为m 单铰数为h 支座链杆数r 自由度数为3m 约束为2h 约束为r
体系最后的自由度为：
W＝3M－3R-2H-S
W——计算自由度
【例】试求图示体系的计算自由度W。
h m3 h
m1 m4
h
m2 m5
h m6 g
(1) hm
m1 m4
(3)h
m2 m5
例题2－2
例题2－3
例题2－4
*2-6 三钢片体系中虚铰在无穷远处的情况
虚铰在无穷远处时，如何判定体系是否是几何不变的？
（1）一铰无穷远
（a）一铰无穷远，其与另二铰连线不平行，则为几 何不变。 （b）无穷远的虚铰与另二虚铰连线平行，则为几 何瞬变体。 （c）无穷远的虚铰与另二实铰连线平行，则为几 何常变。
（2）两铰无穷远
（a）组成二无穷远虚铰的两个平行链杆相互不平行， 则体系为几何不变 （b）组成二无穷远虚铰的两个平行链杆相互平行， 则体系为几何瞬变
（c）组成二无穷远虚铰的两个平行链杆相互平行且 相等，则体系为几何常变
（3）三铰无穷远
平面上所有无穷远点均在同 一条直线上，这条直线称为 无穷远直线。
2.二元体规则
在钢片上增加一个二元体，仍为几何不变体系，而 且没有多余联系。
3.两钢片规则
两个钢片用一个铰和一根不通过此铰的链杆的链杆相 联，为几何不变体系体系而且没有多余联系； 或者两个钢片用三根不全平行也不交于同一点的链杆 相联，为几何不变体系，而且没有多余联系。
例题
2－4 瞬变体系 为什么在三钢片规则中，要规定三个铰不在 同一直线上？
【例3】试求图示体系的计算自由度。
1 2 3
4
5
解：把杆24和25看作结构内部的链杆，链杆通过固定铰4和5 与大地铰接。在该体系中，4、5两处作为链杆端点应计入结 点数j；同时4、5还都是固定铰支座,一个固定铰支座相当于2 个支杆。因此，该体系的铰结点数j=5，链杆数b=4，支杆数 r=6。故由公式(2-4)，可得
可以通过三个力的平衡方程求解——静定
三个竖向反力无法求解——超静定
作业
P23页，习题2－1，2－2，2－7，2－10，2－11，2－12
第二章 平面体系的机动分析
2－1 概述 杆件结构通常是由若干杆件相互联结而成的体系。
如果不考虑材料的变形，其几何形状与位置 均能保持不变，这样的体系称为几何不变体系。
在很小的荷载作用下，也会发生机械运动而不能 保持原有的几何形状和位置，这样的体系称为几何 可变体系。 在机动分析中，由于不考虑材料的变形，因此可以 把一根杆件或已知是几何不变的部分看作是一个刚体， 在平面体系中又将刚体称为钢片
由上可知，三虚铰均在无穷远，体系是几何瞬变
2－7 几何构造与静定性的关系 几何构造分析的结论 几何常变
几何可变
几何瞬变 在任意荷载作用下不能维持平衡，即平衡条件不能 成立，因而平衡方程是无解的。 无多余联系 几何不变 有多余联系 在任意荷载作用下均能维持平衡，因而平衡方程必 定有解
但是解是否只有一种？
2、铰接链杆体系的计算自由度
W=2j-(b+r)
其中：
j 为体系的铰结点数(坐标系内 铰所在位置对应点的个数) ；
b为链杆数； r为支杆数 注意：1）在计算j 时，凡是链杆的端点，都应当算作结点， 而且无论一个铰结点上连接几根链杆，都只以1计入j中； 2）在计算b和r时，链杆与支杆应当区别开来，因为链杆是内 部约束，而支杆则是外部约束，二者不可混淆。
例1
8个钢片，自由度3×8＝24 固定端1个，3个约束 单铰数10个，2×10个约束 链杆数1个，1个约束
24－（3＋20＋1）＝0
例题2
用另一种方法来计算 j——结点数
b——杆件数 r——为支座链杆数
1个结点有2个自由度 j个结点有2j个自由度 W＝2j－（b＋r ） W=2×6－（9＋3）＝0
(1)h
m6 (3)g
3
m7
(3)h
m7
m8
r
m9 r
m8
(3)r
m9 (3)r
m=9，g=3，h=8, r=6
W = 3m-(3g+2h+r) = 3×9-(3×3+2×8+6) = -4
【例】试求图示体系的计算自由度。
m1
(1)g (1)h m2 (2)g m3 (3)r m5 m7 (3)r m4 (1)h (1)g m6 (2)g (1)h m8 m9 (3)r (1)h
对体系进行机动分析或者几何构造分析
2－2 平面体系的计算自由度 一、刚片(rigid plate)——平面刚体。
形状可任意替换
自由度和联系（约束）的概念 二.自由度 指体系运动时具有的独立运动方式数目，也就是 体系运动时可以独立变化的几何参数，或者说确定体 系位置所需的独立坐标数目。
自由度等于零是几何不变体，大于零是几何可变体
m=9，g=6，h=4, r=9
W = 3m-(3g+2h+r) = 3×9-(3×6+2×4+9) = -8Fra bibliotek思考：
注意：用上述公式时A（或B）处的h=0 ,不是一个铰。
此处只是杆AC（或EB）的端点，而不是结构内部两杆 件所形成的铰结点。 m=13，g=0，h=16, r=7
2、铰接链杆体系的计算自由度