《函数的单调性》教案

课题函数的单调性教学目标1。

函数单调性的研究经历了从直观到抽象，以图识数的过程，在这个过程中，让学生通过自主探究活动，体验数学概念的形成过程的真谛，学会运用函数图像理解和研究函数的性质。

2。

理解并掌握函数的单调性及其几何意义，掌握用定义证明函数单调性的步骤，会求函数的单调区间，提高应用知识解决问题的能力。

3。

能够用函数的性质解决日常生活中的简单的实际问题，使学生感受到学习函数单调性的必要性与重要性，增强学生学习函数的紧迫感，激发学生学习的积极性。

教材分析重点函数的单调性。

难点增函数、减函数形式化定义的形成。

教具记号笔、白板、多媒体教具教学过程导入新课德国有一位著名的心理学家名叫艾宾浩斯(Hermann Ebbinghaus,1850—1909)，他以自己为实验对象，共做了163次实验，每次实验连续要做两次无误的背诵。

经过一定时间后再重学一次，达到与第一次学会的同样的标准。

他经过对自己的测试，得到了一些数据。

时间间隔t0分钟20分钟60分钟8～9小时1天2天6天一个月记忆量y(百分比)100% 58。

2% 44。

2%35。

8%33。

7% 27。

8%25。

4%21。

1%观察这些数据，可以看出：记忆量y是时间间隔t的函数。

当自变量(时间间隔t)逐渐增大时，你能看出对应的函数值(记忆量y)有什么变化趋势吗？描出这个函数图像的草图(这就是著名的艾宾浩斯曲线)。

从左向右看，图像是上升的还是下降的？你能用数学符号来刻画吗？通过这个实验，你打算以后如何对待刚学过的知识？(可以借助信息技术画图像)学生：先思考或讨论，回答：记忆量y随时间间隔t的增大而增大；以时间间隔t为横轴，以记忆量y为纵轴建立平面直角坐标系，描点连线得函数的草图——艾宾浩斯遗忘曲线如图1所示。

图1遗忘曲线是一条衰减曲线，它表明了遗忘的规律。

随着时间的推移，记忆保持量在递减，刚开始遗忘速度最快，我们应利用这一规律，在学习新知识时一定要及时复习巩固，加深理解和记忆。

教师提示、点拨，并引出本节课题。

推进新课新知探究提出问题①如图2所示的是一次函数y＝x，二次函数y＝x2和y＝－x2的图像，它们的图像有什么变化规律？这反映了相应的函数值的哪些变化规律？教学过程图2②函数图像上任意点P(x，y)的坐标有什么意义？③如何理解图像是上升的？④对于二次函数y＝x2，列出x，y的对应值表(如下表)。

完成下表并体会图像在y轴右侧上升。

x …－4－3－2－101234…f(x)＝x2……⑤在数学上规定：函数y＝x2在区间(0，＋∞)上是增函数。

谁能给出增函数的定义？⑥增函数的定义中，把“当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)”改为“当x1＞x2时，都有f(x1)＞f(x2)”，这样行吗？⑦增函数的定义中，“当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)”反映了函数值有什么变化趋势？⑧增函数的几何意义是什么？⑨类比增函数的定义，请给出减函数的定义及其几何意义？⑩函数y＝f x在区间D上具有单调性，说明了函数y＝f x在区间D 上的图像有什么变化趋势？讨论结果：①函数y＝x的图像，从左向右看是上升的；函数y＝x2的图像在y轴左侧是下降的，在y轴右侧是上升的；函数y＝－x2的图像在y轴左侧是上升的，在y轴右侧是下降的。

②函数图像上任意点P的坐标(x，y)的意义：横坐标x是自变量的取值，纵坐标y是自变量为x时对应的函数值的大小。

③按从左向右的方向看函数的图像，意味着图像上点的横坐标逐渐增大即函数的自变量逐渐增大。

图像是上升的意味着图像上点的纵坐标逐渐变大，也就是对应的函数值随着逐渐增大。

也就是说从左向右看图像上升，反映了函数值随着自变量的增大而增大。

④在区间(0，＋∞)上，任取x1，x2，且x1＜x2，那么就有y1＜y2，也就是有f(x1)＜f(x2)。

这样可以体会用数学符号来刻画图像上升。

⑤一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于定义域I内某个区间D上的任意．．两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函．．数。

⑥可以。

增函数的定义：由于当x1＜x2时，都有f(x1)＜f(x2)，即都是相同的不等号“＜”，也就是说前面是“＜”，后面也是“＜”，步调一致；“当x1＞x2时，都有f(x1)＞f(x2)”都是相同的不等号“＞”，也就是说前面是“＞”，后面也是“＞”，步调一致。

因此我们可以简称为：步调一致增函数。

⑦函数值随着自变量的增大而增大。

⑧从左向右看，图像是上升的。

⑨一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意．．两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f(x1)＞f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数．．．。

．简称为：步调不一致减函数。

减函数的几何意义：从左向右看，图像是下降的。

函数值变化趋势：函数值随着自变量的增大而减小。

总结：如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数(或减函数)，那么就说函数y＝f(x)在这一教学过程区间具有(严格的)单调性．．．，区间D叫作y＝f(x)的单调递增．．．．(．或减．．)．区间．．。

．⑩函数y＝f(x)在区间D上，函数值的变化趋势是随自变量的增大而增大(减小)，几何意义：从左向右看，图像是上升(下降)的。

应用示例思路1例1 说出函数f(x)＝1x的单调区间，并指明在该区间上的单调性。

活动：学生思考函数单调性的几何意义，由图像得单调区间。

解：(－∞，0)和(0，＋∞)都是函数的单调区间，在这两个区间上函数f(x)＝1x是减少的。

点评：本题主要考查函数单调性的几何意义，以及图像法判断函数单调性。

图像法判断函数的单调性适合于选择题和填空题。

如果解答题中给出了函数的图像，通常用图像法判断单调性。

函数的图像类似于人的照片，我们能根据人的照片来估计其身高，同样我们根据函数的图像可以分析出函数值的变化趋势即单调性。

图像法求函数单调区间的步骤是：第一步，画函数的图像；第二步，观察图像，利用函数单调性的几何意义写出单调区间。

变式训练图3是定义在区间[－5,5]上的函数y＝f(x)的图像，根据图像说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？图3活动：教师提示利用函数单调性的几何意义。

学生先思考或讨论后再回答，教师点拨、提示并及时评价学生。

图像上升则在此区间上是增函数，图像下降则在此区间上是减函数。

解：函数y＝f(x)的单调区间是[－5，－2)，[－2,1)，[1,3)，[3,5]。

其中函数y＝f(x)在区间[－5，－2)，[1,3)上是减函数，在区间[－2,1)，[3,5]上是增函数。

例2 画出函数f(x)＝3x＋2的图像，判断它的单调性，并加以证明。

活动：学生自己画出图像，当学生没有证明思路时，教师再提示，及时纠正学生解答过程中出现的问题，并标出关键的地方，以便学生总结定义法的步骤。

图4教学过程解：作出f(x)＝3x＋2的图像(如图4)。

由图看出函数的图像在R上是上升的，函数是R上的增函数。

下面进行证明：任取x1、x2∈R，且x1＜x2，则x1－x2＜0。

所以f(x1)－f(x2)＝(3x1＋2)－(3x2＋2)＝3(x1－x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)。

由单调函数的定义，可知函数f(x)＝3x＋2是R上的增函数。

点评：本题主要考查函数的单调性，以及定义法判断函数的单调性。

定义法判断或证明函数的单调性的步骤是：第一步，在所给的区间上任取．两个自变量x1和x2，通常令x1＜x2；第二步，比．较f(x1)和f(x2)的大小，通常是用作差比较法比较大小，此时比较它们大小的步骤是作差、变形、看符号；第三步，再．归纳结论。

定义法的步骤可以总结为：一“取(去．)”、二“比．”、三“再(赛．)”，因此简称为“去比赛．．．”。

变式训练1。

证明函数y＝2x－1在区间[2,6]上是单调递减的。

证明：设x1、x2是区间[2,6]上任意两个值，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝2x1－1－2x2－1＝x2－－x1－x1－x2－＝x2－x1x1－x2－。

由2≤x1＜x2≤6，所以x2－x1＞0，(x1－1)(x2－1)＞0。

所以x2－x1x1－x2－＞0。

于是f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)。

所以函数y＝2x－1在区间[2,6]上是单调递减的。

2。

画出函数y＝－2x＋1的图像，判断它的单调性，并加以证明。

解：作出函数y＝－2x＋1的图像(如图5)。

由图5可以看出函数y＝－2x＋1的图像在R上是下降的，即函数是R上的减函数。

图5证明：设x1、x2是R上任意两个值，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝(－2x1＋1)－(－2x2＋1)＝－2(x1－x2)，因为x1＜x2，所以x1－x2＜0，－2(x1－x2)＞0。

于是f(x1)－f(x2)＞0，即f(x1)＞f(x2)。

所以函数y＝－2x＋1在R上是减函数。

教学过程思路2例1 (1)画出已知函数f(x)＝－x2＋2x＋3的图像；(2)证明函数f(x)＝－x2＋2x＋3在区间(－∞，1]上是增函数；(3)当函数f(x)在区间(－∞，m]上是增函数时，求实数m的取值范围。

解：(1)函数f(x)＝－x2＋2x＋3的图像如图6所示。

图6(2)设x1、x2∈(－∞，1]，且x1＜x2，则有f(x1)－f(x2)＝(－x21＋2x1＋3)－(－x22＋2x2＋3)＝(x22－x21)＋2(x1－x2)＝(x1－x2)(2－x1－x2)。

∵x1、x2∈(－∞，1]，且x1＜x2，∴x1－x2＜0，x1＋x2＜2。

∴2－x1－x2＞0。

∴f(x1)－f(x2)＜0。

∴f(x1)＜f(x2)。

∴函数f(x)＝－x2＋2x＋3在区间(－∞，1]上是增函数。

(3)函数f(x)＝－x2＋2x＋3的对称轴是直线x＝1，在对称轴的左侧是增函数，那么当区间(－∞，m]位于对称轴的左侧时满足题意，则有m≤1，即实数m 的取值范围是(－∞，1]。

点评：本题主要考查二次函数的图像、函数的单调性及其应用。

讨论有关二次函数的单调性问题时，常用数形结合的方法，结合二次函数图像的特点来分析；二次函数在对称轴两侧的单调性相反；二次函数在区间D上是单调函数，那么二次函数的对称轴不在区间D内。

判断函数单调性时，通常先画出其图像，由图像观察出单调区间，最后用单调性的定义证明。

判断函数单调性的三部曲：第一步，画出函数的图像，观察图像，描述函数值的变化趋势；第二步，结合图像来发现函数的单调区间；第三步，用数学符号即函数单调性的定义来证明发现的结论。

函数的单调性是函数的一个重要性质，是高考的必考内容之一。

因此应理解单调函数及其几何意义，会根据定义判断、证明函数的单调性，会求函数的单调区间，能综合运用单调性解决一些问题，会判断复合函数的单调性。