高中数学第六章平面向量初步6.2.2直线上向量的坐标及其运算课件新人教B版必修第二册
高中数学(人教B版)直线上向量的坐标及其运算
M(x), A(x1), B(x2 )
3. 利用直线上向量的运算与坐标之间的关系，求数轴上的
中点坐标公式
设 A(x1), B(x2 ) 是数轴上两点，O为坐标原点，
设M(x)是线段AB的中点，则 AM MB，有 OM OA OB OM ，
则 OM
1 2 (OA OB)
取 |a| = 1，也就是 a 为单位向量时，则 |λ| = |b| ，|μ| = |c|.
l
b
a
c
一.直线上向量的坐标 给定一条直线 l 以及这条直线上一个单位向量e ，由共线向 量基本定理可知，对于直线 l 上的任意一个向量 a，一定存 在唯一的实数x，使得 a = xe，此时，x 称为向量 a 的坐标.
直线上向量的坐标及其运算
高一年级 数学
知识概要
一.直线上向量的坐标 二.直线上向量的运算与坐标的关系 三.例题分析与讲解 四.课堂小结
复习
向量相等：把大小相等、方向相同的向量称为相等的向量. 零向量：把始点和终点相同的向量称为零向量，即 AA= 0. 单位向量：把模等于1的向量称为单位向量.
交换律 结合律 分配律
AB | AB | AB OB OA
A(x1), B(x2 )
3. 利用直线上向量的运算与坐标之间的关系，求数轴上两 点间的距离公式 设 A(x1), B(x2 ) 是数轴上两点，O为坐标原点， 则 OA x1e ，OB x2e ， 因此 AB OB OA x2e x1e = ( x2 x1)e.
1. 向量的相等与它们对应的坐标之间的关系： 当a = b时，有 x1e x2e ， 则 (x1 x2 )e = 0， 因为 e 是单位向量，所以 x1 x2 .
第6章 6.2 6.2.3 平面向量的坐标及其运算-(新教材)人教B版(2019)高中数学必修第二册
(1)A [以向量 a，b 公共的起点为坐标原点，建立如图坐标系， 因为 e1＝(1,0)，e2＝(0,1)，
所以 2a＝(2,1)，b＝(1,3)， 所以 2a＋b＝(2,1)＋(1,3)＝(3,4)，即 2a＋b 在平面直角坐标系中 的坐标为(3,4)，故选 A.
]
(2)[解] ①作 AM⊥x 轴于点 M(图略)，
3，即
b＝－32，3
2
3.
②由①知B→A＝－A→B＝－b＝32，－3
2
3.
③O→B＝O→A＋A→B＝(2
2，2
2)＋－32，3
2
3
＝2
2－32，2
2＋3
2
3，
所以点 B 的坐标为2
2－32，2
2＋3
2
3.
求向量坐标的三个步骤
[跟进训练] 1．在直角坐标系 xOy 中，向量 a，b，c 的方 向如图所示，且|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4，分别计算 出它们的坐标． [解] 设 a＝(x1，y1)， 则 x1＝2·cos 45°＝ 2，y1＝2·sin 45°＝ 2， ∴a＝( 2， 2)．
[解] (1)2a＋3b＝2(－1,2)＋3(2,1) ＝(－2,4)＋(6,3)＝(4,7)． (2)a－3b＝(－1,2)－3(2,1)＝(－1,2)－(6,3) ＝(－7，－1)． (3)21a－13b＝12(－1,2)－13(2,1) ＝－12，1－23，13＝－76，23.
向量坐标运算的综合应用 [探究问题] 1．已知点 O(0,0)，A(1,2)，B(4,5)，及O→P＝O→A＋tA→B.当 t 为何值 时，点 P 在 x 轴上？点 P 在 y 轴上？点 P 在第二象限？ [提示] ∵O→P＝O→A＋tA→B＝(1,2)＋t(3,3)＝(1＋3t,2＋3t)． 若点 P 在 x 轴上，则 2＋3t＝0，
04-6.2 向量基本定理与向量的坐标-6.2.1 向量基本定理高中数学必修第二册人教B版
1
2
1
2
− =
+ =
1
2
1
2
− ,
+ .
∵ //,与共线，
1
2
∴ 存在实数 ， ，使得 = = − ,
= =
1
2
+ =
∵ = + =
1
4
+
2
1
2
+
.
2
− =
1
( − )
1
2
1
4
1
2
1
4
1
2
= ,所以 = + ,又 = , = ，所以 = + .
例9 (2024·河北省石家庄一中月考)如图6.2.1-6，在△中，点是的中点，过
点的直线分别交直线,于不同的两点,.若 = , = , ∈ ，
2
则 + 的值为___.
图6.2.1-6
【解析】
连接,∵ 是的中点，∴ =
由于 = , = ,则 =
1
2
1
(
2
+ ) =
1
2
1
+ .
2
令 = ∈ ,则
= + = + = + ( − ) = (1 − ) + .
【解析】假设 = ∈ ,则1 − 2 = 31 + 32 ，
∴ 1 − 3 1 + −1 − 3 2 = .
1 − 3 = 0,
∵ 1 ,2 不共线，∴ ቊ
高中数学新教材人教B版必修第二册配套练习：第六章 平面向量初步6.2 6.2.2 课时32
6.2.2直线上向量的坐标及其运算课时32直线上向量的坐标及其运算知识点一直线上向量的坐标1.如图所示，则直线上向量a，b的坐标分别为()A．－2,4 B．2,4C．4，－2 D．－4，－2答案 C解析向量a的始点在原点，则a的坐标为4，把向量b的始点平移到原点，则b的坐标为－2.故选C．2．已知，向量a，b在同一直线上，|a|＝2|b|，若b的坐标为2，则a的坐标为()A．4 B．－4C．2或－2 D．4或－4答案 D解析由b的坐标为2，得b＝2e，由|a|＝2|b|，得a＝4e或a＝－4e，故a的坐标为4或－4.故选D．知识点二直线上向量的坐标运算3.直线上向量a的坐标为5，b的坐标为－13，求下列向量的坐标：(1)－3b；(2)a－b；(3)2a＋3b；(4)－a－6b．解 (1)－3b 的坐标为(－3)×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝1.(2)a －b 的坐标为5－⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝163.(3)2a ＋3b 的坐标为2×5＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝9.(4)－a －6b 的坐标为－5－6×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－3.知识点三 数轴上两点间的距离、中点坐标4.在如图所示的数轴上，A ，B 两点的坐标分别为a ，b ，则向量AB→的坐标为( )A ．a －bB ．b －aC ．－a －bD ．a ＋b答案 B解析 AB→＝(b －a )e ，AB →的坐标为b －a ． 5．如图，数轴上A ，B 两点的坐标分别为－4,2，点C 是线段AB 的中点，则向量AC→的坐标为________．答案 3解析 由A ，B 两点的坐标分别为－4,2，得点C 的坐标为－4＋22＝－1，故AC →的坐标为－1－(－4)＝3.6．已知数轴上A ，B 两点的坐标分别为x 1，x 2，求AB →，BA →的坐标及A ，B 两点间的距离．(1)x 1＝2，x 2＝－5.3；(2)x 1＝10，x 2＝20.5.解 (1)∵x 1＝2，x 2＝－5.3，∴AB→的坐标为－5.3－2＝－7.3，BA →的坐标为2－(－5.3)＝7.3，A ，B 两点间的距离为|x 2－x 1|＝|－5.3－2|＝7.3.(2)∵x 1＝10，x 2＝20.5，∴AB→的坐标为20.5－10＝10.5，BA →的坐标为10－20.5＝－10.5，A ，B 两点间的距离为|x 1－x 2|＝|10－20.5|＝10.5.一、选择题1．已知直线上向量a 的坐标为m ，若b ＝－a ，则向量b 的坐标为( ) A ．m B ．－m C ．0 D ．m 或－m答案 B解析 向量a 的坐标为m ，则－a 的坐标为－m ，即b 的坐标为－m ，故选B ． 2．已知数轴上两点M ，N ，且|MN →|＝4，若x M ＝－3，则x N 等于( ) A ．1 B ．2 C ．－7D ．1或－7答案 D解析 |MN →|＝|x N －(－3)|＝4，∴x N －(－3)＝±4，即x N ＝1或－7. 3．已知直线上向量a 的坐标为－2，b 的坐标为5，则|2a ＋b |＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4答案 A解析 由向量a 的坐标为－2，b 的坐标为5，得2a ＋b 的坐标为－2×2＋5＝1，故|2a ＋b |＝1，故选A ．4．如图，数轴上四点O ，A ，B ，C ，其中O 为原点，且|AC →|＝2，|OA →|＝|OB →|，若点C 的坐标为a ，则点B 的坐标为( )A ．－a －2B ．2－aC ．a ＋2D ．a －2答案 B解析 ∵|AC→|＝2，点C 的坐标为a ，∴|AO→|＝2＋(－a )＝2－a ， 又|OA→|＝|OB →|，∴|OB →|＝2－a ，故点B 的坐标为2－a ，故选B ． 5．数轴上点A 和点B 的坐标分别为－1和3，若P 是数轴上一点，且|P A →|＋|PB →|＝6，则点P 的坐标为( )A ．－3B ．－3或5C ．－2D ．－2或4 答案 D解析 ∵|AB →|＝|3－(－1)|＝4，|P A →|＋|PB →|＝6，设点P 的坐标为x P ，当点P 在点A 的左边时，－1－x P ＋3－x P ＝6，得x P ＝－2；当点P 在点B 的右边时，x P －3＋x P －(－1)＝6，得x P ＝4，综上所述，点P 的坐标为－2或4.二、填空题6．已知直线上a 的坐标为－32，b 的坐标为1，c 的坐标为－23，则|2a ＋3b －6c |＝________.答案 4解析 ∵a 的坐标为－32，b 的坐标为1，c 的坐标为－23，则2a ＋3b －6c 的坐标为2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＋3×1－6×⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝－3＋3＋4＝4，即|2a ＋3b －6c |＝4.7．已知数轴上点A 的坐标为2，|AB →|＝6，C 是AB 的中点，则向量AC →的坐标为________．答案 －3或3解析 ∵数轴上点A 的坐标为2，且|AB→|＝6，则点B 的坐标为－4或8.而C 是AB 的中点，则点C 的坐标为2－42或2＋82， 即－1或5，故AC→的坐标为－3或3.8．如图，点A ，B 为数轴上的两点，O 为原点，A ，B 两点的坐标分别为m,2m ＋1，B ，O 两点间的距离等于A ，B 两点间的距离，则|2AB→＋OB →|＝________.答案 13解析 由题意得，0－(2m ＋1)＝2m ＋1－m ，得m ＝－23，故点A 的坐标为－23，点B 的坐标为－23×2＋1＝－13，AB →的坐标为－13－⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝13，故2AB→＋OB →的坐标为2×13－13＝13，故|2AB→＋OB →|＝13.三、解答题9．已知e 是直线l 上一个单位向量，向量a ，b ，c 都是直线l 上的向量． (1)a ＝5e ，b ＝－2e ，c ＝14e ，求a ＋b ＋c 的坐标；(2)a ＝2e ，b ＝53e ，c ＝－3e ，求|a ＋3b ＋2c |.解 (1)由a ＝5e ，b ＝－2e ，c ＝14e ，得a ，b ，c 的坐标分别为5，－2，14，则a ＋b ＋c 的坐标为5－2＋14＝134.(2)由a ＝2e ，b ＝53e ，c ＝－3e ，得a ，b ，c 的坐标分别为2，53，－3，则|a ＋3b ＋2c |的坐标为2＋3×53＋2×(－3)＝1，故|a ＋3b ＋2c |＝1.10．数轴上点A ，B ，C 的坐标分别为4，－6，x ，线段AB 的中点为D ． (1)求向量AB →的坐标及A 与B 的距离；(2)求点D 的坐标； (3)若|AC→|＝8，求x 的值． 解 (1)由A ，B 的坐标分别为4，－6，得AB→的坐标为－6－4＝－10，A 与B 的距离AB ＝|AB →|＝10. (2)由A ，B 的坐标分别为4，－6且D 为AB 的中点，得点D 的坐标为4－62＝－1.(3)当点C 在点A 的左侧时，4－x ＝8，x ＝－4； 当点C 在点A 的右侧时，x －4＝8，x ＝12. 故x 的值为－4或12.由Ruize收集整理。
第6章 6.2 6.2.1 向量基本定理-(新教材)人教B版(2019)高中数学必修第二册课件
(2)证明：设线段 EL 的中点为 P1，则 O→P1＝12(O→E＋O→L)＝14(a＋b＋c)． 设 FM，GN 的中点分别为 P2，P3，同理可求得 O→P2＝14(a＋b＋c)，O→P3＝14(a＋b＋c)． ∴O→P1＝O→P2＝O→P3， 即 EL，FM，GN 交于一点，且互相平分．
1．任意一向量基底表示的唯一性的理解
1．共线向量基本定理 如果 a≠0 且 b∥a，则存在_唯一____的实数 λ，使得_b_＝__λ_a_. 在共线向量基本定理中： (1)b＝λa 时，通常称为 b 能用 a 表示． (2)其中的“唯一”指的是，如果还有 b＝μa，则有 λ＝μ.
思考 1：在共线向量基本定理中，为什么要求 a≠0? [提示] 若 a＝0，则 0∥b，但是 λ0＝0，从而 b＝λa 中的实数 λ 具有不确定性，进而不能说存在唯一一个实数 λ，使得 b＝λa.
(变结论)例 2 中，用A→E，A→F表示A→B. [解] A→B＝A→E＋E→B＝A→E＋F→E＝A→E＋(A→E－A→F)＝2A→E－A→F.
用基底表示向量的方法 (1)用基底表示平面向量，要充分利用向量加法、减法的三角形 法则或平行四边形法则结合数乘定义，解题时要注意解题途径的优 化与组合． (2)将向量 c 用 a，b 表示，常采用待定系数法，其基本思路是设 c＝xa＋yb，其中 x，y∈R，然后得到关于 x，y 的方程组求解．
2019(新课标)高中数学人教B版目录(全)新版
2.1.1 等式的性质与方程的解集
4.6 函数的应用 (二)
2.1.2 一元二次方程的解集及其根与 系数的关系
4.7
数学建模活动：生长规律的描述
2.1.3 方程组的解集
第五章 统计与概率
2.2 不等式
5.1 统计
2.2.1 不等式及其性质
2.2.2 不等式的解集 2.2.3 一元二次不等式的解法 2.2.4 均值不等式及其应用 第三章 函数 3.1 函数的概念与性质
6.2.3 平面向量的坐标及其运算 6.3 平面向量线性运算的应用 本书拓展阅读目录 对数发明起源的简介 素数个数与对数 指数运算与生活哲学 我国古代统计工作简介 用样本估计总体的失败案例 “黄金７２小时”中的概率 向量的推广与应用
人教B版 （2019）必修三 第七章 三角函数 7.1 任意角的概念与弧度制
6.1.1 向量的概念
自主招生中的充分条件与必要条件
6.1.2 向量的加法
《九章算术》中的代数成就简介
6.1.3 向量的减法
函数定义的演变过程简介
6.1.4数乘向量
物理中的变化率
6.1.5 向量的线性运算
付出与收获的关系
6.2 向量基本定理与向量的坐标
二分法在搜索中的应用
6.2.1 向量基本定理
6.2.2 直线上向量的坐标及其运算
10.2 复数的运算
1.2.5 空间中的距离
10.2.1 复数的加法与减法
第二章 平面解析几何
10.2.2 复数的乘法与除法
2.1坐标法
10.3 复数的三角形式及其运算
2.2 直线及其方程
第十一章 立体几何初步
2.2.1直线的倾斜角 与斜率
11.1 空间几何体
2020_2021学年新教材高中数学第六章平面向量初步6.2.3平面向量的坐标及其运算课件新人教B版
类型二 向量的坐标运算(数学运算) 【典例】已知A(-2,4),B(3,-1),C(-3,-4),且 C M ＝ 3 C A ， C N ＝ 2 C B ， 求M,N及 M N 的坐标. 【思路导引】方法一:先求 C A , C B ,设出M,N的坐标,根据 C M ＝ 3 C A ， C N ＝ 2 C B 列方程求解. 方法二:设O为坐标原点,用向量线性运算的几何意义直接计算 O M , O N 的坐标.
2.平面上向量的运算与坐标的关系
(1)向量加法与减法运算
设a=(x1,y1), b=(x2,y2),则 ①a+b=_(_x_1+_x_2_,_y_1_+_y_2)_, ②a-b=_(_x_1-_x_2_,_y_1_-_y_2)_, ③λa=_(_λ__x_1,_λ__y_1_)_.
④向量相等的充要条件:a=b⇔_x_1=_x__2 且_y_1_=_y_2 . ⑤ua+vb=(u x1+v x2,u y1+v y2); ⑥ua-vb=(u x1-v x2,u y1-v y2). (2)模长公式:设a=(x,y),则|a|= x 2 y 2 .
3.如图,在平面直角坐标系xOy中,OA=4,AB=3,∠AOx=45°,∠OAB=105°,O A =a, A B =b.四边形OABC为平行四边形.
(1)求向量a,b的坐标; (2)求向量 B A 的坐标; (3)求点B的坐标.
【解题策略】 求向量坐标的方法 (1)定义法:将向量用两个相互垂直的单位向量e1,e2表示出来. (2)平移法:把向量的始点移至坐标原点,终点坐标即为向量的坐标. (3)求差法:先求出这个向量的始点、终点坐标,再运用终点坐标减去始点坐标 即得该向量的坐标.
2
2019_2020学年新教材高中数学第6章平面向量初步 共线向量基本定理练习(含解析)新人教B版必修第二册
课时30 共线向量基本定理知识点一 共线向量基本定理1.已知向量a ，b 是两个非零向量，在下列四个条件中，一定能使a ，b 共线的是( ) ①2a －3b ＝4e 且a ＋2b ＝－2e ；②存在相异实数λ，μ，使λa －μb ＝0； ③x a ＋y b ＝0(其中实数x ，y 满足x ＋y ＝0)； ④已知梯形ABCD ，其中AB →＝a ，CD →＝b . A ．①② B ．①③ C ．② D ．③④ 答案 A解析 由2a －3b ＝－2(a ＋2b )得到b ＝－4a ，故①可以；∵λa －μb ＝0，∴λa ＝μb ，故②可以；当x ＝y ＝0时，有x a ＋y b ＝0，但b 与a 不一定共线，故③不可以；梯形ABCD 中，没有说明哪组对边平行，故④不可以．2．已知e 1，e 2不共线，若a ＝3e 1－4e 2，b ＝6e 1＋k e 2，且a ∥b ，则k 的值为( ) A ．8 B ．－8 C ．3 D ．－3 答案 B解析 ∵a ∥b ，∴存在实数m ，使得a ＝m b ，即3e 1－4e 2＝6m e 1＋mk e 2，∴⎩⎪⎨⎪⎧3＝6m ，－4＝mk ，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＝12，k ＝－8.3. 如图所示，已知OA ′ →＝3OA →，A ′B ′ →＝3AB →，则向量OB →与OB ′ →的关系为( )A ．共线B ．同向C ．共线且同向D ．共线、同向，且OB ′ →的长度是O B →的3倍 答案 D解析 由题意，知OB →＝OA →＋AB →，OB ′→＝OA ′→＋A ′B ′→＝3OA →＋3AB →＝3OB →，故选D.知识点二 共线向量基本定理的应用4.已知点P 是△ABC 所在平面内的一点，且3PA →＋5PB →＋2PC →＝0，设△ABC 的面积为S ，则△PAC 的面积为( )A.34SB.23SC.12SD.25S 答案 C解析 如图，由于3PA →＋5PB →＋2PC →＝0，则3(PA →＋PB →)＝－2(PB →＋PC →)， 3(PA →＋PB →)2＝－2(PB →＋PC →)2. 设AB ，BC 的中点分别为M ，N ，则PM →＝12(PA →＋PB →)，PN →＝12(PB →＋PC →)，即3PM →＝－2PN →，则点P 在中位线MN 上，则△PAC 的面积是△ABC 的面积的一半．5．设AB →＝22(a ＋5b )，BC →＝－2a ＋8b ，CD →＝3(a －b )，则共线的三点是________．答案 A ，B ，D解析 BD →＝BC →＋CD →＝a ＋5b ，AB →＝22BD →，即A ，B ，D 三点共线．6．已知e 1，e 2是两个不共线的向量，a ＝k 2e 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－52k e 2与b ＝2e 1＋3e 2是两个平行的向量，则k ＝________.答案 13或－2解析 ∵a ∥b ，∴存在实数m ，使得a ＝m b ，∴k 2e 1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－52k e 2＝m (2e 1＋3e 2)，∴⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝2m ，1－52k ＝3m ，即3k 2＋5k －2＝0，∴k ＝13或－2.7．设O 为△ABC 内任一点，且满足OA →＋2OB →＋3OC →＝0，且D ，E 分别是BC ，CA 的中点，则△ABC 与△AOC 的面积之比为________．答案 3∶1解析 如图，OB →＋OC →＝2OD →，OA →＋OC →＝2OE →，∴OA →＋2OB →＋3OC →＝(OA →＋OC →)＋2(OB →＋OC →)＝2(2OD →＋OE →)＝0，即2OD →＋OE →＝0， ∴DO →与OE →共线，即D ，E ，O 共线， ∴2|OD →|＝|OE →|，∴S △AOC ＝2S △COE ＝2×23S △CDE ＝2×23×14S △ABC ＝13S △ABC ，即S △ABCS △AOC＝3.8．已知梯形ABCD ，AB ∥DC ，E ，F 分别是AD ，BC 的中点．用向量法证明：EF ∥AB ，EF ＝12(AB ＋DC )．证明 如图，延长EF 到点M ，使FM ＝EF ，连接CM ，BM ，EC ，EB ，得平行四边形ECMB ，由平行四边形法则得EF →＝12E M →＝12( EB →＋EC →)．由于AB ∥DC ，所以AB →， DC →共线且同向，根据向量共线定理，存在正实数λ，使AB →＝λDC →.由三角形法则得EB →＝EA →＋AB →， EC →＝ED →＋DC →且ED →＋EA →＝0，∴EF →＝12(E B →＋EC →)＝12(E A →＋AB →＋ED →＋DC →)＝12(AB →＋DC →)＝1＋λ2D C →， ∴EF →∥DC →.由于E ，D 不共点，∴EF ∥DC ∥AB ，又|EF →|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12( AB →＋DC →)＝12(|AB →|＋|D C →|)，∴EF ＝12(AB ＋DC )，所以结论得证.易错点 对共线向量基本定理理解不透致误9.如果向量a ＝(－k ，－1)与b ＝(4，k )共线且方向相反，则k ＝________.易错分析 出错的根本原因是对共线向量基本定理b ＝λa 理解不透，误认为向量反向时，参数k 的值应该为负值，实质应是λ的值为负值．答案 2正解 因为向量a ＝(－k ，－1)与b ＝(4，k )共线， 所以k 2－4＝0，解得k ＝±2，当k ＝－2时，b ＝2a ，此时a 与b 方向相同，不符合题意，应舍去，因此k ＝2.一、选择题1．已知向量a ＝e 1＋2e 2，b ＝2e 1－e 2，其中e 1，e 2不共线，则a ＋b 与c ＝6e 1＋2e 2的关系是( )A ．不共线B ．共线C ．相等D ．不确定 答案 B解析 a ＋b ＝3e 1＋e 2，∴c ＝6e 1＋2e 2＝2(a ＋b )． ∴c 与a ＋b 共线．2．下面向量a ，b 共线的有( ) ①a ＝2e 1，b ＝－2e 2；②a ＝e 1－e 2，b ＝－2e 1＋2e 2； ③a ＝4e 1－25e 2，b ＝e 1－110e 2；④a ＝e 1＋e 2，b ＝2e 1－2e 2(e 1，e 2不共线)． A ．②③ B ．②③④ C ．①③④ D ．①②③④答案 A解析 对于①，e 1与e 2不一定共线，故a 与b 不一定共线；对于②，a ＝－12b ，∴a ，b 共线；对于③，a ＝4b ，∴a ，b 共线；对于④，若a ，b 共线，则存在一实数λ，使得b ＝λa ，即2e 1－2e 2＝λ(e 1＋e 2)，得(2－λ)e 1＝(λ＋2)e 2，当λ＝2时，得e 2＝0，e 1，e 2共线，矛盾，当λ≠2时，e 1＝λ＋22－λe 2，则e 1，e 2共线，矛盾．故a 与b 不共线．综上，选A. 3．若M 是△ABC 的重心，则下列各向量中与AB →共线的是( ) A ．AB →＋BC →＋AC →B ． AM →＋MB →＋BC → C ． AM →＋BM →＋CM →D ．3A M →＋AC →答案 C解析 设D ，E ，F 分别为BC ，AC ，AB 的中点，根据点M 是△ABC 的重心， AM →＋BM →＋CM →＝23( AD →＋BE →＋CF →)＝23(AB →＋B D →＋BC →＋CE →＋CA →＋AF →)＝0，而零向量与任何向量共线，所以与AB →共线．4．点P 是△ABC 所在平面内一点，若CB →＝λPA →＋PB →，其中λ∈R ，则点P 一定在( )A ．△ABC 内部B ．AC 边所在的直线上 C ．AB 边所在的直线上D ．BC 边所在的直线上答案 B解析 ∵CB →＝λPA →＋PB →，∴CB →－PB →＝λPA →，即CP →＝λPA →.∴点P ，A ，C 共线．∴点P 一定在AC 边所在的直线上． 二、填空题5．已知向量a ，b 不共线，且c ＝λa ＋b ，d ＝a ＋(2λ－1)b ，若c 与d 同向，则实数λ的值为________．答案 1解析 由于c 与d 同向，所以可设c ＝k d (k >0)，于是λa ＋b ＝k [a ＋(2λ－1)b ]， 整理得λa ＋b ＝k a ＋(2λk －k )b .由于a ，b 不共线，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＝k ，2λk －k ＝1，整理得2λ2－λ－1＝0，所以λ＝1或λ＝－12.又k >0，所以λ>0，故λ＝1.6．在△ABC 中，点D 在BC 边上，且CD →＝4DB →，CD →＝rAB →＋sAC →，则3r ＋s 的值为________． 答案 85解析 ∵AB →＋BC →＝AC →，CD →＝4DB →，∴CD →＝45CB →，即CD →＝45AB →－45AC →，∴r ＝45，s ＝－45，∴3r ＋s ＝85.7．已知△ABC 的三个顶点A ，B ，C 及平面内一点P 满足PA →＋PB →＋P C →＝A B →，则点P 在边AC 的________等分点处．答案 三解析 由PA →＋PB →＋PC →＝AB →，得PA →＋PC →＝AB →－PB →＝AP →，所以PC →＝2AP →，从而点P 在边AC 的三等分点处．三、解答题8．已知非零向量e 1，e 2不共线，(1)如果AB →＝e 1＋e 2， BC →＝2e 1＋8e 2， CD →＝3(e 1－e 2)，求证：A ，B ，D 三点共线； (2)欲使k e 1＋e 2和e 1＋k e 2共线，试确定实数k 的值．解 (1)证明：∵AB →＝e 1＋e 2，B D →＝BC →＋CD →＝2e 1＋8e 2＋3e 1－3e 2＝5(e 1＋e 2)＝5AB →. ∴AB →与BD →共线，且AB 与BD 有公共点B ， ∴A ，B ，D 三点共线．(2)∵k e 1＋e 2与e 1＋k e 2共线，且此两向量均为非零向量， ∴存在λ，使k e 1＋e 2＝λ(e 1＋k e 2)，则(k －λ)e 1＝(λk －1)e 2，由于e 1与e 2不共线， 只能有⎩⎪⎨⎪⎧k －λ＝0，λk －1＝0，∴k ＝±1.9．如图，平行四边形OACB 中，BD ＝13BC ，OD 与BA 相交于E .求证：BE ＝14BA .证明 如图，设E ′是线段BA 上的一点，且BE ′＝14BA ，只要证E ，E ′重合即可．设OA →＝a ， OB →＝b ，则BD →＝13a ， OD →＝b ＋13a .∵BE ′ →＝OE ′ →－b ，E ′A →＝a －OE ′ →，3BE ′ →＝E ′A →， ∴3(OE ′ →－b )＝a －OE ′ →， ∴OE ′ →＝14(a ＋3b )＝34⎝ ⎛⎭⎪⎫b ＋13a ，即OE ′ →＝34O D →，∴O ，E ′，D 三点共线，∴E 与E ′重合．∴BE ＝14BA .10．已知OA →，OB →是不共线的两个向量，设OM →＝λOA →＋μOB →，且λ＋μ＝1，λ，μ∈R .求证：M ，A ，B 三点共线． 证明 ∵λ＋μ＝1，∴μ＝1－λ. ∴OM →＝λOA →＋(1－λ)OB →＝λOA →＋OB →－λOB →. ∴OM →－OB →＝λ(OA →－OB →)，即BM →＝λBA →(λ∈R )，∴BM →，BA →共线． 又∵BM ，BA 有公共点B ， ∴M ，B ，A 三点共线．11．如图所示，点P 在直线AB 上，O 为直线外任意一点，且OP →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R )，求证：λ＋μ＝1.证明 OP →＝λOA →＋μOB →＝λ(OP →＋PA →)＋μ(OP →＋PB →) ＝(λ＋μ)OP →＋λPA →＋μPB →， 又点P 在直线AB 上，不妨设PA →＝kPB →， 则(λ＋μ－1)OP →＋(λk ＋μ)PB →＝0又OP →与PB →不共线，故⎩⎪⎨⎪⎧λ＋μ－1＝0，λk ＋μ＝0，得λ＋μ＝1.12．如图所示，在△ABC 中，D ，F 分别是BC ，AC 的中点，且AE →＝23AD →，AB →＝a ，AC →＝b .(1)用a ，b 表示向量AD →，AE →，AF →，BE →； (2)求证：B ，E ，F 三点共线． 解 (1)AD →＝AB →＋BD →＝a ＋12BC →＝a ＋12AC →－12AB →＝12b ＋12a ，AE →＝23AD →＝13b ＋13a ， AF →＝12AC →＝12b ，BE →＝AE →－AB →＝13b ＋13a －a＝13b －23a . (2)证明：BF →＝AF →－AB →＝12AC →－AB →＝12b －a ，BE →＝13b －23a ，∴23BF →＝BE →，故BF →∥BE →， 又BF 与BE 有公共点B ，∴B ，E ，F 三点共线．。
高中数学第6章6.2.3课时33平面向量的坐标及其运算两点间的距离公式与中点坐标公式人教B版必修第二册
课时33 平面向量的坐标及其运算、两点间的距离公式与中点坐标公式知识点一 平面向量的坐标1.如下图，向量a ，b ，c 的坐标分别是________、________、________.答案 (－4,0) (0,6) (－2，－5) 解析 将各向量向基底所在直线分解．a ＝－4i ＋0j ，∴a ＝(－4,0)，b ＝0i ＋6j ，∴b ＝(0,6)，c ＝－2i －5j ，∴c ＝(－2，－5)．2．在平面直角坐标系中，点A (2,3)，B (－3,4)，如图所示，x 轴、y 轴正方向上的两个单位向量分别为i 和j ，则下列说法正确的是________(只填序号)．①OA →＝2i ＋3j ； ②OB →＝3i ＋4j ； ③AB →＝－5i ＋j ； ④BA →＝5i －j . 答案 ①③④解析 i ，j 互相垂直，故可作为基底，由平面向量基本定理，有OA →＝2i ＋3j ，OB →＝－3i ＋4j ，AB →＝OB →－OA →＝－5i ＋j ，BA →＝OA →－OB →＝5i －j ，故①③④正确．知识点二 平面上向量的运算与坐标的关系3.设平面向量a ＝(3,5)，b ＝(－2,1)，则a －2b ＝( ) A ．(7,3) B ．(7,7) C ．(1,7) D ．(1,3)答案 A解析 a －2b ＝(3,5)－2(－2,1)＝(7,3)．4．已知平面向量a ＝(x,1)，b ＝(－x ，x 2)，则a ＋b ( ) A ．平行于x 轴B ．平行于第一、三象限的角平分线C ．平行于y 轴D ．平行于第二、四象限的角平分线答案 C解析 因为a ＋b ＝(0,1＋x 2)，所以a ＋b 平行于y 轴．5．已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若m a ＋n b 与a －2b 相等，则m n＝________，|n a ＋m b |＝________.答案 －1241解析 m a ＋n b ＝(2m －n,3m ＋2n )，a －2b ＝(4，－1)．∴⎩⎪⎨⎪⎧2m －n ＝4，3m ＋2n ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，n ＝－2，∴m n ＝－12. n a ＋m b ＝－2a ＋b ＝(－5，－4)，∴|n a ＋m b |＝|－2a ＋b |＝(－5)2＋(－4)2＝25＋16＝41. 知识点三 两点之间的距离公式与中点坐标公式6.在△ABC 中，已知点A (3,7)，B (－2,5)，若线段AC ，BC 的中点都在坐标轴上． (1)求点C 的坐标； (2)求△ABC 的三边长．解 (1)①若AC 的中点在y 轴上，则BC 的中点在x 轴上，设点C 的坐标为(x ，y )，由中点坐标公式得3＋x 2＝0，y ＋52＝0，∴x ＝－3，y ＝－5，即C 点坐标为(－3，－5)．②若AC 的中点在x 轴上，则BC 的中点在y 轴上，则同理可得C 点坐标为(2，－7)． 综上C 点坐标为(－3，－5)或(2，－7)． (2)当C 点坐标为(－3，－5)时，AB ＝(－2－3)2＋(5－7)2＝29， AC ＝(－3－3)2＋(－5－7)2＝65， BC ＝(－3＋2)2＋(－5－5)2＝101.当C 点坐标为(2，－7)时，AB ＝29，AC ＝(2－3)2＋(－7－7)2＝197， BC ＝(2＋2)2＋(－7－5)2＝410.7．已知在△ABC 中，A (7,8)，B (3,5)，C (4,3)，M ，N 是AB ，AC 的中点，D 是BC 的中点，MN 与AD 交于点F ，求DF →.解 因为A (7,8)，B (3,5)，C (4,3)， 所以AB →＝(－4，－3)，AC →＝(－3，－5)． 又因为D 是BC 的中点，有AD →＝12(AB →＋AC →)＝(－3.5，－4)，而M ，N 分别为AB ，AC 的中点，所以F 为AD 的中点． 故有DF →＝12DA →＝－12AD →＝(1.75,2)．知识点四 向量的坐标运算的应用8.已知点O (0,0)，A (1,2)，B (4,5)，且OP →＝OA →＋tAB →，试问：(1)t 为何值时，点P 在x 轴上？点P 在y 轴上？点P 在第二象限？(2)四边形OABP 能否为平行四边形？若能，求出相应的t 值；若不能，请说明理由．解 由已知得OA →＝(1,2)，AB →＝(3,3)， OP →＝(1,2)＋t (3,3)＝(1＋3t,2＋3t )．(1)若点P 在x 轴上，则有2＋3t ＝0，t ＝－23；若点P 在y 轴上，则有1＋3t ＝0，t ＝－13；若点P 在第二象限，则有⎩⎪⎨⎪⎧1＋3t <0，2＋3t >0，解得－23<t <－13.(2) PB →＝OB →－OP →＝(4,5)－(1＋3t,2＋3t )＝(3－3t ，3－3t )，若四边形OABP 是平行四边形，则有OA →＝P B →，即有3－3t ＝1，且3－3t ＝2，这显然是不可能的，因此，四边形OABP 不可能是平行四边形．9．已知A (－2,4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，且CM →＝3c ，CN →＝－2B ．(1)求3a ＋b －3c ；(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ； (3)求点M ，N 的坐标及MN →的坐标．解 由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1,8)．(1)3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．(2)∵m b ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )＝(5，－5)，∴⎩⎪⎨⎪⎧－6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5.解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－1.(3)∵CM →＝OM →－OC →＝3c ，∴OM →＝3c ＋OC →＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)，∴M (0,20)．又∵CN →＝ON →－OC →＝－2b ，∴ON →＝－2b ＋OC →＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)， ∴N (9,2)．∴MN →＝(9，－18). 易错点 转换向量关系失误10.平面上有A (2，－1)，B (1,4)，D (4，－3)三点，点C 在直线AB 上，且AC →＝12BC →，连接DC 并延长至点E ，使|CE →|＝14|ED →|，则点E 的坐标为________．易错分析 连接DC 并延长至E ，即E 在DC 的延长线上，注意向量的方向不要判断错误．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫83，－7 正解 设坐标原点为O ，∵AC →＝12BC →，∴OC →－OA →＝12(OC →－OB →)．∴OC →＝2OA →－OB →＝(3，－6)． ∴点C 的坐标为(3，－6)．又∵|CE →|＝14|ED →|，且E 在DC 的延长线上，∴CE →＝－14ED →.设E (x ，y )，则(x －3，y ＋6)＝－14(4－x ，－3－y )，得⎩⎪⎨⎪⎧x －3＝－14(4－x )，y ＋6＝－14(－3－y )，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝83，y ＝－7，∴点E 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫83，－7.一、选择题1．已知向量a ＝(－2,3)，b ＝(2，－3)，则下列结论正确的是( ) A ．向量a 的终点坐标为(－2,3) B ．向量a 的起点坐标为(－2,3)C ．向量a 与b 互为相反向量D ．向量a 与b 关于原点对称 答案 C解析 a ＝(－2,3)，b ＝(2，－3)，故a ＝－B ．故选C ． 2．已知a ＝(－2,3)，b ＝(1,5)，则3a ＋b 等于( ) A ．(－5,14) B ．(5,14) C ．(7,4) D ．(5,9)答案 A解析 3a ＋b ＝3(－2,3)＋(1,5)＝(－5,14)，故选A ．3．如图所示，{e 1，e 2}为正交基底，则向量2a ＋b 的坐标为( )A ．(3,4)B ．(2,4)C ．(3,4)或(4,3)D ．(4,2)或(2,4)答案 A解析 由图可知2a ＝2e 1＋e 2，b ＝e 1＋3e 2，所以2a ＋b ＝3e 1＋4e 2＝(3,4)．4．设向量a ＝(1,2)，b ＝(－3,5)，c ＝(4，x )，若a ＋b ＝λc (λ∈R )，则λ＋x 的值是( )A ．－112B ．112C ．－292D ．292答案 C解析 a ＋b ＝(1,2)＋(－3,5)＝(－2,7)，λc ＝(4λ，x λ)，又a ＋b ＝λc ，故⎩⎪⎨⎪⎧－2＝4λ，7＝x λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－12，x ＝－14，则λ＋x ＝－292.5．已知M (2，－1)，N (0,5)，且点P 在MN 的延长线上，|MP |＝2|PN |，则P 点坐标为( ) A ．(－2,11)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫43，3C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫23，3 D ．(－2,12)答案 A解析 因为P 在MN 的延长线上且|MP |＝2|PN |，所以MP →＝2NP →，则OP →－OM →＝2(OP →－ON →)， 所以OP →＝2ON →－OM →＝2(0,5)－(2，－1)， 即OP →＝(－2,11)． 二、填空题6．如图，正方形ABCD 中，O 为中心，且OA →＝(1,1)，试用基底向量i ，j 表示下列向量：OB →＝________，OC →＝________，AB →＝________，AC →＝________.答案 －i ＋j －i －j －2i －2i －2j 解析 如题图所示，OA →＝(1,1)＝i ＋j ， ∴OE →＝i ，EA →＝j .∴OF →＝－OE →＝－i ，FB →＝EA →＝j ，FC →＝－FB →＝－j .∴OB →＝OF →＋FB →＝－i ＋j ；OC →＝OF →＋FC →＝－i －j ；AB →＝OB →－OA →＝－i ＋j －(i ＋j )＝－2i . 同理，BC →＝OC →－OB →＝－i －j －(－i ＋j )＝－2j ，AC →＝AB →＋BC →＝－2i ＋(－2j )＝－2i －2j .7．已知a ＋b ＝(2，－8)，a －b ＝(－8,16)，则|a |＋|b |＝________. 答案 18解析 联立⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝(2，－8)， ①a －b ＝(－8，16)， ②由①＋②得，a ＝(－3,4)， 由①－②得，b ＝(5，－12)．故|a |＋|b |＝(－3)2＋42＋52＋(－12)2＝5＋13＝18.8．已知点A (－1，－1)，B (1,3)，C (x,5)，若对于平面上任意一点O ，都有OC →＝λOA →＋(1－λ) OB →，λ∈R ，则x ＝________.答案 2解析 取O (0,0)，由OC →＝λOA →＋(1－λ) OB →得，(x,5)＝λ(－1，－1)＋(1－λ)(1,3)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－λ＋(1－λ)，5＝－λ＋3(1－λ).解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－12，x ＝2.9．已知边长为1的正方形ABCD ，若点A 与坐标原点重合，边AB ，AD 分别落在x 轴、y 轴的正方向上，则向量2AB →＋3BC →＋AC →的坐标为________．答案 (3,4)解析 根据题意建立坐标系如图，则A (0,0)，B (1,0)，C (1,1)，D (0,1)．∴AB →＝(1,0)，BC →＝(0,1)，AC →＝(1,1)．∴2AB →＋3BC →＋AC →＝(2,0)＋(0,3)＋(1,1)＝(3,4)． 三、解答题10．(1)已知平面上三个点A (4,6)，B (7,5)，C (1,8)，求AB →，AC →，AB →＋AC →，AB →－AC →，2AB →＋12AC →的坐标； (2)已知a ＝(1,2)，b ＝(－3,4)，求向量a ＋b ，a －b,3a －4b 的坐标． 解 (1)∵A (4,6)，B (7,5)，C (1,8)． ∴AB →＝(7,5)－(4,6)＝(3，－1)； AC →＝(1,8)－(4,6)＝(－3,2)；AB →＋AC →＝(3，－1)＋(－3,2)＝(0,1)； AB →－AC →＝(3，－1)－(－3,2)＝(6，－3)； 2AB →＋12AC →＝2(3，－1)＋12(－3,2)＝(6，－2)＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫92，－1.(2)a ＋b ＝(1,2)＋(－3,4)＝(－2,6)；a －b ＝(1,2)－(－3,4)＝(4，－2)；3a －4b ＝3(1,2)－4(－3,4)＝(15，－10)．11．已知点A (6,3)，O 为坐标原点，点P 在直线OA 上，且OP →＝12PA →，若P 是线段OB 的中点，求点B 的坐标及PB 的长．解 设点P (x 1，y 1)，B (x ，y )，∵OP →＝12PA →，∴(x 1，y 1)＝12(6－x 1,3－y 1)，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝12(6－x 1)，y 1＝12(3－y 1)，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2，y 1＝1，∴点P 的坐标为(2,1)． ∵点P 是OB 的中点，∴2＝0＋x 2，1＝0＋y2⇒x ＝4，y ＝2，∴点B 的坐标为(4,2)．∴PB 的长为(4－2)2＋(2－1)2＝ 5.12．已知a ＝(2，－4)，b ＝(－1,3)，c ＝(6,5)，p ＝a ＋2b －c ， (1)求p 的坐标；(2)若以a ，b 为基底，求p 的表达式．解 (1)p ＝(2，－4)＋2(－1,3)－(6,5)＝(－6，－3)．(2)设p ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，则(－6，－3)＝λ(2，－4)＋μ(－1，3)＝(2λ－μ，－4λ＋3μ)，∴⎩⎪⎨⎪⎧2λ－μ＝－6，－4λ＋3μ＝－3，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－212，μ＝－15，∴p ＝－212a －15b ．。
平面向量的坐标及其运算(2)
ua+vb=__(_u__������_������_+__v_���_���_������_，__u__������_���_��� _+__v_���_������_��� _） ua-vb=_（__u__���_������_��� _—__v_���_������_���_，__u__������_������_—__v__���_������_��� _）
������
������
A
y
M
B
Q
P
o
x
例5 已知平行四边形ABCD的三个顶点A(-2,1),B(2,2),C(3,4).而且A，B，C，D按
照逆时针的方向排列求： （1）AB,AD (2)D的坐标；
解：
（1）AB= ������ − −������ ������ + ������ − ������ ������ = ������������,又因为AD=BC,所以 AD=BC= ������ − ������ ������ + ������ − ������ ������ = ������
������������ = ������������ = ������������ − ������������ ������ + ������������ − ������������ ������
（2）平面直角坐标系内的中点坐标公式
设线段AB的中点为M（x,y）则������������=（x,y）又因为������������=������ ൫������������ +
新人教B版必修二
第六章 平面向量
主讲人：姜妍
复习提问
1.若平面上两个向量a=（������1，������1），b=（������2，������2），则